PARA RECORDAR....

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE

BUCARAMANGA

PROF. ANA D. LOPEZ

FUNCIONES

En la vida cotidiana encontramos gran

variedad de situaciones donde la idea de

función es evidente. Ej:

- El ingreso que se obtiene por la venta

de cierto producto depende del número

de artículos y el precio de cada uno

- El área de un rectángulo depende de las

longitudes de los lados

- El volumen de una esfera depende de la

longitud del radio de la misma

- La utilidad que se espera por la venta

de ciertos artículos puede depender del

ingreso por venta y de los costos por

producción.

- El salario que se paga a una persona

que trabaja a destajo puede depender

del número de artículos fabricados y

del valor que se paga por cada uno.

- La velocidad de un automóvil depende

del espacio recorrido y el tiempo

utilizado.

Una función ante todo es una relación.

Existe un conjunto de partida y uno de

llegada, toda vez que se relacionan los

elementos de ambos conjuntos a partir de

una condición.

Matemáticamente una función f de A en B,

f: A B se define como "una regla que

asigna a cada elemento x del conjunto A

un único elemento del conjunto y de B tal

que y=f(x)"

Observemos las siguientes gráficas de

relaciones dadas:

D(R1) = A, un elemento de A está relacionado

con dos elementos diferentes de B. Por lo tanto la

Relación No es Función.

D(R2) A, algunos elementos de A están

relacionados con elementos diferentes de B. La

Relación No es función

D(R3) = A, para cada uno de los elementos de A

existe un elemento de B. La Relación Sí es

función.

D(R4) = A, para cada uno de los elementos de A

existe un elemento de B. La Relación Sí es

función.

Con las relaciones R1 y R2 concluimos que

NO TODA RELACIÓN ES FUNCIÓN; la

proposición TODA FUNCIÓN ES

RELACIÓN es verdadera

Ahora, miremos ejemplos de relaciones

reales que NO son funciones y otras que sí

son funciones

La función y=f(x) indica que "para cada

elemento x existe un único elemento y", es

decir los valores de y dependen de los

valores que se le asignen a x; x es la

variable independiente y, y es la variable

dependiente

Ejemplo: Sea y= f(x)= 3x+5

f(0) = 0+5 = 5

f(1) = 3+5 = 8

f(2) = 6+5 =11

f(2) = 32 + 5

f(-1) = -3+5=2

f(-2) = -6+5 = -1

f(h) = 3h + 5

f(x+1)= 3(x+1) + 5 f(x+1) = 3x+8

f(2x-3) = 3(2x-3) + 5 f(2x-3) = 6x -4

D(R) = [x1,x2], para cada uno de los elementos

del Dominio existen dos elementos diferentes del

rango. La Relación No es función.

D(R) = [0,x1], para cada uno de los elementos del

Dominio existen dos elementos diferentes del

rango. La Relación No es función.

Para cada uno de los elementos del Dominio

existe un elemento diferente del rango. La

Relación SI es función.

CLASES DE FUNCIONES REALES

Revisemos algunas de éstas:

1. Funciones Algebraicas:

a) Funciones polinómicas. Son funciones

de la forma:

f(x) = a0xn

+ a1xn-1

+a2xn-2

+.....+an-1x

+an, aiR, nZ+, los ai son números reales

y la potencia de la variable x siempre es un

número entero positivo. Ejemplo:

f(x) = 3x5 + 4x

4 -12x

3+7x

2-5x +24

Ahora: La función polinómica o

polinomial puede ser:

i) Función constante. Es de la forma

f(x)=k. Su representación gráfica

siempre es una línea recta paralela al

eje X. Ejemplo

ii) Función idéntica. Es de la forma

f(x)=x. Su representación gráfica es una

línea recta que pasa por (0,0) y en general

por los puntos de la forma (x0,x0). La

particularidad de esta recta es que hace un

ángulo de 45° con el eje horizontal.

iii) Función lineal. Es una función de la

forma f(x) = mx+b. Esta es la manera

como se le conoce más comúnmente. Su

representación gráfica siempre es una línea

recta.

El valor m indica la pendiente de la recta, es

decir el grado de inclinación de la misma con

respecto al eje X+.

Hablemos un poco de la línea recta:

Formas:

escalónFunción d)

signoFunción c)

xde entera parteFunción b)

absolutolor Función va a)

funciones Otras 3.

inversa ahiperbólicFunción f)

ahiperbólicFunción e)

inversa caigonométriFunción tr d)

trica trigonoméFunciones c)

alogaritmicFunción b)

lexponenciaFunción a)

tesTrascenden Funciones 2.

esirracional Funciones c)

Racionales Funciones b)

etc. 4, grado deFunción vi)

cúbicaFunción v)

cuadráticaFunción iv)

linealFunción iii)

idénticaFunción ii)

constanteFunción i)

sPolinómica Funciones a)

sAlgebraica Funciones

1.

funcionesdeClases

ax+by+c=0; "Forma general de la línea recta"

y=mx+b; "Forma explícita de la línea recta"

y-y0 = m(x-x0) "Forma particular de la línea

recta, aquí se conoce la pendiente de la recta y

un punto que pertenece a la recta, por eso se

dice también que es la forma punto-pendiente"

La pendiente de una recta se puede encontrar

de algunas de las siguientes formas:

- Si se conocen dos puntos de la recta:

P(x0,y0) y Q(x1,y1)

- Si se conoce el ángulo de inclinación de la

recta :

m = tan

Nota: Recordar que la tangente se define como

la razón de la longitud del cateto opuesto y la

longitud del cateto adyacente al ángulo de

inclinación.

- Si se conoce la forma general de la recta:

ax+by+c =0

m= -a/b

Ejercicio 1. Hallar la ecuación de la recta de la

gráfica.

¿Cómo se halla la función o ecuación de la

línea recta?. En el gráfico se observa que los

puntos P(3,1) y Q(-2,2) pertenecen a la recta.

Entonces, primero hallamos la pendiente y

después aplicamos la forma que le

corresponde.

Ahora aplicamos la fórmula:

y-y0 = m(x-x0)

Ejercicio 2. Hallar la ecuación de la línea recta

que pasa por P(1,-4) y hace un ángulo de 70°

m= tan 70 - m=2,747

Luego:

Ejercicio 3. Hallar la ecuación de la recta

que pasa por R(-3,5) y es paralela a la recta

que tiene como ecuación: 4x+6y-5=0

Debemos recordar lo siguiente:

Sea L1 la recta cuya ecuación debemos hallar y L2

la recta cuya ecuación nos dan.

Hallamos la pendiente de L2 : m2= -4/6 m=-2/3

Como L1 y L2 son paralelas entonces sus pendientes

son iguales, entonces m1 =-2/3

Luego la ecuación de la línea recta pedida es:

5

4

5

31

5

9

5

3)3(

5

31 xyxyxy

5

3

5

3

32

12

01

01

m

xx

yym

01

01

xx

yym

747,6747,2

4747,2747,2)1(747,2)4(

xy

xyxy

Si L1 y L2 son paralelas entonces sus pendientes

son iguales.

Si L1 y L2 son perpendiculares entonces el producto

de sus pendientes es igual a menos uno

Se prueba reemplazando el punto y debe

satisfacer la igualdad.

iv) Función cuadrática. La forma como

más se le conoce es:

f(x) = ax²+bx+c

Su representación gráfica siempre es una

parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

Caracterización. La parábola se abre hacia

arriba si a >0, se abre hacia abajo si a<0.

La curva puede o no cortar el eje X . Cómo

lo podemos reconocer?

Un punto que pertenece al eje X es de la

forma (x,0). Entonces para hallar el punto

de corte con el eje X o el intercepto con el

eje X, se iguala la expresión a cero y se

obtiene una ecuación cuadrática de la

forma:

ax²+bx+c = 0

Una ecuación cuadrática se resuelve por

factorización si se puede o por fórmula

cuadrática. La fórmula es:

La expresión b²-4ac se llama

DISCRIMINANTE.

Entonces, para reconocer si la función

intercepta al eje X o no, se mira el signo o

valor del discriminante. Si es positivo la

gráfica corta en dos puntos al eje X, si es

negativo NO lo corta y si es cero lo corta

en un solo punto.

Veamos un ejemplo:

Sea f(x) = 4x²-16x+15

Es una parábola porque es una función

cuadrática.

La parábola se abre hacia arriba porque

4>0

La parábola corta en dos puntos al eje X

porque D=b²-4ac = (-16)²-4.4.15

D=256-240 D=16, 16>0.

Hallamos los puntos: 4x²-16x+15=0

Los puntos de corte con el eje X son:

(5/2,0); (3/2,0).

El punto de corte con el eje Y es (0,15)

porque f(0)=15

Para dar una mejor forma a la gráfica nos

ayudamos de una tabla de valores. Pero,

podemos hallar con precisión el vértice de

la parábola.

El vértice tiene coordenadas (h,k). "Aquí

recordamos lo aprendido en geometría

analítica"

h=-b/2a y k=f(h)

Para nuestro caso:

h= -(-16)/2(4) h= 2;

ahora, k=f(2) = 4(2)²-16(2)+15

k= -1

El vértice es: (2,-1)

a

acbbx

2

4²

2/3 x2/58

416

8

24025616

4.2

15.4.4)²16()16(

2

4²

21

xx

a

acbbx

33

2

523

253

3

2

3

2

)3(3/25

xy

xyxy

xy

b) Función Racional

Es una función de la forma f(x)= p(x)/q(x),

q(x)0. La forma de la gráfica depende de

las expresiones algebraicas que componen

la fracción. No obstante, hay que tener en

cuenta lo siguiente:

- Si la función racional es factorizable y

simplificable, existe un "hueco u

orificio" en la gráfica.

Ejemplo:

- Si la función racional no es factorizable

es posible que tenga asíntotas.

Ejemplo:

Existen las siguientes asíntotas:

Asíntota vertical: x= -1. El

denominador x+1 se iguala a cero.

Asíntota horizontal y=1. Se despeja x y

el denominador y-1 se iguala a cero

c) Función irracional. Involucra

radicales en su representación

algebraica. Ejemplo:

3)(

3

)3)(3()(

3

9²)(

xxf

x

xxxf

x

xxf

D(f) = R-3

I (f) = R-6

1

2)(

x

xxf

D(f) = R--1

I(f) = R-1

2)( xxf

D(f)=[-2,)

I(f)= [0,)

D(f) = R

I(f) = [-1, )

2. Funciones Trascendentes

a) Función exponencial. Es una función

de la forma:

f(x) = ax , a1, a>0

Ejemplo gráfico cuando a<1

Ejemplo gráfico cuando a>1

Elementos característicos:

Corta al eje Y en (0,1) y no intercepta

al eje X

D(f)= R; I(f) = (0,)

Cuando a>1, f crece y cuando a<1 f

decrece

f es asintótica al eje X

La función f(x)= ex es un caso especial de

las funciones exponenciales. Es la única

función en la cual ocurre que la recta

tangente a la curva en el punto (0,1) hace

un ángulo de 45° con la horizontal; e es el

número irracional 2,718281828..

b) Función logarítmica. Es una función

de la forma:

f(x) =logax, a1, a>0

Ejemplo gráfico cuando a>1

Elementos característicos:

Corta al eje X en (1,0) y no intercepta

al eje Y

D(f)= (0,); I(f) = R

Cuando a>1, f crece y cuando a<1 f

decrece

f es asintótica al eje Y

La función f(x)= logex se representa como

f(x)= ln x. Se refiere a los logaritmos

naturales donde la base es el número e.

NOTA: Las funciones exponencial y

logarítmica son funciones inversas

respectivamente.

Fuente: http://thales.cica.es/.../ed99-0095-

01/Image169.gif

D(f)= R I(f) = (0,)

Fuente:

http://huitoto.udea.edu.co/.../imagenes5/fig2.gif

D(f)= R I(f) = (0,)

Fuente :

http://www.cidse.itcr.ac.cr/.../pag3_files/ima

ge011.jpg

D(f) = (0,) I(f)= R

3. Otras funciones

Función Valor absoluto

Se denota y define como:

Su D(f) = R; I(f) = [0,)

Representación gráfica:

Sea f(x) = x²-4

EJERCICIOS Y PROBLEMAS:

I- Una empresa que fabrica bicicletas tiene

costos fijos de $6'052.000 y el costo de la

mano de obra y del material es de $57.000

por unidad. Determinar la función de costo

total como una función del número de

bicicletas producidas. Si cada bicicleta se

vende por $125.000, encontrar la función

de ingresos y la función de utilidades.

Cuántas bicicletas debe producirse y

venderse para que la Utilidad sea cero?

Sea x el número de artículos que se

producen y venden.

C(x) la función de costo total. C(x) =

Cv+CF

Cv: Costos variables, CF: Costos fijos

I(x) la función de ingreso. Esta se obtiene

por el producto de número de artículos por

el precio de cada artículo. I(x) = px

U(x) la función de utilidad. Se obtiene por

la diferencia entre la función ingreso y la

función de costo total. U(x) = I(x) - C(x)

Entonces:

C(x) = 57000x+6000000

I(x) = 125000x

U(x) = 125000x-(57000x+6052000)

U(x) = 125000x - 57000x - 6052000

U(x) = 68000x - 6052000

Si U(x) = 0 entonces:

68000x = 6052000

Luego x = 6052000/68000

x= 89

Deben producirse y venderse 89 bicicletas

para que no dé alguna utilidad la

fabricación de esas unidades.

0 xsix -

0 xsi )(

xxxf

04- x²si 4)-(x²-

04- x²si 4² 4²)(

xxxf

II- DETERMINAR EL DOMINIO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

El denominador no puede ser cero. Luego revisamos qué valores de x hacen el

denominador cero. Así: x²-4x-45=0 (x-9)(x+5)=0 x=9 x= -5

D(f) = R--5,9

Como x aparece bajo radical se examinan los valores para los cuales éste es mayor o igual que cero.

x²-90. Es una inecuación cuadrática. Se resuelve la ecuación, se llevan los valores a una recta numérica y se examina la validez de la inecuación en cada intervalo. Así:

D(f) = (-,-3] [3,) Otra forma de proceder es a través del método gráfico. Observemos:

x²-90 (x-3)(x+3)0 Factorizamos la diferencia de cuadrados

Las soluciones de cada inecuación lineal se señalan con signos + porque la inecaución es >0 y al final se multiplican signos, la solución es la región que queda señalada con los signos más. Así confirmamos nuevamente que: D(f) =

(-,-3] [3,)

454²

43)(.1

xx

xxf

9²)(.2 xxf

xxf

52

21)(.3

2-5x>0 -5x> -2 x <2/5 Luego, D(f) = (-,-2/5)

Se hace el subradical mayor o igual que cero, se resuelve la ecuación, se llevan los valores a una recta numérica y se examina la validez de la inecuación en cada intervalo.

Así: 6-x-x² =0 -x²-x+6=0 x²+x-6 = 0 (x+3)(x-2) = 0 x= -3 x = 2; D(f) = [-3,2] Por el método gráfico:

6-x-x² 0 -x²-x+60 x²+x-6 0 (x+3)(x-2) 0 x -3 x 2; D(f) = [-3,2]

Las soluciones de cada inecuación lineal se señalan con signos - porque es la inecuación es <0 y al final se multiplican los signos en sentido vertical, la solución es la región que queda señalada con los signos menos. Así, confirmamos nuevamente que: D(f) =[-3,2] III- TRAZAR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES y DAR EL

DOMINIO Y EL RANGO 1.

²6)(.4 xxxf

2 1

2 3)(

xsi

xsixf

D(f) = R; I(f) = -1,3

2.

3.

IV- RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE

LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. 1. Dada f(x)=ex demostrar que: f(x+y)=f(x)*f(y) f(x+y) = e x+y

= ex * eY Propiedad de la potenciación = f(x)*f(y) aplicando definición de f

2. Escribir las ecuaciones siguientes en forma exponencial a) log4 1/2 = -1/2 4-1/ 2= 1/2 b) log1/9(1/243) = 5/2 (1/9) 5/2 = 1/243

0 xsi ²4

0 1)(

x

xsixxf

D(f)= R ; I(f)= (-,2]

f(x)= -x²+4x-3. Es una parábola con vértice V(h,k). h=-b/2a, es decir: h=-4/(-2) h=2 k= f(2)=1. Se abre hacia abajo.

3. Calcular los valores de las expresiones siguientes usando propiedades de

los logaritmos. a) log20,64 = log264/100 = log264 - log2100 = log22

6 - llog100/log2 = 6 - 2/log2 = 6- 6,6438= - 0,6438

Se aplicaron las siguientes propiedades: Log A/B = log A - log B Log An = nlogA LogaA = logA/loga

b) log260 = 1/2 log260 = 1/2log2(2²*3*5) = 1/2[log22²+ log23+ log25] = 1/2[2 log22+ log23+ log25] = 1/2[2+(log3/log2)+(log5/log2)] = 2,9534

También: log260 = log 60/log2 = 1/2log60 /log2 = 2,9534 4. Escribir cada una de las siguientes expresiones como el logaritmo de una

sola expresión: a) 2logx + xlog3 - 1/2 log(x+1)

log x² + log3x - log (x+1)

log(x²3x)-log(x+1)

log [x²3x/(x+1)] b) logx + 2log y - 3

logx + logy² - log1000 log xy²/1000

5. Demostrar que si ln[(a+b)/3] = 1/2 (lna+lnb) entonces a² + b² = 7ab ln[(a+b)/3] = 1/2 ln(ab) ln[(a+b)/3] = ln(ab)1/2 (a+b)/3 = (ab)1/2 (a+b) = 3(ab)1/2 Si A=B A²=B² (a+b)² = 9ab a²+2ab+b²=9ab a²+b² = 7ab 6. Resolver para x la ecuación siguiente: Log (2x+1) + log(x+3) = log(12x+1), comenzamos aplicando la propiedad: logA+logB = log AB Log[(2x+1)(x+3)] = log(12x+1) Si logA = logB A=B 2x²+6x+x+3 = 12x+1 2x²-5x+2 = 0

(x-2)(2x-1)=0 x=2 x=1/2 V- PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL PLANTEAMIENTO DE UN MODELO FUNCIONAL. 1. Supóngase que el costo total de la fabricación de x unidades de cierto

artículo por día está dado por la función C(x) = 2x3 - 4x² + 7x -5. Calcular el costo de producción de 25 unidades, de 100 unidades, de una unidad.

C(25) = 2(25)3 - 4(25)² + 7(25) -5 C(25) = 28290 C(100) = 2(100)3 - 4(100)² + 7(100) -5. C(25) = 1960695 C(1) = 2(1)3 - 4(1)² + 7(1) -5. C(25) = 0 Fabricar 25 unidades cuesta $28290, 100 unidades $1960695 y una unidad No cuesta. Los problemas que se desarrollan a continuación fueron tomados del libro: ARYA, J. (2000) Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. México: Pearson. capítulos 5 y 6 2. El índice de contaminación atmosférica en cierta ciudad varía durante el día

de la siguiente manera:

Aquí t el tiempo en horas, con t=0 correspondiente a 6 a.m y t=16 a 10 pm. Haga la gráfica de esta función. ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 a.m, 12 del día, 6p.m y 8 p.m?

16t12 si3t -50

21t4 si 14

4t2 si2t 6

2t0 si 42

)(

t

tp

Respuesta: Los niveles de contaminación solicitados son: a las 8 a.m de 10; a las 12 de 14; a las 6 p.m de 14 y a las 8 p.m de 8. 3. Un fabricante puede vender 300 unidades de su producto al mes a un costo

de $20 por unidad y 500 unidades a un costo de $15 por unidad. Expresar la demanda del mercado x (el número de unidades que pueden venderse al mes) como una función del precio por unidad, suponiendo que es una función lineal. Expresar los ingresos como una función de x

Como es una función lineal hay que hallar primero la ecuación de la recta. m = (15-20)/(500-300) m= -5/200 m = -1/40 p-15 = -1/40 (x-500) p = -1/40 x + 500/40 + 15 p = -0,025x + 27,5 x = (p-27,5)/(-0,025) x= -40p + 1100. Ecuación de demanda mensual. Número de artículos en función del precio. Sea x: Número de unidades que pueden venderse p(x) : Ecuación de demanda, función precio por unidad I(x): Función de ingreso I(x) = p.x I(x) = (-0,025x + 27,5)x I(x) = -0,025x² + 27,5 4. Se construye una cisterna de modo que su capacidad sea de 300 pies

cúbicos de agua. La cisterna tiene como base un cuadrado y cuatro caras verticales, todas hechas de concreto y una tapa cuadrada de acero. Si el concreto tiene un costo de $1,50 por pie cuadrado y el acero cuesta $4 por pie cuadrado, determinar el costo total C como una función de la longitud

del lado de la base cuadrada.

V = x²y como V = 300 ft³ 300 = x²y luego y = 300/x² C(x) = costo de las dos tapas más costo de las 4 caras verticales C(x) = (4x²+1,5x²)+(4xy*1,5) C(x) = 5,5x² + 4x.300/x². 1,5

C(x) = 5,5x² + 1800/x

5. Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2000 y el costo variable por

unidad de su producto es de $25.

a. Determinar la función de costo b. El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I(x)=60x-0.01x².

Determinar el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?

c. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima?. ¿Cuál es esa utilidad máxima?.

d. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes de tal forma que no haya utilidad alguna?

Solución C(x) : Función de costo: costos fijos más costos variables I(x) : Función de ingreso U(x): Función utilidad: Ingresos menos costos a) C(x) = 25x + 2000 b) I(x) = 60x - 0,01x² Gráficamente representa una parábola con vértice (h,k)

que se abre hacia abajo. El valor máximo se encuentra en el vértice h = -b/2a h= -60/2(-0,01) h= 3000 Luego I(3000) = 60(3000)-0,01(3000)² Así: I(3000)=90000 Deben venderse al mes 3000 unidades para obtener el ingreso máximo c) U(x) = (60x-0,01x²)-(25x+2000) U(x) = 60x - 0,01x² - 25x - 2000 U(x) = -0,01x²+35x-2000 h=-b/2a h= -35/2(-0,01) h=1750; U(1750) = -0,01(1750)² + 35(1750) - 2000 U(1750) = 28625

y

x

x

Deben producirse y venderse 1750 unidades al mes para obtener la utilidad máxima de $28625 d) U(x) = 0 -0,01x² + 35x - 2000 = 0

Cuando produzca y venda 58 y aproximadamente 3442 artículos, la utilidad será de $0. 6. Si un editor fija el precio de un libro en $20 cada uno, venderá 10000

ejemplares. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 copias. ¿Qué precio debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo?. ¿Cuál es el valor de este ingreso máximo?.

Sea x el incremento en el precio Valor del libro con el incremento (20+x) Número de libros que se dejan de vender: 400x Número de libros que se venden: 10000- 400x I(x) = (10000-400x)(20+x) = 2000000 + 10000x - 8000x - 400x² = -400x² + 2000x + 200000 h=-b/2a h= 2,5 Luego el libro debe venderse a 22,50 para que el ingreso sea máximo Ingreso máximo = -400(2,50)² + 2000(2,5) + 200000 = $202500 7. Una población de microorganismos se duplica cada 20 minutos. Si al

principio están presentes 200 organismos, encontrar una fórmula para el tamaño de la población después de t horas.

Es un problema de crecimiento poblacional. Una población de tamaño inicial P0

que crece a un R% anual tendrá después de n años, un tamaño de P0(1+i)n, i= R/100. Según los datos del problema: P0= 200; 1+i = 2; n= 60/20 t, n= 3t

Luego: P=200*23t

8. Una máquina se compra en $10000 y se deprecia de manera continua

desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula V= 10000e-0.2t

a. Determinar el valor de la máquina después de 8 años.

89,34411,5802,0

80122535

)01,0(2

)2000)(01,0(4²353521

xxxx

b. Determinar la disminución porcentual del valor cada año.

Después de t años el valor de la máquina está dado por V= 10000e -0,2t

a) Después de 8 años, el valor es por V= 10000e -0,2(8); por V= 10000e -

1,6; V 2019 b) Para determinar la disminución porcentual del valor de cada año partimos

de:

P0(1+i)t= P0e-0,2t, (1+i)t= e-0,2t, (1+i)=e-0,2 i = e-0,2 - 1 Luego i=-

0,1812 Por lo tanto disminuye a razón de 18,12%. 9. Una compañía está ampliando sus instalaciones y tiene opción para

escoger entre dos modelos. Las funciones de costos son C1(x) = 3,5 + log(2x+1) y C2(x) = 2+ log(60x+105) donde x es la tasa de producción. Encontrar la tasa x a la cual los dos modelos tienen los mismos costos. ¿Para qué valores de x, cuál modelo es más barato?.

Los dos modelos tienen los mismos costos cuando son C1(x) = C2(x) 3,5 + log(2x+1) = 2+ log(60x+105) log(2x+1) - log(60x+105) = 2-3,5 log[(2x+1)/(60x+105)] = -1,5 [(2x+1)/(60x+105)] = 10-1,5

(2x+1)=(60x+105)*10-1,5

x= [105*10-1,5 -1] / [2-60*10-1,5] x = 22,60 En estas condiciones el segundo modelo es más barato.

Se aplicó la propiedad de logaritmos: log A/B = logA - logB. Y, por definición "Si ab=c b= logac"

10. Si W es el peso de un animal promedio de una especie a la edad t, se

encuentra a menudo que lnW - ln(A-W) = B(t-C) donde A, B y C son ciertas constantes. Expresar W como una función explícita de t.

lnW - ln(A-W) = B(t-C) Logaritmo de un cociente ln [W/(A-W)] = B(t-C) Expresión de logaritmo como potencia

e B(t-c) = W/(A-W) (A-W) e B(t-c) = W Ae B(t-c) -We B(t-c) = W W[1+e B(t-c) ]= Ae B(t-c)

W= Ae B(t-c) / [1+e B(t-c) ]

11. La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a

un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿cuándo alcanzará la población los 10 mil millones?

P= P0(1+i)n, Fórmula de crecimiento poblacional, i=0,02 P= 4(1,02)n, mil millones 10= 4(1,02)n 5/2 = (1,02)n

log 5/2 = log (1,02)n

log 5/2 = n log (1,02) n = log (5/2) / log (1,02) → n = 46,27 (años después de 1976) Es decir, el planeta en el año 2022 tendrá una población de 10 mil millones de personas 12. Suponga que se invierten $1000 a un interés compuesto anual del 8%.

¿Cuánto tardará en multiplicarse a $3000? Valor después de n años = P0(1+i)n, i= R/100 La inversión crece con interés compuesto 1000(1,08)n= 3000

(1,08)n = 3 log (1,08)n = log 3

nlog (1,08) = log 3

n= log 3 / log (1,08) n = 14,27 En multiplicarse la inversión a interés compuesto del 8% tarda 14,27 años.

13. El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo con la fórmula V(t) = 750(1,3)-t, donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando

el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas?

Si t=0 U(0) = 750(1,3)0 U(0) = 750 2/3*750 = 500, Por lo tanto, 500 = 750 (1,3)-t Así 500/750 = (1,3) -t log 2/3 = -t*log 1,3 -t = log2/3 / log 1,3 Así: t=1,545 es decir, debe pasar aproximadamente 1,55 meses entres las dos campañas sucesivas.