formulas integrales de cauchy. 2 más sobre integración en contornos cerrados... podemos usar el...
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Formulas integrales
De Cauchy
2
Más sobre integración en contornos cerrados...Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:
(a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones
Por ejemplo,
0C z
dzC
f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0
Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?
C
?C z
dz
20,
1
circulo el es C donde 85
)(
13
t
iz
dziziz
C
EJEMPLO
4
)(2)(
00
zfidzzzzf
C
Fórmula Integral de CauchySea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0:
D0z
C
5
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
C z
dz
12(2) donde C es el círculo |z+i |=1
Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como:
En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presentapuntos singulares en z = i.
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula
Ci
i
D
dziziz
iziz
dz
z
dz
CCC
1
))((12
6
C z
dz
12
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
iz 0
Ci
i
D
izzf
1)(
2/)( 0 izf
dziziz
iziz
dz
z
dz
CCC
1
))((12
8
C z
dz
14
C
i
i
1 1Tenemos que
CC izizzz
dz
z
dz
))()(1)(1(14
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula
CC
dziz
zf
z
dz )(
14 ))(1)(1(
1)(
izzzzf
donde
4)2)(1)(1(
1)()( 0
i
iiiifzf
Ahora
2)(2
)(
1 00
4
zfidzzz
zf
z
dz
CC
donde C es el círculo |z+i |=1
Fórmula integral de Cauchy para derivadas
Y SI TENEMOS EXPONENTE en El denominador?
Generalización de la fórmula integral de Cauchy
)(
!2)(
0)(
10
zfn
idz
zz
zf n
Cn
En su forma mas operativa
Generalización de la fórmula integral de Cauchy
C z
zC
dzzd
idzz
z
dzzzd
idzz
zz
2
2
2
3
1
2
2
2
0
0
cos
2
cos
,3
21
3
12
)(2)(
)(02
0
zfidzzz
zf
C
Otro Ejemplo
Evaluar la integral
C
z
dzz
e2
donde C es el círculo |z |=2
C
00 zsea
zezf )(sea
f (z) es analítica en D, y C incluye z0
0
0 )(
)(
ezf
ezf z
D
iz
dze
C
z2
22
14
)(2
2
)(
)(03
0
zfi
dzzz
zf
C
Ejemplo
Evaluar la integral
C
dziz
z3
2
donde C es el círculo |z |=2
C
iz 0sea
2)( zzf sea
f (z) es analítica in D, y C incluye z0
2)(
2)(
0
zf
zf
D
iiz
dzz
C
2)( 3
2
15
Calcular
donde C es la circunferencia con sentido positivo.
C
z
dziz
e32
3z
i
C
zi
iz
Cn
n
C
z
ieIi
Idz
iz
e
ie
ezfezfiz
siendo
dzzz
zf
i
nzf
dziz
eI
23
2
200
10
0)(
3
22
!2
)()(;2
:
, )(
2
!
2
17
18
19
Si se tienen dos puntos singulares dentro de C, se usa Deformacion de contornos
o fracciones parciales
22
0C
C0z
zier0
Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy:
Por el principio de deformación de contornos:
0 00
)()(
CC
dzzz
zfdz
zz
zf
derzfideirer
erzfdz
zz
zf ii
Ci
i
2
0 000
2
00
00
0
)()()(
0
ii eir
d
dzerzz 000 ;
Cambio de variable:
23
Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño:
)(2)(
)()(lim
0
2
00
2
0 0
2
0 0000
zifdzif
dzfiderzfi i
r
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
¿Qué no es riguroso aquí?
APLICACIONES
Se dice que un dominio D es simplemente conexo si cualquier contorno cerrado simple C que se localice completamente en D puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. En otras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquier contorno cerrado simple C que se encuentre completamente en aquél encierra únicamente a puntos del dominio D. Expresado en forma alterna, un dominio simplemente conexo no tiene “orificios”. El plano complejo completo es un ejemplo de un dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplemente conexo se denomina dominio múltiplemente conexo; esto es, un dominio múltiplemente conexo tiene “orificios”, véase figura 10.8. Un dominio con un orificio se denomina doblemente conexo, un dominio con 2 orificios se denomina triplemente conexo, etc.
Preliminares
En 1883, el matemático francés Édouard Goursat demostró el teorema de Cauchy sin la hipótesis de continuidad de f‘. La versión modificada resultante del teorema de Cauchy se conoce como teorema de Cauchy-Goursat.
Como el interior de un contorno cerrado simple es un dominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy-Goursat puede plantearse en forma poco más práctica:
Se prueba Con GreenY cauchy Riem
TEOREMA DE CAUCHY GOURSAT