funciones reales
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Funciones Reales
Prof. Jessica Chacón Piedra
Objetivos Contenidos
Interpretar el concepto de
variable dependiente y
de variable independiente
en las relaciones.
Concepto de relación.Variables
dependientes, variables
independientes.
Ejemplo:
Si se paga a 800 colones la hora. El
salario de un trabajador depende de las
horas que trabaje.
El salario será igual a 800 por el número
de horas trabajadas.
VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE
Si S = salario y h = horas trabajadas entonces:
Variable VariableDependiente Independiente
Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h, porque entre más horas trabaje mayor es su salario.
hS 800
Es una relación que se establece
entre dos conjuntos por medio de la
cual a uno o varios elementos del
primer conjunto se le asigna o asocia
uno o varios elementos del segundo
conjunto.
CORRESPONDENCIA
Nota: Estefany no compró nada,
situación que puede ocurrir en una
correspondencia.
Objetivos ContenidosDeterminar el
dominio, codominio, ámbito,
imagen y preimagen de
funciones.
Dominio, codominio, ámbito,
imagen, preimagen y notación de funciones.
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una ley, regla o correspondencia que a cada elemento de A, le hace corresponder uno y sólo un elemento de B.
FUNCIONES
Al conjunto A se le llama dominio y al conjunto B se le llama codominio de la función.
A los elementos del dominio se les llaman: Preimágenes
A los elementos del codominio se les llaman: Imágenes
Al conjunto de imágenes que es subconjunto del codominio se le llama: Rango o Ámbito.
A cada elemento del conjunto A le debe corresponder algún elemento del conjunto B, el cual debe ser único.
No necesariamente todos los elementos del conjunto B deben corresponder a algún elemento de A. Es decir pueden sobrar elementos en el conjunto B.
Se lee como: la función f está definida
del conjunto A al conjunto B, donde A es
el conjunto de partida y B el conjunto de
llegada
NOTACIÓN DE FUNCIONES
Una función describe la dependencia de
una cantidad respecto de otra. Por lo que
los elementos de una función se
representan por medio de pares ordenados,
la primer cantidad pertenece al dominio y
la segunda al codominio. La forma general
de representar un elemento de una función
es:
La x es la preimagen de f(x), y f(x) es la imagen de x, por lo que:
Si 3 es la imagen de 2, en forma simbólica, por la función p, se expresa:
La expresión significa que: * 8 es la imagen de –5 por la función m ó * -5 es la preimagen de 8 por la función m
3)2( p
8)5( m
Ejercicios
DE ACUERDO CON EL DIAGRAMA DE LA SIGUIENTE FUNCIÓN, DETERMINE:
Dominio
Codominio
Ámbito
Preimágenes
Imágenes
Función
g(b)
g(d)
La preimagen de 4
{a,b,c,d}
{1,2,3,4,5}
{2,3,4,5}
{a,b,c,d}
{1,2,3,4,5}
g:A -> B
5
2
a
ESCRIBA EN FORMA SIMBÓLICA LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS
a) 8 es la preimagen de 10 por medio de la función t: ____________________
b) m es la preimagen de a por medio de la función g: ____________________
c) –5 es la imagen de 4 por medio de la función f: ____________________
d) 9 es la imagen de 12 por medio de la función q: ____________________
CRITERIO O FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN
Ecuación con la que se denota una función.
42)( xxf3
2)(
x
xp
85)(x
xt
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función, el grafico de f lo denotamos y se define, como el conjunto de pares ordenados .
Ejemplo 1: Determine el gráfico de la función h, representada en el diagrama adjunto.
Solución:
fG )(, xfx
4,2,1,0,6,4,3,2 hG
EJEMPLO 2 Si , halle el gráfico de
g, considerando que
Solución:
IRPg : 12)( xxg
;
4,2,1P
3112)1( g3122)2( g
7142)4( g
7,4,3,2,3,1 gG
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
Rectas que se cortan perpendicularmente, el punto sobre el que ellas se cortan se identifica como y se llama origen del sistema.
La recta horizontal se le conoce como “eje x o eje de las abscisas” y la recta vertical se le conoce como “eje y o eje de las ordenadas”.
Al plano que contiene los ejes coordenados se le denomina plano coordenado.
0,0
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
E je de las ordenadas
E je de las abscisas
IR -
IR -
IR+
IR+
Si se traza una recta vertical que pase por el punto “x” y trazamos una recta horizontal que por el punto “y”, entonces el punto de intersección de estas rectas se identifica con el par yx,
yx,
Ejercicio
Represente los siguientes puntos en el sistema coordenado
)2,3(A )3,3( B )1,0( C )0,4(D )1,4(E
A
B
C
DE
Determine las coordenadas para los puntos marcados en el siguiente sistema coordenado.
)2,4(
)4,2(
)2,2(
)5,0(
)4,5(
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función, muestra la posición de cada uno de los elementos de su gráfico, en un sistema coordenado.
23)( xxf 13)( 2 xxxg
CÁLCULO DE IMÁGENES
Para calcular la imagen de un elemento del dominio de una determinada función, se sustituye el valor dado en lugar de la “x” y así determinar “y”.
EJEMPLO 1: ¿Cuál es la imagen de –2, para la función
?
Solución:Se sustituye la x por –2:
Por lo tanto la imagen de –2 es 1
25 xxt
2)2(52 t45
1
EJEMPLO 2:Dada la función determine la
imagen de 7.
Solución:Significa que entonces se sustituye:
Por lo tanto –25 es la imagen de 7
43 xxw
,7x
25
421
4737
w
CÁLCULO DE PREIMÁGENES
Cuando se tiene una imagen y se quiere
calcular su preimagen(es) se iguala el
criterio de la función con la imagen
dada y se resuelve la ecuación
resultante.
Es decir, se sustituye el valor dado en
lugar de la “y” ( ) y se determina
“x”.
xf
EJEMPLO 1: ¿ Cuál es la preimagen de 9, para la función ?SoluciónSe sustituye por 9 y se despeja “x”:
Por lo tanto la preimagen de es .
105 xxf
)(xf
1059 x
x
x
x
x
5
15
1
51
5109
95
1
EJEMPLO 2: Para la función determine la
preimagen de 4.Solución:Sustituimos por 4 y se despeja “x”:
Por lo tanto la preimagen de 4 es -3.
3
5x
xf
)(xf
x
x
x
x
x
3
313
1
354
354
EJEMPLO 3: Si halle el valor de la expresión
Solución:
xxf 35 32 ff
EJEMPLO 4:Para la función definida por con
halle el valor de
ZZf :
01
03
xsix
xsixf 22 ff
EJEMPLO 5 Para la función determine si
los pares ordenados y pertenecen al gráfico de f.
xxf 23
1,2 3,3
INTERPRETACIÓN DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES
Para cada pareja que pertenezca al
gráfico de la función, se puede señalar
un punto en la gráfica de una función y
así determinar la posición de la
preimagen y de la imagen.
es la preimagen de ____ es la imagen de ____
es la preimagen de ____
es la imagen de _____
2 0
4 2
6 0
0 6
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 es la imagen de ___ es la preimagen
de ___
es la imagen de ____ y ____
es la imagen de ____ y ____
2 5
0
2
0 2
5 3
56
EJEMPLO 3Las preimágenes de son ___ y ___
es imagen de ___ preimágenes
es imagen de ___ preimágenes
0 6 14
3
1
4
2
DETERMINACIÓN DEL ÁMBITO A PARTIR DEL DOMINIO
Se obtiene determinando la imagen
correspondiente a cada elemento del
dominio.
Para la función , ,con
halle el ámbito de f.
Solución:
Como es el dominio de f (son las
preimágenes), entonces:
Por lo tanto el ámbito es
Qf 2,3: 52 xxf
2,3
1,4fA
Si , . Halle el
ámbito de f. Solución:
El ámbito también será dado en forma
de intervalo, por lo que se obtiene las
imágenes de y :
Por lo tanto el ámbito es:
IRf 2,4: 32 xxf
4 2
1,11
DETERMINACIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DEL ÁMBITO
De obtiene determinando la preimagen
correspondiente a cada elemento del
ámbito.
Para la función con .
Halle el dominio de f.
Solución:
Se debe encontrar la preimagen de :
9,4,1: Af xxf
9,4,1
81,16,1 fD
Para la función , con . Halle el dominio de f.
Solución:
Sustituimos “y” por y obtenemos los
valores respectivos de “x”:
MIRf : 2xxf
,
81,16,1M
9,4,1,1,4,9 fD
ANÁLISIS DE GRÁFICAS Dominio
Intervalo donde el límite inferior es el menor valor que toma la función en el “eje x” y el límite superior es el mayor valor que toma la función “eje x”.
Codominio
Por lo general es IR, es decir, toda la recta vertical.
Ámbito
Intervalo donde el límite inferior es el menor valor que toma la función en el “eje y”, y el límite superior el mayor valor que toma la función en el “eje y”.
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
Régimen de variación Creciente
f es una función creciente si
siempre que .
(Puede haber tramos constantes)
21 xfxf
21 xx
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
Régimen de variación Estrictamente Creciente
f es una función estrictamente creciente si
siempre que .
21 xx 21 xfxf
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
Régimen de variación Decreciente
f es una función decreciente si
siempre que .
(Puede haber tramos constantes)
21 xfxf
21 xx
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
Régimen de variación Estrictamente decreciente
f es una función estrictamente decreciente
si siempre que . 21 xx 21 xfxf
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
Régimen de variación Constante
f es una función constante si , con
para todo “x” que pertenece al dominio.
Es decir los puntos de la gráfica están una
recta horizontal que pasa por .
bxf IRb
b,0
OBTENCIÓN DEL ÁMBITO DADO LA GRÁFICA
Se obtiene proyectando
perpendicularmente cada punto de la
gráfica sobre el eje y. Todos los puntos
proyectados sobre eje y constituyen el
ámbito de la función.
4,3 A
OBTENCIÓN DEL DOMINIO DADO LA GRÁFICA
se obtiene proyectando
perpendicularmente cada punto de la
gráfica sobre el eje x. El conjunto de
todos los puntos proyectados sobre eje x
constituyen el conjunto que corresponde al
dominio de la función.
}2{,5 D
EJERCICIO 1:
Dominio
Codominio
Ámbito
Preimagen de -6
Imagen de 6
Estrict. Creciente y
Creciente
Constante
f8
2
-6
6-1-3
-12-12
-3 -1
-6
6
2
8
6,12
8,6
12
8
6112 fff 12826
3,12 6,1
6,12
1,3
IR
EJERCICIO 2:
Dominio
Codominio
Ámbito
Preimagen de
Imagen de
Estrict. Creciente y
Estrict. Decreciente
-2
3
-2
-1
1
2
-3
3,
2,
2 1
1 2
11 ff 022
1, 3,1
1,1
IR