funciones

Una función es un tipo particular de relación.

Definición N°6: Función

Se llama función de en a una relación de en , que cumple la siguiente

propiedad:

Si es función de en se anota por:

El conjunto se llama dominio y el conjunto se llama codominio.

Si se anota esto es:

Si

Es decir, el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida ( ), y cada

elemento del conjunto de partida debe tener una única imagen en el codominio.

Si es una función de en se escribe

O bien, si , se escribe , esto es:

2.3 FUNCIONES

Esto quiere decir, que cada elemento del conjunto al aplicar la función a ese

elemento obtendremos un elemento en el conjunto , es decir,

obtendremos

Si , se escribe , esto es:

EJEMPLO Nº 18:

a. Sean los conjuntos , y la relación que se

muestra en la figura 2.11, ¿Es la relación una función?

si es función, puesto que cada elemento del conjunto tiene una única imagen

en el conjunto , es decir,

ó

b. Sean los conjuntos y la relación que se muestra

en la figura 2.12. ¿Es la relación una función?

Figura 2.11 Representación Sagital de la Relación

si es función, puesto que cada elemento del conjunto tiene una única imagen

en el conjunto , es decir,

ó

c. Sean los conjuntos y la relación que se muestra

en la figura 2.13. ¿Es una función?

NO es función, puesto que:

Figura 2.12 Representación Sagital de la relación

Figura2.13 Representación Sagital de la Relación

2.3.1 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

Definición Nº 7: Dominio de una Función.

El Dominio de una Función, al igual que en una relación son los valores de en

los cuales está definida esta. Además, el dominio de una función está contenido

en el conjunto de partida.

EJEMPLO Nº19:

a.

b.

c.

Definición Nº8: Recorrido de una Función

El recorrido de una función, al igual que en una relación son los valores de , los

cuales son obtenidos a partir de , en los cuales está definida ésta.

Además, el recorrido de una función está contenido o puede que sea el mismo

conjunto de llegada o codominio de dicha relación.

EJEMPLO Nº20:

Basta en cada una de las funciones despejar el valor de y verificar para que

valores de esta nueva función esta definida.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g. Dados

.

La función definida por

. Para todo

1 2 3

1

2

3

4

X

Y

Figura 2.14 Gráfica de la función

2.3.2 FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO

Consideremos la figura 2.15:

Sea un subconjunto del conjunto y sea la relación del diagrama.

Notemos que:

1. no es función, pues 3 no tiene imagen.

2. es función.(Figura 2.16)

Notemos que la relación no es función, ya que el elemento 1 del conjunto A tiene

dos imágenes

Figura 2.15 Representación Sagital de función con Dominio Restringido

Figura 2.16 Representación Sagital de la

función

Sea una función de , entonces . Sin embargo una

relación de puede ser una función definida en un dominio contenido en .

El dominio de la función se llama dominio restringido cuando pero

.

EJEMPLO Nº21:

Sea .

es una función de , puesto que para elemento del conjunto de partida

existe una imagen en el conjunto .

; ; ;

es función, puesto que:

; ; ;

Figura 2.17 Representación Sagital


Notemos que del ejemplo c, se tiene que:

1. no es función de ya que no tiene imagen en el conjunto de

llegada.

2. es una función con dominio restringido, es función de , puesto que:

;

no es función de puesto que:

no tiene imagen en el conjunto de llegada.

es función con dominio restringido, es función del conjunto



EJEMPLO Nº22:

Analicemos los siguientes gráficos en el plano cartesiano y determinemos cuales

de ellos son el gráfico de una función.

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Notemos que es función,

puesto que cada elemento de

tiene una, y sólo una

imagen.

Notemos que es una función

de , puesto que cada

elemento tiene una, y sólo

una imagen

Figura 2.21 Ecuación de la recta

Figura 2.22 Semicircunferencia de

centro y radio

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

2.3.3. PROPIEDADES DE FUNCIONES

Ya estudiado el dominio y recorrido de funciones, podemos analizar estas, y

observar algunos tipos especiales que cumplen ciertas propiedades las cuales

veremos a continuación.

a. FUNCION INYECTIVA O 1-1 (UNO A UNO)

Una función es una función inyectiva ó uno a uno si, y sólo si

EJEMPLO Nº23:

a. Sea la función definida por

P.D

Notemos que es función,

puesto que cada elemento de

tiene una, y sólo una

imagen.

Figura 2.23 Gráfica Función

Valor Absoluto

Por lo tanto es una función inyectiva.

b. Sea una función definida por

. ¿ Es inyectiva?

P.D

Vemos que para tener igual imagen no es necesario que sean iguales. Por

ejemplo, si , tenemos que con .

Por lo tanto no es función inyectiva.


de una Función uno a uno

b. FUNCION SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA

Una función es Epiyectiva o Sobreyectiva si, y sólo si el recorrido es igual

al conjunto , es decir:

EJEMPLO Nº24:

a. Sea definida por . Demostraremos que es

sobreyectiva.

Sea . Despejemos el valor de en función de .

Sea Definamos

, notemos que

Entonces,

Así

Por lo tanto es una función sobreyectiva.

Notemos que y

Por lo tanto es una función sobreyectiva

Figura 2.25 Representación Sagital de Función Sobreyectiva

a. La Gráfica de la Función Cuadrática.

-2 -1 1 2

1

2

X

Y

.

Sea la función definida por .

Notemos que el .


2.3.4 RESTRICCIONES PARA QUE UNA FUNCION SEA SOBREYECTIVA

Sea la función definida por:

Para que es la función sobreyectiva debe verificar que

Figura 2.26 Gráfico de la

Función Cuadrada

Calculemos el recorrido:

Luego

Por lo tanto no es una función sobreyectiva.

Sin embargo podemos hacer que sea una función sobreyectiva, para esto basta

con restringir el conjunto de llegada al recorrido obtenido, esto es:

c. FUNCION BIYECTIVA

Una función de en , es una función biyectiva si, y sólo si es inyectiva y

sobreyectiva simultáneamente.

EJEMPLO Nº25:

a. Sea una función definida por:

Figura 2.27 Representación Sagital de

la Función Biyectiva.

Notemos que:

; ;


Además,


Por lo tanto es una función biyectiva.

d. FUNCIONES CRECIENTES

Sea una función real, es una función creciente si, y solo si

Es decir, a medida que el valor de x crece, su imagen también crece. La figura 28,

muestra una función creciente.

e. FUNCIONES DECRECIENTES

Sea una función real, es una función decreciente si, y solo si

Es decir, a medida que el valor de crece, su imagen decrece.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Figura 2.28 Función

Creciente

Figura 2.29 Función

Decreciente

2.3.5. FUNCIÓN INVERSA

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en

elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que

realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función

aplicación inversa de f.

Una función tiene su correspondiente función inversa , si

es una función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

Además si es una función biyectiva, entonces también será una función

biyectiva.

EJEMPLO Nº 26:

Notemos que es una función, pues:

I.

II.


Además, .

Por lo tanto es una función biyectiva.

Figura 2.30 Función Biyectiva

Luego,

EJEMPLO Nº27:

a. Sea una función biyectiva definida por

Hacemos , esto es:

Despejamos el valor de ,

Luego, donde este una variable , la cambiamos por la variable , esto es:

Así se define la inversa de la función por

b. Observemos la siguiente gráfica de la función biyectiva

Su función inversa es:

Figura 2.31 Función Inversa

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Figura 2.32 Representación Gráfica de la función

y la gráfica de su Función Inversa.

2.3.7 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

En matemática, una función compuesta es una función formada por la

composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen está

contenida en el dominio de g, se define la función composición

(g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

A ) se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el

orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

La función compuesta, existe y puede ser calculada si y solo si ocurre que

En caso de que la condición no se cumpliese, se redefine la función para que

ocurra dicha condición.

EJEMPLO Nº28:

Figura 2.33 Función Compuesta.

b. Si y son las funciones definidas por

Entonces, queda definida de la siguiente manera:

Veamos la siguiente tabla con valores para :

1 5 8

2 10 13

3 15 18

Luego,

Figura 2.34 Representación sagital del resultado de

una función compuesta.

c. Sea funciones definidas por:

Si entonces

Si , entonces

Entonces busquemos

Notemos que,

i. , entonces

Luego,

ii. , entonces

Luego,

funciones

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