funciones

MINISTERIO DE EDUCACION

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

PIURA 2008

LÓGICO MATEMÁTICO

FUNCIÓN LINEAL

LOGRO DE APRENDIZAJE

RESUELVE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS APLICANDO CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS

MATEMÁTICOS EMPLEANDO FUNCIONES LINEALES Y COMUNICA LOS RESULTADOS A TRAVÉS DE

DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN

Contenidos: Par Ordenado Producto cartesiano. Relaciones. Regla de Correspondencia. Dominio y Rango. Gráficos. Función Lineal

Situación Problemática

¿Qué significa que un auto vaya a 70 km/h?Determinar la ley que rige la dependencia entre las magnitudes tiempo y espacio recorrido. ¿Cuál es el espacio recorrido en 1/2 hora?¿Cuánto en 10 minutos? ¿Y cuánto en 8 horas?Respondiendo a estas preguntas y a otras similares,los estudiantes podrán construir el modelo del movimiento rectilíneo uniforme.

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INTRODUCCIÓN

En el mundo actual, y especialmente en los medios de comunicación, gran parte de la información acerca de fenómenos de cambio, bien sean de carácter económico, deportivo, meteorológico e incluso político, se difunde por medio de tablas y graficas, que son dos de las formas de expresar una relación funcional. Por ejemplo, si observas el recibo de consumo de electricidad, podrás encontrar un grafico que te muestra tu consumo mensual, alli tienes la información resumida de todo un año; fácilmente te informaras de cuanto fué tu consumo máximo.

El concepto de Función es una noción central en la matemática actual y constituye una idea unificadora de gran importancia.

En este modulo, se pretende ante todo, proporcionar una visión general del concepto matemático de función, presentado el tema de manera numérica, gráfica y simbólica, siempre que sea posible.

Se presentan diferentes situaciones relacionadas con problemas de la vida real o matemáticas concretas, que permiten una modelización por medio de una función, que con la cual describiremos dichas situaciones, prediciendo en algunos fenómenos que sucederá bajo determinada condiciones.

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FUNCIÓN LINEAL

1. PAR ORDENADOLlamaremos par ordenado de números reales a la expresión (a, b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componenteEJEMPLOSon pares ordenados: (3, 5), (-2, 7), (etc).

2. PRODUCTO CARTESIANOEl producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados.Si tuviéramos dos conjuntos A y B, el producto cartesiano puede ser expresado también así:

Es un subconjunto del producto cartesiano. Lo cual leemos así:

“El producto cartesiano A x B, cuyos elementos son los pares ordenados (a, b) tal que las primeras componentes a pertenecen al conjunto A y las segundas componentes b pertenecen al conjunto B”

Sean los conjuntos A y B, de modo que:

Luego:

Gráficamente el producto cartesiano puede ser representado así:

Diagrama sagital o de flechas Tabla de doble entrada

A B B 2 4 A 1. .2 1 (1, 2) (1, 4) 3. 5. .4 3 (3, 2) (3, 4)

5 (5, 2) (5, 4)

Diagrama en árbol Diagrama cartesiano

(1, 4) (3, 4) (5, 4) 1 3 5 4 (1, 2) (3, 2) (5, 2) 2

2 4 2 4 2 4 0 1 3 53. RELACIÓN BINARIA

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Es un subconjunto del producto cartesiano. Es decir en el ejemplo A x B, el conjunto RELACIÓN lo conformara sólo los pares ordenados cuyas componentes cumplan la siguiente condición: a > b. Entonces, con los pares ordenados que cumplan con dicha condición estaremos formando una RELACIÓN R.

Así:Como las primeras componentes de cada PAR ORDENADO pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B, tal RELACIÓN se dice que es una: RELACIÖN BINARIA R DE A EN BLo cual se simboliza así:

Donde:El conjunto A se llama conjunto de partida, y el conjunto B se llama conjunto de llegadaVamos a graficar la RELACIÓN obtenida empleado el diagrama sagital, la tabla de doble entrada y el diagrama cartesiano.


A B B 2 4 A 1. .2 1 3. 5. .4 3 (3, 2)

5 (5, 2) (5, 4)

Diagrama cartesiano

(5, 4) 4

(3, 2) (5, 2) 2

0 1 3 5

4. REGLA DE CORRESPONDENCIA

A la CONDICIÓN que se nos da al seleccionar los pares ordenados que conforman una RELACIÓN, se le conoce también con el nombre de REGLA DE CORRESPONDENCIA.

a > b es la condición o REGLA DE CORRESPONDENCIA de la RELACIÓN.

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Se nos pudo haber pedido otra RELACIÓN con otra REGLA DE CORRESPONDENCIA en el mismo producto cartesiano; esta regla pudo ser:

a < ba = b – 1 etc.

Dados dos conjuntos A y B, la RELACIÓN BINARIA R de A en B, es un subconjunto del producto cartesiano A x B, en el que las componentes de sus PARES ORDENADOS guardan correspondencia de acuerdo a una CONDICIÓN o REGLA DE CORRESPONDENCIA dada.

5. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

Le llamaremos DOMINIO DE UNA RELACIÓN, al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha RELACIÓNEl DOMINIO DE UNA RELACIÓN se representa así: D(R).

Le llamaremos RANGO DE UNA RELACIÓN, al conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha RELACIÓN. El RANGO DE UNA RELACIÓN se representa así: R(R).

EJEMPLODados los conjuntos P y T. hallar el Dominio y el Rango de la Relación R de P en T cuya regla de correspondencia es

SOLUCIÓN

Escribimos P y T por extensión:

Al establecer el producto cartesiano P x T, extraeremos sólo los pares ordenados que cumplen con Y = X +3, los cuales constituyen la Relación R de P en T

Establecemos el Dominio: Establecemos el Rango:

6. FUNCIÓN

Una FUNCIÓN f de A en B, es un subconjunto de pares ordenados (x, y) En el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente.En una FUNCIÓN se distingue lo siguiente:

Conjunto de partida. Conjunto de llegada. Regla de correspondencia.

EJEMPLODados los conjuntos:

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Hallar y graficar la función: definida por:

SOLUCIÓN Conjunto de partida: A Conjunto de llegada: B Producto cartesiano: A x B: Regla de correspondencia: o Determinamos los pares ordenados que pertenecen a la función f,

reacordando que las componentes de cada par están relacionados por la regla de correspondencia:

Par ordenado x o primera

componente

y = f(x) o segunda componente

(x, y) X f(x) = 2x +1(1, 3) 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 (1, 3) f(1, 7) 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 (1, 7) f

(1, 11) 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 (1, 11) f(3, 3) 3 f (3) = 2(3) + 1 = 7 (3, 3) f(3, 7) 3 f (3) = 2(3) + 1 = 7 (3, 7) f

(3, 11) 3 f (3) = 2(3) + 1 = 7 (3, 11) f(5, 3) 5 f (5) = 2(5) + 1 = 11 (5, 3) f(5, 7) 5 f (5) = 2(5) + 1 = 11 (5, 7) f

(5, 11) 5 f (5) = 2(5) + 1 = 11 (5, 11) f Luego: Grafiquemos: Como la Función es una Relación podemos emplear las gráficas conocidas:

Diagrama sagital o de flechas Diagrama cartesiano (5, 11)

A f B 11 (3, 7)

1. . 3 7 (1, 3) 3. .5 3

5. .11 0

1 3 5DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

El dominio D(f) de una función es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de dicha función.

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El rango R(f) de una función es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de dicha función.

En el ejemplo anterior:

7. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Siendo f una función real de variable real, la gráfica de f está formada por el conjunto de puntos del plano que representa al conjunto de pares ordenados de la función.

EJEMPLOGraficar la función real: SOLUCIÓN

Hemos afirmado que en una función real los valores que toman x e y son números reales.

Esto equivale a decir que en una Función Real, el conjunto de partida es y el conjunto de llegada también. Esto pude simbolizarse así:

Lo cual habíamos aprendido a leer como: “La función f de en ” La gráfica está formada por los puntos. Los pares ordenados correspondientes a estos puntos los

obtenemos asignando a x cualquier número real, lo que reemplazamos en la Regla de Correspondencia para obtener los respectivos valores de y, esto lo anotamos en una tabla como la siguiente:

x -4 -3 -2 -1 1 2 3y -3 -2 -1 0 2 2 4

Como se vera, si leemos en forma vertical tenemos en la tabla 7 pares ordenados que dan lugar a los siguientes 7 puntos en el plano cartesiano + y

4 3 2 1 - x + x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3

-4 - y 8. FUNCIÓN LINEAL

Es aquella cura gráfica siempre es una línea recta y cuya Regla de Correspondencia tiene la siguiente FORMA GENERAL:

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Donde:a es el intercepto de la grafica en el eje yb es la pendiente de la recta.El intercepto con el eje y es un punto que pertenece a la gráfica de la función y también al eje y; es decir: la abscisa x de ese punto es CERO.Esto es: si x = 0Entonces: y = a + b x

y = a + b (0) y = a.

FORMAS DE TRAZAR LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL

1. IDENTIFICANDO EL INTERCEPTO a Y LA PENDIENTE b

EJEMPLO

Graficar la función: y = 4 + 3x

SOLUCIÓN

Identificamos el intercepto con el eje y : + 4 Identificamos la pendiente de la recta: + 3 Trazamos la gráfica:

y x y 7 P

6 0 4 5 3 unidades 4 hacia arriba 1 7 1 unidad a la derecha x 0 1

Con dos puntos pertenecientes a la función podemos trazar una sola recta que une a ambos y que será la GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

2. TABULADO Esta es otra manera de trazar la gráfica de una función. Veamos el ejemplo anterior:

Trazar la gráfica correspondiente a la función f(x) = 4 + 3x

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Aquí la variable independiente es x Si a x le damos algunos valores, obtenemos los respectivos

valores de y De veste modo estaremos hallando algunos pares ordenados de

la función, que podemos escribirlos en una tabla así:

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1y -2 -0,5 1 2,5 4 5,5 7

Graficamos los puntos correspondientes a cada par ordenado y los unimos por una línea recta.

+ y (0,5 ; 5,5)

(-0,5; 2,5)

- x + x

(-2; -2)

- y

3. IDENTIFICANDO LOS INTERCEPTOS CON LOS EJES x e Y Tomemos el mismo ejemplo anterior:

Trazar la gráfica correspondiente a la función: y = 4 + 3x Calculamos el intercepto de la recta con el eje y (es decir

calculamos las coordenadas del punto común a la recta que representa a la función y el eje y); en ese caso x = 0,

luego: y = 4 + 3 x y = 4 + 3 (0)

y = 4. Luego el intercepto con el eje y es: (0, 4)

Calculamos ahora el intercepto de la recta con el eje x; en este caso y = 0

luego: y = 4 + 3 x 0 = 4 + 3 x

x = - 4/3 Luego el intercepto con el eje x es: (-4/3, 0)

Ubiquemos ambos interceptos en los ejes respectivos del plano cartesiano.

+ y (0, 4)

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- x (-4/3, 0) + x

- y Si unimos los dos puntos con una recta, tendremos la gráfica de

la función:

+ y (0, 4)

(-4/3, 0) - x 0 + x

- y

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÖN LINEALMientras no se nos dé una limitación (llamada también acotación) los valores de x, es decir el DOMINIO de la función lineal es el conjunto

Como a cada valor de x, le corresponde un valor de y según , entonces los valores de y, es decir el RANGO de la función lineal también será el conjunto

EJEMPLOGraficar la función SOLUCIÓN

A cada valor real de x comprendido entre -2 y 2le corresponde un valor de y según . Esto nos permite tabular pares ordenados del siguiente modo.

x -2 -1 0 1 2y 0 2 4 6 8

Graficando en el plano cartesiano los pares ordenados obtenidos:

9 y 8 7 6 5

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4 RANGO 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

DOMINIOObservando la gráfica notamos que:

CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LINEAL

1. FUNCIÓN CONSTANTE Si en la forma general de la función lineal: f(x) = a + b x Hacemos que b = 0, entonces tendremos:

f(x) = a + 0( x) f(x) = a ; como a es una constante, entonces f(x) = constante

EJEMPLO

Graficar: f(x) = 3

SOLUCIÓN En el plano cartesiano

y y=3 ó f(x) = 3 3 2

1

0 x

2. FUNCIÓN IDENTIDAD Si en la forma general de la función lineal: f(x) = a + b x Tuviéramos que b = 1 y a = 0, entonces tendremos:

f(x) = 0 + 1( x) , es decir: f (x) = x ó y = x EJEMPLO

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Graficar: f(x) = x

SOLUCIÓN Esto significa que en todos los pares ordenados de la función ambos

componentes son iguales, esto es (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc. Además

- El intercepto con el eje y ( es decir a) es cero - La pendiente b es 1

Graficando en el plano cartesiano: y 3 f (x) = x ó y = x 2

1 b = 1 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2

-3

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcule x e y en la siguiente igualdad de par ordenado

SOLUCIÓN

2x - 1 = 5

x = 2

8 = y + 5

y = 3

2. Dados los siguientes conjuntos

hallar el producto cartesiano y grafique por todas las formas posibles.

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SOLUCIÓNDados los conjuntos A y B

Luego: Gráficamente el producto cartesiano puede ser representado así:


A B B 3 4 5 A 2. .3 2 (2, 3) (2, 4) (2, 5) .4 3. .5 3 (3, 3) (3, 4) (3, 5)

Diagrama cartesianoDiagrama en árbol

(2, 5) (3, 5) 5

(2, 4) (3, 4) 2 3 4 (2, 3) (3, 3) 3

3 4 5 3 4 5 0 2 3

3. Dados los conjuntos A y B, hallar la relación R de A en B cuya REGLA DE CORRESPONDENCIA se indica; además graficar la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada

Regla de correspondencia: y = 2x

SOLUCIÓNDados los conjuntos A y B

Luego: Regla de correspondencia: o Determinamos los pares ordenados que pertenecen a la relación R Luego: Grafiquemos: Para la Relación podemos emplear las gráficas conocidas:

Diagrama sagital o de flechas Diagrama cartesiano

A R B

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(1, 2) 1. . 1 2

2. .2 1

0 1 2

Tabla de doble entrada

B 1 2 A

1 (1, 2)

2

4. Graficar la siguiente función: y determinar el dominio y el rangoSOLUCIÓN

Identificamos el intercepto con el eje y : + 2 Identificamos la pendiente de la recta: + 1 Trazamos la gráfica:

y x y 3

2 0 2 1 x 1 3 1 2 3

Con dos puntos pertenecientes a la función podemos trazar una sola

recta que une a ambos y que será la GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. f = { ( 2; 6 ); ( 1; a - b ); ( 1; 4 ); ( 2; a + b); ( 3; 4)} Es una función; hallar f(b).a)1 b) 3 c)5 d)4 e) -1

2. Sea f una función tal que f (2 – 3x) = 3x – 2 para todo número real x, si f(3) = 5 – 4a , hallar el valor de “a”.a) -2 b) 2 c) 3/2 d) 6 e) -3/2

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3. Dada la función f(x + 4) = ax2 – 5a y f(1) = 4, hallar el valor de a.a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2

4. Sea f: una función real, tal que f(x) = a – 2x – x2. Si f(-3) = -1, hallar el valor máximo de la función.a) 5 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4

5. Sean f y g funciones reales tales que f(x) = x2 + ax + 2 y g(x) = 2x + 5 si f(g(-2)) = 2a, hallar el valor de a.a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6

6. Calcule x e y en la siguiente igualdad de par ordenado . Dar como respuesta la suma de x e y

a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3

7. Calcule x e y en la siguiente igualdad de par ordenado . Dar como respuesta el producto de x e

ya) 1/2 b) 2/5 c) 4/5 d) 9/5 e) 3


Hallar el producto cartesiano y grafique por todas las formas posibles.


Hallar el producto cartesiano y grafique por todas las formas posibles.

10.Dados los conjuntos A y B, hallar la relación R de A en B cuya REGLA DE CORRESPONDENCIA se indica; además graficar la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada

Regla de correspondencia: y = x +1Escribir el dominio y el rango de la relación.

11.Dados los conjuntos A y B, hallar la relación R de A en B cuya REGLA DE CORRESPONDENCIA se indica; además graficar la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada

Regla de correspondencia: x + y < 12Escribir el dominio y el rango de la relación.

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12.Graficar la siguiente función: y determinar el dominio y el rango.






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