función exponencial natural - wordpress.com...si en la expresión exponencial se sustituyen valores...
TRANSCRIPT
Función
Exponencial
Natural MATE 3171
La base natural e Si en la expresión exponencial
se sustituyen valores cada vez más
grandes para x, observamos lo siguiente
La constante e se conoce como el
exponente natural o la base natural
𝑒 ≈ 2.71828
La función de la base natural: e • Se define la función exponencial
natural por
f(x) = ex
para cada número real x .
𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ∞, 𝒇 𝒙 → ∞
𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → −∞, 𝒇 𝒙 → 𝟎
x ex
-2 𝑒−2 =1
𝑒2 ≈
-1 𝑒−1 =1
𝑒≈
0 𝑒0 =
0.5 𝑒0.5 = 𝑒 ≈
1 𝑒1 =
1.5 𝑒1.5 =
2 𝑒2 =
0.14
0.37
1
1.65
2.72
4.48
7.39
x ex
-2
-1
0
0.5
1
1.5
2
La función f(x)=a(ebx) EJEMPLO: Trace la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝟎.𝟓𝒙
dominio: (-∞, ∞)
campo de valores 𝒚 > 𝟎
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞, 𝑓 𝑥 → ∞
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → 0
f(x) es creciente en todo su dominio.
La función f(x)=a(ebx)
EJEMPLO: Trace la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒆−𝟑𝒙
dominio:
campo de valores:
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ , 𝑓 𝑥 → ?
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → ?
f(x) es ___________ en todo su dominio.
x f(x)
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
La función f(x)=a(ebx)
EJEMPLO: Trace la gráfica de 𝒇 𝒙 =𝟏
𝟒𝒆𝒙−𝟑 − 𝟐
x f(x)
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
dominio:
campo de valores:
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ , 𝑓 𝑥 → ?
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞, 𝑓 𝑥 → ?
f(x) es ___________ en todo su dominio.
Interés Compuesto Continuamente
Cuando una inversión acumular intereses de forma contínua,
se conoce como interés compuesto continuamente y la
fórmula es
donde:
P = inversión incial
r = tasa de interés anual expresado como un decimal
t = número de años que P se invierte
A = suma total de dinero después de t años, cantidad
acumulada
𝐞 ≈ 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖
Ejemplo
• Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que paga
interés compuesto continuamente a una razón de 8% por
año. Determine el balance en la cuenta luego de 5 years.
• Solución Aplicamos la fórmula anterior con P = 20000,
r = 0.08 , y t = 5 :
A = Pert
Ley de crecimiento /Decaemiento
• La fórmula de interés compuesto contínuamente
es un caso específico de la ley de crecimiento y
decaemiento. (cuando una cantidad cambia a una
razón proporcional a su valor actual)
q(t) = q0ert
donde:
• q0: valor de una cantidad en tiempo t = 0 (esto es
que q0 es el valor inicial de q).
• r: razón de crecimiento de q(si r>o), razón de
decaemiento (r<0)
Ejemplo • La población de una ciudad en 1970 era
153,800. Asumiendo que la población crece
continuamente a una razón de 5% por año,
determine una buena predicción para la
población de la ciudad en el año 2000.
• Solución:
Aplicamos la fórmula de crecimiento con
q = q0ert con…
Ejemplo
• La población de una ciudad en 1970 era
153,800. Asumiendo que la población crece
continuamente a una razón de 5% por año,
determine en qué año la población de la
ciudad alcanza 1 millón primera vez .
• Solución:
Aplicamos la fórmula de crecimiento con
q = q0ert con…
Ejemplo (cont.)
opoblación inicial: q0 = 153,800 ,
o razón de crecimiento: r = 0.05 , and
Por lo tanto, la población será igual a 1 millón
cuando
153,800e(0.05t) = 1,000,000.
Resolvemos, por ahora, usando tanteo o el
método gráfico.
q = q0ert
Ejemplo (cont.) Usando la calculadora gráfica
153,800e(0.05t) = 1,000,000.