fracciones parciales

1

Fracciones parciales

Una función racional xQxP puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del

divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos que permitan factorizarlo atendiendo a :

a) Factores lineales distintos. b) Factores lineales repetidos o iguales. c) Factores cuadráticos distintos. d) Factores cuadráticos repetidos.

Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la dada del modo siguiente: a) Factores lineales distintos.

xQxP =

nn bxabxabxabxaxP

...332211

O sea que: xQ = nn bxabxabxabxa .... 332211 Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de xQ . El numerador de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N

xQxP

nn bxaN

bxaC

bxaB

bxaA

...

332211

I

Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ = nn bxabxabxabxa .... 332211 formamos una expresión sin

denominadores: nnnn bxabxabxaBbxabxabxaAxP ...... 33113322 nn bxabxabxaC ...2211 …+ 11332211 .... nn bxabxabxabxaN

En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha

de la función racional I : nn bxa

Nbxa

Cbxa

Bbxa

A

...332211

como

equivalente de la dada xQxP .

Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011

2

b) Factores lineales repetidos. xQxP =

baxbaxbaxbaxxP

...

Es decir: xQ baxbaxbaxbax ... nbax Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N xQxP

nbaxN

baxC

baxB

baxA

)(...

)()( 32

I

Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ nbax formamos una expresión sin denominadores: NbaxCbaxBbaxAxP nnn ...321

En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte

derecha de la función racional I como equivalente de la dada xQxP .

c) Factores cuadráticos distintos. xQxP =

nnn cxbxacxbxacxbxacxbxaxP

233

2322

2211

21 ...

Ahora: xQ nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa 2

332

3222

2112

1 ... Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M xQxP =

112

1 cxbxaBAx

222

2 cxbxaDCx

...33

23 cxbxa

FEx nnn cxbxa

MNx

2


3

Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ = nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa 2

332

3222

2112

1 ... formamos una expresión sin denominadores: nnn cxbxacxbxacxbxaBAxxP 2

332

3222

2 ... nnn cxbxacxbxacxbxaDCx 2

332

3112

1 ... nnn cxbxacxbxacxbxaFEx 2

222

2112

1 ... …+ 1)1(

2)1(22

2211

21 ... nnn cxbxacxbxacxbxaMNx

Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa multiplicación de los factores planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte

derecha de la función racional I como equivalente de la dada xQxP .

d) Factores cuadráticos repetidos.

xQxP =

cbxaxcbxaxcbxaxcbxaxxP

2222 ...

Siendo: xQ ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax 22222 ... Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M xQxP =

cbxax

BAx2

22 cbxax

DCx

...32 cbxaxFEx

ncbxaxMNx

2

I

Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax 22222 ...

formamos una expresión sin denominadores: P(x) = (Ax+B)

12 ncbxax (Cx+D)

22 ncbxax (Ex+F)

32 ncbxax

+…+ (Nx+M) Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los factores indicados. Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión

dada xQxP .


4

Ejemplos de Fracciones Parciales

Primer Caso. Factores de primer grado distintos.

Sea la función racional xQxP = 31

35

xx

x

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales

distintos 1x y 3x .

A partir de la fracción dada 3135

xx

x podemos construir dos fracciones cuya suma

sea equivalente a la fracción conocida: 31

x

Bx

A

Es decir: 313135

xB

xA

xxx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

común múltiplo 1x 3x , tenemos: 1335 xBxAx Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: BBxAAxx 335 Asociando en la derecha los términos semejantes: BAxBAx 335 Igualando los términos semejantes: En x: xBAx 5 ( I ) Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II ) De I Dividiendo entre x la expresión: 5 = A + B ( I )

-3 = -3 A + B ( II ) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción: Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B -3 = -3A+ B

Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B B = 34

12 B = 3

Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3 A= 5-3= 2 A = 2

Con los valores de A, B encontrados tenemos: 33

12

3135

xxxxx

La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.


5

Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos.

Sea la función racional 22

76

xx

xQxP

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales

iguales 22 xx .


76

xx podemos construir dos fracciones cuya suma sea

equivalente a la fracción conocida : 222

x

Bx

A

Es decir: 22 222

76

xB

xA

xx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

común múltiplo 22x , tenemos: BxAx 276 Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: )2(76 BAAxx Igualando términos semejantes: En x : 6 x = A x Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6 Términos independientes: BA 27 7= 2(6) +B Despejando B: B = 7-12 = -5 5B Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial:

22 2

52

6276

xxxx



6

Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos.

Sea la función racional xQxP

2112

22

23

xxxxx

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo

grado diferentes 21 22 xx .


22

23

xxxxx podemos construir dos fracciones cuya

suma sea equivalente a la fracción conocida : 21 22

xDCx

xBAx

Es decir: 212112

2222

23

xDCx

xBAx

xxxxx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

común múltiplo 21 22 xx , Tenemos: 1212 2223 xDCxxBAxxxx Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:

DDxCxCxBBxAxAxxxx 232323 2212 Factorizando a la derecha de la igualdad:

)2()2()()(12 2323 DBxCAxDBxCAxxx Igualando términos semejantes: En 3x : 33 )( xCAx Dividiendo entre 3x , tenemos que : 1 = A + C (I) En 2x : 22 )( xDBx Dividiendo entre 2x , tenemos que : 1 = B + D (II)

En x : xCAx )2(2 Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III) Términos independientes: )2(1 DB o sea que: 1= 2B + D (IV) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV : De I: 1 = A + C multiplicando por -1 -1 = -A - C Sumando con III: 2 = 2A + C 1= A A = 1 Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C = 0 Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV 1 = B + D multiplicando por -1 -1 = -B - D Sumando con IV: 1= 2B + D 0 = B por tanto B = 0


7

En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D 1 = 0 + D D = 1 Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial:

21)0(

10)1(

2112

2222

23

xx

xx

xxxxx

Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:

21

12112

2222

23

xxx

xxxxx



8

Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos.

Sea la función racional xQxP

22

2

99

xxx

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo

grado repetidos 99 22 xx .


2

99

xxx podemos construir dos fracciones cuya suma

sea equivalente a la fracción conocida : 222 99

xDCx

xBAx

Es decir: 22222

2

9999

xDCx

xBAx

xxx

Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo 22 9x tenemos:

DCxxBAxxx 99 22 DCxBBxAxAxxx 999 232

Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos semejantes a la izquierda:

)9()9(90 2323 DBxCABxAxxxx Igualando términos semejantes. En 3x : 330 Axx A = 0 En 2x : 22 Bxx B = 1 En x : xCAx )9( -1= 9 A + C -1 = 9(0) + C C = -1 Términos independientes: 9 = 9B + D 9 = 9(1) + D D = 0

En la expresión: 22

2

99

xxx =

222 99

xDCx

xBAx

Sustituyendo A, B, C y D tenemos:

22

2

99

xxx =

222 90)1(

91)0(

xx

xx

Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:

22

2

99

xxx =

222 991

xx

x



fracciones parciales

Education