fuerzas virtuales

5/17/2018 FUERZAS VIRTUALES - slidepdf.com

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CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

249

CAPÍTULO VIII

8.- MÉTODO DE LAS FUERZAS VIRTUALES

GeneralidadesEn este capítulo se presenta un método para el cálculo de desplazamientos en estructuras

isostáticas, basado en algunos principios fundamentales de trabajo y energía. Es por ello, que secomienza por introducir algunas definiciones relacionadas con esos principios. Se considera el trabajo virtual con el desarrollo del principio de las fuerzas virtuales, aplicado a cuerpos deformables y suutilidad determina el resultado obtenido para el cálculo de desplazamientos en estructuras isos-táticas. Se establece su aplicación a través del método de las fuerzas virtuales y el uso en el cálculoespecífico de desplazamientos en algunas estructuras isostáticas.

Según Norris y Wilbur, las estructuras se deforman ligeramente cuando están sometidas acargas o cambios de temperatura. Como consecuencia de estas deformaciones los puntos de laestructura experimentan ciertos desplazamientos y la estructura sufre a su vez una deformacióngeneral. Siempre cuando no sobrepase el límite elástico del material, estas deformaciones y despla-zamientos desaparecen cuando se suprime el esfuerzo y la temperatura vuelve a su valor primitivo.Este tipo de deformación se llama elástica.

El cálculo de desplazamientos determina si las deformaciones exceden los límites impuestosy así efectuar el control de las estructuras ya construidas y largo tiempo de servicio, también, para elanálisis de estructuras estáticamente indeterminadas, el cual podría estar basado en el cálculo de sudeformación bajo los diferentes estímulos.

Existen varios métodos para calcular deformaciones, algunos vistos en mecánica de los mate-riales, siendo el de los trabajos virtuales, uno de los métodos más generales, seguro y en particularútil para el cálculo de desplazamientos en estructuras isostáticas y el cual es estudiado en el presen-te capítulo.

8.1. Definiciones de trabajo y energía

El método de los trabajos virtuales es un enfoque alternativo para calcular desplazamientos,basado en algunos principios fundamentales de trabajo y energía. Por esta razón, se incluyen enesta sección algunas definiciones básicas relacionadas con estos principios.

Uno de los principios más importantes de la física, es el de la conservación de la energía, queen el contexto del análisis estructural, es planteado según:

We + WI = 0

We = -WI Ec. 8.1

We = U

Trabajo externo = energía interna de deformación

Este teorema o ecuación de trabajo afirma que el trabajo externo realizado sobre un cuerpose convierte en una energía de deformación que se almacena en el cuerpo.




250

Al verificar los términos involucrados en este principio se tiene que; En una distancia para ob-tener el trabajo y la relación entre deformaciones, conviene recordar las expresiones generales da-das por la mecánica de materiales, para su determinación y estas son:

Energía de deformación por esfuerzos normales:

,

dv U d v

Ec. 8.2

Energía de deformación por esfuerzos cortantes:

V ,

t U = d dv Ec. 8.3

Aunque el principio de conservación de la energía expresado matemáticamente en la ecua-ción (8.1) es ciertamente un concepto importante, en realidad se utiliza muy poco en el análisis es-tructural, debido a las limitaciones que su uso presenta. Así, para el caso particular del cálculo de

desplazamientos, su aplicación conlleva a una ecuación con varias incógnitas de desplazamientoque no puede resolverse, como se aprecia a continuación para una viga simple:

We = P1 v1 + P2 v2 +... = U

Adicionalmente, el cálculo de la energía de deformación U, a partir de las ecuaciones (8.2) y(8.3) no es sencillo.

Esta limitación, obliga a cambiar de trabajo, según Laible J. demuestra ser uno de los concep-tos más útiles e importantes en mecánica y es el trabajo virtual, debido a un desplazamiento real por

alguna fuerza virtual; utilizado para definir un teorema conocido como principio de las fuerzas virtua-les:

8.2. Trabajo virtual – principio de las fuerzas virtuales

Dada la importancia que tiene el principio de las fuerzas virtuales para el cálculo de despla-zamientos reales, desde el punto de vista físico, se puede desarrollar considerando un cuerpo elásti-co, como el de la figura 8.1, sometido a una distribución general de cargas:

Figura 8.1 Cuerpo elástico sometido a cargas

Antes de cargar el cuerpo con las cargas reales, primero se coloca la carga concentrada vir-tual Q externa o carga imaginaria sobre el cuerpo en el punto y en relación con el desplazamiento




251

deseado. Debido a Q, se desarrollan esfuerzos internos virtuales que están en equilibrio con Q y conlas reacciones de apoyo debidas a Q. Como resultado de esta carga se efectuará una cantidad igualde trabajo interno y externo, de acuerdo con el principio de conservación de la energía, el cuerpoestá en equilibrio y las energías interna y externa se equilibran.

Luego se aplican las cargas reales. Todos los desplazamientos que resulten en este momen-to se deben a las cargas reales. Cuando se aplican estas cargas resultan dos tipos de trabajo.

El primero es un trabajo real interno y externo debido a las cargas reales, que puede expre-sarse de acuerdo a la ecuación (8.1) como:

U Ec. 8.4

Donde los desplazamientos y los esfuerzos y deformaciones son debidos a las cargas reales.El segundo es el trabajo virtual externo e interno producido por la carga virtual externa y los esfuer-zos virtuales internos al “moverse” a lo largo de una cantidad de desplazamiento, que no se debe ala carga virtual, sino a las cargas reales aplicadas; dado por:

e p

= Q = U W Ec.8.5 Se podría sumar este

trabajo virtual interno y externo al primer trabajo real interno y externo para formar el trabajo total,pero como los términos de (8.4) se cancelan, permanecen los términos de (8.5) como una igual-dad, que es una forma del principio del trabajo virtual o principio de la fuerza virtual.

Laible J. plantea la relación (8.5), en palabras, como sigue:

Si las fuerzas virtuales externas y los esfuerzos virtuales internos de un cuerpo elásticoestán en equilibrio, entonces el trabajo virtual realizado por las fuerzas virtuales externas quese mueven a lo largo de los desplazamientos reales externos será igual al trabajo virtual in-terno, efectuado por los esfuerzos virtuales internos que se mueven a lo largo de las defor-maciones internas compatibles.

Este principio involucra algunos aspectos claves como son:

La fuerza virtual y los esfuerzos virtuales internos están en equilibrio; esto es, los esfuer-zos se deben a la carga virtual.

Las deformaciones reales se deben a las cargas reales sobre la estructura. El cálculo deestas deformaciones requiere que las fuerzas internas y los esfuerzos debidos a las car-gas reales sean determinados.

El desplazamiento real resultante en la dirección de la carga virtual será compatible conlas deformaciones reales internas.

Una expresión para U puede obtenerse, considerando la noción clave del trabajo virtual, comoes que el trabajo no es creado por fuerzas y desplazamientos vinculados entre sí; mediante alguna

relación de deformación o alguna ley de las propiedades del material. Se considera que los esfuer-zos virtuales son independientes de las deformaciones o que el desplazamiento no está provocadopor la carga virtual.

En consecuencia y a partir de las ecuaciones (8.2) y (8.3) se obtienen las expresiones genera-les para la energía de deformación virtual U, como:




252

Energía de deformación virtual por esfuerzos normales

,

U d dv v v

Ec. 8.6

Energía de deformación virtual por esfuerzos cortantes

U = (intfrom , d )dv = (intfrom , )dv = dv v v v

d Ec. 8.7

De esta manera se tiene:

Expresión general de U para esfuerzos normales

U = dv v

Ec. 8.8

Expresión general de U para esfuerzos cortantes

U = dv

v

Ec. 8.9

Así, por ejemplo, introducida la expresión de U (8.8) en la ecuación de trabajo virtual (8.5) pa-ra el cuerpo dada por la ecuación elástico se obtiene:

Q = overlinesigma dv p v

Donde Q y representan la fuerza y los esfuerzos virtuales en equilibrio y ∆p y el desplaza-miento y las deformaciones compatibles debidas a las cargas reales.

Lo antes expuesto, sirve de base y permite plantear una técnica para práctica de análisis, que

permite calcular los desplazamientos en estructuras estáticamente determinadas, llamado métodode las fuerzas virtuales.

8.3. Planteamiento general del método de las fuerzas virtuales para calculardesplazamientos en estructuras isostáticas.

Dada una estructura, sometida a un sistema de cargas reales aplicadas, a la cual se le deseaconocer un desplazamiento específico en un punto dado, debido al sistema de cargas aplicadas, sedefine una estructura ficticia de idénticas características geométricas a la estructura real, a la cual sele aplica una carga también ficticia virtual unitaria, en el punto de la estructura donde se desea cono-cer el desplazamiento, para producir trabajo virtual.

Este planteamiento del método de las fuerzas virtuales conduce a la definición práctica de dos

sistemas:

SR.: Sistema real de desplazamientos, representa a la estructura real sometida a los estímu-los que la deforman.

SV: Sistema virtual de fuerzas, define la estructura ficticia con la carga virtual unitaria apropia-damente aplicada para los efectos de calcular el desplazamiento deseado.




253

Una simple aplicación del método de las fuerzas virtuales a la viga simplemente apoyada, semuestra a continuación:

Sistema real de desplazamientos (SR) Sistema virtual de fuerzas para calcular c(SV)

La evaluación del trabajo que realizan las fuerzas virtuales sobre los desplazamientos reales,define una ecuación de trabajo virtual de la forma:

1 = U v c Ec. 8.10

Trabajo virtual externo = energía de deformación virtual

La ecuación (8.10) expresa la igualdad entre el trabajo virtual externo realizado por las fuerzasvirtuales sobre los desplazamientos reales y la energía interna de deformación virtual acumulada.

Se observa, ahora, que en la ecuación de trabajo virtual solo aparece como incógnita el des-plazamiento deseado.

Es decir, la ecuación de trabajo virtual para calcular un desplazamiento cualquiera sé con-vierte en:

We = U

R+ = U W 1 Ec. 8.11

Donde el término WR representa el trabajo realizado por las reacciones virtuales sobre losmovimientos de soporte, es posible que estén impuestos en la estructura real, como estímulos re-ales, en correspondencia con las reacciones virtuales del SV y cuya evaluación se analiza poste-riormente.

Al señalar, la importancia que tiene la ecuación de trabajo virtual (8.11) como expresión ma-temática fundamental para el cálculo de desplazamientos, se realiza a continuación una evaluacióndetallada de los términos que en ella intervienen.

8.4. Definición y evaluación de los términos de la ecuación de trabajo vir-tual.

1 • representa el trabajo virtual externo realizado por la carga virtual ficticia unitaria sobre el

desplazamiento deseado. Este trabajo es evaluado aplicando el concepto básico de fuerza (virtual

unitaria) x distancia (desplazamiento deseado) para obtener el trabajo, válido también para cuerpos

deformables. Es tomado positivo, bajo la consideración inicial de que el desplazamiento tiene igual

sentido al de la fuerza virtual unitaria aplicada. Realizados los cálculos, si resulta positivo, se ratifi-




254

ca la suposición de sentido de igual al supuesto para la carga virtual unitaria. Un valor negativopara el desplazamiento indicaría que el desplazamiento ocurre en el sentido contrario al supuestopara la carga virtual aplicada.

WR: representa el trabajo virtual externo realizado por las reacciones virtuales del SV sobre

posibles movimientos de soporte (ms) impuestos como estímulos en la estructura, razón por la cualésta experimenta desplazamientos. La evaluación de este término se realiza por aplicación directadel concepto de trabajo: fuerza (reacción virtual) x desplazamiento (ms en correspondencia). Loindicado, se aprecia en la viga simple mostrada a continuación, sometida a un movimiento de sopor-te en b:

SR de desplazamientos SV de fuerzas para calcular vc

12 R = - vW

En general, el término WR debe incluir el trabajo producido por todas las reacciones virtualesque tengan movimientos de soporte asociados en el SR de desplazamientos. Esto se considera en elsiguiente ejemplo:

SR de desplazamientos SV de fuerzas para calcular vb

El trabajo realizado por las reacciones virtuales es:

1 12 2

ac

R v v

= -W

Ū: representa la energía de deformación virtual, expresada hasta ahora, mediante las ecua-ciones (8.8) y (8.9). A partir de estas ecuaciones se establece, que deben existir algunos mediospara evaluar los esfuerzos internos virtuales debidos a la carga virtual impuesta y las deformaciones




255

reales internas, para la solución de los desplazamientos de las estructuras que sean determinadas.En este caso, bastan los análisis de equilibrio sencillos de los sistemas real y virtual definidos, paraobtenerlas, como se específica a continuación.

Así, del análisis del SV se obtienen las fuerzas internas, en los miembros de la estructura, de-

bidas a la carga virtual, a partir de las cuales pueden encontrarse fácilmente los esfuerzos virtuales.Del análisis del SR se determinan las fuerzas en los miembros, a partir de las cuales es posible cal-cular las deformaciones.

Este planteamiento conduce a un análisis por miembro, que exige la definición y determina-ción de la energía de deformación para diferentes miembros estructurales, para luego superponer yobtener la energía de deformación virtual para la estructura completa.

8.5.1. Energía de deformación en los miembros estructurales.

Para determinar la energía de deformación virtual en los miembros estructurales es posibleefectuar una reordenación de las expresiones correspondientes a los esfuerzos y las deformacionesreales internas, con objeto de producir una ecuación de energía virtual en términos de las fuerzasinterna virtual y real obtenida de los análisis de equilibrio sencillos realizados a los sistemas real y

virtual. Para ello son considerados seguidamente, los diferentes tipos de esfuerzos internos y defor-maciones que pueden existir en los miembros de una estructura de pórtico plano o en parrilla, consus correspondientes expresiones dadas por la mecánica de los materiales. Asimismo, los esfuerzosvirtuales internos y las deformaciones reales internas ya definidas, se puede aplicar, según el caso,la ecuación de energía virtual (8.8) u (8.9), donde la integración sobre el volumen implica la integra-ción sobre el volumen de cada uno de los miembros de la estructura:

U para miembro sometido a efecto axial

Una fuerza axial virtual N origina esfuerzos normales virtuales :

N

= A

En este miembro, en el SR se producirán deformaciones lineales x que pueden deberse acargas o a cambios de temperatura constantes Λtp en la sección.

Para deformación x producida por carga axial.

d u= x

d x

N = E , = x x x

A

N x= = x

E AE




256

Al llevar las expresiones obtenidas para los esfuerzos virtuales y las deformaciones reales

x, a la ecuación de energía virtual (8.8) y expresando la integral de volumen como una integral so-bre el área y la longitud, se obtiene la expresión de U para un miembro axial debido a cargas, según:

var A

N NN N x epsilon dv dx dA

x x AE AE AU

ó

x

NN U

AEdx Ec. 12

Donde:

N: fuerza axial virtual

N: fuerza axial real

A. área transversal de la sección

E: módulo de elasticidad del material

son integrados a lo largo del miembro.

Para deformación x, producida por un cambio de temperatura constante en la sección, se tie-ne:

x

du

dx

En este caso, el alargamiento du originado se determina así:

y por tanto:

x pt

Al modificar esta expresión para x en la ecuación (8.8) de U; para un miembro sometido aefecto axial, debido a temperatura se obtiene:

var x p p

v x A x

N U x epsilon dv dx dA N dx

A

ó

Ec. 13

Donde:

N: fuerza axial virtual

U NalphaDeltatpdx v

p du t




257

: coeficiente de dilatación térmica del material

p: cambio de temperatura a nivel del eje neutro de la sección

Se realiza las ecuaciones (8.13) y (8.13), como las expresiones particulares de U para un

miembro sometido a efecto axial.

U para miembro sometido a flexión

Un momento flector virtual M genera esfuerzos normales virtuales , de la forma:

1

My

Donde, el efecto flector es un miembro se debe a cargas o cambios de temperatura variable,

en la sección al obtenerse dos expresiones para las deformaciones reales x.

Para x producidas por cargas, se tiene:

X = du

yd overdx dx

x =

x MyoverE E

Al sustituir las expresiones definidas para los esfuerzos virtuales x y las deformaciones reales

x respectivamente, en la ecuación de energía virtual (8.8) y al señalar la integral de volumen sobreal área y la longitud, se obtiene la expresión de U para miembro en flexión debido a cargas así:

2var

A

M MM M U x epsilon dv dx y dA dx x

x x x

ó

MM U dx

x Ec. 8.14

M: momento flector virtual

M: momento flector real

E: módulo de elasticidad

I: momento de inercia de la sección

Son integrados a lo largo del miembro

Para deformación x ocasionada por un cambio de temperatura con variación lineal, se tiene:

Un cambio de temperatura de este tipo, produce efecto flector, al definir alargamiento diferen-

te para las fibras superiores e inferiores con un relativo ángulo de giro d , como se indica:




258

( t Deltart s dx

h d

Alargamientos en fibra superior e inferior

Al sustituir, las expresiones definidas para y x en la ecuación de energía virtual (8.8), se de-fine la expresión de U para un miembro en flexión debido a un cambio de temperatura lineal:

2

1var ( ) M

x(

M

s A

AU x epsilon dv t t dx y dA t t x s

v x h h

ó

)( x

t dxs

U overh t M

Ec. 8.15

Donde:

M: momento flector virtual

: coeficiente de dilatación térmica

h: alturas de sección

i s

t t Cambio de temperatura en fibras inferiores y superiores respectivamente. Son inte-

grados a lo largo del miembro.

Se destacan las ecuaciones (8.14 y 8.15), como las expresiones particulares de U para unmiembro sometido a efector flector.

U para un miembro sometido a corte

Fuerza cortante virtual V, al generar esfuerzos cortantes virtuales , expresados mediante la

fórmula de Zurhaski de esta manera:

*

*

VQ

lb

Gv

VQ

G lbG

Al sustituir las expresiones definidas para los esfuerzos cortantes virtuales y las deforma-

ciones angulares reales respectivamente, en la ecuación energía virtual (8.9), al agrupar conve-

nientemente y al señalar lo integral del volumen sobre el área y la longitud, se tiene:

Al realizar:

2*

2

v x A

VV A OU vdv dx dA

AG b I




259

Al mostrar que:

Ec. 8.16

Denominado factor de corrección por corte, al obtenerse como resultado la expresión de Upara un miembro sometido a efector cortante:

x

VV U K dx

AG Ec. 8.17

La ecuación (8.17) expresa matemáticamente, la energía de deformación virtual debido al cor-tante, donde:

V: fuerza cortante virtual

V: fuerza cortante real

A: área de la sección

G: módulo de elasticidad al corte

K: factor de corrección por corte


El factor de corrección por corte K, depende de la forma de la sección transversal y puede serevaluado mediante la expresión matemática, dada por la ecuación (8.16), que contiene las carac-terísticas de la sección: área, inercia y lo integral del área; cuyo integrado está dado por el cuadradode la relación momento elástico, ancho de la sección. En la figura 8.2 se muestran los valores de Kpara algunas secciones transversales más comunes:

Sección rectangular K = 6/5

Sección circular K = 10/9

Sección circular hueca K = 2

2*

2

A

A OdA K

b I




260

Perfiles laminados K = 1 K = 1

Utilizar el área de la base como A

U para miembro sometido a torsión

El torsor virtual T genera esfuerzos cortantes de la forma

Tp

J

SV: G

SR:

Tp

G GJ

En las expresiones dadas, por los esfuerzos cortantes virtuales y las deformaciones reales res-

pectivamente, en la ecuación de energía virtual (8.9), al agrupar convenientemente y al mostrar laintegral de volumen en una en una integral sobre el área y la longitud, se tiene:

2

2

v x A x

TT TT U vdv dx p dA dx

GJ GJ

ó

Ec. 8.18

La ecuación (8.18) expresa en forma matemática la energía de deformación virtual para unmiembro sometido a torsión, donde:

x

TT U dx

GJ




261

T: Momento torsor virtual

T: Momento torsor virtual

G: Módulo de elasticidad al corte

J: Momento polar de inercia de la sección


La evaluación del momento polar de inercia J depende del tipo de sección que se considere.De la mecánica de los materiales se tienen expresiones según el tipo de sección, como se indica enla figura 8.3:

Sección circular

4 4

32 2

d r J

Sección rectangular 3J ab

(a = lado mayor)

Figura Nro. 8.3. Expresiones para el momento polar de inercia

: Coeficiente que depende de la relación a/b como se indica:

a

b

1 1.2 1.5 1.75 2 2.5 3 4 5 6 8 10

.141 .166 .196 .214 .229 .249 .263 .281

.291

.299 .307 .312 333

Sección elíptica

3 3

2 216( )

a b J

a b

Sección de triángulo equilátero de lado “a” J = 0,02165 a4

Para completar las expresiones para U, se considera ahora su evolución en el caso de recor-tes sometidos a efecto axial.

U En resorte sometidos a fuerza axial

La evaluación de U para el caso de resorte, se realiza directamente por la vía del trabajo vir-tual interno, como el trabajo realizado por la fuerza virtual N sobre el desplazamiento axial real uexperimentado por el resorte, como se indica:




262

i u W Nu

Se busca el desplazamiento u en función de la fuerza axial N. Por eso se considera la constante deresorte Kr, como la pendiente de la gráfica fuerza – desplazamiento, como se muestra:

Esto permite definir la constante del resorte Kr como la fuerza necesaria para producir un des-plazamiento unitario en el resorte, así:

r N K u

r

N uK

De esta manera, se define la energía virtual para deformación axial en resortes,

Ec.8.19

Establecidas las diferentes expresiones matemáticas para la energía de deformación virtualpor miembro y en función de las fuerzas internas virtuales y reales, debe contemplarse, ahora, laevaluación general de U en la estructura completa para los fines de calcular algún desplazamiento.Esto se logra, mediante la superposición de la energía definida para cada miembro de la estructura;al tomar para U los términos correspondientes según el tipo de estructura, de estímulo, donde esta

sometida a deformaciones que se indique.

Asimismo, el planteamiento general de la ecuación de trabajo virtual se muestra a continua-ción estructuras, donde interesa aplicar el método de las fuerzas virtuales para calcular un despla-zamiento particular.

8.6. Ecuaciones de trabajo virtual según la estructura al considerar estímulos queactúen simultáneamente.

r

NN u Nu

K




263

8.6.1. Estructura de armadura plana

Al señalarse, una armadura plana de una estructura en la que sus barras se consideran do-blemente articuladas, solamente la única fuerza axial, la ecuación general de trabajo virtual paracalcular en este tipo de estructura un desplazamiento, se indica así:

1. R p

x

NN W N dx

AE

Ec. 8.20

La ecuación (8.20) contempla la acción de cargas y cambios de temperatura como estímulosobre la estructura. La acción de uno solo, anula en (8.20) el término correspondiente al otro. Asi-mismo, para cargas se tendría:

1. R

x

NN W dx

AE Ec. 8.21

La existencia de resortes en deformación axial en la estructura incluye el término para U, co-

mo se señala:

1. R

barras r x

NN NN W dx

AE K Ec. 8.22

Estructuras de pórtico plano

Del análisis simple de los pórticos plano, se conoce que sus miembros quedan sometidos, enel caso general, a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Así la ecuación de trabajo virtual,al determinar estos tres tipos de deformaciones y toda clase de estímulo, se tiene:

1. R p i s

r x

NN VV MM NN W K N t M t t dx AE AG EI h K

Ec. 8.23

Los términos correspondientes para U en la ecuación (8.23), consideran deformación axial,por corte y deformaciones flectoras; cargas, modificaciones de temperatura y la existencia de resor-tes. Sin embargo, se insiste en que la selección de los términos para U depende del tipo de estímuloal cual esté sometida la estructura y el tipo de deformación que se considere.

El cálculo de podría despreciarse algún tipo de deformación, ello simplemente anula los

términos correspondientes. Así las deformaciones flectoras en pórtico son predominantes, con fre-cuencia se delegan la deformación axial y por corte, en el caso a la ecuación de trabajo virtual apartir de la ecuación (8.23) sería, al considerar cargas y cambios de temperatura:

1. R i s

miembros x

M M W M t t dx

EI h

Ec. 8.24

Al determinar únicamente cargas:

1. R

miembros x

MM W dx

EI Ec. 8.25




264

8.6.2. Estructura en parrilla

Del análisis simple de la estructuras en parrilla, se determinan sus miembros sometidos amomento torsor, corte y momento flector. Por consiguiente, la ecuación general de trabajo virtualpara este tipo de estructuras, al considerar sólo deformaciones donde:

1. R

miembros x

TT VV MM W K dx

GJ AG EI

Ec. 8.26

Al dejar un lado cualquier tipo de deformación, elimina el término correspondiente de U, así alindicar sólo deformaciones torsoras y flectoras (desestima las deformaciones cortantes):

Ec.8.27

En este mismo orden de idea, se tie-nen ecuaciones de trabajo virtual hasta ahora señaladas para los diferentes tipos de estructuras,permiten calcular el desplazamiento deseado, debido todos los estímulos; cargas, cambios de tem-

peratura y movimientos de soporte, al actuar en forma simultánea en la estructura. Sin embargo, esposible calcular el desplazamiento a cada estímulo por separado, como se muestra seguidamente,después de explicar el caso correspondiente a la función de movimientos de soporte al intervenircomo único estímulo en la estructura.

En este sentido, para los movimientos de soporte, asociados a movimientos de cuerpos rígi-dos que no producen deformaciones internas, la ecuación de trabajo virtual para el cálculo de des-plazamientos debido sólo a esta acción tendrá energía de deformación nula.

8.7. Ecuaciones de trabajo virtual según el tipo de estructura al considerarestímulos actuando por separado.

8.7.1. Estructura de armadura plana

Desplazamiento debido sólo a cargas

1.barras x

NN dx

AE Ec. 8.28

Desplazamiento debido sólo a temperatura

Ec. 8.29

Desplazamiento debido sólo a mo-vimiento de soporte

Ec. 8.30

8.7.2. Estructura de pórtico plano


1.miembros x

NN VV M M K dx

AE AG EI

Ec. 8.31

1 int R

TT MM W fromX dx

GJ

1 0 RW

1. p

barras x

N t dx




265

Desplazamiento debido solo atemperatura

Ec. 8.32

Las ecuaciones (8.31) y (8.32) indicadas contemplan todo tipo de deformación, con la opciónde seleccionar los términos de U en función del tipo de deformación observada.

Desplazamiento debido sólo a ms

Ec.8. 33

8.7.3. Estructura en parrilla


1.miembros x

TT VV MM K dxGJ AG EI

Ec. 8.34

La ecuación (8.34) muestra la consideración de todo tipo de deformación en los términos de U,pero con posibilidad de escoger dichos términos que actúan según el tipo de deformación que seestablezca en la estructura.

Se destaca, que al ser válido el principio de superposición, al calcular un desplazamiento

cualquiera, debido a cada estimulo al funcionar por separado, luego, supuesto los valores obteni-

dos, se concluye, que es el mismo resultado para calculado a partir de la ecuación general de

trabajo virtual que distinga todos los estímulos simultáneamente.

8.8. Evaluación práctica de la energía de deformación para es-tructuras con miembrosde la sección constante.

El método de las fuerzas virtuales para calcular desplazamientos en estructuras, continúacierta dificultad relacionada con el proceso de integración presente el cálculo de U. Sin embargo,esta dificultad se reduce para el caso sencillo de estructuras con miembros de sección constante yconsiderada de un solo material.

Para la evaluación de la U, en este tipo muy particular de estructuras, se ha creado unas ta-blas conocidas como superposición, que suministran la información rápida y sencilla del valor inte-gral correspondiente y en esta sección se incluyen atención especial en su uso para obtener el valorde U.

Al señalar que:

Todas las expresiones de U aparecen en términos del producto de las fuerzas internas vir-tuales y reales. Estas fuerzas son obtenidas mediante el análisis de equilibrio sencillos, reali-zados a los sistemas definidos como real (SR) y (SV) virtual.

Las tablas de superposición se ilustran figuras geométricas simples para suponer que repre-sentan los diagramas de fuerzas internas de los miembros de la estructura.

En consecuencia se tiene:

1 0W R

1. p i s

miembros x

N t M t t dxh




266

En uso de las tablas de superposición para determinar U, requiere la solución de dos siste-mas SR y SV, hasta las gráficas de fuerzas internas de todo los miembros de la estructuraen ambos sistemas.

Las tablas suministran la superposición de cada diagrama de fuerza interna real con el vir-

tual, o viceversa, correspondiente. Por esta razón la tabla indica en la parte superior algunosrayados: seleccionado uno de ellos, por relacionarse con uno de los diagramas a superpo-ner, se entra en la tabla en forma descendente hasta ubicar el diagrama. Inmediatamenteaparece a derecha la expresión relativa al numerador de la integral. El denominador consi-derado constante, sale de la integral y basta agregarlo al valor dado por la tabla.

El signo de una superposición queda definido, al distinguir el signo de dos diagramas super-puestos, al establecer el criterio de signos para el producto:

+ con + ➱ +- con - ➱ +

+ con - ➱ -

- con + ➱ -

De forma simple se expone:

Los signos de dos diagramas real virtual = ➱ superposición +, signos de dos diagramas real

y virtual diferentes ➱ superposición -. Si un miembro cualquiera de la estructura, en algunos

de los sistemas real o virtual tiene una de sus fuerzas internas con valor 0 (no tiene diagra-ma) la superposición es nula.

Estas consideraciones señaladas sobre el uso de las tablas de superposición para obtener U,se explican en el siguiente ejemplo correspondiente a un miembro cualquiera ij de una estructura depórtico plano:




267

Uij considerando todo tipo de deformación:

11.11 1/3 2 1.56 2 / 3 2 1 3.12 / 3 2

3ij

x x Kx x x x xU

AE AG

Uij Considerando sólo deformaciones por flexión:

Al justificar la geometría de las secciones transversales y los módulos de elasticidad E y deelasticidad al corte G, es posible evaluar numéricamente la energía virtual para un miembro ij enconsideración. Se debe tener en cuenta en este cálculo con las unidades.

8.9. Algunas consideraciones adicionales Escogencia del diagrama para entrar en la tabla de superposición.

La a las tablas de superposición se efectúa con el diagrama más sencillo, real o virtual, indis-tintamente, dado que los términos a evaluar en las expresiones de U son productos de fuerzas inter-nas virtuales y reales.

Diagramas de fuerzas internas por separado

Al notar, que las tablas contienen diagramas simples, cuando un diagrama resulta complicadoy no se presenta en las tablas, se puede descomponer, al utilizar el principio de superposición, endiagramas sencillos denominados por separado. Esto se muestra a continuación mediante la figura8.4, para el momento flector en un miembro de pórtico plano:

Figura 8.4. Diagrama de momento por separado en un miembro de pórtico plano

Diagramas de fuerzas internas que deben graficarse

3.12 4 /3 21/ 3ij

x xU




268

En miembros de la estructura donde se desprecia algún tipo de deformación, no será necesa-rio graficar el diagrama de fuerza interna correspondiente. Se grafican únicamente los diagramas defuerzas internas según el tipo de deformación que este considerado.

Note, que una simplificación importante se presenta el caso particular de miembros inclinados

de pórtico plano, cuando sólo se considera deformaciones por flexión. Esto miembros solamenteserá necesario, graficar los diagramas de momento flector con su valor máximo. Por esto, la forma yordenada máxima de momento flector de algunos diagramas, se originan y pueden demostrarsemediante la figura 8.5, donde podrán aplicarse directamente sin necesidad de realizar descomposi-ción de fuerzas:

Figura Nro. 8.5. Diagramas y valor máximo de momento flector en miembros inclinados de pórticoplano.

Por otra parte, aquellas barras de estructuras que solo quedan sometidas a fuerza axial, su

aporte a la energía de deformación virtual se deberá a este efecto bajo la consideración de defor-mación axial ellas mismas.

Desplazamientos que pueden calcularse

Cada aplicación del método de fuerzas vinculadas, permiten calcular un solo desplazamientode los experimentados por la estructura, debido a los estímulos que la solicitan. Puede ser un des-plazamiento horizontal o vertical, una rotación absoluta o relativa.




269

Se exponen a continuación algunos ejemplos particulares de estructuras isostáticas simples,bajo la acción de cargas, las cuales se quiere calcular un determinado desplazamiento. Así mismose indica el sistema virtual para la solución por método de las fuerzas virtuales:

SR

Desplazamiento horizontal de punto b desplazamiento vertical de punto medio de BC

SV SV

Desplazamiento horizontal en d Rotación absoluta en bSV SV




270

Rotación absoluta en dRotación absoluta en a

SV SV

SR

Rotación absoluta en b Rotación absoluta en c

SV SV




271

SR

Rotación relativa entre las barras ab y bc (SV)

Rotación relativa entre las barras ab y be (SV)

Definición del sistema real de temperatura




272

La temperatura es un estímulo, mediante el cual, origina deformaciones en la estructura. Es-tos estímulos son impuestos a la estructura, para definir el sistema real (SR), conocido también co-mo sistema real de temperatura.

Ahora bien, interesa distinguir SR de temperatura y los efectos producidos en los miembros de

la estructura en este sistema. Determinado los efectos en los miembros del SR de temperatura,podrá ejecutarse la superposición correspondiente con el SV, en consideración. Para determinar laenergía de deformación virtual debida a cambios de temperatura.

En el estudio realizado en la sección 8.5.1., se deriva que un cambio de temperatura originaun efecto axial y un efecto flector, estos cambios de temperatura sobre miembros, se representan através de gráficos, donde intervienen aspectos relevantes con su forma, las ordenadas y signo deldiagrama. Tales consideraciones se muestran seguidamente para los efectos axial y flector.

Efecto axial debido a cambios de temperatura

Este efecto se tomará en cuenta, solamente cuando la estructura se consideren las deforma-ciones axiales, en el caso contrario será omitido.

Al tomar en cuenta, la deformación axial mediante cambios de temperatura, se tendrá el dia-grama de efecto axial en aquellos miembros sometidos a temperatura en el SR.

En relación, con el valor de las ordenadas del diagrama se parte de la figura (8.13), que el

efecto axial esta dado por el factor pt .Por eso, este factor representa la ordenada del diagrama

de efecto axial real, debido a cambio de temperatura, a nivel del eje neutro, en cada sección trasver-sal del miembro. La forma del diagrama dependerá, del cambio de temperatura. Un cambio cons-tante a lo largo de un miembro, produce el mismo efecto de toda longitud y se representa con undiagrama rectangular de ordenada constante. Además origina efecto axial variable, al ocasionarordenadas diferentes y en consecuencia representación gráfica variable. Son entonces, los cambiosde temperatura constantes a lo largo del miembro, producirá acortamientos que son tomados comonegativos.

El signo del diagrama será positivo, si el cambio de temperatura a nivel del eje neutro, produ-ce alargamiento o tracción en el miembro. Temperatura negativa a nivel del eje neutro de las sec-ciones transversales del miembro, producirá acortamientos negativos.

Lo establecido, representa gráficamente para un miembro ij cualquiera sometida algunoscambios de temperatura:

Efecto flector debidos cambios de temperatura




273

Sometida a consideración de deformaciones flectoras, por efectos de cambios de temperaturase tendrá diagrama de efecto flector en aquellos miembros del SR, de temperatura bajo este estí-mulo. El valor de las ordenadas también será a este estímulo.

El valor de las ordenadas del diagrama se deriva de la ecuación (8.15), donde el factor

( )ti tsh es el que le corresponde al SR.

Se nota que este factor se obtiene a partir de un caso muy particular de temperatura. Sin em-bargo, podía ser otro cambio actuante en la estructura, originando efecto flector. Cambios de tempe-ratura diferentes al considerar para determinar la expresión (8.15), al surgir modificaciones en su

factor real ( )ti tsh

, a los efectos prácticos, para cualquier cambio de temperatura, se resuelve

al efectuar al cálculo de las ordenadas del diagrama de efecto flector así:

Usar el factor real de la ecuación (8.15)

Evaluar la diferencia de temperatura en valor absoluto i st t h

Comprender en forma adecuada el efecto flector producido en el miembro por cambio detemperatura.

Algunos cambios de temperatura constantes, lo largo de un miembro ij, cualquiera que pro-ducen afecto flector se muestra con el diagrama que ellos consideran pertinente:

Cálculo de desplazamientos debido a movimientos de soporte por el método cinemá-tica.

La evaluación del término WR del trabajo virtual externo, realizado por las reacciones virtuales

sobre ms, impuesto en la estructura como estímulo, se consideró en la sección 8.5. Así mismo en lasección 8.7, donde se plantea el cálculo de desplazamiento debido solo a ms. A hora bien, se tratauna vía diferente a la de trabajo, para la determinación de estos desplazamientos. Basados en elmétodo cinemática.

Este método se realiza al liberar cada movimiento de soporte por separado. De esta manerala estructura para a inestable, con un grado de libertad y un desplazamiento prescrito como (el ms




274

liberado). Bajo esta condición, la estructura sufre movimientos de cuerpo rígido, al ser posible cono-cer los desplazamientos experimentados por sus puntos una vez liberado cada ms.

Este procedimiento se ilustra a continuación, para una viga simple sometida a dos ms, Va y Vc,en la que se desea el desplazamiento vertical que experimenta el punto 6 debido a este estímulo y

se compara con el cálculo realizado por el trabajo:

Desplazamiento en b debido al ms Va

Por cinemática Por trabajo

(Liberando Va) (Solo debido a Va)

1xVb+ WR = 0

Vb + ( 12

Va) = 0

Vb Va /2

Desplazamiento en b debido al ms Vc

Por cinemática Por trabajo

(Liberando Vc) (Solo debido a Vc)

1x Vb + WR = 0




275

Vb + (- 12

) = 0

Vb = Vc /2

Nota: Por cinemática el desplazamiento se toma, si ocurre en el mismo sentido de la fuerza

virtual unitaria asumida.

Para finalizar, se estima conveniente presentar en forma resumida la sucesión de pasos a se-guir para calcular desplazamientos en estructuras isostáticas, al utilizar el método de las fuerzasvirtuales.

8.10. Sucesión de pasos en el método de las fuerzas virtuales

Paso 1: Definir el SV

Aplicar una carga virtual en las estructuras en el punto y en la dirección del desplazamientodeseado. Cuando se aplica esta carga, no hay otras cargas actuando sobre la estructura.

Paso 2: Resolver el SVCalcular las fuerzas internas debidas a la carga virtual

Paso 3: Resolver el SR

Aplicar las cargas reales (sin la presencia de carga virtual) y otros estímulos a la estructura ycalcular las fuerzas internas reales.

Paso 4: Aplicar la ecuación del trabajo virtual correspondiente

Tomar en cuenta para su evaluación:

Tipo de estructura, forma de cálculo deseado (estímulo actuando simultáneamente o por se-

parado), tipo de deformación que se considere en la estructura.

Para exponer en forma general, la aplicación del método de las fuerzas virtuales para elcálculo de desplazamientos en la estructuras isostáticas, con miembros de sección constante, seseñalan a continuación algunos ejemplos.

8.11. Ejemplos de aplicación

Para la estructura mostrada eb Egf = 1.4x103

T/cm2

y E (de las restantes barras) = 2.1x103

T/cm2

y la sección de las barras en cm2

y entre paréntesis utilizado el MFV:

a) Calcular el desplazamiento vertical del punto “C” (Vc), debido a las cargas.

b) Si se ajunta un torsor en la barra “gf” para acortarla 12,5 mm ¿Cuáles serían las componen-tes vertical y horizontal del punto “c” debido sólo a ese ajuste?




276

Sistema real de desplazamiento debido a cargas

Sistema virtual (para vc) de fuerzas




277

Ecuación de trabajo virtual

Barra AE(Tn) L(cm) N(Tn) N NNL/AE

ab 94.500 900 -15 -0,75 0.10701

bc 94.500 900 -15 -0,75 0,10701

cd 63.000 1500 -12,5 0 -

de 75.600 900 7,5 0 -

ef 75.600 900 7,5 0 -

fg 16.800 900 22,5 1,5 1.8080

af 63.000 1500 -1,25 -1,25 0,3720

bf 50.400 1200 0 0 0,3720

cf

ce

63.000

50.400

1500

1200

1,25

1200

1,25

0

0,3720

-

U = 1 = 2.766

Luego:

1 Tn x Vc = 2,766 T cm

Vc = 2,766 cm

Sistema virtual (para uc) de fuerzas




278

Sistema real de desplazamiento debido A ms

Ecuación de trabajo virtual:

1xVc + WR = 0

Puesto que WR ➱ Uc = 0

Ejemplo 8.2

Para la estructura de la figura se requiere el desplazamiento horizontal del punto b, al consi-derar las siguientes efectos actuando por separado y la rotación relativa en c, si ellos trabajan si-multáneamente.

a) Las cargas mostradas sugiriendo deformaciones por flexión, fuerza axial y corte en todoslos miembros, deformación axial en el resorte.

b) Un cambio de temperatura en “ab” y “bc” con variación lineal Ti = OoC, como se muestra:




279

Sistema real




280

Despiece y diagramas




281

Sistema virtual para Ub





282

Sistema real de temperatura

Desplazamiento horizontal del punto b

a) Por cargas: 1 (T)xUb(cm) =

11.11 1/ 3 200 1,56 2 / 3 200 1/3 4,3 3,12 10 x x x x x x xKyx

AE AG EI

1/ 3 6,89 400 1/3 3,11 200 1/3 6,89 200 x x x x x xKyx Ky

AE AG AG

+4 4

1/3 7,56 4 / 3 10 400 1/ 4 10 4 /3 10 400 x x x x x x x x

EI EI

Ub = 0,2383 cm ➱

b) Por temperatura

1 x Ub = 4 6 41/3 10 200 1/ 2 4 /3 100 4,44 200 1/3 10 400 x x x x x x x x

61/ 2 4 /3 100 4,44 10 400 x x x x x

Ub = - 0,1843 cm Ub -, 1843 cm




283

Sistema virtual parac





284

Rotación relativa en c, (tomado en cuenta todos los efectos que actúen simultánea-mente).

4 /15 4, 27 9, 07 5001/ 3 16 / 3 2001/ 2

x x

Kr AE

1(Tm) x100 cm/m θc =

4 4

1/ 3 1 10 500 16 /3 1/ 3 200 1/ 6 1 32 /3 10 200 x x x x x x x x x EI AG EI

41/ 3 32 /3 15 /9 10 200 7 /18 11.11 200 1.56 1/18 200 x x x x x x x x

EI AE AG

41/ 3 3,12 1/ 9 10 200 7 /18 6,89 400 3.11 7 /18 200 x x x x x x x x

EI AE AG

4 46,89 7 /18 200 1/3 12 /9 7,56 10 400 1/ 4 14 /10 10 400 xx x x x x x x x x

AG EI EI

100 θc = 0,6778-0,1409 (por carga de temperatura)

θc = 0,005369 rad

Ejemplo 8.3

Para la estructura mostrada con Egf = 1.4x103

T/cm2

y E (de las barras restantes) = 2.1x103

T/cm2, y la sección de las barras en cm

2y entre paréntesis, utilizando una MFV:




285

Sistema virtual de fuerzas para va




286

Sistema real de desplazamiento debido a cargas

0 yF

-400 – 300x4 – 150 + Vf = 0 Vf = 1750 K

ΣMx (f) = 0

40 + 150 x 8 + (300x4) x 6 + 400 x 4 - MXF = 0

Mx = 10040 Km

ΣMz (f) = 0

60 – 50 x 6 +150 x 2 – 400 x 2 + Mzf = 0

Mxf = 740 Km




287

4 44 4

25 20 11320.7864 64

e j

II I D D cm

4 44 4

25 20 22641.5632 32

e j

II I D D cm

4

6

10 1 11 4 3040 4 4 40 4

3 62 10 11320,78a xV x x x x x x

x x

1 1 14 600 4 4 3040 4 4 10040 43 3 6 x x x x x x x x x

0,08193aV m

8.12. Ley de Betti




288

La ley de Betti es aplicable en cualquier tipo de estructura, bien sea viga, armadura o pórtico.Sin embargo, para simplificar su desarrollo se presentarán las ideas considerando la armadura sim-ple de la figura 8.5.

Se supone que esta armadura esta sometida a dos sistemas de fuerzas separadas e inde-

pendientes.

Figura Nro. 8.5. Estructuras para deducir la ley de Betti

El sistema de las fuerzas Pm y el Pn

El sistema Pm origina las fuerzas Fm en las diversas barras de la armadura, mientras que elPn, produce las fuerzas de barra Fn. Se determinan dos casos:

Se supone que el sistema Pm esta en reposo en la armadura y que ella es deformada alaplicarle el sistema Pn.

En este caso sucede lo contrario, donde el sistema Pn actúa en la armadura, y que por lautilización del sistema Pm esta se deforma. En ambos conceptos pueden ponerse en prácti-ca la ley de trabajos virtuales para determinar esta ley de Betti.

Para deducir que la estructura solo esta sometida a carga, es decir los apoyos no pueden ce-der y la temperatura permanece constante. Además se define de esta manera:

mn : Desplazamiento del punto de aplicación de un de las fuerzas Pm (en la dirección y sentido

de esta fuerza), originado por el empleo del sistema Pn.

nm ; Desplazamiento del punto de aplicación de una fuerzas Pn, debido a la utilización del sis-

tema de fuerzas Pm

Al saber ahora, la aplicación de esta ley de los trabajos virtuales, la primera definición, cuandoel sistema experimenta desplazamientos en correspondencia con las fuerzas Pm, surge la deforma-ción producida por la aplicación del sistema Pm, se tiene en consecuencia:

4 44 4

25 20 11320.7864 64

e j

II I D D cm

El segundo caso, cuando el sistema experimenta desplazamientos en correspondencia conlas fuerzas Pn, como consecuencia de la deformación ocasionada por el empleo del sistema Pm, alindicar:




289

4 44 4

25 20 11320.7864 64

e j

II I D D cm

De las ecuaciones anteriores se deduce que:

4 44 4

25 20 11320.7864 64

e j

II I D D cm

Conceptualización

La ley de Betti se representa de esta manera:

En una estructura, cuyo material es elástico y sigue la ley de Hooke y donde los apoyos nopueden ceder, la temperatura es constante, el trabajo virtual realizado por el sistema Pm, durante ladeformación ocasionada por un sistema de fuerza Pn, es igual al trabajo virtual externo realizado porel sistema Pn, a través de la deformación producida por el sistema Pm.

8.13. Ley de Maxwell

Esta ley es aplicable a cualquier tipo de estructura, viga, armadura o pórtico.

Considérese una armadura como la mostrada en la figura 8.6:

Figura 8.6. Estructuras para deducir la ley de Maxwell

Al suponer que la armadura actúa primero una carta P, en el punto (1) en la dirección ab ysea:

21 : El desplazamiento experimentado por el punto (2), en la dirección cd, causado a la carga P,

que actúa en el punto (1) en dirección ab.

Luego, la armadura actúa, una carga de igual magnitud P, pero, aplicada ahora en el punto(2) en dirección cd, sea:

12 : El desplazamiento del punto (1) en la dirección ab mediante una carga P que actúa en el

punto (2) en dirección cd.

Al representar la ley de Betti sería:

12 21P P




290

Por esto:

12 21 Ec 8.36

La ley de Maxwell se determina como se ha indicado.

Al generalizar una estructura, donde el material es elástico y se rige por la ley de Hooke, en laque los apoyos no pueden ceder y la temperatura es constante, la deformación del punto 1 en ladirección ab, originada a la carga P en el punto 2, que actúa en la única dirección cd, numéricamen-te es igual a la deformación en el punto 2 en cd, a una carga P en el punto 1, al actuar en la direc-ción ab.

Una aplicación sencilla de la ley de Maxwell, se tienen en la siguiente ilustración:

12 : Desplazamiento vertical del punto 1

21 : Rotación en el punto 2 debida a debido P actuando

punto 2 P actuando en el punto 1

fuerzas virtuales

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