FUNCIONS

Departament de Matemàtiques

FuncionsFuncions

1. Coordenades en el pla2. Eixos de coordenades. Quadrants3. Relació donada per taules4. Relació donada per gràfiques5. Relacions donades per fórmules6. Idea de funció7. Representació gràfica de funcioes8. La funció lineal o de proporcionalitat directa9. Funcions afins10. Funcions quadràtiques

CONTINGUTS DEL TEMA

11. Funcions de proporcionalitat inversa12. Resolució de problemes

FuncionsFuncions1. Coordenadas en el plano

Observa:

– La catedral està en el punt (1, 3).

– L’ajuntament en el punt (4, 1).

Per situar un punt en el pla es necessiten dues rectes perpendiculars que s’anomenen eixos de coordenades.El punt de tall dels eixos s’anomena origen.

• La primera es mesura sobre l’eix horitzontal o de abscisses; s’anomena abscissa del punt.

• La segona es mesura sobre l’eix vertical o d’ordenades; s’anomena ordenada del punt

Eix d’ordenades

Eix d’abscissesOrigen

– El jardí botànic en el punt (7, 2).

Aquest pla és el d’una ciutat.

Qualsevol punt té dues coordenades.

O

FuncionsFuncions

Eix d’abscisses

Eix d’ordenades

I quadrant

IV quadrantIII quadrant

II quadrant

O

Origen

Agafem una quadrícula i dibuixem els eixos de coordenades. Tindrem:

2. Els eixos de coordenades: quadrants (I)

FuncionsFuncions 2. Els eixos de coordenades: quadrants (II)

Primer quadrant

Quart quadrant

Tercer quadrant

Segon quadrant

O

Els eixos de coordenades divideixen el pla en quatre quadrants.

(+, +)(– , +)

(– , – ) (+, – )

• Els punts del primer quadrant tenen abscissa i ordenada positives.

• Els del segon quadrant tenen abscissa negativa i ordenada positiva.

• Els del tercer quadrant tenen abscissa i ordenada negatives.

• Els del quart quadrant tenen abscissa positiva i ordenada negativa.

X

Y

FuncionsFuncions

Cada punt del pla es designa per un parell ordenat (x,y) de nombres que s’anomenen coordenades del punt.

Així: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5);

D (-3, -4); E (5, -5)

El primer nombre x s’anomena abscissa; el segon y, ordenada.

Les abscisses positives estana la dreta del origen.

Les negatives, a l’esquerra.

Les ordenades positives estanper sobre de l’origen. Les negatives, per sota.

A(4, 1)B(-2, 1)

C(0, 5)

D(-3, -4)E(5, -5)

O

2. Els eixos de coordenades: quadrants (III)

FuncionsFuncions

Una funció pot donar-se mitjançant una taula.Exemple: a la taula següent tenim la longitud d’un fetus (en cm) depenent del temps de gestació (en mesos).

Edat (mesos)

Longitud (cm)

2 4 3 8 4 15 6 29 7 34 8 38 9 42

A cada mes de gestació li correspon una longitud determinada.(2, 4) significa que quan el fetus té 2 mesos, mesura 4 cm.(6, 29) indica que als 6 mesos el fetus mesura 29 cm.

La longitud del fetus està en funció del temps de gestació.

3. Relacions donades per taules (I)

FuncionsFuncions3. Relacions donades per taules (II)

El nivell d’aigua que s’assoleix en un recipient depèn del temps que l’aixeta estigui gotejant.

Aquesta dependència o relació s’expressa a la següent taula:

Temps (minuts)

Nivell d’aigua

(cm)

0 0 15 10 30 14 45 17 60 19

A la variable temps s’anomena variable independent, i a la variablenivell d’aigua, variable dependent.

La dependència entre dues variables pot expressar-se mitjançant una taula.

FuncionsFuncions4. Relacions donades per gràfiques (I)

En una etapa de la volta ciclista, a cada distància del punt de sortida li correspon una determinada altitud.

.Aquesta dependència o relació s’expressa per la següent gràfica:

A la variable quilòmetres recorreguts se l’anomena variable independent,y a la variable altura en metres, variable dependent.

La dependència entre dues variables es pot expressar mitjançant una gràfica.

Quan porten 100 km recorreguts és quan estan a més altitud.

FuncionsFuncions

Una funció pot expressar-se mitjançant una gráfica.

Exemple: A la gràfica següent tenim el cosum de gasolina d’un cotxe segons la velocitat a la que circula.

Si el cotxe va a 130 km/h, consumeix, aproximadament, 8 litres cada 100 km

El consum mínim s’aconsegueix a 60 km/h: punt (60, 4)

El consum de gasolina depèn (o està en funció) de la velocitat del cotxe.

4. Relacions donades per gràfiques (II)

FuncionsFuncions

Si coneixes el costat d’un quadrat pots trobar la seva àrea.

1 cm 2 cm3 cm

c cm

1 cm2

4 cm2 9 cm2 c2 cm2

A cada valor del costat li correspon una àrea.L’ àrea és funció del costat: S = c 2

Costat

Àrea

S = c 2

A la variable costat c se l’anomena variable independent, i a la variable àrea, variable dependent.

5. Relacions donades per fórmules

FuncionsFuncions

Una altra relació donada per una fórmula: y = 2x +1

Si x és -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Parell (-2, -3)Si x és -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Parell (-1, -1)

Si x és 2, y = 2·2 +1 = 5. Parell (2, 5)

Observa que a cada nombre x li corresponun únic nombre y.El nombre y depèn del valor donat a x.O també: y està en funció de x.

A x se l’anomena variable independent.En aquest cas pot prendre qualsevol valor

A y se l’anomena variable dependent.

Pren valors que depenen de la x: y = 2x +1

Les relacions d’aquesttipus s’anomenen

funcions.

En una funció,la correspondència entre las variables

ha de ser única

6. Idea de funció (I)

FuncionsFuncions 6. Idea de funció (II)

• Funció: és una relació o correspondència entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera li correspon un únic valor de la segona, que anomenem imatge. • Variable independent: la prefixada prèviament. • Variable dependent: la que es dedueix de la variable independent.

La fórmul f(x) = 3x2 + 1 defineix una funció.

f(x) = 3x2 + 1

x és la variable independentf(x) és la variable dependent

Fixada la variable independent, per exemple x = 5, el valor que pren la

variable dependent és f(5) = 3 · 52 + 1 = 76. (La imatge de 5 és 76; i és única, ja que l’operació 3 · 52 + 1 és única.)Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.

A qualsevol funció a cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la variable dependent.

FuncionsFuncions

La fórmula que expressa l’àrea d’un quadrat en funció del seu costat és S = c2

Per representar-la gràficament:

Primer: construim la taula de valors

Costat: c Àrea: c 2

0 0 1 1

1,5 2,25 2 4

2,5 6,25 3 9 4 16

02468

1012141618

0 1 2 3 4

Segon: representem els parells associats, fent la unió dels punts.

Exemple:

(2, 4)

(3, 9)

(4, 16)

7. Representació gràfica de funcions (I)

FuncionsFuncions

El preu del revelat d’un rodet de 36 fotos és de 1,50 euros i per cada foto cobren 0,35 euros. Representem la gràfica d’aquesta funció.

Primer: construim la taula de valors

Número de fotos l

Import en euros

0 1,50 1 1,85 2 2,20 3 2,55 4 2,90 5 3,25 6 3,60

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

fotos

euro

s

Segon: representem els parells associats.

Exem

ple:

(En aquest cas no té sentit fer la unió dels punts: no es revelen fraccions de

fotos.)

Variabledependent

Variable independent

7. Representació gràfica de funcions (II)

FuncionsFuncions7. Representació gràfica de funcions (III)

La planta de l’Elena ha anat creixent amb el temps segons s’indica a la taula:

Per representar-la gràficament: representem els parells de valors sobre uns eixos de coordenades i obtenim diferents punts de la gràfica.

Temps (mesos)

Longitud (cm)

0 2 1 6 2 11 3 17 4 21 5 24 6 26 7 27 8 28

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Temps (mesos)

Lon

gitu

d (

cm)

(2, 11)

(6, 26)

Fent la unió dels punts s’obté la gràfica de la funció.

FuncionsFuncions7. Representació gràfica de funcions (IV)

Considerem la funció f que assigna a cada nombre enter el doble més 1.

Per representar-la gràficament:

x y = f(x)

–3 –5 –2 –3 –1 –1 0 1 1 3 2 5

En aquest cas no es pot fer la unió dels punts ja que la funció està definida únicament pels nombres enters.

És a dir, f(x) = 2x + 1.

1. Construim la taula de valors. 2. Representem els parells de valors sobre uns eixos de coordenades.

(2, 5)

O

(–3, –5)

FuncionsFuncions

Exemple: Si el preu d’un quilo de taronges és de 1,2 euros:(a) forma una taula que relacioni pes amb el preu.

01,22,43,64,8

67,28,49,6

0 1 2 3 4 5 6 7

Pes en quiloseu

ros

(b) representa la gràfica de la funció associada.

Pes (quilos)

Cost (euros)

1 1,2 2 2,4 3 3,6 4 4,8 8 9,6

10 12 35 42

Multiplicant per 1,2 el nombre de quilos, tenim:

Dibuixant els parells (1, 1,2), (2, 2,4), … (7, 8,4), obtenim:La fórmula

d’aquesta

funció és:y = 1,2x

Les funcions tals que la sevagràfica és una recta que

passa per l’origen s’anomenen funcions lineals o de

proporcionalitatdirecta

8. Funció lineal o de proporcionalitat directa (I)

FuncionsFuncions

Representem gràficament altres funcions lineals.

51

y = 5x

–5–1

21

y = 2x

42

– 44

y = – x

3–3

00

y = 0,2x

15

x y

x y x y

x y

8. Funció lineal o de proporcionalitat directa (II)

Representa les següents funcions: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x

FuncionsFuncions 8. Funció lineal o de proporcionalitat directa (III)

En comprar al supermercat un tall de formatge ens fixem en la seva etiqueta i que indiquem a continuació:

Pes en kg Preu per kg en € Total en €

0,820 5,12 4,20

Les magnituds preu i pes són directament proporcionals.Si x és el pes en kg, i y el preu, la expressió que dona el preu en euros és y = 5,12x.

0,5 1 1,5

7

6

5

4

3

2

1

Calculem valors, representem i fem la unió dels punts.

Les funcions se la formay = mx s’anomenen funcions lineals.

Són rectes que passen por l’origen.· m és el pendent o inclinació de la recta.

y = 5,12x

Pes (kg)

Eur

os

FuncionsFuncions 9. Funcions afins (I).

Representa les sigüents funcions: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4

–30

y = x – 3

14

–40

y = 2x – 4

23

10

y = x + 1

43

30

y = 2x + 3

–3–3

x y

x y x y

x y

FuncionsFuncions 9. Funcions afins (II)

Quan un espeleòleg s’endinsa cap a l’interior de la terra, la temperatura augmenta segons la següent fórmula:

Construim la taula de valors: Representem gràficament la funció:

t = 0,01 d + 15, (t és la temperatura en ºC; d, la profunditat en m)

d t0 15

150 16,5600 21

1050 25,5… …

400 800 1200

18

12

6

O

24

Tem

pera

tura

(ºC

)Profunditat (m)

t = 0,01d + 15

Les funcions de la forma y = mx + n (n 0) s’anomenen funcions afins.Són rectes que no passen per l’origen.· m és el pendent o inclinació de la recta.· n és l’ordenada per x = 0, i s’anomena ordenada a l’ origen.

FuncionsFuncions10. Funcions quadràques (I)

0

20

40

60

80

100

0 190 5 10 15 20

Amb una corda de 40 cm és poden formar diferents rectangles. Quin serà el valor de la seva àrea?

Representem els parells obtinguts:Construim una taula de valors: (a l’àrea l’anomenem y)

x y1 193 518 96

10 10012 9614 8417 5119 19

2x + 2h = 40

x

hx + h = 20

A = xh = x(20 – x)

A = 20x – x2

Perímetre:

Àrea:

h = 20 – x

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20

Unim els punts i s’obté la gráfica.

FuncionsFuncions 10. Funcions quadràtiques (II)

La gràfica de les funcions quadràtiques s’anomena paràbola.

La funció y = 20x – x2, vista anteriorment, s’anomena funció quadràtica.

Les funcions quadràtiques són de la forma y = ax2 + bx + c amb a 0.

Si a > 0 la paràbola té les branques cap a amunt.Si a < 0 la paràbola té les branques cap a avall.

y = x2

y = x2 – 4x

y = –x2 + 2

y = –x2

y = –x2 – 3

a > 0 a < 0

FuncionsFuncions11. Funció de proporcionalitat inversa (I)

Si el producte de dos nombres és 24, quins valors podem prendre aquests nombres?

Representem els parells obtinguts i fem la unió dels punts:

Construim la taula de valors:

x

2 124 66 4

12 2–12 –2–6 4–4 –6–2 –12

xy

24

x

24y x · y = 24

FuncionsFuncions 11. Funció de proporcionalitat inversa (II)

xy

2

xy

10

xy

12

Si el producte dels valors corresponents de dues magnituds x i y és constant, es diu que les magnituds són inversament proporcionals.

La gràfica de les funcions de proporcionalitat inversa s’anomena hipèrbola.

x

ky x · y = k o bé

Les funcions de la forma s’anomenen funcions de proporcionalitat inversa.

x

ky

FuncionsFuncions

Problema: Un cargol llisca per la vora d’una piscina a raó de 5 cm per minut.(a) Troba l’equacio associada a les magnituds espai recorregut i temps.

(b) Representa aquesta funció

3r. La fórmula d’aquesta funció és: y = 5x

(c) Quant de temps trigarà en recòrrer 23 cm?

Temps (min): 1 2 3 4 5 6 …Espai (cm): 5 10 15 20 25 30 …

1r. Construim la taula

2n. Observem que les magnitudssón directament proporcionals:

51

102

5xx

1 per 5

2 per 5

x per 5

y = 5x és una funció de

proporcionalidtat directa.

12. Resolució de problemes (I)

FuncionsFuncions

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

temps

espa

i

(2, 10)

(1, 5)

23

4,6

4t. Representem els punts: (1, 5), (2, 10)...

5è. En recòrrer 23 cm trigarà 23 : 5 = 4,6 min

Si y = 23, aleshores 23 = 5x, per tant x = 23 : 5

Observa que les escales dels eixos són diferents

Problema: Un cargol llisca per la vora d’una piscina a raó de 5 cm per minut.(a) Troba l’equació associada a les magnituds espai recorregut i temps.

(b) Representa aquesta función. (c) Quant de temps trigarà en recòrrer 23 cm?

Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x

12. Resolució de problemes (II)