Física  Unidad  3.  Electromagnetismo    

Actividad  2.  Práctica  1.  Fuerza  de  Lorentz      

Introducción      El  objetivo  de  esta  práctica  es  modelar  la  trayectoria  de  una  partícula  cargada  en  un  campo  magnético  y  eléctrico  constante.  Parte  de  lo  que  se  tuvo  que  hacer  para  este  ejercicio  fue  aprender  a  bajar  el  programa  EJS  para  realizar  la  práctica,  utilizar  el  programa  con  las  instrucciones  dadas  en  el  cuaderno  de  prácticas  y  posteriormente  hacer  lo  que  se  indica  que  es    corregir  las  ecuaciones  para  poder  simular  distintas  situaciones  y  describir  el  porqué  de  lo  que  se  está  observando.        

Modelo  teórico¹      La  fuerza  de  Lorentz  es  la  fuerza  ejercida  por  el  campo  electromagnético  que  recibe  una  partícula  cargada  o  una  corriente  eléctrica.    

F=q  (E+vXB)  Dónde:  

ü F=  fuerza  de  Lorentz  ü q=carga  de  la  partícula  ü E=  fuerza  eléctrica  ü v=vector  de  velocidad  ü B=vector  del  campo  magnético    

 

     

Trayectoria  bajo  la  fuerza  de  Lorentz  de  una  partícula  cargada  en  un  campo  magnético  constante,  según  el  signo  de  la  carga  eléctrica.  

 

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   Desarrollo²      Para  poder  realizar  la  practica  tenemos  que  comprobar  si  estas  6  ecuaciones  se  encuentran  en  la  simulación  y  en  caso  de  que  no  sea  así  debemos  ingresarlas  para  crear  las  simulaciones,  que  posteriormente  estaremos  analizando.  Estas  ecuaciones  deben  de  ir  ingresadas  en  la  parte  de  “Modelo”  y  luego  en  la  pestaña  de  “evolución”,  como  lo  marcan  las  instrucciones  de  la  práctica.      La  velocidad  es  una  magnitud  física  de  carácter  vectorial  que  expresa  la  distancia  recorrida  por  un  objeto  por  unidad  de  tiempo.      Ecuaciones  de  velocidad    

1. dx/dt=vx  2. dy/dt=vy  3. dz/dt=vz  

 En  el  caso  de  la  fórmula  para  calcular  la  fuerza  de  Lorentz  se  tomó  en  cuenta  que  la  velocidad  es  perpendicular  al  campo  magnético  por  lo  que  para  calcular  la  fuerza  de  Lorentz,  considerando  a  la  velocidad  en  el  eje  X  se  tomó  un  campo  magnético  en  el  eje  Y,  si  la  velocidad  tenia  dirección  en  el  eje  Y,  el  campo  magnético  seria  tomado  en  el  eje  Z  y  si  la  velocidad  se  ejercía  en  el  eje  Z  se  establecería  que  el  campo  magnético  se  encontraría  en  el  eje  X.    Ecuaciones  de  aceleración      

4. dvx/dt=q*(Ex+vy*Bz-­‐vz*By)  5. dvy/dt=q*(Ey+vz*Bx-­‐vx*Bz)  6. dvz/dt=q*(Ez+vx*By-­‐vy*Bx)  

 

   

Existe  una  regla  muy  sencilla  para  obtener  la  dirección,  obvia  por  ser  el  resultado  de  un  producto  vectorial,  y  el  sentido  de  la  fuerza  que  actúa  sobre  la  carga.  Se  conoce  con  el  nombre  de  la  "Regla  de  la  mano  izquierda".  Tal  y  como  vemos  en  la  figura,  si  colocamos  los  dedos  de  la  mano  izquierda  pulgar,  índice  y  medio,  abiertos  y  perpendiculares  entre  sí,  cada  uno  de  ellos  señala  uno  de  los  vectores  

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Resultados        

 Prueba  para  q/m=1  para  ver  si  has  configurado  el  modelo  correctamente.  

 

 Simulación  trayectoria  circular  (Si  E  =  0,  Bx  =  By  =  0  y  Bz  =  1  (or  B  =  1k)  e  inicialmente  vx  =  1,  vy  =  0  y  vz  =  0  (v  =  1i)).  

 

 Simulación  de    Si  E  =  1i,  B  =  1k  e  inicialmente  v  =  -­‐1j  

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Simulación  de    Si  E  =  1i,  B  =  1i,  e  inicialmente  v  =0    

   

Simulación  de  Si  E  =  1i,  B  =  1k  e  inicialmente  v  =  0    

           

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 Análisis  de  datos      Trayectoria  en  un  campo  E  x  B  

 Al  iniciar  la  simulación  podemos  observar  que  al  cambiar  los  campos  magnéticos  no  tiene  ningún  efecto  en  el  movimiento.  Esto  se  debe  a  que  la  fuerza  de  Lorentz  no  está  completa,  dentro  de  las  instrucciones  dadas  para  la  práctica  se  nos  explica  de  qué  manera  corregir  esto  y  se  debe  a  que  el  modelo  está  incompleto,  hacen  falta  las  6  ecuaciones  que  arriba  hemos  mencionado,  3  de  velocidad  y  3  de  aceleración,  hechas  específicamente  para  cada  eje  del  plano  cartesiano  X,  Y  y  Z.    

¿Por  qué  son  tres  de  cada  una?    

Son  6  ecuaciones  (3  y  3)  porque  estamos  trabajando  con  un  modelo  tridimensional.  Y  utilizamos  las  ecuaciones  para  describir  el  movimiento  de  la  partícula  en  3  ejes  X,  Y,  y  Z.  

Explica  por  qué  y  da  las  componentes  restantes  Fy  =  Fz  =  

Son  las  ecuaciones  que  describe  la  fuerza  de  Lorentz,  es  decir  la  fuerza  que  se  ejerce  sobre  una  partícula  cargada  que  está  desplazándose  bajo  la  influencia  de  los  campos    magnético  y  eléctrico.  Y  los  componentes  restantes  Fy  =  Fz  =  son  debido  a  que  estamos  trabajando  con  los  3  ejes.  Se  llega  a  ellas  usando  la  regla  de  la  mano  izquierda  y  la  ecuación  de  Lorentz,  la  fuerza  magnética  tiene  que  estar  relacionada  con  el  producto  cruz  de  la  velocidad  y  el  campo  magnético.  

1. Ecuación  Componente  de  la  x:  dvx/dt=q*(Ex+vy*Bz-­‐vz*By)  2. Ecuación  Componente  de  la  y:  dvy/dt=q*(Ey+vz*Bx-­‐vx*Bz)  3. Ecuación  Componente  de  la  z:  dvz/dt=q*(Ez+vx*By-­‐vy*Bx)  

Otra  de  las  parte  de  la  práctica  es  la  de  quitar  las  palabras  Modelo  Incompleto,  esto  se  logra  gracias,  una  vez  más,  a  las  instrucciones  dadas  en  la  práctica,    

“…ve  a  la  página  de  Modelo,  Variables,  Display  y  cambia  ModelComplete  de  FALSE  a  TRUE”.  

Haciendo  esto  se  logra  eliminar  la  palabra  modelo  incompleto  en  la  simulación,  y  podemos  continuar.  A  continuación  seguiremos  las  instrucciones  que  siguen  en  la  práctica  para  poder  analizar  los  datos,  mismos  que  podemos  observar  en  la  parte  de  Resultados.  

1. Si  E  =  0,  Bx  =  By  =  0  y  Bz  =  1  (or  B  =  1k)  e  inicialmente  vx  =  1,  vy  =  0  y  vz  =  0  (v  =  1i),  deberías  ver  una  trayectoria  circular.    

Explica  porque  y  qué  otras  configuraciones  darían  una  trayectoria  circular.  Pruébalas  y  verifica  que  son  circulares.    

La  partícula  se  mueve  en  un  círculo  con  la  fuerza  magnética  dirigida  hacia  el  centro  del  círculo.  Esta  fuerza  dividida  por  la  masa  de  la  partícula  debe  ser  igual  a  la  aceleración  centrípeta  de  la  partícula:  

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Donde  R  es  el  radio  del  círculo.  Si  despejamos  R  y  sustituimos  el  valor  de  F,  tenemos    

 

Si  la  velocidad  inicial  no  es  perpendicular  al  campo  magnético,  entonces  la  partícula  aún  tiene  una  componente  circular  del  movimiento  en  el  plano  normal  al  campo,  que  también  se  dirige  a  velocidad  constante  en  la  dirección  del  campo.  El  resultado  neto  es  un  movimiento  en  espiral  en  la  dirección  del  campo  magnético.  

 

Movimiento   en   espiral   de   una   partícula   cargada   en   la   dirección   del   campo   magnético.   El   movimiento   se  compone  de  un  movimiento   circular   alrededor   del   vector   del   campo  más  un  movimiento  de   traslación   a   lo  largo  del  campo.    

El  radio  del  círculo  es:  

 

Donde  vp  es  la  componente  del  vector      v      perpendicular  al  campo  magnético.  

Explica  cómo  generar  un  círculo  de  menor  radio.    

Disminuir  la  fuerza  Lorentz.  

1. Si  E  =  1i,  B  =  1k  e  inicialmente  v  =  -­‐1j,  

 Explica  por  qué  se  da  esa  trayectoria.    

En  un  campo  eléctrico  y  magnético  mutuamente  perpendiculares,  una  partícula  cargada  puede  moverse  a  

velocidad  constante  vector      v    con  magnitud  igual  a  v=E/BJ  y  dirección  perpendicular  a  ambos  campos.    

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Para  que  esto  suceda,  de  acuerdo  a  la  ecuación  de  la  fuerza  de  Lorentz,  la  condición  seria:  

 

Lo  que  implica  que  V  tendría  que  ser  perpendicular  al  campo  magnético  y  eléctrico,  y  tener  una  magnitud  igual  a:    

 

2. Si  E  =  1i,  B  =  1i,  e  inicialmente  v  =0,    

Explica  por  qué  el  movimiento  es  el  mismo  sin  importar  el  valor  de  Bx.    

Pues  en  realidad  el  movimiento  es  el  mismo,  pero  no  sé  si  ms  bien  es  una  ilusión  óptica,  ya  que  las  flechas  lucen  muy  distintas  en  ambas  imágenes.    

3. Si  E  =  1i,  B  =  1k  e  inicialmente  v  =  0,    

Explica  por  qué  la  partícula  no  cambiaría  la  componente  z  de  su  movimiento.  Prueba  el  caso  en  la  simulación.    

No  lo  sé.  Pero  después  de  un  tiempo  de  ver  la  simulación  se  fue  muy  lejos.  

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Conclusiones      Es  interesante  observar  como  la  simulación  cambia  conforme  se  realizan  los  cambios  en  la  fuerza  eléctrica  (E),  los  vectores  de  velocidad  (v)  y  el  vector  de  campo  magnético  (B),  logrando  así  simular  todo  lo  que  vimos  en  la  parte  teórica  del  plan  desarrollado.  Me  parece  mucho  más  entendible  verlo  de  esta  manera,  que  solo  observar  la  teoría,  se  atan  muchos  más  cabos,  sin  embargo  hubo  cuestiones  que  no  pude  responder  a  cabalidad,  desearía  saber  las  respuestas  para  crear  más  entendimiento.    

 Fuentes  de  consulta  

1. ESAD.  Plan  desarrollado  de  la  materia  de  Física  I.  2. Scientific  protocols.  Easy  Java  Simulations  tutorial  ESAD  Práctica  1  Fuerza  de  Lorentz.  

Recuperado  de:  http://www.youtube.com/watch?v=h3aqrrYetIg