funciones

Capítulo 1

Funciones, Gráficas y susAplicaciones

La ciencia y la tecnologíanos brindan cada momentoimportantes avances quenos permiten conocermás de nuestro universo.Sin la teoría de funciones

esto no sería posible.

La idea de función es una de las más importantes en matemática. Para estu-diar matemática más allá del nivel elemental, usted necesita adquirir una sólidacomprensión acerca de las funciones, sus gráficas y de cómo usarlas. Por ejem-plo, si usted quiere analizar la tendencia actual sobre el gasto de publicidad eninternet y sus futuras proyecciones, requiere un modelo matemático para resolveresta situación. En este capítulo usted aprenderá lo suficiente acerca de funcionesy estará convencido de que son ¡son extremadamente útiles!

2 Lord Barrera

1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones

En esta sección se establece el concepto de función y se estudian sus operacio-nes básicas, que serán utilizadas en todo este libro.

1.1.1. ¿Qué es una Función?

Comencemos ilustrando una máquina expendedora de bebidas.

Algunas preguntas que surgen son lassiguientes: ¿Qué tiene que ver la mate-mática con este asunto? y en particular¿cómo relacionamos esta máquina ex-pendedora de bebidas con funciones enmatemática? Tomaremos en cuenta es-te hecho para introducir más adelanteel concepto de función y modelarlo me-diante un ejemplo concreto.

Consideremos el caso de dos máquinas A y B que expenden bebidas. La má-quina A tiene cuatro botones y cada uno permite obtener una bebida distinta. Lomismo pasa con la máquina B que tiene 4 botones y cada uno de ellos expendediferente bebida. Los siguientes cuadros ilustran esta situación:

Máquina A

Botón n◦ Salida1 Coca cola2 Inca cola3 Pepsi4 Sprite

Máquina B

Botón n◦ Salida1 Fanta2 Agua mineral3 Fanta4 Chola de oro

Es común que hayamos visto maqui-nas similares a A y B, pero no creoque hayamos encontrado una situa-ción parecida a la que muestra elcuadro de la derecha:

Máquina C

Botón n◦ Salida1 Coca/Sprite2 Inca cola3 Mirinda/Diet coca

www.lordbarrera.com 3

Aquí, cuando usted presiona el boton 1 de la máquina C, consigue Coca ySprite; es decir, nuestro botón de entrada n◦1, no permite una única bebida desalida, y lo mismo pasa con el botón 3.

Los casos anteriores muestran las relaciones que hay entre entradas (en estecaso los botones) y salidas (que son las bebidas).

Definición 1.1.1. Una función es una correspondencia f que asigna a cada entra-da una única salida.Cuando una función f tiene entrada x, la salida se escribe como f (x), que se lee“ f de x”.

Si queremos indicar que la función f asigna a la entrada 2 la salida 5, entoncesescribimos

f ( 5=

entrada salida

nombre de la función

(2

que se lee “ f de 2 es 5”.

La entrada se llama variable independiente y la salida variable dependiente.En lo que sigue, nuestras funciones serán reales, esto quiere decir que las entradasy salidas son números reales.

Ejemplo 1.1.1. (Costo de llamada). Siusted habla por celular y cada minuto lecuesta S/0.5, entonces

en un minuto gasta 1× 0.5 = 0.5 soles

en dos minutos gasta 2× 0.5 = 1 sol

en tres minutos gasta 3× 0.5 = 1.5 soles... =

...

en x minutos gasta x× 0.5 = 0.5x soles

4 Lord Barrera

O sea, por hablar x minutos le costará 0.5x. Para este modelo tenemos así unafunción que escribimos

f (x) = 0.5x

Aquí nuestra función es la regla que asigna a la entrada x (cantidad de minutoshablados por celular) la salida 0.5x (que consiste del costo que resulta de hablarx minutos).

Definición 1.1.2. El dominio de una función f es el conjunto de todas sus entra-das, denotado por dom( f ). El rango de f es costituido por todas sus salidas; másprecisamente, el rango de f es el conjunto

ran( f ) = { f (x) : x ∈ dom( f )}

Si damos la función y = f (x) y no especificamos el dominio, podemos pedirel dominio natural de f , que consiste de todos los posibles valores de x para loscuales existe f (x).

Ejemplo 1.1.2. Consideremos la función f (x) = x2. Esta hace corresponder acada número su cuadrado, por ejemplo

f (1) = (1)2 = 1, f (2) = (2)2 = 4, f (√

5) = (√

5)2 = 5

Si indicamos que x toma sólo valores 1, 2 o√

5, entonces dom( f ) = {1, 2,√

5} yran( f ) = {1, 4, 5}. Sin embargo, si no damos restricción a las entradas x, entoncessu dominio natural es el conjunto R de todos los números reales y su rango elconjunto R≥0 de reales positivos incluído el cero.

Para reforzar nuestro concepto de dominio y rango, regresemos al modelo delas máquinas expendedoras de bebidas.

Ejemplo 1.1.3. (i). La máquina A puede ser modelada por una función porqueel boton a presionar (la entrada) determina la bebida recibida (la salida); así quecada entrada determina una única salida.

Aquí, el dominio de la función es el con-junto {1, 2, 3, 4} y el rango es el conjunto

{Coca cola, Inca cola, Pepsi, Sprite} .

A1 Coca cola

2 Inca cola

3 Pepsi

4 Sprite


(ii). Lo mismo sucede con la máquina B, ya que para cada botón obtenemosuna única bebida. Notemos que los botones 1 y 3 producen la misma bebida ycumple con la definición de función. Modelando gráficamente tenemos

o bien

B

1 Fanta

2 Agua mineral

3 Fanta4 Chola de oro

B

1

234

Fanta

Agua mineral

Chola de oro

En este caso, el dominio es el conjunto {1, 2, 3, 4}, mientras que el rango es elconjunto {Fanta, Agua mineral, Chola de oro}.

(iii). En este caso no se tiene una funciónporque para las entradas 1 y 3 se tienendos salidas. El siguiente gráfico ilustra es-te hecho:

C

1Coca colaSprite

2 Inca cola

3MirindaDiet coca

Ejemplo 1.1.4. El siguiente esquema de función representa los 10 terremotosmás grandes del mundo entre los años 1900 y 2010.

LOCALIZACION Y FECHA MAGNITUD

Chile (mayo 22 de 1960) 9.5

Alaska (marzo 28 de 1964) 9.2Rusia (noviembre 4 de 1952) 9.0Indonesia (diciembre 28 de 2004)

Chile (febrero 27 de 2010)

Ecuador (enero 31 de 1906) 8.8

Alaska (marzo 9 de 1957)

Islas Kuriles (noviembre 6 de 1958) 8.7

Alaska (febrero 4 de 1965)

Chile (noviembre 11 de 1922) 8.5

6 Lord Barrera

Un ayuda-memoria para cerciorarse que una correspondencia es una funciónes tener en cuenta la disposición de la flecha:

pero noo

Ejemplo 1.1.5. Considere la función f (x) = x + 1.

(i) Calcule f (−1), f (2) y f (3).

(ii) Determine el dominio natural de f .

Solución. (i) Evaluando tenemos

f (−1) = −1 + 1 = 0, f (2) = 2 + 1 = 3 y f (3) = 3 + 1 = 4 .

(ii) Para determinar el dominio natural, debemos tener en cuenta que la salidax + 1 existe para todo número real x, o sea, dom( f ) = R.

Ejemplo 1.1.6. Considere la función f (x) =1

x− 1.

(i) Calcular f (0), f (2) y f (5).

(ii) Halle el dominio natural de f .

Solución. (i) Evaluando tenemos

f (0) =1

0− 1= −1, f (2) =

12− 1

= 1 y f (3) =1

3− 1=

12

.

(ii) Para hallar el dominio natural, notemos que1

x− 1existe para todo nú-

mero x que satisface x 6= 1, o sea, dom( f ) = R \ {1}.

Ejemplo 1.1.7. Hallar el dominio natural de las siguientes funciones

(i) f (x) =√

x− 2 (ii) g(x) =2x

x2 − 4(iii) h(x) =

x√1− x

Solución. (i) Sólo números no negativos admiten raíz cuadrada. Luego sedebe tener x− 2 ≥ 0, esto significa que x ≥ 2, o también

dom( f ) = {x : x ≥ 2} .


(ii) Desde que la función g es una fracción, el denominador debe ser no nulo.Aquí x2 − 4 6= 0, o también x 6= ±2. En término de conjunto podemos escribir

dom(g) = {x : x 6= ±2} .

(iii) Siguiendo las ideas anteriores, la única restricción aquí es√

1− x > 0,

o también 1 > x. Luegodom(h) = {x : x < 1} .

Ejemplo 1.1.8. Expresar el área de un disco en función de su radio (ver figuraabajo).

r

Solución. Sabemos que el área A de un disco de radio r es A = πr2. Si r repre-senta la variable independiente y A la variable dependiente, entonces tenemos lafunción

A(r) = πr2 .

Podemos destacar también el dominio de esta función: desde que se tiene undisco, entonces r siempre toma valores mayores que cero, o sea

dom(A) = {r : r > 0}.

Ejemplo 1.1.9. (Punto de ebullición y elevación). La elevación E, en metros,sobre el nivel del mar en el cual el punto de ebullición del agua es t grados centí-grados, es dada por la función:

E(t) = 1000(100− t) + 580(100− t)2

¿Cuál es la elevación si el punto de ebullición tiene 99.5◦?

8 Lord Barrera

Solución. Para conocer el nivel de elevación pedido, es suficiente evaluar enla función; así

E(99.5) = 1000(100− 99.5) + 580(100− 99.5)2 = 645 .

O sea, 645 metros.

Ejemplo 1.1.10. (Costo por consumode agua). Con el fin de incentivar el aho-rro en el consumo de agua, de las fami-lias de la ciudad de Lima, SEDAPAL se-ñala la siguiente medida de cobro: a cadafamilia se le cobrará 0.008 soles por ga-lón si usa menos de 4000 galones al mes,y que cobrará 0.012 por galón si cada fa-milia usa 4000 galones o más al mes.

(i) Hallar una función C que determina el costo mensual que cada familia asu-me por consumir x galones de agua al mes.

(ii) Hallar C(3900) y C(4200). ¿Qué representan sus respuestas?

Solución. (i) Desde que el costo de x galones de agua depende de su uso,necesitamos definir la función C en dos partes: para x < 4000 y para x ≥ 4000.Para x galones el costo es 0.008x si x < 4000 y 0.012x si x ≥ 4000. De estamanera podemos expresar a la función C como

C(x) =

{

0.008x si x < 4000

0.012x si x ≥ 4000

(ii) Desde que 3900 < 4000 tenemos que

C(3900) = 0.008(3900) = 31.20 .

Por otra parte, desde que 4200 > 4000 tenemos

C(4200) = 0.012(4200) = 50.40 .

En conclusión, usando 3900 galones el costo es 31.20 soles y usando 4200 galonesel costo es 50.40 soles.


1.1.2. Gráficando Funciones

Funciones pueden ser representadas gráficamente, y es común ver estas re-presentaciones. Casos concretos pueden verse por ejemplo en un sismógrafo paramedir la magnitud de temblor del departamento de Lima. También, un aparatode electrocardiograma mide la actividad eléctrica en el corazón. Estas máquinasdescriben gráficas de funciones.

La función que describe el número de estudiantes en una universidad privadacomo una función del tiempo (en años) puede ser representada de manera simplemediante una gráfica:

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

6000

6350

9398

11 050

12 400

15 340

18 760

año

n° estudiantes

2012

19 840

Cuando graficamos funciones debemos tener presente que la variable inde-pendiente (entrada) se ubica a lo largo del eje horizontal, y la variable depen-diente (salida) se ubica a lo largo del eje vertical. Las coordenadas de los puntosen la gráfica de la función son de la forma (entrada, salida). Dada la función f ,

10 Lord Barrera

para cada x en el dominio de f , el punto con coordenadas (x, f (x)) es un puntode la gráfica de f . Recordemos que el valor de la función f en el punto x se es-cribe como f (x). Así que los puntos de la gráfica son de la forma (x, f (x)). Másformalmente, dada la función f , la gráfica de f es el conjunto

graf( f ) = {(x, f (x)) : x ∈ dom( f )}.

Podemos distinguir a una función notan-do que su gráfica es una curva en el plano,tal que cualquier recta vertical interseca adicha curva en un solo punto. Esto se veen la figura de la derecha. x

y

Ejemplo 1.1.11. Identificar las gráficas que representan funciones.

(i) (ii) (iii)

x x x

yyy

Solución. La gráfica en (i) representa claramente una función ya que cual-quier recta vertical interseca a la curva en un solo punto.

La gráfica de la (ii) no es una función debido a que podemos intersecar conuna recta vertical a dicha curva en dos puntos.

En el caso (iii) el único punto en discusión es el punto donde hay un salto,pero en este caso la curva también representa una función pues una recta verticalque pasa por este salto corta a la curva en un solo punto.

Ejemplo 1.1.12. Si x pertenece al dominio de la función, entonces (x, f (x))

pertenece a la gráfica de f . Si (2, 5) está en la gráfica de alguna función f , entonces2 es la entrada de la función mientras que la salida es 5; así que f (2) = 5. Si laentrada 4 produce la salida 7, entonces (4, 7) está en la gráfica de la función. Másgeneralmente, si (x, y) ∈ graf( f ), entonces f (x) = y; de manera recíproca, sif (x) = y, entonces (x, y) ∈ graf( f ).


Ejemplo 1.1.13. (Cantidad de visitan-tes al parque de las leyendas). La asisten-cia anual al parque de las leyendas entrelos años 1964 y 2004 se muestra en la figu-ra derecha.(i) Teniendo en cuenta que las entradas es-tán en el eje horizontal y las salidas en eleje vertical, identificar las entradas y lassalidas a partir de la tabla.

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1964 1980 2000 2002 2004

Asis

tencia

en m

illo

nes

Año

(ii) Indicar si la correspondencia entre años y asistencia de público como mues-tra la gráfica, representa una función.

(iii) ¿Qué tendencia observa usted en los datos particulares?

Solución. (i) Para el conjunto de datos, la variable de entrada es el año y lavariable de salida es el número de personas que asisten anualmente al parque delas leyendas.

(ii) La correspondencia entre la variable de entrada y la variable de salidarepresenta una función, pues, para un año en particular tenemos una única can-tidad de asistentes por año.

(iii) A partir de la gráfica vemos que la asistencia del público al parque delas leyendas se incrementa desde el año 1964 hasta el 2002; pero que disminuyedesde el 2002 hasta el 2004.

Ejemplo 1.1.14. Considere un recipiente en forma de botella. La siguientegráfica describe el comportamiento del volumen de un líquido que es llenado enla botella.

volumen

altura

volumen alturaf

(11,3)

Usar la gráfica para determinar el dominio y rango de f .

12 Lord Barrera

Solución. Mirando la gráfica de f notamos que el dominio de la función es elconjunto de todos los posibles volumenes, es decir, [0, 11]. Además, el rango es elconjunto de todas las posibles alturas, es decir [0, 3].

Ejemplo 1.1.15. Suponga que usted enciende la hornalla de su cocina durantealgunos minutos y calienta agua en una olla. La temperatura del agua dependedel tiempo que lleva calentando el agua. Sea T la función definida por

T(x) = “temperatura del agua despues del tiempo x′′

donde x se mide en minutos.

(i) Esbozar la gráfica de la función T.

(ii) Realice una gráfica exacta con los datos que fueron recogidos de un experi-mento particular. Dibuje la gráfica de la función T en base a estos datos.

x (min) 0 1 2 5 10 15 20 25 30 35 40 50

T (F◦) 68 85 90 98 100 100 97 86 70 60 55 55

Solución. (i) Cuando la olla comienza a calentarse, la temperatura inicial delagua es prácticamente la temperatura ambiente. Conforme van pasando los mi-nutos, la temperatura T del agua comienza a aumentar hasta alcanzar una máxi-ma temperatura. Después que usted apaga la cocina, T se mantiene constante porunos minutos. Cuando van pasando los minutos, T decrece hasta que la tempera-tura del agua se mantiene a la temperatura ambiente. La figura (a) abajo muestrala gráfica de la temperatura T del agua como función del tiempo x cuando el aguase calienta en un tiempo determinado.

(ii) La gráfica de la tabla se ve en la figura (b).

5 20 40

70

100

5 20 40

40

100

60

80

T( )F T( )F

x(min) x(min)

(a) (b)

10 30


OFERTA Y DEMANDA

Comprender oferta y demanda es importante en economía, administracióny negocios. La cantidad demandada depende del precio en el mercado y puedevariar según cómo varíe el precio. La demanda es vista del lado del consumidory se espera que a medida que el precio aumente, el consumidor adquiera menosproductos. Lo contrario pasa con la oferta que se ve del lado del productor y seespera que a medida que el precio aumente, el productor venda cada vez más.

Un ejemplo de demanda se puede ver en una gasolinera cuando el consumi-dor se encuentra con nuevos precios.

Cuando el precio de la gasolina aumenta,cada vez se compra menos combustible.La figura de la derecha muestra la curvade la demanda para la gasolina. Cuando elprecio de la gasolina es de 2.70 por galón,los peruanos gastamos aproximadamente367.2 millones de galones de gasolina dia-riamente.

q millones de galones

p solespor galón100

200

300

400

0 2 4 6 8 10

367.2

2.7

Notemos en la gráfica anterior que a medida que el precio de la gasolina aumenta,la cantidad de gasolina consumida es cada vez menor. Como consecuencia, elnivel de viajes en omnibus disminuye.

14 Lord Barrera

Definición 1.1.3. La función de de-manda es la función q = D(p) querelaciona la cantidad q adquirida (porel consumidor) de un producto, con elprecio unitario p del producto en elmercado. La gráfica de la función dedemanda se llama curva de demanda.

q

p

D

Ejemplo 1.1.16. (Demanda de rope-ros). La demanda de roperos en una fábri-ca de muebles es modelada por

D(p) = −0.01p + 5.55

donde p es el precio (en soles) de un rope-ro y q se mide en unidades.

(i) De acuerdo al modelo, ¿a qué precio el consumidor no consigue comprarningún ropero? ¿Cuánto paga el consumidor por un ropero?

(ii) ¿Qué cantidad de roperos compra el consumidor cuando el precio de mer-cado es de 145 soles por cada unidad?

(iii) Calcule el precio unitario que el consumidor es capaz de pagar para obtener3 roperos.

Solución. (i) El consumidor no consigue comprar roperos cuando

0 = D(p) = −0.01p + 5.55

que implica p = 555; o sea que al precio de 555 soles por ropero, el consumidorno compra más roperos. Cuando se demanda un ropero, tenemos

1 = D(p) = −0.01p + 5.55 ⇔ p = 455

O sea, por 1 ropero paga 455 soles.(ii) Cuando el precio de un ropero es de 145 soles, la cantidad obtenida de

roperos esD(145) = −0.01(145) + 5.55 ≈ 3.1 roperos


O sea, 3 roperos aproximadamente.(iii) El precio unitario que el consumidor gasta para obtener 3 roperos se ob-

tiene haciendo3 = −0.01p + 5.55

De aquí se consigue p = 255 soles.

Ahora estudiemos la función de oferta: un ejemplo de cantidad ofertada pue-de verse en la venta de gasolina cuando el vendedor determina el precio porgalón.

0 1 2 3 4 50

100

200

300

400

q millones de galones

p solespor galón

(0.799, 175.9)

(2.699, 356.4)

(3.158, 400)

500

Los productores no venden gasolina cuando el precio es menor a 0.799 solespor galón. Cuando el precio de mercado es 2.699, los productores venden 356.4millones de galones. La oferta de 400 millones de galones se produce cuando elprecio de mercado es de 3.158 soles por galón.

Definición 1.1.4. La función de ofertaes la función q = O(p) que relaciona lacantidad q ofrecida (por el vendedor)de un producto, con el precio unitariop del producto en el mercado. La gráfi-ca de la función de oferta se llama cur-va de oferta.

O

p

q

16 Lord Barrera

Ejemplo 1.1.17. (Oferta de motos). Laoferta en la venta de motos es modeladapor

O(p) =

{

0 si p < 3

2.194(1.295p) si p ≥ 3

donde O(p) está en miles y p es el precioen miles de soles por moto.

(i) ¿Cuántas motos deben ser vendidas cuando el precio es de 4000 y de 8000?

(ii) ¿A qué precio debe ofertarse para vender 10,000 motos?

(iii) Calcule la cantidad vendida, cuando el precio en el mercado es de 7500soles.

Solución. (i) Cuando el precio es de 4000, entonces p = 4 y la cantidad ven-dida es

O(4) = 2.194(1.2954) ≈ 6170 motos.

Similarmente, cuando el precio es de 8000, entonces p = 8 y la cantidad vendidaes

O(8) = 2.194(1.2958) ≈ 17353 motos.

(ii) Para obtener el precio que resulta de vender 10000 motos, hacemos O(p) =

10, entonces resolvemos la ecuación

10 = 2.194(1.295p) ⇔ 4.558 = 1.295p ⇔ ln(4.558) = p ln(1.295)

O sea,

p =ln(4.558)

ln(1.295)≈ 5867 soles por moto

(iii) La cantidad vendida cuando el precio por moto en el mercado es de 7500soles, se obtiene haciendo p = 7.5. Entonces

O(7.5) = 2.194(1.2957.5) ≈ 15.249

O sea, 15,249 motos aproximadamente.

Si las curvas de la oferta y la demanda de un producto se grafican en el mismosistema cartesiano, con las mismas unidades, el equilibrio de mercado ocurre enel punto donde las curvas se intersecan. Este punto está determinado por el precio


de equilibrio y la cantidad de equilibrio. El equilibrio de mercado nos dice que elnúmero de consumidores es abastecido por la cantidad de artículos producidospor el fabricante sin que sobre ni falte artículos en el inventario.

Definición 1.1.5. El equilibrio de mercado ocurre cuando la cantidad ofertadadel producto es igual a la cantidad demandada. Para un producto con funciónde oferta O y función de demanda D, las coordenadas del punto de equilibrio(p∗, q∗) nos da el precio de equilibrio p∗ que satisface la ecuación D(p) = O(p)

y la cantidad q∗ = D(p∗) = O(p∗).

Podemos representar a este punto de equilibrio geométricamente.

La curva de la demanda D(p) es la cur-va decreciente, mientras que la curva dela oferta O(p) es la creciente. El punto deintersección (p∗, q∗) entre estas dos curvases el punto de equilibrio. Aquí, p∗ es elprecio de equilibrio y q∗ es la cantidad deequilibrio. p

O p( )

D p( )

q

p* q*,( (

Ejemplo 1.1.18. Si las funciones de demanda y oferta para la venta de teléfo-nos celulares son, respectivamente

D(p) = −5p + 4000 y O(p) = 15p + 1000

entonces el precio de equilibrio se obtiene haciendo

D(p) = O(p) .

De esto−5p + 4000 = 15p + 1000 ⇔ p = 150

O sea, p∗ = 150 soles es el precio de equilibrio, y desde que

q∗ = O(p∗) = D(p∗) = 3, 250

el punto de equilibrio es(p∗, q∗) = (150, 3250).

Esto significa que la cantidad demandada de 3250 celulares por los consumidoreses satisfecha por los vendedores, mientras cada celular se mantiene al precio de150 soles.

18 Lord Barrera

VALOR ABSOLUTO Y RAIZ CUADRADA

La función f (x) = |x| se lee valor absoluto de x y se define como sigue

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

El valor |x|mide la distancia de x al origen. Por tanto, |x| es siempre mayor oigual a cero. La figura abajo muestra una tabla de los valores x y |x|. La gráficadescribe una forma de V y tiene punta en el origen. Como vemos, el dominio esel conjunto R de números reales y el rango es el conjunto R≥0 de números realesmayores o iguales a cero.

x |x |-4 4

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

4 4

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

45

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

dominio

rango

Ejemplo 1.1.19. (Clima). En una loca-lidad de la Patagonia, la temperatura engrados Farenheit durante el año, se mode-la por la función

f (T) = |T + 10|

Se sabe que estos valores son menores a 20grados Farenheit. Interpretar T.

Solución. Como los valores son menores a 20 grados Farenheit, obtenemos lainecuación

f (T) = |T + 10| < 20

Ahora bien, tenemos dos situaciones: T + 10 ≥ 0 o T + 10 < 0.En el primer caso resulta T + 10 < 20, o sea, T < 10.En el segundo caso resulta −(T + 10) < 20, o sea, T > −30. En conclusión, la

temperatura T varía desde −30◦F hasta 10◦F.


La función f (x) =√

x se lee raíz cuadrada de x, que resulta de la únicasolución positiva y de la ecuación

y2 = x

La raíz cuadrada de un número existe sólo para valores positivos, incluído el cero,o sea, el dominio está constituido por el conjunto R≥0; además, el rango de estafunción es el conjunto R≥0. Su gráfica es una curva creciente que comienza en elorigen y se va curvando hacia abajo a medida que aumenta la entrada x.

Su gráfica se muestra en la figura abajo

x f (x) =√

x

0 0

1 1

4 2

9 3 1 2 3 4 5

1

2

3

45

x

y

dominio

rango

6 7 8 9 10

Ejemplo 1.1.20. (Movimiento de unpéndulo). El periodo de un péndulo es eltiempo requerido por por el péndulo paramoverse de un lado a otro un ciclo com-pleto. El periodo t en (segundos) es unafunción de la longitud l del péndulo, y sedefine mediante

t = f (l) = 2π

√

l

9.8

l

Hallar el periodo de un péndulo cuya longitud es 40 centímetros.

Solución. En realidad, nuestra fórmula sólo es válida para oscilaciones muypequeñas, o sea, el ángulo debe ser bien próxima al cero. Por otra parte, l está enmetros y debemos sustituir l = 40 cm = 0.4 m en la fórmula para tener

t = 2π

√

l

9.8= 2π

√

0.49.8

≈ 0.12

Por tanto, el periodo es aproximadamente 0.12 s.

20 Lord Barrera

1.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones

En este apartado veremos que las funciones se parecen a los números, es decir,se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo, si f (x) = x2 + 1 yg(x) = x + 3, entonces

f (x) + g(x) = (x2 + 1) + (x + 3) = x2 + x + 4

La nueva función y = x2 + x + 4 se llama función suma f + g. Similarmente,

f (x) · g(x) = (x2 + 1) · (x + 3) = x3 + 3x2 + x + 3

y la función y = x3 + 3x2 + x + 3 se llama función producto f · g.

Definición 1.1.6. Las operaciones aritméticas de f con g producen:

(i) La suma f + g es la función definida por

( f + g)(x) = f (x) + g(x) .

(ii) La diferencia f − g es la función definida por

( f − g)(x) = f (x)− g(x) .

(iii) El producto f · g es la función definida por

( f · g)(x) = f (x).g(x) .

(iv) El cocientef

ges la función definida por

(f

g

)

(x) =f (x)

g(x).

Observación 1.1.1. La suma f + g, la diferencia f − g y el producto f · g tienencomo dominio

dom( f + g) = dom( f − g) = dom( f · g) = dom( f ) ∩ dom(g)


Sin embargo, el cocientef

gtiene como dominio

dom(

f

g

)

= dom( f ) ∩ dom(g) ∩ {x : g(x) 6= 0}

Ejemplo 1.1.21. Sean f y g dos funciones definidas por

f (x) =1

x− 1y g(x) =

x

x + 2.

En cada caso, determine su dominio y halle el respectivo valor.

(i) ( f + g)(x) (ii) ( f − g)(x) (iii) ( f · g)(x) (iv)(

f

g

)

(x)

Solución. El dominio de f es {x : x 6= 1} y el dominio de g es {x : x 6= −2}.(i) En este caso el dominio de f + g es {x : x 6= 1, x 6= −2}. Además

( f + g)(x) = f (x) + g(x)

=1

x− 1+

x

x + 2

=(x + 2) + x(x− 1)

(x− 1)(x + 2)=

x2 + 2

(x− 1)(x + 2).

(ii) En este caso el dominio de f − g es {x : x 6= 1, x 6= −2}. Además

( f − g)(x) = f (x)− g(x)

=1

x− 1− x

x + 2

=(x + 2)− x(x− 1)

(x− 1)(x + 2)=−x2 + 2x + 2

(x− 1)(x + 2).

(iii) En este caso el dominio de f · g es {x : x 6= 1, x 6= −2}. Además

( f · g)(x) = f (x).g(x) =1

x− 1· x

x + 2=

x

(x− 1)(x + 2)

(iv) Desde que(

f

g

)

(x) =f (x)

g(x)=

1x− 1

x

x + 2

=x + 2

x(x− 1). En este caso el dominio

de(

f

g

)

es {x : x 6= 1, x 6= −2, x 6= 0}.

22 Lord Barrera

COSTO TOTAL, INGRESO TOTAL Y GANANCIA

La ganancia G(x) en una empresa sobre la cantidad x de productos vendidos,es la diferencia entre el ingreso total I(x) y el costo total de producción C(x), esdecir

G(x) = I(x)− C(x)

donde

G(x) = Ganancia por la venta de x unidades

I(x) = Ingreso por la venta de x unidades

C(x) = Costo de producción de las x unidades

En general, el ingreso se calcula mediante la ecuación

Ingreso = (precio por unidad)(número de unidades)

El costo se compone de dos partes: costo fijo y costo variable. El costo fijo tal co-mo la renta, pago de sueldos y publicidad, se mantiene constante independientedel número de unidades producidas. El costo variable se relaciona directamentecon el número de unidades producidas. Así que el costo se calcula mediante laecuación

Costo = costo variable + costo fijo

Ejemplo 1.1.22. (Ganancia en una cor-poración). Una importante corporacióntiene un ingreso modelado por la funciónI(t) = 40 + 2t, donde t es el número deaños desde el 2003 y I(t) está en millonesde dólares. Su costo de operación es mo-delado por la función C(t) = 35 + 1.6t,donde t es el número de años desde el2003 y C(t) está en millones de dólares.

Hallar la función de ganancia para dicha corporación.Solución. Desde que la ganancia G(t) es igual al ingreso menos el costo, po-

demos escribirG(t) = I(t)− C(t)

Sustituyendo las expresiones para I(t) y C(t), obtenemos

G(t) = (40 + 2t)− (35 + 1.6t) = 40 + 2t− 35− 1.6t = 5 + 0.4t

Así que la función de ganancia es G(t) = 5 + 0.4t, donde t es el número de añosdesde el 2003.


Ejemplo 1.1.23. (Ganancia en la ventade perfumes). Considere una fábrica queproduce una marca de perfume y vendecada unidad a 65 soles. El costo que re-sulta en la producción entre la publicidad,salarios y otros gastos es de 200,000 so-les, más 15 soles que resulta producir cadaperfume. Determinar la función de ganan-cia que resulta de vender x unidades.

Solución. El ingreso total cuando se venden x unidades es 65x, así que lafunción de ingreso es I(x) = 50x. El costo fijo es de 200,000 soles, así que el costototal en la producción de x unidades es 15x + 200, 000. Así que la función de costoes C(x) = 15x + 200, 000. La función de ganancia se calcula mediante

G(x) = I(x)− C(x) .

Por tanto,G(x) = 65x− (15x + 200, 000) = 50x− 200, 000

Las gráficas de I(x), C(x) y G(x) se muestran en la figura abajo

x

I x( )

x

C( )x

x

G( )x

4000

200000

-200000

I x( ) = 65xC( )x = 15x + 200000

G( )x = 50x - 200000

Observe a partir de las gráficas lo siguiente:

Ingreso : 0 unidades no producen ingreso; I(0) = 0

Costo : 0 unidades producen un costo fijo de 200,000 soles; C(0) = 200, 000

Ganancia : 0 unidades dan una pérdidad de 200,000 soles; G(0) = −200, 000

4, 000 unidades no producen ganancia ni pérdida; G(4, 000) = 0

24 Lord Barrera

1.1.4. Composición de Funciones

En situaciones reales es común encontrarnos con ejemplos donde la salida deuna función depende de una entrada, y donde ésta a su vez depende de otra.Esta combinación se llama composición de funciones. Ilustremos este hecho conel siguiente ejemplo: supongamos que un estudiante de ingeniería, en su curso dequímica necesita una fórmula para convertir la temperatura de grados Fahrenheita grados Kelvin. La fórmula

c(t) =59(t− 32)

le ayuda a calcular la temperatura de grados Fahrenheit a grados Celcius. Porotro lado, la fórmula

k(c) = c + 273

le ayuda a calcular la temperatura de grados Celcius a grados Kelvin.

Por tanto, 50◦ grados Fahrenheit co-rresponde a

c(50) =59(50− 32) = 10◦ Celcius

y 10◦ celcius corresponde a

k(10) = 10 + 273 = 283◦ Kelvin

212 100 373

32 0 273

-460 -273 0

50 10 283

F C K

O sea que, 50◦ grados Fahrenheit equivale a 283◦ grados Kelvin. Estos dosprocesos se pueden utilizar para convertir grados Fahrenheit a Kelvin.

Una manera directa de hacer esta convesión es haciendo a partir de,

c(t) =59(t− 32) y k(c) = c + 273

la fórmula

(k ◦ c)(t) = k(c(t)) = k

(59(t− 32)

)

=59(t− 32) + 273 =

5t + 22979

Si ahora utilizamos esta fórmula tenemos

(k ◦ c)(50) =5(50) + 2297

9= 283.


Definición 1.1.7. Dadas dos funciones f y g, definimos la composición de f cong, denotada por g ◦ f , como la función

(g ◦ f )(x) = g[ f (x)]

Podemos pensar de la composición g ◦ f como una máquina que está com-puesta por otras dos g y f , que actúan juntas para fabricar el mismo producto.Al ingresar la entrada x, la función interna f es la primera en procesar la entradax para producir la salida f (x); a continuación se convierte en una entrada para lafunción externa g que se encarga de procesar la nueva entrada f (x) que da comoresultado la nueva salida g( f (x)). El siguiente dibujo ilustra este procedimiento.

x

y = f x( (

f x( (

y =g x( (

f x( (( (g

Ejemplo 1.1.24. Sean f (x) = x + 1 y g(x) = x2. Calcular

( f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x) .

Solución. Podemos ver que ambas funciones tienen como dominio a R, y susvalores son números reales. Ahora bien,

f (g(x)) = f (x2) = x2 + 1 y g( f (x)) = g(x + 1) = (x + 1)2.

Ejemplo 1.1.25. Sean f (x) = 2x− 3 y g(x) =√

x. Calcular

( f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x) .

26 Lord Barrera

Solución. Debemos notar que g(x) =√

x está definida para todo x ≥ 0.Entonces para estos valores se tiene

f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x− 3 .

Por otro lado,g( f (x)) = g(2x− 3) =

√2x− 3 .

Pero esta última ecuación es posible teniendo en cuenta que 2x − 3 ≥ 0, o sea,x ≥ 3/2.

Ejemplo 1.1.26. (Recuento de bacte-rias). Después de modelar un experimen-to bacteriológico, el número N de bacte-rias en una comida congelada es dada por

N(T) = 20T2 − 80T + 500,

donde T es la temperatura de la comida engrados centígrados, siendo 2 ≤ T ≤ 14.

Cuando la comida es sacada de la refrigeración, su temperatura es dada por

T(t) = 4t + 2, 0 ≤ t ≤ 3

donde t es el tiempo en horas.

(i) Hallar la composición (N ◦ T)(t) y explicar el significado.

(ii) Determinar el tiempo cuando el recuento de la bacteria es de 2000.

Solución.

(i) N(T(t)) = 20(4t + 2)2 − 80(4t + 2) + 500

= 20(16t2 + 16t + 4)− 320t− 160 + 500

= 320t2 + 320t + 80− 320t− 160 + 500

= 320t2 + 420 .

La composición N(T(t)) representa el número de bacterias en la comida comouna función del tiempo cuando la comida sale de la refrigeración.

(ii) El recuento de la bacteria debe ser 2000 cuando 30t2 + 420 = 2000. Resol-viendo esta ecuación conseguimos que t ≈ 2.2 horas. Cuando se resuelve estaecuación omitimos la solución negativa debido a que no pertenece al dominio dela composición.


Observación 1.1.2. Debemos destacar lo siguiente: cada vez que realicemos lacomposición ( f ◦ g)(x) = f [g(x)], el valor g(x) está en el dominio de f , por esomismo tiene sentido la expresión f [g(x)]. Más precisamente, la composición exis-te si y sólo si

ran(g) ⊆ dom( f ) .

Otras fórmulas que debemos tener presentes son las siguientes:

dom( f ◦ g) = dom(g) y ran( f ◦ g) = ran( f ) .

Ejemplo 1.1.27. Consideremos

f (x) =1

√

1− x2y g(x) =

√

x2 − 1x

(i) Calcular la composición f ◦ g ¿qué fórmula se obtiene?

(ii) ¿Cuál es el dominio de f ◦ g? ¿y el de g ◦ f ?

Solución. Calculemos dom( f ) y dom(g). Debemos tener

1− x2> 0 ⇔ x2

< 1 ⇔ |x| =√

x2 < 1 ⇔ x ∈ (−1, 1)

Luego dom( f ) = (−1, 1). Por otra parte, g(x) está definida para todo x tal quex2 − 1 ≥ 0 y x 6= 0. Desde que

x2 − 1 ≥ 0 ∧ x 6= 0 ⇔ |x| ≥ 1 ∧ x 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

conseguimos que dom(g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).(i) Para conocer la fórmula de f ◦ g, debemos tener que ran(g) ⊆ dom( f ).

Ahora bien, dado x ∈ dom(g)

y =

√

x2 − 1x

⇔ xy =√

x2 − 1

⇔ x2y2 = x2 − 1

⇔ x2(1− y2) = 1

⇔ x2 =1

1− y2sólo cuando 1− y2 6= 0

⇔ x = ± 1√

1− y2sólo cuando 1− y2

> 0

28 Lord Barrera

Se sigue que ran(g) = (−1, 1) = dom( f ). Por tanto, para x ∈ dom(g)

f (g(x)) = f

(√

x2 − 1x

)

=1

√√√√1−

(√

x2 − 1x

)2

=

{

x si x ≥ 1−x si x ≤ −1

(ii) De la parte inicial se sigue que

dom( f ◦ g) = dom(g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

Finalmente, para x ∈ dom( f )

y =1√

1− x2⇔ y2 =

11− x2

⇔ y2(1− x2) = 1

⇔ x2y2 = y2 − 1

⇔ x2 =y2 − 1

y2≥ 0 sólo cuando y 6= 0

⇔ x =

√

y2 − 1

|y| sólo cuando y 6= 0

En este caso tenemos que ran( f ) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞). Por tanto, para x ∈dom( f )

g( f (x)) = g

(

1√

1− x2

)

=

√√√√

(

1√

1− x2

)2

− 1

1√

1− x2

=

{

x si 0 ≤ x < 1−x si −1 < x < 0


1.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas

Consideremos las siguientes funciones

Barrio donde vive

CarlosJoséMartin

PaulaTeresaMilagros

Los Olivos

Puente Piedra

Ingeniería

Vitarte

Lurín

El cubo del número

1 1

2 8

3 27

4 64

5 125

La diferencia entre estas funciones es que la primera se caracteriza por queuna de las salidas (o sea, Lurin) proviene de dos entradas (José y Paula). Por otrolado, en la segunda función observamos que cada salida proviene de una únicaentrada. Esta es la noción de función inyectiva.

Definición 1.1.8. Decimos que una función f es inyectiva si para cada b ∈ ran( f ),existe un único a ∈ dom( f ) tal que f (a) = b.

Ejemplo 1.1.28. Veamos que la función f (x) = x + 1 es inyectiva.

Solución. Notemos que

dom( f ) = R, ran( f ) = R e y = x + 1 ∈ ran( f )

además

y = x + 1 si y sólo si x = y− 1.

Luego, dado y ∈ ran( f ), existe x = y− 1 que es único y

f (x) = f (y− 1) = (y− 1) + 1 = y

Muchas veces resulta dificultoso verificar que una función es inyectiva, sinembargo el siguiente criterio geométrico nos ayuda a identificar de manera sim-ple este tipo de funciones.

30 Lord Barrera

Test de la recta horizontal. Podemos iden-tificar funciones inyectivas gráficamente:para esto debemos darnos cuenta que alintersecar a la gráfica de la función conuna recta horizontal en cualquier parte dela curva, entonces debemos conseguir sóloun punto de intersección.

x

y

Observación 1.1.3. Una manera equivalente de decir que f es inyectiva es la si-guiente :

Dados a1, a2 ∈ dom( f ) tal que f (a1) = f (a2), entonces a1 = a2.

Ejemplo 1.1.29. Utilicemos la observación anterior para mostrar que la fun-ción f del ejemplo 1.1.28 es inyectiva.

Solución. Sean x1, x2 ∈ dom( f ) tal que

f (x1) = f (x2),

o sea,x1 + 1 = x2 + 1 que implica x1 = x2.

Por tanto, f es inyectiva.

Ejemplo 1.1.30. La función f (x) = x2 definida en R no es inyectiva ya quepara los números x = −1 y x = 1 tenemos

f (−1) = 1 = f (1) .

Observación 1.1.4. Cuando queremos verificar que una función es inyectiva, de-bemos tener en cuenta el dominio sobre el que trabajamos. Puede suceder queuna función no sea inyectiva en su dominio natural; sin embargo, al restringirel dominio la función resulte inyectiva. Por ejemplo, si consideramos la funciónanterior f (x) = x2, ya sabemos que no es inyectiva en R, pero sobre el conjuntoR≥0 resulta inyectiva.

Ejemplo 1.1.31. Determinar analíticamente si cada una de las funciones esinyectiva.

(i) f (x) =3x + 52x− 3

(ii) g(x) =√

4x + 1 (iii) h(x) = (x− 2)2 + 3


Solución. (i) En este caso, la única restricción para el dominio de f se consi-gue haciendo

2x− 3 6= 0 si y sólo si x 6= 32

O sea, dom( f ) = R \{

32

}

. Luego

y =3x + 52x− 3

⇔ y(2x− 3) = 3x + 5

⇔ 2xy− 3y = 3x + 5

⇔ 2xy− 3x = 3y + 5

⇔ x(2y− 3) = 3y + 5

⇔ x =3y + 52y− 3

sólo cuando 2y− 3 6= 0 .

Aquí, la restricción para y también se consigue de 2y− 3 6= 0, o también, y 6= 3/2.

Luego, ran( f ) = R \{

32

}

. Además

f (x) = f

(3y + 52y− 3

)

=

3(

3y + 52y− 3

)

+ 5

2(

3y + 52y− 3

)

− 3=

3(3y + 5) + 5(2y− 3)

2(3y + 5)− 3(2y− 3)= y

Por tanto, f es inyectiva.(ii) Aquí el dominio de g se consigue haciendo

4x + 1 ≥ 0 si y sólo si x ≥ −14

O sea que, dom(g) = [−1/4,+∞). Ahora bien, si y =√

4x + 1 ≥ 0

y =√

4x + 1 ⇔ y2 = 4x + 1 ⇔ x =y2 − 1

4

Del primer término es claro que ran(g) = [0,+∞). Además

g(x) = g

(

y2 − 14

)

=

√

4(

y2 − 14

)

+ 1 =√

y2 = |y| = y

y g resulta inyectiva.(iii) Desde que h(x) = (x− 2)2 + 3 es una función polinómica, su dominio es

R y se deduce fácilmente que su rango es [3,+∞). Por otro lado, esta función noes inyectiva, ya que

h(1) = (1− 2)2 + 1 = 2 y h(3) = (3− 2)2 + 1 = 2.

32 Lord Barrera

INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Si f es una función inyectiva, sabemos que existe una flecha

f

f( (aa

dominio de f rango de f

Así que dado b ∈ ran( f ), existe (debido a la inyectividad) un único a ∈dom( f ) tal que f (a) = b. Esto nos permite considerar la nueva función f−1(b) =

a, lo que nos da la nueva flecha

f

f ( (bb

dominio de frango de f

-1

-1

a=

Se sigue de la definición que

( f−1 ◦ f )(a) = a para todo a ∈ dom( f ) y ( f ◦ f−1)(b) = b para todo b ∈ ran( f )

En este caso decimos que f es biyectiva y llamamos a f−1 la inversa de f .

Observación 1.1.5. La definición anterior nos dice que: la función f es biyectivasi existe una función g tal que

g( f (a)) = a y f (g(b)) = b

Más precisamente, cuando una función es biyectiva, su inversa también lo es.

Juntando las dos flechas anteriores podemos observar el comportamiento deambas funciones simultáneamente:

f

f

f( (xx

-1

dominio de f

dominio de f -1

rango de f

rango de f -1


Ejemplo 1.1.32. (Talla de pantalón). La siguiente tabla muestra talla de pan-talones en el Perú y la correspondiente talla en Estados Unidos. Sea y = f (x)

la función que da la talla de pantalón en EE.UU correspondiendo a la talla depantalón x en el Perú.

Talla de pantalón en Perú Talla de pantalón en EE.UU

28 38

30 40

32 42

34 44

36 46

(i) ¿Es f inyectiva?

(ii) Hallar f (32).

(iii) Hallar f−1(44).

(iv) Hallar f−1( f (28)).

(v) Hallar f ( f−1(46)).

Solución. (i) De la tabla vemos que el dominio está formado por todas lastallas de pantalón en el Perú, o sea

dom( f ) = {28, 30, 32, 34, 36}

y también vemos que el rango está formado por las correspondientes tallas enEE.UU, es decir

ran( f ) = {38, 40, 42, 44, 46}Desde que a cada talla del dominio le corresponde una única talla en el rango yrecíprocamente, vemos que la función es biyectiva.

(ii) f (32) = 42 .

(iii) f−1(44) = 34 .

(iv) f−1( f (28)) = f−1(38) = 28 .

(v) f ( f−1(46)) = f (36) = 46 .

34 Lord Barrera

Ejemplo 1.1.33. Es fácil verificar que las funciones

f (x) = x + 2 y g(x) = x− 2

son una inversa de la otra. En efecto, notemos que

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x + 2) = (x + 2)− 2 = x

y

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x− 2) = (x− 2) + 2 = x

Esto muestra que f−1 = g y g−1 = f .

Ejemplo 1.1.34. La función f (x) = x2 tiene por dominio a R y por rango a[0,+∞). Su inversa es la función g(y) =

√y.

Ejemplo 1.1.35. La función lineal f (x) = 2x + 1 tiene por dominio y rango a

R. Su inversa es la función g(y) =y− 1

2.

Ejemplo 1.1.36. Para cada una de las siguientes funciones, hallar el dominioy rango para que resulte biyectiva. A continuación calcular f−1.

(i) f (x) = 3x− 7 (ii) f (x) =4x + 3x + 2

(iii) f (x) = −2√

x + 3

(iv) f (x) =x + 4x− 3

(v) f (x) = −2(x + 1)2 + 3 (vi) f (x) = x2 − 2x + 2

Solución. (i) La función f (x) = 3x − 7 está definida para todo x ∈ R; portanto, dom( f ) = R y es fácil ver que ran( f ) = R. La función definida por g(y) =

(y + 7)/3 es su inversa. En efecto

f [g(y)] = f

(y + 7

3

)

= 3(

y + 73

)

− 7 = y

y

g[ f (x)] = g(3x− 7) =(3x− 7) + 7

3= x

(ii) La función f (x) =4x + 3x + 2

tiene por dominio a R \ {−2}. Además,

y =4x + 3x + 2

⇔ y(x + 2) = 4x + 3

⇔ yx + 2y = 4x + 3


⇔ yx− 4x = 3− 2y

⇔ x(y− 4) = 3− 2y

⇔ x =3− 2y

y− 4sólo cuando y 6= 4

O sea que, ran( f ) = R \ {4}. Su inversa es la función definida por

g(y) =3− 2y

y− 4.

(iii) La función f (x) = −2√

x + 3 está definida para todo x ≥ 0, luegodom( f ) = [0,+∞). Por otro lado

0 ≤ x ⇔ 0 ≤√

x ⇔ −2√

x ≤ 0 ⇔ −2√

x + 3 ≤ 3

Esto nos dice que ran( f ) = (−∞, 3]. Además f es biyectiva con inversa

g(y) =

(3− y

2

)2

.

(iv) Resulta fácil por imitar la solución (ii).(v) Desde que f (x) = −2(x + 1)2 + 3 ≤ 3, es fácil garantizar que ran( f ) =

(−∞, 3]. Por otro lado, para y ≤ 3 tenemos

y = −2(x + 1)2 + 3 ⇔ 3− y = 2(x + 1)2 ⇔ x = −1±√

3− y

2

Luego el único valor x para el cual f (x) = y sucede cuando

x = −1 +

√

3− y

2o x = −1−

√

3− y

2

en cada caso tenemosx ≥ −1 ó x ≤ −1

Ahora bien, para que f resulte biyectiva, basta considerar dom( f ) = [−1,+∞) ódom( f ) = (−∞,−1]. En este caso, la inversa es

g(y) = −1 +

√

3− y

2o g(y) = −1−

√

3− y

2

según sea el caso.(vi) Es similar a la solución (v). En este caso sólo debemos tener en cuenta que

podemos escribirf (x) = x2 − 2x + 2 = (x− 1)2 + 1.

36 Lord Barrera

1.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes

Intuitivamente, una función es creciente cuando la salida aumenta a medidaque la la entrada aumenta, y es decreciente cuando la salida disminuye a medidaque la entrada crece.

Por ejemplo, la gráfica abajo muestra el precio del dolar en el Perú entre losaños 1993 al 2012

1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011

2.70

2.80

2.90

3.00

3.10

3.20

3.30

3.40

Pre

cio

del

dó

lar

Años

2012

Esta es claramente una función decreciente ya que la salida disminuye a me-dida que la entrada aumenta.

Otros modelos de funciones crecientes o decrecientes son:

(i) La cantidad de bacterias que se reproducen luego de ser infectado un orga-nismo es una función creciente como función del tiempo.

(ii) El desarrollo tecnológico a nivel de computación desde la década del 70.Steve Jobs introdujo el primer modelo de computadora Apple en 1976 yhasta nuestros días el desarrollo tecnológico no ha dejado de crecer.

(iii) Los capitales invertidos en el 2011 fueron realizados por un total de 476empresas mineras ubicadas en diversas regiones del Perú. Esta tendenciadel flujo de capitales en la minería fue creciente a lo largo el 2011.

Se considera que este récord histórico de inversión anual de la minería pe-ruana en el 2011, podría descender en el 2012, como consecuencia del man-tenimiento del conflicto Conga y otros proyectos mineros como Tía María,Rio Blanco y otros.


Definición 1.1.9. Sea f una función.

(i) f es una función creciente si para todo x1, x2 ∈ dom( f ), se tiene

x1 < x2 implica f (x1) < f (x2) .

(ii) f es una función decreciente si para todo x1, x2 ∈ dom( f ), se tiene

x1 < x2 implica f (x1) > f (x2) .

Gráficamente

x1 x2

x1f ( (

x2f ( (

x

y

x1 x2

x1f ( (

x2f ( (

x

y

Creciente Decreciente

Ejemplo 1.1.37. La función definida por f (x) = 2x + 1 es creciente en todosu dominio. En efecto, si x1, x2 ∈ R con x1 < x2, entonces

x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2 ⇒ 2x1 + 1 < 2x2 + 1 ⇒ f (x1) < f (x2) .

Ejemplo 1.1.38. La función f definida por f (x) = x2 es creciente en [0,+∞)

y decreciente en (−∞, 0]. En verdad, si x1, x2 ∈ R con x1 < x2, entonces

x22 − x2

1 = (x2 − x1)(x2 + x1) > 0 si x1, x2 ∈ [0,+∞)

yx2

2 − x21 = (x2 − x1)(x2 + x1) < 0 si x1, x2 ∈ (−∞, 0]

Ejemplo 1.1.39. La función f : R → R definida por f (x) = x3 es creciente enR. En verdad, si x1, x2 ∈ R con x1 < 0 < x2, entonces claramente x3

1 < 0 < x32.

38 Lord Barrera

Por otro lado, si x1, x2 ∈ [0,+∞) o x1, x2 ∈ (−∞, 0] con x1 < x2, entonces

x32 − x3

1 = (x2 − x1)(x22 + x2x1 + x2

1) > 0

Ejemplo 1.1.40. En la figura de la dere-cha, cada cuadradito tiene lado 1, y los ejesx e y se intersecan en el origen de coorde-nadas (0, 0). Aquí la gráfica de la funciónes formada por los dos pedazos de curvas(uno a la izquierda del eje y y el otro a laderecha del eje y). Según vemos, la fun-ción crece en el intervalo [−6,−2] ∪ [5, 7]pero decrece en el intervalo [1, 5].

x

y

MONOTONÍA DE FUNCIONES HOMOGRÁFICAS

Muchas veces trataremos con funciones homográficas, que son funciones dela forma

f (x) =ax + b

cx + ddonde ad− bc 6= 0 .

Teorema 1.1.41. La función homográfica f (x) =ax + b

cx + des

(i) Creciente si ad− bc > 0.

(ii) Decreciente si ad− bc < 0.

Algunos ejemplos se muestran en las gráficas.

23

x

y

f ( (x =x2 +3x3 - 2

2

x

y

23

23

f ( (x =x-3x -2

Decreciente Creciente


1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones

En esta sección estudiaremos algunos modelos de funciones elementales talescomo función constante, lineal, cuadrática, polinómica y racional. Estas funcio-nes nos permitirán comprender los principales conceptos del cálculo diferenciale integral desarrollado a lo largo del libro.

1.2.1. Función Constante

En nuestra vida cotidiana estamos familiarizados con funciones constantes.Aunque por abuso de lenguaje empleamos este término para referirnos a una si-tuación que acontece de manera repetitiva, podemos pensar de una función cons-tante como una correspondencia que admite la misma salida para cada entrada.

Consideremos por ejemplo el caso de 10familias a quienes se les hace una pro-moción de instalación telefónica. Digamosque el costo fijo por instalación de cada fa-milia es de 40 soles. Esto significa que cadafamilia (que es la entrada) deberá realizarel único pago 40 (que es la salida). La grá-fica de esta función se ve en la figura abajo.

Esta función se expresa mediante

f (x) = 40, 1 ≤ x ≤ 10 .

Ubicamos los puntos 1, 2, . . . , 10 en el eje x

y sus respectivos valores

f (1) = f (2) = . . . = f (10) = 40

en el eje y. La gráfica es una línea horizon-tal punteada que pasa por el nivel y = 40.

y

1

x

2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

Cuando trabajamos con funciones constantes, por lo general la entrada puedevariar en el conjunto de números reales como vemos en la definición.

40 Lord Barrera

Definición 1.2.1. Una función constante es una función de la forma

f (x) = c, donde c ∈ R

el dominio natural es el conjunto de números reales.

Su gráfica es una recta paralela al eje deabscisas, que pasa por el nivel y = c. De lagráfica, el dominio es claramente

dom( f ) = A

y el rango el conjunto

ran( f ) = {c} .x

y

A

c

x

Ejemplo 1.2.1. La función f (x) = 2 hace corresponder a cada número real x

el valor 2. Así por ejemplo

f (−1) = f (3) = f (1) = f (0) = f (5) = 2.

El dominio de esta función es el conjuntoR de números reales y su rango es

ran( f ) = {2}.

Su gráfica es una recta horizontal que pasapor el nivel y = 2.

y

x

2

Ejemplo 1.2.2. Otros ejemplos de funciones constantes son las siguientes

(i) f (x) = 10 (ii) f (x) =√

2 (iii) f (x) = π (iv) f (x) = ln 2 .

Estudiemos a continuación otro tipo importante de función elemental: consis-te de la función lineal, que es comúnmente utilizada en negocios y economía.


1.2.2. Función Lineal

Un modelo de la vida cotidiana: Alguna vez alguién le contó que en EstadosUnidos, cuando usted contrata un taxi para trasladarse de un barrio a otro, el

taxímetro del auto le marca inmediata-mente un precio, digamos $ 3.30. Despuésque inicia el viaje, el taxímetro debe aña-dirle $ 2.40 cada kilometro que recorre. Enesta situación, la tarifa total del taxi de-pende al número de kilometros recorri-dos. Ahora nos preguntamos si es posiblemodelar esta situación con una función.

Solución. Usando variables, podemos elegir x para la distancia en kilómetrosy C para el costo en dólares como una función de la distancia: y nuestra funciónserá C = C(x).

Sabemos que C(0) = 3.30 ya que 3.30 se marca independientemente de cuan-tos kilómetros se recorrerán. Desde que la factura $ 2.40 se agrega por cada kiló-metro recorrido, entonces C(1) = 3.30 + 2.40 = 5.70.

Si recorriéramos un segundo kilómetro, entonces otros $ 2.40 serán agregadosal costo:

C(2) = 3.30 + 2.40 + 2.40 = 3.30 + 2.40(2) = 8.10

Si recorriéramos un tercer kilómetro, otros $ 2.40 serán agregados al costo:

C(3) = 3.30 + 2.40 + 2.40 + 2.40 = 3.30 + 2.40(3) = 10.50

En general, si recorriéramos x kilómetros,entonces el costo resulta

C(x) = 3.30 + 2.40x

pues, empezamos con una tarifa reducidade $ 3.30 y entonces por cada kilómetro re-corrido aumenta $ 2.40. Eso es correcto pa-ra verificar que las unidades den sentido aesta ecuación.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10

20

30

40

50

60

x

xC( (

Es importante notar que en esta ecuación, el promedio de cambio es constantesobre cualquier intervalo. Este tipo de variación es llamado lineal.

42 Lord Barrera

Un modelo de la física: Supongamos que tenemos un resorte atado a un ob-jeto quieto, y supongamos que jalamos el resorte una distancia de x unidades.Ahora bien, si el resorte es rígido deberíamos emplear mucha fuerza, mientrasque si no es rígida haríamos un menor esfuerzo. Los físicos determinaron que lafuerza necesaria para desplazar el objeto x unidades de su posición original esdada por F = kx, donde k es una constante que depende del estiramiento delresorte. Esto se conoce como la Ley de Hooke.

A partir de los siguientes datos

x 1 2 3 4 5

F 2 4 6 8 10

F = kx

Hallemos la función que satisface el esquema gráfico.

Solución. Debemos recordar que la Leyde Hooke es dada por

F(x) = kx.

Para hallar el valor de k, es suficiente susti-tuir cualquier par de correspondientes va-lores (x, F) en la ecuación y vemos fácil-mente que k = 2. Esto es F = 2x.

F

x

1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

Un modelo de los negocios: La tabla abajo muestra el porcentaje de empresasque aún se mantienen vigentes luego de un número de años de operación

Años 5 6 7 8 9 10

Porcentaje de empresas 50 47 44 41 38 35

En base a la tabla observamos en la figura abajo que los incrementos en lassucesivas salidas son constantes:


50 47 44 41 38 35

47 50- 44 47- 41 44- 38 41- 35 38-

3= - 3= - 3= - 3= - 3= -

Debido a que las diferencias calculadas son constantes, la tabla anterior sepuede modelar perfectamente por una función lineal. El incremento constante(−3 por ciento por año) es la razón de cambio del porcentaje de empresas quesobreviven.

La inclinación para este modelo lineal esde −3 por ciento por año. Si el quinto añode vigencia de una empresa se represen-ta por t = 0 y el valor con que comien-za nuestro modelo es del 50 %, entoncesP(t) = −3t + 50 por ciento es la ecuaciónpara nuestro modelo, que significa el por-centaje de empresas que están en vigencialuego de t + 5 años de operación. 0 1 2 3 4 5

45

35

40

50P t( )

t

Sin más preámbulos, definimos una función lineal

Definición 1.2.2. Una función lineal es una función de la forma

f (x) = mx + b donde m 6= 0

Su dominio natural es el conjunto R de números reales.

Su gráfica es una línea recta con pendientem que interseca al eje y en el punto (0, b). Eldominio natural es claramente

dom( f ) = R

y el rango el conjunto

ran( f ) = R .

x

y

=f (x ( xm +b

b ((0,

44 Lord Barrera

Ejemplo 1.2.3. La función lineal f (x) = 2x + 3 tiene la siguiente gráfica:

x

y

3

-3

2

y = x2 +3

Esta gráfica resulta de los siguientes datos:

(i) Hacer y = 2x + 3.

(ii) Determinar dos puntos de la recta, por ejemplo

Si x = 0, entonces y = 3 y obtenemos el primer punto (0, 3)

Si y = 0, entonces x = −32

y obtenemos el segundo punto(

−32

, 0)

(iii) A continuación ubicamos estos dos puntos en el plano. La gráfica de la fun-ción f (x) = 2x + 3 es la recta que pasa por estos dos puntos.

Observación 1.2.1. Para graficar la función lineal

f (x) = ax + b,

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:

(i) Hacer y = ax + b. Los valores x se ubican en el eje de abscisas y los valoresy en el eje de ordenadas.

(ii) Determinar dos puntos de la recta (x1, y1) y (x2, y2). Una manera fácil dedeterminar estos puntos es haciendo primero x = 0 y luego y = 0.

Si x = 0, entonces y = b y obtenemos el primer punto (0, b)

Si y = 0, entonces x = −b

ay obtenemos el segundo punto

(

−b

a, 0)

(iii) A continuación ubicar estos dos puntos en el plano. La gráfica de la funciónf (x) = ax + b es la recta que pasa por estos dos puntos.


Ejemplo 1.2.4. (Un modelo de depre-ciación lineal). La depreciación lineal secaracteriza porque expresa el valor de unamáquina en función del tiempo. Supongaque una compañía compro un lote de au-tos para su personal al precio de 24000 dó-lares por auto. La compañía asegura que elvalor de cada auto disminuye linealmentedurante 6 años.

Esto significa que cada auto queda depreciado por24000

6= 4000 por año.

(i) Escribir una función lineal que exprese el valor V de cada auto como fun-ción de su tiempo de uso.

(ii) ¿Cuál es el valor de cada auto luego de 3 años?

(iii) Interprete la pendiente.

(iv) ¿Cuándo el valor de cada auto es de 18000 dólares?

(v) Graficar la función lineal.

Solución. (i) Notemos que V(x) representa representa el valor de cada autoluego de x años, entonces V(0) representa el valor original del auto, es decir,V(0) = 24000. La intersección de la gráfica con el eje y es 24000. Debido a quecada auto se deprecia a razón de 4000 por año, la pendiente de la función lineales −4000. La función lineal que representa el valor V(x) de un auto luego de x

años esV(x) = −4000x + 24000

(ii) Cada auto luego de 3 años vale

V(3) = −4000(3) + 24000 = 12000 .

(iii) Desde que la pendiente de V(x) = −4000x + 24000 es -4000, la razónde cambio del valor de cada auto es −4000/año. Así que cada año adicional quepasa, el valor de cada auto decrece en 4000 dólares.

(iv) Para determinar el tiempo en el que cada auto cuesta 18000 dólares, debe-mos resolver la ecuación V(x) = 18000, o sea

−4000x + 24000 = 18000 ⇔ 6000 = 4000x ⇔ x = 1.5

46 Lord Barrera

(v) La figura abajo muestra la gráfica de V.

1 2 3 4 5 6

24000

16000

(

x

V (x

Ejemplo 1.2.5. (Oferta y demanda decelulares). Supongamos que la cantidadofertada O, y la cantidad demandada D

de teléfonos celulares cada mes son dadaspor las siguientes funciones

O(p) = 15p+ 1000, D(p) = −5p+ 4000

donde p es el precio (en soles) del teléfono.

(i) Recordemos que el precio de equilibrio de un producto es el precio en elcual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada, es decir, el pre-cio de equilibrio es el precio en el cual O(p) = D(p). Hallar el precio deequilibrio de los teléfonos celulares. ¿Cuál es la cantidad de equilibrio? Osea, la cantidad ofertada (o demandada) del precio de equilibrio.

(ii) Halle los precios para el cual la cantidad ofertada es mayor que la cantidaddemandada; o sea, resolver la inecuación O(p) > D(p).

(iii) Graficar O = O(p), D = D(p) y hallar el punto de equilibrio.

Solución. (i) Para hallar el precio de equilibrio debemos resolver

O(p) = D(p) .


O(p) = D(p)

15p + 1000 = −5p + 4000

15p = −5p + 3000

20p = 3000

p = 150 .

Esto nos dice que el precio de equilibrio es de 150 soles por celular. Para hallarla cantidad de equilibrio es suficiente evaluar O(p) o D(p) en p = 150.

O(50) = 15(150) + 1000 = 3250

O sea que la cantidad de equilibrio es de 3250 celulares. Al precio de 150 solesla compañía debe producir 3250 celulares mensualmente para no tener escases oexcesos en su inventario mensual.

(ii) Resolviendo la desigualdad O(p) > D(p) tenemos

O(p) > D(p)

15p + 1000 > −5p + 4000

15p > −5p + 3000

20p > 3000

p > 150 .

lo que quiere decir: si la compañia cobra más de 150 soles por teléfono, lacantidad ofertada debe exeder a la cantidad demandada. En este caso la compañiatiene exesos de teléfonos en el inventario.

(iii) La figura de la derecha muestra lasgráficas de O = O(p) y D = D(p) y elpunto de equilibrio.

D

p

150 800

1000

2000

3000(150, 3250)

O4000( p (

( p (

=q

=q

48 Lord Barrera

INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO

Otra aplicación de funciones lineales es al mundo de los negocios para calcu-lar interés simple. El interés es el honorario que se paga por el uso del dinero dealguien más.

El interés simple I, sobre una cantidad P de soles a una tasa de interés r anualdurante t años es

I = Prt

Ejemplo 1.2.6. Martín Gomez pidió un préstamo de 6000 soles a un interésdel 10 % por 10 meses. ¿Cuánto interés tendrá que pagar?

Solución. A partir de la fórmula I = Prt, con P = 6000, r = 0.1 y t = 10/12(en años). El interés total que pagará es

I = 6000(0.1)(10/12) = 500

que son 500 soles.

Si un depósito de P soles a una tasa de interés r durante t años produce uninterés de I = Prt, entonces la suma del capital junto con el interés despues de t

años es dada por

F = P + I = P + Prt = P(1 + rt)

que es una función lineal de t.

El valor futuro o valor al vencimiento F de P soles por t años a una tasa de interésr por año es

F = P(1 + rt)

En aplicaciones a los negocios nosotrosestamos interesados sólo en los casosdonde t es positivo, o sea, la parte de larecta que está en el primer cuadrante, esel valor futuro. t

F

P F P Prt+=


Ejemplo 1.2.7. Un banco paga un interés simple de 8 % por depósito anual.Si un cliente hace un depósito de 1000 dólares y no hace retiros durante 3 años,¿Cuál es la cantidad total que resulta luego de tres años? ¿Cuál es el interés gana-do durante este tiempo?

Solución. De acuerdo a la fórmula de capital acumulado con P = 1000, r =

0.08 y t = 3, vemos que la cantidad total luego de tres años resulta

F = P(1 + rt) = 1000[1 + (0.08)(3)] = 1240

o sea, 1240 dólares.El interés ganado durante los 3 años es

I = Prt = 1000(0.08)(3) = 240

o sea, 240 dólares.

Una suma de dinero que se deposita y que puede producir una cantidad ma-yor en el futuro se llama valor presente de esa cantidad futura. El valor presentese refiere al capital por invertir o prestar, por lo que usamos la misma variable P

que para el capital. Comenzamos con la fórmula para el valor futuro

F = P(1 + rt)

Dividiendo cada lado entre 1 + rt obtenemos la siguiente fórmula para el valorpresente

P =F

1 + rt

El valor presente de una cantidad futura de P soles a una tasa de interés simple r

por t años es

P =F

1 + rt

Ejemplo 1.2.8. Encuentre el valor presente de 32,000 soles en 4 meses a 9 %de interés.

Solución. De acuerdo a nuestra fórmula tenemos

P =32, 000

1 + (0.09)( 4

12

)=

32, 0001.03

= 31, 067.96

Un depósito de 31, 067.96 hoy al 9 % de interés, producirá 32,000 soles en 4 meses.Esas dos sumas 31, 067.96 y 32,000 en 4 meses, son equivalentes (al 9 %) porque laprimera cantidad se convierte en la segunda cantidad en 4 meses.

50 Lord Barrera

1.2.3. Función Cuadrática

En la sección anterior vimos de que manera se pueden usar las funciones li-neales para modelar ciertos problemas que encontramos en el mundo de los ne-gocios. Sin embargo, existen muchos problemas para el cual una función lineal nose adapta para ser modelado. A continuación estudiaremos algunos problemas yexploraremos otra clase de funciones llamadas funciones cuadráticas.

(Venta de celulares). Supongamos que setiene una tienda de venta de celulares,donde las cantidades (en la variable x) ylos precios (en la variable p) se relacionancomo se muestra en la tabla:

Precio por celular en dolar p Número de celulares x

60 12,00065 11,25070 10,50075 9,75080 9,00085 8,25090 7,500

Desde que el precio de un producto determina la cantidad que debe ser com-prada, nuestra variable independiente es el precio. Realmente, el número x decelulares vendidos y el precio p por celular, se relacionan por la ecuación

x = 21, 000− 150p

Entonces el ingreso I que resulta de vender x celulares al precio p por celular es

I = xp

o tambiénI(p) = (21, 000− 150p)p = −150p2 + 21, 000p


Su gráfica se muestra en la figura:

0 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

p

I

Este es un ejemplo de función cuadrática como definiremos a continuación

Definición 1.2.3. Una función cuadrática es una función de la forma

f (x) = ax2 + bx + c donde a 6= 0

Su dominio natural es el conjunto R de números reales.

Su gráfica es como se indica abajo

x

y

x

y

a >0a < 0

Notamos en la figura arriba que cuando el coeficiente principal a es positivo,la gráfica es una parábola que se habre hacia arriba. Por otro lado, si el coeficienteprincipal a es negativo, la gráfica es una parábola que se habre hacia abajo.

52 Lord Barrera

En particular, si la función cuadrática se reduce a

f (x) = ax2 donde a 6= 0

su gráfica es

x

yxy

a >0a < 0

Observación 1.2.2. El método para graficar la función cuadrática

f (x) = ax2 + bx + c

es como sigue:

1. IDENTIFICAR INTERSECCIONES CON LOS EJES:

(a) El punto de intersección con el eje y se consigue haciendo x = 0. Eneste caso f (0) = c, y el punto de intersección resulta (0, c).

(b) Los puntos de intersección con el eje x se consiguen haciendo y = 0.En este caso la ecuación

ax2 + bx + c = 0 (1.2.1)

puede tener dos, una o ninguna solución real, dependiendo del valordel discriminante b2 − 4ac que puede ser positivo, cero o negativo.Más precisamente:

1) Si el discriminante es b2 − 4ac > 0, la ecuación (1.2.1) tiene dossoluciones reales x1, x2, y la gráfica de la función y = f (x) se inter-seca con el eje x en los puntos (x1, 0) y (x2, 0).

2) Si el discriminante es b2 − 4ac = 0, la ecuación (1.2.1) tiene únicasolución real x1, y la gráfica de la función y = f (x) se interseca conel eje x en el punto (x1, 0).

3) Si el discriminante es b2 − 4ac < 0, la ecuación (1.2.1) no tienesolución real, y la gráfica de la función y = f (x) no se intersecacon el eje x.


2. COMPLETAR CUADRADOS:

f (x) = ax2 + bx + c

= a

(

x2 +b

ax

)

+ c

= a

(

x2 +b

ax +

b2

4a2

)

+ c− b2

4a2

= a

(

x +b

2a

)2

+ c− b2

4a

= a

(

x +b

2a

)2

+4ac− b2

4a

De este resultado concluímos lo siguiente:

Haciendo h = − b

2ay k =

4ac− b2

4a, entonces

f (x) = ax2 + bx + c = a(x− h)2 + k

3. IDENTIFICAR VÉRTICE Y EJE DE SIMETRÍA:

De la ecuación anterior hacemos

y = a(x− h)2 + k ⇔ y− k = a(x− h)2

y el vértice es el punto (h, k) =

(

− b

2a,

4ac− b2

4a

)

.

El eje de simetría es la recta x = − b

2a.

Ejemplo 1.2.9. Graficar la función cuadrática

f (x) = −x2 + 6x− 8

e identificar el vértice y los puntos de intersección con el eje x.Solución.

f (x) = −x2 + 6x− 8 escribir la función original

= −(x2 − 6x)− 8 factorizar -1 a los terminos en x

= −(x2 − 6x + 9− 9)− 8 sumar y restar 9 en el paréntesis

= −(x2 − 6x + 9)− (−9)− 8 reagrupar y términos

= −(x− 3)2 + 1 escribir en su forma estandar

54 Lord Barrera

Los puntos de intersección con el eje x son determinados como sigue:

−(x2 − 6x + 8) = 0 ⇔ −(x− 2)(x− 4) = 0

de donde resulta x = 2 o x = 4.

De los resultados anteriores vemos que elgráfico de la función es una parábola convértice (3, 1). Luego los puntos de inter-sección con el eje x son (2, 0) y (4, 0). Lagráfica de la parábola se muestra a la de-recha

x

y

1 2 3 4 5

( )3,1

-1

-2

-3

1( )4,0( )2,0

Ejemplo 1.2.10. (Función cuadráticaen la lucha contra incendios). Se puedemostrar que, si una manguera se sujetacon un ángulo de θ

◦ con la horizontal, yel agua sale de la manguera con una velo-cidad constante de v metros por segundo,entonces la altura h del agua sobre el sueloa una distancia x es dada por

h = −16(1 + m2)x2

v2+ mx + h0

donde m = tan θ es la inclinación de la boquilla y h0 es la altura de la manguerasobre el suelo.

Suponga que la boquilla se sujeta con un

ángulo de arctan

√2

2, que la velocidad es

v = 30 metros por segundo y que la man-guera tenga una altura inicial de 4 metrossobre el suelo. Haga el gráfico de esta fun-ción y determine la distancia del agua ensu punto más alto. Determine también lamáxima distancia alcanzada.

h

x

5 10 15 20 25 301.25

2.5

3.75

5

6.25

7.5

0


Solución. Desde que m =

√2

2, nuestra función altura dependiendo de la

distancia x es

h = − 24900

x2 +

√2

2x + 4 (1.2.2)

Aquí el camino que sigue el agua es a lo largo del arco parabólico. La figuraanterior indica que el agua llega a 30 metros del bombero, y la máxima alturade h es a 13 metros de altura. Esto viene por lo siguiente: desde que la parábola

y = ax2 + bx + c tiene máximo para x = − b

2a, entonces la altura máxima debe

ocurrir para

x =−√

22

2(−24/900)= 13.258 metros

y reemplazando el valor 13.258 metros en la ecuación (1.2.2) obtenemos aproxi-madamente

h ≈ 8,6875.

Finalmente para tener la máxima distancia alcanzada, hacemos h = 0 en la ecua-ción (1.2.2) y obtenemos x ≈ 31.308 metros.

Ejemplo 1.2.11. (Alquiler de departamentos). El administrador de un edifi-cio de 18 departamentos descubrió que cada incremento de 50 soles en la rentamensual trae como consecuencia un departamento vacío. Todos los departamen-tos se rentarán a 600 soles mensuales. ¿Cuántos incrementos de 50 soles produci-rán un ingreso máximo mensual para el edificio?

Solución. Sea x el número de incrementos de 50 soles. El número de departa-mentos rentados será 18− x. La renta mensual por departamento será 600 + 50x

(hay x incrementos de 50 soles para un incremento total de 50x). El ingreso men-sual I(x) está dado por el número de departamentos rentados multiplicado porla renta de cada departamento, por lo que

I(x) = (18− x)(600 + 50x)

= 10800 + 900x− 600x− 50x2

= 10800 + 300x− 50x2 .

Ahora bien, esta ecuación determina una parábola con vértice(−b

2a, f

(−b

2a

))

= (3, 11250)

el cual nos dice que el ingreso máximo es de 11250 soles cuando se aplica unincremento de 50 soles a cada departamento.

56 Lord Barrera

1.2.4. Funciones Polinómicas

En los apartados anteriores discutimos funciones lineales y cuadráticas en de-talle. Recordemos que una función lineal tiene la forma f (x) = mx+ b y funcionescuadráticas son de la forma f (x) = ax2 + bx + c. A continuación podemos pedirnuevas funciones definidas a partir de x y sus potencias tales como la tercera po-tencia, la cuarta potencia y todas las posibles potencias. Los exponentes en estaspotencias son números enteros no negativos tales como 0, 1, 2, 3, . . . y las sumasde estas potencias se conocen como funciones polinómicas

Definición 1.2.4. Una función polinómica f es dada por

f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a1x + a0

donde los coeficientes an, an−1, an−2, . . . , a1, a0 son números reales y los exponen-tes son enteros no negativos.El dominio natural de una función polinómica es el conjunto R de números reales.

El coeficiente an es llamado coeficiente principal. El término anxn es llamadotérmino principal. El grado de la función polinómica es n.

Algunos ejemplos de funciones polinómicas son

Función Grado Ejemplo

constante 0 f (x) = 3

lineal 1 f (x) = 3x− 2

cuadrática 2 f (x) = −x2 + 5x + 1

cúbica 3 f (x) = x3 + 4x2 − 2x + 1

cuártica 4 f (x) = 7x4 + 5x3 − x2 + 1

quíntica 5 f (x) = x5 − x3 − x2 + 2

A continuación identificaremos las gráficas de algunas funciones polinómicas.Esto es posible a partir del coeficiente principal y del grado del polinomio comose ve a continuación.


GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

La gráfica de una función polinómica es una función continua, es decir unacurva que no tiene agujeros ni saltos como se ilustra en los dibujos

función polinómica función no polinómica

x

y y

x

Ya vimos en el apartado anterior que una función cuadrática interseca al ejex en un máximo de dos puntos. Esto ocurre precisamente debido al grado de lafunción. Podemos asegurar esto de manera general: si un polinomio tiene gradon, entonces su gráfica interseca al eje x en un máximo de n puntos.

La gráfica de una función polinómica

f (x) = anxn + . . . + a1x + a0

interseca al eje x en un máximo de n puntos.

x

y

Veamos a continuación el test del coeficiente principal que nos permitirá gra-ficar el comportamiendo de la función dependiendo del crecimiento o decreci-mento de la variable x.

58 Lord Barrera

TEST DEL COEFICIENTE PRINCIPAL

Podemos hacer más precisa esta gráfica estudiando el comportamiento deltérmino principal. Sea

f (x) = anxn + . . . + a1x + a0

CASO n PAR:

si es par yn an >0 si es par yn an <0

f ( )x oo+

si x oo+

f ( )x oo+

si x oo-

f ( )x oo

si x oo+

-f ( )x oo

si x oo

-

-

CASO n IMPAR:

si es impar yn an >0 si es impar yn an <0

f ( )x oo+

si x oo+

f ( )x oo

si x oo-

f ( )x oo

si x oo+

-

f ( )x oo

si x oo-

-

+

Ejemplo 1.2.12. Graficar las siguientes funciones:

(i) f (x) = −x3 + 4x (ii) f (x) = x4 − 5x2 + 4 (iii) f (x) = x5 − 5x


Solución. (i) Debido a que la función

f (x) = −x3 + 4x

tiene grado impar y el coeficiente principales negativo, su gráfica crece para el lado iz-quierdo y decrece para el lado derecho.

(ii) Debido a que la función

f (x) = x4 − 5x2 + 4

tiene grado par y el coeficiente principal espositivo, su gráfica crece para el lado dere-cho e izquierdo como se ve en la figura.

(iii) Debido a que la función

f (x) = x5 − 5x

tiene grado impar y el coeficiente principales positivo, su gráfica crece para el lado de-recho y decrece para el lado izquierdo comose ve en la figura.

1

2

3

1 3-1-3

x

y

6

4

x

y

4

4

1

2

1-1-2

x

y

2

Ejemplo 1.2.13. (Ibuprofeno en el flujo sanguíneo). La función polinomial

M(t) = 0.5t4 + 3.45t3 − 96.65t2 + 347.7t

puede ser usada para estimar el número de miligramos en el flujo de sangre paraaliviar el dolor de un paciente, con medicación de ibuprofeno, t horas despues dehaberse tomado una dosis de 400 mg. Hallar el número de miligramos en el flujode sangre en t = 0, 0.5, 1, 1.5 y así hasta la tercera hora y media.

Solución. Evaluando tenemos

Tiempo t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Cantidad 0 150.2 255 318.3 344.4 338.6 306.9 255.9

60 Lord Barrera

1.2.5. Funciones Racionales

Las funciones racionales generalizan a las funciones polinómicas. Comence-mos con la siguiente motivación

Motivación: La federación peruana defutbol pretende construir un campo re-creacional para los futbolistas, de esta ma-nera contribuir un mejor rendimiento de-portivo. Esta construcción requiere cercartres lados de una área rectangular de 5000metros cuadrados. Expresar el número demetros a cercar, en función de uno de loslados.

Solución. Es natural comenzar introduciendo dos variables, digamos x e y

que denotan las longitudes del área del campo recreacional. Expresando la longi-tud del cercado en términos de x e y, tenemos

F = x + 2y (1.2.3)

Desde que nuestro objetivo es expresar la longitud de la pared en metros comofunción de x, entonces debemos hallar la manera de expresar y en términos de x.Para esto usamos el hecho que el área es de 5000 m2, o sea

xy = 5, 000

Resolviendo esta ecuación para y

y =5, 000

x(1.2.4)

y sustituyendo la expresión (8.1.2) en(8.1.1) se tiene

F(x) = x +10, 000

x 020 40 60 80 100 120 140 160 180 200

200

210

220

230

240

250

260

270

x

280

290

300xF( )

que resulta una función racional dependiendo de x.


Definición 1.2.5. Una función racional es el cociente de dos funciones polino-miales. Más precisamente, es una función de la forma

f (x) =p(x)

q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales.

Ejemplo 1.2.14. (Construyendo un cilin-dro). Un cilindro tiene una capacidad de24π cm3. El costo para fabricar las tapas su-perior e inferior es de 3 céntimos por cén-tímetro cuadrado, y el costo del materialusado para la cara lateral es de 2 centimospor centímetro cuadrado. Determinar el cos-to para construir dicho cilindro como fun-ción de su radio.

h

r

Solución. Debemos notar que

Volumen del cilindro = πr2h

Area de una tapa = πr2

Area lateral = 2πrh

Si 1 cm2 de tapa cuesta 3 céntimos, entonces las dos tapas costarán

3× (2πr2) = 6πr2 (1.2.5)

Si 1 cm2 de cara lateral cuesta 2 céntimos, entonces toda la cara lateral costará

2× (2πrh) = 4πrh (1.2.6)

De las relaciones (1.2.5) y (1.2.6) conseguimos el costo total

f (r) = 6πr2 + 4πrh (1.2.7)

Debemos notar también que el volumen del cilindro es πr2h = 24π, que im-plica

h =24r2

(1.2.8)

Finalmente, reemplazando (1.2.8) en (1.2.7) conseguimos

f (r) = 6πr2 + 4πrh = 6πr2 + 4πr24r2

= 6π

(

r2 +16r

)

62 Lord Barrera

Ejemplo 1.2.15. Hallar el dominio de f (x) =1x

y gráficar.

Solución. Debido a que el denominador es cero cuando x = 0, el dominio def consiste de todos los reales excepto x = 0. Para determinar el comportamientopróximo a este valor, evaluamos f (x) a la izquierda y a la derecha de x = 0 comose indica en las siguientes tablas:

x -1 -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 → 0

f (x) -1 -2 -10 -100 -1000 → −∞

x 0 ← 0.001 0.01 0.1 0.5 1

f (x) +∞ ← 1000 100 10 2 1

Note que cuando x se aproxima a ceropor la izquierda, f (x) decrece ilimitada-mente. Por otra parte, cuando x se apro-xima a cero por la derecha, f (x) crece ili-mitadamente. Su gráfico se muestra enla figura:

1

1 2

2

-1

-1

Observación 1.2.3. En el ejemplo anterior vimos el comportamiento de f próximoa x = 0 y denotamos como sigue:

f (x)→ −∞ cuando x → 0− y f (x)→ +∞ cuando x → 0+

La recta x = 0 es una asíntota vertical a la gráfica de f . También, la recta y = 0 esuna asíntota horizontal a la gráfica de f .


Definición 1.2.6. (Asíntota horizontal y vertical).

(i) La recta x = a es una asíntota vertical al gráfico de f si

f (x)→ +∞ o f (x)→ −∞

cuando x se aproxima a a por la izquierda o por la derecha.

(ii) La recta y = b es una asíntota horizontal a la gráfica de f si

f (x)→ b

cuando x → +∞ o x → −∞.

El siguiente ejemplo se justifica en la proposición 1.2.17.

Ejemplo 1.2.16. Hallar todas las asíntotas verticales de cada una de las fun-ciones

(i) f (x) =2x

x + 1(ii) f (x) =

x + 2x2 − 1

(iii) f (x) =x2 − 32x + 1

Solución. (i) Para la función f (x) =2x

x + 1vemos que el numerador y deno-

minador no tienen factores comunes. Así que el denominador igualaremos a ceropara hallar las asíntotas verticales:

x + 1 = 0 ⇒ x = −1

Por tanto, la recta x = −1 es la única asíntota vertical de la función.

(ii) El numerador y denominador de la función f (x) =x + 2x2 − 1

no tienen facto-

res comunes, luego podemos igualar a cero el denominador para hallar la asíntotavertical. En este caso, el denominador puede ser factorizado y tenemos

x2 − 1 = 0 ⇒ (x + 1)(x− 1) = 0 ⇒ x = −1, 1

Esta función tiene dos asíntotas verticales, la recta x = −1 y la recta x = 1.(iii) Para el último ejemplo, también vemos que el numerador y denominador

no tienen factores comunes. La asíntota vertical es la recta x =−12

ya que x = −12

es la solución de la ecuación 2x + 1 = 0.

64 Lord Barrera

Proposición 1.2.17. Sea f una función racional dada por

f (x) =p(x)

q(x)=

anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0

donde p(x) y q(x) no tienen factores comunes. Se cumple

(i) El gráfico de f tiene asíntotas verticales en los ceros de q(x).

(ii) El gráfico de f tiene una o ninguna asíntota horizontal y se determina por comparar

los grados de p(x) y q(x).

a) Si n < m, la gráfica de f tiene a y = 0 como asíntota horizontal.

b) Si n = m, la gráfica de f tiene a y = an/bm de asíntota horizontal.

c) Si n > m, la gráfica de f no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 1.2.18. (Proyección estereográfica). Imagine que colocamos una cir-cunferencia de radio 1 en el punto t = 0 de la recta real (ver figura), y que todos

los puntos de la recta real se conectan conel “polo norte”, o sea el punto (0, 2). Elsegmento que une el polo norte con es-te punto de la recta interseca a la circun-ferencia en el punto P. Entonces decimosque el punto P es la proyección estereo-gráfica de t sobre la circunferencia.

( (0, 2

( (t, 0

P

xp

yp

(i) Mostremos que las coordenadas del punto P son funciones racionales de t.

(ii) Discutir el dominio y rango de cada función coordenada.

Solución. (i) Para determinar la ubicación exacta de P debemos considerarel segmento de recta que pasa a través de (0, 2) y (t, 0). Este segmento tiene

pendiente m =2− 00− t

, y su ecuación es

y =

(−2t

)

x + 2 (1.2.9)

Notemos que la pendiente depende del valor particular de t. Por ahora pensare-mos que el valor de t es fijo en todo nuestro cálculo. Por otro lado, la ecuación de


la circunferencia unitaria con centro (0, 1) es

(x− 0)2 + (y− 1)2 = 1 (1.2.10)

Podemos hallar la intersección de esta recta con la circunferencia sustituyendo laecuación (1.2.9) en la ecuación (1.2.10) de donde conseguimos

x2 +

(

1− 2x

t

)2

= 1

Desarrollando los cuadrados del lado izquierdo obtenemos

x2 +

(

1− 4x

t+

4x2

t2

)

= 1(

1 +4t2

)

x2 − 4x

t= 0

x

[(

1 +4t2

)

x− 4t

]

= 0

Desde que x = 0 corresponde al polo norte de la circunferencia, el cual no es elpunto P, concluímos de la última ecuación que

(

1 +4t2

)

x− 4t= 0

Para despejar x en esta ecuación, sumamos 4/t en ambos lados de la ecuación yluego multiplicamos por t2. Así que llegamos a

4t = (t2 + 4)x

Dividiendo luego por t2 + 4, conseguimos

xp =4t

t2 + 4(1.2.11)

Desde que P está en la recta descrita por la ecuación (1.2.9), la segunda coordena-da debe ser

yp =−2t

xp + 2 =−2t

(

4t

t2 + 4

)

+ 2 =2t2

t2 + 4(1.2.12)

Las ecuaciones (1.2.11) y (1.2.12) nos relacionan las variables t, x e y, respectiva-mente. Escribiendo x e y como función de t, tenemos

xp =4t

t2 + 4y yp =

2t2

t2 + 4.

(ii) Desde que el número t se proyecta sobre la circunferencia, el dominio tantode x como de y es R. Para cada punto de la circunferencia, la coordenada xp varíaentre −1 y 1 y el dominio resulta [−1, 1]. Similarmente, la coordenada y varíaentre 0 y 2, pero ningún valor de t se proyecta sobre el polo norte, así que yp

nunca toma valor 2. Por tanto, el rango de y es [0, 2).

66 Lord Barrera

1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas

En esta sección estudiaremos de manera elemental las funciones exponencia-les y logarítmicas. Podemos decir que una es la inversa de la otra y no nos ha-remos problemas en analizar los aspectos rigurosos, mas bien, trataremos a estasfunciones desde el punto de vista de los modelos matemáticos.

1.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial?

Las bacterias son microorganismos que son comunes en nuestro medio am-biente. Muchas bacterias son beneficiosas para el ser humano; por ejemplo, desem-peñan un papel escencial en el proceso digestivo o en la curación de una herida.Pero algunos tipos de bacterias pueden resultar mortales, por ejemplo, el Strep-

tococcus es una bacteria que puede causar diversas enfermedades como la neu-monía y otras enfermedades respiratorias. Aunque las bacterias son invisibles asimple vista, su gran impacto en nuestro planeta se debe a su habilidad para re-


producirse rápidamente. Bajo condiciones ideales, el Streptococcus es una bacteriaque puede multiplicarse en poco menos de 20 minutos. Así que una infecciónde sólo algunas bacterias puede aumentar rápidamente hasta una gran cantidadcomo para eliminar las defensas del cuerpo.

Supongamos que una persona infectada con 10 bacterias de Streptococcus es-tornuda en el aula llena de alumnos. A continuación minitorearemos el progresode la infección. Si cada bacteria se divide en dos bacterias cada hora, entonces eltotal de bacterias se duplica por hora. Si después de una hora la persona tiene10× 2 = 20 bacterias en su cuerpo, después de otra hora las bacterias duplicansu cantidad nuevamente y ahora son 40. En este sentido, duplicar el número debacterias indica multiplicar su cantidad por 2. Si comenzamos con 1 bacteria, elnúmero de bacterias luego de la primera, segunda y tercera hora son:

Tiempo Cantidad de bacterias

1 hora 10× 2 = 10× 21

2 horas 10× 2× 2 = 10× 22

3 horas 10× 2× 2× 2 = 10× 23

La tabla abajo indica el número de bacterias reproducidas en 7 horas.

Horas 1 2 3 4 5 6 7

Bacterias 10× 21 10× 22 10× 23 10× 24 10× 25 10× 26 10× 27

Notemos con qué rápidez crecen las bacterias en un día. ¿Qué tipo de fun-ción puede ser usada para modelar tal crecimiento? De la segunda fila en la tablavemos que la cantidad P despues de t horas es dada por

P = 10× 2t

y es llamada función exponencial debido a que la variable t es un exponente.

La gráfica a la derecha describe el com-portamiento de la póblación P de bacte-rias para t entre 1 y 7. Lo que se vé no esmás que un dibujo a escala para P entre10× 21 y 10× 27.

1 2 3 4 5 6 7

10 x 21

10 x 26

10 x 27

t

P

68 Lord Barrera

A continuación haremos una construcción intuitiva de la función exponencial.Recordemos que si a es un número real y n es un entero positivo, entonces

an = a · a · a . . . a︸︷︷︸

n factores

En la expresión an, el número a se llama base y n es el exponente. Por definiciónhacemos a0 = 1, y si n es un entero positivo, hacemos

a−n =1an

Si p/q es un número racional, donde p y q son enteros con q > 0, definimos laexpresión ap/q con exponente racional como

ap/q =q√

ap = ( q√

a)p

Para definir expresiones con exponentes irracionales tales como 2√

2, procedemoscomo sigue: observemos que

√2 = 1.414213 . . . Así que

√2 se puede aproximar

sucesivamente por la sucesión creciente de números racionales

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213,

Así que 2√

2 se puede aproximar por

21.4, 21.41, 21.414, 21.4142, 21.41421, 21.414213

En la tabla abajo se muestran estas aproximaciones

x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213

2x 21.41 21.41 21.414 21.4142 21.41421 21.414213

Esto nos induce a definir 2x cuando x es un número irracional. En realidad,este procedimiento se puede usar para definir ax cuando a es cualquier númeropositivo y x es irracional. De esta manera, vemos que ax puede ser definido pa-ra todo número real x. Algunas propiedades que resultan de los exponentes seproponen en las leyes de exponentes.

Proposición 1.3.1. (Leyes de exponentes). Si a y b son números positivos y x, y son

números reales, entonces

(i) axay = ax+y (ii)ax

ay= ax−y (iii) (ax)y = axy

(iv) (ab)x = axbx (v)( a

b

)x=

ax

bx.


Ejemplo 1.3.2. Aplicando la proposición anterior tenemos

(i) 21/221/3 = 2(1/2)+(1/3) = 25/6 (ii)57/2

52= 5(7/2)−2 = 53/2

(iii) (32)3 = 3(2)(3) = 36 (iv) [(2)(3)]5 = 2535 (v)(

32

)2

=32

22.

Definición 1.3.1. Una función exponencial con base a es una función de la forma

f (x) = ax, donde a > 0, y a 6= 1

Su dominio natural es dom( f ) = R y su rango ran( f ) = R>0 .

Su gráfica es tal como se muestra en la figura

x

y

x

y

a <1)) a < 1)) <0f ) )x = ax

f ) )x = ax

Notamos a partir de la gráfica que cuando la base es mayor que 1, la curvaes creciente y se encuentra por encima del eje x. Sin embargo, cuando la base esmenor que 1, la curva es decreciente y también se encuentra por encima del eje x.

Ejemplo 1.3.3. Graficar f (x) = 2x.

Solución. Tabulando algunos puntos (x, y) tenemos

x f (x) (x, f (x))

-1 1/2 (−1, 1/2)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

3 8 (3, 8) x

y(3,8)

(2,4)

(1,2)

(0,1)(-1,1/2)

f( )x = 2x

70 Lord Barrera

Ejemplo 1.3.4. Graficar f (x) =

(12

)x

.

Solución. Para graficar f (x) =

(12

)x

hallaremos varios puntos (x, y) cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación, luego pasaremos una curva por estos puntos.

f (x) =

(12

)x

x f (x) (x, f (x))

-3 8 (−3, 8)

-2 4 (−2, 4)

-1 2 (-1, 2)

0 1 (0, 1)

1 1/2 (1, 1/2)

x

y

(-3,8)

(-2,4)

(-1,2)

(0,1) (1,1/2)

f( )x =2

x1( (

Teorema 1.3.5. (La función exponencial es inyectiva). La función exponencial f

dada por

f (x) = ax, donde 0 < a < 1 o a > 1

es biyectiva. Así que las siguientes condiciones equivalentes se satisfacen para todo par de

números reales

(i) Si x1 6= x2, entonces ax1 6= ax2 .

(ii) Si ax1 = ax2 , entonces x1 = x2.

Ejemplo 1.3.6. Resolver la ecuación 35x−8 = 9x+2.

Solución.

35x−8 = 9x+2 = (32)x+2 = 32x+4 que implica 5x− 8 = 2x + 4

o sea, x = 4.

En muchas aplicaciones, la elección más conveniente para una base es el nú-mero irracional

e ≈ 2.718281828 . . .

Este número es llamado base natural. La función f (x) = ex es llamada funciónexponencial natural.


1.3.2. Interés Compuesto y Anualidades

Si usted desea comprar una casa, hay un número de factores que debe consi-derar. ¿Qué cantidad de dinero le hace falta? y ¿cómo comprará usted dicha casa:tal vez requiere pagar en cuotas, ¿cuánto será cada cuota? En esta sección desa-rrollamos alternativas de financiación para que usted pueda comprar su casa.

INTERÉS COMPUESTO Y CONTINUO

Suponga que un capital P se invierte a una tasa r de interés anual. Si al finaldel primer año el interés se añade al capital P, entonces tenemos el nuevo capital

P1 = P + Pr = P(1 + r)

El resultado de multiplicar el capital previo por 1 + r, repitiendo sucesivamentecada año se muestra en la siguiente tabla:

Año Balance al final del año

0 P

1 P1 = P(1 + r)

2 P2 = P1(1 + r) = P(1 + r)(1 + r) = P(1 + r)2

3 P3 = P2(1 + r) = P(1 + r)2(1 + r) = P(1 + r)3

......

t Pt = P(1 + r)t

Podemos colocar el interés con más frecuencia (trimestral, mensual o diario)para calcular el interés compuesto. Sea n el número de veces por año al que sedeposita el capital y sea t el número de años, entonces la tasa de interés anual

resultar

n, y el capital total después de t años es

F = P(

1 +r

n

)nt

Si hacemos que el número de composiciones por año n sea cada vez más grande,el proceso es llamado composición continua. En la fórmula para n composicionesanuales, sea m = n/r. Esto produce

72 Lord Barrera

F = P(

1 +r

n

)ntcapital con n composiciones por año

= P(

1 +r

mr

)mrtsustituyendo mr por n

= P

(

1 +1m

)mrt

simplificando

= P

[(

1 +1m

)m]rt

propiedad de exponentes

Si hacemos que m crezca ilimitadamente, la tabla de abajo muestra que(

1 +1m

)m

→ e siempre que m → +∞

De esto concluímos que la fórmula para el interés compuesto continuo es

F = Pert, sustituyendo e en lugar de(

1 +1m

)m

m (1 + 1/m)m

1 2

10 2.59374246

100 2.704813829

1000 2.716923932

10,000 2.718145927

100,000 2.718268237

1’000,000 2.718280469

10’000,000 2.718281693

↓ ↓+∞ e

Definición 1.3.2. (Fórmulas para el interés compuesto). Después de t años, elcapital F que resulta de depositar un capital inicial P a una tasa de interés anualr (expresada en su forma decimal), es dada por las siguientes fórmulas

(i) Si el interés es compuesto n veces por año: F = P(

1 +r

n

)nt

(ii) Si el interés compuesto es continuo: F = Pert.

La cantidad P es llamada valor presente y F se llama valor futuro.


Ejemplo 1.3.7. (Depósito). Un capitalde 12,000 dolares se deposita a una tasade interés anual del 9 %. Hallar el capitalluego de 5 años si el interés compuesto es

(i) Trimestral.

(ii) Mensual

(iii) Continuo

Solución. (i) Para el interés compuesto trimestral hacemos n = 4. De estamanera, en 5 años al 9 %, el capital acumulado es

F = P(

1 +r

n

)ntfórmula para el interés compuesto

= 12, 000(

1 +0.09

4

)(4)(5)

sustituyendo P, r, n y t

≈ 18, 726.11 use calculadora

(ii) Para el interés compuesto mensual hacemos n = 12. Así que, en 5 años al9 % el capital acumulado es

F = P(

1 +r

n

)ntfórmula para el interés compuesto

= 12, 000(

1 +0.0912

)(12)(5)

sustituyendo P, r, n y t


(iii) Para el interés compuesto continuo, en 5 años al 9 % el capital acumuladoes

F = Pert fórmula para el interés compuesto continuo

= 12, 000e(0.09)(5) sustituyendo P, r y t


74 Lord Barrera

Cuando las personas se comprometen con una financiación, comúnmente serefieren al “valor del dinero en el tiempo” y usualmente se refieren al valor presente

del dinero. El valor presente P del dinero que usted recibirá en un futuro, es lacantidad que usted necesita invertir con el propósito de que su dinero se acumuleen la cantidad F durante un determinado tiempo. El valor presente del dineroque recibirá en un futuro es siempre menor que la cantidad a recibir, ya que eldinero que usted acumula es igual al valor presente más los intereses acumuladosdurante el periodo de inversión.

Usaremos la fórmula de interés compuesto para conseguir la fórmula del va-lor presente. Si P es el valor presente de F dólares que recibirá después de t años,mediante una tasa de interés anual r, compuesto n veces por año, entonces

F = P ·(

1 +r

n

)ntfórmula de interés compuesto

Para resolver P, dividimos en ambos lados por(

1 +r

n

)nt. El resultado es

F(

1 +r

n

)nt= P o P = F ·

(

1 +r

n

)−nt

Definición 1.3.3. (Fórmulas para el valor presente). El valor presente P de F dó-lares que recibe después de t años, suponiendo que la tasa de interés anual es r,compuesto n veces por año, es

P = F ·(

1 +r

n

)−nt(1.3.13)

Si el interés es compuesto continuamente,

P = Fe−rt . (1.3.14)

Ejemplo 1.3.8. ¿Qué cantidad de dinero debe usted invertir ahora al 4 % poraño para que después de 2 años su cantidad acumulada sea 10, 000 dólares, sa-biendo que el interés es compuesto?

(i) Anualmente.

(ii) Mensualmente.

(iii) Diariamente.

(iv) Continuamente.


Solución. En este problema, queremos hallar la cantidad necesaria P paraconseguir un monto de 10,000 dólares después de t = 2 años, sabiendo que latasa de interés es de r = 0.04.

(i) Desde que la composición es anual, usamos la fórmula (1.3.13) con n = 1.El valor presente P de 10,000 dólares es

P = F ·(

1 +r

n

)−nt

= 10, 000(1 + 0.04)−2

= (10, 000)(0.924556)

= 9245.56 dólares .

(ii) Desde que la composición es de 12 veces por año, usamos la fórmula(1.3.13) con n = 12. El valor presente P de 10,000 dólares es

P = F ·(

1 +r

n

)−nt

= 10, 000(

1 +0.0412

)−24

= (10, 000)(0.923239)

= 9232.39 dólares .

(iii) Desde que la composición es de 365 veces por año, usamos la fórmula(1.3.13) con n = 365. El valor presente P de 10,000 dólares es

P = F ·(

1 +r

n

)−nt

= 10, 000(

1 +0.04365

)−24

= (10, 000)(0.923120)

= 9231.20 dólares .

(iv) Desde que la composición es continua, usamos la fórmula (1.3.14). El valorpresente P de 10,000 dólares es

P = F · e−rt

= (10, 000)(0.923116)

= 9231.16 dólares .

76 Lord Barrera

ANUALIDAD

A menudo, las personas no depositan su dinero una única vez, a veces nece-sitan hacer depósitos regulares en intervalos de tiempo iguales. Ejemplos de talesdepósitos usted lo puede notar cuando paga cuotas mensuales de una hipoteca ocuando hace pagos mensuales de un seguro.

Una anualidad es una serie de pagos realizados a intervalos regulares. Losdepósitos periódicos pueden ser anuales, semianuales, cuatrimestrales, mensua-les, etc. Cuando los depósitos se realizan al final de cada periodo de pago, laanualidad se denomina ordinaria. En esta parte trataremos sólo con anualidadesordinarias. El monto de una anualidad es la suma de todos los depósitos realiza-dos más los intereses acumulados.

A fin de encontrar una fórmula para la la cantidada acumulada F de una anua-lidad, supóngase que se deposita una suma de $ 100 en una cuenta al final de cadaaño, durante cinco años. Además, supóngase que la cuenta genera intereses sobreel depósito con una tasa del 4 % por año, compuesta anualmente. Entonces el pri-mer pago de $ 100 realizado al final del primer año genera intereses con una tasadel 4 % durante los restantes cuatro años y, por tanto, por la fórmula de interéscompuesto, se tiene una cantidad acumulada de

F1 = 100(1 + 0.04)4 = 100(1.16986) = 116.99

El segundo depósito de 100 dólares, realizado al final del segundo año, generaintereses con la misma tasa durante los 3 años restantes, por lo cual tiene unacantidad acumulada de

F2 = 100(1 + 0.04)3 = 100(1.12486) = 112.49

Similarmente, la tercera, cuarta y quinta cantidad acumulada, es respectivamente

F3 = 100(1 + 0.04)2 = 100(1.0816) = 108.16

F4 = 100(1 + 0.04)1 = 100(1.04) = 104.00

F5 = 100

El monto de la anualidad luego de 5 depósitos, es

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 116.99 + 112.49 + 108.16 + 104.00 + 100

= 541.64


Suponga que la tasa de interés en que una anualidad comienza es de i porperiodo de pago (expresado en su forma decimal). Por ejemplo, si una institución

paga el 12 % compuesto mensualmente (12 veces por año), entonces i =0.1212

=

0.01. Si una institución paga el 9 % compuesto trimestralmente (4 veces por año),

entonces i =0.09

4= 0.0225.

Para desarrollar una fórmula del monto de una anualidad, supongamos quese depositan P dólares en n depósitos, cada uno pagado periódicamente a unatasa de interés anual del i %. Cuando se hace el último depósito en el n-ésimo pe-riodo de pago, el primer depósito de P dólares tiene un interés compuesto paran− 1 periodos de pago, el segundo depósito de P dólares tiene un interés com-puesto para n− 2 periodos de pago, y así sucesivamente. La tabla abajo muestrael valor de cada depósito después que n depósitos han sido realizados.

Depósito 1 2 3 . . . n− 1 n

Cantidad P · (1 + i)n−1 P · (1 + i)n−2 P · (1 + i)n−3 . . . P · (1 + i) P

El monto F de la anualidad es la suma de los montos mostrados en la tablaanterior, es decir,

F = P · (1 + i)n−1 + P · (1 + i)n−2 + . . . + P · (1 + i) + P

= P[1 + (1 + i) + . . . + (1 + i)n−1]

La expresión en corchete es la suma de una serie geométrica con n términos yuna razón común de (1 + i). Resulta

F = P[1 + (1 + i) + . . . + (1 + i)n−2 + (1 + i)n−2]

= P1− (1 + i)n

1− (1 + i)= P

1− (1 + i)n

−i= P

(1 + i)n − 1i

Ahora estamos en condición de dar la siguiente definición:

Definición 1.3.4. (Monto de una anualidad). Suponga que P es el depósito hechoal final de cada periodo de pago para un pago anual con una tasa de interés i

periódico. La cantidad F de la anualidad después de n depósitos es

F = P ·[(1 + i)n − 1

i

]

(1.3.15)

78 Lord Barrera

Ejemplo 1.3.9. Hallar el monto de una anualidad luego de 5 depósitos, si sehace un depósito de 200 dólares cada año, al 4 %, compuesto anualmente. ¿Cuáles el interés ganado?

Solución. El depósito es de P = 200 dólares. El número de depósitos es den = 5 y el interés por periodo de pago es de i = 0.04. Usando la fórmula (1.3.15),el monto F luego de 5 depósitos es

F = P ·[(1 + i)n − 1

i

]

= 200 ·[

(1 + 0.04)5 − 10.04

]

= 200(5.416323) = 1083.2646 .

El interés ganado es el monto luego de 5 depósitos menos los 5 depósitos anualesde 200 dólares cada uno:

Interés ganado = F− 1000 = 1083.2646− 1000 = 83.2646 .

Ejemplo 1.3.10. (Ahorrando para la universidad). El Señor Miranda decideahorrar dinero para el futuro estudio universitario de su hija. Él decide hacer undepósito de 50 dólares cada mes en unbanco que le garantiza un interes del4 % compuesto mensualmente. El señorMiranda inicia este programa de ahorrocuando su hija tiene 3 años de edad. ¿Quécantidad de dinero tendrá cuando hace eldepósito 180? ¿Qué edad tiene su hija enese momento?

Solución. Esta es una anualidad con P = 50 dólares, n = 180 depósitos e

i =0.0412

. Entonces el monto guardado F es

F = P ·[(1 + i)n − 1

i

]

= 50 ·

(

1 +0.0412

)180

− 1

0.0412

= 50(246.090488) = 12, 304.52

Desde que se hacen 12 depósitos por año, cuando se realiza el depósito 180 han

pasado18012

= 15 años, es decir, su hija tendrá 18 años.


1.3.3. La Función Logaritmo

En la sección anterior estudiamos funciones exponenciales y algunos mode-los. Por ejemplo, conociendo la población inicial de bacterias y el comportamien-do de reproducción por hora, podemos determinar la población de bacterias encualquier tiempo. Ahora necesitamos responder a la siguiente cuestión: si sabe-mos la población de bacterias en un determinado momento, ¿cuánto tiempo ha-brá pasado para que se desarrolle esta población? De manera natural tambiénpodemos preguntarnos ¿cuánto tiempo lleva una cantidad radiactiva para dismi-nuir en 1 % de su muestra original? Para resolver estas cuestiones necesitamosresolver ecuaciones exponenciales, y la manera de hacerlo es usando logaritmos.

Definición 1.3.5. Si a es un número positivo, entonces el logaritmo en base a dex es definido por

loga x = y si y sólo si ay = x

De acuerdo a la definición vemos que el logaritmo de x es un exponente: esteexponente resulta de considerar la potencia de base a con exponente y.

Ejemplo 1.3.11. Hallar los logaritmos en las diferentes bases.

(i) log5 25 (ii) log3 27 (iii) log4 64 (iv) log5 125

Solución. De acuerdo a la definición se tiene(i) log5 25 = 2, pues 52 = 25.

(ii) log3 27 = 3, pues 33 = 27.

(iii) log4 64 = 3, pues 43 = 64.

(iv) log5 625 = 4, pues 54 = 625.

Ejemplo 1.3.12. Evaluar los siguientes logaritmos.

(i) log8 1 (ii) log3 3 (iii) log2 215 (iv) log218

Solución. Ejercicio para el lector.

80 Lord Barrera

Ejemplo 1.3.13. Resolver la ecuación log√3 x(x− 2) = 2.

Solución. De acuerdo a la definición tenemos

log√3 x(x− 2) = 2 ⇔ x(x− 2) = (√

3)2 = 3 ⇔ x2 − 2x− 3 = 0

Las soluciones de esta ecuación son x = −1, 3. Por otra parte, log√3 x(x− 2) estádefinida para x(x− 2) > 0 y las soluciones resultan x = −1 y x = 3.

PROPIEDADES BÁSICAS DE LOGARITMOS

A partir de la definición de logaritmo podemos establecer las siguientes pro-piedades básicas

(Propiedades básicas del logaritmo).

(1) loga 1 = 0 : el logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

(2) loga a = 1 : el logaritmo de a en base a es igual a 1.

(3) loga ax = x : logaritmo en la base a de la potencia ax es igual a x.

(4) aloga x = x : si elevamos la base a al exponente loga x, conseguimos x.

Ejemplo 1.3.14. Aplicar las propiedades básicas de logaritmos.

(i) log7 1 (ii) log5 5 (iii) log4 49 (iv) 5log5 12

Solución. Usando las propiedades tenemos

(i) log7 1 = 0, (propiedad 1).

(ii) log5 5 = 1, (propiedad 2).

(iii) log4 49 = 9, (propiedad 3).

(iv) 5log5 12 = 12, (propiedad 4).

Ejemplo 1.3.15. Evaluar los siguientes logaritmos.

(i) log8 1 (ii) log3 3 (iii) log2 215 (iv) log218



LA FUNCIÓN LOGARITMO Y SUS GRÁFICAS

A continuación definimos la función logaritmo y estudiamos su gráfica.

Definición 1.3.6. La función logaritmo con base a, es la función

f (x) = loga x, donde a > 0, a 6= 1

Su dominio natural es dom( f ) = R>0 y su rango ran( f ) = R.

Su gráfica es tal como se muestra en la figura

x

y

x

ya <1))

a < 1))

Observación 1.3.1. Cuando la base es a = 10, el logaritmo log10 x se denota sim-plemente por log x; mientras que si a = e, denotamos ln x := loge x y éste esllamado logaritmo natural. Así tenemos

log x = y ⇔ 10y = x y ln x = y ⇔ ey = x .

Ejemplo 1.3.16. Graficar f (x) = log2 x.

Solución. Tabulando algunos puntos (x, y) tenemos

x f (x) (x, f (x))

1/16 −4 (1/16, −4)

1/8 -3 (1/8, -3)

1/4 -2 (1/4, -2)

1/2 -1 (1/2, -1)

1 0 (1, 0)

2 1 (2, 1)

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

f( )x = log x2

82 Lord Barrera

LAS LEYES DEL LOGARITMO

Desde que logaritmos son exponentes, las leyes de los exponentes son útilespara calcular logaritmos. Sabemos que “para hallar el producto de dos potenciascon la misma base, sumamos los exponentes”.

Por ejemplo, 10x · 10y = 10x+y. Si hacemos A = 10x y B = 10y, entoncesAB = 10x+y y escribiendo estas ecuaciones en su forma logarítmica tenemos

log10 A = x log10 B = y y log10 AB = x + y

De esto se sigue quelog10 AB = log10 A + log10 B

Podemos expresar esta última ecuación diciendo que “el logaritmo de un produc-to es la suma de logaritmos”. Esta ley así como las leyes (las leyes 2 y 3) tambiéncorresponden a las propiedades de los exponentes:

Proposición 1.3.17. (Leyes del logaritmo). Sean A y B números positivos y C

cualquier número real. Se cumplen

(1) loga(AB) = loga(A) + loga(B).

(2) loga

(A

B

)

= loga(A)− loga(B).

(3) loga(AC) = C loga(A).

Ejemplo 1.3.18. Evaluar cada expresión

(i) log4 2 + log4 32 (ii) log2 80− log2 5 (iii)12

log2 16 (iv) log3 81

Solución.

(i) log4 2 + log4 32 = log4(2 · 32) = log4(64) = 3.

(ii) log2 80− log2 5 = log2

(805

)

= log2 16 = 4.

(iii)12

log2 16 = log2(161/2) = log2 4 = 2.

(iv) log3 81 = log3(34) = 4 log3 3 = 4.


Ejemplo 1.3.19. En cada expresión aplique convenientemente las leyes de lo-garitmos

(i) log3 5x (ii) log3x2

y(iii) log4 x2y5 (iv) ln

ab

c

Solución.

(i) log3 5x = log3 5 + log3 x.

(ii) log3x2

y= log3 x2 − log3 y = 2 log3 x− log3 y.

(iii) log4 x2y5 = log4 x2 + log4 y5 = 2 log4 x + 5 log4 y.

(iv) lnab

c= ln(ab)− ln c = ln a + ln b− ln c.

Ejemplo 1.3.20. Combine las expresiones dadas en un solo logaritmo

(i) 3 log x + 2 log(x− 3) (ii) 5 log s− 12

log(t + 1)

Solución.

(i) 3 log x + 2 log(x− 3) = log x3 + log(x− 3)2 = log[x3 · (x− 3)2

].

(ii) 5 log s− 12

log(t + 1) = log s5 − log(t + 1)1/2 = logs5

(t + 1)1/2.

Ejemplo 1.3.21. Hallar los posibles valores de x tal que

log3 x + log3(x + 2) = 1 .

Solución. De acuerdo a la propiedad (2) tenemos

log3[x(x + 2)] = 1 o log3(x2 + 2x) = 1 .

Escribiendo esta última ecuación de forma exponencial

x2 + 2x = 3 ⇔ (x + 3)(x− 1) = 0

y la única solución resulta x = 1.

84 Lord Barrera

1.3.4. Escalas Logarítmicas

El uso de escalas logarítmicas como una herramienta de medida es de granimportancia para establecer el rango de valores de un fenómeno a ser medido.Por ejemplo, el tiempo generalmente se mide en una escala lineal y para periodoscortos esta escala es muy apropiada. Para un tiempo lineal (ver figura (a)), cadamarca en la línea recta representa 1 unidad, y el tiempo lineal puede recorrerun periodo de 10 años. Sin embargo, tal escala resulta inútil en un estudio degeología o para calcular la edad del universo. Si ahora nuestra nuestra escala eslogarítmica, cada marca en la línea representa una potencia de 10 (ver figura (b)).Ahora bien, esta escala con la misma longitud puede recoorer un periodo de 10millones de años.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10años

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10años

0 101

102

103

104

105

106

107

108

109

1010

(a)

(b)

De la misma manera, las medidas logarítmicas son necesarias para el estudiodel sonido ya que por ejemplo, el arranque de un motor es un millón de vecesmás intenso que un barullo de grillo. También son importantes para estudiar laintensidad de un terremoto ya que un terremoto destructivo es millones de vecesmás intenso que un leve movimiento de la Tierra. Rangos similares existen paramedir velocidades muy próximas a la luz, la acicidad de una sustancia química,medida de voltage, etc.

Veamos a continuación algunos de estos modelos

LA ESCALA PH

En química es usual medir la acicidad de una solución dada por su concentra-ción de ion de hidrógeno (H+) en moles por litro (M). La concentración de ionde hidrógeno varía enormemente de sustancia en sustancia e involucra númerosgrandes. En 1909, Sorensen propuso usar una escala logarítmica para medir laconcentración de ion de hidrógeno. El definió

pH = − log(H+)

El hizo esto para evitar números pequeños y exponentes negativos. Por ejemplo,

Si H+ = 10−4 M entonces pH = − log10(10−4) = −(−4) = 4 .


En otras palabras, la escala pH es una “regla logarítmica” para medir la concen-tración de ion.

4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

Concentración de ion

pH

La tabla muestra el pH para algunas sus-tancias de nuestro uso diario. Las solucio-nes con pH igual a 7 son llamadas neutra-les, aquellos con pH menor que 7 se lla-man acídicos, y aquellos con pH mayorque 7 se llaman básicos. Note que por ca-da unidad que pH crece, H+ decrece porun factor de 10.

Sustancia pHLeche de magnesio 10.5

Agua de mar 8.0 - 8.4Sangre humana 7.3 - 7.5

Galletas 7.0 - 8.5Leche de vaca 6.4 - 6.8

Espinaca 5.1 - 5.7Tomates 4.1 - 4.4Naranjas 3.0 - 3.4

Manzanas 2.9 - 3.3Limón 1.3 - 2.0

Ácido de batería 1.0

Ejemplo 1.3.22. (Concentración de ion de hidrógeno en una muestra de san-gre).

(i) La concentración de ion de hidrógeno de una muestra de sangre humana escalculada por H+ = 3.16× 10−8M. Hallar el pH y determinar si la sangrees acídica o básica.

(ii) La lluvia más ácida ocurrida, sucedió en Escocia en 1974; su pH fue de 2.4.Hallar la concentración de ion de hidrógeno.

Solución. (i) La definición de pH nos da

pH = − log(H+) = − log(

3.16× 10−8) ≈ 7.5 .

Así que su pH es de 7.5, y como es mayor que 7, la sangre es básica.(ii) Usando la definición de pH y expresando en su forma exponencial

log(H+) = −pH ⇔ H+ = 10−pH = 10−2.4 ≈ 0.0039 .

ESto significa que la concentración de ion de hidrógeno es aproximadamente4.0× 10−3 moles por litro.

86 Lord Barrera

Ejemplo 1.3.23. (Química). En química, el pH es una medida de la acidez obasicidad de una sustancia. El pH se relaciona con la concentración H+ de ionesde hidrógeno, medido en concentración molar, mediante la ecuación

pH = − log(H+)mol

litros

Si una sustancia tiene una concentración de 0.0001 moles, determinemos el pH yla concentración de hidrógeno de una sustancia con un pH de 7.

Solución. El primer pedido resulta de la siguiente evaluación

− log(0.0001) = − log(10−4) = 4 .

Para el segundo pedido necesitamos resolver la ecuación

7 = − log(H+)

Cambiando el signo llegamos a

−7 = log(H+)

Si ahora reescribimos en forma exponencial llegamos a

H+ = 10−7 = 0.0000001 moles .

LA ESCALA DECIBEL

Los científicos modelan las reacciones humanas a los estímulos (tal como elsonido, la luz o la presión) usando funciones logarítmicas. Por ejemplo, la in-tensidad del sonido aumenta enormemente precisamente antes de que lo "sinta-mos"debido a que el volumen se duplica. El psicólogo Gustav Fechner formuló laley como

S = k log(

I

I0

)

donde S es la velocidad subjetiva del estímulo, I es la intensidad física, y I0 es laintensidad física inicial (la intensidad en la cual los sentidos comienzan a perci-bir). La constante k depende del estímulo sonoro (sonido, luz o presión).

El oído es sensible a un amplio rango de intensidades del sonido. La intensi-dad inicial es I0 = 10−12W/m2 (wats por metro cuadrado) a una frecuencia de1000 Hz (hertz) el cual mide el sonido que es apenas audible. La sensación psi-cológica del volumen varía con el logaritmo de la intensidad, así que el nivel deintensidad B medido en decibeles (dB), es definido como

B = 10 · logI

I0


El nivel de decibeles que apenas es audible en el sonido es

B = 10 · logI0

I0= 10 · log 1 = 0 dB

Así que la escala de decibeles es una escala logarítmica para medir la intensidaddel sonido, con 0 decibeles correspondiendo a 10−12W/m2.

0 20 40 60 80 100 140

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

102

Intensidad

Decibel 120

100

W/m( (2

En la tabla arriba se muestran niveles dedecibeles para algunos sonidos comunes.Por ejemplo, el sonido en un concierto derock es de aproximadamente 120 decibe-les; mientras que del tránsito denso es 80,y de las hojas en movimiento varía entre10 y 20.

Fuente sonora dBDespegue de un avión 140

Martillo percutor 130Concierto de rock 120Tren subterráneo 100

Tránsito denso 80Transito común 70

Conversación normal 50Susurro 30

Hojas moviéndose 10 - 20Sonido nulo 0

Ejemplo 1.3.24. (Intensidad de sonido de un despegue de avión). Hallar elnivel de decibeles de un avión durante su despegue si la intensidad se mide en100 W/m2.

Solución. De la definición de nivel de decibeles vemos que

B = 10 · logI

I0

= 10 · log102

10−2

= 10 log 1014

= 140 .

88 Lord Barrera

LA ESCALA RICHTER

En 1935, el geólogo americano Charles Richter (1900-1984) definió la magni-tud M de un terremoto como

M = logI

S

donde I es la intensidad de las vibraciones del terremoto (medido por la amplitudde un sismógrafo leído a 100 km del epicentro del terremoto) y S es la intensidadde un terremoto estandar (cuya amplitud es 1 micron = 10−4 centímetros). Lamagnitud de un terremoto estandar es

M = logS

S= log 1 = 0

Richter estudió muchos terremotos que ocurrieron entre 1900 y 1950. El mayor deellos tuvo magnitud 8.9 en la escala Richter y el más pequeño tuvo magnitud 0.Esto corresponde a un radio de intensidad de 794,000,000, así que la escala Richterprovee números más manejables para este trabajo. Por ejemplo, un terremoto demagnitud 6 es 10 veces más fuerte que un terremoto de magnitud 5.

Ejemplo 1.3.25. (Terremoto en Esta-dos Unidos). En 1906, un terremoto en Es-tados Unidos, fue estimado con magnitudde 8.3 en la escala Richter. Ese mismo añoocurrió un devastador terremoto en Co-lombia (frontera con Ecuador) con una in-tensidad cuatro veces mayor. ¿Cuál fue lamagnitud en la escala Richter del terremo-to ocurrido en Colombia?

Solución. Si I es la intensidad del terremoto en Estados Unidos, entonces dela definición de magnitud tenemos

M = logI

S= 8.3

La intensidad del terremoto en Ecuador es 4I, así que su magnitud fue

M = log4I

S

= log 4 + logI

S

= log 4 + 8.3

≈ 8.9


Ejemplo 1.3.26. (Terremoto en el Perú). El día 29 de marzo del 2008, el ser-vicio de información de terremotos del Perú informó un terremoto en el Callaoque midió 5.3 grados en la escala Richter, pero pocas personas se dieron cuentade esto. El año anterior, precisamente el 15 de agosto del 2007, un terremoto enPisco ocasionó aproximadamente 1000 muertos y millones de dólares en daños.Éste midió 7.9 grados en la escala Richter. ¿Cuánto más severo fue el terremotode Pisco, que el del Callao?

Solución. De acuerdo a la definición de la escala Richter

5.3 = logICallao

S

y

7.9 = logIPisco

S

Escribiendo nuevamente estas ecuaciones usando la propiedad de los logaritmos

que dice logA

B= log A− log B, ahora tenemos dos ecuaciones nuevas.

5.3 = log ICallao − log S

y

7.9 = log IPisco − log S

Cuando restamos las dos ecuaciones tenemos

7.9− 5.3 = (log IPisco − log S)− (log ICallao − log S)

2.6 = log IPisco − log S− log ICallao + log S

2.6 = log IPisco − log ICallao

Usando ahora la misma propiedad de los logaritmos inversamente,

2.6 = log(

IPisco

ICallao

)

Por lo tanto,IPisco

ICallao= 102.6

Si usas tu calculadora puedes confirmar que 102.6 ≈ 398.11. De hecho,

IPisco = 398.11 ICallao

El terremoto de Pisco tuvo una intensidad de 398.11 veces mayor que el terremotodel callao. ¡Esta es la razón por la cual el terremoto de Pisco estuvo en las noticiasnacionales!

90 Lord Barrera

1.3.5. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento

En discursos televisivos y en las noticias, la expresión “crecimiento exponen-cial” es comunmente usada para describir cualquier situación que involucra uncrecimiento rápido. Sin embargo, en ciencias, crecimiento exponencial se refiereespecíficamente al crecimiento gobernado por funciones de la forma

P(t) = P0akt, donde P0 > 0 y k > 0

Este es un modelo de una gran clase decrecimientos poblacionales, donde la po-blación se refiere a personas, bacterias, te-léfonos celulares, o dinero. En esta fun-ción, P0 es la población en el tiempo 0, P

es la población en el tiempo t, y k es lla-mada razón de crecimiento exponencial.

Por ejemplo, la función P(t) = 10 × 2t

(discutida en el inicio de esta sección) tie-ne esta forma general. En este caso deci-mos que la población de bacterias crece amedida que pasa el tiempo.

t

tP( (

tP( (=P0 e tk

P0

k <0

Similarmente, en ciencias, el decaimiento exponencial se refiere específica-mente al decrecimiento o decaimiento gobernado por funciones de la forma

P(t) = P0ekt, donde P0 > 0 y k < 0

Bajo condiciones ideales, este es un mode-lo efectivo de decrecimiento poblacional ode decaimiento radiactivo. Aquí, P0 es lacantidad de población o de sustancia en eltiempo t. La constante k es llamada cons-tante de decaimiento. t

tP( (

tP( (=P0 e tk

P0

k < 0


Ejemplo 1.3.27. (Modelando el creci-miento de bacterias). En el comienzo deun experimento biológico, 1800 bacteriasestán presentes en una colonia. Dos ho-ras después, el tamaño de la población es2240. Suponga que el tamaño de la pobla-ción crece exponencialmente.

(i) Halle la razón de crecimiento k y la ley de crecimiento para esta población.

(ii) ¿Cuántas bacterias hubo luego de 1.5 hr de haber iniciado el experimento?

(iii) ¿Cuánto tiempo pasa para que la población de bacterias sea 6800?

Solución. (i) Desde que la población inicial es 1800, la ecuación P(t) = P0ekt

se convierte enP(t) = 1800ekt

Por otro lado, sabemos que luego de 2 horas de haber comenzado el experimento,el tamaño de la población es 2240. Usando esta información llegamos a

2240 = P(2) = 1800ek(2) = 1800e2k

de dondee2k =

22401800

=5645

Tomando logaritmo llegamos a

2k = ln(

5645

)

⇔ k =ln(56/45)

2≈ 0.22

Por tanto, la ley de crecimiento para la población es

P(t) = 1800e0.22t (1.3.16)

(ii) Para calcular el número de bacterias 1.5 horas luego de haber comenzadoel experimento es suficiente utilizar la ecuación (1.3.16) haciendo

P(1.5) = 1800e0.22(1.5) = 2503.7

o sea que la cantidad de bacterias es aproximadamente 2503.(iii) Para que la población sea 6800 usamos nuevamente la ecuación (1.3.16).

Así tenemos

6800 = 1800e0.22t ⇔ e0.22t =68001800

=349

⇔ t =1

0.22ln

(

349

)

y llegamos a t ≈ 6.04. Esto nos dice que luego de 6 horas aproximadamente, lapoblación de bacterias alcanza un total de 6800.

92 Lord Barrera

Ejemplo 1.3.28. (Crecimiento poblacional en el Perú). El año 2009, la pobla-ción peruana fue de 32.4 millones y la razón de crecimiento exponencial fue de1.13 % por año.

(i) Hallar el modelo de crecimiento exponencial.

(ii) Estimar la población en el 2014.

(ii) ¿Después de cuánto tiempo la población del 2009 será duplicada?

Solución. Hacemos t = 0 para el año 2009. Entonces cuando t = 0, la pobla-ción fue de 32.4 millones y la razón de crecimiento exponencial fue de 1.13 % poraño. Sustituyendo 32.4 para P0 y 1.13 %, o 0.0113 para k, obtenemos la función decrecimiento exponencial.

P(t) = 32.4e0.0113t

(ii) El año 2014 corresponde a t = 5; o sea, han pasado 5 años desde el 2009.Para hallar la población el 2014 sustituimos 5 en lugar de t:

P(5) = 32.4e0.0113(5) = 32.4e0.0565 ≈ 34.3 .

(iii) Ahora determinaremos el tiempo T para el cual P(t) = 2(32.4) = 64.8. Elnúmero T es llamado tiempo de duplicación. Por tanto resolvemos la ecuación

64.8 = 32.4e0.0113T

2 = e0.0113T

ln 2 = ln e0.0113T = 0.0113T

ln 20.0113

= T

61.3 ≈ T

Esto significa que el Perú duplicará su población del 2009 luego de 61.3 añosaproximadamente.

Ejemplo 1.3.29. (Decaimiento radiactivo). Los hospitales utilizan la sustanciaradiactiva iodine-131 en el diagnóstico de la glándula tiroidal. La vida media deliodine-131 es de 8 días.

(i) Determine la razón de decaimiento k para el iodine-131.

(ii) Si un hospital adquiere 3 gr de iodine-131, ¿qué cantidad de muestra debequedar luego de 18 días?

(iii) ¿Cuánto tiempo pasa que sólo quede 0.02 gr de la muestra?


Solución. (i) Usaremos la información de la vida media para hallar el valorde la razón de decaimiento k. Sustituyendo t = 8 en la ley de decaimiento P(t) =

P0ekt conseguimos

12

P0 = P(8) = P0ek(8) = P0e8k que implica12= e8k

Usando logaritmo, esta última ecuación se convierte en

8k = ln12

y por tanto k =ln 1

2

8=− ln 2

8≈ −0.08664

(ii) Tenemos que P0 = 3 gr y queremos hallar P(18), que es la cantidad luegode 18 días. Para ello sustituímos P0 = 3 y t = 18 en la ley de decaimientoP(t) = P0ekt para obtener

P(18) = 3e(−0.08664)(18) = 0.63 gr

Esto nos dice que luego de 18 días queda una cantidad aproximada de 0.63 gr deiodine-131.

(iii) Para hallar el tiempo t cuando sólo queda 0.02 gr, sustituímos t en P(t), loque nos da

0.02 = 3e−0.08664t por tanto e−0.08664t ≈ 0.007

La forma logarítmica de esta última ecuación es ln(0.007) = −0.08664t, de dondeconcluímos

t = − ln(0.007)0.08664

≈ 57.2 días

Ejemplo 1.3.30. (Decaimiento radiactivo). El bismuto-210 es un isótopo quedecae exponencialmente, con una razón de decaimiento del 13 % cada día, estosignifica que el 13 % de la muestra de bismuto-210 se transforma en otro átomo(en este caso el polonium-210) cada día. Si comenzamos con una muestra de 100mg de bismut-210, ¿cuánta muestra quedará luego de una semana?

Solución. Notemos que este es un modelo de decaimiento exponencial. Nues-tra cantidad inicial es P0 = 100 y nuestra razón de decaimiento es del 13 %, estosignifica que k = −0.13. Esto nos da la ecuación

P(t) = 100e−0.13t

Esto también puede interpretarse como: si el 13 % decae, entonces queda un 87 %.Luego de una semana, o sea, 7 días, la cantidad de muestra que queda es

P(7) = 100e−0.13(7) = 100e−0.91 = 40.32 mg de bismuto-210.

94 Lord Barrera

1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas

Trigonometría es uno de los temas útiles en matemática práctica. Por ejemplo,si viajamos a lo largo de un camino circular sobre una silla de rueda gigante,podemos calcular la distancia viajada luego de un determinado tiempo, así comola velocidad con la que viajamos. Esto se hace simple usando trigonometría.

1.4.1. La Funciones Seno y Coseno

Recordemos que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr unidades;de aquí, una circunferencia de radio 1 tiene longitud 2π unidades. Supongamosahora que cortamos la circunferencia unitaria para formar una cuerda.

Usamos esta cuerda para marcar intervalos de longitud 2π en la recta real.

0 2p 4p 6p 8p-2p-4p-6p-8p 10p-10p

Fijando el punto 0 marcamos intervalos a la derecha del 0 con extremos en2π, 4π, 6π, . . . , etc. Comenzamos nuevamente marcando intervalos a la izquierda


del cero con extremos en los puntos −2π,−4π,−6π, . . . , etc.Así podemos expresar la recta real como unión disjunta de intervalos

· · · ∪ [−4π,−2π) ∪ [−2π, 0) ∪ [0, 2π) ∪ [2π, 4π) ∪ [4π, 6π) ∪ . . .

Notemos que cada número real pertenece sólo a uno de estos intervalos, estoes, dado x ∈ R existe un único k ∈ Z tal que x ∈

[

2kπ, (2k + 2)π)

. En otraspalabras,

x ∈[

2kπ, (2k + 2)π)

⇔ 2kπ ≤ x < (2k + 2)π ⇔ 0 ≤ x− 2kπ < 2π

Si hacemos l = x− 2kπ, podemos decir que existe un único k ∈ Z tal que

x = k(2π) + l, donde 0 ≤ l < 2π

Ejemplo 1.4.1. Los números reales 327π y −283π

5se expresan como

327π = 163(2π) + π donde π ∈ [0, 2π)

y

−283π

5= (−29)2π +

7π

5donde

7π

5∈ [0, 2π)

Ejemplo 1.4.2. Expresar el número175π

3como en el ejemplo anterior.

Solución. Podemos escribir

175π

3= 29(2π) +

π

3donde

π

3∈ [0, 2π)

Ejemplo 1.4.3. Expresar las siguientes cantidades como en el ejemplo ante-rior.

(i) 1225π (ii)135π

4π (iii) − 89π

2π (iv)

57π

3π (v) − 117π

5π


96 Lord Barrera

A continuación vamos a definir las funciones seno y coseno:

Definición 1.4.1. Dado x ∈ R, sabemos que existe k ∈ Z y un único 0 ≤ l < 2π

tal quex = k(2π) + l

El valor l es la longitud de arco que se muestra en la figura abajo, que va desdeel punto (1, 0) hasta el punto M en sentido anti-horario, formándose un ángulo θ

entre el semieje de abscisas y el segmento OM. Convenimos en que el punto M

tiene coordenadasC = cos x y S = sen x

y llamamos coseno de x y seno de x, respectivamente.

El número cos x es precisamente la proyección del punto M sobre el eje deabscisas, mientras que el número sen x es la proyección de M sobre el eje de or-denadas.

x

C

Sl

M

O

q

(1,0)

De la gráfica vemos que −1 ≤ cos x ≤ 1 y −1 ≤ sen x ≤ 1. Así tenemos

dom(sen) = R y ran(sen) = [−1, 1]

Además

dom(cos) = R y ran(cos) = [−1, 1]

El siguiente ejemplo muestra algunos valores del seno y coseno de ánguloscuadrantales.


Ejemplo 1.4.4. Si x = 0, entonces

M = (1, 0). Así que

cos 0 = 1 y sen 0 = 0

como indica la figura derecha.

• Si x =π

2, entonces M = (0, 1).

cosπ

2= 0 y sen

π

2= 1


• Si x = π, entonces M = (−1, 0).

cos π = −1 y sen π = 0


• Si x =3π

2, entonces M = (0,−1).

cos(

3π

2

)

= −1 y sen(

3π

2

)

= 0


M

M

M

M

Observación 1.4.1. Cuando k 6= −1, escribimos

senk x y cosk x

para denotar (sen x)k y (cos x)k, respectivamente. En particular, las expresionessen2 x y cos2 x significan (sen x)2 y (cos x)2, respectivamente.

Cuando k = −1, también podemos escribir

sen−1 x y cos−1 x

pero como veremos mas adelante, esta notación se reserva para las inversas delseno y el coseno, respectivamente.

98 Lord Barrera

Veamos a continuación las gráficas del seno y el coseno.

x

x

y

y

senxy =

cosxy =

p2

3p2

pp2

3p2

p- - -

p2

p 3p2

p2

-p-3p

2-

1

-1

1

-1

Debemos notar que la gráfica del coseno es similar a la gráfica del seno. Ustedpuede pensar que la gráfica del coseno resulta de trasladar la gráfica del seno unadistancia de π/2 unidades a la izquierda. En ambos casos, las curvas se muevenen una banda de ancho 2 (que es la longitud del rango [−1, 1]) y se extienden alo largo de toda la recta real (que es el dominio). Otra cosa que debemos obser-var es que las gráficas del seno y el coseno tienen periodo 2π, esto significa quesi tomamos un pedazo de cada curva sobre una longitud 2π, la curva se repitenuevamente.

En lo que sigue vamos a adoptar la manera fácil de entender los númerossen x y cos x. Ya sabemos que dado x ∈ R, podemos escribir

x = k(2π) + l donde 0 ≤ l < 2π (1.4.17)


Podemos interpretar a esta ecuación como sigue: tomemos una cuerda de lon-gitud |x| y fijemos uno de su extremos en el punto (1, 0).

Si k > 0, entonces la ecuación (1.4.17)implica que enrollamos la cuerda (ensentido antihorario) sobre la circunfe-rencia unitaria, k vueltas, luego l midela longitud (en el mismo sentido) des-de el punto (1, 0) hasta el otro extremode la cuerda.

Similarmente, si k < 0, entonces laecuación (1.4.17) implica que enrolla-mos la cuerda (en sentido horario) so-bre la circunferencia unitaria, k vueltas,luego l mide la longitud (en el sentidohorario) desde el punto (1, 0) hasta elotro extremo de la cuerda.

l

q

l

q

Los casos anteriores nos dan una buena aproximación para presentar la defi-nición tradicional del seno y el coseno. En lo que sigue vamos a mirar el ánguloθ, o sea, el ángulo que subtiende el arco de longitud l.

Debemos tener presente que

θ es agudo si 0 < θ <π

2

θ es obtuso siπ

2< θ < π

Las figuras abajo describen cada uno de estos casos:

q

cateto adyacente

cate

to o

pu

esto

hipotenusa

( )x y,

qx

yr

r

= x2+ y2

x

y

100 Lord Barrera

Entonces podemos definir

Definición 1.4.2. (Seno y coseno).

(i) Si θ es agudo

sen θ =cateto opuesto

hipotenusay cos θ =

cateto adyacentehipotenusa

(ii) Si θ es agudo o cualquier ángulo menor que una vuelta

sen θ =ordenada

radio vectory cos θ =

abscisaradio vector

Ejemplo 1.4.5. Evaluar seno y coseno de π/3.

Solución. Comenzamos nuestro desarro-llo dibujando el ángulo agudo θ = π/3 ensu posición estandar, como se muestra enla figura derecha. Debido a que θ = π/3radianes, es equivalente a 60◦, usted pue-de imaginar un triángulo equilátero conlados de longitud 1 y θ en cada uno de susángulos.

( )x y,

x

y

r = 1

x

y

q

También, la altura del triángulo biseca a la base y sabemos que x = 1/2.Usando el teorema de Pitágoras obtenemos

y =√

r2 − x2 =

√

12 −(

12

)2

=

√

34=

√3

2.

Ahora bien, usando x =12

, y =12

√3, y r = 1, podemos hallar los valores del

seno y el coseno como siguen:

senπ

3=

y

r=

12

√3

1=

√3

2y

cosπ

3=

x

r=

121=

12


Ejemplo 1.4.6. Imitando el ejemplo anterior se obtiene que

senπ

4=

√2

2, cos

π

4=

√2

2sen

π

6=

12

cosπ

6=

√3

2

De los resultados previos resumimos los valores del seno y coseno para algu-nos ángulos.

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

Seno 0 1/2√

2/2√

3/2 1 0 -1

Coseno 1√

3/2√

2/2 1/2 0 -1 0

Teorema 1.4.7. (Fórmula de Pitágoras). Para todo número real x, se cumple

sen2 x + cos2 x = 1.

Observación 1.4.2. Del teorema 1.4.7 se desprende que

cos x = ±√

1− sen2 x

ysen x = ±

√

1− cos2 x

La ambiguedad del signo se resuelve especificando el cuadrante en el que se en-cuentra el punto M = (cos x, sen x).

Ejemplo 1.4.8. Sea3π

2< x < 2π y cos x =

13

. Hallar sen x.

Solución. El punto está en el cuarto cuadrante, o sea, sen x < 0. Por tanto,

sen x = −√

1− cos2 x = −√

89= −2

√2

3.

Ejemplo 1.4.9. Seaπ

2< x < π y sen x =

25

. Hallar cos x.

Solución. El punto está en el segundo cuadrante, o sea, cos x < 0. Por tanto,

cos x = −√

1− sen2 x = −√

2125

= −√

215

.

102 Lord Barrera

Teorema 1.4.10. (Identidades simétricas). Dado x ∈ R, se cumplen:

sen(−x) = − sen x

cos(−x) = cos x

sen(π − x) = sen x

cos(π − x) = − cos x

sen(π + x) = − sen x

cos(π + x) = − cos x

Observación 1.4.3. Las funciones seno y coseno son funciones periodicas de pe-riodo 2π, es decir, para todo x ∈ R

sen(2π + x) = sen x y cos(2π + x) = cos x

Observación 1.4.4. Debido a la periodicidad del seno y el coseno, para todo x ∈ R

y k ∈ Z se cumplen:

cos(2kπ + x) = cos x y sen(2kπ + x) = sen x.

Teorema 1.4.11. (Identidades complementarias). Para todo x ∈ R se cumplen:

(a) sen(

π

2+ x)

= cos x.

(b) sen(

π

2− x)

= cos x.

(c) cos(

π

2+ x)

= − sen x.

(d) cos(

π

2− x)

= sen x.

Ejemplo 1.4.12. Calculemos sen3π

4y cos

3π

2.

Solución.

sen3π

4= sen

(π

2+

π

4

)

= cosπ

4=

√2

2y

cos3π

2= cos

(π

2+ π

)

= − sen π = 0 .


INVERSAS DEL SENO Y EL COSENO

Sabemos que la función sen x es periódica pero no inyectiva (sobre su dominionatural), y por tanto no admite inversa. Sin embargo, al considerar el dominio[

−π

2,

π

2

]

, tenemos la función seno principal definida

Definición 1.4.3. La función seno principal es

sen :[

−π

2,

π

2

]

→ [−1, 1]

x 7→ sen x

que ahora resulta biyectiva, cuya inversa es la función arc sen x definida como:

Definición 1.4.4. (Función arco seno).

arc sen : [−1, 1] →[

−π

2,

π

2

]

x 7→ arc sen x

x

y

senxy =

p

2

p

2-

1

-1

x

yp

2

p

2-

-1 1

arcsenxy =

Ejemplo 1.4.13. Calculemos arc sen12

y arc sen

√2

2.

Solución. Sabemos que senπ

6=

12∈ [−1, 1]. Por tanto

arc sen12=

π

6.

Por otro lado, cosπ

4=

√2

2∈ [−1, 1]. Luego

arc sen

√2

2=

π

4.

104 Lord Barrera

Ahora miremos la inversa del coseno: sabemos que la función cos x es perió-dica pero no inyectiva, por tanto no admite inversa. Sin embargo al considerar eldominio [0, π], tenemos la función coseno principal definida por

Definición 1.4.5. La función coseno principal es

cos : [0, π] → [−1, 1]x 7→ cos x

que ahora resulta una función biyectiva cuya inversa es la función arc cos x

definida como sigue:

Definición 1.4.6. (Función arco coseno).

arc cos : [−1, 1] → [0, π]

x 7→ arc cos x

Las gráficas del coseno principal y del arcocoseno se muestran a continuación:

x

y

cosxy =

p

1

-1

O

y

x

-1 1O

p

arccosxy =

Ejemplo 1.4.14. Calculemos arc cos12

y arc cos

√2

2.

Solución. Sabemos que cosπ

6=

√3

2∈ [−1, 1]. Por tanto

arc cos

√3

2=

π

6.

Por otro lado, cosπ

4=

√2

2∈ [−1, 1]. Luego

arc cos

√2

2=

π

4.


VALORES PRINCIPALES Y ECUACIONES

Veamos algunas técnicas para resolver ecuaciones trigonométricas:

Definición 1.4.7. El valor principal de la ecuación

sen x = A

es el único número θ ∈[

−π

2,

π

2

]

tal que sen θ = A. Denotamos al valor principalpor vp .

Ejemplo 1.4.15. El valor principal de la ecuación sen x =12

es el

número x =π

6.

Ejemplo 1.4.16. Hallar el valor principal de la ecuación sen x =

√2

2.


Teorema 1.4.17. Dada la ecuación

sen x = A (1.4.18)

Las soluciones de (1.4.18) se consiguen mediante la fórmula

x = nπ + (−1)nvp , n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.18. Resolver la ecuación

sen x = 0 (1.4.19)

Solución. Claramente el valor principal es vp = 0. De acuerdo al teoremaanterior, la solución general de la ecuación (1.4.19) es

x = nπ, n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.19. Resolver la ecuación sen x =12

.

Solución. Claramente, el valor principal es vp =π

6. De acuerdo al teorema

anterior, la solución general de la ecuación (1.4.19) es

x = nπ + (−1)n π

6, n ∈ Z.

106 Lord Barrera

Ejemplo 1.4.20. Hallar las soluciones de la siguiente ecuación en el intervaloque se indica

sen x = −√

22

, [−π, π]

Solución. Aquí el valor principal es vp = −π/4, luego la solución general es

x = nπ + (−1)n(

− π

4

)

, n ∈ Z

Por otra parte,

n = −2 : x = −2π − π

46∈ I

n = −1 : x = −π +π

4∈ I

n = 0 : x = −π

4∈ I

n = 1 : x = π +π

46∈ I

n = 2 : x = 2π − π

46∈ I

Luego el conjunto solución es {−3π/4,−π/4}.


cos x = A

es el único número θ ∈ [0, π] tal que cos θ = A. Denotamos al valor principal porvp.

Ejemplo 1.4.21. El valor principal de la ecuación cos x =12

es el

número x =π

3. En efecto, sabemos que

cos(

π

3

)

=12

yπ

3∈ [0, π]

O sea que vp =π

3.

Ejemplo 1.4.22. Calcular el valor principal de la ecuación cos x = 0.



Teorema 1.4.23. Dada la ecuación

cos x = A (1.4.20)

Las soluciones de (1.4.20) se calculan mediante la fórmula

x = 2nπ ± vp , n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.24. Resolver la ecuación cos x = 0 .

Solución. Claramente el valor principal es vp = π/2. De acuerdo al teoremaanterior, la solución general de la ecuación inicial es

x = 2nπ ± π

2, n ∈ Z o también x = (2n + 1)

π

2, n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.25. Resolver la ecuación

cos x =12

(1.4.21)

Solución. En primer lugar hallemos el valor principal de esta ecuación. Sabe-mos que

cos(

π

3

)

=12

y queπ

3∈ [0, π]

Luego vp =π

3. Ahora bien, de acuerdo al teorema anterior, las soluciones de la

ecuación (1.4.21) toman la forma

x = 2nπ ± π

3, donde n ∈ Z .

Ejemplo 1.4.26. Hallar las soluciones de la siguiente ecuación en el intervaloque se indica

cos x =

√3

2, [0, 2π]

Solución. Aquí el valor principal es vp = π/6, luego la solución general es

x = 2nπ ± π

6, n ∈ Z

Por otra parte,

n = 0 : x = −π

6o x =

π

6

n = 1 : x = 2π − π

6o x = 2π +

π

6

Luego el conjunto solución es {π/6, 11π/6}.

108 Lord Barrera

1.4.2. Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Terminamos este apartado haciendo una ligera revisión de las funciones tri-gonométricas, son consecuencia del seno y el coseno.

Definición 1.4.9. Definimos las funciones tangente, cotangente, secante y cose-cante, respectivamente, como sigue

tg : R \{

(2n + 1)π

2: n ∈ Z

}

→ R

x 7→ sen x

cos x

cotg : R \ {nπ : n ∈ Z} → R

x 7→ cos x

sen x

sec : R \{

(2n + 1)π

2: n ∈ Z

}

→ (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

x 7→ 1cos x

csc : R \ {nπ : n ∈ Z} → (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

x 7→ 1sen x

Las gráficas de la tangente y cotangente son, respectivamente

x

tg xy =

p

2pp

2-

p-

y

x

ctgxy =

p

2pp

2-

y

Observación 1.4.5. Notemos a partir de la definición que

dom(tg) = R \{

(2n + 1)π

2: n ∈ Z

}

y ran(tg) = R .

dom(cotg) = R \ {nπ : n ∈ Z} y ran(cotg) = R .


Las gráficas de la secante y cosecante son, respectivamente

x

secxy =

y

cscxy =

x

1

-1

p2

3p2

pp2

-p- p

2

3p2

pp2

-p-

-1

1

y

Observación 1.4.6. Notemos a partir de la definición que

dom(sec) = R \{

(2n + 1)π

2: n ∈ Z

}

y ran(sec) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) .

dom(csc) = R \ {nπ : n ∈ Z} y ran(csc) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) .

Proposición 1.4.27. Se cumplen:

(i) sen x csc x = 1, cos x sec x = 1 y tg x cot x = 1 .

(ii) 1 + tg2 x = sec2 x y 1 + cotg2 x = csc2 x .

Completamos las funciones trigonométricas inversas definiendo

Definición 1.4.10. La función tangente principal es la restricción de la función

x 7→ tg x al intervalo(

−π

2,

π

2

)

. Con tal restricción

tg :(

−π

2,

π

2

)

→ R

x 7→ tg x

es biyectiva con inversa

arc tg : R →(

−π

2,

π

2

)

x 7→ arctan x

110 Lord Barrera

Ejemplo 1.4.28. (Piloto de un bombar-dero). Un piloto de avión de combate ob-serva desde su cabina la vista panorámicadel horizonte donde ejecutara su plan deataque. Su vista está a 25 cm de la esquinatrasera de la cabina y el punto de intersec-ción de las líneas visuales laterales con elcasco de la cabina dista 50 cm de la esqui-na trasera. ¿Cuál es el ángulo total de suvisión periferica?

Solución. Sea α el ángulo total de su visión periférica como se muestra en lafigura abajo.

25

50

x

y

a

x = 2 - 25

225

25

q

a

2

50

2545

Podemos describir la situación geométrica con un triángulo rectángulo cuyoslados son 25

√2 cm y la hipotenusa midiendo 50 cm. En el triángulo, el ángulo θ

se calcula mediante

tan θ =y

x

=25√

2

25(√

2− 1)

=

√2

(√

2− 1)≈ 3.414 .

Usando la función arcotangente se puede ver que θ = 73.7◦. Así que α/2 =

180◦ − 73.7◦ = 106.3◦, el cual implica que α = 212.6◦.



tg x = A

es el único número θ ∈(

−π

2,

π

2

)

tal que tg θ = A. Denotamos al valor principalpor vp .

Teorema 1.4.29. La ecuación

tg x = A

tiene como soluciones

x = nπ + vp , n ∈ Z.

Ejemplo 1.4.30. En cada caso, calcular el rango de la función y sus raíces.

(i) f (x) = sen(x + π) (ii) g(x) =12

cos(x− π)− 4 (iii) h(x) = tg(−x)

(iv) k(x) = sen(2x) + 1 (v) n(x) = | cos x|+ 1 (vi) p(x) = sen(|x|)− 2

Solución. (i) Claramente ran( f ) = [−1, 1]. Por otro lado,

Raíces de f = {x ∈ R : sen(x + π) = 0}= {x ∈ R : x + π = nπ, n ∈ Z}= {(n− 1)π : n ∈ Z}

(ii) Tenemos

g(x) =12

cos(x− π)− 4

luego

−1 ≤ cos(x− π) ≤ 1 ⇔ −12≤ cos(x− π)

2≤ 1

2

⇔ −12− 4 ≤ cos(x− π)

2− 4 ≤ 1

2− 4

⇔ −92≤ cos(x− π)

2− 4 ≤ −7

2

Por tanto, ran( f ) = [−9/2,−7/2].

112 Lord Barrera

También

Raíces de g = {x ∈ R :12

cos(x− π)− 4 = 0}

= {x ∈ R : cos(x− π) = 8}= ∅

(iii) En este caso tenemos ran(h) = R. También

Raíces de h = {x ∈ R : tg(−x) = 0}= {x ∈ R : −x = nπ, n ∈ Z}= {nπ : n ∈ Z}

(iv) Tenemosk(x) = sen(2x) + 1

luego−1 ≤ sen(2x + 1) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sen(2x) + 1 ≤ 2

por tanto, ran(k) = [0, 2]. También

Raíces de k = {x ∈ R : sen(2x) + 1 = 0}= {x ∈ R : sen(2x) = −1}= {x ∈ R : 2x = nπ + (−1)n(−π/2), n ∈ Z}

={nπ

2+

π

4(−1)n+1 : n ∈ Z

}

(v) Desde que

−1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ | cos x| ≤ 1 ⇔ 1 ≤ | cos x|+ 1 ≤ 2

se sigue que ran(n) = [1, 2]. También

Raíces de n = {x ∈ R : | cos x|+ 1 = 0}= {x ∈ R : | cos x| = −1}= ∅

(vi) Desde que

−1 ≤ sen(|x|) ≤ 1 ⇔ −3 ≤ sen(|x|)− 2 ≤ −1

se sigue que ran(p) = [−3,−1]. También

Raíces de p = {x ∈ R : sen(|x|)− 2 = 0}= {x ∈ R : sen(|x|) = 2}= ∅


1.5. Algo Más Acerca de Funciones

En esta sección nos encargamos de entender un poco más las gráficas de algu-nas funciones. Utilizaremos algunas transformaciones geométricas que nos per-mitirán usar algunas funciones elementales para crear otras funciones.

1.5.1. Transformaciones de la Gráfica de una Función

Las transformaciones geométricas utilizadas en esta subsección son la trasla-ción, ampliación, compresión y reflexión, que nos permitirán generar las gráficasde nuevas funciones a partir de la gráfica de una función dada. Las propiedadesgenerales de estas transformaciones son bastante útiles para graficar una grangama de funciones.

x

y

x x

y y

f ( (x =x2 f ( (x =x f ( (x = x

TRASLACIÓN HORIZONTAL Y VERTICAL

La transformación más simple que podemos considerar es aquella que resultade desplazar la gráfica de una función tanto horizontal como verticalmente. Estatransformación es llamada traslación.

Ejemplo 1.5.1. (Comparando las gráficas de f (x) = x + 1 y g(x) = x + 3).Hacer una tabla de valores para las funciones f (x) = x + 1 y g(x) = x + 3

para x = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. Enseguida use la tabla para graficar ambas funcio-nes. ¿Cuáles son los dominios de f y de g?

Solución. En la izquierda se muestra la tabla de valores para ambas funcio-nes, mientras que a la derecha las gráficas de ambas funciones.

114 Lord Barrera

x f (x) = x + 1 g(x) = x + 3

-3 -2 0

-2 -1 1

-1 0 2

0 1 3

1 2 4

2 3 5

3 4 6

x

y

f ( (x =x +1

g( (x =x +3

1 2 3 4

1

2

3

4

5

-1-2-3-4

Observemos lo siguiente:

(i) En la tabla vemos que los valores de g(x) = x + 3 son dos unidades másque los correspondientes valores de f (x) = x + 1.

(ii) La gráfica de g(x) = x + 3 tiene la misma forma que la gráfica de f (x) =

x + 1, que resulta de trasladar dos unidades.

El dominio de ambas funciones es el conjunto de números reales. En la gráficavemos que el rango de ambas funciones también resulta el conjunto de númerosreales.

A continuación formalicemos la definición de traslación en la siguiente defi-nición:

Definición 1.5.1. (Traslación vertical).Sea f una función y c una constantepositiva.

(i) La gráfica de g(x) = f (x) + c re-sulta de trasladar c unidades ha-cia arriba a la gráfica de f (x).

(ii) La gráfica de g(x) = f (x)− c re-sulta de trasladar c unidades ha-cia abajo a la gráfica de f (x). x

y

xf ( (

xf ( (-c

xf ( (+c

c

c

Suponga que ahora tiene una función y = f (x). Exploraremos las gráficas delas nuevas funciones y = f (x− c) e y = f (x + c) para c > 0.


Ejemplo 1.5.2. (Comparando las funciones f (x) = x2 y g(x) = (x− 2)2.Hacer una tabla de valores para las funciones f (x) = x2 y g(x) = (x − 2)2 parax = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. Enseguida use la tabla para graficar ambas funciones.¿Cuáles son los dominios de f y de g?

Solución. En la izquierda se muestra la tabla de valores para ambas funcio-nes, y en la derecha las gráficas de ambas funciones.

x f (x) = x2 g(x) = (x− 2)2

-2 4 16

-1 1 9

0 0 4

1 1 1

2 4 0

3 9 1x

f ( (x =x

g( (x =x

1 2 3 4

1

2

3

4

-1-2

5

2

-2( (2

5 6

y


(i) En la tabla vemos que los valores de g(x) = (x− 2)2 resultan de restar dosunidades a las entradas de f (x) = x2, y luego elevar al cuadrado.

(ii) La gráfica de g(x) = (x− 2)2 tiene la misma forma que la gráfica de f (x) =

x2, que resulta de trasladar dos unidades a la derecha.

El dominio de ambas funciones es el conjunto de números reales. En la gráficavemos que el rango de ambas funciones también resulta el conjunto de númerosreales.

Definición 1.5.2. (Traslación horizon-tal). Sea f una función y c una cons-tante positiva.

(i) La gráfica de g(x) = f (x− c) re-sulta de trasladar c unidades a laderecha a la gráfica de f (x).

(ii) La gráfica de g(x) = f (x + c) re-sulta de trasladar c unidades a laizquierda a la gráfica de f (x).

x

yxf ( ( xf ( (-cxf ( (+c

c

c

116 Lord Barrera

Ejemplo 1.5.3. (Combinando traslaciones horizontales y verticales). Use lastraslaciones horizontales y verticales, apoyándose en tabla de valores, para grafi-car las funciones

(i) g(x) =√

x + 2 y (ii) f (x) = |x + 3| − 2.

Solución. (i) La gráfica de g(x) =√

x + 2 es una traslación horizontal de 2unidades a la izquierda de la gráfica de f (x) =

√x, pues, g(x) =

√x + 2 =

f (x + 2) = f (x− (−2)). Haciendo la tabla de valores y la gráfica se tiene

x f (x) =√

x g(x) =√

x + 2

-2 0

-1 1

0 0√

2

1 1√

3

2√

2 2

3√

3√

5

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

f ( (x = x

g( (x = x +2

(ii) La gráfica de la función g(x) = |x + 3| − 2 consiste de una traslación dela gráfica de f (x) = |x| mediante 3 unidades a la izquierda, y de una traslaciónvertical de 2 unidades hacia abajo.

x f (x) = |x| g(x) = |x + 3| − 2

-3 3 -2

-2 2 -1

-1 1 0

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2g( (x =x

f ( (x =x

+3

=x +3y

-2

Examinando la tabla de valores vemos que los valores de y = |x + 3| son losvalores de f (x) = |x| que se trasladan 3 unidades a la izquierda.

Para hallar los valores de g(x) = |x + 3| − 2 trasladamos los valores de y =

|x + 3| dos unidades hacia abajo. Podemos graficar la función g(x) = |x + 3| − 2en dos pasos: primero trasladando de manera horizontal, y luego trasladando demanera vertical.


AMPLIACIÓN, COMPRESIÓN Y REFLEXIÓN VERTICAL

Ahora veremos qué sucede cuando una función es multiplicada por una cons-tante no nula. Es natural esperar que las salidas de una función sean más grandescada vez que multiplicamos por un número mayor que 1; mientras que al multi-plicar a una función por un número positivo menor que 1, es natural esperar quelas salidas sean más pequeñas.

Ejemplo 1.5.4. (Graficando una función y sus múltiplos por constantes). Ha-cer una tabla de valores para las funciones f (x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 1

2 x2,para x = −3,−2,−1, 9, 1, 2, 3.

Solución. La tabla de valores se describe en la parte izquierda, mientras quelas gráficas se muestran a la derecha.

x f (x) = x2 g(x) = 2x2 h(x) = 12 x2

-3 9 18 4.5

-2 4 8 2

-1 1 2 0.5

0 0 0 0

1 1 2 0.5

2 4 8 2

3 9 18 4.5x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

4

8

12

16

20

24

xf ( ( =x2

xh( ( = x2

2

xg( ( =x22

1


(i) La gráfica de g(x) = 2x2 = 2 f (x) tiene como salida el doble de f (x) = x2;así que g(x) ≥ f (x) para todo x. La gráfica de g(x) se desplaza verticalmen-te hacia arriba.

(ii) La gráfica de h(x) = 12 x2 = 1

2 f (x) tiene como salida la mitad de f (x) = x2;así que h(x) ≤ f (x) para todo x. La gráfica de h(x) se desplaza verticalmen-te hacia abajo.

Como vimos en el ejemplo anterior, multiplicamos f (x) por una constante nonula que tiene el efecto de ampliar las salidas f (x). El resultado es un estiramientoo una compresión de la gráfica de f (x).

La discusión anterior nos permite definir la ampliación de la gráfica de unafunción.

118 Lord Barrera

Definición 1.5.3. (Ampliación verti-cal). Sea f una función y c una cons-tante positiva.

(i) Si c > 1, la gráfica de g(x) =

c f (x) resulta de estirar a f (x) alo largo del eje y.

(ii) Si 0 < c < 1, la gráfica deg(x) = c f (x) resulta de compri-mir a f (x) a lo largo del eje y.

x

y

xf ( (

xf ( (

xf ( (

c

c 0< c<1,

c <1,

También podemos considerar la gráfica de g(x) = − f (x). En este caso, lasegunda coordenada de (x, g(x)) debe ser la parte negativa de la segunda coor-denada de (x, f (x)). Gráficamente, este resultado es una reflexión de la gráficade f (x) con respecto al eje x.

Definición 1.5.4. (Reflexión con res-pecto al eje x). Sea f una función.La gráfica de g(x) = − f (x) es la grá-fica de f (x) que se refleja con respectoal eje x. La figura a la derecha describeeste comportamiento.

x

y

xf ( (xf ( (-

Muchos problemas gráficos involucran combinaciones de traslaciones hori-zontales y verticales, así como estiramientos, compresiones y reflexiones. Estasacciones en la gráfica de una función son conocidas como transformaciones de lagráfica de la función. A continuación exploramos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.5.5. (Graficando mediante transformaciones). En cada caso, iden-tifique la función básica f (x) que es transformada para obtener g(x). Entoncesuse transformaciones para graficar tanto f (x) como g(x).

(i) g(x) = 3√

x (ii) g(x) = −2|x| (iii) g(x) = −2|x + 1|+ 3

Solución. (i) La gráfica de la función g(x) = 3√

x es un estiramiento verticalde la gráfica de f (x) =

√x, ya que los valores de la función f (x) son multipli-


cados por un factor 3. Ambas funciones tienen dominio [0,+∞). A continuaciónmostramos la tabla de valores y las gráficas de ambas funciones.

x f (x) =√

x g(x) = 3√

x

0 0 0

1 1 3

2 1.414 4.243

4 2 6

9 3 9 x

y

1 2 3 4 5

2

3

4

5

1

6

7

89

6 7 8 9

xf ( (= x

xf ( (= x3

(ii) La gráfica de la función g(x) = −2|x| consiste de un estiramiento verticaly luego una reflexión de la gráfica de f (x) = |x|, a lo largo del eje y. En este caso,los valores de f (x) no solo se duplican sino que se hacen negativos. La tabla y lasgráficas de estas funciones se muestran a continuación

x f (x) = |x| g(x) = −2|x|-3 3 -6

-2 2 -4

-1 1 -2

0 0 0

1 1 -2

2 2 -4

3 3 -6

x

y

1 2 3 4-1-2-3-4

2

4

-6

-8

-2

-4

xf ( (= x

xg( (= x-2

(iii) Podemos ver que la gráfica de g(x) resulta de transformar la gráfica def (x) = |x| en la siguiente manera:

f (x) = |x| → y1 = −2|x| → y2 = −2|x+ 1| → g(x) = −2|x+ 1|+ 3

Las flechas se explican en los siguientes ítems:

(1) La primera flecha corresponde al estiramiendo doble y luego la reflexióncon respecto al eje x.

(2) La segunda flecha es una traslación horizontal de 1 unidad hacia la izquier-da.

(3) La tercera flecha es una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba.

120 Lord Barrera

La transformación que lleva f (x) = |x|para y1 = −2|x| ya fue discutido y gra-ficado en la parte (ii). Tomando ahora lagráfica de y1 = −2|x| y trasladando haciala izquierda una unidad y luego subiendo3 unidades, conseguimos lo pedido (ver fi-gura derecha).

x

y

1 2 3 4-1-2-3-4

2

4

-6

-8

-2

-4

xf ( (= x

xg( (

= x-2y1

= x-2y1 +1

= x-2 +1 +3

AMPLIACIÓN, COMPRESIÓN Y REFLEXIÓN HORIZONTAL

El conjunto final de transformaciones, involucra estiramientos y compresio-nes de la gráfica de una función a lo largo del eje horizontal. En notación funcio-nal, examinaremos la relación entre la gráfica de f (x) y la gráfica de f (cx), c > 0.Una buena forma de estudiar este tipo de transformaciones es mirando primeroa la gráfica de una función y su correspondiente tabla de valores.

Ejemplo 1.5.6. Consideremos la siguiente función, f (x), definida por la grá-fica como se muestra en la figura abajo, con su correspondiente tabla de valores.

x -4 -2 0 2 4

f (x) 0 2 4 2 0

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

x

y

xf ( (

-1

A continuación vamos a hacer la tabla de valores para f (2x) y f ( 12 x), así

como también sus gráficas. Para f (2x), si evaluamos en x = 1 y usamos la tabla


arriba tenemos f (2(1)) = f (2) = 2. La tabla para f (2x) se ve abajo.Para f ( 1

2 x). Si evaluamos en x = 4 y usamos la tabla arriba, tenemos f ( 12 (4)) =

f (2) = 2. La tabla para f ( 12 x) se ve abajo.

x -2 -1 0 1 2

f (2x) 0 2 4 2 0

x -8 -4 0 4 8

f ( 12 x) 0 2 4 2 0

La gráfica de f (2x) es una compresión horizontal de la gráfica de f (x) (verfigura (a)). La gráfica de f ( 1

2 x) es un estiramiento horizontal de la gráfica de f (x)

(ver figura (b)).

1

xx

y y

2

3

4

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4(a) (b)

xf ( (2

xf ( (

xf ( (

xf (21(

La discusión precedente nos permite definir la ampliación horizontal de lagráfica de una función.

Definición 1.5.5. (Ampliación hori-zontal). Sea f una función y c unaconstante positiva.

(i) Si c > 1, la gráfica de g(x) =

f (cx) resulta de comprimir af (x) a lo largo del eje x.

(ii) Si 0 < c < 1, la gráfica de g(x) =

f (cx) resulta de estirar a f (x) alo largo del eje x.

xf ( (

xf ( (

c

xf ( (c

0< c<1

c <1

x

y

También podemos considerar la gráfica de g(x) = f (−x) el cual es una refle-xión de la gráfica de f (x) con respecto al eje y.

122 Lord Barrera

Definición 1.5.6. (Reflexión con res-pecto al eje y). Sea f una función.La gráfica de f (x) = f (−x) es la grá-fica de f (x) que se refleja con respectoal eje y. La figura a la derecha describeeste comportamiento.

x

y

xf ( (xf ( (-

Ejemplo 1.5.7. La gráfica de f (x) semuestra en la figura derecha. Utilice estagráfica para hacer las gráficas de

(i) g(x) = f (3x) y

(ii) g(x) = f (−x) + 1.

Solución. (i) La gráfica de f (3x) es unacompresión horizontal de la gráfica def (x). La tabla abajo describe la transfor-mación f (x) 7→ f (3x).

Punto de f (x) Punto de f (3x)

(−3, 0) ( 13 (−3), 0) = (−1, 0)

(0,−1) ( 13 (0),−1) = (0,−1)

(3, 2) ( 13 (3), 2) = (1, 2)

(ii) La gráfica de f (−x) + 1 es una refle-xión con respecto al eje y seguida por unatraslación vertical hacia arriba. Algunosvalores se muestran en la siguiente tabla.

Punto de f (x) Punto de f (−x) + 1

(−3, 0) (−(−3), 0 + 1) = (3, 1)

(0,−1) (−(0),−1 + 1) = (0, 0)

(3, 2) (−(3), 2 + 1) = (−3, 3)

y

x1 2 3 4 5-4-5 -3

1

2

3

4

-1-2

-3

-4

3( ,2 (

0( ,-1 (

-3( ,0 (xf ( (

y

x1 2 3 4 5-4-5 -3

1

2

3

4

-1-2

-3

-4

3( ,2 (

0( ,-1 (

-3( ,0 ( xf ( (

1( ,2 (

-1( ,0 (

xf ( (3

y

x1 2 3 4 5-4-5 -3

1

2

3

4

-1-2

-3

-4

3( ,2 (

0( ,-1 (

-3( ,0 (xf ( (

-3( ,3 (

3( ,1 (

xf ( (- +1


1.5.2. Simetrías y Otras Propiedades de Funciones

En esta subsección estudiaremos más propiedades de funciones que seránusadas en los capítulos posteriores. Estas propiedades proveen herramientas adi-cionales para comprender funciones y sus gráficas.

FUNCIONES PARES E IMPARES

Notemos que la gráfica de la función f (x) = x2 se refleja como si el espejofuera el eje y. Esta reflexión es la simetría con respecto al eje y. ¿Cómo podemosdefinir a esta simetría? En principio consideremos una tabulación de valores ymostremos su respectiva gráfica.

x f (x) = x2

-3 9

-1.5 2.25

-1 1

0 0

1 1

1.5 2.25

3 9

x

y

xf ( (

xx-

=x2

De la figura y la tabla vemos que

(i) Los puntos (x, f (x)) y (−x, f (−x)) son simétricos con respecto al eje y.

(ii) f (x) = f (−x).

En realidad, estas afirmaciones se cumplen para todo x en el dominio de lafunción f (x) = x2. Resumimos esto en la siguiente definición

Definición 1.5.7. (Función par). Una función es llamada función par si

f (x) = f (−x) para todo x en el dominio de f .

Funciones con esta propiedad son también llamadas funciones simétricas.

124 Lord Barrera

Otro tipo de simetría ocurre cuando definimos simetría con respecto al ori-gen. ¿Cómo podemos definir a esta simetría? En principio consideremos una ta-bulación de valores y mostremos su respectiva gráfica.

x f (x) = x3

-3 -27

-1.5 -3.375

-1 -1

0 0

1 1

1.5 3.375

3 27

x

yxf ( (

xx-

=x3

xf ( (

xf ( (- = xf ( (-

De la figura y la tabla vemos que

(i) Los puntos (x, f (x)) y (−x, f (−x)) son simétricos con respecto al origen.

(ii) f (−x) = − f (x).

En verdad, estas afirmaciones son verdaderas para todo x en el dominio deesta función. Resumimos esto en la siguiente definición

Definición 1.5.8. (Función impar). Una función es llamada función impar si

f (−x) = − f (x) para todo x en el dominio de f .

Estas funciones son también llamadas funciones simétricas respecto del origen.

Observación 1.5.1. (1) Una función no puede ser par e impar simultáneamente amenos que sea la función nula f (x) = 0.

(2) Existen otros tipos de simetrías que se pueden analizar. Por ejemplo, unafunción puede ser simétrica con respecto a una recta vertical distinta al eje y, osimétrica con respecto a un punto que no sea el origen. Sin embargo, este tipo desimetrías van mas allá de nuestra discusión.

Ejemplo 1.5.8. Usando las definiciones de función par e impar, clasificar lassiguientes funciones.

(i) f (x) = |x|+ 1 (ii) g(x) = (x− 1)2 (iii) h(x) = x5 + 5x


Solución. (i) Primero verificaremos quef (x) = |x|+ 1 es una función par.

f (−x) = | − x|+ 1 = |x|+ 1 = f (x) .

Desde que f (−x) = f (x), la función f espar. La gráfica de f es simétrica respectodel eje y como se ve en la figura. 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

6

7

x

y

xf ( (= x +1

(ii) Para g(x) = (x− 1)2 lo que hacemos es desarrollar esta expresión

g(x) = (x− 1)2 = x2 − 2x + 1

también vemos que

g(−x) = (−x)2 − 2(−x) + 1 = x2 + 2x + 1

Desde que g(x) 6= g(−x), la función g no es par. Usando la expresión para g(−x),vemos que

g(−x) = x2 + 2x + 1 y − g(x) = −(x2 − 2x + 1) = −x2 + 2x− 1 .

Desde que g(−x) 6= −g(x), la función g no es impar (ver figura (a)).(iii) Desde que h(x) tiene como términos potencias impares, esperamos que la

función h(x) sea impar

h(−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −h(x)

Desde que h(−x) = −h(x), la función h es impar. Así que la función es simétricarespecto del origen (ver figura (b)).

1 2 3 4 5-1-2-3

1

2

3

4

5

6

7

x

y

xg( (= x -1 ((2

xh( (= x 55+ x

x

y(a) (b)

funciones

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