1. Función lineal

1.1 Definición, forma algebraica y elementos

Muchos de los problemas que enfrentarás en la vida diaria podrás resolverlos empleando lasmatemáticas, por ello, es de suma importancia que aprendas a identificar y reconocer patrones enlos números, en las operaciones que realizas o al interpretar una gráfica.

Los patrones se pueden encontrar al realizar las siguientes actividades:

Cuando pagas una inscripción y después colegiaturas mensuales.Al dejar un enganche y cubrir el resto de una deuda en pagos quincenales.Al subir al taxi la cuenta comienza con el “banderazo” y cada cierto tiempo o distanciaaumenta una cantidad fija.En tu línea telefónica liquidas una renta y al rebasar los minutos incluidos comienzas a pagarotra tarifa por cada minuto adicional.Cuando en una empresa soliciten tus servicios y te pidan que analices la oferta y la demandadel mercado y les presentes una propuesta de producción a fin de satisfacer las demandasfuturas.

Para cada uno de los enunciados anteriores es posible establecer una expresión algebraica quepermita representar cada una de las situaciones descritas a través de una función lineal.

En particular, las funciones lineales son ecuaciones de la forma

La cual expresa la relación existente entre las variables y los parámetros

se llama variable independiente y a menos que se diga otra cosa, los valores que la variableindependiente puede tomar serán todos los números reales.

dependerá del valor que se le asigne a por lo que se llama variable dependiente; en ellenguaje matemático escribimos para hacer énfasis en que el valor de está en funcióndel valor que se le asigna a . A cada uno de los valores de le corresponderá un único valor de

.

es la constante de proporcionalidad llamada pendiente, es el valor que toma cuando valecero, se denomina ordenada en el origen.

Dentro de un contexto, una vez identificadas las variables y los parámetros, es recomendableemplear literales acordes con el nombre de las variables y los parámetros para ser sustituidas enla ecuación.

Por ejemplo, retomando el enunciado “Al subir al taxi la cuenta comienza con el banderazo y cadacierto tiempo o distancia aumenta una cantidad fija”

Una expresión algebraica que denota el costo de la tarifa del taxi es:

y = mx + b

x

y xy = f(x) y

x xy

m b y x

Donde:

representa el costo de la tarifa del taxi la tarifa inicial la tarifa por hora o kilómetro recorrido representa el tiempo o la distancia recorrida

Es importante observar que la tarifa del taxi estará en función del tiempo o la distancia recorrida;se dice entonces que es función de .

Problemas donde aparezcan este tipo de relaciones darán lugar a expresiones algebraicasllamadas funciones lineales. En general, las funciones lineales son expresiones algebraicas de laforma

Las literales y son llamadas variables, porque se les puede asignar distintos valores. Cuandonos referimos a la relación que hay entre las literales y , decimos que está en función de ,lo cual significa que una vez elegido el valor de la variable , el valor de está completamentedeterminado.

Por eso a la llamaremos variable independiente y la variable dependiente porque depende de ; en el lenguaje matemático escribimos para hacer énfasis en que el valor de la está

en función del valor de , y a cada uno de los valores de le corresponderá un único valor de .

Las letras y son constantes.

En una función de este tipo, los valores que la variable independiente puede tomar son todos losnúmeros reales, los cuales al ser sustituidos en la función darán como resultado el valorcorrespondiente de la variable dependiente.

1.2 Tabulación

Las funciones lineales pueden ser representadas gráficamente, siendo un modo sistemático ladeterminación de pares ordenados mediante una tabla de valores.

Regresemos al ejemplo del taxi. Bajo el supuesto de que la tarifa inicial es de y porcada kilómetro recorrido, la relación del costo del taxi en función de la distancia recorrida se puedeestablecer sustituyendo los valores y en la expresión algebraica , lafunción obtenida es:

y podemos darnos una idea del comportamiento de la función asignando valores a la variableindependiente, que en este caso es la distancia y calculando el valor correspondiente del costo , con estos valores elaboramos una tabla como la que se muestra continuación:

c = nd + i

cind

c d

y = mx+ b

x yx y y x

x y

x yx y = f(x) y

x x y

m b

$8.00 $4.00

i = 8 n = 4 c = nd+ i

c = 4d+ 8

dc

En la tabla se puede observar que la primera columna representa los datos de la variableindependiente y la segunda columna los valores de la variable dependiente; los números queaparecen en cada renglón se pueden utilizar como coordenadas de puntos que pueden serlocalizados en un plano cartesiano. ¡Vamos a ver!

1.3 Gráfica de la función

Las gráficas ofrecen mejor representación sobre la trayectoria o comportamiento.

Cuando se trate de ubicar los puntos en un plano cartesiano, toma en cuenta que son paresordenados de la forma , la variable independiente es llamada “abscisa” y representa laposición horizontal del punto mientras que la variable dependiente es llamada “ordenada” yrepresenta la posición vertical, la siguiente gráfica te permite ver que no es lo mismo la posiciónde que la de .

1.-

2.- Recuerda que las variables dependiente e independiente se pueden representar con otrasletras dependiendo del contexto del problema.

3.- Los números y que aparecen en la pareja ordenada también reciben el nombre decoordenadas del punto, coordenada y coordenada respectivamente.

(d, c)

(x, y) xy

A(1, 2) B(2, 1)

(x, y) ≠ (y,x)

x y (x, y)x y

Ahora, retomando el ejercicio del taxi, dale clic a la siguiente animación, donde encontrarás lagráfica, la ubicación de los puntos de la tabla y la unión de los puntos.

Como puedes observar, luego de unir los puntos de la tabla, la gráfica toma su forma. En estecaso es una línea recta creciente. De hecho, ésta es justamente la razón por la cual llamamos aeste tipo de funciones “funciones lineales”

El punto donde la recta corta al eje tiene coordenadas por lo que en este caso 8 es laordenada en el origen, es decir, .

La razón de cambio o incremento de las variables es y este valor representa la pendiente,gráficamente este valor lo podemos obtener eligiendo dos puntos y

cualesquiera de la gráfica o tabla y sustituyéndolos en la fórmula:

Por ejemplo:

Si los puntos son y , al sustituirlos en la fórmula:

Y (0, b)b = 8

4( , )P1 x1 y1

( , )P2 x2 y2

m =−y2 y1

−x2 x1

(0, 8) (3, 20)

m = = = 420 − 8

3 − 0

12

3

Con estos datos, la interpretación de los elementos de la gráfica es la siguiente:

La tarifa inicial del servicio de taxi son . Conforme va avanzando el automóvil, el costoaumentará por cada kilómetro recorrido.

Al representar una función lineal de manera gráfica, además de identificar el comportamiento delos datos de manera visual, predecirás lo que acontecerá. Por ejemplo, si deseas saber el costodel viaje a los kilómetros, rápidamente en la gráfica se identifica que el costo será de .

¿Y si la gráfica pasa por el origen?

Si la gráfica partiera del origen, para nuestro ejemplo la interpretación sería que el taxista sólocobraría por cada kilómetro recorrido (no habría un costo inicial, o banderazo), la funciónlineal quedaría expresada como y la gráfica sería de la siguiente manera:

En resumen,

1. La función lineal es de la forma , donde es la variable independiente, la variable dependiente, es la pendiente y la ordenada al origen.

2. Al tabular y al unir por lo menos dos de los puntos en el plano cartesiano se obtienela gráfica de la función lineal.

3. La recta pasará por el origen si y sólo si .

En este tema aprendiste el concepto de función lineal y cuál es el uso de la variable para resolverdiversos problemas desde el punto de vista algebraico, numérico y gráfico. Todos estos aspectosconstituyen un modelo lineal, el cual es el siguiente tema de estudio.

$8.00$4.00

3 $20.00

$4.00c = 4d

y = mx+ b xy m b

b = 0