¿franÇois viÈte, inventor del Álgebra

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FRANOIS VITE, INVENTOR DEL LGEBRA?


ANNE BOYI .R.E.M., Nantes

Franois Vite (en latn Franciscus Vieta) muri el 23 de febrero de1603, por lo que celebramos en estos das el cuarto centenario de su muerte einauguramos el ao Vieta. Es uno de esos cientficos cuyo nacimiento ymuerte podemos celebrar debido a su considerable aportacin a las ciencias,en este caso, las matemticas. Se le considera generalmente como el inven-tor del lgebra; del lgebra moderna, debemos precisar. En 1630, Vaulezard,uno de los que queriendo contribuir a la difusin de ese invento tradujo alfrancs la obra clave de Vieta en ese campo, la titular: La nueva lgebra deVieta. Esto puede sorprender a algunos espritus poco avisados, puesto que seha transmitido a menudo que el lgebra naci en el mundo rabe. Todo elmundo sabe, por ejemplo, que el matemtico al-Khwarizmi fue el primer autorde un lgebra en el siglo IX. Fue su nombre deformado, interpretado, el quedio lugar al trmino algoritmo, y una de sus tcnicas de resolucin deecuaciones al jabr origin el trmino lgebra, que designar durante lar-go tiempo el dominio de las ecuaciones. Sin embargo, si se interroga a unalumno actual, o si un no matemtico busca en sus recuerdos qu le evoca lapalabra lgebra, ser ciertamente el clculo con letras.

En cuanto a los cuadrados y al nmero de races que igualan, escomo cuando t dices: Un cuadrado y veintiuno en nmero igualandiez de sus races. Esto vale tambin para toda cantidad que es tal quesi se le aade veintin dirhames, la suma resultante es igual a diezraces de esa cantidad. El mtodo de resolucin consiste en esto: toma

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SEMINARIO OROTAVA DE HISTORIA DE LA CIENCIA - AO XI-XII

la mitad de las races, que es cinco, la multiplicas por s misma, lo queda veinticinco, sustraes los veintiuno que se ha dicho que estn con loscuadrados, lo que dar cuatro, tomas su raz que es dos, la sustraes dela mitad de las races que es cinco y dar tres, que es la raz del cuadra-do que t queras y el cuadrado es nueve.

Tratado de al jabr y de al muqabala, al-Khwrizmi, siglo IX

Muchos se sorprendern sin duda con este texto de al-Khwarizmi, dondese trata de resolver una ecuacin de segundo grado. No hay letras ni smbolosy, no obstante, es lgebra. Ese es el paso de gigante, que ser preciso fran-quear, entre el lgebra retrica y el lgebra simblica. Y Vieta es sin dudaquien permiti franquear el paso decisivo abriendo el camino a sus sucesores,entre los cuales uno de los ms brillantes ser Descartes. Les propongo, atravs de algunos aspectos de la obra de Vieta, tratar de comprender cundifcil era ese paso, por qu y cmo aport Vieta su contribucin a ese desarro-llo, y lo que quedaba por hacer para que la nueva lgebra, que Vieta llamabatambin a veces anlisis, se convirtiera realmente en eficaz, y ello sin introdu-cirnos en los caminos ms recientes de las matemticas, pues como la mayorparte de las palabras, el sentido del trmino lgebra ha evolucionado am-pliamente. El conocimiento de la vida y de la trayectoria intelectual de losautores con frecuencia aclara su obra. Por ello comenzar ofreciendo algunasreferencias biogrficas sobre Vieta.

UN ESBOZO BIOGRFICO

Franois Vite, natural de Fontenai, en el Poitou, fue un hombrede gran genio y de tan profunda meditacin, que descubri los miste-rios ms secretos de las ciencias ms abstrusas, y llev hasta el lmitesin problema todo lo que un hombre sutil es capaz de concebir y ejecu-tar. Pero entre sus diversas ocupaciones, y las trabas de los negocios delos que su vasto e infatigable espritu jams se vio exento, ejerci suindustria sobre todo en las matemticas, y sobresali en ellas de talmodo que todo lo que ha sido inventado por los antiguos en esa cien-cia, y de lo que estamos privados por la injuria del tiempo que abolisus escritos, lo invent l mismo de nuevo, renov su uso e inclusoaadi muchas cosas a sus maravillosos descubrimientos. Meditabacon tanta aplicacin que se le ha visto a menudo permanecer tres dasenteros en su gabinete sin comer, e incluso sin dormir, lo que poda

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hacer apoyando de vez en cuando la cabeza en la mano, para repararfuerzas mediante unos momentos de sueo.

De Thou (1553-1617), Elogio de Vieta

Vieta naci en 1540 en Fontenay-Le-Comte, capital del Bajo Poitou enVende. Su padre era un influyente leguleyo y podemos afirmar sin error queera de familia acomodada. Parece ser que estudi primero en el convento fran-ciscano de Fontenay, en el que Rabelais haba vivido y estudiado cincuentaaos antes. All adquiri los conocimientos lingsticos que le permitiran mstarde leer y comprender los textos griegos. A los dieciocho aos ingresa en launiversidad de Poitiers y en 1559, bachiller y licenciado en derecho, se iniciaen la profesin. Rpidamente se forja una gran reputacin, logrando resolvercomplicados asuntos jurdicos. No obstante, el acontecimiento ms importan-te para su porvenir ser el hacerse cargo de los asuntos de una familia hugono-te, los de Soubise, en 1564. Vieta se convierte en el secretario y bigrafo delconde Jean du Parthenay, vinculado a esa familia, y preceptor de su hijaCatherine. Francia vive por entonces un perodo muy doloroso, de conflictosreligiosos exacerbados y muy violentos. Vieta se ver mezclado, de cerca o delejos, con esos acontecimientos por sus relaciones con los de Soubise. No seconvirti a la nueva religin, pero permaneci fiel a sus amigos protestantes.

Estar en constante relacin con Catherine du Parthenay, su alumna,quien impuls su primer trabajo cientfico. Estaba interesada en las cuestio-nes de astronoma y Vieta redact para ella cuadernos de curso, los Principiosde cosmografa, basados en el Almagesto de Ptolomeo. En ellos es muy crticocon Coprnico, estimando que es un flojo matemtico y que hay escasa co-rrespondencia entre su teora y las observaciones. Es preciso sealar que lascuestiones de astronoma jugaron un papel muy importante en los futuros tra-bajos matemticos de Vieta, que por entonces esboza un manuscrito que nun-ca se imprimir: Harmonicon coeleste (cuyo nombre evoca evidentemente elnombre de otra Armona celeste, la de Kepler). Comienza tambin a compo-ner su Canon matemtico, tratado de trigonometra, destinado a las cuestionesde astronoma, sobre el que volveremos ms adelante.

En 1568, Catherine se desposa con un aristcrata, quien pronto se enfren-tar a su suegra. sta, Antoinette dAubeterre, se separa de su hija y se instalaen La Rochelle, capital del partido hugonote. Vieta sigue a Antoinette y sereencuentra en La Rochelle con los jefes protestantes: Cond, Coligny, JeannedAlbret y su hijo Enrique de Navarra. Teniendo la oportunidad de regresar aPars en 1570 se convierte en 1571 en abogado en el Parlamento de Pars. All

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se encuentra con grandes matemticos, como Jacques Pelletier du Mans oPierre de la Rame, asesinado desgraciadamente en la masacre de San Barto-lom de 1572. El marido de Catherine tambin fue asesinado y ella mismaescap por poco a la masacre. Vieta aprovech su estancia parisiense paraintentar imprimir su Canon, que se editar en 1579. En 1574 fue nombrado, apropuesta del rey Carlos IX, consejero en el parlamento de Bretaa. Participanicamente en la sesin de verano, y con frecuencia pasa temporadas en casade Catherine o de Franoise de Rohan, ta de Enrique III.

En 1580 fue nombrado por Enrique III Matre de Requtes de la CasaReal. Sin embargo, bajo la presin de los jefes de la Santa Liga catlica, sersuspendido en sus funciones desde 1584 a 1589. Ese perodo, probablementedifcil, le permiti disponer de tiempo para consagrarse a su pasatiempo prefe-rido, las matemticas. Sola precisar que era un matemtico aficionado y nospercatamos de que la pesadez de sus cargos le permita pocos placeres. Alber-gado y protegido por sus amigos, redactar su obra maestra: In artem analyticemisagoge (Introduccin al arte del anlisis). De 1589 a 1593 recuperar susfunciones junto al rey Enrique IV, tras la muerte de Enrique III. La sede delgobierno se traslad a Tours, que no est lejos de Fontenay, lo que le dioocasin de regresar con frecuencia a su villa natal. All adquiere otra reputa-cin, la de experto descifrador. Descifra para el rey los mensajes cifrados desus enemigos, en particular, de los espaoles. Su xito fue tal que algunos lodenunciaron a Roma por brujo y nigromante.

Lo que voy a aadir es poco considerable, al parecer del propioVieta, pero cualquier otro lo tendra en mucho. Como los estados espa-oles estn separados y alejados unos de otros, para guardar los secre-tos comunicando sus designios y sus consejos a todas las partes de esevasto organismo, se sirven de diversos signos desconocidos, a fin deque no sean descubiertos: y cuando se ven obligados a emplear nuevos,no lo pueden hacer hasta mucho despus de haberlo decidido, porquetienen que avisar al virrey de las Indias. Durante los desrdenes de laliga, su cifrado se compona de ms de quinientos signos diferentes yaunque a menudo haban sido interceptadas cartas suyas muy extensas,donde se explicaban todos sus designios, los que se encargaban de des-cifrarlos no haban podido hacerlo, a causa del infinito nmero de mar-cas que usaban. Perro por orden del rey se enviaron esas cartas a Vietay las explic sin problemas, y luego todas las dems que le llevaron: loque desconcert de tal forma a los espaoles durante dos aos, y les

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caus tal extraeza, que pregonaron en Roma y por doquier que el Reyhaba descubierto su cifrado mediante el recurso a la magia.

De Thou, Elogio de Vieta

Tambin en esa poca ocurri una spera disputa con Joseph Escalgero,un humanista que pretenda haber resuelto, entre otros problemas, la cuadraturadel crculo y el problema de la triseccin del ngulo con regla y comps. Vietapublicar varios opsculos de su Arte del anlisis entre 1591 y 1593, y luegodos opsculos para rectificar los errores de Escalgero, que preferir retirarsea los Pases Bajos. En 1594, de regreso en Pars con Enrique IV, adquirir mscelebridad al recoger el desafo de resolver un problema propuesto por el bel-ga Adrien Romain a los matemticos del mundo entero, entre los que no sehallaba ningn francs. Este incidente se hizo legendario, gracias al relato deTallemant des Raux en sus historietas.

En tiempos de Enrique IV, un holands llamado AdrianusRomanus, sabio en matemticas, pero no tanto como crea, hizo unlibro donde constaba una proposicin a resolver que ofreca a todoslos matemticos de Europa; ahora bien, en cierto lugar de su libro nom-braba a todos los matemticos de Europa y no conceda ninguno a Fran-cia. Poco despus lleg un embajador de los Estados para ver al Rey enFontainebleau. El Rey tuvo el placer de ensearle todas las curiosida-des, y le hablaba de los ms excelentes que en cada profesin haba ensu reino. Pero Sire, le dijo el embajador, vos no tenis matemticos. Stengo, s tengo dijo el Rey, tengo un hombre excelente: que me vayan abuscar a Monsieur Vite. Se le mostr la proposicin (de AdrianusRomanus) a Monsieur Vite, quien se puso en una de las ventanas de lagalera donde se hallaban en ese momento y antes de que el Rey sefuera escribi dos soluciones a lpiz. Por la tarde envi varias ms alembajador, aadiendo que le dara tantas como gustase.

Tallemant des Raux, Mmoires pour servir lhistoire du XVIIsicle, historieta 46

Volveremos sobre ese episodio, porque ilustra adecuadamente la poten-cia del clculo de Vieta. Tras ese desafo propondr l mismo otro problema,del que dar la solucin, bajo el nombre de Apolonius Gallus, que acrecentarsu fama. En 1597, encargado por el rey de una misin en el Poitou, dispuso dealgn tiempo libre y retom sus trabajos matemticos. Se interes especial-mente por los problemas del calendario, lanzndose a una polmica, poco jus-

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tificada segn parece, con el matemtico jesuita Clavius, quien haba sidoencargado de la reforma del calendario por el papa. Muy fatigado y enfermomuri en Pars el 23 de febrero de 1603. Esta breve panormica con que hepresentado la vida profesional de Vieta quizs haya permitido vislumbrar laotra vida, paralela y contemplativa que evocaba de Thou. Fue esa vida para-lela la que produjo las obras matemticas que le aseguraron la fama.

LOS TRABAJOS MATEMTICOS Y EL LGEBRA NUEVA

La vida matemtica de Vieta se divide ms o menos en dos pocas, susperodos de relativo ocio. El primero se inicia hacia 1571, cuando dej susfunciones a tiempo completo con la familia de Soubise. Este perodo acabacon la edicin de su Canon por Jean Mettayer en 1579. Fue durante el segundoperodo, de 1584 a 1589, cuando produjo la mayor parte de sus trabajos. Supublicacin se hizo poco a poco, aunque parece que Vieta los considerabacomo un todo. El primero, In artem analyticem isagoge, lo public en 1591Jean Mettayer, y los ltimos fueron publicados de manera pstuma. Citemosentre ellos: Supplementum geometriae, 1593; Zeteticum librum quinque, 1593;Variorum de rebus mathematicis responsorum libri VIII, 1593; Ad problemaquod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit AdrianusRomanus, responsum, 1595; Apollonius Gallus seu exsuscitata ApolloniiPergaei peri epaphon geometria, 1600; De numerosa potestatum ad exegesimresolutione, 1600; De aequationum recognitione et emendatione et Analyticaangularum sectionum, 1615.

En estos trabajos encontraremos tanto obras de geometra pura, siguien-do la tradicin eucldea, ligadas con frecuencia a sus preocupacionesastronmicas, como trabajos muy innovadores en lgebra, as como obras detrigonometra, que se apoyan a la vez en su geometra y su lgebra. En todosellos se transparenta profundamente lo que l denomina anlisis. Para com-prenderlos bien y evaluar su contribucin al desarrollo de las matemticasrecordemos que sus efemrides, 1540-1603, lo sitan una generacin despusde Girolamo Cardano (1501-76) y algo ms de una generacin antes que Des-cartes (1596-1650) y Fermat (1601-65).

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LA INTRODUCCIN EN EL ARTE ANALTICO O LA NUEVA L-GEBRA

Lo que ha quedado como su contribucin ms importante es la introduc-cin del uso sistemtico de letras del alfabeto para representar a la vez trmi-nos variables y trminos constantes o indeterminados en cualquier ecuacin.Esto parece una obviedad en una poca como la nuestra donde todo se enunciaen trminos de frmulas literales. Desde las primeras clases de secundaria seinicia a los alumnos en ese tipo de trabajo. Y sin embargo, si se piensa en ello,quiz algunos se interroguen sobre el verdadero sentido de ax2, por ejemplo, orecuerden que sus dificultades empezaron el da que tuvieron que usar letraspara los clculos.

F. Cajori distingue, en su Historia de las notaciones matemticas, tresperodos en el desarrollo del lgebra. El lgebra retrica, sin ningn smbolo,escrita toda con palabras, usada en numerosos trabajos de los matemticosrabes y en los primeros italianos. El lgebra sincopada, donde todo se escribeen palabras, como la precedente, pero se usa algunas abreviaturas para ciertasoperaciones o ideas recurrentes con frecuencia, designndose a veces la incg-nita (slo hay una) mediante un smbolo. Es el lgebra de Diofanto, de losrabes tardos y de algunos europeos hasta el XVII. El lgebra simblica, dondetodo se expresa en smbolos. Es la de Vieta, Oughtred (1574-1660) en Inglate-rra, y luego la de todos los europeos desde mediados del XVII. El paso dellgebra sincopada al lgebra simblica ser obra de Vieta y lo cambiar todo.

Con el lenguaje algebraico todo se simplifica: las condicionesque exigiran una pgina entera para expresarse en lenguaje ordinarioapenas exigen una pocas lneas en la otra; se captar la escritura instan-tneamente con la vista y ser memorizada sin dificultad. Las conse-cuencias de los razonamientos se escribirn con la misma simplicidad;y de un solo vistazo se podr captar al final el conjunto de todos lospasos intermedios por los que se ha avanzado.

Lalande, Conferencia sobre la filosofa de las ciencias, 1913.

Cuando Vieta escribi su lgebra nueva era consciente de producir unaruptura y abrir la va a importantes progresos:

Todos los matemticos saban que bajo su lgebra o al muqabalade la que se jactaban, y que llamaban El Gran Arte, se escondan vetasde oro incomparables, pero no las encontraban. Ofrecan hecatombes,

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hacan sacrificios a Apolo y a las musas cuando alcanzaban la solucinde alguno de los problemas que yo resuelvo espontneamente por de-cenas y veintenas; lo que prueba que nuestro arte es el mtodo de in-vencin ms cierto en matemticas.

Dedicatoria a Catherine de Parthenay, en su Introduccin al Arte delanlisis, de 1591

EL PADRE DE LA NOTACIN ALGEBRAICA MODERNA: LOGS-TICA ESPECIOSA VERSUS LOGSTICA NUMEROSA

Vieta reconoce dos influencias en su Isagoge: las Aritmticas de Diofantoy el sptimo libro de Papo Coleccin matemtica. Nos ocuparemos ahora dela primera. Se suele considerar a Diofanto inventor del lgebra. Fue uno de losgrandes matemticos de la segunda escuela de Alejandra, hacia el 250 a.n.e.Su obra se incluye en el lgebra sincopada segn la clasificacin de Cajori.Sus Aritmticas no son un verdadero tratado sobre las ecuaciones, sino quepropone una serie de problemas particulares que conducen a la resolucin deecuaciones, mediante las que indica el camino a seguir, que se pretendegeneralizable. No disponiendo de simbolismo slo puede basarse en ejemplosnumricos concretos, como al Khwarizmi en el texto ya citado.

Debemos reconocer que hay un comienzo de simbolismo. Por ejemplo,un smbolo V semejante a la letra sigma, llamado arithme en la traduccinde ver Eecke (1925) designa la incgnita. Slo puede haber una incgnita ypropone smbolos para el cuadrado de la incgnita, para su cubo, para poten-cias superiores al cubo, rompiendo as la referencia a la geometra. Habla, porejemplo, de bicuadrado para la cuarta potencia, de cuadrado cubo para la quinta,etc. Vieta recoger esas denominaciones. Hay tambin un signo para la sus-traccin; la suma se traduce simplemente por la yuxtaposicin.

A pesar de todo, esa manera de tratar la resolucin de esos tipos de pro-blemas parece muy moderna y no se encuentra en absoluto en la tradicingeomtrica griega anterior. Esos textos sern desconocidos para los matemti-cos occidentales. La primera traduccin latina la har Xylander en 1575.Regiomontano (1436-76) fue uno de los primeros en inspirarse realmente enla lectura de Diofanto; la mayora de su contemporneos prefiere dirigirse alos textos rabes, de los que toman el vocabulario. Estos ltimos encontraronuna manera de anotar la incgnita, la cosa, mediante una abreviatura; sonlos llamados cosistas. Son alemanes como Stiffel, o italianos, como Pacioli.Inventaron tambin signos para la adicin y la sustraccin, normalmente p

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y m. Se trata de abreviaturas que mejoran mucho la exposicin de la resolu-cin de ecuaciones, aunque no se difundieron universalmente. Adems siem-pre haba que razonar sobre ejemplos numricos. Es ah donde se sita la graninvencin de Vieta. Propone designar no slo la incgnita, o incgnitas, porletras, sino tambin lo conocido.

A fin de que este mtodo (poner en forma de ecuacin) se ayudede algn artificio, se distingir las magnitudes dadas de las magnitudesdesconocidas y buscadas representndolas por un smbolo constante,invariable y muy claro, designando por ejemplo las magnitudes busca-das mediante la letra A o cualquier otra vocal E, I, O, U, Y, y las mag-nitudes dadas por las letras B,C,D, o cualquier otra consonante.

Vieta, Arte del anlisis o lgebra nueva, cap.5.

Ms an, esas letras pueden designar nmeros, pero asimismo cualquiercantidad o magnitud, a la que denomina especie. A este nuevo clculo sobreespecies, que no son necesariamente nmeros, lo llamar lgebra especiosa,calificando el clculo de Diofanto, que trata exclusivamente con nmeros,como logstica numerosa. No alude a los algebristas que fueron sus prede-cesores directos, practicantes del lgebra sincopada. Este desconocimiento sehar sentir en los arcasmos subsistentes en su obra, tan innovadora por otraparte. Ignorancia consciente o laguna debida a su formacin un poco caticade matemtico aficionado? Ocurre que no es tan fcil pasar de la logsticanumerosa a la especiosa.

LETRAS PARA LAS INCGNITAS, LETRAS PARA LO CONOCIDO

Cuando escribimos: 2x2 + 3x = 1, sabemos que la incgnita es x, luego esesa x lo que hay que determinar. Pero si escribimos: x2y + zx = y cul es laincgnita: x, y o z? Es necesario primero darse los medios para leer una ecua-cin escrita con letras. Vieta propone designar las incgnitas por vocales y loscoeficientes (l invent el trmino) indeterminados por consonantes. Todasesas letras se escriben en maysculas. Luego hay que darse los medios paraindicar el cuadrado, el cubo, y las potencias superiores, ya que retoma lasdenominaciones de Diofanto.

Algunos matemticos precedentes, como Stifel y Bombelli (cuya lge-bra es de 1572) haban ideado una notacin semejante a la nuestra para laspotencias. Vieta elegir algo que nos parece poco prctico: A quadratur para

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el cuadrado de A, A cubus para el cubo, que pronto se convertirn en Aq y Ac. As Aqq es el cuadrado del cuadrado de A, es decir, A4 No obstante, cuan-do las potencias son altas usar una notacin numrica para la potencia. Unade sus proezas, por ejemplo, es haber resuelto una ecuacin de grado 45.

A pesar de su aparente arcasmo, no es nada si lo comparamos con Diofantou otros predecesores directos de Vieta, para quienes el smbolo de la incgnitano tena nada que ver con el de su cuadrado o su cubo; por ejemplo, R (res)para la incgnita, Q para su cuadrado, y C para su cubo, lo que no permitacalcular con facilidad (por ejemplo, una eventual factorizacin) e impeda quehubiera varias incgnitas. Comparemos, por ejemplo, diversas notaciones:

Lo que nosotros escribimos como 2x2 - 5x = 23Diofanto lo escribira as: Dg8b Ve esti Mcgy Stifel as: 2z aequatus5x + 23Cardano as: duo quad.m quinque reb.aequalis 23

Bombelli as: 2m5 aequale a 23y Vieta as: 2Aq 5A aeq 23

Pero de ellos slo Vieta escribira, pues fue el primero en tener la idea,ax2 + bx - x3 = ccomo B in Aq + F plano in A Ac aequatur D solido

Esto les extraar, ya que acabo de advertirles que Vieta invent la nota-cin moderna, pero las cosas no son tan sencillas. Tratemos primero de desci-frarlo. B, F y D designan nuestros coeficientes a, b y c. En efecto, los coefi-cientes indeterminados son consonantes. A designa la incgnita. Al lado de Ala q y la c designan el cuadrado y el cubo. Los signos + y designan la sumay la resta, lo que es moderno e innovador. B in Aq designa el producto de Bpor Aq. Aequatur significa igual; el smbolo = fue usado por el inglsRecorde en 1557, pero le llevar mucho tiempo imponerse. Qu pintan ah,sin embargo, esos plano o cubo? Son lo que Vieta llama la regla de loshomogneos, que es a la vez una debilidad de su lgebra y una necesidad.

LAS OPERACIONES SOBRE LAS ESPECIES, LA REGLA DE LOSHOMOGNEOS

Qu puede significar, en efecto, el producto de B por D? O el cocientede C entre F? En otras palabras, sabemos hacer operaciones con nmeros,sabemos tambin que, por ejemplo, Aq (o sea A2) es un cuadrado de lado A,

B

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que 3A es la longitud A tres veces seguidas. El nico medio de dar sentido alas operaciones con letras es darles un sentido geomtrico. Entonces, por ejem-plo, el producto de B por C, ser un rectngulo de lados B y C. Vieta precisarel sentido de cada operacin hecha con las especies. En el caso del cubo-cubo,por ejemplo, algunos de sus contemporneos se quedarn perplejos, porqueno es muy geomtrico. Cmo imaginar algo de nueve dimensiones?

Pero podemos sumar ahora un rectngulo y un cubo? Podemos obtenerun cubo sumando dos rectngulos? Habr que respetar la homogeneidad delas dimensiones. Los fsicos reconocern sin duda ese proceso por el que pa-saron los matemticos. As B in Aq tiene como dimensin 3, luego lo quehay que aadirle ha de tener dimensin 3. F in A sera de dimensin 2, luegoes absolutamente preciso que F sea un plano, de dimensin 2, para que elproducto con A d dimensin 3. Ac es ya de dimensin 3 y no hay problema.Estas operaciones con las especies de dimensin 3 no pueden dar sino unresultado de dimensin 3. Por tanto D debe ser un cubo. Como se ve, estaregla es pesada de respetar, pero puede tener su utilidad. Ser Descartes quienromper la necesidad de la homogeneidad eligiendo una unidad arbitraria ymostrando que se puede construir una lnea igual al producto de A por B.As todo podr ser considerado como siendo de dimensin 1, en cualquierclculo. Un alivio considerable, aunque sea al precio de algunos sacrificios.

LAS ESPECIES SON POSITIVAS

Vieta sigue siendo un euclidiano en el fondo. Su regla de homogeneidadtestimonia su vinculacin a la interpretacin geomtrica. Tambin las espe-cies, incluso las incgnitas, son magnitudes geomtricas, luego esencial-mente positivas. De modo que cuando se resuelve una ecuacin no se puedeimaginar sino las soluciones positivas. Los coeficientes son tambin positi-vos. Evidentemente esto es otra debilidad del lgebra de Vieta, en el mismomomento en que algunos de sus predecesores y contemporneos, aunque noaceptaban las cantidades negativas, se estaban percatando de que, a veces,tomando cantidades negativamente encontraban soluciones de ecuaciones. Esverdad que a esas soluciones las llaman falsas, imaginarias, pero en todocaso las sealan.

Esta exigencia de positividad le llevar, sin embargo, a inventar una no-tacin interesante. Cuando se tiene dos cantidades, B y C, y se quiere conocersu diferencia, es necesario saber cul es la mayor, pues no se puede detraer(segn Vieta y la mayora de sus contemporneos) lo ms grande de lo ms

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pequeo. Si se tiene 3 y 5 sabemos que 5 es mayor, pero si hemos adoptadocomo Vieta la notacin simblica y se quiere, al acabar la operacin, escribiruna frmula en letras cmo indicar si hacer AB al ser A mayor que B, o alcontrario, BA si B es mayor? Inventando el valor absoluto. Es verdad queVieta no inventa esta expresin pero inventa un smbolo: A=B (que no debe-mos confundir con el signo igual) significar A-B si A es mayor que B y B-A si B es mayor.

LA INFLUENCIA DE PAPO. POR QU EL ALGEBRA DE VIETA ESANLISIS? ZETTICA, PORSTICA, EXEGTICA

La segunda influencia reconocida por Vieta, como ya hemos dicho, es lade Papo. Es la que cuenta a los ojos de Vieta, pero es probablemente msdifcil de captar. La Coleccin Matemtica de Papo es la nica obra que nos hallegado de l. Vieta asociar el anlisis de Papo, relacionado nicamentecon problemas y teoremas geomtricos, con las Aritmticas de Diofanto. Es loque Vieta llamar Arte del anlisis, que debe permitir la resolucin de cual-quier problema. El anlisis de Papo de los problemas geomtricos es, ms omenos, lo que solemos llamar la tcnica del problema resuelto. Suponiendoefectivamente resuelto el problema se analiza la figura, por ejemplo, y luego,con la ayuda de teoremas conocidos se retrocede hasta el punto de partida.Tras ese anlisis se necesita generalmente realizar una sntesis, es decir, reco-rrer el camino a la inversa.

Papo es una especie de terico del razonamiento geomtrico. Aseveraque el anlisis es el medio de descubrir resultados y teoremas. La presenta-cin, por el contrario, se hace mediante la sntesis. Eso es lo que gente comoDescartes reprochar a los antiguos: hallaron sus resultados con el anlisis,pero slo presentaron la sntesis; o sea, ocultaron cmo los haban hallado.Descartes, y antes que l Vieta, pondr el acento en el anlisis y su omnipoten-cia. As pues, el anlisis se compone de dos partes: la primera, que Vieta lla-mar Zettica (bsqueda de la verdad), y la segunda, a la que llamar Porstica(produccin del teorema propuesto). Vieta aadir una tercera, que llamarExegtica, que corresponde ms o menos a la redaccin de teoremas, cuandose trata de geometra, o Rtica, que sera la presentacin (oral) de los resulta-dos, en el caso de los problemas numricos.

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Este pequeo esquema resume el camino a seguir para resolver un pro-blema, aunque ya no slo de geometra. Es decir, cuando se busca una magni-tud desconocida, se plantea el problema como una ecuacin, suponiendo encierto modo el problema resuelto. Por ejemplo, buscamos dos nmeros cuyasuma es 12 y el producto 35. Desgnamos las incgnitas por A y B y supone-mos que las hemos encontrado, por tanto, A+B = 12 y AxB = 35. Es laprimera parte del anlisis. Luego examinamos las operaciones que podemoshacer, los teoremas conocidos, que nos permitirn encontrar los dos nmeros.O sea, que Diofanto en sus Aritmticas haca anlisis sin saberlo, puesto que elanlisis estaba reservado a la geometra.

La nueva lgebra de Vieta, su logstica especiosa, es anlisis. Por esarazn la llama Anlisis. Y del mismo modo que el anlisis geomtrico descritopor Papo es un potente instrumento de geometra, el Arte analtico de Vietatambin tiene un gran rendimiento, incluso ms. En efecto, el planteamientocomo ecuacin cualquier problema y la posibilidad de hacer clculos con cua-lesquiera especies, incluso no numricas, ofrece maravillosas posibilidades.Por eso Vieta concluye su obra sobre el arte analtico diciendo:

Finalmente, el Arte analtico se apropia con todo derecho el mag-nfico problema de la triple forma de que se reviste: la zettica, laporstica y la exegtica. Lo que significa: NINGN PROBLEMA SINRESOLVER.

EL ARTE ANALTICO EN ACCIN

Vieta pondr a prueba su Arte analtico en una primera obra de 1591 quetitula Sobre las Zetticas. Examinemos el ejemplo siguiente, que es el primerproblema del libro I.

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Dada la diferencia de dos lados y su suma encontrar los lados.Sea B la diferencia entre los lados y D su suma. Hay que hallar loslados. Sea A el lado menor, por tanto, el mayor ser A+B. Por ese mo-tivo la suma de ambos ser 2A+B. Lo que es lo mismo que D. Por locual 2A+B es igual a D. Y por anttesis 2A ser igual a D-B, y dividien-do todo por dos A ser igual a D/2 B/2.

O bien sea E el lado mayor. El menor ser entonces E-B. Por esemotivo la suma de los lados ser 2E-B. Lo que es lo mismo que D. Porlo cual 2E-B ser igual a D, y por anttesis 2E ser igual a D+B; ydividiendo todo por dos, E ser igual a D/2 + B/2.

De modo que dada la diferencia de dos lados y su suma se puedehallar los lados. En efecto, la mitad de la suma de los lados menos lamitad de la diferencia es igual al lado menor; las mismas cantidadessumadas dan el lado mayor. Esa era la investigacin a realizar. SiendoB 40, D 100, A resulta ser 30 y E 70.

Es sin duda la primera vez en la historia de las matemticas que vemos enaccin un tratamiento algebraico puramente literal de un problema matemti-co. Es decir, disponemos de frmulas que se pueden aplicar a cualquier pro-blema numrico. Por eso Vieta propone al final de cada uno de sus problemasuna aplicacin numrica. Quiz por mostrar a los escpticos que su mtodo esbueno.

Salvo la ventaja de la generalidad del clculo y la obtencin de frmulasaplicables directamente a no importa qu caso, los resultados conservan lahuella de las operaciones realizadas. En especial Vieta es uno de los primerosen interesarse por lo que generalmente se llama funciones simtricas de lasraces de una ecuacin. Por ejemplo, en una ecuacin que escribiremos: x2 +ax + b = 0 sabemos que el producto de las races (soluciones) es b y que lasuma es -a. Lo cual pone inmediatamente esa ecuacin en relacin con elproblema de Diofanto en que se trata de encontrar dos nmeros cuya suma yproducto son conocidos.

Frmulas anlogas se pueden establecer para ecuaciones de grado supe-rior. Pero Vieta se vio frenado en su estudio por el hecho de no tener en cuentasino las soluciones positivas. A veces otra ventaja de poder seguir la construc-cin de las soluciones es relacionar esta construccin con construccionesgeomtricas, puesto que es as como han sido definidas las operaciones sobrelas especies. De esa manera podr inclinarse por las soluciones construiblescon regla y comps. Es la forma en que atacar los problemas que Escalgeropretenda haber resuelto.

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Una consecuencia suplementaria de su lgebra es que, a la inversa, atravs de una ecuacin puede leerse el soporte geomtrico de un problema.Vieta es, a la vez que inventor de una nueva lgebra, un brillante gemetra,que se interes profundamente por la trigonometra. El lgebra, la geometra yla trigonometra se nutren unas de otras. Entre otras cosas, aplic su lgebra ala trigonometra estableciendo frmulas generales y nuevas.

Su gran talento qued brillantemente ilustrado en la ancdota citada, laresolucin de una ecuacin de grado 45 propuesta a todos los matemticos delmundo. Hemos referido que Adrianus Romanus no consideraba que hubieraningn matemtico francs digno de tal nombre.Los escritos de Vieta, en elmomento del suceso, estaban empezando a publicarse y no era extrao queAdrianus ignorara su trabajo. Se asombrar del genio del francs, lo visitarpronto en su casa e intercambiarn otros problemas, en particular el deApollonius Gallus. La ecuacin propuesta por Adrianus se escribira en nota-cin moderna:45 x - 3795 x3 + 95634 x5 - 1138500 x7 + 7811375 x9 - 34512075 x11 +1050306075 x13 - 232676280 x15 + 384942375 x17 - 488494125 x19 +483841800 x21 - 378658800 x23 + 236030652 x25 - 117679100 x27 + 46955700x29 - 14945040 x31 + 3764565 x33 - 740459 x35 + 111150 x37 - 12300 x39 + 945x41 - 45 x43 + x 45 = N

Vieta se dio cuenta inmediatamente de que poda relacionar esa ecuacincon sus resultados en trigonometra, en particular con el problema de latriseccin del ngulo, que le permiti resolver ecuaciones de grado 3. Sabepues que puede encontrar varias soluciones para ese tipo de ecuacin. Puestoque 45 = 3x5x5, basta dividir un ngulo en 5 partes, luego en 3, y otra vez msen 3. De ese modo, resolviendo una ecuacin de quinto grado y luego dos detercer grado, obtiene casi inmediatamente 23 soluciones para la ecuacin pro-puesta, geomtricas y numricas con gran precisin: ocho decimales exactos!He aqu lo que nuestro matemtico escribe al final de su respuesta al problemaplanteado (Ad problema... reponsum).

As, en el espacio de tres horas, result ser un gran gemetra. Esverdad que el brbaro vocablo de algebrista no me place. Trato geomtri-camente lo que es geomtrico, analticamente lo que es analtico. Sin em-bargo, vigilar para que el comn de los algebristas me abra sus odos, seacomo una especie de gemetra, sea como un nuevo Analista.

Jean dAlambert subrayar en su artculo lgebrade la Enciclopedia, en 1784:

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Su primer descubrimiento fue haber introducido en el clculolas letras del alfabeto para designar incluso las cantidades conocidas.El segundo, haber imaginado casi todas las transformaciones de lasecuaciones, as como los diversos modos de hacer ms simples lasecuaciones propuestas.

LA POSTERIDAD

No hemos abordado ms que la excepcional contribucin de Vieta al l-gebra. Su contribucin a la geometra pura, ms desconocida, fue tambinmuy importante. Kepler, por ejemplo, esperaba ciertos resultados geomtricosde Vieta para sus clculos orbitales. Recordemos que una de los motivacionesde Vieta para sus primeros trabajos haba sido la astronoma, que siempresera una de sus pasiones. No deja de tener inters hacer notar que fue el pri-mero en expresar el rea de un crculo de radio 1 como el lmite de un produc-to infinito, que llevara a lo que hoy escribimos como:

El lgebra, despus de l, se convertira con frecuencia en anlisis, crean-do con ello ciertas ambiguedades sobre el trmino. Nosotros distinguimos ac-tualmente lgebra y anlisis, pero hemos conservado el nombre de geometraanaltica, ligado al anlisis de Vieta por mediacin de Descartes. Fue stequien nos di la escritura y la generalizacin actual del lgebra. La notacinliteral que usamos es la suya: las ltimas letras del alfabeto para las incgnitasy las primeras para los coeficientes indeterminados. Asimismo nos liber de lanocin de homogeneidad, al menos en matemticas. Incluso aunque calificaralas soluciones negativas de falsas las tomaba en cuenta, y tambin tena encuenta las soluciones imaginarias; es seguro que el abandono de la homoge-neidad le permiti construir eso que llamamos geometra analtica. Recono-ca Descartes lo que probablemente le deba a Vieta? Veamos lo que dice Bailleten La vie de M. Descartes, de 1691:

Un da que [su maestro] le haba propuesto el problema ms di-fcil que pudo encontrar, pareci tan sorprendido por la novedad y su-tileza con que Descartes haba hallado la solucin mediante su nuevomtodo, que no atinaba a salir de su asombro, sino diciendo que crea

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que Vieta haba escrito algo sobre ese tema. Maravillado Descartes desaber que haba tropezado con alguien que se le haba adelantado enesa invencin, le pidi all mismo a su maestro que le procurara lamanera de conseguir un Vieta. Lipstopius aade que Descartes habaencontrado algo abstruso y difcil de descifrar en ese autor, y solicitrespetuosamente a su maestro que le ayudara; el maestro se excus deello por la dificultad del asunto [...] Eso fue lo que llev a Descartes aatenerse a lo que l mismo haba inventado sobre el anlisis con inde-pendencia de la invencin de Vieta y a contentarse con su propio geniopara lo que pudiera inventar o descubrir en adelante. [...] Para que vea-mos la escasa verosimilitud (de esta ancdota) basta aducir el testimo-nio de M. Descartes, quien en una carta dirigida a Mersenne en 1639sealaba que no recordaba ni siquiera haber visto la portada de Vietadurante su estancia en Francia.

A quin debemos creer? Sucede adems que otros, por el contrario, handeclarado lo que le deban a Vieta e incluso prefirieron sus notaciones a las deDescartes. Fue el caso de uno de nuestros ms brillantes matemticos, Pierrede Fermat. Otros, ingleses en su mayora, cultivaron el anlisis de Vieta parahacerlo progresar, como Harriet, Oughtred, Wallis y Anderson. Debemos re-conocer, no obstante, que la faceta arcaica de los escritos de Vieta, a pesar delgran avance que suponan para los matemticos, les pudo repeler. Citaremoscomo conclusin al historiador de las matemticas Montucla, que a mediadosdel siglo XVIII escriba:

El clebre M. Vite floreci en Francia hacia finales de ese siglo[el XVI]. Fue un hombre de una clase muy superior a la de sus compa-triotas que se dedicaron a esa misma actividad. El anlisis algebraicole debe numerosos descubrimientos. No fue menos profundo en la geo-metra antigua. [...] Vieta fue el primero en avanzar hasta 11 decimalesla relacin aproximada entre el dimetro del crculo y la circunferen-cia. Determin mediante frmulas analticas las relaciones entrre lascuerdas de los arcos mltiplos o submltiplos, y sobre ese principioelabor sus tablas trigonomtricas, que public bajo el ttulo de Canonmatemtico. Las obras de Vieta fueron recopiladas en 1646 porSchooten, con excepcin de su Canon. Hay que convenir en que, aexcepcin de lo que atae a la geometra antigua, el resto es casi ilegi-ble, tanto ha cambiado el estilo analtico, amn de que Vieta, muy fa-miliarizado con el griego, haba introducido denominaciones nuevasque no se adoptaron.

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Traducido del francs por Sergio Toledo, F.C.O.H.C.

¿franÇois viÈte, inventor del Álgebra

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