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UTN- FRM- Unidad VI

FUNCIONES

Temario:

PARTE I

Funciones: definición, distintas representaciones: simbólica, diagramas de Venn, en sistemas de ejes

coordenados. Ceros, tablas. Conjunto de Partida, Dominio, Conjunto Imagen. Dominio natural. Análisis de

funciones según sus clasificaciones (inyectivas, suryectivas, biyectivas, crecientes, decrecientes, periódicas).

Intervalos de crecimiento, decrecimiento, positividad, negatividad. Relaciones inversas. Álgebra de

funciones.

Función polinómica: Función polinómica real. Ceros. Función afín: relación entre la función afín y las

ecuaciones de la recta. Análisis de funciones afines, en particular las lineales y constantes. Funciones de

proporcionalidad directa. Función cuadrática: elementos, representación gráfica, análisis de los términos

para la determinación de las características de la gráfica, desplazamientos y relación (intuitiva) entre la

gráfica de una función cuadrática y el lugar geométrico parábola. Uso de fórmulas para hallar los ceros de

una función cuadrática. Relación entre los ceros de la función y las raíces de la ecuación de segundo grado.

Análisis intuitivo de funciones polinómicas cúbicas.

Función racional: Dominio Natural e imagen, ceros, representación gráfica. Funciones de proporcionalidad

inversa.

PARTE II

Funciones exponenciales y logarítmicas: Función exponencial: definición, propiedades. Clasificación.

Funciones de la forma y=ax. Particularidades. Funciones de la forma f(x)=k.ax. Resolución de ecuaciones

exponenciales. Logaritmo, propiedades, cambio de base. Función logarítmica: definición, propiedades.

Dominio natural. Resolución de ecuaciones logarítmicas.

Funciones trigonométricas: Dominio, imagen, características y gráficas de las funciones trigonométricas:

seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Periodos, ceros. Funciones trigonométricas

inversas. Resolución de ecuaciones trigonométricas. Aplicaciones a la geometría. Ejercitación y problemas.

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PARTE I Comencemos con algunas situaciones problemáticas que se resuelven con el concepto de funciones numéricas. Intenta plantear alguna de ellas o parte de las mismas con los conocimientos que posee ahora.

1) El sábado, Luis fue a realizar algunas compras. En el camino, se detuvo en la panadería en la que se encontró con una amiga. Luego, se dirigió sin parar hasta la tienda y luego volvió a su casa. El gráfico muestra la distancia a la que se encontraba Luis desde que salió de su casa hasta que volvió, en función del tiempo.

Figura 1

Según lo que muestra el gráfico: ¿Qué variable se representó en el eje horizontal? ¿y en el vertical? ¿Cuánto tiempo tardó Luis en llegar a la tienda? ¿A cuántos metros de la casa de Luis se encuentra la panadería? ¿Cuánto tiempo se quedó en la tienda? ¿Cuánto tiempo empleó para regresar desde la tienda?

2) El costo de transporte de un taxi está compuesto por un valor inicial al abordarlo

(bajada de bandera) de $ 8.50 más $ 0.90 por cada 100 metros recorridos. Las fracciones no completas de metros no se cobran. ¿Cuánto costará un viaje de 4 km?¿Y otro de 9,5 km?¿Es esta relación una función? ¿Por qué?¿Cómo se representa?

3) Se muestra la variación de la temperatura exterior de una casa a medida que transcurre el tiempo.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 10 20 30 40 50 60 70

dis

tan

cia

(en m

etr

os)

(desde

la

casa d

e L

uis

)

tiempo (en minutos)

3

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Figura 2

a) ¿Cuál es la medida de la temperatura máxima y a qué hora se registró? b) ¿Y cuál es la medida de la temperatura mínima? c) ¿Durante cuánto tiempo se hicieron los registros?

Para poder responder correctamente a las situaciones anteriores, recordemos algunos conceptos que nos llevarán a lo que buscamos. PRODUCTO CARTESIANO – RELACIONES – FUNCIONES

Para interpretar el concepto de relaciones y funciones entre conjuntos tomaremos un ejemplo con cuatro letras y cuatro números, por lo que los conjuntos que intervendrán serán: A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4} El Producto Cartesiano A x B está formado por todos los pares ordenados que se pueden armar con los elementos de ambos conjuntos, siendo el primer elemento del par, del conjunto A (primer conjunto o conjunto de partida) y el segundo elemento del par, del conjunto B (segundo conjunto o conjunto de llegada).

(d;4)}(d;3),(d;2),(d;1),(c;4),(c;3),(c;2),(c;1),(b;4),(b;3),(b;2),(b;1),(a;4),(a;3),(a;2),{(a;1), BA x

Se puede hacer una selección de estos pares obtenidos, estableciendo una vinculación o condición entre la 1º componente del par y la segunda. A esto se le llama relación entre el conjunto A y B. Ejemplos

02468

10121416182022242628

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

tem

pera

tura

(ºC

)

tiempo (h)

4

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1) Dados A={x/x es un número dígito} B={x/x IR 8x }. Determine los pares de la

siguientes relaciones definidas entre A y B : a) R1: “x es la mitad de y” b) R2: “x es el siguiente de y” c) R3: “y=3x”

a) Resolvamos la primera. Para ello necesitamos saber los elementos de los conjuntos:

A={0, 1, 2, 3, …,9} B=(-8; 8)

Como el conjunto B está formado por números reales, no se puede representar en diagramas de Venn, ya que sólo se utilizan para números discretos (los naturales). Hallemos los pares que cumplen con:

R1={(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

Piensa y explica por qué no se ha escrito el par (4, 8) ………………………………………………….. Ahora escribe las relaciones que faltaron R2: …………………………………………………………………………………………………………………………… R3: …………………………………………………………………………………………………………………………… 2) Escribe otros ejemplos entre conjuntos de:

a) números reales; b) personas; c) figuras geométricas (triángulo, cuadrado, rectángulo, trapecio, rombo, romboide,

circunferencia, trapezoide) y su área.

Algunas de las relaciones, cumplen características muy especiales y reciben el nombre de funciones. Para reconocer si una relación es función, es conveniente utilizar primeramente el diagrama de flechas de la relación, y analizar si se cumplen las siguientes condiciones: existencia y unicidad. Existencia: Todo elemento del conjunto de partida debe poseer imagen. En forma gráfica, de todos los elementos del conjunto de partida deben salir flechas. Unicidad: Todo elemento del conjunto de partida debe tener imagen única. En forma gráfica, de cada elemento que posee existencia, debe salir solamente una flecha. Ejemplo Dadas las siguientes relaciones, determina si son función o no.

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Figura 3

El primer elemento del par ordenado se lo llama 1º componente y en general, se lo simboliza con la letra x, pues en el caso de una representación en ejes cartesianos, la 1º componente es la abscisa del punto; el segundo elemento, es la 2da. Componente y se simboliza con la letra y (ordenada del punto). Otra forma de identificar a las componentes del par es como variable independiente y variable dependiente. Llamamos variable a todo objeto, proceso o característica que está presente, o supuestamente presente, en el fenómeno que se quiere estudiar y reciben el nombre de

a▪

b▪

c▪

d▪

▪1

▪2

▪3

▪4

a▪

b▪

c▪

d▪

▪1

▪2

▪3

▪4

E: …. función

U:

E: …. función

U:

A una relación la llamamos

función cuando a cada valor

de la variable independiente

(valor de x) le corresponde

un único valor de la variable

dependiente (valor de y). En

este caso se dice que “y es

función de x” , y se simboliza

y = f (x), siendo f el nombre

de la función.

R4 R5

▪1

▪2

▪3

▪4

a▪

b▪

c▪

d▪

▪1

▪2

▪3

▪4

a▪

b▪

c▪

d▪

a▪

b▪

c▪

d▪

▪1

▪2

▪3

▪4

E: …. función

U:

E: …. función

U:

E: …. función

U:

R1 R2 R3

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variables en la medida en que su modificación provoca una modificación en otro objeto, proceso o característica. Se llama variable independiente a aquella que se le puede asignar algún valor deseado puede cambiar libremente su valor, así como el primero, sin que su valor se vea afectado por alguna otra(s) variable(s). Generalmente, una variable independiente es la entrada de una función o relación y normalmente se denota por el símbolo x, en tanto que frecuentemente y se reserva para la variable dependiente, que depende de x. Si la relación cumple con ambas condiciones, Existencia y Unicidad, la relación es

considerada una función.

La relación, en la que a cada valor de una variable independiente le corresponde un

único valor de la variable dependiente llamada imagen, es una función.

Veamos con respecto a las situaciones problemáticas planteadas al comienzo de la unidad. En los planteos antes mencionados podemos establecer una relación entre dos variables consideradas: una de estas variables recibe el nombre de variable dependiente (distancia recorrida desde la casa de Luis al almacén, el valor del viaje en taxi, la temperatura en el exterior de la casa), y la otra es la variable independiente (tiempo que tarda Luis en ir y volver al almacén, tiempo que se está midiendo la temperatura exterior de la casa, cuadras recorridas por el taxi). Podemos decir por ejemplo, que la distancia recorrida, depende del tiempo de marcha.

A una relación la llamamos función, cuando a cada valor de la variable independiente (x)

le corresponde un único valor de la variable dependiente (y). En este caso se dice que “y

es función de x” o que y depende de x, lo que se simboliza y = f (x), siendo f el

nombre de la función.

Definición: Dados dos conjuntos A y B. se llama función de A en B a la relación o

correspondencia que a todo elemento de A le hace corresponder uno y sólo un elemento

de B.

f: AB quiere decir que la función f está definida de A en B

A es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada.

Si a un elemento “x” de A le corresponde “y” a través de la función f, decimos que “y” es la imagen de “x” y lo escribimos f(x).

Dominio de una Función: Es el conjunto formado por los elementos (x) que pertenecen al conjunto de partida (A). Si una relación es función, el domino coincide con el conjunto de partida porque se debe cumplir la condición de existencia, sino no es función. Imagen de una Función: Es el conjunto formado por los elementos (y) del conjunto de llegada (B) que son imágenes de elementos del conjunto de partida.

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Realiza la siguiente consigna: a) ¿Cuáles son los dominios de las relaciones anteriores? ¿qué sucede con los dominios en

las relaciones que son funciones? Te daremos los dominios de las relaciones. b) ¿Y los conjuntos Imagen de cada una de las Relaciones son: Respuestas:

a) DR1 = {a, c, d} DR2 = {a, b, c, d} DR3 = {a, b, c, d} DR1 = {a, b, c, d} DR1 = {a, b, c, d}

b) IR1 = {1, 2, 3, 4} IR2 = {1, 3} IR3 = {1, 2, 3, 4} IR4 = {1} IR5 = {1, 2, 3, 4}

FUNCIONES NUMÉRICAS – REPRESENTACIONES – DOMINIO NATURAL

Con el fin de poder cuantificar su estudio trabajaremos con funciones que asignen o

hagan corresponder números a números. Por ejemplo, consideremos la longitud de una

circunferencia de diámetro “d” (expresado en centímetros). Sabemos que se puede hallar

empleando una fórmula:

Podemos ordenar las distintas longitudes de circunferencias (l) según el diámetro de cada

una, en una tabla.

d(cm) Long l (cm)

0 0

0,5 1,57

1 3,14

2 6,28

3 9,42

Destaquemos que a cada diámetro de circunferencia le corresponde una única longitud.

Nuevamente, se relacionan dos variables: diámetro (d) y longitud de circunferencia (l). La

variable independiente será d y la variable dependiente será l . A esta relación la podemos

escribir como l =f(d) y leemos : “ la longitud es función del diámetro”

Según esta función se puede establecer que los valores que puede tomar d varían entre

0 e infinito, como también l. El conjunto de partida y dominio, son los reales no negativos;

longitud circunferencia = . d

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el conjunto de llegada, puede ser el conjunto de los números reales, pero la imagen de la

función también son los reales no negativos (reales mayores o iguales que cero) y lo

escribimos como:

Df = { d IR / d 0 } y If = {l R / l 0 }

Si se llevan los datos de la tabla a una gráfica cartesiana:

Figura 4

Piensa en la función anterior como una máquina de calcular.

La máquina toma un número (la entrada) y produce un resultado (la salida). A cada

número en la entrada le corresponde un único número como salida.

Cuando no se especifica dominio de la función, siempre se supondrá que es el mayor

conjunto de números reales para los que la regla de la función tenga sentido y dé valores

de números reales. Este se llama dominio natural de la función. Observe que para

multiplicar . d, d puede ser cualquier número real, pero por ser una distancia, no

corresponde considerar valores negativos.

Si se estuviera analizando una función en base a una gráfica cartesiana como las

mostradas al comienzo de la unidad, el dominio natural estará dado por los valores de x

d l = f(d) = 3,14 . d

entrada salida

función

f

Diámetro (cm)

Longitud(cm)

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“tomados” en ella: en el caso de Luis (distancia respecto del tiempo), se observa que el

dominio natural es Df=[0, 60]; para la gráfica que vincula temperatura-hora del día,

obviamente, el dominio natural es Df=[0, 24]

Otros ejemplos:

1) El dominio natural de la función 1

( )3

f xx

es el conjunto de todos los

números reales excepto el 3, ya que la función no está definida para x=3. Entonces

Df = R – {3}

Si se quiere restringir el dominio, por ejemplo a un conjunto finito de números, se

podría definir la siguiente función:

Si se quiere restringir el dominio escribimos:

1 1 1 1

, ,  : 6 , 7 / ( )3 4 5

,3

8 f f xx

Esta función se puede representar en diagrama de Venn:

Figura 5

2) El dominio natural y el conjunto imagen de la función: ( )f x x es el conjunto

de todos los números no negativos, ya que la raíz cuadrada de un número da un

número real sólo cuando x 0 y para la función ( ) 4f x x

el dominio natural

es el conjunto de todos los números reales para los cuales 4 – x 0, por lo tanto

Df = (- ; 4] y la imagen es: If = (- ; 0]

3

1

5

1

4

1

A B

7

8

6

10

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En ambos casos, el conjunto de llegada puede estar formado por todos los reales.

3) La función 2

4( )

25

xf x

x

es una función racional donde el denominador no puede

valer cero, por lo tanto tiene como dominio natural el conjunto IR – {5;-5}, porque f(x) toma valores reales para cualquier número real de x distinto de 5 y –5.

Realiza los siguientes ejercicios: 1) Escribe la expresión que representa las siguientes situaciones y determina conjuntos de

partida y de llegada:

a) Área de un rectángulo de base 4 cm en función de la altura. b) El perímetro de un rectángulo en función de la base, si se sabe que ésta es el doble de la altura. c) la base de un rectángulo en función de la altura si se sabe que el área es de 6 m2. 2) Sea A el conjunto de partida formado por los números reales, determina cuáles de las

siguientes relaciones son funciones:

3) Halla el dominio natural y la imagen de las siguientes funciones y represente en

diagrama de máquina.

a)21)( xxf b) ( ) 1f t t c) 2( ) 4f z z d) ( )f x x

4) Representa las siguientes funciones en gráficas cartesianas

a) : / 4 – 2 f R R f x x

b) 2

: / – 2f Z R f x x c) 0 :  /

1

2

x

f N R f x

d) 2 : 0; 10 / – 2f R f x x

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Nota: Para realizar un gráfico es conveniente construir una tabla de valores, en donde asignando valores a la variable x se calculan los correspondientes valores de y, obteniéndose los puntos que representarán a la función como pares ordenados (x; y). En esta tabla de valores se asignan los valores a x y se calculan los valores de y, según el formato que tenga la relación. Una vez determinado los pares (x; y), representarlos en el diagrama cartesiano, verificar que coincidan con puntos de la gráfica. Si no es así, revisar o comprobar dónde está el error.

6) Determina el dominio y la expresión algebraica que define cada una de las siguientes

funciones, si se sabe que todas tienen como conjunto de llegada el conjunto de números

reales:

a) A cada número real le corresponde el cuadrado de su mitad. b) A cada número entero le corresponde como imagen la suma entre su cuadrado y 1. c) A cada número real le corresponde la diferencia entre 5 y el doble del número dado. CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE FUNCIONES Ya se han definido algunas propiedades o elementos de las funciones: el Dominio, el Conjunto de Partida y la Imagen. Es necesario definir otros elementos que caracterizan a las funciones para poder luego analizarlas.

a. Ceros de una Función Miremos ahora la variación de la temperatura exterior de otra casa a medida que transcurre el tiempo.

Figura 6

Vemos que a la hora 1, la temperatura es de 0ºC. En símbolos, si x1 = 1 y f(1)=0, entonces decimos que x1 = 1 es un cero de la función porque la imagen de dicho valor de x es cero. Los ceros de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero. En forma gráfica los ceros son aquellos puntos de la gráfica de la función que intersecan al eje x (es decir: f(x)=0 o lo que es lo mismo y=0).

Para hallar analíticamente los ceros de una función, se toma la expresión de ésta y se iguala a 0. La expresión analítica de la función se transforma en una ecuación. Se resuelve

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

tiempo (h)

tem

peratu

ra (

ºC)

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la ecuación y los valores de x hallados son las raíces buscadas. Por ejemplo, observe las gráficas de las siguientes funciones: Figura 7

Se han representado dos funciones, de las cuales se conocen sus expresiones, y se desea calcular los ceros de esas funciones. Por ahora, lo veremos sólo en el gráfico:

Para la gráfica 1, la expresión es 12 4 0 2xy x

Para la gráfica 2, 2

1 22 3 0 3; 1y x x x x

b. Polos

Se llama polos de una función a los valores que no puede tomar el dominio de la función, ya que anulan el denominador, si anular al numerador. Es decir, que se llama polos a los valores de x para los cuales la función se hace infinita (indeterminada), pues se anula el

denominador y no se anula al numerador.

Si algún valor real x0, anula, simultáneamente numerador y denominador, se dice que la

función presenta una laguna en x0.

Ejemplos:

Dadas: 1) 1

: 3 /3

f IR IR yx

2) 2: 5,5 /

25

xg IR IR y

x

-1

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Figura 8

La función 1) 3

1

xy tiene un polo en x1 = 3. Para este valor de x la función no está

definida y tiende a un valor muy grande (infinito). La recta definida por x = 3 es una

Asíntota Vertical.

La función 2) 252

x

xy tiene polos en x1 =5 y en x2 = -5, porque para esos valores la

función se hace infinita.

Los casos más frecuentes de polos se presentan en el estudio de funciones racionales, es decir funciones con conjunto de partida y llegada los números reales que se pueden expresar como cocientes de funciones polinómicas. Estas funciones las estudiaremos en forma particular y con más detalles, por ahora analicemos gráficamente que significa un

polo para una función racional del tipo )(

)()(

xQ

xPxf

En estos casos los polos serán los ceros del denominador, es decir, cuando Q(x) = 0.

Ejemplo 3) 12

142

xx

xy

Figura 9

En 2 – – 12 0 y x x las raíces son x1= -3 ; x2 = 4 (veremos más adelante el

cálculo), por lo tanto en esos valores la función tiene polos y asíntotas verticales.

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Ejemplo 4) Analice si la siguiente función, presenta polos o lagunas:

232

42

2

xx

xy

Para el denominador 2x2 +3x - 2 = 0, los ceros son x1= -2 ; x2= ½ ; no obstante x1 = -2

no es un polo porque anula también el numerador, la función no está definida y se

representa con un punto abierto. A estos puntos se los denomina lagunas.

Figura 10

c. Ordenada al origen Se entiende por ordenada al origen al valor que toma la función cuando la variable independiente x0 = 0. Gráficamente representa la intersección de la función con el eje y. En los casos anteriores, por tratarse de funciones polinómicas, que veremos más adelante, la ordenada al origen está representada por el valor del término independiente.

d. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Sea f una función, con conjunto de partida IR y conjunto de llegada IR dada por y=f(x), diremos que: Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente x le corresponden mayores valores de la variable dependiente y. En términos de incrementos si ∆x>0 (+), ∆y>0 (+). En lenguaje simbólico:

1 2 1 2: ( ) (x )x I si x x f x f

Que se lee: Para todo x perteneciente al intervalo I, si x1 en menor que x2, ocurre que la imagen de x1 es menor que la imagen de x2. Un intervalo de decrecimiento se presenta en el caso contrario al expuesto:

1 2 1 2: ( ) (x )x I si x x f x f

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crece decrece

decrece

En el caso de las funciones representadas anteriormente en la Figura 6 , la función cuya gráfica es una recta, será siempre decreciente; mientras que la otra función, posee ambos tipos de intervalos, a cada lado del valor x1 = -1, que corresponde a la abscisa del vértice de la parábola. El intervalo (-∞;-1) es el Intervalo de Decrecimiento. El intervalo (-1;+∞) es el Intervalo de Crecimiento. Recordemos el caso de la situación representada en la Figura 6 podemos decir además: 1) La máxima temperatura está dada por 26ºC a la hora 12, es decir que la mayor de

las medidas de temperatura es 26. 2) La temperatura mínima es 5ºC registrada en la hora 3, es decir que la menor de las

medidas de temperatura es 5. Como la temperatura varía entre 5ºC y 26ºC, y a su vez, puede tomar valores reales intermedios, podemos decir que la imagen de la función está dada por el intervalo real cerrado [5,26]. De la misma manera, como el tiempo varía entre 0 h y 24 h (con sus valores reales intermedios), podemos decir que el dominio de la función está dado por el intervalo real cerrado [0,24].

3) La función es creciente de 3h a 12h, puesto que al aumentar el tiempo, también aumenta la temperatura (en el gráfico la curva que representa este aumento de temperatura es ascendente, siempre observándola de izquierda a derecha, es decir la curva “sube”) desde 5ºC hasta los 26ºC. En este caso el incremento (o variación) de la función es 21ºC.

4) La función es decreciente: i) de 0h a 3h puesto que a medida que aumenta el tiempo, la temperatura disminuye

(en el gráfico observándolo de izquierda a derecha la curva que representa esta disminución de temperatura es descendente, es decir la curva “baja”) desde 8ºC a 5ºC. Por lo tanto el incremento (o variación) de la función es de –3ºC. Note que el incremento, en este caso, es negativo para indicar que la temperatura bajó durante ese período de tiempo. De 12h a 24h, la temperatura vuelve a disminuir, como también lo hace de 26ºC a 8ºC.la variación de la temperatura es de –18ºC. Note que

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-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

y

x

el incremento es negativo para indicar que la temperatura bajó durante ese período de tiempo.

Por lo cual esta función presenta dos intervalos decrecientes y un intervalo creciente que son …………………………………………………………………………………………………………………..…….

Realiza los siguientes ejercicios:

7) En la siguiente gráfica, que representa a una función f, cuyo Dominio es el conjunto de números reales:

a) Indica los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje de las abscisas ………………………………………………………………

b) Da las coordenadas (x, y) de dichos puntos: ................................. c) ¿Cuántos ceros presenta esta función?............... d) En caso de ser posible, contesta:

1) ¿Cuál es el mínimo valor de la función?. Escribe las coordenadas de dicho punto ..................... 2) ¿Cuáles son las coordenadas de un máximo local de la función?......................... Escribe las coordenadas de dicho punto.....................

e) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

8) Para la función : / 2 4ff D IR y x halla, de ser posible:

b) El dominio de f

c) los ceros d) los polos e) intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

9) Dada la función

2

2

4g : /g

xD IR y

x

halla, de ser posible:

a) El dominio de g

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b) los ceros c) los polos

e. Conjunto o intervalos de Positividad y Negatividad

Dada una función que aplica un conjunto D en los reales, los Conjuntos de Positividad y Negatividad son Intervalos del Dominio (D) de la Función y representan los valores de x para los cuales la función toma valores positivos o negativos. El Conjunto o intervalo de Positividad (C+) de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son números positivos. El Conjunto o intervalo de Negatividad (C-) de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son números negativos. Ambos subconjuntos están formados por la unión de los intervalos donde se cumple la condición definida. Por ejemplo, en el gráfico de la función cuadrática

definida como 2g : IR / 2 3IR y x x , determinamos

los conjuntos C+ y C-:

Figura 11

C+ = (-∞;-3) (+1;+∞)

C- = (-3;1)

Recuerda: Los conjuntos de Positividad, Negatividad y los Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento son subconjuntos del Dominio, por lo tanto, son subconjuntos formados por valores de la variable x y se consideran en el eje de las abscisas.

f. Funciones Pares y Funciones Impares Sea f una función que aplica un conjunto D en los reales, una función f es par si para todo valor de x perteneciente al dominio se verifica que:

f(x) = f (-x)

Gráficamente se identifica una función par cuando es simétrica respecto del eje y.

En el ejemplo siguiente, para la función 2f : IR / 4IR y x , resulta:

f(1) = f(-1) = 3

Una función f es impar si para todo valor de x perteneciente al dominio se verifica que: f(-x) = - f (x)

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Gráficamente se identifica una función impar cuando es simétrica respecto del origen de coordenadas.

En el ejemplo siguiente, para la función 3f : IR /IR y x y = x3, resulta:

f(1) = 1 ; f(-1) = -1 = - f(1)

Figura 12

g. Funciones Periódicas Sea f una función que aplica un conjunto D en los reales, una función f es periódica si existe un número p tal que: f (x + p) = f (x) para todo x que pertenece al dominio de f, donde p es el período, o intervalo para el cual se repite el valor de la función. Las funciones trigonométricas, que veremos más adelante, son un ejemplo clásico de funciones periódicas, pero no las únicas. Ejemplo: y = seno x Figura 13

y = - x2 +4 y =

x3

f(-x) = 3 f(x) = 3

x =

1

-x = -1

x =

1

-x = -1

f(-x) = -

1

f(x) = 1

f(x) = 1 f(x+p) = 1

p = π

p = π

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Vemos que la función seno, luego de un valor en el eje x, que llamamos período p, vuelve a repetirse.

h. Funciones acotadas Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior. Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior. Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

k′ ≤ f(x) ≤ k Desde el punto de vista geométrico, esto significa que en el intervalo [a,b] toda la gráfica

está entre dos rectas horizontales y = -k e y = k.

Figura 14

Si una función está acotada, presenta un conjunto de cotas inferiores y superiores y entre los elementos de éste conjunto, existe la menor cota superior, llamada supremo y la mayor cota inferior llamada ínfimo, que pueden pertenecer o no a la imagen de la función. Hay funciones que no son acotadas, escribe un ejemplo ……………………………………………… Realiza los siguientes ejercicios 10) Responde las preguntas del ítem anterior para las siguientes funciones:

a) : / 2 4ff D IR y x

b) 2h : / 4 3hD IR y x x

c)

2

2

4g : /g

xD IR y

x

(a partir de la gráfica que figura debajo)

20

UTN- FRM- Unidad VI

11) Escoge la opción correcta en cada caso para la siguiente gráfica:

Figura 16

a) La función es estrictamente decreciente en:

(−3.5, −1.5) ∪ (1, 2.5) ∪ (4, 5)

(−3.5, −2.5) ∪ (1, 2.5) ∪ (4, 5)

(−3.5, −2.5) ∪ (1, 2.5) ∪ (4, 5]

b) La función es estrictamente creciente en:

(−5, −3.5) ∪ (−1.5, 1) ∪ (2.5, 4)

(−∞, −3.5) ∪ (−1.5, 1) ∪ (2.5, 4)

(−5, −3.5) ∪ (−2.5, 1) ∪ (2.5, 4)

12) Dada la gráfica de las siguientes funciones, con dominio en un intervalos I, responde: a) Determina el intervalo I b) ¿Es acotada? Indica por qué. c) ¿Es periódica? Determina el período. d) ¿Es par o impar? e) Presenta intervalos de positividad o de negatividad? Escríbelos.

Figura 17

21

UTN- FRM- Unidad VI

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN SURYECTIVAS, INYECTIVAS Y BIYECTIVAS Hasta ahora, al analizar relaciones, hemos analizado solamente lo que ocurre en el conjunto de partida o primer conjunto. No nos ha preocupado ver qué pasa en el segundo conjunto. Como el primer análisis ha permitido determinar cuáles de las relaciones son funciones, el análisis seguirá solamente para las funciones.

FUNCIONES SURYECTIVAS: Una f una función definida de A en B es suryectiva sí y sólo sí, todos los elementos del conjunto B tienen, por lo menos una pre-imagen en A.

22

UTN- FRM- Unidad VI

Por ejemplo, la siguiente gráfica de una función f definida de IR en IR+, esta función es suryectiva.

¿Sería suryectiva esta función si la definiéramos de IR en IR? Justifica.

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

FUNCIONES INYECTIVAS:

Una f una función definida de A en B es inyectiva, sí y sólo sí todo par de elementos

distintos del dominio tiene imágenes distintas. Es decir, cada elemento del conjunto de

llegada es imagen de un sólo elemento del dominio de f.

Por ejemplo, dada la gráfica de una función f definida de IR+ en IR, se observa que esta función es inyectiva.

FUNCIONES BIYECTIVAS: Si una función es Suryectiva e Inyectiva a la vez, decimos que la función es Biyectiva y decimos que la función es uno a uno.

Dada la gráfica de la siguiente función g, definida de IR en IR, se observa que no es

inyectiva

23

UTN- FRM- Unidad VI

Proponga otros ejemplos de funciones que no sean biyectivas y diga por qué ………………………………………………………………………………………………………………………………… Otro ejemplo importante: Analiza si la función f: IRIR/ f(x)= x, llamada función identidad, es biyectiva. RELACIONES Y FUNCIONES INVERSAS El estudio y uso de relaciones y funciones inversas nos acompañará en el análisis de varias funciones: lineales, exponenciales, trigonométricas. Si se trabaja con la relación R(x) = x + 2 (llamaremos imagen de la variable

independiente a sumar 2), en diagrama de máquina sería:

f

x x+2

¿Qué se puede hacer con la imagen de x para recuperar a x?

Lo único que se puede hacer es restar 2. A esta relación la llamaremos inversa de f.

y se escribirá : f -1(x) = x-2. La inversa “deshace lo que hace f”. Esto se puede

representar como:

Una aclaración: el símbolo f -1(x) no significa )x(f

1 , que representa lo que se conoce

como relación recíproca.

g no es inyectiva ya que,

por ejemplo, 2 es la

imagen de más de un

elemento del dominio.

2

x 2

2

- 2

2

f -1 f

x + 2 x x

24

UTN- FRM- Unidad VI

Dada una relación R que aplica A en B, se llama relación inversa de R y se designa R-1, a otra relación tal que para cada par ordenado (x; y) que verifica a R, el par ordenado (y;x) verifica a R-1.

Para encontrar la relación inversa se realiza el siguiente procedimiento: 1. Se intercambian las variables x e y. 2. Cuando algebraicamente es posible, se despeja la variable y, para que quede de la forma más usual. 3. Se realiza la representación en el diagrama cartesiano. La gráfica resultante es simétrica respecto de un eje a 45° (y=x). Ejemplo

2 – 2y x intercambiamos variables

2 2

2 2

2 2

2 2 2

x y

x y

x xy

Despejamos y 1

12

y x

Calculamos las tablas de valores de las dos funciones para compararlas

x

y =2x - 2 (x ; y)

x y =1/2 x + 1 (x ; y)

0 -2

1 0

3 4

Realizamos la gráfica de ambas funciones para comprobar la simetría de ambas respecto del eje y = x (recta a 45º)

Figura 18

A continuación resolveremos otro ejercicio de función inversa:

25

UTN- FRM- Unidad VI

Figura 19

Sea 2

: 3 /3

xf IR IR y

x

21º

3

(3 ) 2

3 2

2 3

( 1) 2 3

yx

y

x y y

x xy y

xy y x

y x x

1

32

x

xy

Importante:

Para todas las funciones es posible hallar su relación inversa, pero no para todas las

funciones, su inversa es función. La condición que se debe verificar para la inversa sea

una función es que “la función debe ser biyectiva”. ¿Por qué? Observemos la siguiente

función y su inversa:

A B

1 a

2 b

3 c

La función f -1: B A no sería función

porque el elemento “a” tendría dos

imágenes (por lo que no verifica la

unicidad exigida para ser función); la

función f no es inyectiva. Además, el

elemento “c” no tendría imagen (no se

verifica la existencia exigida para ser

función); la función no es suryectiva.

Realiza los siguientes ejercicios

13) Grafica, para cada ítem, una función de IR en IR que sea:

a) inyectiva y no suryectiva b) suryectiva y no inyectiva c) biyectiva

x

xy

3

2

1

32

x

xy

26

UTN- FRM- Unidad VI

14) Indica si las siguientes funciones son biyectivas:

a) f le hace corresponder a cada persona el país en el que nació b) f le hace corresponder a cada persona su domicilio c) f le hace corresponder a cada auto su patente.

15) a) Determina dominio y el conjunto de llegada.

b) Encuentra la relación inversa de f.

c) De ser necesario, restringe dominio e imagen de f para que su inversa sea función.

a) 2x5

5x2)x(f

b)

x3

x2)x(f

c)

1x

1)x(f

d) 1

3

1( )f x

x

e) 1

3( ) 1f x x f) 2x)x(f

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Al igual que los números, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir

(restringiendo el dominio a aquellos valores para los cuales no anulen el denominador), y

así obtener otras funciones.

Si f y g son dos funciones definidas de A en B, para cada x que pertenece al dominio de

ambas, se definen las funciones f + g; f - g y f . g mediante las expresiones:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) - g(x)

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

Además, en cualquier punto de Df Dg , en el cual g(x) 0, se pueden también definir la

función f/g a partir de la expresión: (f/g)(x) = f(x) / g(x)

Las funciones también se pueden multiplicar por constantes: si “c” es un número real,

entonces la función c.f está definida para toda x en el dominio de f mediante

(c.f)(x) = c.f(x)

27

UTN- FRM- Unidad VI

Realiza los siguientes ejercicios

16) Si f(x) = x y g(x) = x1 , entonces:

a) Encuentra el dominio natural de f y g para que sean funciones:

b) Determina el dominio de la función que se obtiene al realizar las siguientes operaciones

entre f y g (como se muestra en el ejemplo):

i. 3.g(x) =3. x1 ………………………..

ii. (f+g)(x) = x1x ..………………………

iii. (f-g)(x) = x1x ………………………..

iv. (g-f)(x) = xx1 ………………………..

v. (f.g)(x) = )x1(x(x.x1 ………………………..

vi. (f /g )(x) = x1

x

x1

x

con dominio [0,1)

vii. (g/f)(x) = x

x1

x

x1

con dominio (0;1]

Composición de funciones

Esta es otra manera de combinar funciones. Se puede analizar desde un ejemplo:

“Si disponemos de un equipo de sonido y queremos grabar música de un CD en un pen-

drive ¿qué funciones debe realizar el equipo?

Se observa que g actúa sobre el resultado de aplicar f. Esto se puede escribir como g[f(x)]

y se lee: “g aplicada a f de x”

A ésta operación entre las funciones f y g se llama composición, y el resultado es otra

función que anotamos gof .

Definición

Sean las funciones g y f, donde g está definida de A en B y f de B en C, la composición fog

es una nueva función, tal que:

f: reproducir

música

g: grabar CD música reproducida pen grabado

28

UTN- FRM- Unidad VI

(fog)(x) = f[g(x)]

El dominio de fog consiste en todos los números x del dominio de g para los cuales g(x)

está en el dominio de f, es decir: Ig Df .

El dominio de la función compuesta es el dominio de la primera función aplicada (g) y el

conjunto imagen de la función compuesta está incluido en el conjunto imagen de la

segunda función (f).

Por ejemplo, si se tiene que componer f con g, ambas definidas de IR a IR, siendo

f(x)=x2 y g(x)=x – 4, verificamos que la composición es una función ya que Df = IR,

If=[0; + ), Dg =IR y Ig = IR. Para la composición (gof) se comprueba que If Dg.

Primero se identifica qué “hace” cada función: f(x) eleva al cuadrado y g(x) resta 4.

Aplicando la definición:

(gof)(x) =g[f(x)] = g[x2] = x2 – 4

Por lo tanto : (gof)(x) : IR [-4 , + )

¿ Es (gof)(x) =(fog)(x)?

Si quisiéramos encontrar (fog) , se verifica que Ig Df, entonces

(fog)(x) =f[g(x)] = f[x - 4] = (x - 4)2

Para esta función (fog): IR [0; +) ; y su representación gráfica es una parábola

desplazada horizontalmente 4 unidades hacia la derecha.

Por lo tanto se puede decir que la composición no es conmutativa ya que (gof)(x)

(fog)(x).¿Qué pasaría si componemos una función con su inversa?

Por ejemplo:

Dadas las funciones biyectivas: f y su inversa f-1, tal que: f(x) =x + 3 y f-1(x)= x - 3.

a) Halle f-1.

b) Realice fof-1 y f-1of. ¿Qué obtienes? Concluye …………………….

c) Represente mediante un diagrama de cajas.

x x+3 x+3 – 3 = x f: : suma 3 g: resta 3

29

UTN- FRM- Unidad VI

La composición de una función y su inversa aplicada a un elemento del dominio da como

resultado ese mismo elemento. Por lo tanto, al componer una función con su inversa, el

resultado es la función identidad.

Ejemplos

1) Sean los conjuntos A = {3, 5,10), B = {20, 10, 6}, C = {9, 23, 13) y las funciones

f: A→B / f(x)= 2x f = {(3; 6), (5; 10), (10; 20)} y

g: B→C / g(x) = y + 3 g = {(20;23), (10;13), (6;9)}

Completa:

f(3)=……………….

g(f(3))=…………..

f(5)=……………….

g(f(5))=…………..

f(10)=……………..

g(f(10))=…………

Generalizando:

g o f: A→C / (g o f)(x)= 2x + 3

g o f = {(3;9), (5;13), (10;23)}

2) Sean las funciones f: IR→IR/f(x) = 5x2 y g: IR→IR/g(x) = 1/2 x - 3

Obtengamos g o f y f o g, si es posible.

Solución

D(f) = IR D(g) = IR

I(f) = IR0+ (explica por qué) I(g) = IR

La condición de posibilidad para la obtención de la función compuesta (g o f) es que I(f)

esté incluido en D(g). Se verifica, luego

g o f: IR→IR tal que

32

5)5(f(x)g (x) f) º (g 22 xxg

La condición de posibilidad para la obtención de la función compuesta f o g es que I(g)

esté incluido en D(f). Se verifica, luego

f o g: IR→IR tal que

2

32

15g(x)f (x) g) º (f

x

30

UTN- FRM- Unidad VI

Lo que indica, como ya vimos, que la composición de funciones no es conmutativa, es

decir:

f o g ≠ g o f

Realiza los siguientes ejercicios:

17) Dadas las expresiones: x)x(f y g(x) = x+1 . Encuentra cada una de las

siguientes funciones, en el caso que sea posible, y su dominio.

a)(fog)(x) b) (gof)(x)

c) (fof)(x) d) (gog)(x)

18) a) Dada las siguientes expresiones, determine un dominio y conjunto de llegada conveniente para que la relación inversa, resulte ser una función.

b) Determine para cada caso la función inversa. c) Comprueba que (fof -1)(x) = x. (Esta es una manera de verificar el resultado obtenido)

I. 3( ) 1f x x

II. 5( )f x x III.

2

1( ) 0f x x

x

IV. 3

1( ) 0f x x

x

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Enteras Racionales Algebraicas Fraccionarias Funciones Irracionales Exponenciales Transcendentes Logarítmicas Trigonométricas

Hiperbólicas Algebraicas: Son aquellas en las que la variable independiente x está afectada por operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Racionales: Son aquellas en las que x posee un exponente entero. Enteras o Polinómicas: Son aquellas en las que x posee un exponente natural. Fraccionarias: Son aquellas en las que x tiene un exponente entero negativo. Irracionales: Son aquellas en las que x está afectada por un exponente fraccionario. Trascendentes: Son aquellas no algebraicas. Exponenciales: Son aquellas en las que x está como exponente.

31

UTN- FRM- Unidad VI

Logarítmicas: Son las inversas de las exponenciales. Trigonométricas: Son las que establecen relaciones entre lados y ángulos de un triángulo. Hiperbólicas: Son combinaciones de funciones exponenciales. FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS Hay ciertas funciones que no se pueden definir usando una sola expresión, estas se

denominan funciones definidas por tramos o a trozos. Estas funciones utilizan distintas

expresiones para diferentes partes de su dominio.

Por ejemplo

2 0: / ( )

1 0

x xf IR IR f x

x x

Esta es una sola función que se define utilizando dos expresiones distintas para cada

tramo. El dominio de esta función es Df = IR y la imagen If = [0;]

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Es una función de IR en IR, definida por tramo donde:

0xx

0xxx

Realicemos el siguiente ejemplo: a) Completa la tabla de valores y determina los pares ordenados (x; y). b) Representa esos pares ordenados en el diagrama cartesiano. c) Verifica que los pares ordenados coincidan con la gráfica realizada. d) Realiza el análisis de la gráfica completando el cuadro de la derecha.

x y = f(x) = x

(x;y)

-2

-1

0

1

2

32

UTN- FRM- Unidad VI

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Sea : / ( )f IR IR f x x (parte entera de x). La Parte Entera de un número real x

es el menor de los dos enteros entre los cuales está comprendido el número x cuando x no es número entero y al mismo número x si éste es entero. Por lo tanto Parte Entera del número real x es el número entero E si y sólo si: E ≤ x < E + 1

Realicemos el siguiente ejemplo: e) Completa la tabla de valores y determina los pares ordenados (x; y). f) Representa esos pares ordenados en el diagrama cartesiano. g) Verifica que los pares ordenados coincidan con la gráfica realizada. h) Realiza el análisis de la gráfica completando el cuadro de la derecha.

x y = f(x) = [x] (x;y)

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

Df: If:

Biyectiva:

Ceros: Ord.Origen:

Intervalo de Crecimiento:

Intervalo de Decrecimiento:

C+: C-:

Par: Impar:

Período:

Df: If:

Biyectiva:

Ceros: Ord.Origen:

Intervalo de Crecimiento:

Intervalo de Decrecimiento:

C+: C-:

Par: Impar:

Período:

33

UTN- FRM- Unidad VI

FUNCIÓN MANTISA Es una función definida en los números reales tal que a cada número real x le hace corresponder la diferencia entre x y el mayor entero que no supera a x, es decir, la diferencia entre x y la parte entera de x.

: / ( ) ( )f IR IR f x mant x x x

Realicemos el siguiente ejemplo: i) Completa la tabla de valores y determina los pares ordenados (x; y). j) Representa esos pares ordenados en el diagrama cartesiano. k) Verifica que los pares ordenados coincidan con la gráfica realizada. l) Realiza el análisis de la gráfica completando el cuadro de la derecha.

Realiza los siguientes ejercicios

19) Dadas las siguientes expresiones definidas de A en B. Define dominio y conjunto de llegada para que sean funciones y luego halla si existen los ceros y los polos.

a) x

xf3

)(

b) 2)3(

5)(

xxf

c) xx

xxf

2)(

d) x

xxxf

2)(

x ( ) ( )f x mant x x x ( , )x y

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Df: If:

Biyectiva:

Ceros:

Ord.Origen:

Intervalo de Crecimiento:

Intervalo de Decrecimiento:

C+: C-:

Par: Impar:

Período:

34

UTN- FRM- Unidad VI

20) Para cada una de las siguientes funciones que aplican D en IR, indica dominio, si es

par, impar o ninguna de las dos.

a) f(x) = 5

b) f(x) = x2+1

c) f(x) = x3 + x

d) f(x) = x2 + x

e) 1

)(2

x

xxf

f) 1

)(

x

xxf

21) ¿Cómo es el producto de dos funciones reales impares?

22) ¿Puede ser una función real par e impar a la vez?

23) Toda función que no es par ¿es impar?

24) Determina los intervalos en donde las siguientes funciones reales son crecientes,

constantes o decrecientes.

a) f1(x) = (x-3)2 b) f2(x) = x2 – 2 c) f3(x) = 3.x2 d) f4(x) = 3(x+1)2

25) Dibuja una función f real continua que sea:

a) creciente en el intervalo [-2;6) y decreciente en el intervalo (6;13]

b) creciente en el intervalo [2;7) y constante en el intervalo [7; )

26) ¿Cuáles de las funciones del ejercicio 36) son inyectivas?

27) Grafica las siguientes funciones como transformaciones de f(x) = x2

a) f1(x) = -x2 b) f2(x) = (-x) 2 c) f3(x) = (x – 3)2 d) f4(x) = (x+1)2 - 2 e) f5(x) = 3.x2 f) f6(x) = -2.x2

35

UTN- FRM- Unidad VI

28) En una cartulina cuadrada de 12 cm de lado se cortan las esquinas iguales en forma

de cuadrados de lado “x”, con el fin de hacer una caja (sin tapa). Se desea saber para

qué corte “x” tendrá volumen máximo la caja así obtenida.

a) expresa el volumen V de la caja como función V(x) de la longitud “x” del corte. b) ¿cuál es el dominio de esta función? c) Realiza un dibujo que muestre la situación. d) Según tu dibujo: ¿cuál es el volumen máximo que se puede logra?

29) Encuentra la función que expresa el área de un rectángulo de perímetro 16, en

función de la medida de su base

a) ¿cuáles deben ser las longitudes de los lados del rectángulo para que el área sea máxima?

30) Sabiendo que el producto de dos números reales es 12, responde:

a) ¿Qué función relaciona estos dos números? b) ¿Cuántas soluciones enteras puedes encontrar? c) ¿Cuál es su representación gráfica? d) ¿Cuál es el dominio y la imagen de esta función?

31) ¿Para qué valores del dominio las siguientes funciones reales toman valores positivos?

a) f(x) = 5

b) f(x) = 7x2

1

c) f(x) = (x+4)(x+3)(x-2)

32) ¿Para qué valores del dominio las funciones reales anteriores toman valores

negativos?

33) Sean f y g dos funciones definidas de D en IR, grafique e indique el dominio D y el

conjunto imagen incluido en IR, siendo:

a)

NRxx

Nxxxf

2

2)( b)

21

22

21

)( 2

xx

xx

x

xg

36

UTN- FRM- Unidad VI

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

medida del lado

Perí

metr

o FUNCIÓN AFÍN

Para comenzar a desarrollar el siguiente tema, planteemos la siguiente situación:

Se muestra la variación de la medida del

perímetro de un triángulo equilátero, en función

de la medida de su lado. Responda:

¿Cómo están los puntos representados en esta

gráfica?......

a) Por esa característica ¿qué nombre recibe este tipo de funciones? Escríbelo ...................

b) ¿Cuál es la variable independiente (x)?............¿Cuál es la dependiente (y)? ........................................................

c) Anota la fórmula que relaciona ambas variables: ...... ............. ............. ............. d) ¿Es una función? ¿Por qué? ............... ............. ............. .............

A las funciones que presentan las características observadas en el ejemplo, se las

denomina función afín.

La función afín es un caso particular de las funciones reales. Está definida por la siguiente

expresión:

siendo a y b números reales.

Su representación geométrica es una recta, donde, recordemos:

a es la pendiente de la recta (inclinación de la recta)

b es la ordenada al origen (intersección con el eje y, es decir para x=0)

Al determinar la intersección de la recta con el eje x, estamos hallando los ceros de la

función. Una función afín posee solamente uno, salvo el caso de que la función sea

constante que no tiene ninguno. Denominarse x0 al cero de la función y se calcula como:

Además:

Si el coeficiente principal a > 0 (positivo), la función es creciente.

y = a . x + b

a

bx 0

37

UTN- FRM- Unidad VI

Si a < 0 (negativa), la función es decreciente.

Si a = 0, la función es constante.

a > 0 a < 0 a = 0

Analicemos la siguiente situación:

Una empresa compra cajas para embalar a $2 cada una. Para que el proveedor,

entregue en el domicilio de la empresa las cajas, debe abonar $5 más, importe fijo

que no depende de la cantidad de cajas que se compren. ¿Cuánto habrá que pagar si

se compran 10 cajas y la entrega se hace en el domicilio de la empresa?

Antes de comenzar a resolver, observa que el dominio corresponde al número de cajas,

por lo cual, ten en cuenta que Df = IN.

Para resolver la situación planteada se puede pensar en resolver un cálculo como el

siguiente, que se muestra con el resultado correspondiente:

¿Y si se desea solicitar 5 cajas a domicilio?

Así el cálculo para esta nueva compra es: 2 5 5 15

Si se quiere comprar bajo las mismas condiciones 6 cajas. ¿Cuál es el monto a pagar?

¿Cómo sería para 8 cajas?

Ahora se propone que: se simbolice con “y” el número de pesos a pagar por la compra, y

con “x” el número de cajas que se compran, ¿Qué expresión se obtendrá?

255102

N° de cajas

precio de cada caja

Costo de entrega

38

UTN- FRM- Unidad VI

Esta relación que existe entre el número de pesos a pagar por la compra y el número de

cajas que se compran, es una función. Para cada número de cajas existe uno y sólo un

número correspondiente que indica cuántos pesos hay que pagar por la compra, esta

característica que a cada valor de la variable independiente (x) le hace corresponder uno y

sólo un valor de la variable dependiente (y) es la que permite decir que dicha relación es

una función.

Para la representación de la función que relaciona las variables antes indicadas que

intervienen en este problema se sugiere completar la siguiente tabla y luego ubicar dichos

puntos en un sistema de coordenadas, que se muestra a continuación:

x

(número de cajas)

y

(número de pesos a pagar por la

compra)

5 15

6 ……….

10 ............

………. 29

Como la expresión algebraica que se obtuvo anteriormente fue: 52 xy ,

seguramente la gráfica que se obtuvo tiene las siguientes características:

12

10

8

4

2

1 2 3 4

Funciones de Proporcionalidad directa

Observemos en las siguientes tablas en las que se indica el precio del pan y del tomate:

39

UTN- FRM- Unidad VI

Pan

Peso (x1) 1 2 4 4,5 5

Precio (y1) 11.00 22.00 44.00 49.50 55.50

Tomate

Peso (x2) 1 2 4 4,5 5

Precio (y2) 15.00 30.00 60.00 67.50 75,00

Para el precio del pan: Si se calcula el cociente entre cada valor de la variable precio con el valor

correspondiente de la variable peso para el pan: y

x

11.0011

1 ;

22.0011

2 ........ ;

55.0011

5

Todos los cocientes arrojan la misma respuesta: 11. A este resultado se lo denomina razón, es decir, es la relación entre el precio del pan y la cantidad de kilos que se compre. Por lo tanto, se puede decir que los valores de la variable precio y los de la variable peso del pan son directamente proporcionales. La variable dependiente es el precio, que varía de acuerdo a la cantidad de pan que se compre; obviamente, la variable independiente de la cantidad de pan comprado. Busquemos una expresión que nos permita obtener los diferentes resultados:

11y x

Como ves, la función le hace corresponder a x0=0, y0=0, o sea que la función contiene al origen de coordenadas Repite el procedimiento para el caso de los tomates. Las funciones afines que contienen al origen de coordenadas, reciben el nombre especial de funciones lineales y los valores de ordenada y abscisa son directamente proporcionales. Veamos otro caso: Supongamos que eres usuario de una compañía de teléfonos celulares y te ofrecen una promoción por la cual tienes llamadas ilimitadas con un abono de $179, sin ningún costo adicional, ¿Cómo representarías esta situación?¿Depende tu facturación de los minutos que utilices tu teléfono?

40

UTN- FRM- Unidad VI

Evidentemente, no. Estas funciones reciben el nombre de funciones constantes, pues el valor de la variable y no depende de x, si no que para todo valor de x, el valor de y es fijo o constante. La representación gráfica, también es una recta, pero de pendiente nula. Gráficamente: y($)

179 x (minutos)

Realiza los siguientes ejercicios

34) Para las siguientes funciones, determina:

a. Ceros o raíces b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Qué observas? c. Intervalos de positividad y negatividad d. Grafica cada caso. ¿Qué diferencias observas?

i. f: y = -3x+2

ii. g: y =

x – 4

iii. h: y = 2x

iv. j: y = 5 v. k: y = -3

35) Gastón está construyendo su casa y quiere comprar arena a una empresa que cobra

$9 (fijos) por gastos de envío y además cobra $7 el metro cúbico de arena. ¿Cuál es el monto que va pagar Gastón si compra 5 m3 de arena?

36) a) Las funciones representadas, ¿son crecientes o decrecientes?..............

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta dada por y1?............ c) ¿Y la pendiente de y2? ............. d) ¿Y la de y3? ................

Y1 = 5 . x

Y2 = 3 . x

Y3 = 1,10 . x

y3 = -2 x

y2 = - x

y1 = 2

1 x

41

UTN- FRM- Unidad VI

37) Resuelve los siguientes problemas:

a. En el plano de un departamento, un segmento de 5 cm representa 12,5 cm, si las medidas del departamento son de 35,6 m de largo y de 20,2 m de ancho, ¿qué dimensiones tiene el plano?

b. Un viajante cobra en concepto de sueldo una suma fija de $600 y una comisión del 4% sobre las ventas. Si un mes vendió un total de $16400, ¿Cuánto cobró el viajante ese mes?

c. Luis quiere comprar un centro musical, en el cartel aparecen los siguientes precios:

¿Cuánto dinero tiene que juntar Luis para pagarlo en efectivo?¿Qué porcentaje de recargo sufre el precio con respecto al precio de lista, si lo paga con tarjeta?

d. Una persona ha estado ausente el 32% de las 450 horas de trabajo. ¿Cuántas horas ha estado ausente? Si por el total de horas cobra 1500 pesos, ¿ésta vez, cuánto cobró?

38) Complete las siguientes tablas. Luego grafique y obtenga la constante de proporcionalidad de cada una de ellas.

Tiempo que tarda un móvil en recorrer una distancia (seg) Distancia recorrida por el móvil (m)

40 500

…… 700

15 ……

Banderines

(número)

Metros cuadrados de tela necesarios para fabricarlos (m2)

8 3

49 ……..

…….. 12

…….. 6

Se quiere alambrar un superficie de forma cuadrangular En una planta embotelladora, un visitante contó

que una de las máquinas llenó 100 envases en 8

minutos

Precio de lista : $ 180

Pago efectivo : 12 % de descuento

Pago con tarjeta: 3 cuotas de $ 69 cada una

42

UTN- FRM- Unidad VI

Medida del

lado (m)

Cantidad de alambre (m) Tiempo

(min)

Envases

(cantidad)

1 ................ 4 .............

................ 36 ........... 200

................. 6 60 ...............

0,5 .................. 75 .................

Alargamiento de un resorte (mm) Peso colgado en el resorte (kg)

0,5 2

1 ......

....... 6

....... 10

FUNCIÓN CUADRÁTICA o FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Pensemos en la siguiente situación:

En los parques acuáticos podemos disfrutar del show que nos brindan orcas y delfines con

sus espectaculares saltos.

Si representamos en una gráfica las alturas

que alcanzan en dichos saltos una orca en

función del tiempo, nos surge una curva como

la que se muestra. En este caso en particular,

observa que no se consideran en el eje x y

en el eje y los valores negativos

Sin embargo, desde ahora en más, al referirse

a una función cuadrática se considera una

función real, es decir, una función definida en

el conjunto de los números reales. Es importante que tenga presente que el dominio que

se considera en todas las funciones cuadráticas que se analizan es IR.

Observa el siguiente ejemplo:

Dada la función real y = x2 + x – 20. Completa la tabla:

-3-2-10123456789

10111213

-1 0 1 2 3 4 5

altura (metros)

tiempo (segundos)

Altura de la orca en función del tiempo, durante un salto.

43

UTN- FRM- Unidad VI

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

y

Marca en el gráfico con color cada punto correspondiente a

los valores mostrados en la tabla.

La curva de la función que se muestra en la gráfica se llama parábola.

Observa en la gráfica los puntos que tienen contacto con el eje de las abscisas o eje de las x puntos donde la gráfica “corta” al eje de las x. Recuerda que ellos son ceros de la función y estos son x1 = 4 y x2 = – 5 y por ser los ceros, el valor de ordenada de ambos es 0. Es decir: f (-5) = 0 y f (4) = 0 y ellos son soluciones de la ecuación

cuadrática asociada.

Estas funciones son un caso particular de las funciones reales y las denominamos funciones cuadráticas, donde la variable, algebraicamente, aparece elevada al

cuadrado: y=x2. Las definiremos de acuerdo a su expresión general.

Definición:

Se llama función cuadrática a toda función real de la forma general:

f(x) = a.x2 + b.x + c

donde los coeficientes a, b, c son números reales, siendo a 0

A los términos de esta expresión los llamamos:

x y = x2 + x - 20

-6

-5

-4

-2

0

1

2

3

4

5

y = a.x2 + b.x + c

término cuadrático término independiente

término lineal

44

UTN- FRM- Unidad VI

Si damos distintos valores a los coeficientes a, b, c, se obtienen las expresiones de

distintas funciones cuadráticas. Los coeficientes b y c, aparecen en el caso que la función

se encuentre desplazada.

Cuando b = 0 ó c = 0 ó alguna de las dos solamente vale 0, se llaman funciones de

segundo grado incompletas

Incompleta sin términos …………… e …………..

Incompleta sin ……………………..

Incompleta sin ……………………..

Representación de la función cuadrática: elementos.

Para representar una función cuadrática en un plano cartesiano x;y, necesitamos realizar

una tabla de valores como en cualquier otra relación o función. Como el resultado a

obtener no es una recta, como en el caso de las funciones afines, no bastará con dos

puntos, y habrá que obtener varios más (en general un mínimo de 5 puntos si están bien

definidos, o más).

Sea, por ejemplo, representar la función: y = 1/2 x2 - 2 x – 2,5 donde: a=1/2 ; b=-2 ;

c=-2,5

x y = 1/2 x2 – 2 x – 2,5 (x; y)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y = a x2

y = a x2 + c

y = a x2 + b x

45

UTN- FRM- Unidad VI

Si los valores obtenidos en la tabla anterior son correctos, los pares (x;y) hallados

coinciden con puntos del gráfico siguiente:

De la observación del gráfico podemos extraer:

La curva obtenida se denomina parábola, que en este caso sus ramas se encuentran hacia arriba.

El punto más bajo (o más alto) de la parábola se denomina vértice V, cuyas coordenadas son las coordenadas (xv;yv). En este caso V ( 2; -4,5 ).

La intersección de la parábola con el eje y, se denomina ordenada al origen y coincide con el valor del término independiente de la expresión polinómica general.

Las intersecciones de la parábola con el eje x, se denominan ceros de la función o raíces del polinomio asociado, y se designan como x1 y x2. En este caso x1 = -1 ; x2 = 5.

El Vértice divide a la parábola en dos partes o ramas: izquierda y derecha, por lo tanto, por ese punto pasa el eje de simetría de la parábola.

Variación del coeficiente “a” (considerando b y c nulos).

Analicemos la función cuadrática real según el valor de sus coeficientes y obtengamos la

gráfica a partir de desplazamientos, reflexiones y contracciones de la función f(x) = x2.

La función f(x) = x2

¿Qué valor tiene a?..............

¿Cuál es el dominio de esta función?..............

¿Cuál es la imagen?............

¿Es inyectiva?..............

¿Es par?...........

¿Es impar?................

¿Cuáles son los ceros?......

46

UTN- FRM- Unidad VI

La función f(x) = a.x2

Si comparamos la gráfica de la función f1(x) = ax2 con la función f(x) = x2, se puede ver

que si a >1 hay una expansión, lo que acerca las ramas al eje de las ordenadas.

Cuando el coeficiente a es positivo, la

representación gráfica de estas funciones

son parábolas con las ramas hacia arriba.

Si se grafica la función f(x) = x2 y la

función f *(x) = 3x2 se tiene una expansión

con factor 3.

Si se grafica la función

f(x) = x2 y la

función f *(x) =0,1x2

se tiene una

compresión de factor

0,1.

f(x) = x2

f *(x) = 0,1 x2

47

UTN- FRM- Unidad VI

Para el caso en que a <1 se tiene una contracción, lo que aleja las ramas del eje de

ordenadas y las acerca al eje de abscisas.

Estas familias de parábolas tienen el vértice en el origen de coordenadas y poseen como

eje de simetría al eje de las y.

Variación del coeficiente “c” (con b=0)

La función f(x) = a.x2 + c

Cuando el coeficiente “a” es

negativo, la representación

gráfica de estas funciones

son parábolas con las ramas

hacia abajo.

Si se compara la gráfica de la

función f(x) = x2 con la función

f *(x) = - x2 se ve que hay una

reflexión respecto del eje x

f * (x)= - x2

f(x) = x2

f(x)

f *(x) = x2 +5

La función f es un

desplazamiento de

f(x)=x2 en 5 unidades

para arriba. Se ve que el

eje de simetría sigue

siendo el eje y.

48

UTN- FRM- Unidad VI

En término generales, las “variaciones” que puede presentar una función cualquiera,

según sean los coeficientes que aparecen en su expresión, son:

CONTRACCIÓN, EXPANSIÓN, TRASLACIÓN DE FUNCIONES, REFLEXIONES SOBRE LOS EJES CARTESIANOS. Contracción y Expansión de Funciones Una función sufre una expansión cuando el coeficiente principal de la misma es superior a 1, y por el contrario, sufre una contracción cuando el coeficiente principal es menor que 1. Ejemplo Tomaremos como base la función real (es decir con conjunto de partida y de llegada los números reales) y = x3. Su coeficiente es 1. Si ahora comparamos esta gráfica con las funciones: y1 = 2 x3 e y2 = ½ x3. En y1 = 2x3 al ser el coeficiente mayor que 1, la función crece más rápidamente, produciéndose una expansión o alargamiento de la gráfica, que la aleja del eje x. En y2 = ½ x3, al ser el coeficiente menor que 1, las función crece más lentamente, produciéndose una contracción de la gráfica, que la acerca al eje x.

El término independiente

produce un desplazamiento

vertical. de la parábola en “c”

unidades.

49

UTN- FRM- Unidad VI

Proponga otros ejemplos en donde se observen contracciones y expansiones. Traslación de Funciones Las traslaciones pueden ser horizontales o verticales. Una función se traslada horizontalmente cuando la variable independiente x está afectada por una suma o resta. Si se suma un número a x, la función se desplaza (traslada) hacia la izquierda, es decir, en sentido contrario al signo de la constante. En cambio si se resta un número a la variable independiente x, la función se traslada hacia la derecha, es decir, en sentido contrario al signo de la constante. Ejemplo: Tomaremos como base nuevamente la función real y = x3. La compararemos con las funciones y3 = (x + 2)3 e y4 = (x – 2)3.

Proponga otros ejemplos en donde se observen traslaciones. Reflexión de Funciones

50

UTN- FRM- Unidad VI

Una función sufre una reflexión cuando el coeficiente principal cambia de signo: el eje x trabaja como un espejo. Ejemplo: Tomaremos como base nuevamente la función y = x3. La compararemos con las funciones y3 = -x3

Proponga otros ejemplos en donde se observen reflexiones. La siguiente tabla presenta una lista de las transformaciones básicas con c > 0:

Expresión Transformación

g(x)= f(x) + c La gráfica de la función g se desplaza c unidades hacia arriba respecto

de la gráfica de la función f.

g(x)=f(x) - c La gráfica de la función g se desplaza c unidades hacia abajo respecto

de la gráfica de la función f.

g(x)=f(x + c) La gráfica de la función g se desplaza c unidades hacia la izquierda

respecto de la gráfica de la función f.

g(x)=f(x - c) La gráfica de la función g se desplaza c unidades hacia la derecha

respecto de la gráfica de la función f.

g(x)=- f(x) La gráfica de la función g se refleja respecto de del eje x.

g(x)=f(-x) La gráfica de la función g se refleja respecto de del eje y.

g(x)=c.f(x); c>1 La gráfica de la función g se alarga verticalmente por c, respecto de la

gráfica de la función f, alejándose del eje x (Expansión)

g(x)=c.f(x); c<1 La gráfica de la función g se acorta verticalmente por c, respecto de la

gráfica de la función f, acercándose al eje x (Contracción)

51

UTN- FRM- Unidad VI

Realiza los siguientes ejercicios

39) Representa gráficamente las siguientes funciones reales, indicando si presentan

expansión o contracción.

a) f1(x) = -2x2

b) f2(x) = 2x2

1

c) f3(x) = (-x)2

40) Halla la expresión de la función correspondiente a la transformación de f(x) = x2

que se indica en cada caso:

a) expansión con factor 4 b) reflexión respecto al eje de las x

41) Para las funciones del ejercicio 50) indique los intervalos donde la función es

creciente o decreciente y analice si la función es acotada.

42) Representa gráficamente las siguientes funciones reales como transformaciones de

la función f(x) = x2

a) f1(x) = x2 -1 b) f2 (x) = -x2 +2

43) Para las funciones del ejercicio anterior, indica:

a) Ceros y vértice. b) Intervalos de crecimiento. c) Intervalos de positividad. d) Intersecciones con los ejes coordenados.

Expresión general de una función cuadrática

Si tuviéramos una función cuadrática real cuya expresión fuera y = (x – 1)2, no resultaría

difícil pensar que es una función cuya gráfica se puede relacionar con una transformación

de y = x2, cuya gráfica es la parábola correspondiente a y = x2 pero desplazada

horizontalmente una unidad hacia la derecha. Considerando esto, la parábola tiene su

vértice en el punto V(0; 1)

Si se desarrolla el cuadrado de la primera función se obtendría la expresión en forma

polinómica: y = (x-1)2 = x2 – 2x + 1

52

UTN- FRM- Unidad VI

Ejemplos 1) Dada y = 2x2+ 12x + 18, determina la posición del vértice que representa a la

función.

Si se quisiera ver a qué transformación de y = x2 corresponde, se tiene que llevar a

factorizar como un binomio al cuadrado y para esto se trabaja con los coeficientes a, b y c

de la función. En el ejemplo, lo primero es sacar primero factor común: y = 2(x2 + 6x +9)

y luego expresar el paréntesis como un cuadrado : y = 2(x-3)2 .

2) Si se tiene la función y = x2- 8x +18. Los coeficientes son: a = ......., b = ....... y

c=........... Para observar la transformación respecto de y = x2 se tiene que buscar una

expresión que corresponda al cuadrado de una suma o diferencia, como el 3º término no

es un cuadrado exacto se puede proceder de la siguiente manera:

2 2 2

18

2

y x - 8x 18 y x - 8x (16 2) (x - 8x 16) 2

( 4) 2y x

¿Cuál es el vértice de esta parábola?

Entonces se podría observar que esta

función es un desplazamiento a la izquierda

de x2 en 3 unidades y una expansión

vertical de coeficiente 2.

El vértice está en V(.....;.....)

Esta expresión permite decir que

esta nueva función es una

transformación de y = x2 que

presenta un desplazamiento

horizontal de 4 unidades hacia la

derecha y un desplazamiento

vertical de 2 unidades hacia

arriba.

53

UTN- FRM- Unidad VI

Podemos decir entonces que toda función cuadrática de forma y = ax2+ bx +c se puede

expresar de la siguiente forma:

y = a (x - h)2 + k forma canónica

Donde h representa el desplazamiento horizontal; k representa el desplazamiento vertical.

El vértice de la parábola que es la representación de esta función está en:

V

a2

bf;

a2

b

Ceros de una función cuadrática: ecuaciones de Segundo Grado.

Supongamos que nos enfrentamos a una situación como la que mostramos en el

siguiente ejemplo:

Problema:

“Matías es el encargado de diagramar una revista. Le han pedido que el largo sea 8 cm

mayor que el ancho y que la superficie de cada página sea de 1140 cm2.¿cuáles deben ser

las dimensiones de cada página para que se cumplan las dos condiciones?”

Para encontrar la respuesta a este problema se debe plantear la ecuación:

x(x +8) = 1140

por lo tanto para encontrar el valor de x (ancho de la página) se multiplica en el 1º

miembro para obtener:

x2 + 8x = 1140

igualando a cero: x2 + 8x – 1140 = 0 ecuación cuadrática asociada

a la función cuadrática

Observa que la respuesta que se busca son los ceros de la función y=x2+8x–1140. Pero

¿cómo se resuelve esta ecuación? Se resuelve mediante la siguiente expresión

(demostración en el anexo)

Resolvente

a

acbbx

2

42

2,1

54

UTN- FRM- Unidad VI

51

321

x 1

1

322

x

A esta fórmula se la denomina fórmula resolvente y se la utiliza para resolver una

ecuación cuadrática completa. Si el radicando (o discriminante) de esta expresión es un

nº negativo, se dice que la ecuación no tiene solución en el conjunto de los nº reales.

Según sean los valores de x obtenidos se pueden tener distintas situaciones.

Los elementos de la parábola hallados en forma gráfica, pueden obtenerse en forma

analítica, como acabamos de ver y son siempre función de los valores de los coeficientes

de la función cuadrática, es decir, a, b y c.

En este caso, el cálculo lo haremos para la función y = 1/2 x2 - 2 x – 2,5

donde: a = 1/2 ; b = -2 ; c = -2,5

Calculemos las raíces x1 y x2 de la ecuación de segundo grado y para ello se utiliza la

fórmula del resolvente hallada anteriormente:

Resolvente

22

1,2

2 2 4 (1/ 2) 2,54 2 4 5 2 3

2 2 (1/ 2) 1 1

b b acx

a

a

acbbx

2

42

2,1

x1 y x2 R x1 y x2 R

x1 x2 x1 y x2` R

x1 = x2

55

UTN- FRM- Unidad VI

acb 42

Que coinciden con los valores hallados gráficamente.

Análisis de las soluciones de una ecuación de segundo grado

En la fórmula de las raíces se considera especialmente la expresión que se encuentra

dentro de la raíz cuadrada, y se la identifica como discriminante Δ:

Si Δ > 0, es decir positivo, existirán dos raíces reales y distintas x1 y x2, por lo tanto habrá

dos puntos de intersección con el eje x.

Si Δ = 0, existirán dos raíces reales e iguales x1 = x2, por lo tanto habrá un solo punto de

intersección con el eje x.

Si Δ < 0, es decir negativo, existirán dos raíces imaginarias distintas, y no habrá

intersección con el eje x.

Cálculo de las coordenadas del vértice xv e yv

a

bxv

2

2

4v

by c

a

56

UTN- FRM- Unidad VI

22

122

2

v

bx

a

2( 2)

2,5 2 2,5 4,51

42

vy

Que coinciden con los valores hallados gráficamente.

Ejemplo

Un niño arroja una piedra hacia arriba con una velocidad de 29,4 m/s. Su compañerito que vive en un departamento en el quinto piso (20 metros) ve pasar la piedra dos veces. a) ¿En qué instantes pasa por su vista la piedra? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?

a) La ecuación de distancia (en este caso altura h) en función del tiempo para tiro vertical y caída libre (movimientos rectilíneos uniformemente variados) son según la Física:

22

100 tgtvhh

Para nuestro caso: h0 = 0 v0 = 29,4 m/s g = - 9,8 m/s2 (negativa por ser contraria a v0) Con lo que la ecuación queda:

22

1 8,94,29 tth

Si queremos averiguar el tiempo para h = 20 metros

0204,299,4 2 tt

Donde a = -4,9; b = 29,4; c = -20. Por lo tanto sus raíces t1 y t2 serán:

8,9

73,214,29

8,9

36,4724,29

)9,4(2

20)9,4(44,294,29

2

422

2,1a

acbbt

segt

segt

21,5

78,0

2

1

b) Para averiguar la altura máxima usamos la fórmula de la coordenada yv del vértice

para h=0

57

UTN- FRM- Unidad VI

b 3x-2 c

a 2x-2 d

A D

2x + 4

2 229,444,1

4 4 ( 4,9)v

by c m

a

Realiza los siguientes ejercicios

44) Halla los posibles valores de m para que se cumpla la condición pedida en cada caso:

a) x2 + mx +3 = 0 tiene una raíz doble. b) 2x2 - x - m = 0 no tiene raíces reales. c) el gráfico de las funciones de forma f(x) = mx2 – x –1 = 0 intersecta al eje de

abscisas en dos puntos. d) el gráfico de las funciones de forma f(x) = -x2 - mx - 5 = 0 tiene contacto con

el eje de las x, pero no lo atraviesa. e) la ecuación x2 + m = 0 tiene solución en R.

45) Halla, si existen, los ceros de las siguientes funciones reales cuadráticas:

a) f1(x) = (x-3)2 - 9 b) f2(x) = 4x2 – 5x c) f5(x) = -4x2 +4x – 1

46) Halla los números enteros que verifiquen la condición pedida en cada uno de los

siguientes casos.

a) la diferencia entre el cuadrado de su triple y el cuadrado de su doble es 125 b) el producto entre su consecutivo y su antecesor es 399 c) la suma del cuadrado de un número y el cuadrado del duplo del consecutivo.

47) Calcula el perímetro del siguiente trapecio abcd de área igual a 34.

48) Calcula la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas

partes de la altura y que el área es 48.

58

UTN- FRM- Unidad VI

49) Sea f una función real tal que f(x) = ax2 + bx + c con a 0. Indica si son

verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

a) El gráfico de f es simétrico respecto de una recta vertical. b) Si el coeficiente a es mayor que cero entonces la parábola tiene sus ramas

hacia arriba. c) Si el coeficiente a es menor que cero entonces la parábola tiene sus ramas hacia

abajo. d) Si b2 – 4ac es mayor que cero entonces el gráfico de f corta al eje de abscisas

en dos puntos. e) Si b2 – 4ac es igual a cero entonces el gráfico de f es tangente al eje de las

abscisas y el punto de tangencia coincide con el vértice. f) Si b2 – 4ac es menor que cero entonces el gráfico no corta al eje x.

Forma factorizada de la función cuadrática

Si consideramos la función real f(x) = 4(x-2)(x-3), los ceros de esta función son x1=2 y

x2=3. Si en la expresión de f aplicamos propiedad distributiva, se obtiene la función

cuadrática f(x) = 4(x-2)(x-3) = 4x2-20x+24. Aplicando la fórmula del resolvente se puede

verificar que x1=2 y x2=3 son sus ceros.

Este ejemplo nos permite ver que el polinomio asociado a una función de segundo grado,

puede factorizarse utilizando sus ceros.

Por lo tanto podemos decir que una función cuadrática de forma f(x) = ax2+ bx + c,

donde el polinomio asociado tiene raíces reales x1 y x2 se puede expresar en forma

factorizada de la siguiente manera:

Ejemplo

La función f(x) = 4x2 + -16x –48 tiene como ceros x1 = 6 y x2 = -2., que se obtienen

resolviendo la ecuación cuadrática 4x2 + -16x –48 = 0.

Podemos expresar a la función f(x) en forma factorizada escribiendo

f(x) = 4(x-6)(x+2)

f(x) =a(x-x1)(x-x2) forma factorizada

59

UTN- FRM- Unidad VI

a

bxx )( 21 a

cxx )( 21

Realiza el siguiente ejercicio

50) En aquellos casos en que la función real cuadrática no esté factorizada, exprésela

en forma factorizada.

a) f1(x) = x(3x+1)-1/4 b) f2(x) = 6(x-1)2 c) f4(x) = -2x2-7x –3 d) f5(x) = (x+2)2 e) f7(x) = -4x2

Reconstrucción de Ecuaciones de segundo grado

Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la función polinómica, poseen dos

propiedades muy importantes, que nos permiten escribir la ecuación: (la demostración se

omite)

Si reemplazamos en la expresión de una ecuación cuadrática reducida cuyo polinomio es

mónico, se obtiene:

Fórmula que permite reconstruir una ecuación conociendo los valores de las raíces x1 y x2.

Ejemplo:

Reconstruye la ecuación cuadrática cuyas raíces son x1 = 2 y x2 = -3.

1 2

1 2

(2 3) ( 1) 1

2( 3) 6

x x

x x

aplicando la expresión: 2 1 6 0x x es la ecuación.

0)()( 2121

2 xxxxxx

60

UTN- FRM- Unidad VI

PARTE II

FUNCIÓN EXPONENCIAL Pensemos en la siguiente situación problemática: Una población de bacterias está en un medio tal que se reproduce duplicándose cada hora. En el momento en que comenzamos su observación existían 5000 bacterias, al cabo de una hora 10000, a las dos horas 20000, a las tres horas 40000 y así sucesivamente. Suponiendo la reproducción en forma continua ¿podrá predecirse la cantidad de bacterias en cada momento?. ¿Habrá una ley que las interprete? Graficamos: Eje x: tiempo en horas Eje y: cantidad de bacterias en miles

x y

0 5000

1 10000

2 20000

3 40000

¿Cuántas bacterias había 1, 2, 3 horas antes?

x y

0 5000 -1 2500 -2 1250 -3 625

Calculamos algunos valores:

61

UTN- FRM- Unidad VI

t = 0 f(0) = 5000

t = 1 f(1) = 5000 . 2

t =2 f(2) = 5000 . 2 . 2

t = n f(n) = 5000 . 2n

Donde f(n) es la expresión general

La expresión cuya representación gráfica coincide con la anterior se denomina función exponencial, con Dominio y conjunto de llegada los números reales, y su expresión

general es de la forma:

y = ax

Tengamos en cuenta algunas consideraciones acerca de los valores que puede tomar la base a:

1) a = 0

Si a = 0 entonces podría suceder que en algún momento para ax obtuviéramos el valor:

00 ¡indeterminación!

O bien el valor:

0-1 = 0

1 !!

Por lo que concluimos que la función no estaría definida cuando 0x

2) a < 0

Ejemplo: si a = -2

x y = (-2)x

2 (-2)2 = 4

3 (-2)3 = -8

3/2

32 !! No tiene solución Real

Por lo que concluimos que no es posible que a tome valores menores que cero.

3) a = 1

62

UTN- FRM- Unidad VI

Si a = 1 la función toma la forma y = 1x , cuya gráfica es una recta de ecuación y = 1 .

Por lo que concluimos que la ecuación obtenida no responde a las características de la

función exponencial.

Luego “a” podrá tomar sólo valores mayores que cero y distintos de uno.

Formalizando nuestras ideas decimos que una función exponencial a la función real

cuya expresión general es de la forma:

Donde:

a es una constante tal que sea positiva, distinta de cero y distinta de uno.

a IR+ a ≠ 1

x en esas condiciones puede tomar cualquier valor real, x IR

Definición:

Se llama función exponencial a la función real:

x

a IR - 1 f:IR R / f(x) a

x IRI

VARIACIONES DE LOS ELEMENTOS

1. Variaciones de a

El comportamiento de la función exponencial es diferente según sea:

1a ó 1a0

Se observa que:

Todas ellas tienen un punto común que es el (0 ; 1) Cuando a > 1 la función es creciente Cuando 0 < a < 1 la función es decreciente Entre los exponentes de base recíproca hay simetría axial de eje x = 0. En general:

xay

63

UTN- FRM- Unidad VI

y = ax es simétrica de y = xa

1

Si se observa en la gráfica:

y = 2x es simétrica de y = x2

1

2. Variaciones de k – Expansiones – Contracciones - Reflexiones cuando la función

exponencial es de la forma y = k . ax

Si se mantiene constante el valor de a se observa qué sucede cuando varía k, siendo k una constante que multiplica a la función exponencial.

Se observa que:

La ordenada al origen coincide con el valor de k. Si k > 1 se produce una expansión de la función.

Por ejemplo:

y = 2x comparada con y = 4 . 2x

Si k <1 se produce una contracción de la función.

Por ejemplo:

y = 2x comparada con y = 0,5 . 2x

64

UTN- FRM- Unidad VI

Para valores de k opuestos las funciones resultan con simetría axial de eje y=0. Se ha producido una reflexión sobre el eje x.

Por ejemplo:

y = 2x comparada con y = - 2x

y = 0,5 . 2x comparada con y = -0,5 . 2x

y = 4 . 2x con y = -4 . 2x

Como se ve las curvas resultan simétricas respecto del eje de abscisas.

3. Desplazamientos de la Función Exponencial

Ahora se estudiarán los desplazamientos de la función exponencial

Desplazamiento Horizontal :

f(x) = ax – b,

donde b indica el corrimiento según el eje x

65

UTN- FRM- Unidad VI

f(x) = ax – b b Corrimiento

f(x) = 2X 0 No hay

f(x) = 2X+1 -1 1 hacia izquierda

f(x) = 2X-1 1 1 hacia derecha

Desplazamiento Vertical:

f(x) = ax + c c IR , donde c indica el corrimiento sobre el eje y

f(x) = ax + c c Corrimiento

Asíntota horizontal

f(x) = 2x 0 No hay y = 0

f(x) = 2x + 1 1 1 hacia arriba y = 1

f(x) = 2x - 1 -1 1 hacia abajo y = -1

1. EXPRESIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL QUE PASA POR DOS PUNTOS

Determinemos la expresión de la función exponencial que pasa por los siguientes

puntos, para ello hallaremos su base y su coeficiente. Verifica.

a)

3

2 ; 1P1 y 162 ; 4P2

Puesto que los dos puntos satisfacen la ecuación de la función exponencial reemplazamos sus coordenadas en la misma, y obtenemos un sistema de dos

66

UTN- FRM- Unidad VI

ecuaciones con dos incógnitas: a y k que podemos resolver, por ejemplo, por método

de igualación

y = k . ax y = k . ax

1

3

2 ak (1) 162 = k . a4 (2)

k = a.3

2 k =

4

162

a

4

162.3

2

a

a

2

3.1624. aa

3.815 a

a = 5 243

a = 3

Puesto que k = a.3

2 , el valor de k es: k = 3.

3

2= 2

k = 2

La función exponencial que pasa por los puntos dados es:

y = 2 . 3x

Para verificar, se reemplaza el valor de x en la función obtenida y se corrobora si se

obtiene el correspondiente valor de y, según los puntos dados:

P1 = (-1; ?) y = 2 . 3-1 = 2 . 3

1 =

3

2 luego cumple que la ordenada para el punto P1

es 3

2

P2 = ( 4; ? ) y = 2 . 34 = 2 . 81 = 162 luego cumple que la ordenada para el punto P2

es 162

67

UTN- FRM- Unidad VI

Realiza los siguientes ejercicios

51) Dada la función real exponencial f(x) = k . ax responde:

a) ¿Cuál es el Dominio? b) ¿La variable se encuentra en la base o en el exponente? c) ¿Cuál condición debe cumplir a para que el dominio sea el conjunto de los

números reales? d) ¿Para qué valores de x la función exponencial cruza al eje de las abscisas? e) ¿Puede ser k = 0? f) ¿Puede ser a = 1? g) ¿Cómo se denomina k?

52) Indica cuáles de las siguientes expresiones definen funciones exponenciales o no, aplicando la definición:

3xxf xexg xxh 1 xxj 5

xxxi 2 xxl 2 xxm 2 xxn 2/1

53) Determina si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas.

a) 1nn aa.a

b) n2nn aa.a

c) p

qqp aa

/

d) 1nn aa:a

e) nn a/13

f) nnn aa 2)(

54) Analiza dominio, imagen, paridad, ceros, ordenada al origen, asíntotas, crecimiento, decrecimiento, bases recíprocas y simetría de las siguientes funciones exponenciales.

Grafica en el mismo plano.

a) xy 2 para

0k

1a

b)

x

y

2

1 para

0

10

k

a

68

UTN- FRM- Unidad VI

c) x2y para

0k

1a

d) x

2

1y

para

0

10

k

a

55) Analiza si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas.

a) Si trasladamos f(x) = 2x dos unidades hacia la izquierda obtenemos g(x) = 2(x-2) b) Si trasladamos f(x) = 3x dos unidades hacia arriba obtenemos g(x) = 3(x+2) c) Si trasladamos f(x) = 3x dos unidades hacia la derecha obtenemos g(x) = 3x/32 d) g(x) = 3(x-1) es el resultado de trasladar f(x) = 3x una unidad hacia la derecha e) g(x) = ex -1 es el resultado de trasladar f(x) = ex e unidades hacia la izquierda f) Las funciones g(x) = ex y h(x) = -ex son simétricas respecto al eje x

56) Analiza los desplazamientos de las siguientes funciones. Grafica.

a) 1x2)x(f b)

1x2)x(f

c) 1e)x(f x d) 1e)x(f x

57) Para cada una de las siguientes funciones, analiza dominio, imagen, intersección con el eje de ordenadas, intervalos de positividad y negatividad, crecimiento y decrecimiento de cada una.

a) y = -3 e-x b) y = 2-x -2

58) Halla la fórmula de una función exponencial que cumpla con las condiciones requeridas en cada caso:

a) Pasa por el punto (-1;3/2) y k = 2. b) a = 0,5y corta al eje y en y = 4. c) Pasa por los puntos (-3;1/625) y (5;625).

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Definición:

Sea f una función definida de IR+ en IR, se llama función logarítmica a la función inversa

de la función exponencial

69

UTN- FRM- Unidad VI

xbxy y

b log

y se lee “logaritmo de x en base b ”, cuyo significado es “el logaritmo en base b del

número estrictamente positivo (no puede tomar el valor cero) x es el exponente y al

cual hay que elevar la base para obtener el número x ”.

Como son funciones inversas su dominio y su imagen se intercambian.

Para obtener una función logarítmica se intercambian las variables en xby , como

consecuencia, calcular un logaritmo es buscar un exponente que verifica la función

exponencial.

La asíntota horizontal se convierte en asíntota vertical.

Ejemplo:

Construiremos las gráficas que representa las funciones y=2x y su inversa y= log2 x. Se debe tener en cuenta que por ser la función logarítmica inversa de la exponencial los valores obtenidos para y (imagen de la función), en el caso de f(x) = 2x, pueden ser

tomados como elementos de dominio (elementos de x) para la función f(x) = log2 x.

Y a su vez, los elementos de dominio de la primera serán considerados imagen de la

segunda; como se muestra en las siguientes tablas reducidas:

x y = 2x x y = log2 x

-3 0.125 0.125 -3

-2 0.25 0.25 -2

-1 0.5 0.5 -1

0 1 1 0

1 2 2 1

2 4 4 2

3 8 8 3

La gráfica permite destacar que la recta y =x (función identidad) es el eje de simetría de las funciones inversas y = 2x e y = log2 x.

70

UTN- FRM- Unidad VI

Ejercicio

Utilizando la calculadora, completa, de ser posible, las tablas de valores comparativos de las funciones: y = 2x, y= log2 x e y = x, en las que se observa que la función

logarítmica no está definida para x = 0 ni para valores negativos:

x y = 2x y = log2 x y = x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Teniendo en claro las ideas precedentes se puede formalizar:

Sea f: IR+IR/

R x 0 xargumento

0b 1b R b base

0 k R k constante

x logy

bk

LOGARITMOS - CÁLCULO DE LOGARITMOS

Recordemos la definición de la función logarítmica:

y

b bxxlogy

Cuando pensamos a qué exponente tenemos que elevar la base para obtener un número determinado, estamos buscando el logaritmo en base b de ese número. Así por ejemplo:

71

UTN- FRM- Unidad VI

log1/4 64 = -3

3

4

1

= 64

La definición sirve para casos particulares, el resto se calcula mediante tablas o con una calculadora, donde aparecen dos teclas para logaritmos decimales y naturales y sus respectivas inversas. Los logaritmos naturales son los que tienen como base al número e

(irracional ya visto), llamado número de Neper.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Consecuencias de la definición de logaritmo

El logaritmo de 1 en cualquier base es 0.

1b01log 0 b

a) El logaritmo de un número igual a la base es 1.

bbb 1b1log

b) El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia.

nnb bnb nblog

c) No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. d) El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1. Por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9

e) El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base a del logaritmo es 0<a<1.

Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3)2 = 1/9

f) El logaritmo de un número N >1 es positivo si la base es a >1.

Por ejemplo, log3 9 = 2; ya que 32 = 9

g) El logaritmo de un número N >1 es negativo si la base es 0<a<1. Por ejemplo log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25

OPERACIONES CON LOGARITMOS

72

UTN- FRM- Unidad VI

a. Logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de dichos números

NMNM bbb logloglog

Se puede corroborar la validez de la propiedad a través de un ejemplo:

5328log4log)8.4(log 22

?

2

322532log 5

2

b. Logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

NMN

Mbbb logloglog

4264log64log

416log)4:64(log

22

22

c. Logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

MnM bn

b log log

6234log34log4log4log)444(log4log64log 22222

3

22

d. Logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

n

MM bn

blog

log

13

3

3

8log8log 23

2

El logaritmo de una suma o una resta no admite desarrollo

Ejemplos:

a) Expresa el logaritmo como una suma o resta de logaritmos.

Propiedad (i)

Propiedad (k)

32log vua 32 loglog vu aa

vu aa log3log2

73

UTN- FRM- Unidad VI

b) Expresa el logaritmo como una suma o resta de logaritmos.

Propiedad (j)

Propiedad (i)

Propiedad (k)

c) Expresa cada logaritmo como un logaritmo sencillo.

Propiedad (j), cancelar términos

Cambiar orden de términos

Factorizar último término

Propiedad (i)

Cambiar signos último término

RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL

La función logarítmica definida de IR+ en IR, es inyectiva, es suryectiva, entonces es

biyectiva, admite función inversa:

212b 1 b xx x log xlog por lo que la función logarítmica es inyectiva

I (f) = R la imagen de la función es el conjunto de los números reales, por lo que la función logarítmica, es suryectiva.

Luego, por ser inyectiva y suryectiva la función logarítmica es biyectiva.

2

3

2log

x

xx

])3log[(2log 2 xxx

])3log[(2loglog 2 xxx

3log22loglog xxx

1ln1

ln1

ln 2

x

x

x

x

x

1lnln1ln1lnln 2 xxxxx

1ln1ln1ln 2 xxx

11ln1ln1ln xxxx

1ln1ln1ln1ln xxxx

1ln1ln1ln1ln xxxx

1ln2 x

74

UTN- FRM- Unidad VI

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, para comprobarlo seguimos los siguientes pasos

En la función logarítmica xlogy b se intercambia x por y, obteniendo:

ylogx b

Despejando la variable y en ylogx b , se tiene xby , es decir la función exponencial

Representando en un mismo diagrama las funciones ylogx b e xby los resultados

son gráficas simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante x)x(f ,

como se pudo observar en la gráfica anterior.

VARIACIONES DE LOS ELEMENTOS

1. Variaciones de b

Se pueden observar algunas características de las funciones logarítmicas y exponenciales a través del siguiente gráfico:

Si b > 1 entonces y = bx es creciente, luego y = logb x también es creciente.

Ejemplo: y = 2x con y = log2 x

Estas funciones poseen simetría respecto del eje x = y por ser funciones inversas.

Si 0 < b < 1 entonces y = bx es decreciente, luego y = logb x también es decreciente.

Ejemplo: y = (1/2)x con y = log1/2 x

Estas funciones poseen simetría respecto del eje x = y por ser funciones inversas.

Todas las funciones logarítmicas intersecan al eje de abscisas “x” en (1;0)

Ejemplo: y = log2 x con y = log1/2 x

Las funciones que tienen sus bases recíprocas poseen simetría respecto del eje y = 0 (eje x).

Ejemplo: y = log2 x e y = log1/2 x

75

UTN- FRM- Unidad VI

2. Variaciones de k – Expansiones – Contracciones - Reflexiones

Si se mantiene constante el valor de b se puede observar qué sucede cuando varía k (constante que multiplica a la función logarítmica)

Se observa que:

Todas las funciones logarítmicas tienen igual cero o raíz (1;0). Si k > 1 se produce una expansión de la función.

Ejemplo: y = log2 x con y = 2 . log2 x

Si k <1 se produce una contracción de la función.

Ejemplo: y = log2 x con y = 0,5 . log2 x

Para valores de k opuestos las funciones resultan con simetría axial de eje y=0. Se ha producido una reflexión sobre el eje x.

Ejemplos:

y = log2 x con y = - log2 x

y = 2 . log2 x con y = -2 . log2 x

y = 0,5 . log2 x con y = -0,5 . log2 x

y = log2

x

y = log1/2

x

76

UTN- FRM- Unidad VI

Como se ve las curvas resultan simétricas respecto del eje de abscisas.

3. Desplazamientos de la Función Logarítmica

Corrimiento Horizontal Se observa lo que ocurre cuando se modifica la variable independiente en un cierto valor a

1log

1log

log

xy

xy

axy b

para 1b

0a

; para

1b

0a

f (x) = logb (x – a) a Corrimiento Asíntota Vertical

f(x) = log2x 0 No hay x = 0

f(x) = log2(x + 1) -1 1 a izquierda x = -1

f(x) = log2(x - 1) 1 1 a derecha x = 1

y = 2 .

log2 x

y = log2

x

y = 0,5 .

log2 x

y = -2 .

log2 x

y = - log2

x

y = -0,5 .

log2 x

77

UTN- FRM- Unidad VI

Desplazamiento Vertical: Se observa que se puede agregar, al corrimiento horizontal, un corrimiento

vertical incorporando a la expresión anterior el valor de c

31log

21log

log

xy

xy

caxy b

y = log2 (x + 1)

y = log2 (x - 1)

y = log2 x

y= log2x

y= log2(x +1) + 2

y= log2(x -1) -3

78

UTN- FRM- Unidad VI

f (x)= logb (x – a) + c c Corrimiento Asíntota Vertical

f(x) = log2x 0 No hay x = 0

f(x) = log2(x + 1) + 2 +2 2 arriba x = -1

f(x) = log2(x - 1) - 3 -3 3 abajo x = 1

Dominio Natural de una función es encontrar un subconjunto de los números reales en el cual la función está definida.

1

1log)(

x

xxf

Sabemos que la función logarítmica está definida para valores de x R luego el numerador del argumento, no puede tomar el valor 1.

Además el denominador, del argumento, tampoco puede tomar el valor “-1”, porque generaría una indeterminación.

Para los valores de x = 1 y x = -1 la función tiene asíntotas verticales.

Para valores de x < -1 tanto el numerador como el denominador, del argumento, resultan negativos. Luego, aplicando la regla de los signos dicho argumento es positivo y la función logarítmica está definida!!!

Para valores de x>1, tanto el numerador como el denominador, del argumento, son

positivos y no hay inconveniente para el cálculo de la función logarítmica.

En consecuencia el dominio de la función propuesta es: );1()1;(

Con respecto a los ceros, ningún valor de x anula la función luego no existe corte con el eje x.

Podemos interpretar gráficamente, la función propuesta, y corroborar nuestras

conclusiones:

79

UTN- FRM- Unidad VI

Realiza los siguientes ejercicios

59) Grafica las siguientes funciones logarítmicas definidas de IR+ en R:

a) f(x) = log1/3 x b) g(x) = log1/2 x c) h(x) = log3 x d) l(x) = log2 x e) m(x) = log5 x

60) Teniendo en cuenta las gráficas realizadas en el ejercicio anterior, completa:

a) Cortan al eje de abscisas en el punto P( ; ) b) No cortan al eje ….. c) El conjunto imagen es ……. d) Si la base es mayor que 1, la función es …….. e) Si la base es menor que uno la función es …….. f) Las curvas correspondientes a funciones de bases recíprocas son …….

61) Analiza si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas. Justifica:

a) Si trasladamos f(x) = log3 x dos unidades hacia la izquierda obtenemos

g(x) = log3 (x – 2)

b) Si trasladamos f(x) = log3 x dos unidades hacia arriba obtenemos g(x) = log3 (x + 2)

c) g(x) = log3 x – 1 es el resultado de trasladar f(x) = log3 x dos unidades hacia la

izquierda.

d) g(x) = ln (x + e) es el resultado de trasladar f(x) = ln x e unidades hacia la

izquierda

e) Las funciones f(x) = ln x y g(x) = -ln x son simétricas respecto al eje x.

62) Para los casos:

a) y = -log x + 1 b) y = 2 log (x – 10) + 1

Determina el dominio de cada una de ellas para que sean funciones, imagen, ceros, intersección con el eje de ordenadas, intervalos de positividad y negatividad,

crecimiento y decrecimiento de cada una.

80

UTN- FRM- Unidad VI

63) Halla la expresión de una función logarítmica del tipo f(x) = log (x – a), es decir de

base 10, cuya asíntota sea:

a) La recta de ecuación x = 0,5 b) La recta de ecuación x = 0,8

64) Determina el dominio “natural” de las siguientes funciones:

a) f(x) = - ln x b) g(x) = log5 (x – 2) c) h(x) = log5 (x – e) d) l(x) = log │x - 2│ e) m(x) = log [(x – 2)/(x + 1)]

BASES EMPLEADAS PARA LOS LOGARITMOS

..2,71828...econ lnlog:)( log

loglog :10) (base log 10

xxebasenaturalesaritmos

xxdecimalesaritmos

e

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es un número irracional

comprendido entre 2 y 3.

Se utilizan las expresiones dadas sin indicar la base (log y ln ), excepto que

expresamente se indique otra base (distinta de 10 y e), por ejemplo:

y = log2 x , y = log3 x , etc..

CAMBIO DE BASE Supongamos que queremos averiguar el log3 243 utilizando una calculadora científica que no tenga para calcular con otras bases que no sea 10 y e. Podemos proceder así:

Según la definición de logaritmo, log3 243 = y 3y = 243

Aplicamos logaritmo decimal a ambos miembros: log 3y = log 243

Aplicamos la propiedad para el exponente: y . log 3 = log 243

Despejamos y : 53log

243logy

Este procedimiento se llama cambio de base, y nos permite cambiar la base b de un logaritmo por otra más conveniente (hemos elegido base 10, pero podríamos haber elegido cualquier otra).

81

UTN- FRM- Unidad VI

Si llamamos a a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente fórmula

M 0loglog para

a,b 1log

ab

a

MM

Rb

Si se pasa de una base b a la base de los logaritmos naturales o neperianos, será:

M 0lnlog para

b 1lnb

MM

Rb

Así podemos obtener con calculadora científica el logaritmo de cualquier número en cualquier base. Ejemplos:

28

2

2,8374696...

7

7

log 64 1,80618...log 64 6

log 28 0,30103...

ln 64 4,1588831...log 64 6

ln 2 0,6931471...

log 250 2,39794...log 250 2,8374696... 7 250

log 7 0,845098...

ln 250 5.52146...log 250 2.8374696

ln 7 1.94591...

...

Realiza lo siguientes ejercicios. 65) Sea f: R+→R/f(x) = log2 x completa:

a) log2 1 = 0 porque 20 = 1

b) log2 2 = 1 porque ………….

c) log2 1/8 = porque ………….

d) log2 √2 = porque ………….

e) log2 3√2 = porque ………….

66) Sea f: R+→R/f(x) = log1/2 x completa:

a) log1/2 1 = 0 porque ……………..

82

UTN- FRM- Unidad VI

b) log1/2 1/2 = porque ……………..

c) log1/2 2 = porque ……………..

d) log1/2 √2 = porque ……………..

e) log1/2 4 = porque ……………..

67) Calcula utilizando la definición

a) logc c

b) 1log 9,0

c) 100log10

d) 128log 2

e) 000.10log10

f) 001.0log10

68) Resuelve aplicando logaritmos y verifica con calculadora en forma directa:

17,12096

970816,32548)

32,13

6276,4552,34)

54534,30489,025,1)

c

b

a

481911

1515449)

12456129,027)

49,1296)

23

3

21

f

e

d

69) Halla los siguientes logaritmos aplicando propiedades

a) 40log25log

b) 10log40log 22

c) 6log18log 33

e) 710 lnln ee

70) Desarrolla aplicando propiedades de logaritmos

2

3

3

)(log)

log)

zx

yxb

z

yxa

23

3

2

)(

2log)

1

)1(ln)

yx

yxe

x

xd

71) Agrupa en un solo logaritmo (aplica propiedad inversa de logaritmos)

83

UTN- FRM- Unidad VI

)6ln5(ln3

17ln

3

16ln)

)log(3

2log3log2)

)2log(2

3log

3

1)

c

babab

xxa

3. ECUACIONES EXPONENCIALES

Se llaman ecuaciones exponenciales a las ecuaciones en las que en algún miembro aparece una expresión exponencial -potencia de base constante (número) y exponente variable (x, y, etc)-. Son aquellas en las que la incógnita aparece en un exponente o en más de uno. Para resolverlas debemos aplicar las propiedades de la potenciación (sin

olvidar que 0 a y )1a ).

Por ejemplo: 205 1 x

Inicialmente, como en cualquier ecuación, se trata de encontrar algún valor de x que cumpla la igualdad.

4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA

1. Si es posible se expresan ambos miembros como potencia de una misma

base.

2. Si la ecuación tiene sumas y restas de potencias de una misma base se

extrae factor común xa .

3. Si no es posible ninguno de los casos anteriores, aplicamos logaritmos

decimales o naturales en ambos miembros.

4. Si alguna expresión aparece repetida resulta conveniente hacer un cambio de variable quedando generalmente una ecuación cuadrática.

5. En todos los casos se verifica la ecuación con el valor de la incógnita obtenido (conjunto solución).

Ejemplos:

84

UTN- FRM- Unidad VI

Expresando ambos miembros como potencias de la misma base

3

27

139

xx

333

323

xxse expresan ambos miembros como potencias de la

misma base

)3(3363 xx potencia de potencia, los exponentes se multiplican

93363 xx por ser las base iguales los exponentes también lo son

-6 x = -3x – 9 -3x = -9 x = 3 S = { 3 }

Verificamos reemplazando el valor de x hallado en la ecuación dato

33

27

13.39

9-9 = ( 3-3)6

(32)- 9 = 3- 18

3- 18 = 3- 18

Se verifica la identidad, luego el valor hallado para x es el correcto.

Extrayendo factor común

5x + 2 – 105 . 5 x – 1 = 100

5x . 52 – 105 . 5x . 5-1 = 100 aplicamos propiedades de la potencia

5x ( 52 – 105 . 5-1) = 100 sacamos factor común 5x

5x ( 25 – 21) = 100

5x = 254

100

85

UTN- FRM- Unidad VI

5x = 52 por ser las base iguales los exponentes también lo son

x = 2

S = { 2 }

Verificamos reemplazando el valor de x hallado en la ecuación dato

52 + 2 – 105 . 5 2 – 1 = 100

54 – 105 . 5 = 100

625 – 525 = 100

100 = 100

Se verifica la identidad, luego el valor hallado para x es el correcto.

Aplicando logaritmo a ambos miembros

2x = 5

log 2x = log 5 aplicamos logaritmo decimal a ambos miembros

x. log 2 = log 5

x = 32193.22log

5log

S = { 32193.2 }

Verificamos reemplazando el valor de x hallado en la ecuación dato 22,32193 = 5 5 = 5 Se verifica la identidad, luego el valor hallado para x es el correcto. Mediante cambio de variables

4x – 2x + 1 – 8 = 0

(22)x – 2x . 21 – 8 = 0

86

UTN- FRM- Unidad VI

(2x)2 – 2 . 2x – 8 = 0

z2 – 2 z – 8 = 0 Sustituimos z = 2x y obtenemos una ecuación cuadrática en z

z1,2 = 2

62

2

362

2

)8.(1.442

z1 = 4 y z2 = -2 Reemplazamos en la sustitución cada valor de z y despejamos, si es posible, el valor de x Si: z1 = 4 Si: z2 = -2 2x = 4 2x = -2 2x = 22 log 2x = log (–2) !! no es posible hallar el valor de x x = 2 Luego, la única solución es x = 2 Verificamos reemplazando el valor de x hallado en la ecuación dato 4x – 2x + 1 – 8 = 0 42 – 22 + 1 – 8 = 0 16 – 8 – 8 = 0 0 = 0 Se verifica la identidad, luego el valor hallado para x es el correcto. Realiza los siguientes ejercicios

72) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales

a) 33 )27/1(9 xx

b) 33 72 x

c) 11 43 xx

d) 10051055 12 xx

e) 19 322

xx

f) 03329 xx

g) xx 342 25)5/1(5

h) 2 xx ee

j) xx x 2212 21684

2

87

UTN- FRM- Unidad VI

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Son aquellas en las cuales la incógnita aparece en el argumento de un logaritmo o en

más de uno.

3xlog16xlog

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el

neperiano, y normalmente la misma base en toda la ecuación.

Para resolverlas, aplicamos la definición y propiedades de los logaritmos, obteniendo el

conjunto solución.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA

a) Si es posible, para despejar la incógnita contenida en el argumento, se aplica la definición de logaritmo.

b) Si los logaritmos tienen distinta base aplicamos el cambio de base. c) Si la ecuación tiene sumas y restas de logaritmos aplicamos las propiedades de

producto y cociente (propiedad inversa). d) Si la ecuación tiene sumas y restas de logaritmos y el segundo miembro está

igualado a cero, igualamos los dos logaritmos teniendo en cuenta que los logaritmos de igual base son iguales si sus argumentos lo son.

e) En todos los casos se verifica la ecuación original con el o los valores de la incógnita obtenida (conjunto solución), descartando aquellos valores que den un argumento menor o igual que cero.

Ejemplo:

a) 3loglog 22 xx

03log2log2 xx

Efectuamos un cambio de variables en el que: log x = z , luego: 2 2 3 0z z

3c

2b

1a

2

42

2

)3.(442z

1

3

2

1

z

z

z1 = log x -3 = log x , por lo que aplicando la definición de logaritmo 10-3 = x 0.001 = x1

88

UTN- FRM- Unidad VI

z2 = log x -1 = log x , por lo que aplicando la definición de logaritmo 101 = x 10 = x2

S = { 0.001 ; 10 } Verificamos los valores de x obtenidos:

Para x1 = 0.001 log 0.0012 + (log 0.001)2 = 3 log 0.000001 +( log 0.001)2 = 3 -6 + (-3)2 = 3 -6 + 9 = 3 3 = 3

Para x2 = 10 log102 +( log 10)2 = 3 log 100 + (log 10) 2 = 3 2 + 1 = 3 3 = 3 Luego los valore hallados para x son correctos.

b) 7logloglog 1642 xxx

Aplicamos el cambio de base de: logaritmo en base 16 y logaritmo en base 4 a logaritmo en base 2.

2

log

4log

loglog 2

2

24

xxx

4

log

16log

loglog 2

2

216

xxx

7log4

12log

2

1log7logloglog 221642 xxxxxx

1647

28log7log

4

722 xxx

Verificamos el valor de x obtenido:

89

UTN- FRM- Unidad VI

716log16log16log 1642 Aplicamos la definición de logaritmo

4 + 2 + 1 = 7 7 = 7 Luego, el valor obtenido para x es correcto.

c) 11log87log 22

2 xxx

Como la ecuación tiene una resta de logaritmos, aplicamos la propiedad de cociente

11

87log

2

2

x

xx

Ahora aplicamos la definición de logaritmo

xxxx

xx

x

xx

1287

1

872

1

872 2

221

2

15

2

2425506501287 22

xxxxxx

2x

3

2

1x

Verificamos los valores de x obtenidos

x1 = 3

131log83.73log 22

2

12log)4(log 22

Pero...la función logarítmica no está definida para valores negativos, luego 3 no es solución de la ecuación.

x2 = 2

121log82.72log 22

2

11log2log 22

Pero...la función logarítmica no está definida para valores negativos, luego 2 no es solución de la ecuación.

Luego la ecuación no tiene solución.

90

UTN- FRM- Unidad VI

"En algunas ecuaciones logarítmicas podemos obtener soluciones numéricas que no son válidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación inicial para decidir sobre su validez"

Veamos un ejemplo más:

Si la ecuación tiene sumas y restas de logaritmos y el segundo miembro está igualado a cero, igualamos los dos logaritmos teniendo en cuenta que los logaritmos de igual base

son iguales si sus argumentos lo son iguales.

d) 012log6log xx

12log6log xx

para que esta ecuación sea cierta

6 2 1 7x x x

Realiza los siguientes ejercicios

73) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas

a) 2)4(log)4(log 22 xx

b) 4)(log2log2 2

2

2 xx

c) 1)1(log)87(log 2

2

2 xxx

d) 7log)1(log)1(log 555 xx

e) 3

14xlnxln 2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICANDO FUNCIONES EXPONENCIALES

Su aplicación es de fundamental importancia para la ciencia en el campo de la biología, economía, química, física, etc.

En los modelos que permiten la formulación de un problema del mundo real en

términos matemáticos, aparecen funciones de crecimiento o decrecimiento exponencial

91

UTN- FRM- Unidad VI

Ello es debido a que tienen la propiedad que “a intervalos iguales de la variable independiente se obtienen porcentajes iguales de crecimiento o decrecimiento de la

función”

Diversos ejemplos de fenómenos naturales que pueden ser modelados mediante estas

funciones son:

a) Crecimiento exponencial de poblaciones de seres vivos. b) Crecimiento amortiguado de poblaciones de seres vivos. c) Crecimiento exponencial demográfico. d) Predicción del tamaño de una población. e) Comparación de los efectos de diferentes tasas de crecimiento de población. f) Determinación de la población inicial. g) Descripción de la desintegración de sustancias radioactivas en Física y Química. h) Crecimiento frenado de poblaciones de seres vivos (función logística). i) Eliminación de medicamentos. j) Interés compuesto. k) Interés compuesto continuo. l) Depreciación de un bien. m) Ley de enfriamiento de Newton.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICANDO FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Diversos ejemplos de fenómenos naturales que pueden ser modelados mediante estas funciones son:

a) intensidad del sonido b) intensidad sísmica c) pH y acidez de las soluciones d) matemática financiera

Ejemplos

1) La presión atmosférica p sobre un globo o un avión disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio se relaciona con el número de

kilómetros h sobre el nivel del mar mediante la fórmula: hep 145,0760

a) Determine la presión atmosférica a una altura de 1 kilómetro

b) ¿A qué altura la presión será de 600 milímetros de Hg?

a) mmHgeep h 657760760 1145,0145,0

92

UTN- FRM- Unidad VI

b) kmhe h 630,1145,0

760

600ln

760600 145,0

2) En ocasiones los sicólogos utilizan la función L(t) = A(1- e-kt) para medir la cantidad L aprendida en el tiempo t .El número A representa la cantidad por aprender y k mide el nivel de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprender un total de A = 200 palabras de vocabulario. Un sicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras

cada 5 minutos.

a) Determine la tasa de aprendizaje k b) ¿Aproximadamente cuántas palabras habrá aprendido después de 10 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo tardará en aprender 180 palabras?

a) 02107,05

200

20ln

)1(20020 5

ke k

b) palabraseL 38)1(200 102107,0

)10(

c) min10902107,0

1,0ln

t

3) Se depositó dinero en un banco a plazo fijo. El banco ofrecía el 5 % trimestral y luego

de un año depositado el dinero se juntó $% 2.187,91

a) ¿Cuál era el capital inicial? b) ¿Cuál es la expresión que permite determinar el monto (en $) en función del tiempo

(en períodos) y las expresiones de las otras variables? c) ¿Cuál será el monto dentro de tres años? d) ¿Al cabo de cuánto tiempo el monto será mayor a $3000?

a) compuesto interés a monto 1n

n iCoC

cióncapitaliza lapor dada está

ut

tperíodos de número n

interés de tasai

inicial capital Co

n período del final al Capital o acumulado monto Cn

ut

tiempodeunidad

tiempo

93

UTN- FRM- Unidad VI

4

4

5 2187,912187,91 Co 1

100 (1 0,05)

$1800

oC

Co

El exponente 4 es debido a que en un año existen 4 trimestres (t/ut).

b) )1log(

loglog

)1(C i 1 o0

i

CCn

C

Ci

i

CCC on

n

o

n

n

nn

n

c) 36/3

1800 1 0,05nC

El 36 del exponente es debido a que en 3 años hay 36 meses, es decir, 12 trimestres (12 grupos de 3 meses)

50,3232$100

511800

12

nC

d)

3000 1800. 1 0,05 3000

3000(1,05)

1800

log1,05 log3000 log1800

log3000 log180010,46 31 12

log1,05

n

n

n

C

n

n trimestres meses días

4) El pH de una solución química esta dado aproximadamente por la fórmula

HpH 10log donde H es la concentración de iones de hidrógeno en moles por

litro. Los valores de pH varían de 0 (ácido) a 14 (alcalino).

a) Determine el pH del agua en un recipiente de 1 litro con 0,0000001 moles de iones hidrógeno.

b) Determinar la concentración de iones de hidrógeno en una solución semiácida con un pH de 4,2.

a) 7

10log 1 10 7pH

b) 4,2 5

104,2 log 10 6,31 10 0,0000631H H mol

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIÓN SENO CONSTRUCCIÓN

94

UTN- FRM- Unidad VI

Sea : IR IR/ ( )f f x senx

En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = sen x para ángulos de la 1ª vuelta menores de un giro para obtener la gráfica de esta función en ese intervalo. Se llama circunferencia trigonométrica a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y de radio uno. Cualquier punto de la circunferencia dista 1 del origen, por lo tanto, si representamos el ángulo con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo, el valor del seno coincide con la ordenada del punto de corte del otro lado con la circunferencia trigonométrica Para construir el grafico de la curva sinusoidal utilizamos la circunferencia trigonométrica dividida en arcos, y a su derecha el sistema de coordenadas cartesianas tomando sobre el eje de ordenadas la misma unidad que la correspondiente al de la circunferencia. En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas

intervalos de amplitud 6

. Completa la tabla

x (rad) y =sen x

0

95

UTN- FRM- Unidad VI

¿Qué sucede con los valores del seno tras dar una vuelta completa a la circunferencia?

En esta escena verás que los valores del seno vuelven a repetirse.

Propiedades de la función seno en el intervalo 2;0

Observando el gráfico de la función seno podemos obtener las siguientes conclusiones: a) dominio e imagen

D: 2;0

I: [-1;+1] b) periodicidad

La gráfica obtenida en el intervalo 2;0 se repite periódicamente

: 2x IR sen x senx período 2p

c) no es inyectiva

d) ceros de la función: resolvemos la ecuación 0senx

0 0 0 2 0 4 0 2 0

2 0,

sen sen sen sen k

sen k con k IR

Rk con ,01k2sen

0k2sen4sen2sen0sen

en definitiva

k Rx k I es cero de f

el conjunto de ceros de

Zkkx/xS:f

e) paridad y simetría: es impar. Por ejemplo:

2/f2/f

12/f

12/f

ff

0f

0f

96

UTN- FRM- Unidad VI

6/6/

5,06/

5,06/

ff

f

f

En general : , :x IR f x f x es decir x IR senx senx (el gráfico es simétrico

respecto del origen)

f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

En algunos intervalos es estrictamente creciente y en otros es estrictamente decreciente.

En 2ππ/2 ,2ππ/2 ,π/2 ,π/2 , etc. Es estrictamente creciente

En 2ππ/2 ,2ππ/23 ,π/2 ,π/23 , etc. Es estrictamente decreciente

FUNCIÓN COSENO

CONSTRUCCIÓN

Sea : IR / ( ) cosf IR f x x

En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = cos x para ángulos de la 1ª vuelta para obtener la gráfica de esta función en ese intervalo. Para construir el gráfico de la curva cosinusoidal utilizamos la circunferencia trigonométrica dividida en arcos, y a su derecha el sistema de coordenadas cartesianas tomando sobre el eje de ordenadas la misma unidad que la correspondiente al de la circunferencia. En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas

intervalos de amplitud 6

x (rad) y =cos x

0

97

UTN- FRM- Unidad VI

Propiedades de la función coseno en el intervalo 2;0

Observando el gráfico de la función coseno podemos obtener las siguientes conclusiones: a) dominio e imagen

D: 2;0

I: [-1;+1] b) periodicidad

La gráfica obtenida en el intervalo 2;0 se repite periódicamente

: cos 2 cosx IR x x período 2p

c) no es inyectiva d) ceros de la función

Para determinarlos resolvemos la ecuación 0cos x

Rkconk

k

Rkconk

k

,02

12cos

022

cos42

cos22

cos02

cos

,022

cos

022

cos42

cos22

cos02

cos

en definitiva Rk 2

1k2x

es cero de f

el conjunto de ceros de

Zk2

1k2x/xS:f

e) paridad y simetría: es par.

98

UTN- FRM- Unidad VI

Por ejemplo:

ff1ff

2/f2/f02/f2/f

3/f3/f2/13/f3/f

En general )()( xfxf (el gráfico es simétrico respecto del eje y)

f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

En algunos intervalos es estrictamente creciente y en otros es estrictamente decreciente.

En )2;( es estrictamente creciente y en );0( es estrictamente decreciente

FUNCIÓN TANGENTE

CONSTRUCCIÓN

Sea : D / ( ) tanf R f x x

En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = tan x para ángulos de la 1ª vuelta y siguientes para obtener la gráfica de esta función en un intervalo mayor. En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas

intervalos de amplitud 6

. Completa la tabla

x (rad) y =tan x

0

99

UTN- FRM- Unidad VI

La gráfica muestra que los valores de la tangente vuelven a repetirse, de la misma

manera que la función seno y coseno.

Propiedades de la función tangente en el intervalo 2;0

Observando el gráfico de la función tangente podemos obtener las siguientes conclusiones:

a) dominio e imagen

D: 2;0

En dichos valores de x aparecen las asíntotas o polos de la función. I: (-∞;+∞)

b) periodicidad

La gráfica obtenida en el intervalo ;0 se repite periódicamente

: tan tanx R x x período p

c) no es inyectiva

d) ceros de la función: resolvemos la ecuación tan 0x

tan 0 0 tan 0 tan 0 2 tan 0 0

tan 0,

k

k con k R

en definitiva

Rk kx es cero de f

el conjunto de ceros de

Zkkx/xS:f

e) paridad y simetría: es impar. Por ejemplo:

xfxfff 0

14/4/ ff

En general )()( xfxf , el gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas.

f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

100

UTN- FRM- Unidad VI

Es una función estrictamente creciente en todo su intervalo.

Los intervalos de crecimiento tendrán una amplitud igual al período:

....2

3;

22;

2...

VARIACIONES DE LAS FUNCIONES

Tomando como base de comparación alguna de las funciones estudiadas en la sesión anterior, por ejemplo, la función seno, las variaciones que sufre n son las mismas estudiadas: contracción, expansión, desplazamientos, reflexión y pueden representarse según el siguiente esquema:

Donde las constantes a, b, c, d representan:

1) Amplitud de la Onda “a” es la máxima ordenada que alcanza la función, es un número real no nulo a ‡ 0.

Si el valor de a = 1 estamos en presencia de una función pura. Si 0 > a > 1 la función sufre una contracción. Si a > 1 la función sufre una expansión o estiramiento. Si a < 0, es decir, es negativo la función sufre una reflexión sobre el eje x.

Para observar estas diferencias realizaremos las siguientes gráficas: y = sen x donde a = 1 y que tomaremos como referencia y = ½ sen x donde a = 0,5 y se produce una contracción y = 2 sen x donde a = 2 y se produce una expansión y = - ½ sen x donde a = -0,5 y se produce reflexión y contracción y = -2 sen x donde a = -2 y se produce reflexión y expansión

dcxbsenay )(

101

UTN- FRM- Unidad VI

2) Período de la Onda “b”

Su valor absoluto indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de longitud 2 , es

un número real “b” no nulo, y cuanto más grande es su valor menor es el periodo.

bp

2

3) Desplazamiento horizontal “c” Si se le suma al ángulo de la función trigonométrica una constante diferente de cero “c”,

la desplaza hacia la izquierda el valor de la constante y la desplaza hacia la derecha si

restamos la constante al ángulo.

Resumen:

2

0 zquierda

0

p períodob

cbx c ángulo de fase

b

c desplazamiento hacia la i

c desplazamiento hacia la derecha

Para ver la variación del período graficaremos: y = sen x donde b = 1 y que tomaremos como referencia y = sen (1/2 x) donde b = 0,5 y se produce un aumento del período p=2π/0,5= 4π y = sen (2x) donde b = 2 y se produce una disminución del período p=2π/2=π

p = 2π

p = 4π

p = π

102

UTN- FRM- Unidad VI

Para ver los desplazamientos horizontales graficaremos: y = sen x donde c = 0 y que tomaremos como referencia. y = sen (x-π/6) donde c = π/6 (30°) y se produce un desplazamiento hacia la derecha. y = sen (x+π/9) donde c = π/9 (20°) y se produce un desplazamiento hacia la izquierda.

4) Desplazamiento vertical “d” Como en todas las funciones vistas, para producir un desplazamiento vertical se le suma o resta un valor constante d fuera de la función, en este caso, fuera del argumento. El desplazamiento es del mismo signo que la constante d. Para ver los desplazamientos horizontales graficaremos: y = sen x donde d = 0 y que tomaremos como referencia. y = sen x + 2 donde d = 2 y se produce un desplazamiento hacia arriba. y = sen x - 1 donde d = -1 y se produce un desplazamiento hacia abajo.

Finalmente graficaremos una función con las distintas variaciones combinadas:

y = - 2 cos (3x – π/6) + 1

π/9 =

20°

π/6 =

30°

103

UTN- FRM- Unidad VI

donde: a = -2 lo que le produce una reflexión y una expansión b = 3 lo que acorta su período de 2π a 2π/3 c = -π/6 lo que la desplaza hacia la derecha ese valor (30°) d = +1 lo que la desplaza hacia arriba Todo en comparación con la función y = cos x

FUNCIONES INVERSAS Las funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente no son inyectivas, por lo que sus relaciones inversas no son funciones. Dada su utilidad en el cálculo de ángulos (cálculo inverso) es conveniente restringir el dominio de dichas funciones para que las relaciones inversas se transformen en funciones. Al realizar la gráfica de las funciones inversas, recordemos que ambas gráficas deben ser simétricas respecto del eje y = x. El dominio se deberá restringir en un intervalo donde la función sea estrictamente creciente, por ello, el dominio restringido dependerá del tipo de función: si es impar como el seno y la tangente o par como el coseno. FUNCIÓN ARCO SENO

Para que la función y = f(x) = sen x admita inversa es necesario acotar el dominio D: [-π/2;π/2] con lo que la imagen I: [-1;+1]. Por lo tanto, la función inversa y-1 = f-1(x) = arc sen x conmutará con la anterior el dominio y la imagen, siendo D:[-1;1] , I:[-π/2;π/2], y sus gráficas:

a = 1 a = -

2

d =

1

p =

2π/3 p = 2π

c = -π/6

104

UTN- FRM- Unidad VI

FUNCIÓN ARCO COSENO

Para que la función y = f(x) = cos x admita inversa es necesario acotar el dominio D: [0;π] con lo que la imagen I: [-1;+1]. Por lo tanto, la función inversa y-1 = f-1(x) = arc cos x conmutará con la anterior el dominio y la imagen, siendo D:[-1;1] , I:[0;π], y sus gráficas:

FUNCIÓN ARCO TANGENTE Para que la función y = tanx admita inversa se debe acotar el dominio D:[-π/2;π/2] con lo que la imagen I: [-∞;+∞].

Por lo tanto, la función inversa y-1 = f-1(x) = arc tan x conmutará con la anterior el dominio y la imagen, siendo D:[-∞;+∞] , I:[-π/2;π/2], y sus gráficas:

105

UTN- FRM- Unidad VI

74) Grafica las siguientes funciones. Para cada una de ellas indica dominio, imagen,

amplitud, ángulo de fase, período, frecuencia, desplazamiento horizontal y desplazamiento vertical.

a) y = 2 cos x b) y = cos (x + 2π/3) c) y = cos (x+π/2) + 3 d) y = 3cos (2x + π/3) + 1

75) Un generador eléctrico produce una corriente alterna de 50 Hz dada por: i(t)=30sen(100π (t – 7/36)) donde i(t) es la corriente medida en amperes, t en segundos. Halla el valor positivo

más pequeño de t para que la corriente sea de 15 amperes.

76) En el proceso de la respiración se alternan períodos de inhalación y exhalación que se pueden describir mediante la fórmula:

f(t) = 0,6 sen (π/2 . t)

Siendo t el tiempo medido en segundo y f(t) el caudal del aire en el tiempo t, medido

en litros por segundo:

a) Halla el tiempo en que se completa un ciclo, una exhalación, o una inhalación. b) Realiza el gráfico de la función para dos ciclos completos y halla:

b.1) Los lapsos en que el caudal de aire es positivo y los lapsos en que es negativo.

b.2) Los instantes en que el caudal es nulo, máximo o mínimo.