sem04_2010-2 fracciones parciales
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MATEMATICATRANSCRIPT
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CALCULO INTEGRAL (ARQ)Sesin 4: Integracin de funciones racionales
por fracciones parciales Integracin con el uso de tablas
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Integrales que contienen polinomios cuadrticos
Muchas integrales que contienen una raz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrtico: ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar cuadrados.
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Integracin de Funciones Racionales mediante Fracciones ParcialesCmo integrar una funcin racional?Expresndola como una suma de fracciones ms simples, llamadas fracciones parcialesConsideremos la funcin racional:
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Si f es impropia; esto es, si grad(P(x)) grad(Q(x)), debemos dividir P entre Q hasta obtener un residuo tal que:Es posible expresar f como una suma de fracciones ms sencillas siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q ?Esa funcin racional se llama propia.
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El siguiente paso consiste en expresar la funcin racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:O bien
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Caso I: El denominador. Q (x), es un producto de factores lineales distintos.En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales queEsto significa que podemos escribir:
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Ejercicio: Determine
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Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten
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Por ejemplo: Resolver x = 1: C = 1x = 0: A = -2x = -1: B = 4
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Entonces:
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Ejercicio: Determine
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Integracin con el uso de tablas
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USO DE TABLASLas tablas de integrales son teoremas probados que enuncian antiderivadas, para muchos tipos de estructuras del integrando.Normalmente estn agrupadas con base a un elemento caracterstico del integrando: por ejemplo las que contienen ex, o las que incluyen u2 a2, etc. Para hacer coincidir una estructura con las formulas bsicas es necesario seleccionar adecuadamente a los elementos u, du, a y n; de acuerdo a la estructura elegida.
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Procedimientos comunes que se sugiere probar son:Simplificar algebraicamente el integrando.Separar el integrando en sumandos y separar las integrales.Hacer una sustitucin directa para simplificar, se ve directamente u y du.Completar los cuadrados para lograr cubrir formas: u2 + a2 , u2 a2 (u a) 2.
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Conclusin El procedimiento resulta adecuado si despus de la sustitucin u, du, la estructura de la integral es idntica a los teoremas bsicos y se aplica directamente la antiderivacin.
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Frmulas
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Resolver los siguientes ejercicios: