FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

E.A.P. de: INGENIERÍA ELECTRÓNICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES

MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. Mtarazona@uch.edu.pe

Web: http://jacobiperu.com/ 999685938

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TEMA: FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL SEMANA: 03

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I

FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL

Una curva en el plano así como una curva C en el

espacio tridimensional pueden definirse mediante

ecuaciones paramétricas. Al emplear las funciones

como componentes en un conjunto de ecuaciones

paramétricas, podemos construir una función de

valores vectoriales cuyos valores son los vectores de

posición de los puntos sobre la curva C. En este

capítulo consideraremos el cálculo y las aplicaciones

de estas funciones vectoriales.

Las funciones con las que se ha trabajado

hasta el momento son funciones reales de una

variable real (su rango es un subconjunto de los

reales). Se estudiarán en este capítulo

funciones de una variable real pero cuyo rango

es un conjunto de vectores. Este tipo de

funciones son las que se utilizan para describir

la trayectoria de un objeto.

Funciones vectoriales

Definición. - Una función vectorial de una

variable real en el espacio es una función cuyo

dominio es un conjunto de números reales y

cuyo rango es un conjunto de vectores del

espacio, es decir, es una función del tipo

1 1 2 2

1 2

f :

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ( ) , ( ),..., ( ) )

n

n n

n

I R

t f t f t e f t e f t e

f t f t f t

R

3

1 2 3

1 2 3

f :

( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) , ( ), ( ) )

I R

t f t f t f t f t

f t f t f t

R

i j k

2

1 2

1 2

f :

( ) ( ) ( )

( ( ) , ( ) )

I R

t f t f t f t

f t f t

R

i j

donde 1 2 3, yf f f son funciones reales de

variable real t , llamadas funciones

componentes de f .

Dominio de una función vectorial.- Esta dado

por la intersección de los dominios de sus

funciones componentes, es decir, si

•

f t

𝒇(𝑡)

C

t

z

y

x

R

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1 2 3( ) ( ( ) , ( ), ( ) )f t f t f t f t entonces

1 2 3(f) ( ) (f ) (f )I Dom Dom f Dom Dom

Ejemplo: Si 2( ) 1 , ,f t t t ln t el

dominio de f será 0/ ttI R

Rango o imagen de f.- sea f: I → Rn una

función vectorial tal que

1 2( ) ( ( ) , ( ),..., ( ) )nf t f t f t f t, definimos

Im(f) = {(f1(t), f2(t), f3(t), … , fn(t))/ tεI},

donde Im(f) = f(I)

Traza de f.- El conjunto imagen f(I) ⊂ ℝ3 se

denomina la traza de f.

Nota: Si la función vectorial f describe el

movimiento de una partícula, el vector

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ) )f t f t f t f t señala su posición

en el instante t , en estos casos t representa el

variable tiempo.

Ejemplo 1: 3: / ( ) (2 3 ) 2 ( 1 )f f t t t t R R i j k

Ejemplo 2:3 2: / ( ) ( , , 3 )f f t t sent cos t R R

Ejemplo 3:

Grafique la curva trazada por la función

vectorial

f(t) = 2costi + 2sentj + 3k

Solución

Parametrizando {x = 2costy = 2sent

z = 3

Un punto de la curva ya sobre la curva:

x2 + y2 = 4, sin embargo, como la

coordenada z de cualquier punto tiene el valor

constante z = 3

Ejemplo 4:

Determine la función vectorial que describe la

curva C de intersección del plano y = 2x y el

paraboloide: z = 9 − x2 − y2.

Solución

Parametrizando la curva C de intersección

dejando x = t se deduce que y = 2t y

z = 9 − t2 − (2t)2 = 9 − 5t2 de acuerdo a

las ecuaciones paramétricas.

{

x = ty = 2t

z = 9 − 5t2

− ∞ < t < +∞

función vectorial que describe el trazo del

paraboloide en el plano la función vectorial

que describe el trazo del paraboloide en el

plano

y = 2x está dada por:

f⃗(t) = ti + 2tj + (9 − 5t2)k

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Ejemplos

• Un campo vectorial para el movimiento del

aire en la tierra asociará a cada punto en la

superficie de la tierra un vector con la velocidad

y la dirección del viento en ese punto. Esto se

puede dibujar usando flechas para representar

el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será

una indicación de la velocidad del viento. Un

"Alta" en la función usual de la presión

barométrica actuaría, así como una fuente

(flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero

(flechas que entran), puesto que el aire tiende a

moverse desde las áreas de alta presión a las

áreas de presión baja.

• Un campo de velocidad de un líquido móvil.

En este caso, un vector de velocidad se asocia a

cada punto en el líquido. En un túnel de viento,

las líneas de campo se pueden revelar usando

humo.

• Campos magnéticos. Las líneas de campo se

pueden revelar usando pequeñas limaduras de

hierro.

• Las ecuaciones de Maxwell permiten que

utilicemos un conjunto dado de condiciones

iniciales para deducir, para cada punto en el

espacio euclidiano, una magnitud y una

dirección para la fuerza experimentada por una

partícula de prueba cargada en ese punto; el

campo vectorial que resulta es el campo

electromagnético.

Ejercicios

01. Determine el dominio de la función vectorial definida por

a. f⃗(t) = (ln(t) , t2, √1 − t )

b. f⃗(t) = (√t ,1

√t−1 , ln (4 − t2))

c. f⃗(t) = (t ,1

√t−1 , ln (4 − t))

d. f⃗(t) = (√t − 3 , √t + 3 , t3)

e. f⃗(t) = (t2 − 4 ,1

√t−1 , ln (

4−t

√t2−9))

f. f⃗(t) = (t ,1

√t2+5t−20 , ln (t2 − 5t + 6))

g. f⃗(t) = (1

t+2 ,

8

√9−t2, ln (t20 + 5))

2. Hallar el Dominio de las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar:

) ( ) ta f t e i Sent j

1 3

) ( )5 1

b f t i jt t

d) 3) ( ) ( 4, 7, )c f t t t t

) ( ) (2 8), (7 )e f t Ln t Ln t

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3. Hallar el Dominio de las siguientes

funciones vectoriales de variable Escalar:

) ( ) ta f t e i sent j

1 3) ( )

5 1b f t i j

t t

5) ( ) 5 5tc f t t i j t k

3) ( ) ( 4, 7, )d f t t t t

) ( ) (2 8), (7 )e f t Ln t Ln t

𝑓) 𝑓(𝑡) = (𝑙𝑛(𝑡 + 1) , √𝑡2 + 2𝑡 − 8)

g) 𝑓(𝑡) = (𝑡2

𝑡+2, 2𝑡3,

2𝑡

𝑡+1)

j) 𝑓(𝑡) = (1

𝑡2 , 0, 𝑙𝑛 (𝑡 + 1))

k) 𝑓(𝑡) = (1

𝑡2+1, 𝑙𝑛 (𝑡2 − 1),

2𝑡

𝑡−1)

l) 𝑓(𝑡) = (𝑙𝑛(𝑡 − 1) , √𝑡2 − 2𝑡 − 3)

ll) 𝑓(𝑡) = (𝑙𝑛 (𝑡−5

𝑡−2, √𝑡2 − 9, 𝑡2 − 5)

m) 𝑓(𝑡) = (√𝑡, 𝑙𝑛 (𝑡2−9

𝑡2−36) , 𝑡2)

n) 𝑓(𝑡) = (√9 − 𝑡2, √𝑡2 − 1, 𝑙𝑛𝑡)

04. 𝑓(𝑡) = (𝑡, 3𝑡), 𝑡 ∈ 𝑅, se expresa también

con las ecuaciones paramétricas x = t, y = 3t.

La imagen o la trayectoria de f es una recta en el

plano R2.

05. f⃗(t) = (cost, sent), t ∈ [0, 2π]. En este

caso, la trayectoria de f es la circunferencia

centrada en (0, 0) de radio 1?

06. Describa la curva en el espacio que definen

las siguientes funciones vectoriales:

a) f⃗(t) = (1 − t, 2 + 4t, 3 + 2t), t ∈ R

b) f⃗(t) = (sent, 3, cost), t ∈ R

c) f⃗(t) = (2cost, 2sent, t), t ∈ R

Las ecuaciones paramétricas de la curva 𝐶 son:

𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑡, Al eliminar el

parámetro t de las primeras dos ecuaciones

2 2 2 2 2(2cost) (2sent) 2x y

Observamos que un punto sobre la curva yace en

el cilindro circular 2 2 22x y Como advertimos en

la FIGURA y la tabla adjunta a la misma, cuando

aumenta el valor de t, la curva se enrolla hacia arriba

en una espiral cilíndrica o una hélice circular.

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07. Sea f⃗: I ⊆ R ⟶ R3, tal que f⃗(t) = (acost, 3,

bsent, t), t ∈ R esta curva es llamada hélice.

Note que {x = acosty = bsentz = t

⟹ {x2 = a2cos2ty2 = b2sen2t

z = t

⟹ x2

a2+

y2

b2= 1

Se puede observar como la traza que hace la

superficie x = acosz al cilindro x2

a2 +y2

b2 = 1

08. Determine el domino de la función vectorial

definida por f⃗(t) = (ln(t) ; t2; √1 − t)

09.- Un jugador de béisbol lanza una pelota con

un ángulo de 45° con respecto a la horizontal, a

una distancia de 75 metros si la pelota es

capturada al mismo nivel de lanzamiento,

determinar la rapidez inicial de lanzamiento.

10.- Un proyectil es disparado a una altura de 10

metros con una velocidad inicial de 1500m/s y

con un ángulo de elevación de 30°. Determinar:

a) la velocidad, en cualquier instante

b) la altura máxima.

c) el alcance del proyectil.

d) la rapidez con la que el proyectil choca con

el suelo.

Bibliografías Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica

Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático

III

G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica

Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la

matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill,

1967.

Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría

Analítica”, Harla, sexta edición, 1992.

Referencias

https://analisisfigempa.wikispaces.com/Integral+

Doble

www.jacobiperu.com http://usach.maximi89.cl/descargas.php

https://es.wikipedia.org/wiki/H%C3%A9lice_(geo

metr%C3%ADa)