Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 1

FUNCIÓN LINEAL

INTRODUCCIÓN

Observamos que:

La longitud que se alarga un resorte es proporcional a la fuerza

que se hace para alargarlo.

El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es

proporcional a la cantidad de dinero que el banco ha prestado, y

también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha prestado.

Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del

enfermo.

En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que

se comportan de esta misma manera. Esto explica el interés por el

estudio matemático de la función de proporcionalidad, caso particular

de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta.

FUNCIÓN LINEAL

La función lineal está definida por:

f : R R / f(x) mx b

El valor de m (es decir, del coeficiente de x) recibe el nombre de

pendiente. La pendiente mide la inclinación de la recta con respecto al

eje de abscisas. Así, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada está la

recta.

El valor de b recibe el nombre de ordenada en el origen, b es la

ordenada del punto en el que la recta y = mx + b corta al eje OY, es

decir, aquel que tiene por abscisa x = 0.

Es conveniente mostrar a los estudiantes las variantes de esta función.

Veamos:

- Si m = 0 y b ≠ 0 entonces se dirá que es una función

constante: f :R →R / f (x) = b

- Si m ≠ 0 y b = 0 entonces se dirá que es una función

afín:

f : R →R / f (x) = mx

- Si m = 1 y b = 0 entonces se dirá que es la función

identidad:

f : R →R / f (x) = x

- Si m > 0 entonces se dirá que es una función lineal

creciente.

- Si m < 0 entonces se dirá que es una función lineal

decreciente.

Veamos algunos ejemplos:

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 2

Función Gráfica Pendiente

Ordenada

en el

origen

f(x) = 2x – 2

x f(x)

-2

-1

0

1

2

-6

-4

-2

0

2

m = 2 b = -2

f(x) = -3x + 1

x f(x)

-2

-1

0

1

2

7

4

1

-2

-5

m = -3 b = 1

En el primer ejemplo, la recta es creciente. Observa que a medida que

aumentan los valores de x aumentan también los valores de y, es decir, a

medida que se avanza en la horizontal se produce un aumento de la

vertical, siendo entonces la pendiente positiva.

Por el contrario, en el último ejemplo, la recta es decreciente. En este

caso, a medida que aumentan los valores de x disminuyen los valores de

y, es decir, a medida que se avanza en la horizontal se produce una

disminución de la vertical, siendo entonces la pendiente negativa.

… PARA LA CLASE

01. La gráfica de la función lineal f(x) = 3x + 5 no pasa por el:

A. III cuadrante B. IV cuadrante

C. II cuadrante D. I cuadrante

02. Si f(x) = mx + b es una función lineal tal que f(0) = 7 y f(1) = 11,

halla m – b.

A.-3 B. -2

C. 0 D. 3

03. Sea la función lineal f(x) = mx + b cuyos pares ordenados son:

(5; 12) y (2; 3). Halla f(-1)

A. -9 B. -6

C. -3 D. 0

04. Si f es una función lineal tal que f(2) = 2f(1) + 2 si además

f(5) = 3f(-1) + 5, halla f(8)

A. -4 B.-1

C. 3 D. 5

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 3

05. Si f es una función lineal de pendiente 8 e intercepto con el eje Y,

5. Halla el valor de f(-1) + f(0) + f(1)

A.0 B. 10

C.15 D. 18

06. Si f es una función lineal que pasa por los puntos (1; -2), (-1; 8) y

(3; a). Señala el valor de “a”

A.-12 B. -9

C. 9 D. 12

07. Halla el área de la región limitada por la recta 2x - y = 12 y los ejes

de coordenadas cartesianas.

A. 12 u2 B. 18 u2

C. 24 u2 D.36 u2

08. Si 3x + 2y – 8 = 0, representa una función lineal. Halla la pendiente

y la ordenada en el origen.

A. 3/2; -4 B.-3/2; 4

C. 2/3; -4 D. -2/3; 4

09. Halla el área de la región triangular limitada por las funciones:

f(x) = -x + 11; g(x) = x - 3 y el eje de ordenadas.

A. 28 u2 B. 32 u2

C. 40 u2 D.49 u2

10. Dada la siguiente gráfica de una función

f, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son

verdaderas?

I. La pendiente es negativa.

II. Si f(x) = mx + b, entonces b = 3

III. f(0) = 4

A. Solo I B. Solo II

C. I y II D. Todas

… PARA LA CASA

01. La gráfica de la función de lineal f(x) = -x + 5 no pasa por el:

A. I cuadrante B. II cuadrante

C. III cuadrante D. IV cuadrante

02. Graficar: f(x) = 5x + 1

A. B.

C. D.

03. Encuentra el área de la región triangular limitada por la función

f(x) = 2x – 8 y los ejes de coordenadas cartesianas.

A. 4 u2 B. 8 u2

C. 12 u2 D.16 u2

04. Si f es una función lineal de pendiente 8 e intercepto con el eje

Y, 5. Halla el valor de f(-1) + f(0) + f(1).

A.0 B. 10

C. 15 D. 18

y

x

y

x

y

x

y

x

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 4

05. Si f es una función lineal tal que f(1) = 17 y f(–1) = –5. Halla la

pendiente de dicha función.

A. 5 B. 6

C. 11 D. 12

06. Encuentra la ecuación de la recta

que se muestra en la figura:

A. x

y 22

B. x

y 12

C. x

y 22

D. x

y 12

07. Encuentra la pendiente de la función lineal f(x), si se sabe que:

f(2) = 7 y f(-3) = -8

A.-3 B. -1

C. 1 D. 3

08. Sea la función lineal f(x) cuyos pares ordenados son: (5; 12) y

(2; 3). Halla f(-1)

A. -9 B.-6

C. -3 D. 0

09. Halla la función lineal f(x), tal que f(0) + f(1) = 0 y f(-1) = 3.

A.-2x + 1 B. -x + 1

C. x + 1 D. 2x + 1

10. Halla la función lineal que pasa por los puntos (-1; 3) y (2; 0)

A. -2x + 2 B.-x + 2

C. x + 2 D. 2x + 2

11. Sea f una función lineal afín de pendiente -3 que pasa por el

punto (4;-1). Determina f(-2).f(0)

A. 11 B. 17

C. 187 D. 178

12. Si 3x + 2y – 8 = 0, representa una función lineal. Halla la

pendiente y la ordenada en el origen.

A. 3/2; -4 B.-3/2; 4

C. 2/3; -4 D. -2/3; 4

13. Sean f y g dos funciones lineales afines, tales que f(x) = ax + 3 y

g(x) = bx + a. Si f(2) = 13 y g(1) = 8 Encuentra el punto de intersección

de ambas rectas.

A. (-1; 8) B.(1; 8)

C. (1; -8) D. (8; 1)

14. Si f(x) es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5;

g(4)), siendo g(x) = 2x + 2. Halla el punto de intersección de f(x) y g(x)

A. (3; 5) B. (7; 16)

C. (8; 10) D. (9; 15)

15. Si f(x) = mx + b es una función para la cual se cumple:

I. f(3) – f(1) = 1

II. Su gráfica pasa por el punto (2; -1)

Halla m + b

A. -1 B.-1/2

C. -3/2 D. 2

16. Halla el área de la región limitada por las rectas x + y = 11;

x – y = 3 y el eje de ordenadas.

A. 25 u2 B. 30 u2

C. 35 u2 D.40 u2

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 5

17. Encuentra una función lineal f(x) tal que f(1) = 0 y además

f(f(4)) = 4

A.4 4

f(x) x3 3

B.4 4

f(x) x3 3

C.4

f(x) x 13

D.4

f(x) x 13

18. La función lineal f(x) = mx + b, corta a los ejes coordenados

formando en el segundo cuadrante un triángulo de área 3u2. Si f(3) = 4,

calcula el valor de m - b

A. -4/3 B. -3/2

C. 3/2 D. 4/3

EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto

de vista de la Matemática, de una situación del mundo real en la que se

involucren magnitudes, como por ejemplo: el crecimiento de la población

en función del tiempo, el costo de los arbitrios municipales en función

del costo real del inmueble, el costo del agua en función del volumen

consumido, la subida de peso en función de las calorías consumidas al

día, la talla de las personas en función de la edad. El objetivo del modelo

matemático es entender ampliamente la situación real y tal vez predecir

su comportamiento en el futuro.

A través del modelo matemático de una situación real se pueden

obtener relaciones funcionales expresadas en forma algebraica, con la

posibilidad de generalizar lo observado en otras situaciones similares.

EJEMPLO

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 6

… PARA LA CLASE

01. Por el alquiler de un auto cobran 100 soles diarios más 0,30

centavos por kilómetro recorrido. Encuentra la ecuación de la recta que

relaciona el costo diario con el número de kilómetros y represéntala.

A. y = 0,3x - 100 B.y = 0,3x + 100

C. y = 100x + 0,3 D. y = 100x - 0,3

02. Tres kilos de peras nos han costado S/.4,5 y, por siete kilos,

habríamos pagado S/.10,5 . Encuentra la ecuación de la recta que nos da

el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x.

A. y = 0,5x B.y = 1,5x

C. y = x D. y = 2,5x

03. En el ejercicio anterior, ¿cuánto costarían 5 kg de peras?

A. S/.5,5 B. S/.6,5

C.S/.7,5 D. S/.9,5

04. Un técnico de reparaciones de computadoras cobra S/.25 por la

visita, más S/.20 por cada hora de trabajo. ¿Cuánto tendríamos que

pagar por un trabajo que le ha tomado 3 horas?

A. S/.55 B. S/.65

C. S/.75 D. S/.85

05. El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros

recorridos. Por un trayecto de 140 km pagamos 17

soles, y si recorre 360 km, cuesta 39 soles Escribe la

ecuación de la recta que relaciona los kilómetros

recorridos, x, con el precio del billete, y.

A.y = 0,1x + 3 B. y = 0,3x + 1

C. y = 0,1x – 3 D. y = 0,3x – 1

06. Una pulsera de plata antigua comprada hoy en $2 000

aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal

que a los 15 años valdrá $2 300. Escribe la fórmula que

expresa el valor V de la pulsera en función del tiempo.

A. V(t) = 20t B. V(t) = t + 2 000

C.V(t) = 20t + 2 000 D. V(t) = 20t + 2 300

07. Durante 48 días se realizó un experimento con

pollitos. Se determinó que durante ese lapso, el peso

promedio es una función lineal del número de días

transcurridos. Sabiendo que el peso promedio al inicio

del experimento fue de 45 gramos y que 26 días

después fue de 227 gramos. Determina la fórmula de dicha función

lineal.

A. P(t) = 7t – 45 B. P(t) = 7t + 45

C. P(t) = 45t + 7 D. P(t) = 45t – 7

08. En el problema anterior, ¿cuál es el peso promedio de los pollitos a

los 35 días?

A. 250 g B. 270 g

C. 275 g D.290 g

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 7

… PARA LA CASA

01. Un auto comprado hoy en $8 000 disminuye

su valor lineal mente a lo largo del tiempo

transcurrido a partir de su compra. Si al cabo de 2

años de su uso su precio será de $6 500. ¿A cuánto

podrá venderlo luego de 5 años de uso?

A. $ 4 750 B.$ 4 250

C. $ 4 150 D. $ 4 050

02. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm,

se ha observado que s u crecimiento es directamente

proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana

ha pasado a medir 2,5 cm. Establece una función lineal

que dé la altura de la planta en función del tiempo.

A.y = 0,5x + 2 B. y = 0,5x – 2

C. y = 2x + 0,5 D. y = 2x - 0,5

03. El precio del pasaje en una empresa de

transporte depende linealmente de los kilómetros

recorridos. Por 57 km he pagado 32 soles, y por 168

km, 87,5 soles. Calcula el precio del pasaje para una

distancia de 100 km.

A. S/.28,50 B. S/.34,50

C. S/.43, 50 D.S/.53,50

04. La factura de energía eléctrica de una familia ha

sido en el mes de noviembre S/.95 por 375 kW h de

consumo, y en enero S/.130,4 por 552 kW h. Si el pago

depende linealmente de la cantidad de energía consumida,

¿cuánto tendrá que pagar si consumen 420 kW h?

A. S/.100 B.S/.104

C. S/.114 D. S/.140

05. En una heladería, A, venden el helado a S/.5 el litro y cobran

S/. 1 por un envase, sea del tamaño que sea. En otra

heladería, B, cobran S/. 0,5 por un envase y S/. 6 por

cada litro de helado. Analiza cuál de las dos ofertas es

más ventajosa si compramos más de medio litro de

helado.

A. Heladería A B. Heladería B

C. Cualquiera de las dos D. Ninguna

06. En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros

se le ofrecen dos alternativas:

A: Sueldo fijo mensual de 1 000 soles.

B: Sueldo fijo mensual de 800 soles más el 20% de las

ventas que haga. ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas

para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato?

A. 500 soles B. 750 soles

C.1 000 soles D. 1 250 soles

07. La dosis en miligramos (mg) de antibiótico que se suministra a

niños menores de 10 años, depende en forma lineal del

peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40

mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcula la

función que da la dosis de medicamento dependiendo

del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño de 7,5 kg?

A. 167,5 mg B. 162,5 mg

C. 157,5 mg D.152,5 mg

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 8

08. A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la

temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 km

es 10°C, expresa la temperatura T (en °C) en términos de la altura h (en

kilómetros). (suponga que la relación entre T y h es lineal)

A. T(h) = -10h B. T(h) = 10h - 20

C.T(h) = -10h + 20 D. T(h) = -10h - 20

09. En el ejercicio anterior, ¿cuál es la temperatura a una altura de

2,5 km?

A. -10°C B. -5°C

C. 5°C D. 10°C

10. Esta tabla muestra lo que cuesta imprimir una hoja publicitaria

en una imprenta:

N° de ejemplares 50 100 200 500

Costo ($) 2,25 3 4,5 9

Halla la expresión analítica de la función número de ejemplares-costo.

A. y = 0,15x + 1,5 B.y = 0,015x + 1,5

C. y = 15x + 0,015 D. y = 1,5x + 0,15

11. Algunos científicos opinan que la temperatura superficial

promedio del mundo está aumentando en forma

constante. La temperatura superficial promedio se

expresa mediante:

T 0,02t 8,50

Donde T es la temperatura en °C y t es años desde 1

900. Utiliza la fórmula para predecir la temperatura promedio

superficial del mundo en 2 100.

A. 11,5 B.12

C.12,5 D.13

12. Félix tiene una receta de brownies que dice “Hornear a 350° F

por 40 minutos”. ¿Qué temperatura de las cuatro que indica el

regulador de su horno, debe seleccionar para hornear los brownies?

A. 150° C B. 175° C

C. 250° C D. 300° C

13. La relación que Félix empleó debe ser la correcta pues los

brownies le salieron buenísimos. La aplica de nuevo para encontrar la

temperatura en Fahrenheit a la que debe estar la leche fresca que dice

“Conservar a 4° C” en la refrigeradora. ¿A qué nivel debe ajustar Félix

el termostato de su refrigeradora?

A. (45-50)°F B. (40-45)°F

C. (35-40)°F D. (30-35)°F

14. La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit (°F) y en

grados Celsius (°C) está dada por la función lineal TF = a.TC +

b. La temperatura de solidificación del agua es TF = 32° y TC

= 0°. Su temperatura de ebullición es TF = 212° y TC = 100°.

¿Cuántos grados Fahrenheit equivalen a 20°C?

A. 28°F B. 48°F

C.68°F D. 58°F

15. El consumo de gas domiciliario tenía en el año

2 010 la siguiente tarifa bimestral: cargo fijo $7,30 y

$0,12 por metro cúbico consumido. En el año 2 011 hubo un

incremento del 30% en el cargo fijo y de un 25% en el costo

por metro cúbico. Determina cuanto debe abonar una

familia que en el tercer bimestre del 2 011 consumió 112

metros cúbicos.

A. $9,49 B. 16,8

C.$26,29 D. $35,78

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 9

FUNCIÓN CUADRÁTICA

INTRODUCCIÓN

Las relaciones entre las variables dependiente e independiente de una

función no siempre siguen una forma de crecimiento lineal. Una

modalidad común de estas relaciones es la familia de las llamadas

funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola.

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por

ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir movimientos con

aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos

de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la

experimentación.

Para dar un ejemplo, si un jugador de un

equipo de futbol patea una pelota, como se

ve en la figura, y si la resistencia del aire

y otras fuerzas externas son mínimas,

entonces la trayectoria de la pelota es una

parábola.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática está definida por:

2f : R R / f(x) ax bx c

Es conveniente mostrar a los estudiantes las variantes de esta función.

Veamos:

Si b = 0 ˆ c = 0 f(x) = ax2

La gráfica quedará determinada de la

siguiente manera:

Si b = 0 ˆ c ≠ 0 f(x) = ax2 + c

En este caso, la gráfica quedará

determinada de la siguiente manera:

Si b ≠ 0 ˆ c ≠ 0 f(x) = ax2 + bx + c

Luego de completar cuadrados, se obtiene: f(x) = a(x - h)2 + k

El vértice queda definido por los

puntos: V = (h; k)

La gráfica queda determinada de la

siguiente manera:

Siendo b

h2a

y 2b

k c4a

VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Si una función cuadrática tiene vértice (h; k), entonces la función tiene

un valor mínimo en el vértice si la parábola se abre hacia arriba y un

valor máximo se abre hacia abajo.

Sea f una función cuadrática con forma estándar 2f(x) a(x h) k

El valor máximo o mínimo ocurre en x = h.

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 10

Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k

Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k

Veamos el siguiente ejemplo:

Función Gráfica Vértice

f(x) = x2 – 4x

x f(x)

0

1

2

3

4

0

-3

-4

-3

0

(2; -4)

… PARA LA CLASE

01. La gráfica de la función 2f(x) x 3 no pasa por el:

A. I y II cuadrante B. I y III cuadrante

C. II y IV cuadrante D. III y IV cuadrante

02. Halla el mayor de los coeficientes de la función cuadrática f(x), si

se sabe que f(1) = 5, f(-1) = 3y f(0) = 3

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

03. Obtén las coordenadas del vértice la parábola 2f(x) 2x 12x 3

A. (3; 12) B. (3; -12)

C. (3;-15) D. (3; 15)

04. Halla el valor que genera el mínimo valor de la función 2f(x) 3x 8x 3

A. -8/3 B. -4/3

C.4/3 D. 8/3

05. Si 1 es el mínimo valor de la función 2f(x) x bx 5 , halla el

valor de b

A.± 4 B. -3; 4

C. -4; 3 D. ± 3

06. Dada la función cuadrática 2f(x) (x a) 6a . Halla el mínimo

valor de f(x), si 8a – 21 es la imagen de 2.

A. -30 B. -24

C. -18 D. -15

07. Una parábola corta el eje de abscisas en x = –1 y en x = 3. La

ordenada del vértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?

A. 2f(x) x 2x 3 B. 2f(x) x 2x 3 C. 2f(x) x 2x 3 D. 2f(x) x 2x 3

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 11

08. Determina el valor de k para el cual el punto máximo de la gráfica

de 2f(x) 5x 3x 2k tiene el mismo valor para las coordenadas X e

Y.

A. 3/20 B. -3/10

C. -9/20 D.-3/40

… PARA LA CASA

01. Si el punto P (2; m) pertenece a la función cuadrática 2f(x) 2x 5x 1 . Encuentra el valor de m.

A. 11 B.13

C. 15 D.17

02. La función 2f(x) ax bx a b cumple f(0) = 12 y f(-1) = 14.

Calcula f(2)

A. 20 B. 30

C. 40 D. 50

03. Halla el máximo valor que puede tomar 2f(x) x 10x 21

A. 2 C. 3

D. 4 E. 5

04. Halla el menor valor entero del rango de f, 2f(x) 3x 5x 2

A. -6 B.-5

C.-4 D. -3

05. Halla el rango de la función definida por 2f(x) 4x 16x 17

A. 1;1 B. 1;

C. 1; D. 1;

06. Si 1 es el mínimo valor de la función 2f(x) x bx 5 , halla el

valor de b

A.± 4 B. -3; 4

C. -4; 3 D. 4

07. Si el máximo valor de la función 2f(x) x 6x m es 20. Halla

el valor de m.

A.-11 B. -10

C. 10 D. 11

08. Halla a + h, si (h; -5) es el vértice de la parábola representada por

la función 2f(x) ax 4ax 7 A. -2 B.-1

C. 1 D. 2

09. Si la función ganancia de una empresa de ventas está dada por 2G(x) 2x 60x 1500 , “x” en soles. Encuentra la ganancia máxima.

A. 15 B. 1 500

C. 1 650 E.1 950

10. La gráfica de la función 22f(x) x bx c

3 intercepta al eje X

en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje Y en el punto (0; k). Entonces el

valor de b + c + k es:

A. 26/5 B. 27/2

C.-46/3 D. 9/4

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 12

11. Si f es una función definida por 2f(x) ax bx

cuya gráfica se muestra en la figura. Entonces el

valor de M = ab es:

A.-8 B. -6

C. 6 D. 8

12. Determina el mayor valor

entero de “n”. Si la gráfica de la función: 2f(x) x nx 1 , es

A. -1 B. -2

C. 1 D. 2

13. Halla el valor de m (< 0), de

acuerdo a la gráfica de la función

2f(x) (4 m)x 2mx 2 A. -6 B. -4

C.-2 D. 2

14. ¿Qué valores debe tomar a para que la

función 2f(x) ax (a 3)x 1 presente la

siguiente gráfica?

A. a 0;1 9; B. a 0;9

C. a ,1 D. a ;1 9;

EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES

Hemos observado que el vértice de una parábola representa en el plano

cartesiano, un punto máximo o mínimo de la curva, dependiendo del tipo

de concavidad de la función cuadrática correspondiente. Tomando en

cuenta lo anterior y el fundamento teórico que caracteriza a las

funciones cuadráticas, veremos a continuación algunas aplicaciones de la

función cuadrática.

EJEMPLO

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 13

… PARA LA ClASE

01. Un rectángulo tiene 20 cm de perímetro. Escribe la función que da

el área de ese rectángulo en función de su base x.

A. 2A(x) x 10x B. 2A(x) 10x x

C. 2A(x) x 10 D. 2A(x) 10 x

02. En el problema anterior, ¿cuál es el dominio de esa función?

A. (10; 0) B. (0; 8)

C. (0; 10) D. (0; 8)

03. Si la función ganancia de una empresa de ventas está dada por 2G(x) 2x 60x 1500 , “x” en soles. Encuentra la ganancia máxima.

A. 15 B. 1 500

C. 1 650 E.1 950

04. La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas en

determinada empresa está dada por: 2x

U(x) 40x10

,

donde x representa el número de maletas y U(x) está

dada en soles. Halla la utilidad al vender 60 maletas.

A. S/.1 840 B. S/.1 960

C. S/.2 040 D. S/.2 060

05. En el problema anterior, si se quiere obtener la máxima utilidad

posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender?

A. 80 B. 100

C. 150 D. 200

06. Los alumnos del colegio quieren ir de excursión.

Una empresa de turismo les cobra S./70 por persona si

van 40 alumnos y les rebaja S/.1 por persona por cada

alumno adicional. Además, acepta que viajen 65 alumnos

como máximo y no la organiza si viajan menos de 40.

¿Cuántos alumnos deben ir de excursión para que la

empresa de turismo realice el mejor negocio?

A. 30 B. 45

C. 50 D. 55

07. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de

un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula 2h(t) 80 64t 16t (t en segundos y h en metros). Halla la altura del

edificio.

A. 60 m B.80 m

C. 90 m D. 100 m

08. En el problema anterior, ¿En qué instante alcanza su máxima

altura?

A. 1 s B. 2 s

C. 3 s D. 4 s

… PARA LA CASA

01. Un fabricante de muebles puede producir sillas a un costo de S/.10

cada una y estima que, si son vendidas a S/.x cada una, los usuarios

comprarán aproximadamente 80 – x sillas cada mes. Expresa la utilidad

mensual U del fabricante en función del precio

A.U(x) (x 10)(80 x) B. U(x) (x 10)(80 x)

C. U(x) 10x(x 80) D. U(x) (x 10)(x 80)

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 14

02. De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en

las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos

lados iguales miden x. Halla el área del octógono que

resulta en función de x.

A. 2A(x) 2x 16 B. 2A(x) 16 2x

C. 2A(x) 2x 16 D. 2A(x) 16 2x

03. En el problema anterior, ¿cuál es el dominio de esa función? ¿y cuál

su recorrido?

A. (0;2) y (8;16) B. (0;2) y (0; 16)

C. (0;2) y (4; 16) D. (0;4) y (0; 16)

04. En un triángulo cuya base mide 10u y su altura mide 6u se

encuentra inscrito un rectángulo cuya base está sobre la del triángulo.

Si el área A de la región rectangular se expresa como una función de su

base x, halla el máximo valor de dicha función.

A. 21 B. 18

C. 15 D. 14

05. La diferencia de dos números es 22. Determina dichos números

de tal modo que su producto sea mínimo.

A. 11 y 11 B. -11 y 11

C. 0 y 22 D. -10 y 12

06. Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a

400 dólares cada uno y sabe que por cada 10 dólares de subida venderá

2 menos. ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?

A. $4 500 B. $4 050

C. $4 005 D. $40 500

07. En el problema anterior, ¿Qué subida produce ingresos

máximos?

A. $2 B. $3

C. $4 D. $5

08. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de

x televisores son G(x) = 2000 + 25x, en euros, y los

ingresos mensuales son I(x) = 60x – 0,01x2, también en

euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que

el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?

A. 62 B. 65

C. 620 D. 625

09. Si el número de turistas que hace un

recorrido en autobús a una ciudad es exactamente

30, una empresa cobra 20$ por persona. Por cada

persona adicional a las 30, se reduce el cobro

personal en 0,5$. ¿Cuál es el número de turistas que

debe llevar un autobús para maximizar los ingresos

de la empresa?

A. 5 B. 35

C. 40 D.45

10. Para un partido de futbol, se sabe que a S/.15 la entrada

asistirían 25 000 personas. Pero si cada entrada se

vende por un monto entre S/.15 y S/.40, por

experiencias anteriores, se sabe que la asistencia

disminuye en 500 personas por cada sol que se aumente

al valor de la entrada. Halla la función T que proporciona

el ingreso de la taquilla.

A. 2T(x) 400000 15000x 500x

Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso Página 15

B. 2T(x) 375000 17500x 500x

C. 2T(x) 35000 17 000x 100x

D. 2T(x) 25000 50000x 100x

11. En el laboratorio productor de crías de trucha

se requiere colocar canales rectangulares de plástico

para el aporte de agua de río a los tanques

principales de producción de juveniles. Se tiene una

lámina larga, rectangular de PVC, de 12 pulgadas de

ancho. Se doblan dos orillas hacia arriba para que

queden perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas

deben quedar hacia arriba para que el canalón tenga

capacidad máxima?

A. 2pulg B. 2,5 pulg

C. 3 pulg D. 3,5 pulg

12. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre

ratas que fueron alimentadas con una dieta que

contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en

levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de

levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el

peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un período fue de f(p)

, donde: 21f(p) p 2p 20

50 ; 0 ≤ p ≤ 100. Encuentra el máximo peso

ganado.

A. 19 gr B.20 gr

C.21 gr D. 22 gr