FLUJO DE TRÁFICO

Análisis del flujo de tráficoSea una red de calles de un solo sentido en una ciudad grande. Se requiere analizar el flujo de tráfico. La dirección del tráfico en cada una de las calles está dada por la figura 1. En varios sitios se han colocado contadores y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora aparece también en la figura.

Figura 1

Las variables x1, x2, …, x6 y x7 representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc

Primero determinamos los valores posibles de cada xi. Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. En base a este supuesto obtenemos el siguiente sistema:

x1 + x3 = 800 (Flujo de tráfico en A)

x1 – x2 + x4 = 200 (Flujo de tráfico en B)

x2 – x5 = 500 (Flujo de tráfico en C)

x3 + x6 = 750 (Flujo de tráfico en F)

x4 + x6 – x7 = 600 (Flujo de tráfico en E)

–x5 + x7 = 500 (Flujo de tráfico en D)

Empleando el método de reducción de Gauss-Jordan, la matriz aumentada de este sistema se reduce a

x1 = x6 + 50

x2 = x7 + 450

x3 = –x6 + 750

x4 = –x6 + x7 +600

x5 = x7 – 50

x6 = x6

x7 = x7

El sistema correspondiente es:

No son permitidos valores negativos para las xi, ya que como las calles son en una sola dirección, un valor negativo de xi, sería interpretado como el número de carros que van en sentido contrario. Con esta restricción tenemos: x3 = 750 – x6 0.

O sea, x6 750.

Igualmente: x5 = x7 – 50 0

O sea, x7 50

Supongamos ahora que la calle que va de D a E va a estar en reparación, por lo que se requiere que el tráfico en este espacio sea mínimo. Esto nos lleva a x7=50. Por consiguiente, x2=500 y x5=0. Recíprocamente si x5=0, tenemos x7=50. Entonces, si cerramos la carretera entre C y D tendremos el mínimo tráfico posible entre D y E. Los flujos x1, x3, x4 y x6 no están determinados en forma única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos que x6 fuera mínimo, o sea cero. En este caso, x1 = 50, x3 = 750 y x4 = 650.

!Gracias!