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Funcin de singulares para determinar la pendiente y

deflexiones de una viga

Funciones de discontinuidad

Para expresar la carga en la viga, o el momento interno en ella,usando una sola ecuacin, usaremos dos clases de operadores

matemticos llamados funciones de discontinuidad.

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Funciones de Macauly.-se usan para calcular deflexiones en vigas

ejes, para describir cargas distribuidas se escriben en la siguiente

formula general:

Funciones de singularidad

El procedimiento de doble integracin para deflexiones de vigas tienela ventaja de capacitarnos para escribir ecuaciones para la pendiente y

la deflexin de una viga completa. Esta tcnica es relativamente fcil

de aplicar en vigas donde la carga es simple, ya !ue las constantes de

integracin se pueden calcular fcilmente .sin embargo cuando la

carga llega a ser asimtrica o complicada la solucin completa de

ecuaciones llega a ser muy tediosa.

Para "acer m#nima esta limitacin prctica del mtodo empleamos el

uso de funciones singulares. El mtodo permite !ue el procedimientode doble integracin se apli!ue solamente una ve$ para toda la vida

sujeta a cual!uier tipo de carga. %omo el momento flexionante interno

puede escribirse para toda la viga usando funciones singulares, solo

es necesaria una aplicacin de la ecuacin diferencial de la curva

elstica.

&as funciones !ue vamos a usar son las funciones de singularidad

Ecuacin de la curva elstica

&a ecuacin de la curva elstica se escribe como

Esto re!uiere la evaluacin de solamente dos constantes de

integracin.

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%onsideremos una viga de E' constante

&a ecuacin de la curva elstica se escribe como:

(onde:

)*deflexin de la viga.

+*momento interno en la viga, en el punto donde p se va a

determinar.E*mdulo de elasticidad del material.

'*momento de inercia del rea transversal de la viga, respecto al eje

neutro.

ener en cuenta !ue v*y

&a expresin algebraica para el momento flexionante es por supuesto

diferente para cada uno de los tres segmentos de la viga , % y %(,

tomando el extremo como el origen de x .para el segmento , estaecuacin es

Entre y %

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/o se incluye por!ue x no puede ser mayor a 0&1

El s#mbolo tiene las propiedades siguientes:

2. 3i la cantidad dentro de es negativa, su valor es cero.

4. 3i la cantidad dentro de es positiva, sustituimos el s#mbolo por

5n parntesis com6n.

Por lo tanto la ecuacin siguiente describe a toda la viga

&os trminos dentro de pueden integrarse directamente sin

'mportar las cantidades algebraicas !ue encierran. Para ilustrar la

ecuacin resultante para la pendiente y la deflexin, integramos la

ecuacin dos veces, para obtener las ecuaciones siguientes

&as dos constantes de integracin %2 y C2. 3e calculan reconociendo

7ue la deflexin es cero en los dos extremos de la viga. 5sando la

condicin v*8 en x*8 "allamos !ue %4 *8, ntese !ue las cantidades

dentro de fueron negativas, y por consiguiente, se eval6an como

cero. &a constante %2 se calcula usando la condicin de !ue y * 8 en

x*&. en la 6ltima ecuacin 9esolviendo esto, tenemos:

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abiendo calculado las constantes de integracin, se conoce la

ecuacin completa, y la deflexin v la pendiente se puede calcular

fcilmente en cual!uier punto.

P9;%E('+'E/; P9 E& /&'3'3

El procedimiento !ue sigue es un mtodo para usar las funciones de

discontinuidad en la determinacin de la curva elstica de una viga.

Este mtodo es especialmente 6til para resolver problemas de vigas o

ejes 3ometidos a varias cargas, por!ue se pueden evaluar las

constantes de integracin usando solo las condiciones en la frontera,

mientras !ue se 3atisfacen en forma automtica las condiciones de

compatibilidad.

%urva elstica.

< os!uejar la curva elstica de la viga, e identificar las condiciones en

&a frontera para los apoyos.

< En todos los soportes con pasador y con rodillo "ay despla$amiento

cero, y en el soporte empotrado "ay pendiente cero y despla$amiento

cero

< Establecer el ejex para !ue se extienda "acia la derec"a, y tenga su

;rigen en el extremo i$!uierdo de la viga.

Funcin de carga o de momento.

< %alcular las reacciones en los apoyos, y a continuacin usar las

funciones de discontinuidad de la tabla para expresar la carga w oel

momento interno M en funcin de x. asegurarse de seguir la

convencin de signos para cada carga, al aplicarla en esta ecuacin.

< ;bservar !ue las cargas distribuidas se deben prolongar "asta elextremo derec"o de la viga, para ser vlidas. 3i eso no sucede, usar el

mtodo de la superposicin

Pendiente y curva elstica.

3ustituir = en o M en la relacin de momento>curvatura

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, e integrar para obtener las ecuaciones de la

pendiente y la deflexin de la viga.

< Evaluar las constantes de integracin usando las condiciones en la

frontera, y sustituir esas constantes en las ecuaciones de pendiente ydeflexin para obtener los resultados finales.

< %uando eval6an las ecuaciones de pendiente y deflexin en

cual!uier punto de la viga, una pendiente positiva es en contra de las

manecillas del reloj, y un despla$amiento positivo es "acia arriba.

Ejercicio 1

3olucin:

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Ejercicio 2

3olucin:

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