fórmulas de integración inmediata
TRANSCRIPT
![Page 1: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/1.jpg)
Fórmulas de integración inmediatas…
A través de esta guía paso a paso lograremos utilizarlas e integraremos con
éxito.
“No duermas para descansar,
duerme para soñar. Porque los sueños están
para cumplirse”Walt Disney
![Page 2: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/2.jpg)
• Formula 1 • Formula 2• Fórmula 3• Fórmula 4• Fórmula 5• Fórmula 6• Fórmula 7• Fórmula 8• Fórmula 9
¿Qué fórmula quieres ver? • Fórmula 10
• Fórmula 11• Fórmula 12• Fórmula 13• Fórmula 14• Fórmula 15• Fórmula 16• Fórmula 17• Fórmula 18• Fórmula 19• Fórmula 20
• Fórmula 21• Fórmula 22• Fórmula 23• Fórmula 24• Fórmula 25• Fórmula 26• En caso de que “du” este incompleta ¿Qué hacer?
![Page 3: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/3.jpg)
Fórmula 1
∫d x = x + cIntegrando la derivada de “x”
Nuestro resultado es…
X + CVeamos un ejemplo
∫ d p = p + c
![Page 4: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/4.jpg)
Vamos veamos algunos ejemplos más ∫ dt = t + c
∫ df = f +c¿Qué tal algunos ejercicios?
∫ dg = ∫ dh =∫ dq =
Volver a otras fórmulas…
![Page 5: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/5.jpg)
Fórmula 2
∫ dx / x = ln x + cAhora que sabemos utilizar la 1 pasemos a la 2Para poder utilizar la fórmula 2, necesitamos comprobar que:- La integral sea una división - El divisor debe tener variable
Veamos algunos ejemplos
∫ 8dx / 2x = 4 In x + c∫ 3dx / 2x = 3/2 In x + c
![Page 6: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/6.jpg)
Ahora los ejercicios…∫ 3dx / 5x=
∫ -2dx / 3x =
∫ 6dx / 2x =
∫ dg / g = No te olvides de practicar
Volver a otras fórmulas…
![Page 7: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/7.jpg)
Fórmula 3∫ a dx = a ∫ dx
Pon mucha atención, en este caso a representa a cualquier número.
Paso 1.- En esta formula a tiene que salir de la integral.
∫ 7 dx = 7 ∫ dxPaso 2.- La relacionaremos con lo que ya sabemos, encuentra la formula que te funcione para resolver la
integral que nos quedo.En este caso usaremos la fórmula 1 y colocaremos
primero que nada el 7 en nuestro resultado.
7 ∫ dx = 7x + c
![Page 8: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/8.jpg)
Dos ejemplos:
∫ 3dx = 3∫ dx = 3x +c ∫ 3/5 dx= 3/5 ∫ dx = 3/5x + c
Si ya la comprendimos, hagamos algunos ejercicios.
∫ 6dx =
∫ ½ dp=
Volver a otras fórmulas…
![Page 9: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/9.jpg)
Fórmula 4
∫ x dx= x / n + 1 + cSigamos los pasos para resolverla
∫ x dx= Paso 1.- Encuentra “n” en este caso
n = 6Paso 2.- Súmale 1 a “n” y coloca “x”
∫ x dx= 6 + 1 xPaso 3.- divídelo entre n + 1
∫ x dx= x / 7
6
6
6 7
n n + 1
![Page 10: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/10.jpg)
A por cierto no olvides la constante.
∫ x dx= x / 7 + cY ese es el resultado
Veamos otro caso que podemos encontrar.
∫ dx / √x =Tranquilo ahora veremos que hacer.
La vamos a convertir, en x elevado a ½, pero no tan rápido, esta abajo… la debemos
subir.
∫ dx / x =
6 7
½
Valla una raíz cuadrada
![Page 11: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/11.jpg)
Para subirla, necesitamos cambiarle el signo a la potencia.
∫ dx / x = ∫ x dx
Y usando los conocimientos que ya aprendimos de la fórmula 4 resolveremos esto.
∫ x dx = x / ½ + c
- ½ + 2/2 = ½
½ -½
-½
½
Acuérdate, tienes que tomar en cuenta el
signo de la potencia al momento de hacer la
suma.
![Page 12: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/12.jpg)
Si seguiste los pasos, estas listo para resolver los ejercicios. Vamos tú puedes
∫ x dx=
∫ 3 x dx=
∫ (4 / √x ) dx =
∫ (8 / √x ) dx =
Volver a otras fórmulas…
-5
6
![Page 13: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/13.jpg)
Fórmula 5
Aquí tenemos la siguiente fórmula.
∫(du + dv – dw)= ∫du + ∫dv - ∫dw
¿Se ve difícil eh? Pero no lo es, veamos con un ejemplo paso a paso como
resolverlas.
Paso 1.- Integraremos por separado
∫(7x + 4x– 3) dx= ∫ 7x dx + ∫4x dx - ∫3 dx33
![Page 14: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/14.jpg)
Paso 2.- ahora resuelve las integrales una por una.Ten en cuenta que al integrarlas puedes necesitar
fórmulas distintas
∫ 7x dx + ∫4x dx - ∫3 dx =
Veamos la primera: ∫ 7x dx = 7 ∫ x dx = 7 x / 4
Ahora la segunda:
∫4x dx = 4 ∫x dx= 4x / 2
3
3
3
4
2
![Page 15: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/15.jpg)
Y la tercera: - ∫3 dx = - 3 ∫ dx = -3x
Unamoslo y quedara así 7 x / 4 + 4x / 2 - 3x + c
Fácil ¿no? simplifiquemos esto. 7 x / 4 + 2 x - 3x + c
Es nuestro resultado
4 2
4 2
![Page 16: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/16.jpg)
No olvides los ejercicios.
∫(3x²-7x+2) dx =
∫(x²-2x+8) 4x dx =
∫(5x³-2x+10) dx =
Volver a otras fórmulas…
![Page 17: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/17.jpg)
Fórmula 6
Ahora conozcamos la fórmula 6∫ U du = U + C
Veamos paso 1 .- identifica ¿Quién es U? ¿Quién es n?
y¿Está completa la derivada?
∫ √ (6x -8) 18x dx = Si no estuviera completa, la vamos a terminar con lo
que falta, también deberás colocar lo inverso al inicio.
Solo si faltan números a la derivada, no variables.
n + 1
n + 1
3 2
![Page 18: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/18.jpg)
Paso 2.- sustituye según lo que diga la fórmula.
∫ √ (6x -8) 18x dx = ∫(6x -8) 18x dx=
(6x -8) +c3/2
Y listo…
½
33 2
3/2 3
![Page 19: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/19.jpg)
Ahora los ejercicios.
∫ (3x -9x) (5x -2) dx=
∫ (4x -7) dx=
∫ √(x -2) 5x dx=
Volver a otras fórmulas…
4 2
7
5
4
![Page 20: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/20.jpg)
Fórmula 7
∫ du / u = In u +cPaso 1: Identifica u y du en la integral, ¿du,
esta completa?Paso 2: ¿si?, sigue la fórmula.
∫ 8 dx / 8x – 4 = In (8x -4) + c
U= 8x - 4Du= 8
![Page 21: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/21.jpg)
¿No? complétala
∫ dx / 8x – 4 = 1/8 ∫ 8 dx / 8x – 4 = 1/8 In (8x – 4) + c
Y ese es nuestro resultado. A practicar:
∫ x dx / (5x + 1) =
∫ dx / 10x – 3 =
∫ (20x – 8x) / √5x – 4x dx =
Volver a otras fórmulas…
2 3
2
4
3
![Page 22: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/22.jpg)
Fórmula 8
∫ e du = e +cEsta fórmula es de las más sencillas, veamos como resolverla
Paso 1.- Identifica “u” y “du”
∫ e 4dx =u = (4x – 3)
du = 4dxPaso 2.- Sigamos la fórmula y con lo que ya aprendimos en
las otras fórmulas.
∫ e 4dx = e + c
Y listo… fácil ¿no?
u u
(4x – 3)
(4x – 3) (4x – 3)
![Page 23: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/23.jpg)
• Ahora ejercicios.
∫ e dx =
∫ e (10x )dx =
∫ e 32x dx =
Volver a otras fórmulas…
(3x – 2)
(4x ^5)4
(8x ^4 -3)
3
![Page 24: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/24.jpg)
Fórmula 9
∫а = a / ln a + cSigamos los pasos para resolver cualquier
integral con la fórmula 9.Paso 1:
∫5 4xdx= Reconoce “u” y “du”.
u = (2x ^2)du = 4x
Si du esta completa seguiremos la fórmula para resolverla.
u u
(2x ^2)
![Page 25: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/25.jpg)
Este es nuestro resultado
∫5 4xdx= (5 / In 5 )+ c
∫5 14xdx=
∫4 x dx=
∫4 x²dx =
Volver a otras fórmulas…
(2x ^2)
(2x ^2)
(7x ^2)
(3x ^2)
(3x ^3)
![Page 26: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/26.jpg)
Fórmula 10
∫Sen u du = -Cos u+ cPara resolver una integral que posee la
función seno:
Paso 1: Como ya sabemos, necesitamos identificar “u” y
“du”.∫Sen 8x 16xdx =
u = 8xdu = 16x
Ahora la du esta completa, podemos seguir, de no ser así tendríamos
que agregar lo que le falta.
2
2
![Page 27: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/27.jpg)
Paso 2.- Sigue la fórmula 10 y sustituye.
∫Sen 8x 16xdx = - Cos 8x + cNuestro resultado
Hagamos ejercicios para prácticar∫Sen 2x 2dx =
∫Sen 1/5 x dx =
∫Sen 4x 8xdx =
Volver a otras fórmulas…
2 2
2
![Page 28: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/28.jpg)
Fórmula 11
∫Cos U du = Sen U + C Entendámosla con un ejemplo
∫Cos 10x 10dx =Paso 1.- Identifica “u” y “du” en este punto, esto es
fácil. Paso 2.- “du” ¿esta completa?, sigamos la fórmula es
sencillo.
∫Cos 10x 10dx = sen 10x + c Fácil ¿verdad?
Listo para los ejercicios
![Page 29: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejercicios 1/7 ∫Cos x x dx =
½ ∫Cos 10x x dx =
∫5Cos x xdx =
½ ∫Cos 4x x dx =
Volver a otras fórmulas…
3 2
3 2
2
3 2
![Page 30: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/30.jpg)
Fórmula 12
∫sec² U du = tg u +cA resolverla, es sencilla. Paso 1: En el ejemplo, identifica quien es “u”
y “du”.
∫sec² (4x³ - 3) 12x² dx = Paso 2.- Una vez ya identificadas, sigamos la fórmula y
deberá quedar así:
∫sec² (4x³ - 3) 12x² dx = tg (4x³ - 3) + c
![Page 31: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/31.jpg)
¿Qué tal algunos ejercicios?
∫6 sec² (8x² - 5)x dx =
∫12 sec² (x³ + 8) x² dx =
∫-3 sec² (x² -7) x dx =
∫sec² (9x² - 5) 18x dx =
Volver a otras fórmulas…
![Page 32: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/32.jpg)
Fórmula 13
Conozcamos la fórmula 13
∫csc ² U du = - ctg u +cPaso 1.- Identificar “u” y “du”.
1/16 ∫csc ² (4x ²) 16xdx =Paso 2.- Primero coloca la fracción como en la
fórmula 3, sigue tu fórmula original y listo.
1/16 ∫csc ² (4x ²) 16xdx = - 1/16 ctg (4x ²) + c
![Page 33: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/33.jpg)
Siguen los ejercicios:
∫csc ² (3x ) dx =
∫- 4 csc ² (9x - 3) dx =
2/5 ∫csc ² (5x ²) xdx =
2/5∫csc ² (10x ²) xdx =Volver a otras fórmulas…
![Page 34: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/34.jpg)
Fórmula 14
∫secU tgU dU = secU +cSe utilizara cuando secante se encuentre
junto a tangente, y siempre y cuando “u” en sec y tg sea idéntica.
∫sec 4x tg 4x 4dx =Paso 1.- Identifica “u” y “du”, comprueba que
“du” este completa.
∫sec 4x tg 4x 4dx =
![Page 35: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/35.jpg)
Paso 2.- Recuerda debes seguir la fórmula original.
∫sec 4x tg 4x 4dx = sec 4x + cY tenemos nuestro resultado.
Ejercicios:
1/6∫sec 7x³ tg 7x³ 21x² dx =
∫ 4 sec 5x tg 5x dx =
1/6 ∫tg 4x² sec 4x² xdx =
Volver a otras fórmulas…
Muy fácil, que vengan los ejercicios.
![Page 36: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/36.jpg)
Fórmula 15
∫cscU tgU dU = cscU +c¿Te has dado cuenta que las fórmulas se parecen? Pero observa bien para no equivocarte de fórmula,
veamos un ejemplo.Paso 1.- Identifica y verifica que cumpla los requisitos
∫csc x³ tg x³ 3x ² dx = Paso 2.- Seguir la fórmula
∫csc x³ tg x³ 3x ² dx =
¡ Listo !
![Page 37: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/37.jpg)
Tres ejercicios sencillos:
∫csc 8x ² tg 8x ² xdx =
∫csc 3x² tg 3x² xdx =
∫csc 8x ² tg 8x ² xdx =
Volver a otras fórmulas…
![Page 38: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/38.jpg)
Fórmula 16
∫tgU dU = - In cosU +c = In sec U + c
En esta fórmula, podemos colocar nuestro resultado de dos formas.
Veamos un ejemplo∫tg 8x dx=
Paso 1.- Identifica las partes que la conforman
Paso 2.- Completa du y sustituye
∫tg 8x dx= 1/8∫tg 8x 8 dx = - ln cos 8x + C
= ln sec 8x + C
![Page 39: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/39.jpg)
Agiliza la mente con algunos ejercicios:
1/5∫tg 5x2 10xdx
∫tg 3x3 x2dx=
∫5 tg 7x3 21x2dx=
Volver a otras fórmulas…
![Page 40: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/40.jpg)
Fórmula 17
∫ctg u du = In senU +cVeamos un ejemplo para comprenderla
∫ctg x³ 3x² dx=Paso 1.- ¿Cuál es “u”?
Paso 2.- ¿ “du” esta completa?Paso 3.- Sigamos la fórmula
∫ctg x ³ 3x² dx= In sen x ³ + c
![Page 41: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/41.jpg)
Practicando:
∫8/9 ctg 3/5x dx =
∫-3 ctg 10x ³ x² dx =
∫4/5 ctg 3/5x dx =
Volver a otras fórmulas…
![Page 42: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/42.jpg)
Fórmula 18
∫ Sec u du = ln (Sec u + tg u) +c
Paso 1.- Identifica “u” y comprueba que “du” este completa, de no ser así cámbiala.
∫ Sec 9 x² 18x dx =Paso 2.- Ahora que sabes cual es, y esta completa, sigamos la fórmula y
habremos terminado.
∫ Sec 9 x² 18x dx = In (Sec 9x² + tg 9x²) + c
A que esta fácil
![Page 43: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/43.jpg)
Ejercicios:
∫3 Sen 8x dx =
½ ∫ Sen 4x dx =
∫ 2 Sen 6x ² x dx =
Volver a otras fórmulas…
![Page 44: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/44.jpg)
Fórmula 19
Podemos comprender la fórmula 19 con un sencillo ejemplo:
∫Csc U du=ln (csc U – ctg U)+C Recuerda los pasos para resolver cualquier
integral Paso 1.- Identifica las partes de la
integral “u” y “du”∫5 Csc 3x 3dx=
Paso 2.- Verifica que este completa, y sustituye.
∫5 Csc 3x 3dx= In (csc 3x – ctg 3x) +c
![Page 45: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/45.jpg)
Ejercicios:
∫18 Csc (5x ³- 2) x² dx=
∫ - Csc 6x² 12x dx =
∫ 4/5 Csc (7x +3) dx=
Volver a otras fórmulas…
![Page 46: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/46.jpg)
Fórmula 20∫ du = 1 arctg u + c
*Alto* esta formula solo la utilizaremos si la u² y a² se suman.
Debes tener en cuenta que a² representa un número cualquiera elevado al cuadrado.
Pongamos un ejemplo fácil para entenderla
∫ dx =
Para resolver una integral como esta, debemos comprobar si no es posible utilizar la fórmula 6 o 7, si “du” no esta completa, y
es una variable lo que le falta, tendremos que usar la 20
u²+ a²
a
a
x² + 49
![Page 47: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/47.jpg)
Paso 1.- Primero verificaremos que sea la fórmula 20
Paso 2.- identificaremos “u²”, “a²”, “u”, “a” y “du”
∫ dx =x² + 49
Paso 3.- Ahora solo tenemos que seguir la fórmula.
∫ dx = 1 arctg x +c x² + 49² 7
7¡Listo! Terminamos
u² = x²a² = 49u = xa = 7du = 2x
![Page 48: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/48.jpg)
Ejercicios:
∫ dx =x² + 81
∫ dx =16x² + 9
Volver a otras fórmulas…
![Page 49: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/49.jpg)
Fórmula 21
∫ du = 1 In u - a + c
Debes poner atención, esta es una resta, es muy importante el orden
Paso 1.- ¿ Es una resta? Podemos identificar sus componentes.
∫ dx =x² - 16
u² - a²
2a
u + a
u² = x²a² = 16u = xa = 4du = 2x
![Page 50: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/50.jpg)
Paso 2.- Ahora Seguiremos nuestra fórmula original.
∫ dx = 1 In x - 4 + c
Y listo, tenemos nuestro resultado.
Y para practicar, hagamos ejercicios.
8 X + 4
x² - 16
![Page 51: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/51.jpg)
A practicar∫ dx =
∫ dx =
∫ dx =
Volver a otras fórmulas…
25 - 6x²
4x² - 16
49x² - 16
![Page 52: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/52.jpg)
Fórmula 22
Observa atentamente el orden del minuendo y sustraendo
Paso 1.- Identifica “u²”, “u”, “a²”, “a” y “du”.
ò 8dx =9 - 64²
u² = 64x²u = 8a² = 9a = 3
du = 8dx
a² - u²
du = 1 Ln a+u + c a²-u² 2a a-u
![Page 53: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/53.jpg)
Paso 2.- Sustituye los valores de tu integral.
ò 8dx = 1 In 3 + 8x + c 9 - 64² 6 3 – 8xEste es el resultado. Sencillo.
Ejercicios:
Volver a otras fórmulas…
∫ dx 81-
16x²∫ dx
25-4x²
![Page 54: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/54.jpg)
Fórmula 23
Aquí también deberás tener en cuenta el orden del minuendo y sustraendo
√ (a²-u² ) Ahora comprendámosla con un ejemplo.
ò dx = √ (25 – 3x² )
ò du = arc sen u + c
√ (a²-u² ) a
![Page 55: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/55.jpg)
ò dx = √ ( 25– 3x² )
Paso 1.- Identifica “u²”, “u”, “a² “, “a” y “du”. No te olvides de comprobar que “du” este completa.
Paso 2.- Sigue la fórmula original para contestarla.
u² = 3x²u = √3xa² = 9a = 3
du = 8dx
![Page 56: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/56.jpg)
Y el resultado es:
ò dx = arc sen 6x/ 8 +c √ (64 – 36x² )
Ahora
¿Qué tal algunos
ejercicios?
![Page 57: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/57.jpg)
Fórmula 24
∫ dU = In (U + √U² + a²) + C √U² ± a²Cuidado con esta fórmula, ya que tiene dos aplicaciones, (±)
en la suma (sin importar el orden de los sumandos) o en la resta (verificando el orden).
Ejemplo:∫ dU = In (U + √U² + a²) + C
√x² - 9
Cuidado!
![Page 58: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/58.jpg)
Paso 1.- Identificar nuestros datos.
Paso 2.- Sigue la fórmula Terminamos.
∫ dx = In x + √x² - 9² + C √x² - 9Ahora los ejercicios:
∫ dx = √4x² -
9∫ dx =
√25x² + 16
Volver a otras fórmulas…
u² = x²u = xa² = 9a = 3 du = dx
![Page 59: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/59.jpg)
Fórmula 25
∫ √a² – u² du = u/2 √a² – u² + a²/2 arc sen u/a + c
Paso 1.- Identifica “u” y “a” en nuestro ejemplo.
∫ √ 16 - 9x² 3dx= u² = 9x²
u= 3xa² = 16
a= 4du= 3dx
![Page 60: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/60.jpg)
Paso 2: Solo queda sustituir valores en la fórmula original
∫ √ 16 - 9x² 3dx= 3x/ 2 √ 16 – 9x² + 16/2 arc sen 3x/ 2 + c
¡Y listo, nuestro resultado esta listo!
Practiquemos
∫ √ 36 - 2x² dx =
∫ √ 16 - 4x² dx =
∫ √ 25 - 64x² dx =
Volver a otras fórmulas…
![Page 61: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/61.jpg)
Fórmula 26
Ahora la última…
∫√ux² ± a² du =u/2 (√u² ± a²) + a²/2 ln(√ u² ± a²)+ C
Cuidado con esta fórmula, ya que tiene dos aplicaciones, (±) en la suma (sin importar el orden de los sumandos) o en la
resta (verificando el orden).Veamos un ejemplo:
∫√25x²+49xdx=
Paso 1.- Identifica sus partes:u²=25x2 a²=49u=5x a=7
du=5dx
![Page 62: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/62.jpg)
Paso 2.- Completa y sustituye
En este caso du esta incompleta, debemos terminarla…
La derivada de 5x es… 5∫√25x²+49 dx=
1/5∫√25x²+495dx =(1/5) (5x/2) √(25x² ) + 49/2 ln
(5x+√25x²+49 )+C =5x/10∫√25x²-49/2 ln (5x+√25x²+49 )+ CAntes de finalizar… ¿te das cuenta de
que tenemos 2 resultados?... Uno positivo y otro negativo.
Terminamos…
¿ Ya sabes integrar?
![Page 63: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/63.jpg)
Ejercicios:
∫√9x²-16 3xdx=
∫√2x²-9 dx=
∫√36x²+ 25 xdx=
Volver a otras fórmulas…
![Page 64: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/64.jpg)
En caso de que “du” este incompleta ¿Qué hacer?
No te vallas sin ver esto.En este caso du esta incompleta,
debemos terminarla…Obtenemos “du” cuando derivamos “u” en
una integral, sin embargo en algunos casos no esta completa…
∫Sen ½ x dx = la derivada de ½ x es ½… esta
incompleta…
![Page 65: Fórmulas de integración inmediata](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020920/556d600ad8b42a6b4d8b5029/html5/thumbnails/65.jpg)
Entonces, colocaremos el ½ que falta, pero también es necesario colocar un 2 fuera de la integral.
2∫Sen ½ x ½ dx =Ahora si podemos integrar…
En el caso contrario…
½ ∫Sen x² 2xdx =
Volver a otras fórmulas…