funciones
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
FNCIONES
Una relación R ⊂ A x B es función . . .
Si verifica dos condiciones: ExistenciaExistencia UnicidadUnicidad
Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B
Simbólicamente ∀a ∈ A1
2
3
2
3
4Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B
Simbólicamente (a, b) ∈ f
A B
A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3,4 }
R : (a, b) ⇔ b = a + 1
: ∃b ∈ B / (a, b) ∈ fpara todo elemento a que pertenece al conjunto A se verificaque existe un elemento b que pertenece al conjunto Btal que el par ordenado (a, b) pertenece a f
Dados dos conjuntos
definimos en el producto cartesiano A x B una Relación
y
∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = cSi el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a fentonces b es igual a c
Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B
FUNCIONES
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1
2
3
2
4
A BEn situaciones como
también se verifica que
para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia)
cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad)
Situaciones como . . .
Es funciónEs función
1
2
3
2
4
A B
no verifica la condición de existencia
el elemento 2 ∈ A pero no tiene un correspondiente en B
NO es funciónNO es función
1
2
3
1
3
4
A B
2
En el caso . . . no verifica la condición de unicidad
el elemento 1 ∈ A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B )
NO es funciónNO es función
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Clasificación de funcionesUna función es inyectivaUna función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes del
dominio tienen imágenes diferentes
1
2
3
2
3
4
A B
En este caso tenemos función inyectivafunción inyectiva
∀x1 ∀x2 ∈ A : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen
diferente en el conjunto B
Una función es sobreyectivaUna función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un antecedente en el
dominio
En este caso tenemos función sobreyectivafunción sobreyectiva
Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A
Si una función es Si una función es inyectivainyectiva y y sobreyectivasobreyectiva . . . es BIYECTIVA . . . es BIYECTIVA
∀y ∈ B, ∃x ∈ A / y = f(x)
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Puede suceder que . . .1
2
3
2
3
4
A B
se verifica que 1 ≠ 2 pero f(1) = f(2) = 2
función NO inyectivafunción NO inyectiva
asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite antecedente en el conjunto A
función NO sobreyectivafunción NO sobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
Si . . . se verifica que 1 ≠ 2 pero f(1) = f(2) = 2
función NO inyectivafunción NO inyectiva
pero todos los elementos del conjunto B admiten antecedente
en A función función
sobreyectivasobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
31
cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B
función inyectivafunción inyectivapero no todos los elementos del conjunto B admiten
antecedente en A
función NO sobreyectivafunción NO sobreyectiva
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Para representar cualquier función se debe conocer . . . Cuál es el dominio donde está
definida la función . . . y cuál es la imagen que se corresponde
con el dominio de la función
Dm Im y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x) . . .
Y = f(x)
x yesto se hace asignándo valores xi en la
expresión y = f(x); encontrando el resultado yi que le corresponde a f(xi)
el dominio de la función son los valores que puede tomar xi en f(x)
La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor
del dominio de la función
recuerde siempre que: si un valor del conjunto “de salida A” no tiene
imagen, la expresión no es función (Existencia)
Representación Gráfica de Funciones
Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son
imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función
(Unicidad)
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Podemos representar gráficamente una función en un par de ejes coordenados
en el eje de abscisas (x) el dominio N
En el eje de ordenadas (y) la imagen N
1 2 3 4 N
N
5
4
3
2
1
Sea f
x x + 1 y
Si la misma ley de variación (y = x + 1) estuviera definida de R → R
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x
La función ahora es f : R → R / f(x) = x + 1
Sea la función f que va de Naturalesen Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1
: N → N / f(x) = x + 1
y confeccionamos una tabla, asignándole
valores a x para hallar valores de y
si 1 1 + 1 2
si 2 2 + 1 3
si 3 3 + 1 4
si 4 4 + 1 5
el dominio ahora será Reales
R
R
y la imagen también Reales
debemos unir todos los puntos obtenidos
x
y
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13 a) Para representar f: R → R / f(x) = - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales
Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y
Trazamos un par de ejes coordenados
y confeccionamos una tabla de valores
x - 5 x Y 1 -5 · 1 - 5 -1 -5 · (-1) 5
0 -5 · 0 0 2 -5 · 2 -10 -2 -5 · (-2) 10
Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos
identificados
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13 b) Para representar g: Zpares → Z / g(x) =
reconocemos el dominio y la imagen de la relación
Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros
Trazamos un par de ejes coordenados
y confeccionamos una tabla de valoresx Y
2 ½ · 2 1
-2 ½ · (-2) - 1
4 ½ · 4 2
-4 ½ · (-4) - 2
Y la relación queda representada por
puntos porque va de Enteros pares en
Enteros.
(no corresponde el trazado de linea
llena)
x21
x21
- 6 ½ · (-6) - 3
6 ½ · 6 3
0 ½ · 0 0
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13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N
Primero reconocemos cual es el dominio En este caso tanto el dominio como la imagen son el
conjunto de los números naturales (N)Significa que serán pares ordenados de
la relación aquellos en los que x ∈ N y resulta de aplicar x en h(x), que
también h(x) ∈ N
Trazamos un par de ejes coordenados
Y confeccionamos una tabla de
valores para g(x)
x 2x + 3 Y 1 2 · 1 + 3 5 2 2 · 2 + 3 7
3 2 · 3 + 3 9 4 2 · 4 + 3 11
5 2 · 5 + 3 13
Y la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales
y cual es la imagen de la relación
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14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces Dm = { x / x ∈ R } Dm = [ - ∝; ∝ ]
de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales
entonces Im = { x / x ∈ R } Im = [ - ∝; ∝ ]
Trazamos un par de ejes coordenados
y confeccionamos una tabla de valores
x - 3 x + 4 Y 1 - 3 · 1 + 4 1
-1 - 3 · (-1) + 4 7
2 - 3 · 2 + 4 - 2
Cada valor del dominio (x) tiene un valor diferente en
la imagen (y)InyectivaInyectiva
Todos los elementos de la imagen (eje y) admiten un antecedente en el dominio
(eje x)SobreyectivaSobreyectivaPor ser una función
inyectiva y sobreyectivaEs función biyectivaEs función biyectiva
es una función que va de Reales en
Reales
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14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor realentonces Dm = { x / x ∈ R } Dm = [ - ∝; ∝ ]
Trazamos un par de ejes coordenados y para
confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función
(raíces)
x - x2 + 4x - 3 Y 1 - 12 + 4 · 1 - 3 0
3 - 32 + 4 · 3 - 3 0
2 - 22 + 4 · 2 - 3 1
Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola
=−
−−−±−)1(2
)3)(1(444 2
=−
−±−2
121643
1
2
1
=
=
x
x
con estos valores empezamos la representación gráfica
El vértice de la parábola estará en un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda
y a la derecha de los ya hallados
0 - 02 + 4 · 0 - 3 - 3 4 - 42 + 4 · 4 - 3 - 3
-1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 - 8 5 - 52 + 4 · 5 - 3 - 8
y finalmente trazamos la curva uniendo todos los puntos ( R → R )
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La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm = { x / x Dm = { x / x ∈∈ R } R }
De observar el gráfico, vemos que la relación no tiene valores de y mayores que 1
Im = { x / x Im = { x / x ∈∈ R R ∧∧ x x ≤≤ 1 } 1 }
en el gráfico y en la tabla se nota que hay valores diferentes del dominio (x)
que tienen la misma imagen (y);
f(0) = - 02 + 4 · 0 – 3 = - 3
f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = - 3
No InyectivaNo Inyectiva
con solo un par de valores del dominio que
admita la misma imagen, es
suficiente para que la función
sea No InyectivaIgualmente es posible ver que, de los elementos del conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores
o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función
No SobreyectivaNo Sobreyectiva
por ejemplo
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14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :
cbloga = ⇔ bac = ejemplo : 8238 32 =⇔=log
Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores
de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10
y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe . . .
plantear la siguiente expresión : =xloga
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base¿ en la tecla de la
calculadora falta la base ?
alogxlog con la calculadora (que
resuelve solo logaritmos decimales), podemos resolver
un logaritmo que no es decimal
Ejemplo : calcula log2 8 =
=82log =28
loglog
=301029995709030899870
,, 3
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14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)
x [log(2x-3)]/log2 Y
2 0/0,301030 02,5 0,301030/0,301030 1
3,5 0,602060/0,301030 2
5,5 0.903090/0,301030 3
9,5 1,204120/0,301030 4
Vamos a confeccionar una tabla de valores
1,75 –0,301030/0,301030 -1
si x = 1,5 trazamos entonces en x = 1,5 la asíntota de la función
investigamos qué pasa a la izquierda de la asíntota, por ejemplo para x = 0
porque no existe ningún valor al se cual pueda elevar 2 y obtener
como resultado un negativo
recuerda que :
=− )x(log 322 =−2
32log
)xlog(
1,65 –0,522879/0,301030 -2,26
1,55 -1/0,301030 -3,32
2x – 3 = 0
Sabemos que el log 0 ∃
siempre que 2x – 3 > 0
habrá algún valor para f(x)
2x – 3 toma valores negativos y la función no está definida
en esos valores ( x < 1.5 )trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)
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la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces:
Dm = { x / x ∈ R ∧ x > 1,5 }
Im = { x / x ∈ R }
Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor diferente en la imagen (eje y)
Función InyectivaFunción Inyectiva
Todos los elementos del codominio (eje y) son imagen de la función -admiten un antecedente en el dominio (eje x)-
Función SobreyectivaFunción SobreyectivaPor ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectivaEs función biyectiva
En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen antecedente en x
Recuerda que siempre es conveniente empezar a representar una función logarítmica localizando
la asíntota
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<≤−+=>−
0x2si1x0xsi30xsi1x
314 iv) Si f(x) =
En primer lugar reconocemos que x no puede tomar valores
menores que -2
En consecuencia Dm = {x/x Dm = {x/x ∈∈ R R ∧∧ x x ≥≥ –2 } –2 } Dn = [-2 ; Dn = [-2 ; ∝∝ ))
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x > 0 la ley de variación es x - 1
si x = 0 la función vale 3
si x ≤ 0 la función vale x3 + 1
La representación gráfica se realiza como para cualquier
otra relación
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x y = x - 1 Y 1 1 - 1 0 3 3 – 1 2
Para x > 0 f(x) = x - 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin
ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc
si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1
debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a –1, pero sin ser y = -1
Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy
próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = – 1 en x = 0
Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarsae de una ley de
variación lineal y comprobamos que hay “al menos” tres puntos alineados
En x = 0 la función vale 3
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x y = x3 + 1 Y -1 (-1)3 + 1 0 -2 (-2)3 + 1 - 7
Para x < 0 f(x) = x3 + 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin
ser igual a 0, toma por ejemplo valores como -0,1; -0,01; -0,001, etcsi x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 (con esta ley de variación)debemos entender que si x se acerca a
0 con valores menores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = 1
Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy
próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con uina curva de parábola cúbica solo para valores
comprendidos en el intervalo [-2; 0)
y tenemos así la representación gráfica de la función
<≤−+=>−
0x2si1x0xsi30xsi1x
3
f : Dm → Im / f(x) =
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El dominio de la función ya fue encontrado [ -2; ∝ )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de
– 7 a ∝
Im = { x / x Im = { x / x ∈∈ R R ∧∧ x x ≥≥ -7 } -7 } Im = [-7; Im = [-7; ∝∝))
Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo
para x= 1 ó x = - 1; y = 0
La función es No inyectivaLa función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm → R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im ⊂ R
La función es No sobreyectivaLa función es No sobreyectiva
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
>
≤≤
<
1ln
101
02
xsix
xsi
xsix
14 v) Si f(x) =En primer lugar
reconocemos que x puede tomar valores que van de - ∝ a + ∝
En consecuencia Dm = {x/x Dm = {x/x ∈∈ R } R } Dn = (- Dn = (- ∝∝ ; + ; + ∝∝ ))
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x < 0 la ley de variación es 2x
si 0 ≤ x ≤ 1 la función vale 1
si x > 0 la ley de variación es lnx
La representación gráfica se realiza como para cualquier
otra función
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
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x ln x y 4 ln 4 1,39 8 ln 8 2,08
Para x > 0 f(x) = ln x
Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a 0
debemos entender que si x se acerca a 1 con valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por
derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmicaluego, estudiamos qué sucede con los valores de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] -
para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1
si x = 0 y = 1si x = 1 y = 1
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Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x
Confeccionamos tabla de valores
x 2x y
-1 2-1 1/2 -2 2-2 1/4
Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1
debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0 ; y se acerca a
1, pero sin ser y = 1
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero
sin ser necesariamente y = 1 en x = 0
Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2x)
Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1
y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo
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Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / y Im = { y / y ∈∈ R R ∧∧ y > 0 } y > 0 } Im = (0; Im = (0; ∝∝))
Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1
La función es No inyectivaLa función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm → R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im ⊂ R
La función es No sobreyectivaLa función es No sobreyectiva
Dm = { x / x Dm = { x / x ∈∈ R } R } Dm = (-Dm = (-∝∝; ; ∝∝))
Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0 admiten algún antecedente en el eje x
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14 vi) Si f(x) =
En primer lugar reconocemos que x no puede tomar el valor - 3
3x2+ en ese caso tendríamos 2 / 0; así
podemos decir que para x = - 3 no existe un valor finito de la función
Trazamos un par de ejes coordenados
Luego confeccionamos tabla de valores, para x próximos a –3 por derecha
x y3x
2+
- 2 2/(-2+3) 2- 1 2/(-1+3) 1 0 2/(0+3) 2/3 1 2/(1+3) 1/2 2 2/(2+3) 2/5-2,5 2/(-2,5+3) 4-2,6 2/(-2,6+3) 5
y estudiamos qué sucede a la izquierda de x= –3
x y3x
2+
- 4 2/(-4+3) - 2- 5 2/(-5+3) - 1- 6 2/(-6+3) -2/3
- 7 2/(-7+3) -1/2- 8 2/(-8+3) - 2/5-3,5 2/(-3,5+3) - 4-3,6 2/(-3,6+3) - 5
x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado
trazamos una asíntota en x = -3
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Cualquier valor del eje x ≠ -3 tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / y Im = { y / y ∈∈ R R ∧∧ y y ≠≠ 0 } 0 } Im = (-Im = (-∝∝; 0) ; 0) ∪∪ (0; (0; ∝∝))
No Existen valores diferentes del dominio que tengan la misma imagen
La función es inyectivaLa función es inyectiva
Como la función está definida de Dm → R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}
La función es No sobreyectivaLa función es No sobreyectiva
Dm = { x / x Dm = { x / x ∈∈ R R ∧∧ x x ≠≠ - 3 } - 3 } Dm = (-Dm = (-∝∝; -3) ; -3) ∪∪ (-3; (-3; ∝∝))
los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0
todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes
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14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas
f : R → R / f(x) = –3x + 4 y f : R > 1,5 → R / f(x) = log2 (2x – 3)
y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa
para hallar la inversa de la función, f : R → R / f(x) = –3x + 4
transformamos el dominio en imagenf-1 : R → R y viceversa
y = –3x + 4 y - 4 = –3xmultiplico todo por (-1) y permuto
los miembros (para ordenar)
3x = 4 - y luego despejo x3
4 yx −= y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
34 xy −= La ley de variación así obtenida, es la ley
de variación de la función inversa
341 x)x(f/ −=−
en la ley de variación hacemos pasajes de términos, para despejar x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
3411 x)x(f/RR:f −=→ −−Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que hemos representado
43 +−=→ x)x(f/RR:f
confeccionamos una tabla de
valores
x f-1(x)3
4 x−
4
344 − 0
- 2
2
- 8
4
324 )( −−
384 )( −−
trazamos la recta, que también va de R → Rtenga siempre presente que los puntos de una función
cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
para hallar la inversa de la función, f : Dm → R / f(x) = log2(2x-3)
transformamos el dominio en imagen
f-1 : R → R > 1,5
y viceversa
luego despejamos la incógnita x de la ley de variación de f= log2(2x-3)
y = log2(2x – 3) 2y = 2x - 3 permuto los miembros (para ordenar)
luego despejo xyx 232 =−
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
232 +=
xy La ley de variación así obtenida, es la ley
de variación de la función inversa
2321 +=−
x)x(f/
Dm = { x / x ∈ R ∧ x > 1,5 } entonces
f : R > 1,5 → R / f(x) = log2(2x-3)
recuerde que: logab = c ⇔ ac = b
322 += yx 232 +=
yx
recordemos que ya hemos hallado
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que hemos representado
)x(log)x(f/R.R:f 3251 2 −=→>
confeccionamos una tabla de valoresX f-1(x)2
32 +x
0
2320 + unimos los puntos con
trazo continuo porque f-1 va de R → R
23251 11 +=>→ −−
x)x(f/,RR:f
también aquí f-1 es equidistante de f
respecto de la bisectriz del primer cuadrante
y finalmente podemos trazar la asíntota de f-1 que es y = 1,5
recuerde que f tiene asíntota en
x = 1,5
porque aunque tomemos valores muy pequeños de x, f-1 será siempre ≥ 1,5
2
1
2321 + 2,5
2
2322 +
3,5
4
2324 +
9,5
-1
232 1 +−
1,75
-4
232 4 +−
1,53
-10
232 10 +−
1,5001
borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo