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FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II

1 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno

AMAT®

Aprendizaje Matemático. Centro de Desarrollo Matemático.

Formulario de Probabilidad para Licenciatura.

Elaborado por:

Act. Erick Mier Moreno Director General del Centro de Desarrollo Matemático

AMAT®

Lugar y Fecha de Elaboración:

AMAT. Armada de México (Cafetales) No. 1450 Loc. 11, Col. Residencial Cafetales, C. P. 04918, México D. F.

Tel: 56-73-33-34



1.- Conjuntos

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1.1) ; ; ; 1.2) ; ;

1.3)

1.4)

1.5) Si , entonces y 1.6) y 1.7) Leyes de DeMorg

n n

i ii i

n n

i ii i

A B B A A B B A A A A A A AA A A A A

A B A B

A B A B

A B A B B A B AA B A A B A B B A B

= =

= =

= = = =∅ = ∅ =∅ −∅ =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠⊂ = =

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

∪ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩∪ ∩

∩ ∪ ∪ ∩

∪ ∩ ∩ ∪

∪ ∩∩ ∪ ∩ ∪

( ) ( )1 1 1 1

an:

1.7.1) ;

1.8) Para dos conjuntos y se cumple que

c cn n n nc c

i i i ii i i i

C

A A A A

A B A A B A B

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

∪ ∩ ∩ ∪

∩ ∪ ∩

2.- Medida de probabilidad P(A). Propiedades.

( ) ( )( )

1

1 1

2.1) 1; 0

2.2) 0 1 para todo evento 2.3) Si , , son eventos tales que para toda , entonces

( )

2.4) Si entonces ( ) ( )2.5) Para cualesquiera

n i j

nn

i ii i

P P

P A AA A A A i j

P A P A

A B P A P B= =

Ω = ∅ =

≤ ≤

=∅ ≠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⊂ ≤

∑

… ∩

∪

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11

eventos , y :2.5.1)

2.5.2)

2.5.3)

2.5.4)

2.6) 1

2.7) Para cualesquiera eventos , , ,

c c

c

C

n

n ii

P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

A B CP A B P A P B P A B

P A B P A B P A B P A B

P A P A B P A B

P A P A

A A P A P=

= + + − − − +

= + −

= + +

= +

= −

⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

∪ ∩

∪ ∩ ∩ ∩

∩ ∩

… ∪ ( )1

. La igualdad se da

cuando los eventos son mutuamente excluyentes. 2.8) Probabilidad Clasica: Si es un conjunto de atomos muestrales equiprobables,

entonces para cualquier ev

n

ii

A=

Ω

∑

( ) #( )ento , . #( )

AA P A⊂ Ω =Ω



3.- Probabilidad condicional

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

3.1) Para cualesquiera dos eventos y tales que 0. Se define la probabilidad

condicional de dado , denotada por como: .

3.2)

3.3) Ya que e

A B P B

P A BA B P A B P A B

P B

P B A P AP A B P A B P B P B A P A P A B

P B

P B

>

=

= = ⇒ =

∩

∩

i

( ) ( )( )

1

1 1

s una medida de probabilidad, esta cumple:

3.3.1) 1; 0

3.3.2) 0 1 para todo evento

3.3.3) Si , , son eventos tales que para toda , entonces

( )

n i j

nn

i ii i

P B P B

P A B A

A A A A i j

P A B P A B= =

Ω = ∅ =

≤ ≤

=∅ ≠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

… ∩

∪

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

3.3.4) Si entonces ( ) ( )3.4) Para cualesquiera eventos , y :

3.4.1)

3.4.2)

3.4.3)

3.4.4) 1

3.5) Para cualesquiera event

c c

c

C

A C P A B P C BA B C

P A C B P A B P C B P A C B

P A C B P A C B P A C B P A C B

P A B P A C B P A C B

P A B P A B

⊂ ≤

= + −

= + +

= +

= −

∑

∪ ∩

∪ ∩ ∩ ∩

∩ ∩

( )11 1

os , , , nn

n i ii i

A A P A B P A B= =

⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

∑… ∪

4.- Probabilidad total

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 1

4.1) Para y eventos:

4.2) Si , , forman una particion de , es decir para

y ademas, , entonces:

c c

n i j

n nn

i i i ii i i

A B P A P A B P B P A B P B

B B B B i j

B P A P A B P A B P B= = =

= +

Ω =∅ ≠

= Ω = =∑ ∑

… ∩

∪ ∩

5.- Teorema de Bayes

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

5.1) Para y eventos: c c

P A B P BA B P B A

P A B P B P A B P B=

+



( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1

1

5.2) Si , , forman una particion de , es decir para

y ademas, , entonces:

n i j

n j ji j ni

i ii

B B B B i j

P A B P BB P B A

P A B P B=

=

Ω =∅ ≠

= Ω =

∑

… ∩

∪

6.- Regla de la multiplicación

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1 2 1 3 1 2 1 2 1

Para , , eventos tales que 0, entoncesn n

n n n

A A P A A

P A A P A P A A P A A A P A A A A −

>

=

… ∩…∩

∩…∩ ∩ ∩ ∩…∩

7.- Independencia

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

1

7.1) Se dice que y son independientes si y solo si 7.2) , , son mutuamente independientes si y solo si:

para toda 2,3,..., .

7.3) Si y son independientek K

n

i i i i

A B P A B P A P BA A

P A A P A P A k n

A B

=

= =

∩…

∩…∩

s, entonces y , y , y son independientes7.4) y son eventos independientes a cualquier evento A.

c c c cA B A B A BΩ ∅

8.- Variables Aleatorias. Función de densidad ( ) ( ) ( ), o Xf x f x p x

( ) [ ]

( )( )

1

8.1) Caso Discreto. La variable aleatoria toma valores en un conjunto a lo mas numerable de numeros reales , , ,

8.1.1) Se define y cumple que:

8.1.2) 0 para toda

8.1.3)

n

x

x x

f x P X x

f x x

f x P X

= =

≥ ∈

=∑

… …

( )

( ) [ ] ( )

( )

1

8.1.4) La probabilidad del evento , es

8.2) Caso Continuo. La variable aleatoria toma valores en intervalo(s) de los reales o sobre todo el conjunto , .

8.2.1) En

x

x A

x

A P A P X A f x∈

= =

= ∈ =

= −∞ +∞

∑

∑

( ) [ ] [ ]( )

( )

[ ] ( )[ ] [ ]

-

este caso , ya que =0 para toda . Cumple:

8.2.2) 0 para toda

8.2.3) 1

8.2.4) La probabilidad del evento ( , ) es

8.2.5) En caso continuo

b

a

f x P X x P X x x

f x x

f x dx

A a b P a X b f x dx

P a X b P a X b P a

∞

∞

≠ = = ∈

≥ ∈

=

= < < =

< < = ≤ < = <

∫∫

[ ] [ ]X b P a X b≤ = ≤ ≤



9.- Función de distribución ( ) ( ) o XF x F x y supervivencia ( ) ( ) o XS x S x

( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

( ) [ ]

( ) [ ] ( ) ( )0

9.1) Por definicion: y 1 19.2) Caso Discreto (C. D.),

limt x

h

F x P X x S x P X x P X x F x

F x P X t

f x P X x F x F x h+

≤

→

= ≤ = > = − ≤ = −

= =

⇒ = = = − −

∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

9.3) Caso Continuo (C. C.),

;

'

9.4) Propiedades de (C. D. y C. C.)

9.4.1) es una funcion monotona no decreciente

9.4.2) lim 1 y lim 0

9.4.3) es

x

x x

F x f u du

df x F x F xdx

F x

F x

F x F x

F x

−∞

→∞ →−∞

=

⇒ = =

= =

∫

[ ] ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

una funcion continua por la derecha

9.4.4)

9.5) Funcion de riesgo o falla ( ) ln 1 (C. C.)1

P a X b F b F a

f x f x dh x F xS x F x dx

< ≤ = −

= = = − −⎡ ⎤⎣ ⎦−

10.- Esperanza de una variable aleatoria, valor esperado, 1er momento, media, promedio, ( ) o E X µ .

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

( )( )( ) ( )

10.1) (C. D.)

10.2) (C. C.)

10.3) Propiedades de para ambos casos

10.3.1) para toda

10.3.2) para toda ,

10.3.3) Si es una v. a. no negati

x xE X xf x xP X x

E X xf x dx

E X

E c c c

E aX b aE X b a b

X

∞

−∞

= = =

=

= ∈

+ = + ∈

∑ ∑

∫

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 1

0

0

va, entonces 0

10.3.4) Si , entonces

10.4) 1

E X

g X g X E g X E g X

E X F x dx F x dx∞

−∞

≥

≥ ≥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − −∫ ∫



[ ) ( ) ( )( )

[ ) ( ) ( )( )

10.5) Si esta definida en el intervalo , 1

Si esta definida en el intervalo , 1

a

b

a

X a E X a F x dx

X a b E X a F x dx

∞

∞ ⇒ = + −

⇒ = + −

∫

∫

11.- Esperanza de una función ( )g X de una variable aleatoria X.

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

11.1) (C. D.)

11.2) (C. C.)

x x

E g X g x f x g x P X x

E g X g x f x dx∞

−∞

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦

=⎡ ⎤⎣ ⎦

∑ ∑

∫

12.- Momentos de orden r,

( ) ( ) (C. D.) y (C. C.) r r r r

xE X x f x E X x f x dx

∞

−∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫

13.- Momentos centrales (alrededor de la media ( )E X µ= )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (C. D.) y (C. C.) r r r r

x

E X x f x E X x f x dxµ µ µ µ∞

−∞− = − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫

14.- Varianza de una variable aleatoria, ( ) 2o Var X σ , desviación estándar σ y coeficiente de variación.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22

2 2

14.1) La varianza de X es: ,

la desviacion estandar es: = y el coeficiente de variacion es / .

14.2) Propiedades de

14.2.1)

14.2.2) 0 y

Var X E X E X E X

Var X

Var X

Var X E X E X

Var X Var X

σ µ

σ σ µ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎣ ⎦⎣ ⎦

= −

≥

( ) ( )2

0 si y solo si

14.2.3)

X c

Var aX b a Var X

= =

+ =

15.- Función generadora de momentos, ( ) ( ) ( ) ( ), , o X XM t M t m t m t

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

2 3

0

15.1) o (C. D. y C. C.)

15.2) 1! 2 6

tX tx tx

xk

k

k

M t E e e f x e f x dx

t t tM t E X tE X E X E Xk

∞

−∞

∞

=

= =

= = + + + +

∑ ∫

∑ …



( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 ( )

2

2

15.3) Propiedades de

15.3.1) 0 1; ' 0 ; '' 0 ; 0

15.3.2) ln 0 ; ln 0

r r

M t

M M E X M E X M E X

d dM E X M Var Xdt dt

= = = =

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

…

16.- Mediana, Moda, Percentiles y Sesgo de una distribución de probabilidad.

[ ] [ ]

16.1) Para 0 1 el 100 % percentil de la distribucion de es el numero

que satisface: y 1 .

16.2) La mediana es el numero tal que 0.5. En c

p

p p

p p X c

P X c p P X c p

Me P X Me P X Me

< <

⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ≥ ≥ ≤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦≤ = ≥ =

( )( )3

aso discreto no siempre es unico; en caso continuo es unico.16.3) La moda es aquel numero (o conjunto de numeros) para los cuales es maxima

16.4) El coeficiente de asimetria de una v. a. es

f x

E X µ⎡ ⎤−⎣3σ

⎦

17.- Desigualdades

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

[ ]

17.1) Jensen. Sea v. a. y ( ) una funcion de , entonces

17.1.1) Si '' 0

17.1.2) Si '' 0

17.2) Markov. Para una v. a. no negativa y positivo,

X g X X

g X E g X g E X

g X E g X g E X

X t

P X t

≥ ⇒ ≥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦≤ ⇒ ≤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

≥( ) [ ] ( )

( ) ( )

2 2

; 1

17.3) Chebyshev. Si es una v. a. con y = y 0,

1 1 ; 1

E X E XP X t

t tX E X Var X t

P X t P X tt t

µ σ

µ σ µ σ

≤ ≤ ≥ −

= >

⎡ − ≥ ⎤ ≤ ⎡ − ≤ ⎤ ≥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

18.- Familias paramétricas discretas.

( ) ( ) ( )1,2,...,

1 1( ); ;

2

18.1) Uniforme discreta. Modelacion de espacios con un numero, N, de resultados finitos y equiprobables (Urnas, dados, muestreo aleatorio). ( )

N

Nf x I x E X Var X

N

X U N

+= =

∼

( ) ( )( )

2 11;

12 1

t Nt

t

e eNM t

N e

−−= =

−



18.2) Bernoulli. Experimentos con dos posibles resultados: exito (1) con probabilidad y fracaso (0) con probabilidad 1 ; 0 1. (Sol o aguila, fallecimiento o supervivencia, aseg

p q p p= − < <

( ) ( ) ( ) ( )10,1 ;

urado o no asegurado). ( )

( ) 1 ( ); ;

18.3) Binomial. Contabiliza el numero de exitos en ensayos Bernoulli independientes. (Numer

xx tVar X M t q pe

X Blli p

f x p p I x E X p pq

n

−= += − = =

∼

( ) ( )0,1,...,

o de fallecimientos en un grupo de personas, articulos defectuosos en pruebas, numero de siniestros de un conjunto de asegurados) ( , )

( ) 1 ( ); n xxn

n nn X Bin n p

nf x p p I x E X

x−⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

( ) ( ) ( ); ;

18.4) Poisson. Cuenta el numero de eventos de cierto tipo que ocurren en un periodo de tiempo determinado con una tasa de ocurrencia 0. (Numero de accidentes en

ntM t q penp Var X npq

λ

= +=

>

( ) ( ) ( )

un mes, clientes que llegan a una ventanilla de un banco, llamadas recibidas en un conmutador) ( )

( ) ; ; ( ) exp 1!

18.5

xt

X Poissonef x E X Var X M t e

x

λ

λ

λ λ λ−

⎡ ⎤= = = = −⎣ ⎦

∼

) Geometrica. Contabiliza en numero de fracasos antes del primer exito en ensayos Bernoulli independientes que tienen probabilidad de exito y 1 de fracaso. (Numero de meses que

p q p= −

( ) ( ) ( )0,1,2,... 2

pasan antes del primer siniestro, numero de volados antes del primer sol) ( )

( ) ( ); ; ; 1

18.6) Binomial Negativa. Cuenta el n

xt

X Geo pq q pf x q pI x E X Var X M tp p qe

= = = =−

∼

umero de fracasos obtenidos antes del r-esimo exito en ensayos Bernoulli independientes. (Numero de aguilas antes del quinto sol, numero de dias que pasan sin llover antes de la terce

( ) ( ) ( ) ( )0,1,2,... 2

1

1

r lluvia, numero de cheques cobrados antes del septimo cheque sin fondos) ( , )

( ) ; ; ; t

rx rx r p

x qe

X BinNeg p r

rq rqf x q p I x E X Var X M tp p

+ −

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∼



18.7) Hipergeometrica. De una poblacion con elementos, de los cuales son del tipo I y los restantes del tipo II se sellecciona una muestra aleatoria de tamaño . Esta variab

M KM K

n−

le aleatoria contabiliza el numero de elementos del tipo I en la muestra. (Numero de tornillos defectuosos dentro de una m. a. de tamaño 15 tomada de una caja con 100 tornillos de lo

( )

s cuales 20 son defectuosos, numero de mujeres seleecionadas en una muestra de tamaño 40 tomada de un grupo con 120 hombres y 215 mujeres) , ,

( )

K M K

x n x

M

n

X Hiper M K n

f x

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎛

∼

[ ] ( ) ( )0,1,...,min ,

1 2

1 2

1( ); ;

18.8) Multinomial. En un experimento con resultados distintos , ,..., con probabilidad de ocurrencia , ,..., respectiv

n K

k

k

K K M K M nn n

M M M MI x E X Var X

k A A Ap p p

− −

−= =

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

1 2

amente tales que ... 1 se realiza veces. La distirbucion multinomial cuenta el numero de veces, , que ocurre el evento , para 1, 2,..., , tales que ... . (Nu

k

i

i k

p p pn X

A i k X X X n

+ + +=

= + + + = mero de veces que aparece el 1, 2, 3, 4, 5, 6 al lanzar 30 veces un dado, el numero de asegurados de bajo, moderado y alto riesgo que aparecen en una muestra de tamaño 10) X Mult∼

[ ]

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 1 1 2 2 1 21 2

( , ,..., , )!( , , ) , , ,

! ! !; 1 ; ( , )

k

k

k k k kk

i i i i i i j i j

xx x

inomial p p p nnf x x P X x X x X x p p p

x x xE X np Var X np p Cov X X np p

= = = = =

= = − = −

… … …

19.- Familias paramétricas continuas.

( ) [ ) ( ] [ ]

( , ) ( , )

19.1) Uniforme continua. Modelacion de eventos aquiprobables sobre un intervalode medida finita de , , , , , , , , , , , . ( , ).

1( ) ( ); ( ) ( ); a b a b

a b a b a b a b a b a b X Unif a bx af x I x F x I x

b a b a

∈ <

−= =

− −

∼

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 1 1

2

; 12 ( ) 1

bt at r rr

a bE X

b a e e b aVar X M t E Xb a t n b a

− −

+=

− − −= = =

− + −



( )

( ) ( ) ( )0, 0,

19.2) Exponencial. Modelacion para tiempos de espera o falla. Relacionada con la la funcion de densidad Poisson. Para 0, exp

( ) ( ); ( ) 1 ( ); x x

X

f x e I x F x e I xλ λ

λ λ

λ − −∞ ∞

>

= = −

∼

( )

( ) ( ) ( )2

2

2

1

1 !; ;

19.3) Normal. Se dice que tiene una distribucion normal con parametros y

, 0, si su f. d.

rr

E X

rVar X M t t E Xt

X

λλ λ

λ λ λ

µ σ

µ σ

=

= = > =−

−∞ < < ∞ > ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2

2

22 2,2

p. es, ,

1( ) ( ); ; ; 2

19.3.1) Normal estandar. Si cumple las condiciones del inciso anterior, entonces

0,1 , y

1( )2

x tt

X N

f x e I x E X Var X M t e

XXZ N

f x e

µ σµσ

µ σ

µ σπσ

µσ

π

−− +

−∞ ∞

−

= = = =

−=

=

∼

∼

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2, ; 0; 1;

19.4) Gama. Se dice que una variable aleatoria continua tiene una funcion de densidad gama con parametros 0 y 0 si su f. d. p.

x t

I x E X Var X M t e

r λ

−∞ ∞ = = =

> >

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 10,

0

2

es: ( , )

( ) ; Donde

; ; .

19.4.1) Propiedades de .

19.4.1.1) 1 Para

19.4.1.2)

rr x r t

r

X Gama r

f x x e I x r t e dtr

r rE X Var X M t tt

r

r r r r

λ

λ

λ

λ λλ λ λ

∞− − − −

∞

+

= Γ =Γ

⎛ ⎞= = = >⎜ ⎟−⎝ ⎠Γ

Γ + = Γ ∈

∫

∼

( ) ( )( )

( ) 11(0,1)

1 ! Para

19.4.1.3) 1/ 2

19.5) Beta. Una variable aleatoria continua tiene distribucion Beta con parametros 0 y 0 si su f. d. p es: ( , )

1( ) 1 ( );( , )

r r r

X Beta

f x x x I xB

βα

π

α β α β

α β

+

−−

Γ = − ∈

Γ =

> >

= −

∼

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

111

0

2

Donde ( , ) 1

; ; 1

r

B t t dt

rE X Var X E X

r

βα α βα β

α β

α α βα αβα β α α βα β α β

−− Γ Γ= − =

Γ +

Γ + Γ += = =

+ Γ Γ + ++ + +

∫



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

,1

2

2

19.6) Pareto. La f. d. p. Pareto con parametros 0 y 0 es: ( , )

( ); 1 ;

; 1 2 1

19.7) Ji Cuadrada. Se dice

rr

X Pareto

f x I x F x E Xx x r

E X Var X

αα

θα

α θ α θ

αθ θ αθα

αθ αθα α α

∞+

> >

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

= =− − −

∼

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ 2( )

2 11 212 2 20,1

2

que una variable aleatoria tiene una distribucion Ji cuadrada con grados de libertad, , si:

1( ) ( ); ; 2 ; 1 2

Nota: La Ji

k

kk k x

k k X

f x x e I x E X k Var X k M tt

χ

− −

∞

∈

⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟Γ −⎝ ⎠

∼

( )

( )2

22

2

2

ln 12 2

(0, )2

1Cuadrada es un caso particular de una ,2 2

19.8) Lognormal. Si ( , ), entonces la v. a. se dice que se distibuye( , ) si:

1( ) ( ); ; 2

U

x

kGamma

U N X eLogN

f x e I x E X ex

µµ σ

σ

µ σ

µ σ

πσ

−− +

∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= =

∼

( ) ( )2 22 1Var X e eσ µ σ+= −

20.- Vectores aleatorios. Función de densidad conjunta , ( , ) o ( , )X Yf x y f x y

( ) [ ]( ) ( ) ( )

( ) [ ]

( ) ( )

,

2, ,

,

2,

20.1) Caso Discreto. , ; , cumple:

, 0; , ; , 1

20.2) Caso Continuo. , ; , cumple:

, 0; , ;

X Y

X Y X Yy x

X Y

X Y

f x y P X x Y y

f x y x y f x y

f x y P X x Y y

f x y x y

∀ ∀

= = =

≥ ∀ ∈ =

≠ = =

≥ ∀ ∈

∑∑

( ), , 1X Yf x y dxdy∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

21.- Función de distribución conjunta. , ( , ) o ( , )X YF x y F x y

( ) [ ]( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

,

, ,

, ,

,

Se define en ambos casos como , ;

21.1) C. D.: , ,

21.2) C. C.: , ,

21.3) Para calcular probabilidades

; , , ,

X Y

X Y X Ys y t x

y x

X Y X Y

d b

X Yc a

F x y P X x Y y

F x y f s t

F x y f u v dudv

P a X b c Y d f x y dxdy F b d F b

≤ ≤

−∞ −∞

= ≤ ≤

=

=

< ≤ < ≤ = = −

∑∑

∫ ∫

∫ ∫ ( ) ( ) ( ), ,c F a d F a c− +



( )

( ) ( ) ( )

,

, , ,

21.4) Propiedades de ,) Monotona no decreciente en cada componente.) Continua por la derecha en cada componente.) lim , 1; lim , 0; lim , 0;

) (C. C):

X Y

X Y X Y X Yx x yy

F x yiiiiii F x y F x y F x y

iv f

→∞ →−∞ →−∞→∞

= = =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

, ,

,0 0 0

0

, ,

(C. D): , , lim , lim , lim ,

X Y X Y

X Yh h h

k

x y F x yx y

f x y F x y F x h y F x y h F x h y k+ + +

+→ → →

→

∂=∂ ∂

= − − − − + − −

22.- Funciones de densidades marginales.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, ,

, ,

, ,

22.1) , ; , C. D.

22.2) , ; , C. C.

22.3) lim , ; lim ,

X X Y Y X Yy x

X X Y Y X Y

X X Y Y X Yy x

f x f x y f x f x y

f x f x y dy f x f x y dx

F x F x y F x F x

∀ ∀

∞ ∞

−∞ −∞

→∞ →∞

= =

= =

= =

∑ ∑

∫ ∫( ) ( ) C. C. y C. D.y

23.- Esperanza de una función ( ),g X Y

( )( ) ( )

( ) ( )

,

,

, , (C. D.),

, , (C. C.)

X Yy x

X Y

g x y f x yE g X Y

g x y f x y dxdy

∀ ∀

∞ ∞

−∞ −∞

⎧⎪=⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦⎪⎩

∑∑

∫ ∫

24. Independencia de variables aleatorios.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

,

Se dice que dos variables aleatorias y son independientes si y solo si:) ,

) ,

) Si y son independientes, entonces:

X Y X Y

X Y X Y

X Yi f x y f x f y

ii F x y F x F y

iii X Y E g X h Y E g X E h Y

=

=

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

25.- Covarianza y coeficiente de correlación.

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

25.1) ,

25.2) Si y son v. a. independientes, entonces , 0

25.3) ,

25.4) , ,

25.5) 2 ,

Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y

X Y Cov X Y

Cov X X Var X

Cov aX b cY d acCov X Y

Var aX bY c a Var X b Var Y abCov X Y

⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦=

=

+ + =

± + = + ±



( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

25.6) , , ,

, ,

,25.7) Coeficiente de correlacion.

25.8) 1 1. Si y son indep

XY

XY

Cov aX bY c dW eZ f adCov X W aeCov X Z

bdCov Y W beCov Y Z

Cov X Y

Var X Var Y

X Y

ρ

ρ

+ + + + = +

+ +

=

− ≤ ≤ endientes, entonces 0.25.9) Si y , entonces .

XY

UV XYU aX b V cY dρ

ρ ρ=

= + = + =

26.- Función Generadora de Momentos Conjunta. ( )1 2,XYM t t

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 1 1

1 2 1 2

1 21 2 0

2

1 21 2 0

1

26.1) ,

26.2) 0, = ; ,0 =

26.3) y son independientes ,

26.4) ,

26.5) ,

26.6)

t X t YXY

XY Y XY X

XY X Y

n mn m

XYn mt t

XYt t

M t t E e

M t M t M t M t

X Y M t t M t M t

M t t E X Yt t

M t t E XYt t

t

+

+

= =

= =

=

⇔ =

∂=

∂ ∂

∂=

∂ ∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 220 0

, ; ,XY XYt t t t

M t t E X M t t E Yt

= = = =

∂= =

∂

27.- Función de densidad, esperanza y varianza condicional. ( )X Yf x y

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

,,

0 0

0

0

0

0

0

20 0

,27.1) ,

27.2) ( )

27.3)

27.4)

X YX Y Y XX Y X Y Y X

Y

X Yx x

X Y

X Yx x

X Y

f x yf x y f x y f x y f y f y x f x

f y

g x f x y g x P X x Y yE g X Y y

g x f x y dx

xf x y xP X x Y yE X Y y

xf x y dx

Var X Y y E X Y y E

∀ ∀

∞

−∞

∀ ∀

∞

−∞

= ⇒ = =

⎧ = ⎡ = = ⎤⎣ ⎦⎪= = ⎨⎪⎩

⎧ = ⎡ = = ⎤⎣ ⎦⎪= = ⎨⎪⎩

= = = −

∑ ∑

∫∑ ∑

∫( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

20

27.5)

27.6)

X Y y

E E g X Y E g X E E X Y E X

Var X E Var X Y Var E X Y

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎣ ⎦



28.- Transformaciones de variables aleatorias.

( ) ( )( )

( )

1

Sea variable aleatoria continua con funcion de densidad y una

funcion inyectiva con inversa con derivada distinta de cero. Entonces tiene una funcion de densidad dada por

28.1)

X

Y

X f x Y g X

X g YY

df y

−

=

=

= ( ) ( )( )( ) ( )( )

[ ] ( ) ( ) ( )( )

1 1

1

1 1

28.2)

En caso de que sea una variable aleatoria discreta

28.3) ;

X

Y X

Y X

g y f g ydy

F y F g y

X

P Y y P X g y f y f g y

− −

−

− −

=

⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦

29.- Transformaciones de vectores aleatorios.

( ) ( )( )( )

( )( )

,

11 11

12 2

Sea , vector aleatorio con funcion de desidad conjunta , . Sea

, , una transformacion inyectiva con inversa

, ,

tal que la matriz Jacobiana de la inver

X YX Y f x y

U g X Y X g U VT T

V g X Y Y g U V

−−

−

⎧= =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1, , 1 2

1 11 1

2 21 1

sa, , existe y es distinta de cero. Entonces , tienen una funcion de densidad conjunta:

, , , ,

, ,Donde

, ,

U V X Y

JU V

f u v J f g u v g u v

g u v g u vu vJ

g u v g u vu v

− −

− −

− −

=

∂ ∂∂ ∂=∂ ∂∂ ∂

30.- Sumas de variables aleatorias

( )

( )( ) [ ]

,

,

30.1) Convoluciones. Sean y variables aleatorias con funcion de densidadconjunta , . Entonces tiene funcion de densidad conjunta

, ; (C. D.)X Y

X Yx x

Z

X Yf x y Z X Y

f x z x P X x Y z xf z ∀ ∀

= +

− = = = −=∑ ∑

( )

( )( ) ( ) [ ] [ ]

( ) ( )

, , (C. C.)

Si son independientes

(C. D.)

X Y

X Yx x

Z

X Y

f x z x dx

f x f z x P X x P Y z xf z

f x f z x dx

∞

−∞

∀ ∀

∞

−∞

⎧⎪⎨⎪ −⎩

− = = = −=

−

∫

∑ ∑

∫ (C. C.)

⎧⎪⎨⎪⎩



( ) ( )

( ) ( )( )

( )

11

1

1 1

30.2) Suma de variables aleatorias independientes , , . Sea

Entonces, .

Si son indenticamente distribuidas .

30.3)

30.4) La varianza de la s

n

n ii

n

Y Xii

nY X

n n

i ii i

X X Y X

M t M t

M t M t

E X E X

=

=

= =

=

=

=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∏

∑ ∑

…

( ) ( )

( )

1

1 1 1

1 1

1 1

uma de variables aleatorias , , .

2 ,

y si las variables aleatorias son independientes

30.5) ,

n

n n n n

i i i ji i i j i

n n

i ii i

n m

i i j ii j

X X

Var X Var X Cov X X

Var X Var X

Cov a X b cY d a

= = = >

= =

= =

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑

∑ ∑

∑ ∑

…

( )

( ) ( )

( )

1 1

1

,

30.6) Sumas de variables aleatorias independientes de familias parametricas

,

,

n m

j i ji j

ni ii

i i

c Cov X Y

X Brnlli p X Bin n p

X Bin n p

= =

=⇒

⇒

∑∑

∑∼ ∼

∼ ( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 1

1

1 1

,

,

, ,

r ri ii i

ri ii

r ri i i ii i

i i

X Bin n p

X Geo p X BinNeg r p

X BinNeg n p X BinNeg n p

X Poisson λ

= =

=

= =

⇒

⇒

⇒

∑ ∑∑∑ ∑

∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1

2 21 1 1

2 2 2

2

, ,

, ,

,

n ni ii i

n n ni i i i i ii i i

i i i i j i j i j

i

X Poisson

X Normal X Normal

X Normal X X Normal

X Normal

λ

µ σ µ σ

µ σ µ µ σ σ

µ σ

= =

= = =⇒

⇒ ± ± +

⇒

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

21

2 21

1

,

1, , /

,

,

nii

ni ii

ri ii

i i

X Normal n n

X Normal X X Normal nn

X Exp X Gamma r

X Gamma r

µ σ

µ σ µ σ

λ λ

λ

=

=

=

⇒ =

⇒

⇒

∑

∑

∑

∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ( )( )

1 1

11

,

n ni ii i

ni i nk ii kii

X Gamma r

X X

λ

χ χ= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟=⎝ ⎠

⇒∑

∑ ∑∑

∼

∼ ∼



31.- Teorema de Límite Central.

( ) ( )

( )

1

2

1

2

Sean , , variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas

tales que: , . Sea . Entonces, para grande:

31.1) ,

nn

i i ii

X X

E X Var X Y X n

Y nY Normal n n Zn

µ σ

µµ σσ

=

= = =

−⇒ =

∑

…

∼ ∼ ( )

( ) ( )2

1

0,1

131.2) , 0,1/

n

ii

N

n XXX X Normal Z Nn n n

µσ µµσσ=

−⎛ ⎞ −= ⇒ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∼ ∼

32.- Estadísticas de orden.

( ) ( )

1

1 1

1

Sean , , variables aleatorias independientes con funcion de densidad de probabilidades y funcion de distribucion . Sea min , ,

la estadistica de orden minima y max , , la esta

n

X X ni i

n n

X Xf x F x Y X X

Y X X

=

=

……

…

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 2

1 2

distica de ordenmaxima. Entonces las funciones de distribucion de y son:

32.1) 1 1 1 1

32.2)

Si las variables aleatorias son identicamente dist

n

Y X X Xn

Y X X Xn n

Y Y

F y F y F y F y

F y F y F y F y

⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 11

ribuidas

32.3) 1 1 1

32.4)

Sea la -esima estadistica de orden, entonces:

32.5) 1

n nY X Y X X

n nY X Y X Xn n

kn j

Y X Xkj k

F y F y f y n F y f y

F y F y f y n F y f y

Y k

F y F y F y

−

−

=

= − − ⇒ = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

, 1 112

, 1 11

!32.6) 11 ! !

Las funciones de distribucion y de densidad conjunta de y , son

32.7) ,

32.8) , 1

n j

k n kY X X Xk

nn n

Y Y n X n X n Xnn

Y Y n X n X Xn

nf y F y F y f yk n k

Y Y

F y y F y F y F y

f y y n n F y F y f

−

− −

−

= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2

La funcion de densidad del rango, =

32.9) 1

n X

n

nR X X X X

y f y

R Y Y

f r n n f r f r x F r x F x dx∞

−

−∞

−

= − + + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫



COMPLEMENTO.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 31 1 11 1 2 1 2 3

11 2 3

1) Para la probabilidad de la union de eventos

1

2) Relacion entre la distribucion Expo

n n

i i i i i i ii i i n i i i ni

nn

C n

P A P A P A A P A A A

P A A A A

C

= ≤ < ≤ ≤ < < ≤=

−

⎛ ⎞= − ∩ + ∩ ∩⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − ∩ ∩ ∩ ∩

∑ ∑ ∑∪

( )nencial y la Poisson.

Si es una variable aleatoria exponencial con media =1/ , es decir, exp , que mide el tiempo de ocurrencia entre eventos sucesivos de cierto tipo, donde el tiempo es medido en

T Tµ λ λ∼

unidades apropiadas (segundos, minutos, dias, meses, etc...). Entonces representa el numero de veces que ocurre dicho evento, y se puede probar que es una variable aleatoria Poisson con parametro

Nλ

( )2

2 2(1)

.

C3) Si , , entonces

C4) Si una poliza de seguro que tenga un deducible, D, el pago por parte de la aseguradora, en caso de un siniestro con valor , es:

XX Normal Z

X

µµ σσ

χ−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ∼

0 si

,0 si

Mientras que el pago realizado por el asegurado es: si

Aseguradora

Asegurado

X DP Max X D

X D X D

X XP

≤⎧= = −⎨ − >⎩

= , si

En caso de existir un pago maximo, M, por parte de la aseguradora, el pago porparte de la aseguradora es:

0 Aseguradora

DMin X D

D X D

P

≤⎧=⎨ >⎩

= si

si si

X DX D D X M DM X M D

≤⎧⎪ − < ≤ +⎨⎪ > +⎩

formulariop

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