FUNCIONES MATEMATICAS

Consideremos dos conjuntos cualquiera a y b, a la relación binaria f de a en b le llamaremos función de a en b, sí y sólo sí, verifica:

i) f c a x b

esto quiere decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

gráficamente:

ab

c

A B

f f es función, sí b = c

I. DEFINICIONES

OBSERVACIONES:

1. una función f de A y B denotaremos por: f: A B; o A f B y se lee “f es una función de A en B”, donde el conjunto A le llamaremos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.

2. Si el par (a,b) f, escribiremos b = f(a) y se dice que b es la imagen de “a” por f o también, que b= f(a) es el valor de f en el punto a.

3. Si A = B = R, a la función f: R R, se denomina función real de variable real.

4. Teniendo en cuenta la parte 2) se tiene la siguiente notación:

y= f(x) (x,y) f

donde y = f(x) se lee “y es función de x” ó “y es la imagen de x por f”

(x,y) f se lee “el par (x,y) pertenece a f”

Ejemplo: f(1) = 3 (1,3) f

5. De la parte 4), a la función f se puede escribir en la forma:

f= {(x,y) R x R/y = f(x)]

donde la ecuación y = f(x) es llamada regla de correspondencia.

• OBSERVACION: Una consecuencia inmediata de la definición a), es que toda función es una relación pero no toda relación es una función.

Ejemplo: La relación: R = [(1,2),(2,3),(3,4),(2,5)] no es una función, puesto que para el elemento 2 existen dos elementos 3 y 5 tales que (2,3),(2,5) R, que contradice a la definición de función.

• DEFINICION GEOMETRICA:

f es una función cualquier recta perpendicular al eje X corta a la grafica de f en un solo punto. Es decir:

(f) L = ( punto)

GRAFICA DE FUNCIONES CON UNA VARIABLEFUNCIONES

ALGEBRAICAS

POLINOMICAS

RACIONALESRADICALES

TRANSCENDENTALES

_EXPONENCIALES_LOGARITMICAS

_TRIGONOMETRICAS

• CONSTANTES• DE 1ªGRADO• CUADRATICAS

II. GRAFICA DE FUNCIONES

FUNCIONES CONSTANTES

• El criterio viene dado por una numero real• La pendiente es 0

FUNCIONES LINEAL

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

• Ejemplo: y = 2x

x Y=2x

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

FUNCIONES IDENTIDAD

• Su gráfica es una bisectriz del primer y tercer cuadrante

FUNCIONES AFIN

• es la pendiente de la recta.• La pendiente es la inclinación de la recta con

respecto al eje de las abscisas.• Dos rectas paralelas tienen la misma

pendiente.

FUNCIONES CUADRATICA

• Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su grafica una parábola.

REPRESENTACION GRAFICADE UNA PARABOLA

• Podemos construir una parábola a partir de los siguientes puntos:1. Vértice por ese punto pasa el eje de simetría de la parábola.2. Puntos de corte con el eje OX: En el eje de las abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que

tenemos Dos puntos de corte: (, 0) y (, 0) si b² - 4ac > 0 Un punto de corte: (, 0) si b² - 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0 3. Puntos de corte con el eje OY: En el eje de las ordenas la primera coordenada es cero, por lo que tenemos: f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c (0,c)

FUNCIONES RADICALES

• El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

Función radical de índice impar• El dominio es R D=R

Función radical de índice par• El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

FUNCION VALOR ABSOLUTO

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus

raíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada

intervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos

donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante.

Ejemplo:

si x<3

si x3=

FUNCION EXPONENCIAL

• Sea un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base y exponente .

FUNCION LOGARITMICAS

La función logarítmica en base es la función inversa de la exponencial en base .

Ejemplo:

Ejemplo:

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.La gráfica de una función  es el conjunto de puntos tales que y . Es decir:

Observación: • La grafica de dos variables puede

interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de la forma tal que su proyección sobre el plano es D, el dominio de . En consecuencia, a cada punto en D le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en D.

GRAFICA DE FUNCIONES CON DOS VARIABLES

EJEMPLO:Trace la grafica de la función Solución:La grafica de este tipo de funciones es muy común y se conocen como paraboloidesObservación: • El paraboloide anterior tiene su eje de simetría

paralelo al eje z, es de esperar que un paraboloide tenga su eje en de simetría paralelo al eje y.

III. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

• Sea f: A ⇒ B una función de A en B. llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por Df , es decir:

Df = { x A/ y B (x, y) f} A∈ ∃ ∈ ∧ ∈ ⊆

• Y llamaremos rango d la función f al conjunto de las imágenes de todos los

elementos de A, mediante f al cual denotaremos por Rf es decir:

Rf = { y ∈ B/ y ∃ ∈ A (x, y)∧ ∈ f} A⊆

EJEMPLO:

Sea f={ (1,2),(3,4),(5,6),(7,8) }Su:

Df = { 1,3,5,7 } ; Rf= { 2,4,6,8 }

CRITERIO PARA EL CÁLCULO DEL EL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:

El dominio de la función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar “x”, de tal manera que f(x) sea real.

El rango de la función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar “y”, de tal manera que x sea real.

EJEMPLO:• Hallar el dominio y rango de la función f(x)=

• Calculando el dominio: como y = f(x), entonces:

y = luego “y” es real si, ≥ 0

0 ⇒ 0 • Por lo tanto el dominio es :

Df = { -1,2 }

• Calculando el rango : como y = , y ≥ 0

• Despejamos x, es decir:

• X es real si: ≥ 0 ⇒ ⇒

• Por lo tanto rango es : Rf = [0, +∞> ∩[, ] = [, ]

Rf = [, ]

• Para graficar el dominio de una función de dos variables se deben utilizar las siguientes

condiciones:

• Para la gráfica del dominio es necesario conocer y hacer uso de estas fórmulas:

A.

B.

C.

D.

E.

 

• Para hallar el dominio de la función debemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Cuando existe esta función?. Esta función existe cuando lo de la ecuación cumple con alguna de las condiciones presentadas.

IV. GRAFICA DEL DOMINIO

-Utilizamos la condición A y B

El rango será representado por los valores que pueda tomar la ecuación dependiendo de la condición que está afectando.

Definición: Dado un campo de dos variables por la expresión z = F(x, y) , se llama curvade nivel k al conjunto de puntos x, y del dominio de F para los cuales F(x, y) = k

• Ejemplo 1: Dada la función z = 6 - 3x - 2y , sus curvas de nivel estarán dadas por:

6 - 3x -2y = k o bien 3x+2y+(k-6) = 0 Dándole diferentes valores a k, obtendremos una familia de rectas en el plano.Nota:

Es muy importante tener en cuenta el recorrido de la función para asignarle valores

a k

Es muy importante tener en cuenta el recorrido de la función para asignarle valores

a k.

V. CURVAS DE NIVEL

• Es usual, para determinadas funciones, recurrir a curvas planas llamadas curvas de nivel. Si una función está dada por la expresión z = F(x, y) y hacemos F(x, y) = k , esta última ecuación corresponde a los puntos de la superficie que se obtiene seccionándola con el plano z = k , paralelo al plano coordenado z = 0, o sea al determinado por los ejes x e y. Para diferentes valores de k, se obtienen distintas curvas planas que forman una familia de curvas de nivel.

Ejemplo:

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥2+4 𝑦2

𝑥2+4 𝑦2=𝐾 𝐾 ≥ (𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑑𝑒𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒𝑠)

𝑆𝑖𝐾=0→𝑥2+4 𝑦2=0→(0 ;0)

𝑆𝑖𝐾=1→ 𝑥2+4 𝑦2=1→𝑥2+ 𝑦2

¿¿𝑆𝑖𝐾=2→ 𝑥2+4 𝑦2=2→

𝑥2

2

+𝑦 2

12

=2→ (√2 ;√ 12 )𝑆𝑖𝐾=3→𝑥2+4 𝑦2=→

𝑥3

2

+𝑦2

34

=3→(√3 ;√ 34 )

𝑆𝑖𝐾=4→ 𝑥2+4 𝑦2=→ 𝑥22

2

+ 𝑦2

1=4→(2 ;1)