funciones reales

Manuel Lpez Mateos

Funciones Reales

LpezMateos

ed

ito

res

2013

(c)Lpez Mateos Editores. Pginas de muestra. Prohibida su modificacin, copia o distribucin.

De venta en https://tienda.lopezmateos.com.mx

Ilustracin de la tapa:

Detalle de Dragn serpiente, acrlico sobre tela. Manuel S. Lpez-Mateos, 2011.

Primera edicin, 2013, en Lpez Mateos Editores2013 Lpez Mateos Editores, s.a. de c.v.

Ave. Insurgentes Sur 1863-301Guadalupe Innlvaro Obregn, D. F.C.P. 01020Mxico

ISBN 978-607-95583-9-0

Informacin para catalogacin bibliogrfica:Lpez Mateos, Manuel.Funciones reales / Manuel Lpez Mateos 1a ed.iv16 p. cm.ISBN 978-607-95583-9-0

1. Matemticas 2. Clculo diferencial e integral 3. Nmeros reales 4. Funciones realesDefiniciones y propiedades bsicas I. Lpez Mateos, Manuel, 1945- II. Ttulo.

Todos los derechos reservados. Queda prohibido reproducir o transmitir todo o partede este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, electrnico o mecnico, in-cluyendo fotocopia, grabado o cualquier sistema de almacenamiento y recuperacin deinformacin, sin permiso de Lpez Mateos Editores, s.a. de c.v.

Producido en Mxico

LpezMateos

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www.lopezmateos.mx

ISBN 978-607-95583-9-0



ndice general

1 Algo sobre R 11.1. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Distancias y vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Funciones 122.1. El concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Grfica de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Funcin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Operaciones entre funciones con valores reales . . . . . . 19

ndice alfabtico 23

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Introduccin

La primera edicin de esta obra fue publicada en Mxico, en el aode 1973, como parte de la serie Temas Bsicos preparada por la Aso-ciacin Nacional de Universidades e Institutos de Enseanza Superior(anuies) en el Programa Nacional de Formacin de Profesores.

Exponemos aqu el material mnimo necesario para trabajar consoltura los conceptos de Lmite y Derivada. Suponemos que el lectorest familiarizado con operaciones entre conjuntos as como con laspropiedades de los nmeros reales.

Buena parte del material que debe aprender el lector, est enuncia-do en forma de ejercicios mismos que conviene resolver en grupos detrabajo. Insistimos en este mtodo, pues la discusin es un ambientefavorable para aclarar los conceptos.

Agradezco la colaboracin de Romn Alberto Velasquillo Garca enla preparacin del manuscrito para esta edicin.

M. L.M.Septiembre de 2013

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Captulo 1

Algo sobre R

1.1. Desigualdades

En este prrafo estudiaremos la relacin de orden < definida entrenmeros reales. Sabemos que si a y b son dos elementos de R, a < bquiere decir que el nmero a es menor que el nmero b. Tambin po-demos expresar esto diciendo que el nmero b es mayor que el nmeroa escribiendo b > a. A menudo es til usar las relaciones mayor o igualque, que se denota con y menor o igual que, que se denota con .As, a < b se leer: a es menor que b, y b > a se leer: b es mayor quea. Estas dos afirmaciones son equivalentes. Anlogamente, a b seleer: a es menor o igual que b, y b a se leer: b es mayor o igual quea. Debemos recordar que la relacin de orden < se define cumpliendolos siguientes axiomas:

i) Si a y b son dos nmeros reales cualesquiera se tiene que a < b oa = b o b < a. (Ley de la tricotoma).

ii) Si a, b y c son tres nmeros reales tales que a < b y b < c entoncesa < c. (Ley transitiva).

iii) Si a y b son nmeros reales tales que a < b y c es un nmero realarbitrario, entonces a + c < b + c.

iv) Si a y b son nmeros reales tales que a < b y c es un nmero realtal que 0 < c, entonces ac < bc.

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1.1. Desigualdades 2

Diremos que un nmero real a es positivo si a > 0 y negativo sia < 0. Diremos que dos nmeros tienen el mismo signo si ambos sonpositivos o ambos son negativos. Dos nmeros tendrn distinto signosi uno es positivo y el otro es negativo.

Hay varias propiedades de los nmeros reales con sta relacin deorden < que sern utilizadas en este folleto. La mayora las enunciare-mos, el lector debera intentar demostrarlas.

Propiedad 1 Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.

Demostracin.

a < b y el axioma (iii) implican que a + c < b + c, (1.1)

c < d y el axioma (iii) implican que b + c < b + d. (1.2)

Las afirmaciones 1.1, 1.2 y la ley transitiva (axioma ii) implican quea + c < b + d.

Propiedad 2 Si a < b entonces a > b.

Propiedad 3 Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.

Demostracin. Si c < 0 por la propiedad (2) c > 0, es fcil demos-trar que 0 = 0, tenemos por lo tanto que c > 0. Entonces, a < b,c > 0 y el axioma (iv) implican que a(c) < b(c) o lo que es lomismo (ac) < (bc). Esta desigualdad y la propiedad (2) implicanque ac > bc.

Propiedad 4 Si a es distinto de 0 entonces a2 > 0.

Propiedad 5 Si 0 a < b y 0 c < d, entonces ac < bd.

Propiedad 6 (Ley de los signos) Si a y b tienen el mismo signo, entoncesab > 0. Si a y b tienen signos distintos, entonces ab < 0.



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