FÍSICA DE PROCESOS UNIDAD Nº III

Fundamentos de la Física Clásica

SEMANA 6

Desarrollo

Movimiento circular uniforme

Relación entre movimiento circular y lineal.

Para entender correctamente el concepto de movimiento circular uniforme, es

necesario tener claro algunas concepciones anteriormente definidas. Es por esto, que en

caso de no recordar ideas como rapidez, velocidad, aceleración, trayectoria, movimiento

uniforme acelerado y las Leyes de Newton, se recomienda repasar aquellos conceptos de

forma previa.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Si recordamos lo planteado bajo la Primera Ley de Newton, seremos capaces de

reconocer que si un objeto se encuentra en reposo o se mueve bajo una trayectoria

rectilínea y con velocidad constante, entonces la suma vectorial de todas las fuerzas

ejercidas sobre este cuerpo es cero. Por otra parte, cuando estudiamos el concepto de

movimiento uniforme acelerado nos dimos cuenta de que es posible describir la

velocidad y posición de un objeto en coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦) para tiempos

superiores a un tiempo inicial 𝑡0 siempre y cuando en este tiempo inicial, conozcamos la

posición del objeto 𝑥𝑜⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) ,los valores de velocidad en ambos ejes 𝑣𝑜⃗⃗⃗⃗ = (𝑣𝑜𝑥 , 𝑣𝑜𝑦),

y además, los valores constantes de aceleración también en ambos ejes𝑎 = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ). Con

los datos anteriores sabíamos que:

En el eje x En el eje y

Posición 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜) +

(𝑡 − 𝑡𝑜)2

2𝑎𝑥 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦(𝑡 − 𝑡𝑜) +

(𝑡 − 𝑡𝑜)2

2𝑎𝑦

Velocidad 𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 + (𝑡 − 𝑡𝑜)𝑎𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + (𝑡 − 𝑡𝑜)𝑎𝑦

Aceleración 𝑎𝑥 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑦 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Si ahora, unimos ambos conceptos, el de velocidad constante descrito por la

Primera Ley de Newton, y las ecuaciones cinemáticas del movimiento uniforme

acelerado, podemos definir el movimiento rectilíneo uniforme como un caso particular

del movimiento uniforme acelerado, pero bajo aceleración nula, y velocidad constante.

Lo anterior nos permitirá describir la posición de un objeto cuando la sumatoria de todas

sus fuerzas es cero.

Si en las ecuaciones del movimiento acelerado ingresamos un valor de 𝑎 = 0,

tendremos las ecuaciones de un movimiento rectilíneo uniforme, vale decir:

En el eje x En el eje y

Posición 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜) 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦(𝑡 − 𝑡𝑜)

Velocidad 𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Aceleración 𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = 0

Las ecuaciones anteriores, indican que la posición de un objeto que se encuentra

bajo un movimiento rectilíneo uniforme puede ser determinada para todo tiempo

posterior al tiempo inicial 𝑡0.

Ejemplo 1. Consideremos que en el instante de tiempo 𝑡0 = 1[𝑠]. el objeto de la

Figura 1 se encuentra en una posición inicial situada a 3 [m] del origen del eje de

coordenadas de referencia. Si este objeto posee una velocidad con una dirección

exclusivamente horizontal (en dirección de x) de magnitud 2[𝑚

𝑠], ¿cuál será su posición a

los 6 segundos?

Figura1 Ejemplo 1

Resolución

Primero, como el objeto descrito en este ejemplo no posee aceleración, podemos

asumir entonces que la sumatoria de fuerzas ejercidas sobre este cuerpo es cero (Primera

Ley de Newton). Por ende, la posición de este objeto queda descrita por las ecuaciones de

un movimiento rectilíneo uniforme, vale decir:

𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 = 2 [𝑚

𝑠] 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 = 0

𝑥 = 3 + 2(𝑡 − 1) 𝑦 = 0 + 0(𝑡 − 𝑡𝑜) = 0

Como "𝑣𝑜𝑦" e "𝑦" son iguales a cero, el movimiento del objeto se realizará solo en la

dirección del eje"𝑥", y por lo tanto, si evaluamos "𝑥" en 𝑡 = 6[𝑠] tendremos, la posición

del objeto a los 6 segundos será:

𝑥 = 3 + 2(6 − 1) = 3 + 2 ∙ 5 = 3 + 10 = 13[𝑚]

Por lo tanto, a los 6 segundos el objeto se encontrará a 13[m] del origen de coordenadas.

Figura 2 Posición final a los 6 [s]

Ejemplo 2. Si ahora, el mismo objeto del ejemplo anterior, se encuentra en la misma

posición inicial (3,0), en el mismo tiempo inicial 𝑡0 = 1[𝑠], pero ahora posee una velocidad

inicial de 𝑣0⃗⃗⃗⃗ = (𝑣𝑜𝑥 = 2 ,𝑣𝑜𝑦 = 1)¿Cuál será la nueva posición del objeto a los 6 segundos?

Dibuje su trayectoria.

Figura 3 Ejemplo 2

Resolución

𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 = 2 [𝑚

𝑠] 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 = 1 [

𝑚

𝑠]

𝑥 = 3 + 2(𝑡 − 1) 𝑦 = 0 + 1(𝑡 − 𝑡𝑜)

Como ahora existe una componente de velocidad en el eje "𝑦", el objeto tendrá

una componente de posición tanto en el eje "𝑥" como en el eje "𝑦", por ende, al evaluar

las ecuaciones de posición en un tiempo "𝑡" de 6[𝑠] tendremos que:

𝑥 = 3 + 2(6 − 1) = 3 + 2 ∙ 5 = 3 + 10 = 13[𝑚]

𝑦 = 0 + 1(6 − 1) = 0 + 1 ∙ 5 = 0 + 5 = 5[𝑚]B

Por lo tanto, a los 6 segundos, el objeto se encontrará en la posición (13,5)

respecto al origen.

Como la trayectoria del objeto se describe bajo un movimiento rectilíneo

uniforme, esta será lineal, tal como se indica en la Figura 4.

Figura 4:Trayectoria del objeto del ejemplo 2

Finalmente, hasta ahora, hemos sido capaces de describir 2 tipos de movimientos:

1) El movimiento rectilíneo uniforme, caracterizado por una trayectoria lineal y velocidad constante.

2) El movimiento uniforme acelerado, con trayectorias cuadráticas o parabólicas, velocidades que varían linealmente en función de la aceleración y aceleraciones de valor constante.

Tal como fue mencionado anteriormente el movimiento rectilíneo uniforme puede

considerarse como un caso particular del movimiento uniforme acelerado y puede ser

reconocido como un movimiento de carácter lineal, puesto que su trayectoria así lo es.

Movimiento circular uniforme (MCU)

Si recordamos de unidades anteriores, la velocidades una magnitud vectorial, la

cual posee magnitud y dirección. Para el movimiento rectilíneo uniforme, se tendrá una

trayectoria lineal (recta), con velocidad constante en magnitud ydirección, de manera

similar, el movimiento circular uniforme poseerá una trayectoria circular, con una

magnitud de velocidad tangencial constante, pero con dirección variable.

Para entender el concepto de velocidad tangencial, definiremos previamente lo

que significa una recta tangente. Una recta tangente es aquella que describe su

intersección con otra curva únicamente en un solo punto, para entenderlo de manera

gráfica podemos observarla siguiente Figura.

Figura 5: Interpretación gráfica de recta tangente

En el caso particular de una circunferencia, una recta tangente a un punto

cualquiera de la circunferencia, siempre será perpendicular al radio que une el centro de

la circunferencia con el punto de tangencia.

Figura 6: Recta tangente a una circunferencia

Habiendo aclarado lo anterior, podemos definir que la velocidad tangencial de un

objeto que describe una trayectoria circular, es un vector de velocidad cuya dirección será

siempre perpendicular al radio que describa la posición del objeto en un instante de

tiempo determinado para aquella trayectoria circular. En el caso de un movimiento

circular uniforme, la magnitud de este vector será constante para cualquier instante de

tiempo. De ahora en adelante, cuando hablemos de movimiento circular uniforme, y

mencionemos el concepto de velocidad, nos estaremos refiriendo a la velocidad

tangencial.

Figura 7: Ejemplo gráfico para identificar Velocidades tangenciales

Finalmente, de manera más formal, definiremos el Movimiento circular uniforme

como aquel que posea una trayectoria circular, rapidez constante, y dirección de

velocidad variable. En esta definición, está dicho de manera implícita, que la magnitud de

la velocidad tangencial o simplemente velocidad, calza con el concepto de rapidez.

Un ejemplo sencillo de movimiento circular uniforme es representado en la Figura

8, la cual, muestra a una joven dándole vueltas a una piedra atada a un cordel, la piedra,

rota con rapidez constante.

Figura 8: Ejemplo de movimiento circular uniforme

Si bien tanto en el movimiento circular uniforme como en el movimiento

rectilíneo uniforme la rapidez del objeto en movimiento se mantiene constante, diferente

es el caso para la velocidad. En el movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad también

se mantiene constante, pero en el movimiento circular uniforme, la dirección de la

velocidad varía para cada instante de tiempo, tal como se observa en la Figura 7.

Hasta ahora, hemos concluido que el movimiento circular uniforme posee una

velocidad de magnitud constante, pero de dirección variable. Si recordamos los

conceptos asociados a la Primera y Segunda Ley de Newton, podemos inferir, que si

existen cambios de dirección o de magnitud en la velocidad, entonces debe existir la

presencia de algún tipo de aceleración.

Si reconocemos que existe una aceleración asociada, podemos intuir que el objeto

sometido a esta, NO se encontraran ni en estado de reposo, ni bajo un movimiento

rectilíneo uniforme, por ende, la sumatoria de fuerzas asociadas a este cuerpo NO puede

ser cero. Por lo tanto, para que exista un movimiento circular uniforme, DEBE existir una

fuerza y aceleración asociadas para que este tipo de movimiento se mantenga. La

presencia respectiva de esta aceleración y fuerza asociada significan la principal diferencia

entre un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento circular uniforme.

Aceleración Centrípeta

Para entender la presencia de aceleración en este movimiento, volveremos a

recalcar que no debemos confundir el concepto de “rapidez constante” con el de

“velocidad constante”. Para que exista una aceleración nula, es la velocidad la que debe

mantenerse constante, no la rapidez, y como la velocidad es una magnitud vectorial, es el

vector completo el que debe mantenerse invariante, vale decir, cuando la velocidad se

mantenga constante tanto en dirección como en magnitud, recién podremos afirmar que

existe una aceleración nula. Si mezclamos el concepto de aceleración no nula y la

definición de movimiento circular uniforme, fácilmente notaremos que si este último se

caracteriza por un vector de velocidad cuya magnitud se mantiene constante, pero a la

vez, su dirección varía, entonces NO podremos inferir que existe una aceleración NO nula.

Hasta ahora, hemos concluido que un cuerpo bajo un movimiento circular

uniforme, debe estar sometido a una aceleración tal, que se logre un vector de velocidad

de magnitud constante, pero que a la vez se modifique su dirección. Con esta premisa

clara, es natural que esto nos surjan preguntas como ¿En qué dirección se encuentra esta

aceleración?,¿Cuál será su magnitud?, etc.

¿En qué dirección se encuentra esta aceleración?

Como ya sabemos, la magnitud de la velocidad debe mantenerse constante, esto implica

que no debe existir una componente de aceleración paralela al vector velocidad, puesto

que, si esta existiera, la magnitud de la velocidad se vería afectada en esa dirección. En la

Figura9,se muestra un movimiento con trayectoria circular, cuya aceleración puede

descomponerse en elementos paralelos y perpendiculares al vector velocidad. En ella, se

observa claramente que no es posible mantener una magnitud de velocidad constante.

Figura 9: Movimiento de trayectoria circular con componentes de aceleración paralelas y perpendiculares a la velocidad

Por otro lado, si consideramos un movimiento con trayectoria circular con una

aceleración siempre perpendicular al vector velocidad, y siempre apuntando hacia el

centro de la circunferencia de trayectoria, entonces si podremos mantener la magnitud

del vector velocidad con una magnitud constante.

Figura 10: Movimiento circular con aceleración perpendicular al vector velocidad.

Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme la dirección de la aceleración

siempre será perpendicular a la velocidad tangencial y en dirección hacia el centro de la

circunferencia de trayectoria.

¿Cuál es la magnitud de esta aceleración?

(a) (b)

Figura 11: Base para el establecimiento de relaciones geométricas que nos permitirán llegar a una expresión para la aceleración centrípeta.

Mediante relaciones geométricas que pueden ser establecidas a partir de las Figuras11a y

11b podemos expresar a la siguiente proporción:

∆𝑣

𝑣=

∆𝑟

𝑟

(1)

Por otro lado, como ya es sabido la magnitud de la aceleración se puede calcular como

|𝑎|⃗⃗ ⃗ =|∆𝑣 |

|∆𝑡|

(2)

Si manipulamos algebraicamente las ecuaciones 1y 2podemos llegar a una magnitud de

aceleración equivalente a:

|𝑎 | =∙

𝑣2

𝑟[𝑚

𝑠2]

(3)

Por lo tanto, la magnitud de aceleración presente en un movimiento circular

uniforme posee el valor entregado por la ecuación 3

Finalmente, habiendo respondido estas 2 preguntas podemos definir formalmente

la aceleración centrípeta 𝒂𝒄⃗⃗⃗⃗ , con dirección perpendicular a la velocidad tangencial y de

magnitud |𝒂𝒄⃗⃗⃗⃗ | =𝒗𝟐

𝒓.

Fuerza Centrípeta

Tal como hemos venido diciendo, para mantener un movimiento circular

uniforme, es necesario una aceleración tal, que se pueda mantener la magnitud de la

velocidad constante, para todo instante y posición del objeto. Aquella aceleración es la

llamada aceleración centrípeta, cuya dirección será siempre perpendicular a la velocidad

tangencial del objeto y de magnitud 𝑣2/𝑟[𝑚/𝑠2].

De acuerdo con la segunda Ley de Newton, si existe una aceleración, esta será

proporcional a una fuerza, con una constante de proporcionalidad que representa el

estado inercial del objeto sometido a esta aceleración. Esta constante de proporcionalidad

es conocida como la masa. Para este caso, en un movimiento circular uniforme, la fuerza

asociada a la aceleración centrípeta es llamada como fuerza centrípeta, la cual, posee la

misma dirección que la aceleración y tendrá una magnitud en base a la ecuación

planteada bajo la segunda Ley de Newton y la ecuación (3):

𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑚 ∙𝑣2

𝑟[𝐾𝑔

𝑚

𝑠2= 𝑁]

En resumen, un movimiento circular uniforme, es aquel que queda descrito por una

trayectoria circular, con una magnitud de velocidad tangencial constante, la cual es

lograda mediante una aceleración perpendicular a esta, de nombre aceleración

centrípeta, la cual, se encuentra asociada a una fuerza externa al movimiento llamada

comúnmente fuerza centrípeta. Esquemáticamente, la trayectoria, velocidad

tangencial, aceleración centrípeta y fuerza centrípeta se pueden observar en la

Figura14, para 2 instantes distintos de tiempo.

Figura 12: Expresión gráfica para: velocidad tangencial, aceleración centrípeta, fuerza centrípeta y trayectoria

Las ecuaciones que determinan la magnitud de la aceleración y fuerza centrípeta son:

Aceleración centrípeta Fuerza centrípeta

|𝑎𝑐⃗⃗⃗⃗ | =𝑣2

𝑟[𝑚

𝑠2] 𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑚 ∙

𝑣2

𝑟[𝑁]

Donde "𝑣 "es la magnitud constante de la velocidad tangencial, "𝑟" es el radio de

la trayectoria circular y "𝑚" es la masa del objeto.

Ejemplo 3. Basándonos en la Figura 8, imaginemos que una pelota de 4 [Kg] se hace girar

por medio de una cuerda de 2[m], si la velocidad tangencial posee una magnitud de

1 [𝑚

𝑠]¿Cuál es la tensión de la cuerda?

Resolución

Todo movimiento circular uniforme está sujeto a una fuerza externa, siendo para

este caso la fuerza ejercida por la cuerda sobre la pelota, inicialmente reconoceremos a

esta fuerza como tensión, pero a la vez, para este caso específico la tensión ejercida por la

cuerda sobre la pelota equivale a la fuerza centrípeta del movimiento.

Para calcular la fuerza centrípeta necesitamos, la masa, el radio de la trayectoria, y la

aceleración centrípeta.

La masa se entrega en el enunciado siendo esta de 4 [Kg]

El radio asociado a la trayectoria estará dado por el largo de la cuerda,

correspondiente a 2[m]

La magnitud de la aceleración centrípeta estará dada por la velocidad tangencial,

cuya magnitud fue dada en el enunciado y de valor 1 [𝑚

𝑠] y por el radio de la

trayectoria de 2 [m]

|𝑎𝑐⃗⃗⃗⃗ | =𝑣2

𝑟=

12

2=

1

2= 0.5 [

𝑚

𝑠2]

Finalmente, la tensión de la cuerda, o fuerza centrípeta queda:

|𝐹𝑐⃗⃗ ⃗| = 𝑚 ∙ |𝑎𝑐⃗⃗⃗⃗ | = 4 ∙ 0.5 = 2[𝑁]

Ejemplo 4Una pequeña esfera de masa m se encuentra suspendida a una cuerda de largo L. La esfera gira con velocidad constante de magnitud 𝑣 en un círculo horizontal de radio 𝑟 como muestra la siguiente figura. Encuentre una expresión para 𝑣 en términos de la geometría.

Figura 13: Representación gráfica del ejemplo 4

Resolución Para resolver este problema es necesario realizar un diagrama de cuerpo libre sobre la esfera. Para ello haremos una descomposición en los ejes 𝒙 e 𝒚 como se muestra en la Figura 16

Figura14 Diagrama de cuerpo libre descompuesto en eje x e y

Como el objeto siempre se encuentra a la misma altura, las fuerzas en el eje 𝒚 deben encontrarse equilibradas, vale decir:

∑𝐹𝑦 = 𝑇 cos(𝜃) −𝑚𝑔 = 0

O 𝑇 ∙ cos(𝜃) =𝑚 ∙ 𝑔 [𝑁]

Por otro lado, para que la esfera gire con una trayectoria circular y magnitud de velocidad constante, debe existir una fuerza centrípeta. Esta fuerza, puede ser expresada como:

𝑚 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑚 ∙𝑣2

𝑟[𝑁]

Por ende, si expresamos la sumatoria de fuerzas en el eje 𝒙 tendremos:

∑𝐹𝑥 = 𝑇 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙𝑣2

𝑟= 𝑚 ∙ 𝑎𝑐 [𝑁]

Si ahora dividimos

𝑇 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙𝑣2

𝑟

𝑇 ∙ cos(𝜃) =𝑚 ∙ 𝑔

Tendremos, 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑐𝑜𝑠(𝜃)=

𝑣2

𝑟 ∙ 𝑔

Si luego despejamos 𝑣

𝑣 = √𝑟 ∙ 𝑔 ∙𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑐𝑜𝑠(𝜃)[𝑚

𝑠]

Finalmente, solo nos queda determinar el valor de 𝑟 en función de las variables geométricas, para lograrlo, podemos expresar"𝑟" en función de L y 𝜃 de la siguiente forma

𝑟 = 𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Quedando de forma definitiva la magnitud de la velocidad tangencial como:

𝑣 = √𝐿 ∙ 𝑔 ∙𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Frecuencia, Periodo, rapidez angular y rapidez tangencial.

Concepto de periodo

Genéricamente, cuando nos refiramos al concepto de periodo, nos situaremos en

el contexto de un proceso que se repite de manera cíclica en función del tiempo. Si en

este proceso, nos situamos en un estado específico, y medimos el tiempo que se demora

el proceso en volver a ese estado específico, entonces estaremos midiendo el periodo

(T). Como nos encontramos midiendo tiempo, entonces el periodo se medirá en unidades

de tiempo, vale decir, segundos [s], minutos [min], horas [hrs],etc.

Una definición formal de periodo puede ser descrita como:

Periodo = El tiempo necesario para que se complete un ciclo repetitivo.

Ejemplo 5. Imaginemos un reloj como el de la siguiente Figura. Este posee una manecilla

horaria, un minutero y un segundero. ¿Cuál es el periodo de cada manecilla?

Figura 15: Reloj del ejemplo 5

Resolución

En el caso del segundero, sabemos que este realiza una vuelta completa en 60 [s],

por ende, su periodo corresponde a esos 60[s], dicho de otra forma, cada 60 segundos, el

segundero pasará por el mismo número que se encontraba 60 segundos atrás. Por

ejemplo, en el caso de la imagen, el segundero se encuentra en el número ocho, si

sabemos que su periodo es de 60 segundos, entonces podemos anticipar que 60 segundos

después de la imagen, el segundero se encontrará nuevamente pasando por el número 8.

𝑇𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑜 = 60[𝑠]

En el caso del minutero, este demorará 60[min] en volver a la misma posición, por

ende, su periodo será de 60[min]

𝑇𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 = 60[𝑚𝑖𝑛]

De la misma forma, el periodo de la manecilla horaria es de 24 [hrs]

𝑇𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 = 24 [ℎ𝑟𝑠]

El concepto de periodo también puede extenderse a un movimiento circular

uniforme, ya que la trayectoria en este tipo de movimiento es cíclica.

Es importante notar, que la distancia recorrida en un ciclo de movimiento circular

uniforme coincide con el diámetro dela circunferencia de trayectoria. Si conocemos el

diámetro de esta circunferencia y además sabemos el tiempo que demora el objeto en

recorrer este diámetro (periodo), entonces seremos capaces de conocer la magnitud de la

velocidad tangencial o rapidez del objeto.

Si volvemos al concepto de rapidez media, tenemos que:

𝑣 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎[𝑚

𝑠]

Por ende, como la distancia recorrida en un ciclo del movimiento es:

𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

Y el intervalo de tiempo que se demora el objeto en recorrer esta distancia, equivale a un

periodo T.

Podemos fácilmente decir que la magnitud de la velocidad tangencial de un

movimiento circular uniforme es:

𝑣 =

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

𝑇[𝑚

𝑠]

(4)

Ejemplo 6 Si retomamos el ejemplo basado en la Figura 8, elde la pelota de 4 [Kg] que se

hacía girar por medio de una cuerda de 2[m], pero ahora, en vez de conocer la velocidad

tangencial, conocemos el periodo del movimiento, con valor de 12.567 [s] ¿Cuál es la

tensión de la cuerda?

Resolución

Nuevamente la tensión de la cuerda corresponde a la fuerza centrípeta y para

calcular la fuerza centrípeta necesitamos la masa de la pelota, el radio de la trayectoria, la

velocidad y la aceleración centrípeta

La masa de la pelota es de 4[Kg]

El radio de la trayectoria coincide con el largo de la cuerda igual a 2 [m]

La magnitud de la velocidad tangencial se puede calcular conociendo el

periodo T=12.567 [s] y el radio de la trayectoria de 2[m].

𝑣 =2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

𝑇=

2 ∙ 𝜋 ∙ 2

12.567≅ 1 [

𝑚

𝑠]

Equivalente al valor del ejemplo anterior.

Ahora que es conocida la magnitud de la velocidad tangencial, podemos

calcular la aceleración centrípeta

|𝑎𝑐⃗⃗⃗⃗ | =𝑣2

𝑟=

12

2=

1

2= 0.5 [

𝑚

𝑠2]

Finalmente, la tensión de la cuerda, o fuerza centrípeta queda:

|𝐹𝑐⃗⃗ ⃗| = 𝑚 ∙ |𝑎𝑐⃗⃗⃗⃗ | = 4 ∙ 0.5 = 2[𝑁]

Concepto de frecuencia

La Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de

tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico.

Lo que se intenta hacer al definir el concepto de frecuencia, es básicamente intentar

responder a preguntas como las siguientes:

¿Cuántas vueltas dio la rueda de un coche en 1[s]?

¿Cuántos trimestres se cumplen en un año?

¿Cuántos mundiales de futbol se celebrarán en los próximos 16 años?

Etc..

Básicamente, el concepto de frecuencia es inverso al de periodo, y bajo el sistema

internacional de unidades se mide en [Hz], el cual equivale [1

𝑠]

𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =1

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜

𝑓 =1

𝑇 [𝐻𝑧]

Sabiendo esto, ¿Qué significa 1[Hz]?

1 [Hz] = En 1 segundo, se ha completado un ciclo.

¿Y si mi frecuencia es 10 [Hz], que significaría?

10 [Hz] = En 1 segundo, se han completado 10 ciclos.

Por otro lado, ¿Cuál sería el periodo para un proceso de 1[Hz]?

1

𝑓= 𝑇 [𝑠] =

1

1= 1[𝑠]

¿Para el proceso de 10[Hz] cual sería el periodo?

1

𝑓= 𝑇 [𝑠] =

1

10[𝑠] = 0.1 [𝑠], vale decir, que cada 0.1 [s] se completará 1 ciclo.

Otra manera de medir frecuencia son las revoluciones por minuto (rpm), la cual significa la

cantidad de ciclos cumplidos por minuto.

Ejemplo 7, Si un motor cilíndrico como el de la figura gira a 100 rpm, ¿cuál es su

frecuencia de giro en [Hz]? ¿Qué significa que gire a esa frecuencia?

Figura 16: Motor cilíndrico del ejemplo 7

Resolución

Si el motor gira a 100 rpm, implica que en 1 minuto dará 100 vueltas, o sea:

100 [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜]

Como la unidad de Hz es equivalente a [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜] podemos realizar la conversión de ciclos

por minuto a ciclos por segundo de la siguiente forma:

1[𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜] = 60[𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠]

[𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠]

[𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠]=

1

60

→ 100 [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠] ∙ [

𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠] =

100

60= 1.667 [𝐻𝑧]

Que la frecuencia de giro del motor sea de 1.667 [Hz], significa que, en 1 segundo,

el motor habrá dado 1.667 vueltas.

El concepto de frecuencia también puede ser incluido para el cálculo de la

velocidad tangencial, si en la ecuación (6) reemplazamos el periodo T por 1/f,

obtendremos:

𝑣 =

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑓

1 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑓 [

𝑚

𝑠]

(5)

Desplazamiento angular

En un movimiento circular, el desplazamiento también puede ser medido de forma

angular, vale decir en grados y radianes.

Como es sabido, una vuelta completa a la circunferencia significa haber recorrido

360[°]. Vale decir:

1 [𝑟𝑒𝑣] = 360°

Sin embargo, esta unidad no suele ser usada para expresar un desplazamiento

angular. La unidad más utilizada para describir el desplazamiento angular es el radian, el

cual es definido como la relación entre el arco que se forma entre 2 radios (s) y la

magnitud del radio de la circunferencia (r).

Figura 17: Imagen ilustrativa para entender la definición de la unidad radian

𝛿[𝑟𝑎𝑑] =𝑠

𝑟 (6)

Cuando la longitud del arco tiene la misma magnitud que el radio (r=s), 𝛿 =

1[𝑟𝑎𝑑].

Para ejemplificar el desplazamiento angular la Figura 20 muestraun objeto que se

desplazó desde A hasta B con una trayectoria circular recorriendo 𝜃 [°] o 𝛿[𝑟𝑎𝑑]. Es a

este desplazamiento el que reconoceremos como desplazamiento angular.

Figura 18: Ejemplificación del concepto de desplazamiento angular

Ejemplo 8 Si una rueda de radio “r” gira una vuelta completa ¿Cuánto es el

desplazamiento angular en radianes?

Resolución

En grados la respuesta es trivial, puesto que todos sabemos que el recorrido para

una revolución es 360°. Por otro lado, el arco recorrido"𝑠" en estos 360°, es equivalente al

perímetro de la circunferencia, por ende, tiene una magnitud de2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟. Además, como

el radio de la circunferencia es "𝑟", podemos calcular el desplazamiento angular en

radianes como:

𝜃[𝑟𝑎𝑑] =𝑠

𝑟=

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

𝑟= 2 𝜋

Con este resultado, podemos definir, que la relación existente entre grados y radianes es:

360 [°] = 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

Rapidez angular

Si definimos la rapidez angular media como una magnitud escalar, que asocie la

razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo, tendremos:

𝜔 =Δ𝛿

Δ𝑡[𝑟𝑎𝑑

𝑠]

Vale decir, que si un objeto ubicado en A, pasa a estar en B habiendo recorrido

𝛿[𝑟𝑎𝑑], y para lograrlo se demoró t [s] entonces su rapidez angular media será de 𝛿

𝑡[𝑟𝑎𝑑

𝑠].

En un movimiento circular uniforme, la rapidez angular se mantiene constante y

puede ser calculada similar a como se calcula la magnitud de la velocidad tangencial.

En un ciclo del movimiento circular uniforme, el desplazamiento angular,

expresado en radianes, corresponde a 2𝜋, y el tiempo que se demora el objeto en lograr

un desplazamiento angular de 2𝜋 corresponde a 1 periodo T, lo cual, defineuna rapidez

angular de

𝜔 =

2 ∙ 𝜋

𝑇= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

(7)

Si, por otro lado, remplazamos la ecuación 9 en la ecuación 7 tendremos una nueva

expresión para la velocidad tangencial:

𝑣 =2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

𝑇= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑓 = 𝜔 ∙ 𝑟

O sea

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟 [𝑚

𝑠] (8)

Rapidez tangencial

La rapidez tangencial no es más que la magnitud de la velocidad tangencial antes

descrita. El valor de la rapidez tangencial se calcula por medio de las ecuaciones4, 5u8.

Ejemplo 9El tambor de una lavadora industrial es un cilindro de 40 cm de diámetro, cuyo

giro se realiza a 1200 rpm. Calcule:

a) El periodo de giro de la lavadora

b) La velocidad angular de la lavadora

c) La velocidad tangencial de la lavadora

d) La aceleración centrípeta de la lavadora

e) La fuerza a la que está sometida una carga de 15 kg de ropa, distribuidos en la

periferia.

Resolución

a) Para calcular el periodo de la lavadora primero debemos transformar los1200 rpm a

Hertz. Para ello establecemos la siguiente relación:

1200 [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜] =

1200

60[

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠] = 20 [

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠] = 20[𝐻𝑧]

Habiendo calculado la frecuencia y sabiendo que el periodo es el inverso de la

frecuencia podemos determinar el periodo de la siguiente forma:

1

𝑓= 𝑇[𝑠] =

1

20[𝑠] = 0.05[𝑠]

b) Como ya es conocida la frecuencia podemos determinar la velocidad tangencial

como:

𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 = 2 𝜋 ∙ 20 = 40 ∙ 𝜋 ≅ 125.663 [𝑟𝑎𝑑

𝑠]

c) Como ya conocemos la velocidad angular de la lavadora, podemos calcular la

velocidad tangencial a través de la ecuación 10

|𝑣| = 𝜔 ∙ 𝑟 = 125.663 ∙ 𝑟 [𝑚

𝑠]

Como "𝑟" está dado en centímetros, es necesario pasarlo a metros. Por ende:

𝑟 = 20[𝑐𝑚𝑠] = 0.2[𝑚]

Y al reemplazarlo en la ecuación de velocidad se obtiene una velocidad tangencial de:

|𝑣| = 𝜔 ∙ 𝑟 = 125.663 ∙ 0.2 = 25.132 [𝑚

𝑠]

d) Conocida la velocidad tangencial podemos calcular la magnitud de la aceleración

centrípeta

|𝑎𝑐| =𝑣2

𝑟=

25.1322

0.2= 3158.087 [

𝑚

𝑠2]

e) Dado que la ropa de 15[Kg] se encuentra bajo un movimiento circular uniforme,

podemos calcular si fuerza centrípeta como:

|𝐹𝑐| = 𝑚 ∙ |𝑎𝑐| = 15 ∙ 3158.087 = 47371.31 [𝑁]