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FUNCIONESFUNCIÓN: RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES X E Y TAL QUE A CADA VALOR DE X LE CORRESPONDE UN ÚNICO VALOR DE Y

X: variable independienteY: variable dependiente

f(x)=y

1 43 2

5 1

x y-1 22 33 44 0

EJEMPLOS DE FUNCIONES

1 43 2

5 1

x y-1 22 33 22 0

EJEMPLOS DE NO FUNCIONES

Notación:f(2)=4, si x=2, entonces y=4

Ejemplos:f(x)=x+2g(x)=x2-3h(x)=-3xa) f(-2) = -2+2=0

b) 2·g(3)-h(0):g(3)= 32-3 = 6h(0)= -3·0 = 02·g(3)-h(0) = 2·6-0 = 12

c) h(?)= -3·?h(*)= -3·*h(x+1)= -3·(x+1)

TEST VERTICAL SOBRE FUNCIONESPara averiguar si una gráfica corresponde a una función podemos representar rectas verticales sobre la gráfica. Si ésta sólo corta una vez, corresponderá a una función, si corta más de una vez, no es función.

y

x

y

x

y

x

y

x

MONOTONÍA: CRECIMIENTO / DECRECIMIENTOf(x) es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar los valores de x, aumentan también los de y.

f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar los valores de x, disminuyen los de y.

f(x) es constante en un intervalo (a,b) cuando no crece ni decrece en ese intervalo

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CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESDOMINIODom f, es el conjunto de valores que toma la variable independiente x

RANGO O RECORRIDO Rec f , es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJESEje x: y=0, (x,0)Eje y: x=0, (0,y)

y

x

y

x

y

x Rec f

Dom f

y

x

MÁXIMO RELATIVO: EL punto (a, f(a)) es un máximo si en ese punto la función pasa de crecer a decrecer.

MÍNIMO RELATIVO: EL punto (b, f(b)) es un mínimo si en ese punto la función pasa de decrecer a crecer.

y

x

Máx.

Mín.

a b

a b

a b

CÁLCULO DEL DOMINIO• Polinomios: Dom f = R • Cocientes:

f x =P(x)Q(x)

D=R– {x /Q(x)=0}

• Raíces de índice impar: f x = p(x)n ; D = R

• Raíces de índice par:f x = p(x)n ;D={x/p(x)≥0} • Logaritmos:f x =Log(q x ), D={x/q(x)>0}• Exponenciales:f x =eg(x), D=Dg(x)

CURVATURA• CÓNCAVA: Si dados dos

puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

• CONVEXA: Si dados dos puntos en la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

PUNTOS DE INFLEXIÓN: puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa

FUNCIÓN CONTINUAUna función es continua en un intervalo si no presenta saltos ni interrupciones se puede ( representar sin levantar el lápiz del papel). Los puntos donde una función no es continua se llaman puntos de discontinuidad.

y

a x

Función discontínuaen x=a

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CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESy

xFunción contínua

SIMETRÍA• SIMETRÍA PAR. La función

es simétrica respecto al eje OY, f(x)=f(-x)

• SIMETRÍA IMPAR. La función es simétrica respecto al origen de coordenadas, f(x)= - f(-x)

Si una función no es par ni impar se dice que no es simétrica

y

x

y

x

TRUCO: GIRA 1800 EL GRÁFICO RESPECTO AL ORIGEN Y SI TE QUEDA IGUAL, ES SIMÉTRICA IMPAR

TRUCO: SI AL DOBLAR LA GRÁFICA POR EL EJE OY QUEDA LO MISMO, ES SIMÉTRICA PAR

y

x

y

x

y

x

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/FUNCIONES LINEALES

y

x

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DEFINICIÓN: y =mx. m: pendiente de la rectaCARÁCTERÍSTICAS:• Su gráfica es una recta.• Domf = ℝ = Recf• Pasan por el origen de coordenadas (0,0).• Si m>0, la función es creciente• Si m<0, la función es decreciente.• No tiene máximos ni mínimos relativos.• No es simétrica• Es contínua.

FUNCIÓN CONSTANTEDEFINICIÓN: y =kCARÁCTERÍSTICAS:• La pendiente es 0.• Su gráfica es una recta paralela al eje x.• Domf = ℝ ; Recf={k}• Es contínua• No tiene máximos ni mínimos.

FUNCIÓN LINEAL DEFINICIÓN: y =mx+nm: pendiente de la rectan: ordenada en el origenCARÁCTERÍSTICAS:• Su gráfica es una recta• Es contínua.• Domf = ℝ = Recf• Pasa por el punto (0,n).• Si m>0, la función es creciente. Si m<0, es decreciente.• No tiene máximos ni mínimos.

y

x

y

x

y

x

m>0

m<0,

m>0

Calcula la función y=mx que pasa por el punto (-1,2).Sustituímos los datos del punto en la función y calculamos m. 2=(-1)·m, m=-2. Por lo que, y=-2x. Pendiente=-2 (decreciente).

Calcula la función constante que pasa por el punto (-1,2).Sustituímos los datos del punto en la función y calculamos k. y=2. Por lo que, y= 2. Pendiente=0.

Calcula la función lineal que pasa por los puntos(-1,2) y (2,3).Sustituímos los datos de los puntos en la función y resolvemos el sistema que resulta

para averiguar m y n. %2=m· -1 +n3=m·2+n

, m=1/3, n=7/3.

Por lo que, f x =y= 13 ·x+ 7

3 = x3 + 7

3. Pendiente m=1/3, creciente.

DEFINICIÓN:CARÁCTERÍSTICAS:• Su gráfica es una parábola• Si a>0, mira hacia arriba Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x• Si a<0, mira hacia abajo Ejemplo: f(x)=y= -x2+2x-1. • Tiene un vértice en el punto V= xv,yv =(−b

2a ,yv). Calcula xv y después sustituye en la función para calcular yv.Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x. xv= -(-4)

2· 2 =1, yv = 2 · 12 − 4 · 1 = 2-4 = -2. V(1,-2)

Ejemplo: f(x)=y= -x2+2x-1. xv= -22· -1 = 1, yv = - 12 +2·1-1=0. V(1,0)

Ejemplo: f(x)=y= x2+9. xv= 02· 1 =0, yv = 02 +9=9. V(0,9)

• Tiene un eje de simetría: la recta x=−b2a

Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x. xv=−(−4)2· 2 =1, Eje de simetrí𝑎: x=1

Ejemplo: f(x)=y= -x2+2x-1. xv= −22· −1 = 1, Eje de simetrí𝑎: 𝑥 = 1

Ejemplo: f(x)=y= x2+9. xv= 02· 1 =0, Eje de simetrí𝑎: 𝑥 = 0

• Puntos de corte con los ejes.Eje x: y=0, ax2+bx+c=0. La ecuación que se obtiene puede tener tres tipos de soluciones:ü 2 soluciones distintas, x=a, x=b . Puntos de corte: (a,0), (b,0)

ü 2 soluciones iguales, x=a. Punto de corte: (a,0).

ü Ninguna solución. No corta al eje x.

Eje y: x=0, (0,c)

• Es contínua• Si a>0, tiene un mínimo en el vértice y es convexa. Domf=ℝ,

Recf=(yv, +∞)• Si a<0, tiene un máximo en el vértice y es cóncava. Domf=ℝ,

Recf=(-∞, yv,)

FUNCIONES CUADRÁTICASf x =ax2+bx+c

Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x. 2x2-4x=0; 1 2x=0, x=0

x-4=0, x=4, puntos de corte: 0,0 , (4,0)

Ejemplo: f(x)=y= -x2+2x-1. x2-2x+1=0;x=1 (doble), punto de corte (1,0)

Ejemplo: f(x)=y= x2+9. x2+9=0; no tiene soluciones reales.

Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x. x=0, y=0, punto de corte (0,0)f(x)=y= x2-2x+1. x=0, y=1, punto de corte (0,1)f(x)=y= x2+9. x=0, y=9, punto de corte (0,9).

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FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

DEFINICIÓN:CARÁCTERÍSTICAS:• Su gráfica es una hipérbola• Domf = ℝ\0 = Recf• Puntos de corte con los ejes.

Eje x: nunca corta al eje xEje y: nunca corta al eje y.

• Si k>0, decrece en su dominio. Es cóncava (-∞,0) y convexa (0, +∞)• Si k<0, crece en su dominioEs convexa (-∞,0) y cóncava (0, +∞)• Es simétrica impar.• No tiene máximos ni mínimos relativos.

f x =kx

DEFINICIÓN: f(x)=logx, g(x)=LnxCARACTERÍSTICAS:• Domf = ℝ+ = (0,+∞)• Recf = ℝ• Puntos de corte con los ejes.

Eje x: (1,0)Eje y: nunca corta al eje y.

• Es una función creciente• Es contínua• No tiene máximos ni mínimos.• Es cóncava en su dominio.• No es simétrica

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

K>0K<0

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FUNCIÓN EXPONENCIAL

y

x

DEFINICIÓN: f(x)=ex

CARACTERÍSTICAS:• Domf = ℝ• Recf = ℝ+

• Puntos de corte con los ejes.Eje x: nunca corta al eje xEje y: (0,1).

• Es una función creciente• Es contínua• No tiene máximos ni mínimos.• Es convexa en su dominio.• No es simétrica

FUNCIONES A TROZOS

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas

f x =33. si x<-2

x+1 si -2≤x<0x2-1. si x≥0

3 x+1 x2-1

-2 0

Ahora debes estudiar las distintas características de las diferentes funciones, lineales, cuadráticas,… y realizar su gráfica según los valores donde se encuentre esa función:

(-∞,-2), [-2,0), [0, +∞)