formulacion(2)

Aplicaciones de PL en la Gestin de Operaciones ___________________________________________________________________________________________________________________

MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES

MODELOS LINEALES PARA LA

GESTION DE OPERACIONES

CAPITULO III

Aplicaciones de Programacion Lineal en la Gestion de Operaciones

Dr. JULIO PADILLA SOLIS Agosto, 2008

id380640 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com



3. APLICACIONES DE PL EN LA GESTION DE OPERACIONES -----------------------------------------------------------------------------------

La v e r s a t i l i d a d y l a p o t e n c i a d e l a t c n i c a d e P L q u e d a r d e m o s t r a d a e n l a s e r i e d e a p l i c a c i o n e s q u e s e p r e s e n t a n e n e s t e c a p t u l o . C a d a a p l i c a c i n c o r r e s p o n d e r a u n m b i t o d i s t i n t o e n l a ge s t i n d e o p e r a c i o n e s . A l gu n a s d e e l l a s s e r v i r t a m b i n p a r a m o s t r a r m e t o d o l o g a s d i v e r s a s p a r a l a f o r m u l a c i n d e m o d e l o s d e P L, l a s c u a l e s s e r n d e g r a n u t i l i d a d a l e n f r e n t a r s e c o n p r o b l e m a s d e l a v i d a r e a l .

T o d a s l a s a p l i c a c i o n e s p r e s e n t a d a s s o n f o r m u l a d a s , r e s u e l t a s e i n t e r p r e t a d a s a d m i n i s t r a t i v a m e n t e . La s o l u c i n d e e l l a s , e n c a s i t o d o s l o s c a s o s , h a s i d o d e t e r m i n a d a c o n a yu d a d e p r o gr a m a s c o m p u t a c i o n a l e s d e P L c o m o Li n go . Lo s p r o b l e m a s a l f i n a l d e l c a p t u l o t i e n e n c o m o o b j e t i v o e j e r c i t a r a l a l u m n o e n s u s h a b i l i d a d e s d e m o d e l a c i o n e n P L. La s o l u c i n p t i m a d e l o s m i s m o s d e b e r e n c o n t r a r s e p o s t e r i o r m e n t e c o n l a a yu d a d e u n p r o gr a m a c o m p u t a c i o n a l .

3 . 1 GE S T I O N D E O PE R A C I O N E S B A N C A R I A S C a s o 3 : P r o b l e m a Ba n c a r i o - - - - - - - - -

U n c i e r t o b a n c o h a d e c i d i d o q u e e f e c t u a r p r s t a m o s s l o e n d l a r e s . E x i s t e n c i n c o c l a s e s d e p r s t a m o s , c u yo s i n t e r e s e s a n u a l e s c a r ga d o s a l c l i e n t e s e i n d i c a n e n l a s i gu i e n t e t a b l a :

C a s o e n o p e r a c i o n e s b a n c a r i a s

T i p o d e p r s t a m o In t e r s c a r ga d o ( % ) C o m e r c i a l 1 5 P r i m e r a h i p o t e c a 1 0 M e j o r a s d e c a s a s 1 3 . 6 S e gu n d a h i p o t e c a 1 4 C o r t o p l a z o 1 8

E l b a n c o t i e n e 5 3 m i l l o n e s d e d l a r e s e n f o n d o s d i s p o n i b l e s p a r a p r s t a m o s . S u o b j e t i v o e s m a x i m i z a r e l r e t o r n o d e s u s c o l o c a c i o n e s t e n i e n d o e n c u e n t a l a s c a r a c t e r s t i c a s d e l m e r c a d o y l a s r e gu l a c i o n e s d e

Tabla 3.1 Intereses segn tipo de prstamo



s e gu r i d a d p u e s t a s p o r e l d i r e c t o r i o d e l b a n c o y l a S u p e r i n t e n d e n c i a d e Ba n c a .

La d e m a n d a p a r a p r s t a m o s a c o r t o p l a z o n u n c a h a e x c e d i d o l o s $ 5 m i l l o n e s . E n l o s o t r o s t i p o s d e p r s t a m o s n u n c a s e h a l l e ga d o a l l m i t e d e l a d e m a n d a . Lo s p r s t a m o s p a r a m e j o r a s d e c a s a s n o p u e d e n s e r m a yo r e s q u e e l 2 0 % d e l a s p r i m e r a s h i p o t e c a s . Lo s p r s t a m o s c o m e r c i a l e s d e b e n s e r m e n o r e s o i gu a l e s a l a s s e gu n d a s h i p o t e c a s . E l b a n c o d e b e i n v e r t i r a l m e n o s e l 6 0 % d e l t o t a l d e s u s c o l o c a c i o n e s e n h i p o t e c a s . P o r r a z o n e s d e s e gu r i d a d d e b e h a b e r p o r l o m e n o s $ 2 i n v e r t i d o s e n p r i m e r a s h i p o t e c a s p o r c a d a d l a r i n v e r t i d o e n s e gu n d a h i p o t e c a .

V a r i a b l e s d e d e c i s i n M o d e l a m i e n t o

x 1 = d l a r e s i n v e r t i d o s e n p r s t a m o s c o m e r c i a l e s . x 2 = d l a r e s i n v e r t i d o s e n p r i m e r a s h i p o t e c a s . x 3 = d l a r e s i n v e r t i d o s e n m e j o r a s d e c a s a . x 4 = d l a r e s i n v e r t i d o s e n s e gu n d a s h i p o t e c a s . x 5 = d l a r e s i n v e r t i d o s e n p r s t a m o s d e c o r t o p l a z o .

Fu n c i n o b j e t i v o

z = 0 . 1 5 x 1 + 0 . 1 0 x 2 + 0 . 1 3 6 x 3 + 0 . 1 4 x 4 + 0 . 1 8 x 5 .

l a c u a l s e r a m a x i m i z a d a

R e s t r i c c i o n e s

1 . L m i t e d e d e m a n d a p a r a p r s t a m o s a c o r t o p l a z o . x 5 5 ' 0 0 0 , 0 0 0

2 . P r s t a m o s p a r a m e j o r a s d e c a s a n o p u e d e n s e r m a yo r e s q u e e l 2 0 % d e l a s p r i m e r a s h i p o t e c a s . x 3 0 . 2 0 x 2 - 0 . 2 0 x 2 + x 3 0

3 . P r s t a m o s c o m e r c i a l e s m e n o r e s o i gu a l e s a l a s s e gu n d a s h i p o t e c a s . x 1 x 4 x 1 - x 4 0

4 . In v e r t i r a l m e n o s 6 0 % d e l t o t a l e n h i p o t e c a s . x 2 + x 4 0 . 6 0 ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )



- 0 . 6 0 x 1 + 0 . 4 0 x 2 - 0 . 6 0 x 3 + 0 . 4 0 x 4 - 0 . 6 0 x 5 0

5 . P o r l o m e n o s $ 2 i n v e r t i d o s e n p r i m e r a s h i p o t e c a s p o r $ 1 i n v e r t i d o e n s e gu n d a h i p o t e c a . x 2 2 x 4 x 2 - 2 x 4 0

6 . T o t a l d i s p o n i b l e p a r a p r s t a m o s . x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 5 3 '0 0 0 , 0 0 0

M o d e l o

M a x . z = 0 . 1 5 x 1 + 0 . 1 0 x 2 + 0 . 1 3 6 x 3 + 0 . 1 4 x 4 + 0 . 1 8 x 5

s u j . a x 5 5 ' 0 0 0 , 0 0 0 - 0 . 2 0 x 2 + x 3 0 x 1 - x 4 0 - 0 . 6 0 x 1 + 0 . 4 0 x 2 - 0 . 6 0 x 3 + 0 . 4 0 x 4 - 0 . 6 0 x 5 0 x 2 - 2 x 4 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 5 3 ' 0 0 0 , 0 0 0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0

S o l u c i n S o l u c i n p t i m a

x 1 = 1 0 '9 0 9 , 0 9 1 x 2 = 2 1 '8 1 8 , 1 8 2 x 3 = 4 ' 3 6 3 , 6 3 6 x 4 = 1 0 '9 0 9 , 0 9 1 x 5 = 5 ' 0 0 0 , 0 0 0

z m x . = 6 '8 3 8 , 9 0 9

In t e r p r e t a c i n A d m i n i s t r a t i v a I n t e r p r e t a c i n

S a t i s f a c i e n d o l a s r e gu l a c i o n e s p u e s t a s p o r e l d i r e c t o r i o d e l Ba n c o y p o r l a S u p e r i n t e n d e n c i a d e Ba n c a y t o m a n d o e n c u e n t a l a s c a r a c t e r s t i c a s d e l m e r c a d o , e l Ba n c o p u e d e o b t e n e r u n m x i m o r e t o r n o e n i n t e r e s e s d e $ 6 '8 3 8 , 9 0 9 a l c o l o c a r l a t o t a l i d a d d e s u c a p i t a l d i s p o n i b l e d e 5 3 m i l l o n e s d e d l a r e s . La d i s t r i b u c i n d e l a c o l o c a c i n d e b e s e r l a s i gu i e n t e p a r a o b t e n e r e l m x i m o r e t o r n o i n d i c a d o :



T i p o d e p r s t a m o C o l o c a c i n

C o m e r c i a l $ 1 0 ' 9 0 9 , 0 9 1 P r i m e r a h i p o t e c a 2 1 ' 8 1 8 , 1 8 2 M e j o r a s d e c a s a s 4 ' 3 6 3 , 6 3 6 S e gu n d a h i p o t e c a 1 0 ' 9 0 9 , 0 9 1

C o r t o p l a z o 5 ' 0 0 0 , 0 0 0 T o t a l $ 5 3 ' 0 0 0 , 0 0 0

3 . 2 GE S T I O N D E O PE R A C I O N E S D E PR O D U C C I O N ( U N S O L O PE R I O D O )

C a s o 4 : E n s a m b l a j e d e T e l e v i s o r e s - - - - - - - -

U n a e m p r e s a e n s a m b l a d o r a d e p r o d u c t o s e l e c t r n i c o s p r o d u c e d o s m o d e l o s d e t e l e v i s o r e s , d i ga m o s m o d e l o A y B . E x i s t e n d o s l n e a s d e e n s a m b l a j e , u n a p a r a c a d a m o d e l o . La c a p a c i d a d d e p r o d u c c i n d e l a l n e a A e s d e 6 0 t e l e v i s o r e s p o r d a , m i e n t r a s q u e l a c a p a c i d a d d e l a l n e a B e s d e 5 0 t e l e v i s o r e s p o r d a . E l t e l e v i s o r A r e q u i e r e u n a h o r a h o m b r e d e l a b o r , m i e n t r a s q u e e l B r e q u i e r e d o s h o r a s h o m b r e . A c t u a l m e n t e s e c u e n t a c o n u n m x i m o d e 1 2 0 h o r a s h o m b r e p o r d a , l a s c u a l e s p u e d e n s e r a s i gn a d a s a c u a l q u i e r a d e l a s d o s l n e a s . La u t i l i d a d u n i t a r i a d e l t e l e v i s o r A e s d e $ 2 0 . La u t i l i d a d u n i t a r i a d e l B e s f u n c i n d e l a s u n i d a d e s q u e s e p r o d u z c a n e n e l d a , y e s t d a d a e n l a s i gu i e n t e t a b l a :

C a s o e n o p e r a c i o n e s d e p r o d u c c i n

P a r a u n i d a d e s e n t r e . . .

U t i l i d a d U n i t a r i a

0 - 1 0 1 1 - 2 7 2 8 - i n f i n i t o

$ 3 5 $ 3 0 $ 2 5

D e t e r m i n e e l p r o g r a m a d e p r o d u c c i n d i a r i o q u e m a x i m i c e l a s u t i l i d a d e s .

M e t o d o l o g a : C o e f i c i e n t e s n o l i n e a l e s e n l a f u n c i n o b j e t i v o

U t i l i d a d e s n o l i n e a l e s



E n e l c a s o p r e s e n t a d o , l a u t i l i d a d u n i t a r i a d e l m o d e l o d e t e l e v i s o r B n o e s c o n s t a n t e . S u v a l o r v a r a s e g n l a u n i d a d d i a r i a d e p r o d u c c i n q u e s e t r a t e . P a r a l a s p r i m e r a s 1 0 u n i d a d e s , l a u t i l i d a d u n i t a r i a e s $ 3 5 ; p a r a l a s s i gu i e n t e s 1 7 u n i d a d e s , l a u t i l i l d a d u n i t a r i a b a j a a $ 3 0 ; y p a r a e l r e s t o d e u n i d a d e s , l a u t i l i d a d u n i t a r i a b a j a a $ 2 5 . C o m o c o n c l u s i n , l a c o n t r i b u c i n a l a s u t i l i d a d e s d e l m o d e l o B n o e s l i n e a l . E s t e t i p o d e p r o b l e m a s d e b e f o r m u l a r s e r e p r e s e n t a n d o a l a p r o d u c c i n d i a r i a d e B m e i d a n t e u n a s u m a d e v a r i a b l e s , u n a p o r c a d a v a l o r d i s t i n t o d e l a u t i l i d a d u n i t a r i a . E s t a s v a r i a b l e s r e p r e s e n t a n e l i n c r e m e n t o d e l a p r o d u c c i n d i a r i a d e B d e n t r o d e l r a n go e n e l c u a l e s v i ge n t e l a c o r r e s p o n d i e n t e u t i l i d a d u n i t a r i a . P a r a r e p r e s e n t a r l a p r o d u c c i n d e B s e n e c e s i t a n 3 v a r i a b l e s . La p r i m e r a m e n o r o i gu a l q u e 1 0 , l a s e gu n d a m e n o r o i gu a l q u e 1 7 y l a t e r c e r a i l i m i t a d a . A l t r a t a r s e d e u n a f u n c i n o b j e t i v o d e m a x i m i z a c i n e l a l go r i t m o q u e r e s u e l v a e l m o d e l o l i n e a l d a r v a l o r e s a l a p r i m e r a v a r i a b l e a n t e s q u e a l a s e gu n d a o t e r c e r a v a r i a b l e p o r e l h e c h o d e t e n e r u n c o e f i c i e n t e m a yo r ( $ 3 5 ) . N o p a s a r a l a s e gu n d a h a s t a q u e e l l m i t e d e l a p r i m e r a v a r i a b l e s e a a l c a n z a d o ( v a l o r 1 0 ) . Ba j o e s a l g i c a p o d e m o s e s t a r s e gu r o s q u e n i n gu n a v a r i a b l e d e l a s i n d i c a d a s p o d r t o m a r v a l o r e s s u p e r i o r e s a c e r o , m i e n t r a s t o d a s l a s q u e l a p r e c e d e n h a ya n a l c a n z a d o s u s v a l o r e s l m i t e s s u p e r i o r e s . T o d o e s t e p r o c e s o e s a u t o m t i c o y n o e s n e c e s a r i o n i n gu n a p r e c a u c i n e n l a f o r m u l a c i n d e l m o d e l o . La p r o d u c c i n d e B q u e d a r d a d a p o r l a s u m a d e l o s v a l o r e s d e l a s 3 v a r i a b l e s u t i l i z a d a s .

S i e l c a s o f u e r a d e m i n i m i z a c i n , l a s v a r i a b l e s q u e t o m a n v a l o r e s e n p r i m e r a i n s t a n c i a s o n a q u e l l a s q u e t e n ga n c o e f i c i e n t e s m e n o r e s .

S i e l o r d e n d e c r e c i m i e n t o f u e r a c o n t r a r i o a l o s d e s c r i t o s , e s t o e s , c o e f i c e n t e s c r e c i e n t e s c o n m a x i m i z a c i n o c o e f i c e n t e s d e c r e c i e n t e s c o n m i n i m i z a c i n , e l p r o c e s o d e d a r v a l o r e s a l a s v a r i a b l e s i r e n c o n t r a d e l s e n t i d o l g i c o e n e l s i gn i f i c a d o d e l a s m i s m a s . E n e s t o s c a s o s p a r a p o d e r r e p r e s e n t a r u n m o d e l o v l i d o , e s n e c e s a r i o e l u s o d e v a r i a b l e s b i n a r i a s , l a s c u a l e s s e t r a t a r n p o s t e r i o r m e n t e .

Asignacin automtica de valores




A = c a n t i d a d d e u n i d a d e s d i a r i a s a p r o d u c i r s e d e l m o d e l o A .

B1 = c a n t i d a d d e u n i d a d e s d i a r i a s a p r o d u c i r s e d e l m o d e l o B h a s t a e l l m i t e d e 1 0 .

B2 = i n c r e m e n t o d e u n i d a d e s d i a r i a s a p r o d u c i r s e d e l m o d e l o B s o b r e 1 0 c o n u n l m i t e d e 1 7 .

B3 = i n c r e m e n t o d e u n i d a d e s d i a r i a s a p r o d u c i r s e d e l m o d e l o B s o b r e 2 7 .


z = 2 0 A + 3 5 B1 + 3 0 B2 + 2 5 B3 ,

l a c u a l s e r a m a x i m i z a d a .


1 . C a p a c i d a d d e p r o d u c c i n d e l a l n e a A . A 6 0

2 . C a p a c i d a d d e p r o d u c c i n d e l a l n e a B . B1 + B2 + B3 5 0

3 . M x i m a c a n t i d a d d e h o r a s - h o m b r e d i s p o n i b l e s . A + 2 B1 + 2 B2 + 2 B3 1 2 0

4 . L m i t e d e 1 0 p a r a l a u t i l i d a d u n i t a r i a d e $ 3 5 . B1 1 0

5 . L m i t e d e 1 7 d e i n c r e m e n t o p a r a l a u t i l i d a d u n i t a r i a d e $ 3 0 .

B2 1 7

M o d e l o

M a x . z = 2 0 A + 3 5 B1 + 3 0 B2 + 2 5 B3



s u j e t o a A 6 0 B1 + B2 + B3 5 0 A + 2 B1 + 2 B2 + 2 B3 1 2 0 B1 1 0 B2 1 7 A , B1 , B2 , B3 0 S o l u c i n S o l u c i n

p t i m a A = 6 0 B1 = 1 0 B2 = 1 7 B3 = 3 z m x . = 2 , 1 3 5


La m x i m a u t i l i d a d d i a r i a q u e p u e d e ge n e r a r l a e m p r e s a e m s a m b l a d o r a e s d e $ 2 , 1 3 5 . E s t e m o n t o l o c o n s i gu e e n s a m b l a n d o 6 0 u n i d a d e s d i a r i a s d e l t e l e v i s o r m o d e l o A , y 3 0 u n i d a d e s d e l t e l e v i s o r m o d e l o B .

M o d i f i c a c i n 1

S u r ge c o m o o p c i n p a r a m e j o r a r l a e f i c i e n c i a d e l a p l a n t a e n s a m b l a d o r a e l e s p e c i a l i z a r a l o s o p e r a r i o s . S e d i v i d i r a l a f u e r z a l a b o r a l e n d o s g r u p o s d e i gu a l t a m a o . E l g r u p o 1 r e c i b i r a u n a e s p e c i a l i z a c i n e n e l e n s a m b l a j e d e l t e l e v i s o r A a l c a n z a n d o u n a e f i c i e n c i a d e 0 . 7 5 h o r a s -h o m b r e p o r t e l e v i s o r . E l g r u p o 2 r e c i b i r a u n a e s p e c i a l i z a c i n e n e l e n s a m b l a j e d e l t e l e v i s o r B a l c a n z a n d o u n a e f i c i e n c i a d e 1 . 5 h o r a s - h o m b r e p o r t e l e v i s o r .

M o d e l a c i n

La r e s t r i c c i n d e l a c a p a c i d a d o p e r a t i v a t i e n e q u e s e r r e e m p l a z a d a p o r d o s ya q u e c o n l a m o d i f i c a c i n s e c o n t a r a c o n d o s g r u p o s d e t r a b a j o c o n e s p e c i a l i z a c i o n e s y r e n d i m i e n t o s d i f e r e n t e s .

C a p a c i d a d o p e r a t i v a d e l g r u p o 1 :

0 . 7 5 A < = 6 0



C a p a c i d a d o p e r a t i v a d e l g r u p o 2 :

1 . 5 B1 + 1 . 5 B2 + 1 . 5 B3 < = 6 0

S o l u c i n

La o p t i m i z a c i n d e l n u e v o m o d e l o l i n e a l a r r o j a u n a u t i l i d a d m x i m a d e $ 2 , 3 8 5 c o n u n a p r o d u c c i n d i a r i a d e 6 0 t e l e v i s o r e s A y 4 0 t e l e v i s o r e s B .

M o d i f i c a c i n 2

S o b r e l a m o d i f i c a c i n 1 p r o p u e s t a , s u r ge l a i d e a d e h a c e r f l e x i b l e s a l o s g r u p o s d e t r a b a j o . La e s p e c i a l i z a c i n c o n t i n a p e r o s e p e r m i t i r a q u e e l g r u p o 1 p u e d a e n s a m b l a r l a l n e a d e l t e l e v i s o r B c o n l a e f i c i e n c i a o r i g i n a l y e l g r u p o 2 p u e d a h a c e r l o c o n e l t e l e v i s o r B p e r o t a m b i n c o n l a e f i c i e n c i a o r i g i n a l .

M o d e l a c i n

T o d a s l a s v a r i a b l e s t i e n e n q u e s e r r e e m p l a z a d a s p o r l a s u m a d e d o s . U n a d e e l l a s r e p r e s e n t a a l a p r o d u c c i n c o r r e s p o n d i e n t e d e l g r u p o 1 y l a o t r a a l a p r o d u c c i n d e l gr u p o 2 .

A = A 1 + A 2

B1 = B1 1 + B1 2

B2 = B2 1 + B2 2

B3 = B3 1 + B3 2

E l m o d e l o q u e d a d e l a s i gu i e n t e f o r m a .

M a x i m i z a r z = 2 0 * A 1 + 3 5 * B1 1 + 3 0 * B2 1 + 2 5 * B3 1 + 2 0 * A 2 + 3 5 * B1 2 + 3 0 * B2 2 + 2 5 * B3 2 ;



A 1 + A 2 < = 6 0 ;

B1 1 + B1 2 + B2 1 + B2 2 + B3 1 + B3 2 < = 5 0 ;

0 . 7 5 * A 1 + 2 * B1 1 + 2 * B2 1 + 2 * B3 1 < = 6 0 ;

A 2 + 1 . 5 * B1 2 + 1 . 5 * B2 2 + 1 . 5 * B3 2 < = 6 0 ;

B1 1 + B1 2 < = 1 0 ;

B2 1 + B2 2 < = 1 7 ;

S o l u c i n

La o p t i m i z a c i n d e l n u e v o m o d e l o a r r o j a u n a u t i l i d a d m x i m a d e $ 2 , 5 7 2 . 5 0 c o n u n p r o gr a m a d i a r i o d e p r o d u c c i n d e 6 0 t e l e v i s o r e s A y 4 7 . 5 t e l e v i s o r e s B . E l g r u p o 1 e n s a m b l a 6 0 t e l e v i s o r e s A y 7 . 5 t e l e v i s o r e s B . E l g r u p o 2 e n s a m b l a 4 0 t e l e v i s o r e s B .

3 . 3 GE S T I O N D E O PE R A C I O N E S D E PR O D U C C I O N ( M U L T I PE R I O D O )

C a s o 5 : E s t a b i l i z a n d o l a p r o d u c c i n - - - - - - - -

E l p r o n s t i c o d e v e n t a s p a r a u n c i e r t o p r o d u c t o d u r a n t e l o s d o c e m e s e s d e l a o , e s e l s i gu i e n t e :

C a s o e n o p e r a c i o n e s d e p r o d u c c i n m u l t i p e r o d o

E n e r o 2 , 0 0 0 J u l i o 1 0 , 0 0 0 Fe b r e r o 3 , 0 0 0 A go s t o 6 , 0 0 0 M a r z o 4 , 0 0 0 S e t i e m b r e 4 , 0 0 0 A b r i l 6 , 0 0 0 O c t u b r e 3 , 0 0 0 M a yo 8 , 0 0 0 N o v i e m b r e 2 , 0 0 0 J u n i o 1 0 , 0 0 0 D i c i e m b r e 2 , 0 0 0

A u m e n t a r l a p r o d u c c i n d e u n m e s a l s i gu i e n t e c u e s t a $ 1 . 0 0 p o r u n i d a d , y d i s m i n u i r l a p r o d u c c i n c u e s t a $ 0 . 5 0 p o r u n i d a d . La p r o d u c c i n p r o gr a m a d a p a r a e l m e s d e D i c i e m b r e d e l a o a n t e r i o r f u e d e 2 , 0 0 0 u n i d a d e s y e l n i v e l d e i n v e n t a r i o p a r a e l 1 r o . d e E n e r o s e r d e 1 , 0 0 0 u n i d a d e s . La c a p a c i d a d d e a l m a c e n a m i e n t o e s t l i m i t a d a a 5 , 0 0 0 u n i d a d e s e n c u a l q u i e r m o m e n t o .



Fo r m u l e u n m o d e l o p a r a o b t e n e r u n p r o gr a m a d e p r o d u c c i n p a r a e l s i gu e n t e a o q u e m i n i m i z e e l c o s t o d e c a m b i a r l a s t a s a s d e p r o d u c c i n , m i e n t r a s a l m i s m o t i e m p o s e a s e gu r e e l s t o c k s u f i c i e n t e p a r a s a t i s f a c e r l a s v e n t a s p r o n o s t i c a d a s t o d o s l o s m e s e s . ( A s u m i r q u e l a p r o d u c c i n p r o gr a m a d a p a r a u n d e t e r m i n a d o m e s e s t d i s p o n i b l e p a r a s a t i s f a c e r l a d e m a n d a d e l m i s m o m e s ) .

M e t o d o l o g a :

V a r i a b l e s n o r e s t r i n g i d a s ( A q u e l l a s q u e p u e d e n t o m a r v a l o r e s t a n t o p o s i t i v o s c o m o n e ga t i v o s )

Va r i a b l e s n o r e s t r i n g i d a s

E n l a m a yo r a d e p r o b l e m a s p r c t i c o s , v a l o r e s n e ga t i v o s p a r a l a s v a r i a b l e s d e d e c i s i n n o t i e n e n s e n t i d o . S i n e m b a r go , h a y c a s o s e n q u e s . C o m o e j e m p l o , e n l a s o p e r a c i o n e s d e p r o d u c c i n p o d r a s u c e d e r q u e u n c i e r t o p r o d u c t o s e e n c u e n t r e ya e n p r o d u c c i n y q u e u n v a l o r n e ga t i v o p a r a s u t a s a d e p r o d u c c i n s i gn i f i q u e u n a d i s m i n u c i n d e s u n i v e l a c t u a l d e p r o d u c c i n , d a n d o m a yo r c a p a c i d a d p a r a e l e v a r e l n i v e l d e p r o d u c c i n d e l o s o t r o s p r o d u c t o s .

P r o gr a m a c i n l i n e a l r e q u i e r e q u e t o d a s s u s v a r i a b l e s d e d e c i s i n s e a n n o n e ga t i v a s , p o r l o t a n t o n e c e s i t a m o s d e u n a r t i f i c i o p a r a p o d e r s o l u c i o n a r p r o b l e m a s c o n v a r i a b l e s q u e p u e d e n t o m a r v a l o r e s n o n e ga t i v o s . La m o d i f i c a c i n r e q u e r i d a d e p e n d e s i l a v a r i a b l e t i e n e u n l m i t e i n f e r i o r o n o .

T o m e m o s p r i m e r o e l c a s o d e u n a c i e r t a v a r i a b l e q u e d e b e s a t i s f a c e r u n a r e s t r i c c i n d e l a f o r m a :

Va r i a b l e c o n l m i t e i n f e r i o r

x j L j ,

d o n d e Lj e s a l g n v a l o r n e ga t i v o . E s t a r e s t r i c c i n p u e d e c o n v e r t i r s e e n u n a n o n e ga t i v i d a d n o r m a l h a c i e n d o e l s i gu i e n t e c a m b i o d e v a r i a b l e : x j = x ' j + Lj



A l r e e m p l a z a r e s t a i gu a l d a d , x j L j s e c o n v i e r t e e n x ' j 0 . P r o gr a m a c i n l i n e a l t r a b a j a l u e go c o n x j ' e n f o r m a r e gu l a r .

E l c a s o d o n d e l a v a r i a b l e n o t i e n e l m i t e i n f e r i o r r e q u i e r e t a m b i n d e u n c a m b i o d e v a r i a b l e , p e r o a h o r a d e l a s i gu i e n t e f o r m a :

Va r i a b l e s i n l m i t e i n f e r i o r

x j = x ' j - x " j , d o n d e x ' j 0 , x " j 0 .

Y a q u e x ' j y x " j p u e d e n t o m a r c u a l q u i e r v a l o r n o n e ga t i v o , s u d i f e r e n c i a ( x ' j - x " j ) p u e d e t e n e r c u a l q u i e r v a l o r p o s i t i v o o n e ga t i v o . C o m o v e r e m o s e n l a p a r t e t e r i c a d e P L, l a s o l u c i n d e l m o d e l o , ya c o n e l c a m b i o d e v a r i a b l e , t i e n e l a p r o p i e d a d d e q u e x ' j = 0 x " j = 0 a m b o s v a l o r e s s o n i gu a l a c e r o . P o r l o t a n t o e n l a s o l u c i n p t i m a s e t i e n e ,

0 xsi 0 0 xsi x

xj

jj'j

0 xsi 0 0 xsi x

xj

jj''j

D i c h o e n o t r a f o r m a :

S i x j 0 x j 0 x ' j

= x j 0 x " j

= 0 | x j | P a r a e v i t a r q u e e s t e p r o c e s o d u p l i q u e e l n u m e r o d e v a r i a b l e s i n v o l u c r a d a s s e p u e d e h a c e r e l s i gu i e n t e r e e m p l a z o ,

x j = x ' j - x " , d o n d e x ' j 0 , x " > 0

x " e s l a m i s m a v a r i a b l e p a r a t o d o s l o s j , y s e t o m a r e l m e n o r v a l o r e n t r e l o s x j n e ga t i v o s .



V a r i a b l e s d e D e c i s i n M o d e l a m i e n t o p i = P r o d u c c i n p a r a e l m e s i ; i = 1 , 2 , . . . . . , . 1 2 I i = In v e n t a r i o a l f i n a l d e l m e s i ; i = 1 , 2 , . . . . . . , 1 2 p o = 2 , 0 0 0 ; Io = 1 , 0 0 0 x i = V a r i a c i n d e l a p r o d u c c i o n d e l m e s i - 1 a l m e s i = p i - p i - 1

R e p r e s e n t a n d o l a p r o d u c c i n e n f u n c i n d e l a v a r i a c i n

x i

p 1 = p o + x 1 = 2 , 0 0 0 + x 1 p 2 = p 1 + x 2 = 2 , 0 0 0 + x 1 + x 2

ge n e r a l i z a n d o ,

p i = 2 , 0 0 0 + jxj 1i

R e s t r i c c i o n e s :

1 . Ba l a n c e d e m a t e r i a l e s

L l a m a r e m o s

d i = d e m a n d a d e l m e s i .

G r a f i c a m e n t e :

1 i 12Io

d1 Ii

pi

d

p1I

1Ii

-1... ...

d12

I12

11I

p12

i

A l ge b r a i c a m e n t e : I i = I i - 1 + p i - d i - I i + I i - 1 + jxj 1

i

=

d i - 2 , 0 0 0

i = 1 , 2 , . . . . . . , 1 2 2 . C a p a c i d a d d e a l m a c e n a m i e n t o

I i 5 , 0 0 0 i = 1 , 2 , . . . . . . , 1 2

M o d e l o

La s v a r i a b l e s x i p u e d e n s e r t a n t o n e ga t i v a s c o m o p o s i t i v a s , p o r t a n t o r e q u i e r e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r d o s



v a r i a b l e s ( U n a r e p r e s e n t a l a p a r t e p o s i t i v a y l a o t r a l a n e ga t i v a ) .

x i = x i ' - x i "

E l m o d e l o r e s u l t a ,

M i n . z = i 1

12

( 1 . 0 0 x i ' + 0 . 5 0 x i " )

S u j . a : j 1

i

( x j ' - x j " ) - I i + I i - 1 = d i - 2 , 0 0 0

I i 5 , 0 0 0

x i ' , x i " , I i 0 i = 1 , 2 , . . . . . . , 1 2

La d i m e n s i n d e l m o d e l o e s d e 3 6 v a r i a b l e s ( x i ' , x " i , I i ) y 2 4 r e s t r i c c i o n e s ( 1 2 b a l a n c e s d e m a t e r i a l e s y 1 2 n i v e l e s d e i n v e n t a r i o ) .

S o l u c i n :

x ' 1 = 0 x ' 2 = 2 , 6 6 6 . 6 7 x ' 3 = 0 x ' 4 = 3 , 0 0 0 . 0 0 x ' 5 = 0 x ' 6 = 0 x ' 7 = 0 x ' 8 = 0 x ' 9 = 0 x ' 1 0 = 0 x ' 1 1 = 0 x ' 1 2 = 0

x ' 1 = 0 x ' 2 = 0 x ' 3 = 0 x ' 4 = 0 x ' 5 = 0 x ' 6 = 0 x ' 7 = 0 x ' 8 = 1 , 6 6 6 . 6 7 x ' 9 = 2 , 0 0 0 . 0 0 x ' 1 0 = 0 x ' 1 1 = 0 x ' 1 2 = 0

I1 = 1 , 0 0 0 . 0 0 I2 = 2 , 6 6 6 . 6 7 I3 = 3 , 3 3 3 . 3 3 I4 = 5 , 0 0 0 . 0 0 I5 = 4 , 6 6 6 . 6 7 I6 = 2 , 3 3 3 . 3 3 I7 = 0 I8 = 0 I9 = 0 I1 0 = 1 , 0 0 0 . 0 0 I1 1 = 3 , 0 0 0 . 0 0 I1 2 = 5 , 0 0 0 . 0 0

S o l u c i n p t i m a

z m i n = 7 , 5 0 0 . 0 0

Lo s v a l o r e s x ' i , x " i , o b t e n i d o s n o s i n d i c a n s i h a y a u m e n t o o d i s m i n u c i n d e l n i v e l d e p r o d u c c i n



r e s p e c t i v a m e n t e . S i c o n o c e m o s e l n i v e l d e p r o d u c c i n d e D i c i e m b r e ( m e s 0 ) , p o d e m o s f c i l m e n t e d e t e r m i n a r l o s n i v e l e s p a r a l o s d o c e m e s e s s i gu i e n t e s .

In t e r p r e t a c i n a d m i n i s t r a t i v a I n t e r p r e t a c i n

E l m n i m o c o s t o d e c a m b i a r l a s t a s a s d e p r o d u c c i n s a t i s f a c i e n d o l a s v e n t a s p r o n o s t i c a d a s p a r a l o s d o c e m e s e s i n d i c a d o s y s i n e x c e d e r s e d e l a c a p a c i d a d d e a l m a c e n a m i e n t o , e s d e $ 7 , 5 0 0 . 0 0 . E l p r o gr a m a d e p r o d u c c i n m e n s u a l p a r a l o g r a r s t e c o s t o m n i m o e s e l s i gu i e n t e :

M e s P r o d u c c i n E n e r o Fe b r e r o M a r z o A b r i l M a yo J u n i o J u l i o A go s t o S e t i e m b r e O c t u b r e N i v i e m b r e D i c i e m b r e

2 , 0 0 0 . 0 0 4 , 6 6 6 . 6 7 4 , 6 6 6 . 6 7 7 , 6 6 6 . 6 7 7 , 6 6 6 . 6 7 7 , 6 6 6 . 6 7 7 , 6 6 6 . 6 7 6 , 0 0 0 . 0 0 4 , 0 0 0 . 0 0 4 , 0 0 0 . 0 0 4 , 0 0 0 . 0 0 4 , 0 0 0 . 0 0

3 . 4 . GE S T I O N D E O PE R A C I O N E S E N J U E GO S

C a s o 6 : J u ga d o r p r u d e n t e . - - - - - - - -

U n j u ga d o r i n t e r v i e n e e n u n j u e go q u e r e q u i e r e d i v i d i r s u d i n e r o e n t r e c u a t r o e l e c c i o n e s d i f e r e n t e s . E l j u e go t i e n e t r e s p o s i b l e s r e s u l t a d o s y n o s e c o n o c e l a p o s i b i l i d a d d e o c u r r e n c i a d e n i n gu n o d e e l l o s . La t a b l a s i gu i e n t e n o s d a l a s ga n a n c i a s o p r d i d a s q u e s e o b t i e n e n p o r u n i d a d m o n e t a r i a p u e s t a e n c a d a e l e c c i n , c o r r e s p o n d i e n t e a l o s t r e s r e s u l t a d o s p o s i b l e s .

C a s o e n o p e r a c i o n e s d e j u e g o s



G a n a n c i a o ( p r d i d a ) p o r d l a r p u e s t o E l e c c i n

R e s u l t a d o 1 2 3 4 1 - 3 4 - 7 1 5 2 5 - 3 9 4 3 3 - 9 1 0 - 8

E l j u ga d o r t i e n e u n t o t a l d e $ 5 0 0 , c o n l o s c u a l e s p u e d e j u ga r u n a s o l a v e z . D e b i d o a l a i n c e r t i d u m b r e t o t a l s o b r e e l r e s u l t a d o , e l j u ga d o r q u i e r e h a c e r l a a s i gn a c i n q u e m x i m i z e s u r e n d i m i e n t o m n i m o , s t o e s , l a c a n t i d a q u e o b t e n d r a c o n e l p e o r d e l o s r e s u l t a d o s . S i s t e r e n d i m i e n t o m n i m o f u e r a n e ga t v o , e l j u ga d o r p r e f e r i r a n o a p o s t a r .

Le r e c o m e n d a r a u s t e d a l j u ga d o r e f e c t u a r l a j u ga d a ? S i s u r e s p u e s t a e s p o s i t i v a , C u n t o d i n e r o a s i gn a r a a c a d a e l e c c i n p a r a s a t i s f a c e r e l d e s e o d e l j u ga d o r ?

M e t o d o l o g a : S e l e c c i n e n t r e o p c i o n e s a l t e r n a t i v a s ( m a x , m i n )

E n a l gu n o s c a s o s d e f o r m u l a c i o n e s s e p u e d e e n c o n t r a r l a n e c e s i d a d d e q u e r e r e l e g i r e l m e n o r ( o m a yo r ) e n t r e u n d e t e r m i n a d o c o n j u n t o d e e x p r e s i o n e s a l ge b r i c a s l i n e a l e s , l a s c u a l e s s o n f u n c i n d e l a s v a r i a b l e s d e d e c i s i n d e l p r o b l e m a . T o m e m o s c o m o e j e m p l o t r e s c o m b i n a c i o n e s l i n e a l e s q u e i d e n t i f i c a r e m o s p o r c 1 , c 2 y c 3 . D e s e a m o s e l e g i r a q u e l l a q u e t o m e e l m e n o r v a l o r y q u e s t e v a l o r s e a e l m a yo r p o s i b l e . S i r e p r e s e n t a m o s p o r Y a l v a l o r b u s c a d o , l a f u n c i n o b j e t i v o s e r :

O p c i o n e s a l t e r n a t i v a s

M a x i m i z a r y = M i n ( c 1 , c 2 , c 3 ) ;

l o c u a l n o e s u n a e x p r e s i n l i n e a l . P a r a r e p r e s e n t a r e s t a p r o b l e m t i c a m e d i a n t e u n m o d e l o l i n e a l d e b e m o s p l a n t e a r t r e s d e s i gu a l d a d e s q u e d a n d o ,

M a x y

S u j . a c 1 y c 2 y



c 3 y

U n a d e l a s t r e s d e s i gu a l d a d e s d e b e m a n t e n e r s e c o m o i gu a l d a d a l l l e ga r a l a s o l u c i n d e l m o d e l o ya q u e a l t r a t a r d e m a x i m i z a r e l v a l o r d e y, s t e v a l o r q u e d a r l i m i t a d o p o r e l m e n o r v a l o r e n t r e c 1 , c 2 y c 3 . V a r i a b l e s d e D e c i s i n M o d e l a m i e n t o

x 1 = M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c i n 1 . x 2 = M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c i n 2 . x 3 = M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c i n 3 . x 4 = M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c i n 4 . y = E l m e n o r v a l o r e n t r e l o s t r e s r e s u l t a d o s p o s i b l e s .


z = y,

l a c u a l s r a m a x i m i z a d a .

R e s t r i c c i o n e s 1 . T o t a l d e l d i n e r o d e l j u ga d o r .

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 5 0 0

2 . E l v a l o r d e y e s m e n o r o i gu a l a l r e s u l t a d o 1 .

- 3 x 1 + 4 x 2 - 7 x 3 + 1 5 x 4 y - 3 x 1 + 4 x 2 - 7 x 3 + 1 5 x 4 - y 0


5 x 1 - 3 x 2 + 9 x 3 + 4 x 4 - y 0


3 x 1 - 9 x 2 + 1 0 x 3 - 8 x 4 - y 0

M o d e l o

M a x . z = y S u j . a x 1 + x 2 + x 3 + x 4 5 0 0



- 3 x 1 + 4 x 2 - 7 x 3 + 1 5 x 4 - y 0 5 x 1 - 3 x 2 + 9 x 3 + 4 x 4 - y 0 3 x 1 - 9 x 2 + 1 0 x 3 - 8 x 4 - y 0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , y 0

S o l u c i n S o l u c i n p t i m a

x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 2 8 7 . 5 0 x 4 = 2 1 2 . 5 0 y = 1 , 1 7 5 . 0 0

z m x = 1 , 1 7 5 . 0 0


Le r e c o m e n d a m o s a l j u ga d o r e f e c t u a r l a j u ga d a , ya q u e a n c o n e l p e o r d e l o s r e s u l t a d o s , ga n a r $ 1 , 1 7 5 . 0 0 . P a r a q u e e s t o s e c u m p l a d e b e a p o s t a r $ 2 8 7 . 5 0 e n l a e l e c c i n 3 y $ 2 1 2 . 5 0 e n l a e l e c c i n 4 .

V a r i a c i n

C a m b i e m o s l a s ga n a n c i a s d a d a s p a r a f o r z a r u n r e s u l t a d o n e ga t i v o . E s t o l o l o g r a m o s c a m b i a n d o l a ga n a n c i a d e l a e l e c c i n 4 e n e l r e s u l t a d o 1 d e $ 1 5 a $ 5 . A l l a n z a r e l m o d e l o c o n e s t e c a m b i o , l a s o l u c i n p t i m a n o s a r r o j a ,

R e s u l t a d o n e g a t i v o

z m x = y = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0

La d e c i s i n h a s i d o n o a p o s t a r , ya q u e a n e n e l m e j o r d e l o s c a s o s , e l r e s u l t a d o m s b a j o d a r p r d i d a , e s t o e s , u n v a l o r n e ga t i v o . S i q u i s i e r a m o s c o n o c e r c u n t o e s e s t e v a l o r n e ga t i v o y c u l e s l a s a p u e s t a s q u e l o ge n e r a n , s e n e c e s i t a h a c e r u s o d e v a r i a b l e s n o r e s t r i n g i d a s . La v a r i a b l e y p o d r t o m a r v a l o r e s p o s i t i v o s o n e ga t i v o s p o r l o q u e d e b e m o s e f e c t u a r e l s i gu i e n t e c a m b i o d e v a r i a b l e ,

y = y ' - y ' '



A d e m s l a p r i m e r a r e s t r i c c i n d e b e f o r z a r s e c o n v i r t i n d o s e e n i gu a l d a d , ya q u e s i s e d e j a e n m e n o r o i gu a l , e l p r o c e s o d e m a x i m i z a c i n e l e g i r e l v a l o r c e r o a n t e s q u e u n v a l o r n e ga t i v o . E l m o d e l o c o r r e s p o n d i e n t e e s ,

M a x . z = y ' - y ' ' M o d e l o s u j . a x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5 0 0 - 3 x 1 + 4 x 2 - 7 x 3 + 5 x 4 - y ' + y ' ' 0 5 x 1 - 3 x 2 + 9 x 3 + 4 x 4 - y ' + y ' ' 0 3 x 1 - 9 x 2 + 6 x 3 - 8 x 4 - y ' + y ' ' 0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , y ' , y ' ' 0

La s o l u c i n p t i m a d e e s t e m o d e l o r e s u l t a , S o l u c i n p t i m a

x 1 = 3 4 2 . 1 1 x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = 1 5 7 . 8 9 y ' = 0 y ' ' = 2 3 6 . 8 4 z m x = - 2 3 6 . 8 4

3 . 5 GE S T I O N D E O PE R A C I O N E S D E C O M PR A S

C a s o 7 : C o m p r a y c o r t e d e b o b i n a s d e a c e r o - - - - - - - -



U n a c i e r t a e m p r e s a f a b r i c a u n a d i v e r s i d a d d e a p a r a t o s e l e c t r o d o m s t i c o s . T o d o s e l l o s c o n s u m e n l a m s i m p o r t a n t e m a t e r i a p r i m a d e l p r o c e s o p r o d u c t i v o : l a l m i n a d e a c e r o . U n a p a r t e m u y s i gn i f i c a t i v a d e l c o s t o t o t a l d e l o s p r o d u c t o s s e d e b e a l a c o m p r a d e l a l m i n a d e a c e r o . E s t a s e c o m p r a e n b o b i n a s , l a s q u e s e c o n s i gu e n a c t u a l m e n t e e n d o s a n c h o s : 4 ' y 6 ' . E n e l p r o c e s o d e p r o d u c c i n s e r e q u i e r e n c u a t r o d i f e r e n t e s a n c h o s : 4 2 ' ' , 3 4 ' ' , 1 5 ' ' y 1 0 ' ' . E n t o d o s l o s c a s o s s e t r a t a d e l a m i s m a c a l i d a d y e s p e s o r d e l m i n a . E l p r e c i o d e l a b o b i n a d e 4 ' e s d e $ 0 . 3 8 p o r p i e l i n e a l y e l d e l a b o b i n a d e 6 ' , d e $ 0 . 6 0 . P a r a e l p r x i m o m e s s e h a n d e t e r m i n a d o l o s r e q u e r i m i e n t o s n e t o s d e l m i n a , s e g n e l a n c h o c o r r e s p o n d i e n t e .

C a s o e n o p e r a c i o n e s d e c o m p r a

A n c h o ( p u l g . ) 4 2 3 4 1 5 1 0 R q m t o . n e t o ( p i e s ) 4 0 0 3 5 0 1 0 0 0 1 5 0 0

La d i s p o n i b i l i d a d d e c o m p r a e n l o s p r o v e e d o r e s t r a d i c i o n a l e s d e l a e m p r e s a e n e s t e m o m e n t o e s d e 7 5 0 p i e s d e l a b o b i n a d e 6 ' y d e 5 , 0 0 0 p i e s d e l a d e 4 ' .

C o n s t r u ya e l m o d e l o d e P L m e d i a n t e e l c u a l s e d e t e r m i n e l a c a n t i d a d d e p i e s d e b o b i n a q u e d e b e c o m p r a r s e d e c a d a a n c h o y c m o d e b e p r o c e d e r s e e n e l c o r t e p a r a s a t i s f a c e r l o s r e q u e r i m i e n t o s n e t o s i n d i c a d o s .


La s b o b i n a s p u d e n s e r c o r t a d a s e n m u c h a s a l t e r n a t i v a s p o s i b l e s . E n u m e r e m o s e s t a s a l t e r n a t i v a s c o n s i d e r a n d o s l o l a s f o r m a s e f i c i e n t e s , e s t o e s , a q u e l l a s c u yo d e s p e r d i c i o e s m e n o r q u e 1 0 ' ' ( e l m e n o r a n c h o r e q u e r i d o ) . E s t a s s e m u e s t r a n e n l a s T a b l a s 3 . 2 y 3 . 3

Fo r m a C a n t i d a d d e c o r t e s d e a n c h o . . . D e s p e r d i c i o 4 2 ' ' 3 4 ' ' 1 5 ' ' 1 0 ' ' ( p u l g . )

1 1 0 2 0 0 2 1 0 1 1 5 3 1 0 0 3 0 4 0 2 0 0 4 5 0 1 2 0 8

Tabla 3.2 Alternativas de corte para la bobina de 6



6 0 1 1 2 3 7 0 1 0 3 8 8 0 0 4 1 2 9 0 0 3 2 7

1 0 0 0 2 4 2 1 1 0 0 1 5 7 1 2 0 0 0 7 2

Fo r m a C a n t i d a d d e c o r t e s d e a n c h o . . . D e s p e r d i c i o 4 2 " 3 4 " 1 5 " 1 0 " ( P u l g . )

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 3 2 1 0

0 1 0 1 3 4

6 4 3 8 3 8

A i = C a n t i d a d d e p i e s d e l a b o b i n a d e 6 ' a c o r t a r e n l a f o r m a # i . B j = C a n t i d a d d e p i e s d e l a b o b i n a d e 4 ' a c o r t a r e n l a f o r m a # j . A T = T o t a l d e p i e s d e l a b o b i n a d e 6 ' q u e s e c o m p r a r n . BT = T o t a l d e p i e s d e l a b o b i n a d e 4 ' q u e s e c o m p r a r n .


S e p u e d e e n f o c a r e l o b j e t i v o d e s d e e l p u n t o d e v i s t a d e ge n e r a r l a m e n o r c a n t i d a d d e d e s p e r d i c i o d e m a t e r i a l e s o d e s d e u n p u n t o d e v i s t a e c o n m i c o , m i n i m i z a n d o e l ga s t o t o t a l e n l a c o m p r a d e l a s b o b i n a s .

E n e l p r i m e r c a s o s e m i n i m i z a e l r e a t o t a l d e l o s d e s p e r d i c i o s , s t o e s ,

M i n i m i z a r z = 5 A 2 + 4 A 4 + 8 A 5 + 3 A 6 + 8 A 7 + 2 A 8 + 7 A 9 + 2 A 1 0 + 7 A 1 1 + 2 A 1 2 + 6 B1 + 4 B8 + 3 B3 + 8 B4 + 3 B5 + 8 B6

Objetivos alternativos

Tabla 3.3 Alternativas de corte para la bobina de 4



E n e l s e gu n d o c a s o ,

M i n i m i z a r z = 0 . 6 0 A T + 0 . 3 8 BT


1 . C a n t i d a d t o t a l d e p i e s d e l a b o b i n a d e 6 ' A T - A 1 - A 2 - A 3 - A 4 - A 5 - A 6 - A 7 - A 8 - A 9 - A 1 0 - A 1 1 - A 1 2 = 0

2 . C a n t i d a d t o t a l d e p i e s d e l a b o b i n a d e 4 ' BT - B1 - B2 - B3 - B4 - B5 - B6 = 0

3 . D i s p o n i b i l i d a d d e c o m p r a d e l a b o b i n a d e 6 ' A T 7 5 0

4 . D i s p o n i b i l i d a d d e c o m p r a d e l a b o b i n a d e 4 ' BT 5 0 0 0

5 . R e q u e r i m e n t o n e t o d e l m i n a d e 4 2 " A 1 + A 2 + A 3 + B1 4 0 0

6 . R e q u e r i m e n t o n e t o d e l m i n a d e 3 4 " 2 A 4 + A 5 + A 6 + A 7 + B2 3 5 0

7 . R e q u e r i m e n t o n e t o d e l m i n a d e 1 5 " 2 A 1 + A 2 + 2 A 5 + A 6 + 4 A 8 + 3 A 9 + 2 A 1 0 + A 1 1 + 3 B3 + 2 B4 + B5 1 0 0 0

8 . R e q u e r i m e n t o n e t o d e l m i n a d e 1 0 " A 2 + 3 A 3 + 2 A 6 + 3 A 7 + A 8 + 2 A 9 + 4 A 1 0 + 5 A 1 1 + 7 A 1 2 + B2 + B4 + 3 B5 + 4 B6 1 5 0 0

M o d e l o

E n e l p r i m e r c a s o d e l a f u n c i n o b j e t i v o , s t o e s , m i n i m i z a n d o l a c a n t i d a d d e d e s p e r d i c i o , e l m o d e l o r e s u l t a :

M i n . z = 5 A 2 + 4 A 4 + 8 A 5 + 3 A 6 + 8 A 7 + 2 A 8 + 7 A 9 + 2 A 1 0 + 7 A 1 1 + 2 A 1 2 + 6 B1 + 4 B2 + 3 B3 + 8 B4 + 3 B5 + 8 B6



S u j e t o a :

A T - A 1 - A 2 - A 3 - A 4 - A 5 - A 6 - A 7 - A 8 - A 9 - A 1 0 - A 1 1 - A 1 2 = 0 B T - B 1 - B 2 - B 3 - B 4 - B 5 - B 6 = 0 A T 7 5 0 B T 5 0 0 0 A 1 + A 2 + A 3 + B 1 4 0 0 2 A 4 + A 5 + A 6 + A 7 + B 2 3 5 0 2 A 1 + A 2 + 2 A 5 + A 6 + 4 A 8 + 3 A 9 + 2 A 1 0 + A 1 1 + 3 B 3 + 2 B 4 + B 5 1 0 0 0 A 2 + 3 A 3 + 2 A 6 + 3 A 7 + A 8 + 2 A 9 + 4 A 1 0 + 5 A 1 1 + 7 A 1 2 + B 2 + B 4 + 3 B 5 + 4 B 6 1 5 0 0

A T , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 , A 8 , A 9 , A 1 0 , A 1 1 , A 1 2 , B T , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 0

E n e l s e gu n d o c a s o , s e m i n i m i z a r e l ga s t o t o t a l d e l a s c o m p r a s . S l o e s n e c e s a r i o c a m b i a r l a f u n c i n o b j e t i v o , m a n t e n i e n d o e l m i s m o c o n j u n t o d e r e s t r i c c i o n e s . La n u e v a f u n c i n o b j e t i v a e s ,

M i n . z = 0 . 6 0 A T + 0 . 3 8 BT

S o l u c i n

C o n l a f u n c i n o b j e t i v o m i n i m i z a n d o e l d e s p e r d i c i o e n m a t e r i a l , l a s o l u c i n p t i m a e s ,

S o l u c i n p t i m a

A T = 7 5 0 . 0 0 A 1 = 4 0 0 . 0 0 A 2 = 0 A 3 = 0 A 4 = 1 4 4 . 4 4 A 5 = 0 A 6 = 0 A 7 = 0 A 8 = 0 A 9 = 0 A 1 0 = 0 A 1 1 = 0 A 1 2 = 2 0 5 . 5 6

BT = 1 2 7 . 7 8 B1 = 0 B2 = 6 1 . 1 1 B3 = 6 6 . 6 7 B4 = 0 B5 = 0 B6 = 0

Z m n . = 1 4 3 3 . 3 3



C o n l a f u n c i n o b j e t i v o m i n i m i z a n d o e l c o s t o t o t a l d e l a c o m p r a d e b o b i n a s , l a s o l u c i n p t i m a e s ,

A T = 4 0 0 . 0 0 A 1 = 1 6 . 6 7 A 2 = 0 A 3 = 3 8 3 . 3 3 A 4 = 0 A 5 = 0 A 6 = 0 A 7 = 0 A 8 = 0 A 9 = 0 A 1 0 = 0 A 1 1 = 0 A 1 2 = 0

BT = 6 7 2 . 2 2 B1 = 0 B2 = 3 5 0 . 0 0 B3 = 3 2 2 . 2 2 B4 = 0 B5 = 0 B6 = 0

Z m n . = 4 9 5 . 4 4

In t e r p r e t a c i n A d m i n i s t r a t i v a : I n t e r p r e t a c i n

D e s c r i b i r e m o s l a s d o s s o l u c i o n e s e n c o n t r a d a s e n f o r m a p a r a l e l a p a r a f a c i l i t a r l a c o m p a r a c i n . La l e c t u r a d e b e h a c e r s e i n d e p e n d i e n t e m e n t e p o r c o l u m n a .

M i n i m i z a n d o e l d e s p e r d i c i o e n m a t e r i a l

M i n i m i z a n d o e l c o s t o t o t a l

D e l a b o b i n a d e 6 ' d e a n c h o c o m p r a r

7 5 0 . 0 0 p i e s 4 0 0 . 0 0 p i e s

l o s c u a l e s d e b e n c o r t a r s e e n l a s s i gu i e n t e s l o n g i t u d e s :

Fo r m a # 1 : 4 0 0 . 0 0 p i e s Fo r m a # 3 : 0 . 0 0 p i e s Fo r m a # 4 : 1 4 4 . 4 4 p i e s Fo r m a # 1 2 : 2 0 5 . 5 6 p i e s

1 6 . 6 7 p i e s 3 8 3 . 3 3 p i e s 0 . 0 0 p i e s 0 . 0 0 p i e s

D e l a b o b i n a d e 4 d e a n c h o c o m p r a r :

1 2 7 . 6 8 p i e s 6 7 2 . 2 2 p i e s

l o s c u a l e s d e b e n c o r t a r s e e n l a s l o n g i t u d e s s i gu i e n t e s :



Fo r m a # 2 : 6 1 . 1 1 p i e s Fo r m a # 3 : 6 6 . 6 7 p i e s

3 5 0 . 0 0 p i e s 3 2 2 . 2 2 p i e s

E l d e s p e r d i c i o d e m a t e r i a l ge n e r a d o p o r e l c o r t e i n d i c a d o e s

1 4 3 3 . 3 3 p u l g - p i e 4 2 8 3 . 3 3 p u l g - p i e

E l ga s t o t o t a l d e l a c o m p r a e s :

$ 4 9 8 . 5 6 $ 4 9 5 . 4 4

3 . 6 . GE S T I O N D E O PE R A C I O N E S M I L I T A R E S

C a s o 8 : C o m a n d o d e b o m b a r d e r o s - - - - - - - - -

E l e s t r a t g i c o c o m a n d o d e b o m b a r d e r o s r e c i b e i n s t r u c c i o n e s p a r a i n t e r r u m p i r l a p r o d u c c i n d e t a n q u e s d e l e n e m i go . E l e n e m i go t i e n e c u a t r o p l a n t a s c l a v e s l o c a l i z a d a s e n c i u d a d e s s e p a r a d a s , y l a d e s t r u c c i n d e c u a l q u i e r a d e l a s p l a n t a s d e t e n d r e f e c t i v a m e n t e l a p r o d u c c i n d e t a n q u e s .

C a s o e n o p e r a c i o n e s m i l i t a r e s

E x i s t e u n a a gu d a e s c a s e z d e c o m b u s t i b l e , l a c u a l l i m i t a e l s u m i n i s t r o p a r a e s t a m i s i n a 4 8 , 0 0 0 ga l o n e s . C u a l q u i e r b o m b a r d e r o e n v i a d o a c u a l q u i e r c i u d a d p a r t i c u l a r d e b e t e n e r p o r l o m e n o s s u f i c i e n t e c o m b u s t i b l e p a r a e l v i a j e d e i d a y v u e l t a m s u n a r e s e r v a d e 1 0 0 ga l o n e s .

E l n m e r o d e b o m b a r d e r o s d i s p o n i b l e s p a r a e l c o m a n d o y s u s d e s c r i p c i o n e s s e l i s t a n a c o n t i n u a c i n :

T i p o d e b o m b a r d e r o

D e s c r i p c i n

K m . p o r ga l n

N m e r o d i s p o n i b l e

1 P e s a d o 2 4 8 2 M e d i o 3 3 2

La i n f o r m a c i n a c e r c a d e l a l o c a l i z a c i n d e l a s p l a n t a s , y d e s u v u l n e r a b i l i d a d a l a t a q u e d e u n b o m b a r d e r o m e d i o y d e u n b o m b a r d e r o p e s a d o s e d a n e n l a s i gu i e n t e t a b l a :



P l a n t a D i s t a n c i a a l a b a s e , K m .

P r o b a b i l i d a d d e d e s t r u c c i n p o r u n . . b o m b a r d e r o p e s a d o b o m b a r d e r o m e d i o

1 4 5 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 8 2 4 8 0 0 . 0 2 0 0 . 0 1 6 3 5 4 0 0 . 0 1 5 0 . 0 1 2 4 6 0 0 0 . 0 2 5 0 . 0 2 0

E l c o m a n d o d e b e d e c i d i r c u n t o s b o m b a r d e r o s d e c a d a t i p o d e b e n s e r e n v i a d o s y c m o d e b e n s e r a s i gn a d o s e n t r e l o s c u a t r o p u n t o s d e a t a q u e , d e m a n e r a d e m a x i m i z a r l a p r o b a b i l i d a d d e x i t o . S e a s u m i r q u e n i n g n d a o s i gn i f i c a t i v o e s i n f l i g i d o p o r u n b o m b a r d e r o q u e f a l l a e n l a d e s t r u c c i n d e l a p l a n t a .

V a r i a b l e s d e d e c i s i n M o d e l a m i e n t o S e t i e n e n d o s t i p o s d e b o m b a r d e r o s y c u a t r o c i u d a d e s p o s i b l e s d o n d e e n v i a r l o s . T e n e m o s p o r l o t a n t o o c h o v a r i a b l e s d e d e c i s i n q u e i d e n t i f i c a r e m o s p o r

x i j = N m e r o d e b o m b a r d e r o s d e l t i p o i e n v i a d o s a l a c i u d a d j .

p a r a i = 1 , 2 ; j = 1 , 2 , 3 , 4 Fu n c i n o b j e t i v o

D e s e a m o s m a x i m i z a r l a p r o b a b i l i d a d d e d e s t r u i r a l m e n o s u n a p l a n t a , y e s t o e s e q u i v a l e n t e a m i n i m i z a r l a p r o b a b i l i d a d d e n o d e s t r u i r n i n gu n a p l a n t a . U s a n d o Q p a r a d e n o t a r e s t a p r o b a b i l i d a d ,

Q = ( 1 - 0 . 0 1 0 ) X11 ( 1 - 0 . 0 2 0 ) X12 ( 1 - 0 . 0 1 5 ) X13 ( 1 - 0 . 0 2 5 ) X14 ( 1 - 0 . 0 0 8 ) X21 ( 1 - 0 . 0 1 6 ) X22 ( 1 - 0 . 0 1 2 ) X23 ( 1 - 0 . 0 2 0 ) X24

La f u n c i n Q ge n e r a d a n o e s l i n e a l . S i n e m b a r go r e c o r d e m o s q u e m i n i m i z a r Q e s l o m i s m o q u e m i n i m i z a r l o gQ y l o g Q e s l i n e a l e n x i j . L l a m a n d o z a l o g Q m u l t i p l i c a d o p o r 1 0 p a r a e v i t a r p r o b l e m a s d e e s c a l a m i e n t o ( n m e r o s m u y p e q u e o s c o n o t r o s m u y gr a n d e s e n e l m i s m o m o d e l o ) t e n e m o s ;

Transformacin de la funcin objetivo



z = 1 0 * l o gQ = - 4 . 3 6 5 x 1 1 - 8 . 7 7 4 x 1 2 - 6 . 5 6 4 x 1 3 -1 0 . 9 9 5 x 1 4 - 3 . 4 8 8 x 2 1 - 7 . 0 0 5 x 2 2 - 5 . 2 4 3 x 2 3 - 8 . 7 7 4 x 2 4


1 . V e a m o s a h o r a l a r e s t r i c c i n i m p u e s t a s o b r e l o s v a l o r e s d e x i j d e b i d o a l a e s c a s e z d e c o m b u s t i b l e , 2 450

2x

2 4802

x2 540

2x

2 6002

x2 450

3x

2 4803

x2 540

3x

2 6003

x 100 (x x x x x x x x ) 48,000

* * * * * * *

*

11 12 13 14 21 22 23

24 11 12 13 14 21 22 23 24

l o c u a l s i m p l i f i c a n d o n o s q u e d a ,

5 5 0 x 1 1 + 5 8 0 x 1 2 + 6 4 0 x 1 3 + 7 0 0 x 1 4 + 4 0 0 x 2 1 + 4 2 0 x 2 2 + 4 6 0 x 2 3 + 5 0 0 x 2 4 4 8 , 0 0 0

2 . La l i m i t a c i n p o r c a n t i d a d d e b o m b a r d e r o s p e s a d o s e s :

x 1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 4 8

3 . La l i m i t a c i n p o r c a n t i d a d d e b o m b a r d e r o s m e d i o s e s :

x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 3 2

M o d e l o

M i n i m i z a r Z= - 4 . 3 6 5 x 1 1 - 8 . 7 7 4 x 1 2 - 6 . 5 6 4 x 1 3 - 1 0 . 9 9 5 x 1 4 - 3 . 4 8 8 x 2 1 - 7 . 0 0 5 x 2 2 - 5 . 2 4 3 x 2 3 - 8 . 7 7 4 x 2 4

S u j e t o a , 5 5 0 x 1 1 + 5 8 0 x 1 2 + 6 4 0 x 1 3 + 7 0 0 x 1 4 + 4 0 0 x 2 1 + 4 2 0 x 2 2 + 4 6 0 x 2 3 + 5 0 0 x 2 4 4 8 , 0 0 0

x 1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 4 8 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 3 2 x 1 1 , x 1 2 , x 1 3 , x 1 4 , x 2 1 , x 2 2 , x 2 3 , x 2 4 0

S o l u c i n : S o l u c i n p t i m a



x 1 1 = 0 x 1 2 = 0 z m n . = - 7 8 3 . 3 9 6 5 7 1 4 x 1 3 = 0 x 1 4 = 4 5 . 7 1 x 2 1 = 0 Q m n = a n t i l o g ( Z * 10 3 ) = 0 . 1 6 4 7 x 2 2 = 0 x 2 3 = 0 x 2 4 = 3 2


La m a yo r p r o b a b i l i d a d d e x i t o d e l a m i s i n e s d e 8 3 . 5 3 % ( 1 0 0 . 0 0 - 1 6 . 4 7 ) l a c u a l s e l o g r a e n v i a n d o 4 5 . 7 1 b o m b a r d e r o s p e s a d o s a l a p l a n t a 4 y 3 2 b o m b a r d e r o s m e d i o s t a m b i e n a l a p l a n t a 4 . O b v i a m e n t e l a c o n t i n u i d a d d e l a s v a r i a b l e s d e P L o r i g i n a n u n p r o b l e m a d e i n t e r p r e t a c i n f s i c a . E s i m p o s i b l e e n v i a r 4 5 . 7 1 b o m b a r d e r o s . O s e e n v i a n 4 6 , v i o l a n d o l a s r e g l a s e l c o m b u s t i b l e , o s e e n v i a n 4 5 , b a j a n d o l a p r o b a b i l i d a d d e x i t o d e l a m i s i n a 8 3 . 2 3 % y d e s c o n o c i e n d o s i e s t a e s r e a l m e n t e l a s o l u c i n p t i m a . E n e s t o s c a s o s s e h a c e n e c e s a r i o a d i c i o n a r l a r e s t r i c c i n d e v a l o r e s e n t e r o s p a r a l a s v a r i a b l e s d e d e c i s i n d e l m o d e l o . E s t a r a m o s e n e l t e m a d e p r o gr a m a c i n e n t e r a q u e s e v e r e n e l c a p i t u l o . . . La s o l u c i n p t i m a p a r a e l m o d e l o c o n e s t a s c a r a c t e r i s t i c a s n o s a r r o j a u n a m x i m a p r o b a b i l i d a d d e x i t o d e 8 3 . 5 0 % l o c u a l s e l o g r a e n v i a n d o :

1 b o m b a r d e r o p e s a d o a l a p l a n t a 2 4 5 b o m b a r d e r o s p e s a d o s a l a p l a n t a 4 1 b o m b a r d e r o m e d i o a l a p l a n t a 2 y 3 1 b o m b a r d e r o s m e d i o s a l a p l a n t a 4 .

3 . 7 PR O B L E M A S

1 . U n a c i e r t a c o m p a i a t i e n e l a d i s yu n t i v a d e d e c i d i r s i p r o d u c e e n s u s p r o p i o s t a l l e r e s o s e a b a s t e c e d e t e r c e r o s d o s p r o d u c t o s q u e i d e n t i f i c a r e m o s p o r A y B . P r o d u c i r u n a u n i d a d d e l p r o d u c t o A c u e s t a $ 1 . 0 0 y c o m p r a r l a e x t e r n a m e n t e , $ 1 . 2 0 . P a r a e l B p r o d u c i r u n a u n i d a d c u e s t a $ 1 . 7 0 y c o m p r a r l a , $ 1 . 5 0 . La s t a s a s d e p r o d u c c i n i n t e r n a s o n d e t r e s p o r h o r a y 5 p o r h o r a p a r a A y B r e s p e c t i v a m e n t e . Lo s

Solucin mediante programacin entera



r e q u e r i m i e n t o s m n i m o s s o n 1 0 0 d e A p o r s e m a n a y 2 0 0 d e B p o r s e m a n a . E x i s t e n 4 0 h o r a s s e m a n a l e s d e t a l l e r d i s p o n i b l e s , y s e c a l c u l a q u e u n a h o r a d e t i e m p o o c i o s o d e l t a l l e r c u e s t a a p r o x i m a d a m e n t e $ 2 . 5 0 . N o s e p u e d e n p r o d u c i r m a s d e 6 0 u n i d a d e s d e A n i m a s d e 1 2 0 d e B . E l a b a s t e c i m i e n t o d e B e s t l i m i t a d o a 1 3 0 u n i d a d e s s e m a n a l e s .

Fo r m u l a r e l p r o b l e m a m e d i a n t e u n m o d e l o d e p r o gr a m a c i n l i n e a l .

2 . U n i n v e r s i o n i s t a t i e n e d o s a l t e r n a t i v a s d e i n v e r s i n , A y B , d i s p o n i b l e s a l c o m i e n z o d e c a d a u n o d e l o s s i gu i e n t e s c i n c o a o s . C a d a $ 1 , 0 0 0 i n v e r t i d o s e n A a l i n i c i o d e u n a o , r e t o r n a n $ 1 , 5 0 0 ( u n a u t i l i d a d d e $ 5 0 0 ) d e s p u s d e d o s a o s . c a d a $ 1 , 0 0 0 i n v e r t i d o s e n B a l c o m i e n z o d e u n a o , r e t o r n a n $ 1 , 9 0 0 t r e s a o s d e s p u s .

A d e m s d e e s t a s d o s a l t e r n a t i v a s , e x i s t e n o t r a s d o s , C y D , l a s c u l e s e s t a r n a d i s p o c i s i n d e l i n v e r s i o n i s t a p o r u n a n i c a v e z . La C e s t a c c e s i b l e a l i n i c i o d e l p r i m e r a o y r e t o r n a r $ 2 , 0 0 0 c u a t r o a o s d e s p u p o r c a d a $ 1 , 0 0 0 i n v e r t i d o s . La D e s t a r a c c e s i b l e a l i n i c i o d e l t e r c e r a o y r e t o r n a r $ 1 , 3 0 0 u n a o d e s p u s p o r c a d a $ 1 , 0 0 0 i n v e r t i d o s .

E l i n v e r s i o n i s t a c u e n t a c o n 1 0 m i l l o n e s d e d l a r e s a l i n i c i o d e l p r i m e r a o . E l d e s e a m a x i m i z a r l a c a n t i d a d d e d i n e r o q u e p u e d a a c u m u l a r a l f i n a l d e l q u i n t o a o . D u r a n t e e s t o s 5 a o s e l e s l i b r e d e i n v e r t i r y d e r e i n v e r t i r t o d o s u d i n e r o e n t r e l a s a l t e r n a t i v a s d i s p o n i b l e s . Fo r m u l a r e l m o d e l o d e p r o gr a m a c i n l i n e a l p a r a e s t e p r o b l e m a .

3 . U n a f b r i c a d e c e m e n t o t i e n e c u a t r o t i p o s d e c e m e n t o q u e p r o d u c e y c o m e r c i a l i z a . E l p r o c e s o d e p r o d u c c i n t i e n e t r e s e t a p a s : m e z c l a d o , m o l d e a d o e i n s p e c c i n . La c a p a c i d a d e n h o r a s m e n s u a l e s d e e s t a s t r e s e t a p a s , e l r e q u e r i m i e n t o e n h o r a s p o r t o n e l a d a d e c a d a t i p o d e c e m e n t o e n l a s t r e s e t a p a s y l a u t i l i d a d u n i t a r i a p o r t o n e l a d a d e c a d a t i p o s e d a n e n l a s i gu i e n t e t a b l a :

E t a p a s H o r a s / t o n . p a r a e l t i p o d e c e m e n t o H o r a s p o r m e s

1 2 3 4 M e z c l a d o 1 2 1 0 1 6 8 0 0 M o l d e a d o 1 . 5 2 4 5 1 0 0 0

In s p e c c i n 0 . 5 0 . 6 1 2 3 4 0 U t i l i d a d U n i t a r i a

$ 8

$ 1 4

$ 3 0

$ 5 0



Fo r m u l a r e l m o d e l o l i n e a l q u e d e t e r m i n e e l p r o g r a m a d e p r o d u c c i n q u e m a x i m i c e l a s u t i l i d a d e s m e n s u a l e s .

4 . U n a c i e r t a s i d e r r g i c a p r o d u c e t r e s t i p o s d e b o b i n a s , c a d a u n a h e c h a d e d i f e r e n t e a l e a c i n . E l f l u j o d e p r o d u c c i n e s e l s i gu i e n t e :

Aleacin 1

Aleacin 2

Aleacin 3

Recocido

Recocido

secundario

primario

Rolado

en fro

E l p r o b l e m a c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r l a s c a n t i d a d e s a p r o d u c i r d e c a d a a l e a c i n d e m a n e r a d e m a x i m i z a r l a s u t i l i d a d e s , p e r o s a t i s f a c i e n d o l a s l i m i t a c i o n e s d e v e n t a s y l a s c a p a c i d a d e s d e l a s m q u i n a s . E s t o s d a t o s e s t n d a d o s e n l a s s i gu i e n t e s t a b l a s :

O p e r a c i n C a n t i d a d d e m q u i n a s

T u r n o s d e 8 h o r a s p o r s e m a n a

T i e m p o m u e r t o ( % )

R e c o c i d o p r i m a r i o

4 2 1 5

R e c o c i d o s e c u n d a r i o

1 2 0 1 0

R o l a d o e n f r o 1 1 2 0

A l e a c i n

O p e r a c i n T a s a d e p r o d u c c i n

P o t e n c i a l d e v e n t a s

U t i l i d a d p o r t o n .

1 R e c . p r i m a r i o 2 8 h r . p o r 1 0 t o n s .

1 , 2 5 0 t o n s . p o r m e s

$ 2 5

R o l a d o 5 0 p i e s p o r m i n .

R e c . s e c u n d a r io

2 0 " " "



R o l a d o 2 5 " " " 2 R e c . p r i m a r i o 3 5 h r . p o r 1 0

t o n s . 2 5 0 t o n s .

p o r m e s $ 3 5

R e c . s e c u n d a r io

2 0 p i e s p o r m i n .

R o l a d o 2 5 " " " 3 R e c . s e c u n d a r i

o

1 6 " " " 1 , 5 0 0 t o n s . p o r m e s

$ 4 0

R o l a d o 2 0 " " "

La s b o b i n a s d e c u a l q u i e r a d e l a s a l e a c i o n e s m i d e n 4 0 0 p i e s d e l o n g i t u d y p e s a n 4 t o n s . Fo r m u l a r l a f u n c i n o b j e t i v o y l a s r e s t r i c c i o n e s d e m a n e r a d e p o d e r r e s o l v e r e l p r o b l e m a d e n t r o d e p r o gr a m a c i n l i n e a l .

5 . U n f a b r i c a n t e d e e m b a r c a c i o n e s d e p o r t i v a s d e s e a f o r m u l a r u n p l a n d e p r o d u c c i n p a r a l o s s i gu i e n t e s s e i s m e s e s . E l f a b r i c a d o s t i p o s d e b o t e s : p e q u e o s y g r a n d e s . Q u i e r e d e t e r m i n a r l a s s i gu i e n t e s c a n t i d a d e s : l a c a n t i d a d d e c a d a t i p o d e b o t e s a v e n d e r c a d a m e s , l a c a n t i d a d d e c a d a t i p o d e b o t e s a p r o d u c i r c a d a m e s , e l p r o g r a m a d e c o m p r a p a r a l o s t r e s p r i n c i p a l e s c o m p o n e n t e s d e f i b r a d e v i d r i o u s a d o s e n l o s b o t e s y e l p r o g r a m a d e r e c l u t a m i e n t o y d e s p i d o d e s u s o p e r a r i o s .

La d e m a n d a p a r a l o s b o t e s s e p r e s e n t a s l o e n l o s m e s e s 5 y 6 d e l p l a n . E l p r e c i o d e v e n t a e s p e r a d o p o r c a d a b o t e e s c o m o s i gu e :

M e s Bo t e s g r a n d e s Bo t e s p e q u e o s M e n o s d e

1 , 0 0 0 E n t r e 1 , 0 0 0 y

2 , 0 0 0 M e n o s d e

5 , 0 0 0 E n t r e 5 , 0 0 0 y

1 0 , 0 0 0 5 $ 1 0 , 0 0 0 $ 8 , 0 0 0 $ 1 , 0 0 0 $ 8 0 0 6 9 , 0 0 0 7 , 0 0 0 9 0 0 7 0 0

Lo s b o t e s p u e d e n s e r p r o d u c i d o s e n c u a l q u i e r m e s , p e r o h a y u n c o s t o d e i n v e n t a r i o d e $ 2 0 0 p o r m e s p o r c a d a b o t e g r a n d e y $ 1 0 0 p o r m e s p o r c a d a b o t e p e q u e o .

C a d a b o t e g r a n d e t i e n e l a s s i gu i e n t e s c a r a c t e r s t i c a s d e p r o d u c c i n :



a . R e q u i e r e 2 , 0 0 0 k g . d e f i b r a d e v i d r i o . La f i b r a d e v i d r i o d e b e c o n s i s t i r d e :

a l m e n o s 4 0 % d e m a t e r i a l A ( p o r p e s o ) a l m e n o s 1 0 % d e m a t e r i a l B a l m e n o s 2 0 % d e m a t e r i a l C

b . R e q u i e r e 2 0 0 h o r a s d e m a n o d e o b r a .

C a d a b o t e p e q u e o t i e n e l a s s i gu i e n t e s c a r a c t e r s t i c a s d e p r o d u c c i n :

a . R e q u i e r e 1 5 0 k g . d e f i b r a d e v i d r i o . La f i b r a d e v i d r i o d e b e d e c o n s i s t i r d e :

a l m e n o s 2 0 % d e m a t e r i a l A a l m e n o s 3 0 % d e m a t e r i a l B a l m e n o s 3 0 % d e m a t e r i a l C

b . R e q u i e r e 4 0 h o r a s d e m a n o d e o b r a .

Lo s m a t e r i a l e s A , B y C t i e n e n u n c o s t o c o n s t a n t e d e $ 0 . 2 0 , $ 0 . 1 0 y $ 0 . 3 0 r e s p e c t i v a m e n t e p o r k i l o . La d i s p o n i b i l i d a d e s i l i m i t a d a . La f u e r z a l a b o r a l a c t u a l c o n s i s t e d e 1 , 5 0 0 p e r s o n a s . C a d a p e r s o n a t r a b a j a 1 6 0 h o r a s r e gu l a r e s p o r m e s , y u n m x i m o d e 4 0 h o r a s m e n s u a l e s d e s o b r e t i e m p o . La h o r a r e gu l a r s e p a ga a r a z n d e $ 4 y e l s o b r e t i e m p o c u e s t a $ 6 p o r h o r a . La f u e r z a l a b o r a l p u e d e i n c r e m e n t a r s e a u n c o s t o d e $ 5 0 0 p o r t r a b a j a d o r o r e d u c i r s e a u n c o s t o d e $ 3 2 0 p o r t r a b a j a d o r . La f u e r z a l a b o r a l a l f i n a l d e l o s s e i s m e s e s d e b e s e r l a m i s m a q u e l a a c t u a l .

Fo r m u l a r u n m o d e l o d e p r o gr a m a l i n e a l q u e p r o d u z c a t o d a s l a s c a n t i d a d e s q u e e l f a b r i c a n t e q u i e r e d e t e r m i n a r .

6 . U n a c i e r t a c o m p a a v e n d e d o s g r a d o s d e ga s o l i n a p a r a a v i a c i n , e x t r a y r e gu l a r . C a d a u n a d e b e s a t i s f a c e r c o n d i c i o n e s c o m o m x i m a p r e s i n d e v a p o r t o l e r a b l e y m n i m o o c t a n a j e r e q u e r i d o . E s t a s e s p e c i f i c a c i o n e s m a s a l gu n o s d a t o s r e l e v a n t e s s e m u e s t r a n e n l a s i gu i e n t e t a b l a :

G a s o l i na

P r e s i n d e v a p o r m a x i m a

O c t a n a j e m n i m o

D e m a n d a s e m a n a l m x i m a ( b a r r i l e s )

P r e c i o p o r b a r r i l

E x t r a 6 1 0 0 1 0 , 0 0 0 $ 9 . 0 0 R e gu l a r 7 9 5 5 0 , 0 0 0 8 . 0 0



D o s c l a s e s d e i n s u m o s s o n u s a d o s p a r a p r o d u c i r l a s ga s o l i n a s m e n c i o n a d a s . E l l o s t i e n e n l a s s i gu i e n t e s c a r a c t e r s t i c a s :

In s u m o P r e s i n d e v a p o r

O c t a n a j e M a x i m o s u m i n i s t r o ( b a r r i l e s )

C o s t o p o r b a r r i l

C l a s e A 8 1 0 5 2 0 , 0 0 0 $ 7 . 0 0 C l a s e B 5 9 0 3 0 , 0 0 0 6 . 0 0

La c o m p a i a q u i e r e m a x i m i z a r l a s u t i l i d a d e s s e m a n a l e s ge n e r a d a s p o r l a v e n t a d e l o s d o s g r a d o s d e ga s o l i n a .

Fo r m u l a r e l p r o b l e m a p r o p u e s t o c o m o u n o d e p r o gr a m a c i n l i n e a l . A n a l i c e c l a r a m e n t e e l s i gn i f i c a d o d e c a d a v a r i a b l e y c a d a r e s t r i c c i n u s a d a s . R e s o l v e r l o u s a n d o u n p a q u e t e c o m p u t a c i o n a l .

7 . U n a p l a n t a q u m i c a e s t a p l a n e a n d o l a p r o d u c c i n p a r a l o s s i gu i e n t e s d o s m e s e s . La p l a n t a p r o d u c e d o s p r o d u c t o s c o m e r c i a l e s , 1 y 2 . C a d a m e s s e p u e d e n v e n d e r h a s t a 4 0 0 0 l b s . d e l p r o d u c t o 1 a r a z n d e $ . 1 . 0 0 p o r l b . E l p r o d u c t o 2 s e p u e d e v e n d e r a $ . 1 . 2 5 p o r l b . l a s p r i m e r a s 2 0 0 0 l b s . d e p r o d u c c i n . S e p u e d e n v e n d e r 2 0 0 0 l b s . a d i c i o n a l e s p e r o a s o l o $ . 0 . 9 0 p o r l b . N i n gu n o d e l o s d o s p r o d u c t o s p u e d e s e r a l m a c e n a d o p a r a s e r v e n d i d o e l s i gu i e n t e m e s .

E l p r o c e s o q u m i c o m e z c l a l a s m a t e r i a s p r i m a s A , B y C e n p r o p o r c i o n e s d e 0 . 4 , 0 . 3 , 0 . 3 r e s p e c t i v a m e n t e . D e l p r o c e s o s e o b t i e n e 3 0 % d e l p r o d u c t o 1 , 4 0 % d e l p r o d u c t o 2 , 2 0 % d e m a t e r i a A i m p u r a y 1 0 % d e m a t e r i a B i m p u r a . La s m a t e r i a s p r i m a s p u r a s A , B y C , p u e d e n c o m p r a r s e p o r $ 0 . 5 0 , $ 0 . 3 2 y $ 0 . 0 5 p o r l b . r e s p e c t i v a m e n t e . N o h a y l m i t e e n l a s c a n t i d a d e s d e B y C q u e s e p u e d e n c o m p r a r e n a m b o s m e s e s . D e A s e p u e d e n c o m p r a r s o l o 6 0 0 0 l b s . d u r a n t e e l p r i m e r m e s y n a d a e n e l s e gu n d o m e s . A l m a c e n a r u n a l b . d e A d e l p r i m e r o a l s e gu n d o m e s c u e s t a $ 0 . 1 0 .

La m a t e r i a A i m p u r a p r o d u c i d a d u r a n t e e l p r i m e r m e s p u e d e s e r p r o c e s a d a p a r a o b t e n e r A p u r a p e r o p e r d i e n d o s e u n 2 5 % d e p e s o q u e d e b e s e r d e s c a r t a d a . P r o c e s a r A i m p u r o c u e s t a $ 0 . 1 0 p o r l b . T o d a l a m a t e r i a A i m p u r a p r o d u c i d a e n e l s e gu n d o m e s d e b e s e r d e s c a r t a d a t a m b i e n .

D e b i d o a l e ye s s o b r e c o n t a m i n a c i n , s e e s t a n a p l i c a n d o i m p u e s t o s s o b r e t o d o e l m a t e r i a l d e s c a r t a d o c o m o d e s p e r d i c i o q u m i c o . P o r l a s p r i m e r a s 1 0 0 0 l b s . d e s c a r t a d a s p o r m e s s e c o b r a $ 0 . 1 0 p o r l b . y s i



h u b i e r a m a s s e c o b r a $ 0 . 2 5 p o r l b . a d i c i o n a l d e d e s p e r d i c i o e n e l m e s .

Fo r m u l a r e l m o d e l o d e p r o gr a m a c i n l i n e a l q u e d e t e r m i n e , c u a n d o s e a r e s u e l t o , l o s v a l o r e s o p t i m o s p a r a t o d a s l a s v a r i a b l e s d e d e c i s i n i n v o l u c r a d a s e n e s t e p r o b l e m a .

8 . U n c i e r t o t a l l e r p r o d u c e d o s a r t c u l o s , A y B , m e d i a n t e c u a t r o m q u i n a s . E x i s t e n v a r i a s p o s i b i l i d a d e s p a r a l a f a b r i c a c i n d e c a d a a r t c u l o , y l a u t i l i d a d u n i t a r i a d e p e n d e d e l a c o m b i n a c i n p a r t i c u l a r d e m q u i n a s q u e s e u s e . La t a b l a s i gu i e n t e n o s d a l a s d i f e r e n t e s r u t a s p o s i b l e s , l o s t i e m p o s c o r r e s p o n d i e n t e s y l o s v a l o r e s d e l a s u t i l i d a d e s .

P r o d u c t o R u t a T i e m p o d e P r o d u c c i n u n i t a r i o ( h r s ) m q u i n a s

U t i l i d ad

1 2 3 4 u n i t a r i a A 1

2 0 . 5

- - - - -

- - - - -

0 . 4 0 . 2 0 . 2

- - - - -

- - - - -

$ 2 . 0

0 2 . 5 0

B 1 2 3 4

0 . 4 0 . 4

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

0 . 6 0 . 6

0 . 3 - - - - -

0 . 3 - - - - -

- - - - -

0 . 4 - - - - -

0 . 4

5 . 0 0 4 . 0 0 4 . 0 0 3 . 0 0

H o r a s d i s p o n i b l e s p o r s e m a n a

3 8

4 0

3 7

2 3

La e m p r e s a t i e n e c o n t r a t o s q u e e x i ge n q u e s e p r o d u z c a n c u a n t o m e n o s 1 0 0 u n i d a d e s d e A y 8 5 u n i d a d e s d e B c a d a s e m a n a . E l p r o b l e m a c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r e l p r o g r a m a d e p r o d u c c i n m s r e n t a b l e p a r a e l t a l l e r .

Fo r m u l e e l m o d e l o d e p r o gr a m a c i n l i n e a l q u e r e p r e s e n t e e l p r o b l e m a . E x p l i q u e c l a r a m e n t e e l s i gn i f i c a d o d e c a d a u n a d e l a s v a r i a b l e s y r e s t r i c c i o n e s u t i l i z a d a s .

9 . U n a c i e r t a c o m p a i a h a d e c i d i d o i m p l e m e n t a r u n f o n d o d e p e n s i o n e s p a r a s u s e m p l e a d o s . E l p r i n c i p a l o b j e t i v o d e l f o n d o e s o b t e n e r u n d e t e r m i n a d o r e t o r n o a r i e s go m n i m o , a u n q u e s i e m p r e s e r e q u e r i r u n c i e r t o i n g r e s o e n e f e c t i v o p a r a p a go d e b e n e f i c i o s .

La s r e g l a s b s i c a s b a j o l a s q u e e l a d m i n i s t r a d o r d e l f o n d o o p e r a s o n r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s . A l m e n o s 1 % d e l o s a c t i v o s d e l f o n d o d e b e n s e r m a n t e n i d o s e n e f e c t i v o . A l m e n o s 2 5 % d e l o s a c t i v o s d e b e n e s t a r



e n b o n o s o e f e c t i v o , d e l o s c u a l e s e l 1 0 % m n i m o d e b e e s t a r e n Bo n o s d e l T e s o r o . E l r e s t o p u e d e s e r i n v e r t i d o e n a c c i o n e s d e c o m p a i a s q u e e s t n a p r o b a d a s p o r e l D i r e c t o r i o d e l a e m p r e s a . D e l a i n v e r s i n e n a c c i o n e s , a l m e n o s e l 1 0 % d e l o s a c t i v o s d e b e n s e r p u e s t o s e n a c c i o n e s d e l a p r o p i a c o m p a i a .

Lo s a c t i v o s d e l f o n d o s o n i n i c i a l m e n t e $ 5 m i l l o n e s . S i s e l o g r a u n 6 % d e r e t o r n o p o r a o f u e r a d e l o s ga s t o s e n e f e c t i v o , e l f o n d o e s t a r a u t o f i n a n c i a d o n o r e q u i r i e n d o a p o r t e s a d i c i o n a l e s d e l a c o m p a i a . P o r t a n t o e l o b j e t i v o d e l a d m i n i s t r a d o r d e l f o n d e e s e l d e o b t e n e r u n i n g r e s o e n e f e c t i v o , s u f i c i e n t e p a r a s a t i s f a c e r l o s ga s t o s q u e s o n a p r o x i m a d a m e n t e $ 1 2 5 , 0 0 0 e l p r i m e r a o , y u n r e t o r n o d e u n 6 % e n a c t i v o s d e l f o n d o c o n u n m n i m o d e r i e s go . La s u t i l i d a d e s d e l f o n d o n o e s t n s u j e t a s a i m p u e s t o s . T o d o i n g r e s o n o r e q u e r i d o p a r a ga s t o s p u e d e s e r r e i n v e r t i d o .

E l d i r e c t o r i o h a a p r o b a d o l a s a c c i o n e s d e 1 0 c o m p a a s y 2 b o n o s c u yo s d a t o s r e l e v a n t e s s o n l o s s i gu i e n t e s :

V a l o r e s P r e c i o $

T a s a d e c r e c i m i e n t o ( % )

D i v i d e n d o s ( % )

D e s v i a c i n e s t a n d a r ( % )

C o m p a a A 5 0 5 4 . 6 0 . 5 C o m p a a B 3 0 3 0 1 . 4 2 0 . 0 C o m p a a C 1 0 0 2 0 1 . 5 5 . 0 C o m p a a D 8 0 8 3 . 0 3 . 0 P r o p i a C o m p a a

7 0 1 0 3 . 5 2 . 0

C o m p a a E 3 0 0 1 5 0 . 9 2 . 0 C o m p a a F 8 0 2 5 0 . 0 1 0 . 0 C o m p a a G 6 0 6 0 0 . 0 5 0 . 0 C o m p a a H 4 5 9 4 . 4 3 . 0 C o m p a a I 3 5 8 3 . 9 1 . 0 Bo n o s A 8 0 - - - 5 . 9 0 . 1 Bo n o s B 8 5 - - - 6 . 5 0 . 2 Bo n o s d e l t e s o r o

- - - - - - 4 . 5 - - -

E f e c t i v o - - - - - - - - - - - - D e t e r m i n a r e l p o r t a f o l i o m e n o s r i e s go s o c o n u n 6 % d e r e t o r n o .

U t i l i z a r c o m o m e d i d a d e r i e s go a l

formulacion(2)

Documents