física-matemática básica · 2016-12-16 · agradecimientos a cada uno de mis estudiantes con los...

Física-Matemática básicaAlejandro Hurtado Márquez

A quienes son la prolongación de la existencia, del amor infinito y de la grandeza de ser mujer: Mis hijas, Angie, Alejandra y Zaira.

Y a quien ha permanecido siempre a mi lado en todos los momentos, mi esposa: Yanneth.

A todas, infinitas Gracias.

AgradecimientosA cada uno de mis estudiantes con los cuales he compartido el espacio académico de Física y Matemática básica a lo largo de mi trayectoria en la Licenciatura en Física de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Gracias a su motivación y dedicación hicieron posible la inspiración para escribir estas amplias notas de clase, que se convirtieron en un largo texto y que son fruto de esa linda profesión: Maestro de Física.

A mis colegas profesores y estudiantes que han participado o participan del grupo de investigación: Física e Informática (Fisinfor) y del Semillero de Investigación: Simulación y Laboratorios Virtuales (Silab), que con su apoyo y denodado entusiasmo han permitido que muchos de los logros se hayan traducido en procesos de apoyo a la enseñanza de la física con ayuda de las nuevas tecnologías, en los últimos años.

A mi querida institución, la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, que primero me tuvo como estudiante y que luego me acogió como profesor. A cada una de las instancias académico administrativas que han apoyado este tipo de proyecto educativo, en especial a la Facultad de Ciencias y Educación y al Proyecto Curricular de Licenciatura en Física.

A todos, Infinitas Gracias.

© Universidad Distrital Francisco José de Caldas © Facultad de Ciencias y Educación© Alejandro Hurtado MárquezPrimera edición, octubre de 2016ISBN: 978-958-8972-62-6

Dirección Sección de PublicacionesRubén Eliécer Carvajalino C.

Coordinación editorialMiguel Fernando Niño Roa

Corrección de estiloMiguel Fernando Niño Roa

Diagramación y montaje de carátulaFelipe Padilla Brugés

Producción editorialEditorial UD

Universidad Distrital Francisco José de Caldas Carrera 24 N. 34-37. Teléfono: 3239300 ext. 6202 Correo electrónico: [email protected] Bogotá, Colombia

Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Sección de Publicaciones de la Universidad Distrital.Hecho en Colombia

Hurtado Márquez, Alejandro Física-Matemática básica / Alejandro Hurtado Márquez. --Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2016. 482 páginas ; 24 cm. -- (Colección espacios) ISBN 978-958-8972-62-6

1. Física matemática 2. Física - Estudio y enseñanza 3. Matemáticas y física 4. Movimiento I. Tít. II. Serie.530.15 cd 21 ed.A1551562

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Contenido

Prefacio ........................................................................................ 17

Parte 1. Física básica ................................................................. 21

Capítulo 1. Unidades y medidas ....................................................... 23

1.1 La física y el mundo natural....................................................................23

1.2 Cantidades físicas fundamentales ............................................................25

1.2.1 Unidades patrón ........................................................................................ 26

1.2.2 Unidades derivadas .................................................................................... 30

1.2.3 Ejemplos de unidades derivadas .................................................................. 31

1.3 Conversión de unidades ..........................................................................31

1.3.1 Análisis dimensional .................................................................................. 34

Capítulo 2. Escalares y vectores ........................................................ 41

2.1 Descomposición de un vector .................................................................43

2.2 Vectores unitarios ...................................................................................45

2.3 Operaciones entre vectores .....................................................................51

2.3.1 Suma de vectores ....................................................................................... 51

2.3.2 Multiplicación de un escalar por un vector ................................................... 60

2.3.3 Producto escalar entre dos vectores ............................................................... 61

2.3.4 Producto vectorial entre dos vectores............................................................. 64

Capítulo 3. Movimiento unidimensional ............................................. 77

3.1 Variables cinemáticas .............................................................................78

3.1.1 Desplazamiento ......................................................................................... 79

3.1.2 Velocidad .................................................................................................. 81

3.1.3 Aceleración ............................................................................................... 85

3.2 Clasificación de los movimientos rectilíneos ............................................88

3.2.1 Movimiento rectilíneo uniforme .................................................................. 88

3.2.2 Movimiento rectilíneo con aceleración constante ........................................... 90

3.2.3 Caída libre .............................................................................................. 100

3.2.4 Movimiento rectilíneo con aceleración variable ........................................... 105

Capítulo 4. Movimiento bidimensional ............................................. 115

4.1 Variables cinemáticas, vectores: posición, desplazamiento, velocidad y aceleración ........................................................................................ 115

4.1.1 Posición .................................................................................................. 115

4.1.2 Desplazamiento ....................................................................................... 116

4.1.3 Velocidad media ...................................................................................... 117

4.1.4 Velocidad instantánea .............................................................................. 117

4.1.5 Aceleración media .................................................................................... 118

4.2 Movimiento de proyectiles .................................................................... 122

4.3 Partícula en movimiento circunferencial ............................................... 128

4.3.1 Movimiento circunferencial uniforme ................................................... 128

4.4 Aceleraciones tangencial y radial .......................................................... 132

Capítulo 5. Leyes del movimiento .................................................... 141

5.1 Primera ley de Newton: ley de la inercia ............................................... 141

5.2 Segunda ley de Newton: concepto de fuerza .......................................... 143

5.3 Tercera ley de Newton: ley de acción y reacción .................................... 145

5.4 Interacciones fundamentales en la naturaleza ........................................ 145

5.4.1 Fuerzas a distancia .................................................................................. 146

5.4.2 Fuerza debida al campo gravitacional: concepto de peso .............................. 147

5.4.3 Fuerzas de contacto .................................................................................. 148

5.5 Diagramas de cuerpo libre .................................................................... 156

5.5.1 Propuesta de secuencia de pasos para aplicar las leyes de Newton ................. 156

Capítulo 6. Introducción a los conceptos de Trabajo y Energía ................ 191

6.1 Concepto de trabajo ............................................................................. 192

6.1.1 Trabajo debido a una fuerza constante ....................................................... 192

6.1.2 Trabajo debido a una fuerza variable en el caso unidimensional .................. 196

6.2 Teorema del trabajo y la energía ........................................................... 201

6.3 Energía potencial ................................................................................. 206

6.4 Fuerzas conservativas y no conservativas .............................................. 209

6.4.1 Fuerzas conservativas ............................................................................... 209

6.4.2 Fuerzas no conservativas .......................................................................... 209

6.5 Ley de conservación de la energía ......................................................... 210

6.5.1 Conservación de la Energía Mecánica ....................................................... 210

6.5.2 Conservación de la energía cuando existen fuerzas no conservativas .............. 211

6.6 Potencia ............................................................................................... 217

6.6.1 Potencia promedio ................................................................................... 217

6.6.2 Potencia instantánea ................................................................................ 218

Parte 2. Física experimental básica .............................................. 225

Capítulo 7. Medición, incertidumbre y sus técnicas .............................. 227

7.1 Cifras significativas ............................................................................... 227

7.2 Técnicas para expresar una medida y su incertidumbre .......................... 229

7.2.1 Errores de lectura por apreciación .............................................................. 230

7.2.2 Errores de lectura sistemáticos ................................................................... 231

7.2.3 Errores casuales ....................................................................................... 231

7.3 Cálculos de incertidumbre .................................................................... 232

7.3.1 Incertidumbre absoluta, incertidumbre relativa e incertidumbre porcentual ... 235

Capítulo 8. Nociones de Análisis gráfico y estadístico de datos ................ 239

8.1 Prácticas de laboratorio en la enseñanza de la física ............................... 240

8.2 Análisis gráfico .................................................................................... 241

8.2.1 Elaboración de gráficas ............................................................................ 242

8.2.2 Relaciones lineales ................................................................................... 243

8.2.3 Proceso de linealización de curvas.............................................................. 246

8.2.4 Relaciones de la forma: y=axn .................................................................. 251

8.2.5 ¿Cómo graficar en papel log- log? .............................................................. 253

8.3 Salto tecnológico en el análisis gráfico .................................................. 255

8.4 Análisis de regresión y líneas de tendencia ............................................ 256

8.4.1 Regresión lineal ....................................................................................... 256

8.4.2 Otros análisis de regresión ........................................................................ 260

8.5 Prácticas de laboratorio con sistemas de adquisición de datos ................ 263

8.6 Software de cálculo matemático y de simulación para la enseñanza de la física ........................................................................................... 267

Parte 3. Matemática básica ........................................................ 279

Capítulo 9. Conjuntos numéricos ..................................................... 281

9.1 Números reales .................................................................................... 281

9.1.1 Representación gráfica de los números reales .............................................. 287

9.1.2 Conjuntos e intervalos .............................................................................. 287

9.1.3 Valor absoluto y distancia ........................................................................ 289

9.2 Propiedades de los exponentes y radicales ............................................. 292

9.2.1 Propiedades de los radicales ...................................................................... 295

9.2.2 Exponentes racionales .............................................................................. 296

9.3 Proceso de racionalización de radicales ................................................. 297

Capítulo 10. Nociones de álgebra...................................................... 305

10.1 Suma algebraica ................................................................................... 306

10.1.1 Uso del paréntesis en expresiones algebraicas .............................................. 306

10.2 Multiplicación algebraica...................................................................... 308

10.2.1 Multiplicación de monomios ..................................................................... 308

10.2.2 Multiplicación de polinomios .................................................................... 308

10.3 División algebraica ............................................................................... 310

10.3.1 División de monomios .............................................................................. 310

10.3.2 División entre fracciones algebraicas .......................................................... 310

10.3.3 División de polinomios entre monomios ..................................................... 311

10.3.4 División entre polinomios ......................................................................... 311

10.4 Productos notables ............................................................................... 313

10.4.1 Cuadrado de un binomio .......................................................................... 313

10.4.2 Cubo de un binomio ................................................................................. 314

10.4.3 Potencia de binomios ............................................................................... 314

10.5 Otros productos notables ...................................................................... 316

10.5.1 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades .............................. 316

10.5.2 Producto de dos binomios que poseen un término común ............................. 317

10.6 Factorización ....................................................................................... 317

10.6.1 Factor común .......................................................................................... 318

10.6.2 Factor común por agrupación de términos ................................................. 318

10.6.3 Factorización de expresiones algebraicas con exponentes racionales ............... 319

10.6.4 Trinomio cuadrado perfecto ...................................................................... 319

10.6.5 Trinomio cuadrado de la forma: x2+bx+c ................................................. 320

10.6.6 Trinomio de la forma: ax2+bx+c ............................................................. 322

10.6.7 Diferencia de cuadrados ........................................................................... 323

10.6.8 Cubo perfecto de binomios ........................................................................ 324

10.6.9 Suma o diferencia de cubos perfectos .......................................................... 325

10.6.10 Factorización de expresiones algebraicas con exponentes racionales ............... 327

10.7 Ecuaciones ........................................................................................... 328

10.7.1 Clasificación de las ecuaciones .................................................................. 330

10.7.2 Ecuaciones lineales .................................................................................. 330

10.7.3 Ecuaciones cuadráticas ............................................................................. 334

10.8 Sistemas de ecuaciones ......................................................................... 337

10.8.1 Ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas ..................................... 337

10.9 Ecuaciones con expresiones algebraicas racionales o radicales ............... 341

10.9.1 Ecuaciones con expresiones algebraicas racionales ....................................... 341

10.9.2 Ecuaciones con expresiones algebraicas radicales ......................................... 342

10.9.3 Sistema de ecuaciones no lineales .............................................................. 344

Capítulo 11. Elementos de geometría ................................................. 347

11.1 Conceptos primarios de la geometría .................................................... 347

11.1.1 Punto geométrico ..................................................................................... 347

11.1.2 Recta ...................................................................................................... 348

11.1.3 Semirrecta ............................................................................................... 348

11.1.4 Segmento ................................................................................................ 349

11.1.5 Curva (o línea curva) ............................................................................... 349

11.1.6 El plano .................................................................................................. 349

11.1.7 Semiplano ............................................................................................... 350

11.1.8 Ángulo.................................................................................................... 351

11.2 Figuras geométricas .............................................................................. 355

11.2.1 Clasificación de las figuras geométricas ...................................................... 355

11.3 Segmentos proporcionales .................................................................... 368

11.3.1 Semejanza de polígonos ............................................................................ 370

11.4 Perímetro y áreas de las figuras planas .................................................. 370

11.5 Cuerpos geométricos ............................................................................ 377

11.6 Software de cálculo algebraico y de simulación para la enseñanza de la geometría ......................................................................................... 386

Capítulo 12. Función matemática ...................................................... 389

12.1 Función lineal ...................................................................................... 394

12.2 Función cuadrática ............................................................................... 398

12.3 Función valor absoluto ......................................................................... 403

12.4 Función exponencial ............................................................................ 406

12.5 Función logarítmica ............................................................................. 409

12.6 Función polinómica ............................................................................. 415

12.7 Función racional .................................................................................. 419

Capítulo 13. Nociones de Trigonometría ............................................. 431

13.1 Funciones trigonométricas .................................................................... 431

13.1.1 Valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables ........................ 434

13.2 Representación gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas ... 439

13.2.1 Gráfica de las funciones trigonométricas .................................................... 440

13.2.2 Gráfica de las funciones trigonométricas inversas ........................................ 443

13.3 Identidades trigonométricas .................................................................. 447

13.4 Ecuaciones trigonométricas .................................................................. 453

13.5 Otras relaciones entre funciones trigonométricas ................................... 456

13.5.1 Conversión de producto de funciones trigonométricas a suma de funciones trigonométricas y viceversa ....................................................................... 459

13.6 Resolución de triángulos ....................................................................... 461

13.6.1 Triángulos rectángulos ............................................................................. 461

13.6.2 Triángulos oblicuángulos ......................................................................... 463

Apéndice A1 Alfabeto griego ............................................................ 469

Apéndice A2 Factores de conversión de unidades .................................... 470

Apéndice A3 Constantes físicas fundamentales ...................................... 474

Apéndice A4 Coeficientes de rozamiento .............................................. 475

Bibliografía ................................................................................ 477

17

Prefacio

La enseñanza de la física, las matemáticas, y las diferentes metodologías que pueden ser utilizadas para que los alumnos logren aprendizajes en estas áreas del conoci-miento, no suele ser una tarea fácil, así como escribir un texto que permita apro-ximarse a esos objetivos no será algo menor. Sin embargo, con el presente libro se pretende acercar a los estudiantes a que adquieran una mayor conceptualización de los principios básicos de la física, y que con las herramientas que brinda la matemá-tica: la geometría, el álgebra, las funciones y la trigonometría, entre otras, puedan consolidar el análisis de las fenomenologías que desde la física hacen comprender un poco más nuestra naturaleza.

El texto ha sido pensado para estudiantes que ingresan a los primeros cursos de universidad en el área de física, como son Licenciados en Ciencias Naturales, Inge-nieros o Tecnólogos que estén involucrados con esta área del conocimiento. Hay que precisar que el texto sale de una necesidad de tener un documento que de soporte a los primeros cursos de física, en especial el espacio académico Física y Matemática básica, para los alumnos de la Licenciatura en Física de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, con sede en la ciudad de Bogotá. Por eso, en gran parte del texto se recoge la experiencia que el autor ha tenido a lo largo de los años en este curso u otros en el área de la mecánica clásica, así como con el grupo de inves-tigación que dirige en Física e informática (Fisinfor). Soportado en lo anterior, se plasman conceptos, ideas, ejemplos de aplicación, ejercicios de desafío, trucos, notas didácticas, uso de software de simulación, entre muchas otras intencionalidades en la enseñanza de la física, que aparecen inmersas en el escrito.

El libro se ha dividido en tres grandes temas: Física básica, Física experimental básica y Matemática básica, que a su vez le dan solidez a las tres grandes partes con las cuales se estructura el documento. En cada una de esas organizaciones temáticas, siempre se ha enfatizado en ejemplos y ejercicios que dan soporte a conceptos físicos, incluso en los capítulos dedicados exclusivamente a la matemática básica.

A continuación se explicitan dichas partes teniendo en cuenta su intencionalidad y su alcance temático.

Parte I: Física básicaEsta primera estructura temática intenta consolidar las herramientas fundamen-

tales sobre las cuales se fundamenta la física en general, pero teniendo prioridad en el

18

Alejandro Hurtado Márquez

área de la mecánica clásica sustentada en las leyes de Newton del movimiento. Para no perder la conceptualización de los grandes principios que rigen la física, al final de esta primera parte se dan las nociones de trabajo y energía. La parte I está dividida en seis capítulos que contienen las temáticas: unidades y medidas, escalares y vectores, movimiento unidimensional y bidimensional, leyes del movimiento e introducción a los conceptos de trabajo y energía.

Parte II: Física experimental básicaSiendo la experimentación uno de los pilares para comprender, proponer y/o

verificar las leyes, modelos o teorías físicas, se han estructurado dos capítulos para tal efecto. Uno que hace referencia a la medición, incertidumbre y sus técnicas, en las que se dan las nociones básicas de las cifras significativas, la precisión, los cálculos de incertidumbre absoluta y relativa, al igual que de las incertidumbres porcentua-les. Todo lo anterior se hace, para que el estudiante aprenda las técnicas básicas de cálculos de incertidumbre (mal llamados cálculos de error) y así pueda expresar una medida o de un sinnúmero de datos tomados experimentalmente con sus respectivos rangos de certeza en las prácticas realizadas.

Parte III: Matemática básicaUna rigurosa conceptualización en física requiere de una fundamentación mate-

mática muy buena y por ello los cinco capítulos que constituyen la parte III del texto, están destinados a dar ese soporte. Entre esos capítulos se cuenta con un repaso muy general de los conjuntos numéricos haciendo énfasis en las propiedades de los núme-ros reales. Se amplían las bases y aplicaciones de los números reales, extendiéndose a las expresiones algebraicas y sus operaciones básicas.

Los fenómenos físicos requieren de una representación y visualización y por ello se dedica un capítulo al repaso y conocimiento de elementos de geometría. La mo-delación y teorización de las fenomenologías requiere de un control y relación entre variables, lo cual necesita de una fundamentación de las funciones matemáticas, para hacer en un capítulo un estudio básicos de las mismas. Por último se hace un capítulo sobre nociones de trigonometría, para completar el soporte matemático.

Como ya se mencionó, en esta parte del texto se trató de insertar en cada capítulo y en cada noción matemática explicada, una aplicación de la misma en una fenome-nología, modelo teórico o modelo físico.

Por la estructura del libro, el docente que quiera seguir un primer curso de física, podría empezar por cualquiera de las tres partes y encontrar entonces una posibilidad de trabajar los temas de forma independiente o de manera simultánea.

Al final del texto se incluyen una serie de apéndices que contienen el alfabeto griego, tablas con los factores de conversión de unidades, constantes físicas funda-mentales y tablas de coeficientes de rozamiento entre superficies. Estos complemen-tos ayudarán a dar soporte a algunas ideas básicas tratadas a lo largo del documento.

19

Física – Matemática básica

Otras características del textoSe han introducido en el texto una serie de ayudas y complementos que permiten al

estudiante y al docente a motivarse a seguir no solo el libro, sino también a lograr una motivación en los contenidos y estructuras de la física. A continuación se relacionan algunas otras características que aparecen en la elaboración del presente manuscrito.

Frases célebres: al iniciar cada capítulo se ha colocado una frase célebre de un científico que ha aportado al avance de la física, la ciencia o la matemática, según sea el caso y a su vez se ha insertado en el encabezado del capítulo una foto representa-tiva del mismo.

Ejemplos: en cada capítulo y en la mayoría de las secciones de las temáticas tra-bajadas, se presentan ejemplos ilustrativos que ayudan a consolidar las ideas o con-ceptos. En algunos casos (sobre todo en las temáticas de la física básica), con unos pocos ejemplos se pretende dar una generalización a algunos métodos de solución de problemas, cuando en lugar de usar datos numéricos se usan parámetros o variables, lo que permite hacer postulaciones, predicciones y/o corregir posibles soluciones. De igual manera, en algunos apartados, se insertan ejercicios de aplicación a la temática vista o a otras áreas de la física y distintas disciplinas.

Ejercicios: se han introducido una cantidad apreciable de ejercicios que sirven para fortalecer los conceptos y los modelos tanto físicos como matemáticos. Por la gran utilidad que los ejercicios prestan en el desarrollo y habilidades cognitivas de los estudiantes, ellos se han clasificado según su intencionalidad. Muchos de ellos se convierten en una conexión con otras áreas de la física o de la matemática o en su defecto con otras fenomenologías y por eso se consideran como Ejercicios de aplica-ción. De otro lado cuando el objetivo es consolidar un concepto se recurre al tipo de Ejercicio de conceptualización. Para los alumnos más versados y más inquietos se postulan los Ejercicios de desafío con el fin de probar las habilidades y destrezas en la solución de problemas. En algunas pruebas o exámenes, que se le realizan a los estu-diantes, a veces se formula un enunciado básico de alguna temática y sobre la base de este se hacen varias preguntas de escogencia múltiple con única respuesta, con el fin que el estudiante logre algunas habilidades; ese tipo de ejercicio se le conoce como Ejercicio de contexto y algunos de ellos son presentados a lo largo de los ejercicios de fin de sección o capítulo.

Preguntas de investigación: muchos de los tópicos tratados a veces no son lle-vados u orientados a una complejidad mayor o una mejor conceptualización y por ello se recurre a este tipo de preguntas, con el fin que los estudiantes se interesen por temas más avanzados o de interés en la idea o temática tratada.

Notas: de acuerdo a la experiencia y el trabajo en el aula surgen muchas inquie-tudes de tipo pedagógico o académico y estas se traducen muchas veces en notas de algún interés o de algún propósito. Es así, que cuando se refiere a una Nota impor-tante es porque la temática así lo amerita. Muchas veces se requiere resaltar o hacer hincapié sobre una idea fundamental y se recurre a una Nota conceptual. Cuando la intencionalidad es dejar una ayuda hacia la enseñanza de un concepto o una feno-menología se ha insertado alguna Nota didáctica, con el fin de dejar una seña de la importancia que debe tener dicho concepto en el proceso de aprendizaje.

20


Complementos tecnológicos y uso de Software: por estar inmersos en la era de las tecnologías de la información y la comunicación, a través del grupo de investi-gación Fisinfor, se ha trabajado en el uso de dichas herramientas en los procesos de enseñanza aprendizaje de la física, y a su vez como soporte al trabajo tanto teórico como experimental de la física. Por eso, en varios apartes del libro se hacen suge-rencias sobre el uso de software de simulación o cálculo, en la programación, en los sistemas de adquisición de datos o el uso de hojas electrónicas.

Al final del texto se dan algunas referencias bibliográficas que se consideran de gran utilidad y complemento a lo expuesto en el presente escrito. Dichas referencias se dan teniendo en cuenta la estructura presentada en el libro en sus tres grandes partes y en las ayudas tecnológicas que se pueden usar al respecto. De igual manera se presenta el crédito a las imágenes utilizadas para ilustrar algunas de las ideas o temáticas expuestas.

Los comentarios u observaciones que se deseen hacer al respecto de lo presenta-do y elaborado en el presente texto, se pueden enviar a: [email protected] o [email protected].

Parte 1. Física básica

23

Capítulo 1. Unidades y medidas

“La imaginación es más importante que la sabiduría” Albert Eisntein.

Por naturaleza, el ser humano siempre ha tenido la curiosidad de interpretar, analizar y estudiar el mundo que lo rodea y los fenómenos que allí suceden. Esas interpretaciones son soportadas normalmente en la ciencia, desde cuyo método se busca dar razón a los principios y leyes fundamentales que rigen el comportamiento del universo, al igual que de elaborar las predicciones necesarias para explicar la amplia gama de fenomenologías.

La física y el mundo natural 1.1El estudio y el conocimiento sobre nuestro mundo están enmarcados dentro de las ciencias naturales, siendo la física una de ellas. Cuando se analiza el mundo de las partículas atómicas como los electrones, protones, neutrones, bosones (como el de Higgs), quarks entre otras y todas las interacciones que allí se observan, la física empieza a dar razón de lo que sucede a esa escala.

Por mostrar un ejemplo, en la figura 1.1, se observa una imagen ilustrativa del mundo nanoescalar, en donde los científicos han aportado y están aportando nuevas formas de analizar y buscar las aplicaciones en ese mundo microscópico del orden de los nanómetros.

Pero también, cuando se habla de los planetas, del sistema solar, de nuestra galaxia, de la expansión del universo, de la materia oscura del universo entre otras cosas, la física empieza a dar explicación del macrocosmos, es decir la materia a gran escala. No contenta, con esos eventos o fenomenologías, la física escudriña y examina lo que sucede con los objetos que a diario observamos como el movimiento de los autos, la caída de los cuerpos, el comportamiento del agua en una tubería, la atracción de objetos por efectos eléctricos (atracción o repulsión entre objetos que están electrizados), o magnéticos (atracción o repulsión entre los polos de dos imanes), entre muchos otros fenómenos, lo que podríamos llamar el mundo de lo cotidiano.


24

Figura 1.1. Imagen representativa de la escala nanométrica1

El comportamiento de la materia a diferentes escalas trae consigo una serie de interacciones entre las que podemos apreciar: materia-materia-energía (por ejemplo, objeto que se mueve sobre una superficie horizontal en donde actúa el rozamiento), materia-energía (por ejemplo, efecto Compton) y energía-materia (por ejemplo, efecto fotoeléctrico). Ahora bien, esas interacciones u otras, pueden ser caracterizadas por variables físicas como la fuerza, la cantidad de movimiento entre otras y a su vez por diferentes formas de energía.

Aunque no se pueden generalizar muchas de las fenomenologías aquí expuestas de manera ligera, se asegura que la física sí se ocupa de darles explicación, y en su mayoría basadas en las llamadas leyes o principios de conservación. Todas las teorías físicas actuales están soportadas en estas leyes. Así, cuando se tiene un sistema (conjunto) aislado de objetos que interactúa con otro, se encuentra que (sin importar el tipo o la forma de interacción de los objetos) determinadas cantidades a las que se les denomina energía, cantidad de movimiento lineal (momentum lineal) y cantidad de movimiento angular (momentum angular) total del sistema se conservan, es decir que sus valores permanecen constantes en el tiempo. Estas leyes son tan fundamentales para analizar un sistema de objetos en la naturaleza sin tener que profundizar en cómo interactúan exactamente.

La ciencia y en especial la física se han estructurado sobre la base de diferentes teorías y ellas a su vez en diferentes modelos. Actualmente en la física, la relatividad general abarca la gravedad y otras fenomenologías a escalas de distancias mayores que los átomos, y el modelo estándar, que teóricamente funciona en general para todas las escalas de distancia pero no abarca los efectos gravitacionales, permanecen como los dos modelos principales.

En la práctica estas dos teorías o modelos fundamentales no se utilizan para explicar muchos de los fenómenos que observamos a diario y por lo general por eso

1 http://www.nanoscience.cam.ac.uk/commercial/prototyping


25

se usan en casos muy excepcionales o “exóticos”, y no hacen parte de los primeros cursos de física. En realidad, para dar explicación a distintas fenomenologías se utilizan teorías a veces más básicas: Mecánica newtoniana, Relatividad especial, Teoría de campo electromagnético, Mecánica cuántica o Mecánica estadística.

Cantidades físicas fundamentales 1.2En esta sección se darán las nociones y herramientas básicas para distinguir las principales cantidades físicas fundamentales y la forma de expresarlas en términos de unidades patrón. De igual manera, se utilizará la técnica del análisis dimensional para la revisión de ecuaciones y expresiones algebraicas, que representan variables físicas que caracterizan los diferentes fenómenos naturales. Por último se hará una revisión de cantidades físicas que permiten tener una idea del orden de magnitud de las mismas.

Un sin número de cantidades físicas se pueden expresar en términos de otras, llamadas cantidades físicas fundamentales. Entre ellas contamos con las más comunes: longitud, masa y tiempo. Estas y sus unidades derivadas le han servido a la comunidad científica para estandarizar los procesos y mecanismos de medición de variables que dan razón de los fenómenos que suceden a nuestro alrededor, especialmente en el área de la física llamada Mecánica. Sin embargo para dar mayor cobertura a otras áreas de la ciencias naturales y en especial de la física, como la termodinámica, la óptica, la electricidad y la física atómica, se han establecido otras cantidades fundamentales tales como la temperatura, la intensidad luminosa, la intensidad de corriente eléctrica y la cantidad de sustancia, pues estas dan soporte, explicitan y caracterizan otras fenomenologías.

Las cantidades explicitadas anteriormente constituyen lo que se conoce como Sistema Internacional (SI) de unidades, el cual es el sistema que se viene usando actualmente por toda la comunidad científica mundial.

Han existido otros sistemas de unidades como el sistema métrico, cuyas unidades fundamentales eran longitud, masa y tiempo, y que las unidades patrón de medida eran respectivamente el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s) y por eso se reconocía rápidamente por su abreviatura MKS. No olvidar que estas mismas unidades son usadas por el SI y que sus abreviaturas son las que aparecen entre paréntesis.

El sistema sexagesimal o CGS mantenía en gran parte las mismas unidades fundamentales del sistema MKS, pero sus unidades patrón eran el centímetro (cm), gramo (g) y segundo (s); de ahí su abreviación de CGS.

Nótese las abreviaturas utilizadas (letras entre paréntesis) para las unidades patrón de los respectivos sistemas mencionados, para que se tengan muy en cuenta a la hora de definir cualquier cantidad física derivada de ellos, en el momento de hacer conversión de unidades o en la manipulación con ellas.


26

Por razones más comerciales que científicas, se han mantenido algunos sistemas de unidades, como es el caso del sistema británico o sistema inglés, en donde las unidades patrón para la longitud, masa y tiempo son respectivamente: pie, slug y segundo.

La aplicación inmediata de las cantidades físicas longitud, masa y tiempo a través de sus unidades patrón para obtener la medición y caracterización de variables, constantes o parámetros en una fenomenología específica, parecen ser procesos evidentes e inmediatos. Sin embargo, hay que hacer notar cosas demasiado importantes en la construcción científica y epistemológica de los conceptos. De ahí, que hay que enfatizar que el proceso de medición es de suprema importancia y además de delicado manejo, y que nociones como longitud, masa y tiempo requieren de una discusión que puede ameritar largos años y que permiten dar con una mejor estructuración de los constructos sobre los cuales se fundamenta la ciencia y en especial la física. Por eso, esa discusión esta fuera del alcance y de la intención del presente escrito.

Unidades patrón 1.2.1A continuación se darán las definiciones de las unidades patrón más utilizadas en este texto y que están establecidas en el sistema internacional. Adicionalmente se darán algunos ejemplos que se corresponden con dicha unidad patrón.

Unidad de longitud: metro

El metro (1 m) se define como la longitud que recorre una onda de luz en el vacío en un intervalo de 1/299792458 segundos.

Debe observarse que, como el metro se ajusta de modo que la luz viaja exactamente un metro en 1/299792458 segundos, la rapidez c de la luz es precisamente:

c = 299792458 m/s.

En la tabla 1.1 se muestra una lista de distancias y tamaños, las cuales se relacionan de escalas mayores a las escalas menores.

Tabla 1.1. Algunas distancias y tamaños

Distancia a la galaxia de Andrómeda a)

Diámetro de nuestra galaxia

Distancia de la tierra al sol

2,1x1022 m

7,6x1020 m

1,5x1011 m a) Galaxia de Andrómeda2

2 http://www.bibliotecapleyades.net/imagenes_ciencia/2012_67_03.jpg


27

Radio de la tierra

Longitud de onda de radio (AM)

Diámetro de una moneda de 50 pesos Colombianos b)

Diámetro de un glóbulo rojo sanguíneo c)

Diámetro del átomo

6,4x106 m

≈3x102 m

≈1,7 x10-2 m

7,5x10-6 m

≈1x10-10 m

b) Moneda de Colombia

c) Glóbulo rojo3

Unidad de tiempo: segundo

El segundo (s) se define como el tiempo necesario para que se realicen 9.192.631.770 vibraciones en una transición de la radiación de un átomo de Cesio 133.

Dato técnico importante: Los buenos relojes de cesio, son muy precisos, se atrasan o se adelantan no más allá de un segundo cada 20 millones de años.

En la tabla 1.2 se presenta una lista de algunos intervalos de tiempo típicos.

Tabla 1.2. Algunos datos de tiempo significativos

Edad del universo ≈ 4x1017 s

Edad de la especie humana 7,9x1012 s

Rotación de la tierra alrededor del sol (1 año). 3,2x107 s

Rotación de la tierra (1 día) 8,6x104 s

Tiempo de viaje de la luz desde la luna 1,3 s

Periodo del latido del corazón humano ≈ 0,9 s

Periodo de onda sonora (Nota Do) ≈ 3,8x10-3 s

Periodo de una onda de luz ≈ 2x10-15 s

Duración de la vida media de una partícula inestable ≈ 10-24 s

En la tabla 1.3 se presenta una lista de algunos valores típicos de la masa de objetos que encontramos en la naturaleza y cuya medida ha podido ser obtenida.

3 http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/globulo_rojo.html


28

Unidad de masa: kilogramo

El kilogramo (kg) se define de tal manera que se corresponde con la masa de un cilindro de platino e iridio, con 3,9 cm de diámetro y 3,9 cm de altura, que se conserva en el laboratorio de pesas y medidas en Sévres, Francia.

Tabla 1.3. Algunas masas de objetos en la naturaleza

Universo observable

Sol

Tierra a)

Avión de pasajeros (Airbus A320) b)

Persona (Hombre varón, promedio)

Gota de agua c)

Glóbulo rojo sanguíneo

Protón

Electrón

≈ 1053 kg

2,0x1030 kg

6,0x1024 kg

1,6x105 kg

≈ 70 kg

2,0x10-6 kg

9,0x10-14 kg

1,7x10-27 kg

9,1x10-31 kg

Planeta Tierra4

Airbus A3205

Gota de agua6

Para no olvidar las otras unidades patrón del sistema SI, a continuación se darán las definiciones que fueron adoptadas por la Conferencia General de Pesos y Medidas (Conférence Genérale des Poids et Mesures).

Unidad de corriente eléctrica: amperio

El amperio o ampere (A) se define como la corriente constante que, si se mantiene en dos conductores rectos paralelos de longitud infinita, de sección circular insignificante, y colocados entre sí a una distancia de un metro en el vacío, produce en estos conductores una fuerza igual a 2x10-7 newton por metro de longitud.

4 http://www.esa.int/For_Media/Photos 5 http://es.wikipedia.org/wiki/Airbus_A3206 http://www.imagui.com/a/fotos-de-gotas-de-agua-iMdXodXEL


29

Unidad de temperatura: kelvin

El kelvin (K) se define como la fracción de 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Unidad de intensidad luminosa: candela

La candela (cd) es la cantidad de intensidad luminosa, en una dirección dada, emitida por una fuente de radiación monocromática de frecuencia 540 ×1012 Hz y que tiene una intensidad en esa dirección de 1/683 vatios por estereorradián.

Unidad de cantidad de sustancia: mol

El mol (mol) se define como la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12.

Como estas unidades no serán muy utilizadas en el presente texto, no se darán ejemplos como se hicieron con las otras tres unidades patrón anteriores. Es posible, que ellas aparezcan de manera aleatoria en los ejemplos realizados, ejercicios propuestos o en los ejercicios de desafío.

Es útil para manejar los múltiplos y submúltiplos de las unidades anteriormente vistas, una serie de prefijos establecidos en el Sistema Internacional (SI) y que representan respectivamente potencias de 10. Dichos prefijos y sus respectivas abreviaturas se representan en la tabla 1.4.

Tabla 1.4. Prefijos Sistema Internacional

Prefijo Factor de multiplicación Símbolo

Zetta 1021 Z

Exa 1018 E

Peta 1015 P

Tera 1012 T

Giga 109 G

Mega 106 M

Kilo 103 K

Deca 101 D

Deci 10-1 d

Centi 10-2 c

Mili 10-3 m

Micro 10-6 μ

Nano 10-9 n

Pico 10-12 p


30

Prefijo Factor de multiplicación Símbolo

Femto 10-15 f

Atto 10-18 a

Zepto 10-21 z

Ejemplo 1.1

Un registrador de tiempo de alta precisión muestra en su pantalla digital una medida de 0,375 μs (microsegundos). ¿A cuántos nanosegundos (ns) corresponde? y ¿a cuántos gigasegundos (Gs)?

Solución:

Se hará en primera instancia el paso a nanosegundos teniendo en cuenta que:

1 ns = 10-9 s y 1 μs = 10-6 s

ns0,375x10s10

ns1s0,375x10s0,375 39

6

Ahora, se hará el paso a gigasegundos sabiendo que 1 Gs = 109 s, obteniéndose:

Gs0,375x10s10

Gs1s0,375x10s0,375 159

6

Nótese que en los pasos anteriores se ha utilizado un factor unidad (entre paréntesis), es decir el módulo de la multiplicación (ver propiedades de los números reales, capítulo 9). Adicionalmente la conveniencia de “crear dicho factor” se corresponde con el prefijo del sistema internacional, al cual se desea realizar la conversión entre las mismas unidades. Para resolver el ejemplo anterior hay que tener como soporte matemático la notación científica y el manejo de las propiedades de los exponentes (ver capítulo 9).

Unidades derivadas 1.2.2Se entiende que las unidades derivadas son aquellas que se construyen mediante alguna combinación de las unidades fundamentales.

Hay que hacer claridad, en que no se debe confundir la idea de las unidades derivadas con el concepto de los múltiplos y submúltiplos, que se utilizan tanto en las unidades fundamentales como en las derivadas.

Si las unidades son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud fundamental. Todas las demás son derivadas.


31

Ejemplos de unidades derivadas 1.2.3• Volumen (m3), es el resultado de la potencia cúbica de la longitud.

• Densidad (kg/m3), es el resultado de expresar la masa por unidad devolumen de un objeto o sustancia, por tanto se combina la masa (magnitudfundamental) con volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramopor metro cúbico.

• Fuerza (1 newton, 1 N = 1 kg • m/s2), magnitud que se define a partir de uncaso particular de la segunda ley de Newton cuando la masa del objeto enestudio es constante (fuerza = masa × aceleración). La masa es una de lasmagnitudes básicas y la aceleración es una unidad derivada.

• Energía (1 julio = 1 J = N • m), es la energía necesaria para mover un objetouna distancia de un metro aplicándole una fuerza de un newton.

En la tabla 1.5 se listan una serie de unidades derivadas (sin definición) para ampliar el espectro de unidades usadas en muchas áreas de la física.

Conversión de unidades 1.3En muchas operaciones aritméticas o algebraicas se requiere realizar diferentes cálculos, que depende del sistema de unidades utilizadas y en algunos de ellos se hace necesario convertir unidades de un sistema de unidades a otro. Para tales conversiones se necesita tan solo realizar unas sencillas sustituciones en los dos sistemas (una lista bastante amplia de cantidades equivalentes en diferentes sistemas se pueden observar en el apéndice A.2).

Aunque muchas veces se dan procedimientos de ayuda para realizar el proceso de conversión de unidades de un sistema a otro, es recomendable para el alumno ejercitarse haciéndolo cuando sea necesario. La clave estará siempre en ir multiplicando por 1 (módulo de la multiplicación, ver propiedades de los números reales en el capítulo 9) de acuerdo a la conveniencia de la conversión, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Tabla 1.5. Unidades derivadas del Sistema Internacional

Magnitud física Nombre de la unidad

Símbolo de la unidad

Expresada en unidades derivadas

Expresada en unidades

fundamentales

Área metro cuadrado m2 m2

Volumen metro cúbico m3 m3

Densidad kg·m-3

Frecuencia Hertz Hz s-1

Velocidad Lineal, Rapidez Lineal

m·s-1

Velocidad Angular, rad·s-1 s-1


32


Símbolo de la unidad

Expresada en unidades derivadas

Expresada en unidades

fundamentales

Rapidez angular

Aceleración m·s-2

Fuerza newton N m·kg·s-2

Momento de fuerza N·m m2·kg·s-2

Presión pascal Pa N·m-2 m-1·kg·s-2

Energía, trabajo, calor

julio J N·m m2·kg·s-2

Potencia vatio W J·s-1 m2·kg·s-3

Carga eléctrica coulomb C A·s

Diferencia de Potencial eléctrico

voltio V J·C-1 m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica ohmio Ω V·A-1 m2·kg·s-3·A-2

Conductividad eléctrica

siemens S A·V-1 m-2·kg-1·s3·A2

Capacitancia eléctrica

faradio F C·V-1 m-2·kg-1·s4·A2

Flujo magnético weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1

Inductancia henrio H V·A-1·s m2·kg·s-2·A-2

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereorradián sr

Flujo luminoso lumen lm cd·sr

Luminosidad lux lx lm·m-2 cd·sr·m-2

Ejemplo 1.2

Una persona camina una distancia de 135 m. ¿Cuántos km recorrió?

Solución:

Las dos unidades que se desean transformar son m y km, la equivalencia (no olvidar consultar la tabla del apéndice A.2) entre ellas es:

1000 m = 1 km


33

m1000km11

Al término encontrado se le conoce como factor de conversión. Dicho factor se usa para obtener:

km0,135m1000

km1m1351m135m135

En general un factor de conversión es una operación matemática, para hacer los respectivos cambios de unidades de la misma magnitud entre sistemas de unidades, o para calcular la equivalencia entre los múltiplos y submúltiplos de unadeterminada unidad de medida.

Ejemplo 1.3

La densidad del agua es 1,0 g/cm3. ¿Cuál es la densidad del agua en kg/m3?

Solución:

Siguiendo un procedimiento como el del ejemplo anterior, pero teniendo presente que la equivalencia es entre varias unidades, se tiene:

g10kg1

g1000kg11 3 y

36

3

32

3

3

3

m10cm1

m)(10cm1

m)(0,01cm1

1

336

3

333 mkg1000

m10cm1

g10kg1

cmg1

cmg1

Ejemplo 1.4

Los siguientes datos son tomados de un manual técnico de un equipo de bombeo de agua en un carro de bomberos. La rapidez de salida del flujo de agua es de 95 litros/min en una boquilla de 0,95 cm de diámetro y la presión en la boquilla es de 3,4 atm. ¿Cuáles son las especificaciones técnicas de dicho equipo en unidades del sistema internacional?

La unidad que se quiere convertir es m, por lo cual hacemos el siguiente despeje:


34

Solución:

Primero se resolverá la conversión de unidades para la rapidez de flujo (también llamado caudal), así:

sm1,58x10

s60min1

litros10m1

minlitros95

minlitros95

33

3

3

Para el diámetro de la boquilla obtenemos:

m9,5x10cm100

m10,95cm0,95cm 3

Y para la presión expresada en pascales (Pa), se tiene:

Pa3,44x10atm1

Pa1,013x10atm3,4atm3,4 55

Análisis dimensional 1.3.1Para referirse a una cantidad y el tipo de unidad para especificarla, en física se requiere hablar de la dimensionalidad de dicha cantidad. En la tabla 1.6 se puede observar un listado de diferentes cantidades físicas en términos de las unidades fundamentales del Sistema Internacional y por ende en términos de tres (para el caso de las cantidades mostradas) dimensiones fundamentales, longitud (L), masa (M) y tiempo (T).

Tabla 1.6. Unidades y dimensiones en el SI de magnitudes físicas


Símbolo de la unidad Unidades SI Dimensionalidad

Frecuencia hertz Hz T-1

Velocidad Lineal, m/s = m·s-1 L/T = L·T-1

Aceleración m/s2 = m·s-2 L/T2 = L·T-2

Fuerza newton N kg m/s2 L·M·T-2

Presión pascal Pa N·m-2 L-1·M·T-2

Energía, trabajo, calor

julio J N·m L2·M·T-2

Potencia vatio W J/s = J·s-1 L2·M·T-3

Ángulo plano radián* rad

*Aunque figura como unidad para los ángulos, no posee dimensionalidad y por eso se dice que el radiánes una unidad adimensional.


35

La iconología para indicar la dimensionalidad de una cantidad física es normalmente el corchete [ ]. Por ejemplo v se entiende como ladimensionalidad de la cantidad física v que para nuestro caso representa la rapidezy por tanto:

1 LTT

Lv

Sobre la base de lo expuesto sobre las dimensiones, se puede decir que el análisis dimensional es el proceso de manejo de las dimensiones de un parámetro, una constante, una ecuación, una expresión o una cantidad física, y es el resultado de una combinación algebraica de L, M y T, para los casos desarrollados en el presente texto, en donde la mayoría de las cantidades físicas tratadas están enmarcadas en el ámbito de una de las áreas de la física, como lo es la mecánica.

Ejemplo 1.5

Supongamos que la posición (expresada en metros) de un objeto que se mueve en línea recta en función del tiempo (expresado en segundos) viene dada por la expresión: 2)( ctbtatx , en donde ,, ba y c son constantes. ¿Cuáles sonlas dimensiones de dichas constantes?

Solución:

La ecuación debe ser consistente en términos dimensionales, por lo tanto cada término debe tener la misma dimensionalidad, de tal manera que:

2ctbtaLx

De manera inmediata se observa que La y que por tanto corresponde a unaposición.

Tomando el término bt , se tiene que: Ltbbt de dónde seobtiene:

1 LT

T

L

t

Lb

Por las unidades obtenidas b debe ser la magnitud de la velocidad (rapidez).

Finalmente, Ltctcct 222 , haciendo el despeje se llega a:

222

LTT

L

t

Lc

Es decir, que la constante c debe corresponder a la magnitud de una aceleración.


36

Ejemplo 1.6

La rapidez (v) de propagación de una onda en una cuerda depende matemáticamente de elevar a un cierto exponente la magnitud de la tensión (F) en la cuerda y de expresar con un exponente la densidad lineal de masa (μ) de la cuerda (masa por unidad de longitud). Ver figura 1.2.

Figura 1.2. Ondas en una cuerda

Suponiendo que existe una constante de proporcionalidad k que es adimensional y que relaciona las cantidades físicas, se pide encontrar por análisis dimensional una expresión para la rapidez de la onda en términos de k, F y μ.

Solución:

La relación matemática debe tener la forma: nmkFv y las dimensiones decada una de las variables son respectivamente:

1 LTv ; 2 MLTF ; 1 ML y

k: Adimensional

Por lo tanto, se tiene que cumplir que:

nmMLMLTLT 121

Operando el lado derecho de la expresión anterior se obtiene:

mnmnm TLMLT 21

Para que el análisis dimensional sea coherente se debe cumplir que los exponentes de cada una de las cantidades físicas sea igual, es decir que:

0 nm 1 nm y m21


37

De donde se deduce que 21

m y21

n , lo cual se puede comprobar

fácilmente.

Así, la expresión para la rapidez de la onda en una cuerda, de acuerdo al análisis dimensional, debe ser de la forma:

21

21

kFv

La expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera,

F

kv

En un curso formal de ondas se puede demostrar por métodos de dinámica que k=1 y que la ecuación se corresponde con la obtenida por análisis dimensional. Esto muestra, lo fundamental del análisis dimensional no solo en el balance de las dimensiones de las cantidades físicas en una expresión, sino también la gran posibilidad de la construcción de expresiones algebraicas que dan explicación a muchos fenómenos físicos.

Ejemplo 1.7

Los sistemas oscilantes son muy frecuentes de encontrar en nuestra cotidianidad. Uno de los más tradicionales es el observado en la figura 1.3. Un objeto se adhiere a un resorte y se le pone a oscilar en una superficie en donde la interacción de dicho objeto con la superficie no presenta fricción.

Figura 1.3. Oscilaciones sistema objeto - resorte

Bajo ciertas condiciones, el sistema oscila de manera armónica simple y la posición x del objeto a partir de su posición de equilibrio en función del tiempo t viene dado por la expresión: )()( tsenAtx . ¿Cuáles son las dimensiones de A, ω y φ?


38

Solución:

Por estar la posición x descrita por una función trigonométrica, hay que recordar que el término t argumento (llamado así en el argot de la matemática) y faseangular (en el argot de la física) debe ser adimensional, se tiene:

ALx

Nótese que A posee unidades de longitud y se le conoce como la amplitud de la oscilación.

El argumento de la función trigonométrica seno no tiene dimensiones y la forma de representar este hecho es: 1 t . Hay que precisar que el utilizar elnúmero 1 significa ser adimensional y no que sea igual a dicha cantidad.

Por tanto, 1t y 1 , debido a que cada uno de estos términos debeser adimensional, se llega a:

1t entonces 111 T

Tt

¡Cuidado¡ La manipulación del argumento de la función trigonométrica para este caso es demasiado

importante. Aunque la dimensión de ω es 11 TT

, es decir contiene solo dimensiones de tiempo, en

física se suele expresar en rad/s y a ω se le conoce como rapidez angular (en algunos casos, frecuencia angular). Adicionalmente φ es adimensional, pero se suele expresar en rad por tratarse de lo que en física se llama ángulo de desfase. Es decir la suma de los dos términos que componen la fase angular (argumento) se realiza en radianes. Sin embargo es posible que la suma se realice en grados haciendo la respectiva conversión.

Ejercicios

1. Convierta el volumen de 9,5pulg a m3. Recuerde que 1pulg = 2,54cm y que1cm = 0,01m = 10 m.2. La masa del sol es aproximadamente 1,99x1030 kg y la masa del hidrógeno, del

cual está compuesto principalmente el sol es de 1,67x10-27kg.

¿Cuántos átomos de hidrógeno hay en el sol?

3. ¿Cuántos segundos hay en un año?

4. El radio promedio de la tierra es de 6,37x106 m y el de la luna es de 1,74x108

cm. Con estos datos calcule:

La proporción entre el área de la tierra y la luna.

La proporción entre los volúmenes de la tierra y la luna.


39

Suponga que los dos astros tienen forma esférica y recuerde que el área de la

esfera viene dado por la expresión 24 rA y su volumen por 3

34

rV .

5. Complete la siguiente tabla con el símbolo apropiado (<, >, = )

Símbolo

36 km/h 10000 cm/s

320 ps 32 ns

2700 kg/m3 27000 g/cm3

80 Dinas 0,08 N

4,5MW 4500 W

6. Suponga que le dicen que un cilindro de radio r y altura h tiene un volumendado por πr3h. Explique por qué esta información no es correcta.

7. Una guía turística dice que la pendiente de una vereda en una montaña es de120 metros por kilómetro. ¿Cómo podemos expresar esto con un número sinunidades?

8. La componente en el eje x de la velocidad medida de un objeto es2)( ttv x . Si la componente de la velocidad tiene unidades de m/s y t

es el tiempo el cual viene expresado en s. ¿Cuáles deben ser las unidades de α y β?

Ejercicios de aplicación

1. Un objeto tiene una masa de 15 g y tiene la forma de un cono de 3 cm de radio y6 cm de altura. ¿Cuál es su densidad en kg/m3?

2. La masa del planeta Saturno es de 5,64x1026 kg y su radio es 6x107 m.

a. Calcule la densidad de Saturno suponiendo que este es totalmente esférico.

b. Si el planeta se colocara en un océano lo suficientemente grande, ¿flotaría?Explique.

3. Una estructura de concreto tiene la forma de un tronco de cono. Sus diámetrosson respectivamente 3,2 m y 2,8 m y la altura es de 4,2 m. ¿Cuál sería el radio yla altura de una estructura en forma de cilindro, que tenga el mismo volumenque la del tronco de cono, a sabiendas que el radio debe ser la cuarta parte de sualtura?

4. Un auto A se mueve con rapidez constante de 72 km/h. Otro auto B recorre unadistancia de 100 m en 5 minutos también con rapidez constante. ¿Cuál de los dos autos tiene más rapidez? Sustente numéricamente su respuesta.

5. La energía potencial asociada a un planeta que gira alrededor del sol se puedeexpresar como:

física-matemática básica · 2016-12-16 · agradecimientos a cada uno de mis estudiantes con los...

Documents