funciones

ESTUDIOS

GENERALES

DEPARTAMENTO

DE MATEMATICA 2015 I

MATEMATICA

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: [email protected]

pág. 1

FUNCIONES REALES DE

VARIABLE REAL

I. NOCIONES PRELIMINARES PAR

ORDENADO: Es un ente geométrico que

consta de dos elementos “𝑎” 𝑦 “𝑏” a los

cuales se les denomina 1er y 2do

componente respectivamente. Se le denota

por: (𝑎; 𝑏) y se utiliza para indicar la

posición de un punto 𝑃 = (𝑎; 𝑏) respecto al origen “o” del plano cartesiano.

b

o a

P(a; b) Recuerda que:(a; b) (b; a)

Importante: (a; b) = a ; a, b

Notación en conjuntos|

Propiedades

1. De la igualdad:

nbma)n;m()b;a(

2. De la oposición: xbya)y;x(conopuestoes)b;a(

|

PRODUCTO CARTESIANO.

Dados dos conjuntos no vacíos “A y “B”

se define el producto cartesiano de A por

B, así: BbAa/)b;a(BxA

Propiedades 1. El producto cartesiano no es

conmutativo

AxBBxA

2. Con respecto al número de elementos

de un producto.

)B(nx)A(n)xBA(n

RELACION BINARIA

Dados dos conjuntos no vacíos “𝐴” 𝑦 “𝐵”

se denomina relación de “𝐴” en “𝐵” a todo

subconjunto del producto cartesiano de

“𝐴” 𝑝𝑜𝑟 “𝐵” es decir:

BxAlaciónRe

Y según la definición:

bRaBbAa/)b;a(R

Notación: Son equivalentes las

notaciones:

a R b (a; b) R

Se lee: "a está en relación con b

mediante R"

Se lee: "el par ordenado(a; b) pertenece a la

relación R"

Propiedades

1. De las relaciones notables ∅ es la

relación vacía de 𝐴𝑥𝐵 y de todo producto

cartesiano 𝐴𝑥𝐵 es la relación total de 𝐴𝑥𝐵

TEMA ESCUELA PROFESIONAL

Funciones Reales de

variable real

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

FECHA 16/02/16 TURNO MAÑANA AULA 405A SEMANA 05

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2. Con respecto al número máximo de relaciones binarias de A en B:

n° max. Relac. 𝐴 → 𝐵 = 2𝑚.𝑛

Donde:

𝑀 = # 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑁 = # 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵

II. FUNCIONES

Empleamos funciones

para analizar

numéricamente las

relaciones de causa y

efecto, es decir la

correspondencia entre

un valor de entrada y

otro de salida. Observa

el esquema siguiente:

x

y = f(x)

Dominio de f

Rango de f(Imagen)

Máquina f

Luego:

Una función es una regla o

correspondencia entre dos conjuntos de

números reales, que asigna a cada

elemento del primer conjunto, llamado el

dominio de la función, exactamente un

elemento del segundo conjunto. Al

conjunto de valores asignados se le llama

el rango de la función.

1. DEFINICIÓN

Dados dos conjuntos no 𝑣𝑎𝑐í𝑜𝑠 “𝐴” 𝑦 “𝐵“ y una relación, se define: “f es una función

de A en B sí y solamente si para cada

𝑥𝜖 𝐴 existe a lo más un elemento 𝑦 𝜖 𝐵, tal que dos pares ordenados distintos no

pueden tener la misma primera

componente.

:

( ; ) ( , )

Si f es una función tal que

x y f x z f y z

F

x y = f(x)

A B

2. NOTACION DE UNA FUNCION

Una función puede denotar de diferentes

formas, pero la más adecuada es la

siguiente: f : / ( )A B y f x

Dónde: 𝑦 = 𝑓(𝑥) se denomina Regla de

Correspondencia entre x e y; además:

A: Conjunto de partida

B: Conjunto de llegada

x: Pre – imagen de y o variable

independiente

y: Imagen de x o variable dependiente

3. EVALUACION DE UNA FUNCION

Dada la función f : / ( )A B y f x .

Evaluar la función 𝑓 significa obtener el valor de “y” mediante su regla de

correspondencia, luego de asignarle un

cierto valor de “𝑥”. Por ejemplo, para 𝑥 = 𝑎, el valor de la función, llamado también

Imagen, que le corresponde será 𝑓(𝑎), con

lo cual que el par (𝑎; 𝑓(𝑎)) 𝑓.

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4. RECONOCIMIENTO GRAFICO

DE UNA FUNCION

En el plano cartesiano, una cierta gráfica

es la representación de una función si y

sólo si cualquier recta vertical (paralela al

eje y) intersecta a dicha gráfica a lo más en

un punto.

Observa los siguientes gráficos:

5. APLICACIÓN La función f se denomina Aplicación de

A en B si y solamente si todo elemento x

A sin excepción, tiene asignado un

elemento y B y solamente uno, en tal

caso se denota así:

f :f

A B ó A B

Ó

El dominio de toda aplicación f : A B

siempre coincide con el conjunto de

partida A, es decir:

𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝐴 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛: 𝑅𝑎𝑛 (𝑓) 𝐵

6. DOMINIO Y RANGO DE UNA

FUNCIÓN

Dominio: 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = {𝒙𝝐ℝ/𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒇(𝒙)} Son todo los valores que se pueden entrar a una función.

Cuando se ingresan valores del dominio en

una función se obtienen valores del rango.

Rango: 𝑹𝒂𝒏(𝒇) = {𝒚 𝝐 ℝ / 𝒆𝒙𝒊𝒙𝒕𝒆 𝒙 𝝐 𝑫𝒐𝒎(𝒇) 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝒚}

Son todo los valores que pueden salir de

una función. El rango es también conocido

como el recorrido, alcance o campo de

valores de una función.

Gráfica: 𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = 𝑓(𝑥),∀ 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓)}. Se define la gráfica de la función como el conjunto de pares

(𝑥, 𝑦) tales que 𝑦 = 𝑓(𝑥), siendo x un elemento del dominio de la función.

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7. DADA LA REGLA DE

CORRESPONDENCIA DE UNA

FUNCION

Dominio: Para hallar el dominio en estos

casos, se despeja la variable “y” o f(x) y

luego se analiza en el segundo miembro

los valores que puede adaptar “x” tal que

la función existe en los reales.

Rango: Para hallar el rango se despeja la

variable “x” y se hace el análisis a la

variable “y” de tal forma que exista la

función en los reales.

FUNCIONES USUALES:

Importante

Una función “𝑓” queda bien determinada (también se dice: bien definida), si se

conocen:

a) Su regla de correspondencia 𝑓(𝑥) (o sea la ecuación de la función)

b) Su dominio: 𝐷𝑓.

Ejemplo. Se quiere construir un pozo de forma cilíndrica de 2 m de diámetro.

Definir una función que exprese el

volumen que cabe en el pozo en función de

la profundidad. Solución

Se trata de expresar el volumen de un

cilindro en función de su altura x. como el

volumen del cilindro es:

𝑉 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎)(𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎), y dado

que el área de la base es el área del círculo

su diametro igual a 2 m (es decir, de radio

1 m). Se verifica que el valor del volumen

en función de la altura x es 𝑉 = 𝜋𝑟2. 𝑥

⇒ 𝑉 = 𝜋𝑥. por tanto, la función buscada

es 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥.

EJERCICIOS

01. Sabiendo que:

𝑓 = {(5; 7𝑎 + 2𝑏), (2; 5), (2; 𝑎 + 2), (5; 5𝑏 – 2𝑎)} Describe una función. Calcular:

𝑓(2) + 𝑓(𝑓(2))

𝑎) 6 𝑏) 7 𝑐) 34 𝑑) 44 𝑒) 54

02. Dada la función:

𝑓 = {(1; 2), (2; 𝑎 + 𝑏), (3; 9), (2; 7), (3; 𝑎 + 2𝑏)}

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑎𝑏

𝑎) 2 𝑏) 4 𝑐) 6 𝑑) 8 𝑒) 10

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03. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn – Euler representen a funciones:

A BI.- f

A BII.- f

A BIII.- f

A BIV.- f

A BV.- f

Son ciertas:

𝑎) 𝑇𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑏) 𝐼, 𝐼𝑉 𝑦 𝑉 𝑐) 𝐼, 𝐼𝐼𝐼 𝑦 𝐼𝑉

𝑑) 𝐼 𝑦 𝐼𝑉 𝑒) 𝑠ó𝑙𝑜 𝐼

04. ¿Qué conjunto de pares ordenados: R1 = {(3; 2), (4; 6), (5; -1)}

R2 = {(1; 2), (1; 3), (1; -2)}

R3 = {(1; 4), (3; 4), (7; 3)}

R4 = {(3; 6), (3; 7), (4; 7)}

Son funciones:

𝑎) 𝑅1 𝑅3 𝑏) 𝑅1 𝑅2 𝑐) 𝑅2 𝑅4

𝑑) 𝑅3 𝑅4 𝑒) 𝑁. 𝐴

05. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Toda función es una relación ( )

Toda relación es una función ( )

Toda recta es una función ( )

Toda parábola es una función ( )

a) FVFF b) VFFF c) VFVV

d) VFVF e) VFFV

06. Dados los conjuntos: M = {1, 2, 3} y N = {0, 1, 2} y las funciones: f1 = {(1; 0), (2; 0)}

f2 = {(1; 0), (2; 2), (3; 0)}

f3 = {(1; 0), (2; 1), (3; 1)}

f4 = {(2; 2), (3; 0)}

Son aplicaciones de M en N:

a) todas b) f2 y f3 c) f1 y f4

d) f1 y f2 e) f3 y f4

07. Indique cuáles de los siguientes

gráficos representan a funciones:

(x)

(y)I.-

(x)

(y)II.-

(x)

(y)III.-

(x)

(y)IV.-

(x)

(y)V.-

(x)

(y)VI.-

Son ciertas:

a) Todas b) II, IV y V c) II, IV, VI

d) I, III, V e) Todas menos I

08. La siguiente tabla, muestra los valores

hallados para la función:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏

Entonces al producto de las constantes

𝑎 𝑦 𝑏 es:

a) 12 b) 16 c) 20 d) 15 e) 24

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09. Señalar cuál de los siguientes diagramas de Veen – Euler establece una

Aplicación:

A B1) f

m

a

b

c

A B2) f

ma

b

c

n

p

A B3) f

pa

bc

q

rd

A B4) f

pa

bc

q

rd s

a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 4

d) 2 y 3 e) 3 y 4

10. Dado el conjunto: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se grafica una

función de A en A, así: 𝑓: 𝐴 𝐴

12 3

64

5

Indicar la suma de elementos de su rango.

a) 21 b) 17 c) 16 d) 15 e) 12

11. De la figura mostrada, halle el valor

de:

)3(f)2(f

)1(f)5(fE

(x)

(y)

f(x)6

3

2

1

1 2 3 4 5 a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) 3

12. Sea 2(x) 1f x , una función cuyo

dominio es:

Dom (F) = [-4; -2] [-1; 1]; determinar

su rango.

a) [-1; 0] [3; 15] b) [0; 1] [3; 15]

c) IR d) [-1; 3] [5; 15]

e) N.A.

13. Sea f la función cuya gráfica presentamos.

(x)

(y)

ca

b

d

(e; h)

f

Podemos afirmar que:

I.- Dom (f) = [0; e > - {a}

II.- Ran (f) = <h; d] – {b}

III.- x1; x2 elementos del dominio de

dicha función tales que se cumpla:

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) Son verdaderas:

a) I y III b) I y II c) II y III

d) todas e) N.a

14. Las funciones 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻 tienen las

reglas de correspondientes siguientes:

𝑓(𝑥) = − 𝑥2; 𝐺(𝑥) = −𝑥 ; ℎ(𝑥) = 1

𝑥

Las gráficas de 𝐹 𝐺 se cortan en los

puntos “𝑃” “𝑄” y las gráficas de 𝐹 𝐻, en el punto “𝑅”. Luego los puntos;

𝑃, 𝑄 𝑦 𝑅 son respectivamente: a) (0; 0), (1; -1) y (-1; -1)

b) (1; 1), (0; 0) y (-2; 1)

c) (-1; -1), (1; 1) y (-1; 1)

d) (-1; 1), (1; -1) y (0; 0)

e) N.A

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15. Siendo: 𝑓 = {(1; 0), (2; 3), (3; 8), (4; 15), (5; 24)} Una función definida en Z+. Halle su regla de correspondencia

o ley de formación:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 1 ; 𝑥 [1; 5] b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2 ; 𝑥 [1; 5] c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 3 ; 𝑥 < 0; 6 >

d) 𝑓(𝑥) = − (1 – 𝑥2) ; 𝑥 [0; 6 >

e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 1 ; 𝑥 [1; 5]

16. Del diagrama que se muestra. Calcular el valor de:

))3(f(g)3(f

))2(f(g)2(fE

f

21

2

3

g

5

3

5

2

3

a) 5/8 b) 7/3 c) 8/5

d) 3/5 e) 8/7

17. Sea la función 𝑓: 𝑅 𝑅, definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, donde a y b son

constantes. Si 𝑓(1

3) = 4 y 𝑓(2) = −1.

Hallar a2 + b2

a) 32 b) 34 c) 36 d) 41 e) 25

18. Hallar el dominio de la función:

2f( ) | | 2 4 | |x x x

a) 𝑥 [−4 ; −2] [2 ; 4] b) 𝑥 [−3 ; −2] [1 ; 2] c) 𝑥 [−3 ; −1] [1 ; 2]

d) 𝑥 [−2 ; 0] [1 ; 2] e) N.A.

19. Encontrar el dominio de la función F,

definida por: 𝑓(𝑥) =1

𝑥3−𝑥

a) R – {0} b) R – {0; 1}

c) R – {-1; 0; 1} d) R

e) R – {-1; 0; 1; 2}

20. Dada la función: 2

4(x)

2f

x

Proporcionar:

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) 𝑅𝑎𝑛 𝑓(𝑥) a) <0; 2] b) <0; 2> c) <0; 1/2>

d) <0; ½] e) <-2; 2]

21. Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que:

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 + 1

𝑔(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 1

Indicar la intersección de sus rangos

a) [2; -5] b) [2; 4] c) [3; 5]

d) [1; 4] e) [0; 5]

22. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos

describen a una función de 𝑀 × 𝑀, si

𝑀 = {2, 3, 4, 5, 6}

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀2 / 𝑥 = 3}

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀2 / 𝑦 = 3}

𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀2 / 𝑥 + 𝑦 = 7}

𝑅4 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀 2/ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25}

𝑅5 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀 2/ 𝑥 > 𝑦} a) Todas

b) 𝑅1, 𝑅2 𝑦 𝑅3

c) 𝑅2, 𝑅3 𝑦 𝑅4

d) 𝑅2, 𝑅4 𝑦 𝑅5

e) 𝑅3, 𝑅4 𝑦 𝑅5

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23. Hallar el rango de la función cuya regla de correspondencia es:

2

2

3f( )

2

xx

x

a) <0; 2] b) <1; 3> c) <0; 2>

d) <1; 3] 3

) 1;2

e

24. Halle el dominio de la siguiente

función:

34 1(x) 1 4 2

2 6f x x

x

a) 𝐷𝑓 = [1; 3 > 𝑈 < 3; 4] b) 𝐷𝑓 = [1; 4] c) 𝐷𝑓 = < 1; 3 > 𝑈 < 3; 4 >

d) 𝐷𝑓 = < 10; 4 >

e) 𝐷𝑓 = [−1; 3] 𝑈 < 4; 5]

25. Si 𝑓 = {(8; 2), (2; 𝑎), (𝑎2 − 1; 𝑏), (2; 2𝑎 − 3), (3; 5)}

Indicar la suma de las del mínimo y

máximo valor de la función.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4

26. Cierta función F viene representada por la siguiente gráfica. ¿Qué valores de

la variable independiente x hacen que la

función se anule?

x-2

y

F

-1 2 31

4

a) {-2; 2} b) {4} c) {-2; 2; 3}

d) {-2; -1; 1; 2; 3} e) {-2; -1; 0; 1; 2}

27. Considere la función F con máximo

dominio posible: x2x2)x(F Luego

el rango de F es:

a) [1; 2] b) <-2; 2> c) <-2; 2 >

d) [2; 22 ] e) <2; 2 2 >

28. Si el rango de: 2

2f( ) ,

1

xx

x

es:

[𝑎; 𝑏 > Luego el valor de “a + b” es:

a) 0 b) 1 c) 2 d)1

2 e)

3

4

29. ¿Cuál de las siguientes gráficas no

presenta una función?

ya)

3

yb)

yc) yd)

e) Ninguna

30. Sabiendo que f es una función tal que:

𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(2), 𝑥 𝐼𝑅. Decir cuales de las siguientes

proposiciones son verdaderas:

𝐼. 𝑓(()) = 0

𝐼𝐼. 𝑓(8) = 4 𝑓 (2)

𝐼𝐼𝐼. 𝑓(−2) = − 𝑓 (2) a) Sólo I b) sólo II c) Sólo III

d) todas e) I y II

funciones

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