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DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y

COMUNICACIONES

ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS

TEMA 2

Funciones de aproximación

ÍNDICE

1.-Introducción................................................................................................................................1

2.-Etapas en la realización de un filtro: aproximación y síntesis. .................................................2

3.-El problema de la aproximación.................................................................................................3

3.1.-Condiciones impuestas por la estructura del filtro..................................................................................3

3.2.-Condiciones impuestas por la plantilla......................................................................................................4

4.-Funciones de aproximación........................................................................................................4

4.1.-Aproximación máximamente plana. Filtros de Butterworth.................................................................4

4.1.1.-Cálculo del orden..........................................................................................................................5

4.1.2.-Cálculo de ε...................................................................................................................................6

4.1.3.-Cálculo de la función de transferencia......................................................................................7

4.1.4.-Características de los filtros de Butterworth..........................................................................10

4.2.-Aproximación con Rizado Constante en la banda de paso(Chebychev)...........................................12

4.2.1.-Características de los filtros de Chebychev Directo.............................................................14

4.2.2.-Calculo del orden y de ε...........................................................................................................15

4.2.3.-Obtención de la función de transferencia..............................................................................16

4.3.-Aproximación con rizado en la banda eliminada (Chebychev inversos). Características..............19

4.4.-Filtros elípticos o de Cauer. Características............................................................................................21

4.5.-Comparación de las distintas aproximaciones de amplitud.................................................................24

TEMA 2: Funciones de aproximación 1

1.- Introducción.

En el diseño de un filtro, generalmente en la banda de paso, la banda atenuada y la banda de transición, la respuesta de amplitud y de fase están preestablecidas, tal y como hemos visto anteriormente en las plantillas de un filtro. La primera labor de un diseñador de filtros es entonces obtener una función de transferencia H(s) que satisfaga estas especificaciones. Idealmente debería realizarse de forma que la transmisión en la banda de paso sea perfecta (sin pérdidas), una atenuación infinita en las bandas atenuadas (ganancia cero) y la anchura de las bandas de transición nula como se muestra por ejemplo en la siguiente figura para el caso de un filtro paso bajo.

Figura 1: Filtro paso bajo ideal.

Esta función de transferencia es irrealizable en la práctica debido, entre otras cosas, a que la respuesta temporal de dicho filtro sería no causal, es decir, se extendería desde −∞ a ∞ .

El diseño de filtros, generalmente (aunque no siempre) pasa por la obtención de la función de transferencia de un filtro prototipo paso bajo normalizado en frecuencia con respecto a la pulsación de corte de la banda de paso, es decir ωp=1, siendo el valor máximo de H j( )ω = 1 en el margen 0≤ ω ≤ 1. Dada la imposibilidad de obtener la característica ideal de la función de transferencia de los mismos, será necesario obtener una función de transferencia que se aproxime lo más posible al ideal, partiendo de plantillas que limiten el comportamiento de ganancia o atenuación deseado para cada frecuencia, tal como se ha indicado al estudiar las plantillas reales de un filtro. Un ejemplo de plantilla de amplitud puede verse en la figura 2. Para conseguir que la respuesta de amplitud del filtro quede dentro de estos márgenes preestablecidos se hace uso de funciones matemáticas denominadas funciones de aproximación.

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá.

p=a

∣H j∣

1


Figura 2: Plantilla de amplitud de un filtro paso bajo

El problema de la aproximación está ampliamente desarrollado en el campo de las matemáticas, teoría de la aproximación, no siendo en ningún caso el objeto de este curso. Aquí estudiaremos varios tipos de aproximación ya establecidos y cuales son sus características sin pararnos en los desarrollos matemáticos.

2.- Etapas en la realización de un filtro: aproximación y síntesis.

Cualquier filtro queda totalmente definido por su plantilla o lo que es lo mismo por sus cuatro magnitudes características: αp (Atenuación máxima en la banda de paso), αa (Atenuación mínima en la banda atenuada), ωp (pulsación de corte de la banda de paso) y ωa (pulsación de corte de la banda atenuada). Al cociente entre ωa y ωp se le llama coeficiente de selectividad del filtro.

Figura 3: Plantilla de atenuación de un filtro paso bajo.


p a

1

A1

A2

∣H j∣

min

max o rizado

p a

a

p

dB


El diseño de un filtro ideal supondría la realización de un sistema no causal y por tanto no realizable. Por tanto el problema de diseño estriba en encontrar una función de transferencia causal que se aproxime lo más posible a la característica ideal del filtro. Esta función debe ser una función continua racional real en ω con un número finito de polos y ceros y estable. En definitiva se trata de encontrar una red cuya respuesta de atenuación quede inscrita en el interior de la plantilla establecida (Figura 3).

Por tanto el diseño consistirá básicamente en dos etapas:

1. Determinar la función de transferencia de una red que se aproxime lo más posible a la solución ideal.

2. Determinar la estructura y calcular el valor de los elementos.

3.- El problema de la aproximación.

3.1.- Condiciones impuestas por la estructura del filtro.

El diseño del filtro se realizará con elementos cuya respuesta es lineal e invariante en el tiempo (resistencias, condensadores y amplificadores). Por tanto su función de transferencia se expresará como el cociente de dos polinomios en s con coeficientes reales y positivos:

H s =N s D s

Además el filtro debe ser estable, no debe tener respuesta ante una excitación nula, lo que implica que el denominador de la función de transferencia debe tener todas sus raíces en el semiplano izquierdo del plano s (raíces con parte real negativa) y el grado del denominador será mayor que el grado del numerador, lo cual es también una condición necesaria para que la aproximación realizada sea paso-bajo (la función de transferencia tiende a cero cuando ω tiende a ∞ ).

Estas consideraciones imponen una forma de expresión particular para la función de transferencia:

H sH −s∣s= j=∣H j∣2=N jN − j

D jD− j=∣N j∣2

∣D j∣2=

P 2 E 2

donde la función de aproximación, al cuadrado, es:

- Una función racional.

- Una función del cuadrado de la frecuencia

- De grado 2n en ω si H(s) es de grado n en s.

Por ejemplo, la función ∣H ∣2=

1

16 responde a los criterios planteados, ya que:



H s =1

s1 s2s1

H s H −s ∣s= j=1

s1s2s1−s1 s2

−s1∣s= j

=1

1−s6∣s= j

=1

16

3.2.- Condiciones impuestas por la plantilla.

Para que la respuesta de H(ω) pueda inscribirse en el interior de la plantilla paso-bajo debe cumplirse que:

• Para el margen de valores 0≤≤p el valor de H(ω) debe ser cercano a la unidad, es decir la atenuación debe ser pequeña en la banda de paso. Si se expresa la atenuación en decibelios =20 log 1/∣H j∣ debe ser cercana a cero. Lo cual implica que los polos estarán en la banda de paso.

• Para pulsaciones a el valor de H(ω) debe ser pequeño, la atenuación debe ser grande en la banda atenuada. Los ceros se situarán en la banda atenuada.

• Para las pulsaciones comprendidas entre ωp y ωa la atenuación debe aumentar desde cero hasta un valor elevado.

4.- Funciones de aproximación.

4.1.- Aproximación máximamente plana. Filtros de Butterworth.

La característica de aproximación máximamente plana tiene una curva de respuesta lo más plana posible en el origen, es decir para la pulsación ω= 0.

Para filtros paso bajo con amplitud máximamente plana, se requiere que el cuadrado de la respuesta en amplitud sea igual a la unidad para ω = 0, esto es, requieren una transmisión ideal en continua y que todas las posibles derivadas del error de transmisión, definido como

2=1−∣H j∣

2 , sean cero para ω = 0.

Así teniendo en cuenta la ecuación:

∣H j∣2=∣N j∣2

∣D j∣2=

P 2

E 2=b0b1

2b2

4⋯bm

2m

a0a12a 2

4⋯an

2n ; donde m < n

y cumpliendo la condición impuesta

d i

d 2i[∣H j∣2 ]=0=0 ∀ i=1,2,

Si realizamos las derivadas y sustituimos ω = 0 es fácil demostrar que para que se cumplan la condición impuesta es necesario que a bi i= para i = 0,1, ... , n-1.



En consecuencia el cuadrado de la amplitud de la función de transferencia paso bajo de orden n que es máximamente plana (MP) en el origen vendrá dada por:

∣H j∣2=∣N j∣

2

∣N j∣2an2n

Vemos que la condición para que una función sea máximamente plana se reduce a que su forma sea similar a la ecuación anterior, es decir, que el polinomio del denominador sea igual que el del numerador excepto en una potencia de mayor grado que se le suma. Esta propiedad de ser máximamente plano es aplicable a cualquier tipo de función, ya sea de amplitud o de fase, que cumpla con lo anterior.

Se observa, como ya se dijo, que el grado n del denominador debe ser mayor al menos en una unidad al grado m del polinomio N(s) para que H(s) tenga un cero en el infinito, ya que es paso bajo. De esta manera, para un polinomio arbitrario N(s), es decir para una situación arbitraria de los ceros de transmisión, podemos siempre construir una función de transferencia paso bajo con una banda de paso máximamente plana (MP).

Un caso especialmente importante de función paso bajo máximamente plana es aquella que tiene todos sus ceros en el infinito (aproximación de Butterworth), esto es, cuando N(s) = 1. Entonces:

∣H j ∣2=

1

122n=

1

1 c2n

donde hemos adoptado la notación ε2 para an. Se da también una forma alternativa de dicha función donde ωc es la pulsación de corte a 3 dB y que se relaciona con ε por la ecuación:

c=1n

4.1.1.- Cálculo del orden.

Para esta función paso bajo con todo polos (todos los ceros están en el infinito), cuya atenuación se incrementa monótonamente con ω, el grado n se determina normalmente a partir de las características requeridas en la plantilla del filtro, como se indica a continuación partiendo de las especificaciones de atenuación.

α=10 log 12

2n

p=10 log 12p2n

a=10 log 12a2n } condiciones de la plantilla.

de ellas, si deshacemos el logaritmo nos queda:



2a2n=10

a

10−1

2p2n=10

p

10−1

y si las dividimos entre sí

a

p2n

=10

a

10−1

10

p

10−1

de aquí si aplicamos logaritmos y despejamos n, queda

n=

log 10

a

10−1

10p

10−1

2⋅log a

p

De esta ecuación obtendremos el orden exacto que cumple la igualdad pero como sabemos que n debe ser un número natural (es el orden del polinomio del denominador) hemos de elegir el número natural inmediatamente superior al obtenido.

Ejemplo:

Encontrar el grado de una función paso-bajo máximamente plana con todo polos que satisfaga las siguientes características:

- Banda de paso 0≤ f ≤1 ,2kHz con p=0 ,5dB de atenuación máxima.

- La banda atenuada con f ≥ 1,92 kHz y αa = 23 dB de atenuación mínima.

Solución:

Si sustituimos en la ecuación anterior los datos proporcionados en el enunciado y efectuamos las operaciones nos quedará:

n = 7.87

por lo que el filtro requerido será de orden 8.

4.1.2.- Cálculo de ε.

Una vez calculado el orden debemos calcular el otro parámetro de la función, es decir, ε u ωc dependiendo de la forma de la ecuación que elijamos. Para el cálculo veamos que tenemos dos condiciones posibles:



p=10 log 12 p2n

a=10 log 12a2n

Dependiendo de cual sea la condición elegida el valor de ε será distinto. En principio, nosotros utilizaremos la condición de la banda de paso mientras no se especifique lo contrario.

Para dicha condición el valor de ε2 será el siguiente:

2=

10

p

10−1 p

2n

Si utilizamos la forma de la ecuación donde aparece ωc podremos calcularla directamente y también su valor será distinto si utilizamos las condiciones en la banda de paso o las de la banda eliminada. Utilizando las de la banda de paso nos quedaría:

c=p

2n10

p

10−1

4.1.3.- Cálculo de la función de transferencia.

Para determinar la localización de los polos de la función paso-bajo máximamente plana con todo polos se deberá sustituir ω2 por -s2 en la ecuación:

H sH −s∣s= j=∣H j∣2=

1

12

2n

de ahí se obtendrá la función:

H sH −s=1

1−1n2 s2n

De las raíces del polinomio:

1 −1 n2 s2n=0

se obtendrán los polos de la función H(s) buscada, cuya expresión será:

sk2n=−1 n11

2=e jπ n12k

2 k=0,1,2 ,⋯,2 n−1

ósk=−1/ ne j π n12k /2n k=0,1 ,2 ,⋯,2n−1



Si representamos las raíces sk sobre el plano complejo s, estas se situarán a lo largo de un

círculo de radio c=1n

y cuyas posiciones sobre el mismo vendrán dadas por la fase:

k=n12k

2 n=

2

2nk

n

Naturalmente las raíces correspondientes a la función H(s) serán las situadas en el semiplano izquierdo (sistema estable) que corresponden con s1, s2, .. , sn. En la siguiente figura se representa la situación de las raíces para el caso de n = 4:

14 ε

π8

π8

π4

π4

π4

La aproximación representada por las ecuaciones anteriormente obtenidas se conoce con el nombre de aproximación de Butterworth. A los filtros diseñados mediante este proceso se les conoce como filtros de Butterworth.

Se observa que si hacemos ε = 1 implica que la atenuación en la banda de paso para =1 es αp = 3 dB. El filtro paso-bajo MP con todo polos tendrá la siguiente función de transferencia:

H s =a0

an sna n−1 sn−1⋯a1 sa0

En la literatura disponible, las raíces y coeficientes de H(s) se encuentran tabulados en el caso de que ε = 1. De ésta forma la función de transferencia está completamente determinada tan pronto como el parámetro n es calculado. Hay que tener en cuenta que las tablas son solamente aplicables directamente para filtros con c=1 (ε = 1). Sin embargo, las tablas pueden utilizarse si la frecuencia es posteriormente desnormalizada respecto a la frecuencia de corte a 3 dB. A continuación se encuentran algunas de estas tablas.



TABLA 1: Raíces normalizadas de los Polinomios de Butterworth

n = 1 -1,0000000n = 2 -0,7071068

± j0,7071068n = 3 -1,0000000 -0,5000000

± j0,8660254n = 4 -0,3826834

± j 0,9238795

-0,9238795± j0,3826834

n = 5 -1,0000000 -0,3090170± j0,9510565

-0,8090170± j0,5877852

n = 6 -0,2588190± j0,9659258

-0,7071068± j0,7071068

-0,9659258± j0,2588190

n = 7 -1,0000000 -0,2225209± j0,9749279

-0,6234898± j0,7818315

-0,9009689± j0,4338837

n = 8 -0,1950903± j0,9807853

-0,5555702± j0,8314696

-0,8314696± j0,5555702

-0,9807853± j0,1950903

n = 9 -1,0000000 -0,1736482± j0,9848078

-0,5000000± j0,8660254

-0,7660444 ± j0,6427876

-0,9396926± j0,3420201

n = 10 -0,1564345± j0,9876883

-0,4539905± j0,8910065

-0,7071068± j0.7071068

-0,8910065± j0,4539905

-0,9876883± j0,1564345

TABLA 2: Coeficientes normalizados de los Polinomios de Butterworth.(a0 = an = 1 para todo n).

n a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

1

2 1,4142136

3 2,0000000 2,0000000

4 2,6131259 3,4142136 2,6131259

5 3,2360680 5,2360680 5,2360680 3,2360680

6 3,8637033 7,4641016 9,1416202 7,4641016 3,8637033

7 4,4939592 10,097835 14,591794 14,591794 10,097835 4,4939592

8 5,1258309 13,137071 21,846151 25,688356 21,846151 13,137071 5,1258309

9 5,7587705 16,581719. 31,163438 41,986386 41,986386 31,163438 16,581719 5,7587705

10 6,3924532 20,431729 42,802061 64,882396 74,233429 64,882396 42,802061 20,431729 6,3924532

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior pero con αp = 3 dB, encontrar la función de transferencia de Butterworth.

Solución:

Si hacemos ε = 1 (normalizando) entonces:

n = 5.62

Por tanto el filtro será de orden 6 . El siguiente paso será la obtención de los polos de la función de transferencia de orden 6 que cumple las especificaciones. Para ello hemos de obtener la pulsación de corte a 3 dB o el ε, que en este caso con αp = 3 dB será ωc=ωp y ε=1.



Con esos datos se pueden calcular los polos de la función de transferencia, que en este caso serán 6. El módulo de todos los polos será c=2⋅1 ,2 krad / s y las fases de cada uno saldrán de la ecuación:

k=n12k

2 n=

2

2nk

n

con k tomando valores entre 0 y 5.

La función de transferencia se obtendría entonces como:

H s=1

s−s0 s−s0* s−s1 s−s1

*s−s2s−s2

*

y sustituyendo los valores anteriormente calculados quedaría:

H s=1

s2c 0,5176 sc

2 s2

c 1,4142 sc2s2

c1,9318 sc2

Un resultado similar se obtendría de las tablas después de desnormalizar con c=2⋅1 ,2 krad / s .

4.1.4.- Características de los filtros de Butterworth

Una vez que ya sabemos como calcular la función de transferencia de este tipo de filtros vamos a ver algunas de sus características:

1. La principal de ellas la hemos fijado nosotros y es el hecho de que la función de módulo (o atenuación) es máximamente plana en el origen.

2. Si observamos la forma de la función de transferencia veremos que sólo tiene polos y que todos los ceros están situados en el infinito.


k=0 s0=ccos2

12 jsen 2

12 =c −sen 12 j cos 12 =c −0,2588 j0,9659

k=1 s1=ccos2

12

6 j sen 2

12

6 =c −sen 4 jcos 4 =c −0,7071 j0,7071

k=2 s2=ccos2

122

6 jsen 2

122

6 =c −sen 5

12 jcos 5

12 =c −0,9659 j0,2588

k=3 s3=s2*

k=4 s4= s1*

k=5 s5=s0*

H s=1

s23902,6121 s56848921,3651s2

10662,8168 s56848921,3651 s214565,4289 s56848921,3651


3. Cuando estudiemos el resto de funciones de aproximación de amplitud veremos que, comparadas con ellas, las funciones de Butterworth presentan el orden más elevado en igualdad de condiciones impuestas.

Figura 4: Respuestas en amplitud de distintas aproximaciones de Butterworth.

En la figura 4 vemos que el aumento del orden del filtro produce un aumento de pendiente de la función de transferencia y con ello vemos que cuanto más le exijamos al filtro mayor será el orden necesario.



4.2.- Aproximación con rizado constante en la banda de paso(Chebychev).

En la aproximación máximamente plana todo polos, hemos concentrado toda la fuerza de la aproximación en el origen (ω = 0) y aceptamos un crecimiento monótono del error para p . Parecería más eficaz distribuir el error uniformemente a lo largo de la banda de paso encontrando una función:

∣H j∣2=

1

12Cn2 p

en la que Cn sea un polinomio que cumple −1≤C n≤1∀0≤∣∣≤ p , de forma que

la dicha función oscila uniformemente entre 1 y 1

12 .

Hay muchos métodos rigurosos para obtener el polinomio Cn(ω); un método intuitivamente simple es aceptar que una sinusoide:

Cn =cos [narccos ]

oscila uniformemente entre +1 y -1 y que incrementa su frecuencia con el incremento de n. Utilizando conceptos trigonométricos, cos(nφ) puede escribirse como un polinomio en cosφ:

cos n=2n−1cosn−n1 !

2n−3cosn−2n n−3

2!2n−5cosn−4−

n n−3 n−5 3 !

2n−7cosn−6⋯

el cual será un polinomio en ω si:

=arccos ∀ ∣∣≤1

Así, los polinomios de Chebychev de orden n son:

Cn =cos n⋅arccos ∀ ∣∣≤1

En la banda atenuada ( ∣1∣ ), arccos(ω) está indefinido. Sin embargo se puede ver que,

Cn =cosh n⋅arccosh =12[ 2−1

n 2−1

−n ] ∀ ∣∣1

la cual crece monótonamente para ω > 1. De este modo, se obtiene una función de rizado constante en la banda de paso y con atenuación monótona creciente en la banda eliminada. A los filtros que se construyen con esa función se les llama filtros de Chebychev directos.

Hemos dicho previamente que los polinomios de Chebychev de orden n tienen la siguiente forma:

Cn =cos n⋅arccos ∀ ∣∣≤1



Vamos a ver ahora que esta función representa realmente una serie de polinomios. Para ello llamaremos:

cosθ=ω y θ=arccos ω

Entonces

C n1ω =cosnθθ =cos nθ cos θ−sen nθ sen θC n−1ω =cos nθ−θ =cosnθ cosθsen nθ sen θ

sumando las dos expresiones anteriores nos queda

Cn1C n−1 =2cos n cos

Pero como

cos n=Cn y cos=

podemos escribir

Cn1C n−1 =2Cn

Cn1=2Cn −Cn−1

Tenemos entonces una fórmula recursiva en la que conociendo el polinomio de Chebychev de grado menor podemos formar los sucesivos de grado superior. Si partimos de que:

C0 =cos 0 =1

C1 =cos arccos =ω

podremos formar todos los polinomios de grado superior que queramos utilizando la fórmula recursiva.

En la siguiente tabla se dan los primeros polinomios de Chebychev y la fórmula recursiva. Es de hacer notar que Cn(1) = 1 para todo n y que Cn(ω) es par para n par e impar para n impar.

POLINOMIOS DE CHEBYCHEV

C0(ω) = 1C1(ω) = ω

C2(ω) = 2ω2-1C3(ω) = 4ω3-3ω

Cn+1(ω) = 2ωCn(ω)-Cn-1(ω)



4.2.1.- Características de los filtros de Chebychev Directo.

Los polinomios de Chebychev (Cn(ω)) son los que dan las características propias de la respuesta en amplitud para este tipo de filtros. Dichas características se resumen a continuación:

1. H j( )ω oscila con rizado constante en la banda de paso 0≤∣∣≤p . Además, H j( )ω

decrece monótonamente a cero para ∣∣ p .

2. H j( )0 1= sólo para n impar pero H j( )0 1 1 2= + ε para n par. Cuando se habla de

atenuación, entonces 0=0 para n impar y 0=p para n par.

3. ∣H j p∣=1/12 para todo n. En el caso de la atenuación eso significa que

p= p .

4. Se puede comprobar que el orden del filtro se puede obtener de la gráfica de atenuación o amplitud sin más que contar el número de máximos y mínimos en la banda de paso.

Figura 5: Ejemplos de distintos filtros de Chebychev.

La figura 5 para n = 2, 3, 4 y 5 (normalizada con p=1 ) muestra estas características.



4.2.2.- Calculo del orden y de ε.

Los parámetros utilizados en el diseño de filtros de Chebychev son el rizado (ε) y el valor de la atenuación (αa) a la pulsación de corte de la banda atenuada (ωa). El parámetro ε se calcula a partir de la expresión de la función de transferencia vista anteriormente: =10

0 ,1 p−1 , además sabemos que la pulsación de corte de la banda de paso es ωp. Para determinar n, sabemos que:

10 log 12Cn2 a

p=a dB

y con la expresión Cn =cosh n⋅arccosh obtenemos:

n=arccosh 10

0 .1a−1 /2

arccosha

p

Donde elegiremos como orden menor necesario el número natural inmediatamente superior al orden calculado.

Ejemplo:

Encontrar la función de transferencia de un filtro de Chebychev paso-bajo que satisfaga las siguientes especificaciones:

- Banda de paso 0≤ f ≤1 , 2 kHz con α p=0 ,5 dB de atenuación máxima.

- La banda atenuada con f ≥ 1,92 kHz y αa = 23 dB de atenuación mínima.

Solución:

Calculamos en primer lugar el valor de ε y posteriormente aplicamos la ecuación del orden calculada previamente:

=100 ,1

p−1=100 , 1⋅0 ,5−1=0 ,3493

n=arccosh 10

0 ,1a−1 /2

arccosha

p

=arccosh 102 , 3

−1 /2

arccosh 1,921 ,2

=4 ,193

Por lo tanto será necesario un filtro de orden 5 y la función de transferencia será de acuerdo con la tabla 3:



H s =0, 1789

s51, 17251 s41 , 9374 s31 ,3096 s20 , 7525 s0 , 1789

Función que habrá que desnormalizar respecto a la pulsación de corte de la banda de paso que se daba en el enunciado.

Si comparamos este ejemplo con el mismo obtenido anteriormente para Butterworth observamos que es mucho más eficaz el de Chebychev al conseguir las mismas características con un menor orden. Puede demostrarse que esto es siempre válido para cualquier diseño. Observar que H(0) = 1, que corresponde con atenuación nula en el origen, como debe ocurrir por tratarse de un filtro de orden impar.

4.2.3.- Obtención de la función de transferencia

La localización de los polos de un filtro de Chebychev se obtendrán a partir de las

ecuaciones ∣H j ∣2=

1

12Cn2

y las ecuaciones (1a) y (1b) con ω =s/j resolviendo:

Cn2 sj =cos2 n⋅arccos

sj =−

1

2

2

Es fácil demostrar que las raíces de la ecuación (2) se distribuyen sobre una elipse en el plano s y las raíces situadas en el semiplano izquierdo, es decir, los polos de la función paso bajo de Chebychev vienen dadas por s j k nk k k= + ∀ =σ ω 1 2, , ,⋯ donde:

k =-12 [1

1

21

1/n

− 1 1

21

−1/n

]sen 2k−12n

3

k=12 [1

1

21

1/n

1 121

−1/n

]cos 2k−12n

4

una vez conocidos los polos, la función de transferencia de los filtros de Chebychev viene a ser:

H s =1

2n−1∏k=1

n

s−sk =

1/ 2n−1

snbn−1 sn−1⋯b1 sb0

5

A continuación se muestran las tablas de los polinomios de Chebychev para 0.5 dB y 1dB de rizado en la banda de paso respectivamente que corresponden con el polinomio del denominador de la función de transferencia. El uso de tablas nos permite olvidarnos de las fórmulas que permiten calcular los polos y son una ayuda para simplificar el diseño de los filtros pues el único parámetro que hemos de calcular es el orden y posteriormente usar las tablas adecuadas. No hay que olvidar que dichas tablas nos darán un filtro normalizado respecto a la pulsación de corte de la banda de paso.



TABLA 1: Frecuencias propias (polos) de un filtro de Chebychev para αp =0,5 dB.(ε = 0.3493)n Raíces normalizadas1 -2,86277522 -0,7128122

± j 1,00404253 -0,6264565 -0,3132282

± j 1,021992754 -0,1753531

± j 1,0162529-0,4233398

± j 0,42094575 -0,3623196 -0,1119629

± j 1,0115574-0,2931227

± j 0,62517686 -0,0776501

± j 1,0084608-0,2121440

± j 0,7382446-0,2897940

± j 0,27021627 -0,2561700 -0,0570032

± j 1,006405-0,1597194

± j 0,8070770-0,2308012

± j 0,44789398 -0,0436201

± j 1,0050021-0,1242195

± j 0,8519996-0,1859076

± j 0,5692879-0,2192929

± j 0,19990739 -0,1984053 -0,0344527

± j 1,0040040-0,0992026

± j 0,8829063 -0,1519873

± j 0,6553170-0,1864400

± j 0,3486869

TABLA 2: Frecuencias propias (polos) de un filtro de Chebychev para αp = 1 dB (ε = 0.5089)N Raíces normalizadas1 -1,96522672 -0,5488672

± j 0,89512863 -0,4941706 -0,2470853

± j 0,96599874 -0,1395360

± j 0,9833792-0,3368697

± j 0,40732905 -0,2894933 -0,0894584

± j 0,9901071-0,2342050

± j 0,61191986 -0,0621810

± j 0,9934115-0,1698817

± j 0,7272275-0,2320627

± j 0,26618377 -0,2054141 -0,0457089

± j 0,9952839-0,1280736

± j 0,7981557-0,1850717

± j 0,44294308 -0,0350082

± j 0,9964513-0,0996950

± j 0,8447506-0,1492041

± j 0,5644443-0,1759983

± j 0,19820659 -0,1593305 -0,0276674

± j 0,9972297-0,0796652

± j 0,8769490 -0,1220542

± j 0,6508954-0,1497217

± j 0,3463342

TABLA 3: Coeficientes de los polinomios para un filtro de Chebychev. (αp= 0,5 dB).(ε = 0.3493 y an = 1).

n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

1 2,8627752

2 1,5162026 1,4256245

3 0,7156938 1,5348954 1,2529130

4 0,3790506 1,0254553 1,7168662 1,1973856

5 0,1789234 0,7525181 1,3095747 1,9373675 1,1724909

6 0,0947626 0,4323669 1,1718613 1,5897635 2,1718446 1,1591761

7 0.0447309 0,2820722 0,7556511 1,6479029 1,8694079 2,4126510 1,1512176

8 0,0236907 0,1525444 0,5735604 1,1485894 2,1840154 2,1492173 2,6567498 1,1460801

9 0,0111827 0,0941198 0,3408193 0,9836199 1,6113880 2,7814990 2,4293297 2,9027337 1,1425705



TABLA 4: Coeficientes de los polinomios para un filtro de Chebychev. (αp = 1 dB).(ε = 0.5089 y an = 1).

n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

1 1,9652267

2 1,1025103 1,0977343

3 0,4913067 1,2384092 0,9883412

4 0,2756276 0,7426194 1,4539248 0,9528114

5 0,1228267 0,5805342 0,9743961 1,6888160 0,9368201

6 0,0689069 0,3070808 0,9393461 1,2021409 1,9308256 0,9282510

7 0.0307066 0,2136712 0,5486192 1,3575440 1,4287930 2,1760778 0,9231228

8 0,0172267 0,1073447 0,4478257 0,8468243 1,8369024 1,6551557 2,4230264 0,9198113

9 0,0076767 0,0706048 0,2441864 0,7863109 1,2016071 2,3781188 1,8814798 2,6709468 0,9175476



4.3.- Aproximación con rizado en la banda eliminada (Chebychev inversos). Características.

Hemos visto que en una aproximación Máximamente plana la atenuación crece monóto-namente con el aumento de la frecuencia, y que una aproximación de Chebychev tiene un rizado constante en la banda de paso y un incremento monótono de la atenuación en la banda atenua-da. Si, en cambio se quiere que sea monótono en la banda de paso y rizado constante en la banda atenuada, utilizaremos el llamado filtro de Chebychev inverso, cuya función de transferencia se expresa:

∣H j∣2=2C n

2 a / 12Cn

2 a /

donde ω = ωa es la pulsación de corte de la banda atenuada. Los filtros paso bajo de Chebychev inversos son máximamente planos en la banda de paso y tienen ceros finitos localizados en Cn a/ =0 .

Figura 6: Ejemplos de filtros de Chebychev inverso para distintos ordenes.

En la figura 6 se ven algunos ejemplos de esta aproximación con distintos órdenes. Todas las gráficas están normalizadas con ωa = 1. Podemos comprobar en estas gráficas que para la pulsación de corte de la banda eliminada se obtiene siempre el valor máximo en la banda



eliminada, es decir, ∣H ja∣= 2

12

. Si lo traducimos a atenuación resulta que

a=a .

En dichas gráficas se puede comprobar también que el orden del filtro se puede obtener al contar el número de máximos y mínimos en la banda atenuada.

Se puede demostrar que estos son tan eficaces en su aproximación a las especificaciones dadas como los filtros de Chebychev directo, es decir, nCHEB = nINVCHEB , pero la función de fase y retardo son muy diferentes. Los filtros de Chebychev directo tienen valores más altos de factor de calidad en los polos que los filtros inversos de Chebychev, lo cual implica que en las curvas de retardo se producen mayores picos. Como ejemplo en la figura 7 se muestra el retardo de filtros de Cebychev directo e inversos de orden n = 4 y n = 8. En situaciones donde las pequeñas variaciones de retardo son importante, tales como en vídeo o sistemas de transmisión de datos, es preferible la utilización de filtros inversos de Chebychev.

Figura 7: Curvas de retardo para Chebychev directo e inverso.


CHEB n = 8

CHEB n = 4 INVCHEB n = 4

INVCHEB n = 8


4.4.- Filtros elípticos o de Cauer. Características.

Hemos visto en secciones anteriores que la aproximación era más efectiva, es decir, de menor orden, si el error aceptable es distribuido de modo que el rizado sea constante en la banda de paso o en la banda atenuada. Por la misma razón un resultado más eficiente puede ser obtenido si distribuimos también el error entre la banda de paso y la banda atenuada en lugar de dejar que la atenuación se incremente monótonamente para ∞ . Como resultado obtendremos una función de transferencia en la que habrá tanto polos como ceros, siendo éstos finitos a diferencia de lo que ocurre con los filtros de Butterworth o de Chebychev directo.

La función que cumpla esos requisitos tendrá la forma:

∣H j∣2=

1

12Rn2

la cual tiene una función de atenuación con rizado en la banda de paso con valor máximo igual a αp y rizado en la banda atenuada con valor mínimo igual a αa, esto nos llevará al uso de funciones elípticas. Los filtros resultantes, por tanto, se llaman filtros elípticos (o filtros de Cauer por su diseñador inicial). La función racional de Chebychev Rn(ω) se puede expresar como:

Rn=k∏i=1

n /2 2−i

2

2−1

i2

n par a

Rn=k ∏i=1

n−1 /2 2−i2

2−

1

i2

n impar b

La constante k en la ecuación (a) se determina de tal manera que el máximo rizado de Rn(ω) en la banda de paso 0≤≤p sea la unidad por lo que ε, de nuevo, determina el rizado de la banda de paso del filtro y se calcula de acuerdo con la expresión:

=100 ,1

p−1

Observar que los ceros y los polos están simétricamente situados de forma geométrica alrededor de la pulsación 1.

Para el caso de los filtros elípticos obtener una expresión que nos de el grado n del filtro se complica enormemente por ello el cálculo del orden lo realizaremos usando programas diseñados para ello.

Con todos los parámetros conocidos, los ceros y los polos de H(s) pueden ser encontrados, un ejercicio que generalmente requiere el uso de un ordenador. Sin embargo existen libros de tablas de polos y ceros para una gran variedad de casos.



La función de transferencia para un filtro elíptico será de la forma:

H s =

H∏i=1

m

s2ai

snbn−1 sn−1bn−2 s

n−2⋯b1 sb0

Ejemplo:

Encontrar el orden mínimo de un filtro elíptico que cumpla las especificaciones dadas en los ejemplos realizados para Butterworth y Chebychev.

Solución:

De los ejemplos anteriores sabemos que ωa/ωp =1.6, αp = 0.5 dB y αa = 23 dB.

Con dichos valores y usando la función ellipord en Matlab se obtiene un orden n = 3

Observar que para las especificaciones dadas, es necesario un filtro de tercer orden elíptico para su realización, por el contrario, según hemos visto anteriormente es necesario uno de orden octavo si se trata de un filtro de Butterworth o de orden quinto si el filtro es de Chebychev.

La diferencia de orden se incrementa notablemente si las especificaciones son más restringidas; por ejemplo para las especificaciones siguientes, p=0 ,05 dB , a=80dB y

a

p

=1,2 entonces obtenemos: nELI = 10, nBUT = 63 y nCHEB = 20.

En la figura 8 se puede ver un ejemplo de varios filtros elípticos con distintos órdenes. En dichas gráficas se pueden comprobar las características propias de estos filtros:

1. Tienen rizado constante en ambas bandas.

2. El orden del filtro se puede obtener contando el número de máximos y mínimos, o bien en la banda de paso o bien en la eliminada.

3. Los filtros pares tienen la atenuación máxima en la banda de paso para =0 .

4. Los filtros impares tienen atenuación nula para =0 .

5. Para = p se obtiene siempre la máxima atenuación en la banda de paso.



Figura 8: Distintos ejemplos de filtros elípticos.

Figura 9: Comparación de filtros de Butterworth, Chebychev y elíptico de orden 4.



4.5.- Comparación de las distintas aproximaciones de amplitud.

Los ejemplos anteriores nos muestran que, para unas especificaciones dadas, los filtros elípticos son los más eficientes, seguidos por los de Chebychev y los de Butterworth. La razón principal para esta diferencia radica en la distribución aproximada de rizado constante del error en la banda de paso junto con la eficacia de los ceros finitos, es decir, cero∞ , lo cual permite que la función de los filtros elípticos tenga una región de transición muy estrecha. La especificación más exigente es, por tanto, la anchura de la banda de transición. Observar, por ejemplo, que para las mismas especificaciones de ejemplos anteriores pero con ωa/ωp = 1,1 en lugar de 1,6, obtendremos nELI = 4, nCHEB = 10 y nMP = 39.

En la figura 9 se puede ver gráficamente cómo para el mismo orden las pendientes de las distintas aproximaciones son distintas. La elíptica es la que más caída presenta, después la de Chebychev y, por último, la de Butterworth. Un elemento más, importante en la comparación de estos tipos de aproximaciones es su comportamiento de fase o retardo. Debido a que las funciones de CHEB y ELI tienen un factor de calidad de los polos mayor que las funciones MP todo polo (Butterworth), sus curvas de retardo para un mismo grado son más puntiagudas (Figura 10). Esta observación puede, sin embargo, ser muy engañosa, al comparar funciones MP (BUT), CHEB, INVCHEB y ELI del mismo grado, considerando que la comparación debería estar basada sobre las funciones con el grado elegido para satisfacer especificaciones de atenuación iguales.

Figura 10: Comparación de las gráficas de retardo de filtros de Butterworth, Chebychev Directo e inverso y elíptico de orden 4.



En ese caso la comparación puede ser muy diferente como puede observarse en la figura 11 , donde se representa el retardo de los filtros de MP, CHEB, INVCHEB y ELI con las siguientes especificaciones αp = 0.5 dB, αa = 23 dB y ωa = 1.25 y ωp=1 basándose en la variación de retardo sobre la banda de paso 0≤≤p , parece ser que el filtro ELI tiene el mejor retardo, seguido de cerca por el filtro INVCHEB; mientras que el filtro MP y CHEB son mucho peores. Evidentemente, el resultado de la comparación depende del grado necesario para satisfacer las especificaciones de atenuación requeridas.

Figura 11: Curvas de retardo para las mismas especificaciones.


BUT n = 17

CHEB n = 7

ELI n = 4

INVCHEB n = 7

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