1. TTULO LA OBRA: TTULO DE L A OBRA:FSICAOctava Edicin: 2 002JORGE JORGE MENDOZA DUEAS Reservado todos los derechos. Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin expresa del autor.D iagramacin y Composicin: iagramacin Comp omposicin: Juan Carlos Gonzales P. Fernando Gonzales P.481-0554 / 382-3251 oto grafas: Foto grafas: Guillermo Pacheco Q.Impreso en Lima - Per, 2 002 DISTRIBUCIN UCIN; DISTRIBUCIN; Telefax: 431-5031 / 522-3161 E-mail: fisica-jmd@terra.com.pe

2. PrlogoEn la ltima dcada la enseanza del curso de fsica en los centros educativos ha evolucionado notablemente respecto a la anterior, es ms; est latente la inclusin en aos posteriores del clculo infinitesimal; esto obliga y motiva a nosotros los autores a la renovacin constante de nuestro material. Esta octava edicin ha sido diseada y elaborada teniendo como base la edicin anterior, no obstante la novedad se manifiesta en la inclusin de fotografas, el test de evaluacin y el cambio casi total de los problemas resueltos y propuestos. El curso de fsica, merece una enseanza cuidadosa y extremadamente metdica, es en tal sentido (a criterio propio) que lo primero que debemos apuntar como maestros, es conseguir que nuestros nuevos alumnos empiecen a estimar nuestro curso; una manera de lograrlo es mediante la explicacin audiovisual de los fenmenos fsicos relacionados a nuestra vida diaria, en este texto se presentan las fotografas y esquemas que intentan complementar dicha funcin. La fsica es parte de la ciencia, y como tal su explicacin tendr que exponerse de manera cualitativa y cuantitativa. La explicacin cualitativa en este libro se plasma en la exposicin detallada de la teora de cada tema, ilustrada con ejemplos, esquema, fotos, etc. La explicacin cuantitativa est conformada por los llamados problemas; en nuestro material, estos han sido divididos en dos partes: Los problemas de aplicacin, donde el estudiante podr aplicar las frmulas fsicas previo raciocinio. Y los problemas complementarios, donde el alumno podr familiarizarse con los problemas pre-universitario consiguiendo con ello elevar el nivel acadmico del mismo. Por otro lado, la evaluacin de raciocinio rpido es otro ente que deber tenerse presente; ello lo representamos en el llamadoTEST, donde el estudiante tendr la oportunidad de recordar y razonar lo que el profesor y el libro le han enseado en un determinado tema sin necesidad de realizar operaciones matemticas extensas. Quiero terminar este prlogo agradeciendo a todos los colegas que me hicieron llegar sus crticas y sugerencias para mejorar el contenido del libro, quiero agradecer tambin el apoyo de mis familiares y amigos que me apoyaron en la elaboracin de este texto. EL AUTOR. 3. Indice CAPTULO 1: CAPTULO 1:eneralidades G eneralidadesConcepto de Fsica El mtodo cientfico CAPTULO CAPTULO 2:Fsicas M agnitudes Fsic as7 7 9 11Magnitud fsica Sistema de unidades - Notacin exponencial Anlisis dimensional Medicin - Teora de errores11 13 21 31CAPTULO CAPTULO 3:41ect ores Vec t oresVector Operaciones vectoriales41 43CAPTULO CAPTULO 4:57sttica E stticaEquilibrio Rozamiento Leyes de Newton - 1era condicin de equilibrio Momento de una fuerza - 2da condicin de equilibrio Centro de gravedad57 59 61 79 83CAPTULO CAPTULO 5:inemtica C inemtic a97Movimiento Movimiento rectilneo uniforme Movimiento rectilneo uniformemente variado Cada libre Grficos relacionados al movimiento Movimiento compuesto Movimiento circular98 99 110 118 127 139 148CAPTULO 6: CAPTULO159D inmica inmica2da ley de Newton Dinmica circular159 174CAPTULO CAPTULO 7:187Pot otencia Energa Tr abajo - Potencia - EnergaTrabajo mecnico Potencia Energa mecnica187 188 190CAPTULO CAPTULO 8:201vimient planetario Gr universal M o vimient o planetario - G r a vitacin universalMovimiento planetario Gravitacin universal201 204CAPTULO CAPTULO 9:213mecnicas Oscilaciones y Ondas mecnicasMovimiento oscilatorio Movimiento armnico simple Pndulo simple Movimiento ondulatorio213 213 215 216 4. CAPTULO CAPTULO 10:sttica E sttic a de los fluidos229Presin Principio de Pascal Presin hidrosttica Vasos comunicantes Empuje229 230 231 232 232CAPTULO CAPTULO 11:243C alorTermometra Dilatacin Calorimetra CAPTULO CAPTULO 12:243 245 247 G ases261Comportamiento de los gases Termodinmica261 263CAPTULO CAPTULO 13:275lectr tricidad E lec tricidadTeora electrnica Introduccin a la electrosttica Carga - Campo elctrico Potencial elctrico Capacitancia Electrodinmica Corriente elctrica Circuitos elctricos275 277 280 293 295 307 307 323CAPTULO 14: CAPTULO339M agnetismoImn Electromagnetismo340 344CAPTULO CAPTULO 15:363ptica pticaNaturaleza de la luz Fotometra Reflexin de la luz Refraccin de la luz363 365 366 381CAPTULO CAPTULO 16:397electromagnticas tromagntic Ondas elec tromagnticasEspectro electromagntico Estudio experimental del espectro visible398 400CAPTULO CAPTULO 17:409Fsica moder derna Fsica moder naTeora cuntica Efecto fotoelctrico Modelo atmico El rayo lser Teora de la relatividad409 409 411 412 413 5. Captulo1GENERALIDADES Los fenmenos naturales son intrnsecos a la naturaleza, nacen con ella, es imposible que el hombre pueda regirlas o alterarlas, como ejemplos tenemos: la cada de los cuerpos, los fenmenos pticos, la atraccin magntica, la transformacin de la energa, entre otros; por otro lado es obvio afirmar que siempre existi una interaccin mutua entre el hombre y la naturaleza. El ser humano mediante su inteligencia trat de encontrar la solucin al porqu de los fenmenos naturales, surgi entonces la ciencia que no es ms que el conocimiento y estudio de las leyes de la naturaleza. Sera absurdo dar una fecha al nacimiento de la ciencia, pues sta aparece tras una evolucin contnua del hombre en el espacio y en el tiempo. Entindase que la ciencia encierra un conocimiento cualitativo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se puede medir y expresar en nmeros las leyes de un fenmeno, por ms que su explicacin cualitativa sea contundente, sta ser pobre e insatisfactoria; de ah que las matemticas se convierten en una herramienta imprescindible en la formulacin de una Ley. EXPLICA CUALIT TIVA ALITA EXPLICA CIN CUALITATIVAEXPLICA CUANTIT TIVA ANTITA EXPLICA CIN CUANTITATIVAF= FLa manzana cae hacia la tierra, por la atraccin gravitatoria.GmM H2Es posible calcular la fuerza gravitatoria.Par ara sirv Para qu sir v e la ciencia? Realmente esta pregunta es muy amplia, pero de manera general se puede afirmar que sirve para: --Prevenir el acontecimiento futuro de un fenmeno natural (terremoto, lluvia, huracn, etc.) Poder usarlas de acuerdo a nuestros intereses. Usamos el viento para trasladarnos en avin; usamos la cada del agua para generar energa elctrica; usamos los diferentes tipos de ondas para comunicarnos. Modernizarnos, pues la ciencia tiene su aplicacin directa, por ejemplo: La Ingeniera, La Medicina, La Astronoma, etc. 6. Jorge Mendoza Dueas El hombre, para facilitar el estudio de la ciencia ha credo conveniente dividirlas en varias ramas, y esto es enteramente convencional. La palabra Fsica proviene del trmino griego physis que significa NaN turaleza aleza turaleza , por lo tanto, la Fsica podra ser la ciencia que se dedica a estudiar los fenmenos naturales; este fue el enfoque de la Fsica hasta principios del siglo XIX con el nombre de ese entonces Filosofa Natural A partir del siglo XIX se redujo al campo . de la Fsica, limitndola al estudio de los llamados F Fenmenos Fsicos , los dems se separaron de Fsicos os ella y pasaron a formar parte de otras ciencias naturales. Es innegable que el estudio de la Fsica involucra la experimentacin del fenmeno y la cuantificacin del mismo, por eso es importante combinar la teora, con ayuda de las clases dictadas por los profesores o la bibliografa de los diver-A)sos libros del curso y la prctica o experimento del fenmeno en estudio; pues as lo hicieron los grandes cientficos como Arqumides, Galileo, Newton, Einstein entre otros.CONCEPTO DE FSICA Es una rama de la ciencia de tipo experimental, que observa, estudia y gobierna mediante leyes los llamados fenmenos fsicos.FENMENO Es el cambio o modificacin que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energa; existen muchos fenmenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres fenmenos.Fenmeno Fsico Fenmeno Fsico Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura ntima. Se caracteriza por ser reversiblelustraciones I lustr acionesLa piedra cambi de posicin , pero no cambi su estructura qumica. Inicialmente era piedra,finalmente tambin lo es; por lo tanto se produjo un fenmeno fsico.B)La evaporacin del agua es un fenmeno fsico. Inicialmente era agua, finalmente tambin es agua.Qumic umico Fenmeno Qumico Es el cambio que sufre la materia experimentando una alteracin en su estructura qumica. Se caracteriza por ser irreversible, es decir el cuerpo no vuelve a ser jams lo que inicialmente era.lustraciones I lustr aciones azcarfuegoSi se quema una madera, ste cambia. El fenmeno es qumico; inicialmente el cuerpo era madera , finalmente no lo es.C)Cuando se somete al azcar a la accin del calor, el azcar se transforma en un cuerpo negro (carbn de azcar); ya no vuelve a ser el azcar primitivo.Fsico-Qumico o-Qumic Fenmeno Fsico-Qumico Este fenmeno tiene algunas caractersticas del fenmeno fsico y otras del qumico. 7. Generalidades'PARTES DE LA FSICAA)ecnica.M ecnic a.- Estudia los fenmenos relacionados con los movimientos de los cuerpos as como las fuerzas que actan en ellos. Se divide en: ecnica - M ecnica de los Slidos Rgidos: - Cinemtica - Esttica - Dinmica - M ecnica de los Slidos D efor mables ecnica Deformables efor - M ecnica de los Fludos ecnica FludosB)alor.C alor.- Estudia las interacciones en el interior de la materia.C)cstica.A cstica.- Estudia los fenmenos referentes al sonido.D)lectricidad.tricidad E lec tricidad.- Estudia los fenmenos relacionados con la carga elctrica.E)Optica.Optica.- Estudia la interaccin de la luz con la materia.F)agnetismo.M agnetismo.- Estudia los fenmenos relacionados con los campos magnticos.G)Fsica M o derna.- Cubre los desarrollos alFsica Mo derna.canzados en el siglo XX.EL MTODO CIENTFICO Es un mtodo de la Fsica, dirigido a las personas de ciencias y contempla los pasos a seguir para formular una ley fsica. En la prctica nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley utilizando este mtodo. El mtodo cientfico es esencialmente un mtodo experimental y tiene como gestor a Galileo Galilei. A continuacin se dar a conocer cada uno de los pasos utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la Gravitacin Universal, formulada por Isaac Newton.1.-LA OBSERVACIN.- Consiste en realizar un examen visual-mental del fenmeno, notando su estado actual y sus transformaciones as como los diferentes factores que parecen influenciarlos. Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenmeno no es el ptimo, motivo por el cual la observacin debe realizarse minuciosa y reiteradamente.Cuenta la historia que Newton observ que la manzana caa hacia la tierra . Tambin descubri que la luna cae eternamente hacia nuestro planeta.2.- MEDIDA Y REGISTROS DE DATOS.- Para describir un fenmeno fsico existen dos tipos: la descripcin cualitativa y cuantitativa. Se dice que una descripcin es cualitativa, cuando se describe con palabras y no con nmeros, por ejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del ro es grande. Obviamente que esta clase de descripcin deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitar entonces de los nmeros y estos se basan en una medicin. 8. Jorge Mendoza DueasEl mtodo cientfico exige comparacin y estas se efectan mejor en forma cuantitativa, es decir, con nmeros. Esto no significa que el cientfico necesariamente tenga que partir de una medicin indita, muchas veces l aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para describir cuantitativamente el fenmeno en estudio.T12 T22 = = cte r13 r23Newton aprovech los estudios realizados por los cientficos que le antecedieron como los de Nicols Coprnico, Galileo quien invent el telescopio, Tycho Brahe que se ocup por 20 aos de hacer mediciones de los cuerpos celestes con ayuda del telescopio, as como de Johanes Kepler (amigo de Galileo) quien formulara sus famosas Leyes de Kepler .3.- FORMULACIN DE UNA HIPTESIS.- A partir de hechos y leyes conocidas, un cientfico puede descubrir nuevos conocimientos en una forma terica. Se entiende por teora al hecho que el Fsico proponga un modelo de la situacin fsica que est estudiando, utilizando relaciones previamente, establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante tcnicas matemticas. Ley de Newton: F =4 2mR T22Ley de Kepler:Hiptesis:T = K = cte R3 F=GmM R2Con ayuda de las leyes de Kepler, as como de su segunda Ley, Newton llev a cabo su modelo matemtico hasta llegar a una hiptesis.Donde: G = cte. de gravitacin universal.4.- EXPERIMENTACIN.- Consiste en la observacin del fenmeno bajo condiciones preparadas con anterioridad y cuidadosamente controladas. De esta manera el cientfico puede variar las condiciones a voluntad, haciendo ms fcil descubrir como ellas afectan el proceso. Henry Cavendish Si esta ltima se llena satisfacfue quien determin experimentaltoriamente, la hiptesis pasa a mente el valor de la ser un hecho comprobado y constante G, 70 aos despus de la puede ser una Ley de la Fsica muerte de Newton que se enuncia mediante fr; con lo cual se comprob la veracidad mulas matemticas. de la hiptesis de Newton(ley).De todo lo expuesto es fcil deducir que todo cientfico tiene como meta descubrir las leyes de la naturaleza y ello empieza con la curiosidad que es lo que lleva a la observacin del fenmeno (inicio del mtodo cientfico). 9. Captulo2MAGNITUDES FSICAS MAGNITUDES FSICAS Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido. Para qu sirven las magnitudes fsicas? sirven para traducir en nmeros los resultados de las observaciones; as el lenguaje que se utiliza en la Fsica ser claro, preciso y terminante.CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS 1.-POR SU ORIGENA)Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las dems magnitudes. En mecnica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiempo. Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T)B), , ,Intensidad de corriente elctrica (I) Temperatura termodinmica () Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia ()Magnitudes Derivadas Son aquellas magnitudes que estn expresadas en funcin de las magnitudes fundamentales; Ejemplos: Velocidad Aceleracin FuerzaC), , ,Trabajo Superficie (rea) Densidad, ,Presin Potencia, etc.Magnitudes Suplementarias (Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni derivadas; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales: ngulo plano (),ngulo slido () 10. Jorge Mendoza Dueas122.- POR SU NATURALEZA A)Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes que estn perfectamente determinadas con slo conocer su valor numrico y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMENTEMPERATURASlo necesito 100 mm3 y estar terminadoTengo fiebre de 40 C Que fatal!TIEMPO Son las 12:15 P.M. Ya es tarde!Como se ver en todos estos casos, slo se necesita el valor numrico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.B)Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes que adems de conocer su valor numrico y unidad, se necesita la direccin y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos:FUERZADESPLAZAMIENTOF = 5NSabemos que la fuerza que se est aplicando al bloque es de 5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendramos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orientacin N 60 E (tiene direccin y sentido) con lo cual es fcil llegar del punto o a la casa. 11. Magnitudes Fsicas13NOTACIN SISTEMA DE UNIDADES - NOTACIN EXPONENCIALSISTEMA DE UNIDADES La necesidad de tener una unidad homognea para determinada magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales.Convencionalmente: 1 pulgada = 2,54 cm 1 pie = 30,48 cm 1 yarda = 91,14 cmOrigen del Sistema de Unidades:1 yarda1 pulgadaEl 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General de Pesas y Medidas, estableci el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la actualidad y que en el Per se reglament segn la ley N 23560.1 pie1.Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Internacional (S.I), estas son:UNIDADES DE BASE Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. MAGNITUDUNIDADSIMBOLOLongitudmetromMasakilogramokgTiemposegundosAmpereAKelvinKCandelacdDefinido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simultneamente si la presin es adecuada. Basado en la radiacin de una muestra de platino fundido preparada especialmente.molmolCon base en las propiedades del carbono 12.Intensidad de Corriente Elctrica Temperatura Termodinmica Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia2.PATRON PRIMARIO Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lmpara de criptn especial. Un cilindro de aleacin de platino que se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia. Basado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesio especial. Con base en la de fuerza magntica entre dos alambres que transportan la misma corriente.UNIDADES SUPLEMENTARIAS Son las unidades correspondientes a las magnitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base.MAGNITUDUNIDADSIMBOLOAngulo PlanoradinradAngulo Slidoestereorradinsr 12. Jorge Mendoza Dueas143.UNIDADES DERIVADAS2.Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuacin slo se presentarn algunas de ellas. MAGNITUDUNIDADFuerzaSIMBOLONewtonNmetro cuadradom2Velocidadmetro por segundom/sVolumenmetro cbicom3TrabajoJouleJPresinPascal Watt Hertz faradioHz fResistencia ElctricaOhmSMBOLOFACTOR DE MULTIPLICACINd c m n p f a10 = 0,1 -2 10 = 0,01 -3 10 = 0,001 -6 10 = 0,000 001 -9 10 = 0,000 000 001 -12 10 = 0,000 000 000 001 -15 10 = 0,000 000 000 000 001 -18 10 = 0,000 000 000 000 000 001deci centi mili micro nano pico femto atto-1WFrecuencia Capacidad ElctricaPREFIJOPaPotenciaSUBMLTIPLOSSuperficie (Area)OBSERVACIONES El smbolo de una unidad no admite punto al final. Cada unidad tiene nombre y smbolo; estos se escriben con letra minscula, a no ser que provenga del nombre de una persona, en cuyo caso se escribirn con letra mayscula.OBSERVACIONES Los smbolos de los mltiplos o submltiplos se escriben en singular. Todos los nombres de los prefijos se escribirn en minscula. Los smbolos de los prefijos para formar los mltiplos se escriben en maysculas, excepto el prefijo de kilo que por convencin ser con la letra k minscula. En el caso de los submltiplos se escriben con minsculas. Al unir un mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I. se forma otra nueva unidad. Ejemplo:NOTACIN NOTACIN EXPONENCIAL En la fsica, es muy frecuente usar nmeros muy grandes, pero tambin nmeros muy pequeos; para su simplificacin se hace uso de los mltiplos y submltiplos.1.MLTIPLOS PREFIJO Deca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta ExaSMBOLOFACTOR DE MULTIPLICACIND H k M G T P E101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000Unidad del S.I.m(metro)Nuevas Unidadeskm(kilmetro)cm(centmetro) La escritura, al unir mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I. es la siguiente: Primero: El nmero (valor de la magnitud). Segundo: El mltiplo o submltiplo (dejando un espacio) Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio). Ejemplo: 32010 m = 20 km (20 kilmetros) -6 36,410 f = 36,4 f (36,4 microfaradios) 13. Magnitudes Fsicas15SIGNIFICATIV TIVAS CIFRAS SIGNIFICATIVASCONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando un observador realiza una medicin, nota siempre que el instrumento de medicin posee una graduacin mnima:Las cifras significativas de un valor medido, estn determinados por todos los dgitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medicin ms un dgito estimado.IlustracinEn el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar as: 33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m Es notorio que el nmero de cifras significativas en el presente ejemplo es tres. El nmero de cifras significativas en un valor medido, generalmente se determina como sigue:La regla graduada tiene como graduacin mnima el centmetro.lEl dgito distinto de cero que se halle ms a la izquierda es el ms significativo. l El dgito que se halle ms a la derecha es el menos significativo, incluso si es cero. l El cero que se coloca a la izquierda del punto de una fraccin decimal no es significativo. 20 ; tiene una cifra significativa. 140 ; tiene dos cifras significativas. 140,0 ; tiene cuatro cifras significativas. 1 400 ; tiene dos cifras significativas. l Todos los dgitos que se hallen entre los dgitos menos y ms significativos son significativos. Ejemplo; determinar el nmero de cifras significativas:Al medir el largo del libro se observa que su medida est entre 33 y 34 cm.Se podr afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centmetros ms una fraccin estimada o determinada al ojo as por ejemplo, nosotros po, demos estimar: L = 33,5 cm.4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas. 0,23 m ; tiene dos cifras significativas. 0,032 m ; tiene dos cifras significativas 36,471 2 m; tiene seis cifras significativas 6,70 m ; tiene tres cifras significativas 321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas 2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas 14. Jorge Mendoza Dueas16TEST 1.-a) b) c) d) e) 2.-7.-Cantidad de sustancia - kilogramo Tiempo - segundo Intensidad de corriente - Amperio Masa - kilogramo Temperatura termodinmica - kelvin8.-A Amperio mol - mol C - Coulomb kg - kilogramo m - metroEntre las unidades mencionadas, seala la que pertenece a una unidad base en el S.I.46,2 cm 5,3 cm 5,4 cm 6,7 cm 4,3 cmCul de las siguientes alternativas tiene mayor nmero de cifras significativas? a) b) c) d) e)9.-50 millas y por 2,05 10 m 4 20 millas y por 2,1 10 m 5 30 millas y por 2,1 10 m 4 40 millas y por 10 m N.A.Un estudiante determinado meda 20 pulg de largo cuando naci. Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 aos de edad. Cuntos centmetros creci, en promedio, por ao? a) b) c) d) e)Cul de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.? a) b) c) d) e)4.-metro (m) Pascal (Pa) Amperio (A) candela (cd) segundo (s)Qu magnitud est mal asociada a su unidad base en el S.I.? a) b) c) d) e)3.-a) b) c) d) e)Entre las alternativas, una de las unidades no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional:0,254 cm 2 0,002 54 10 cm 3 254 10 cm 3 2,54 10 m Todos tienen el mismo nmeroDetermine el nmero de cifras significativas en las siguientes cantidades medidas: (a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m aa) b) c) d) e) 5.-N Newton Pa - Pascal C - Coulomb A - Amperio g - gramoa) b) c) d) e)cd4 2 4 1 23 2 3 1 15 5 5 3 33 2 2 2 2Qu relacin no corresponde? 10.a) b) c) d) e)6.-b91 GN = 10 N 12 2 TJ = 210 J 9 1 nHz = 10 Hz 9 3 MC = 310 C 12 A 5 pA = 510Al convertir una seal de camino al sistema mtrico, slo se ha cambiado parcialmente. Se indica que una poblacin est a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas de distancia (1 milla = 1,61 km). Cul poblacin est ms distante y en cuntos kilmetros?Cul de las cantidades siguientes tiene tres cifras significativas? a) b) c) d) e)305 cm 0,050 0 mm 1,000 81 kg 2m N.A. 15. Magnitudes Fsicas17RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A 1.-problemas de aplicacin Efectuar: E = 5 000 00,01B 1.-Solucin: E = 5 10e4problemas complementarios Dar la expresin reducida: E =(0 , 000 000 243)2Solucin: 2je1 10 jE=E = 5 10 4 2 = 5 102E=E = 500(32 103 )3 (81 10 5 )2=(243 10 9 )2 36 109 38 10 10 310 10 1836 109 (34 10 5 )2 (35 10 9 )2= 3( 6 + 8 10 ) 10( 9 10 +18 )Efectuar: E = 0 , 005 10 4 30 000 000E = 3( 6 + 8 10) 10( 9 10 +18)Solucin:2.-(9 000)3 (0 , 000 81)2E = 34 1017E = 5 10 3 10 4 3 107eje jejE = 81 1017E = 5 10 3 4 + 7 = 5 100 2.-Dar el valor simplificado de:E=5 3.-5R=Convertir: 400 320 m a km Solucin:253b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g e25 10 j e125 10 j R= e625 10 j e5 10 j e5 10 j e5 10 j R= e5 10 j e5 10 j R=400 320 m = 400,320 km23km m Convertir: 360 a h s6252km (360)(1 000) = m/ s h 3 600R=km 36 10 4 = = 10 4 2 m / s 360 h 36 102 3605.-5 23324632 4510 1015 59 10 18 58 10 10 54 10 8R = 5b10 + 9 8 4g 10b15 18 + 10 + 8gR = 57 1015km = 100 m / s hCuntos Gm tendrs en 2 230 m? Solucin: 2 230 m = 2, 23 103 m 34km km 1 000 m 1h = 360 360 h h 1 km 3 600 s455Solucin:3604Solucin:1 km 400 320 m = 400 320 m 1 000 m4.-3b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g3.-Hallar la altura del nevado Huascarn en hectmetros si expresado en metros mide 6 780 m. Solucin:1 Gm109 m 2 230 m = 2, 23 103 9 Gm6 780 m = 6 780 m 2 230 m = 2, 23 10 6 Gm6 780 m = 67 , 80 Hm1 Hm 102 m 16. Jorge Mendoza Dueas18 4.-Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar dicho resultado en nm.61/ 261/ 3e5 10 j e2 10 j Q= e5 10 je2 10 j 42Solucin: Q=643 4452 10 3 22 10 2 52 10 4 216 10 12= 214 10b3 2 + 4 + 12gQ = 214 1011 7.-e = 26 2 mm e = 26 2 mm 1m 1 000 mmHallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 aos luz. (1 ao luz = distancia que recorre la luz en un ao de 365 das). Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. Solucin:e = 52 10 3 me = 52 10 3 m 1 nm 10 9 me = 52 10 3 10 +9 nm e = 52 106 nmd = 2 ao luzUn cabello humano crece a razn de 1,08 mm por da. Expresar este clculo en Mm / s.1 ao luz = 300 000km 365 das sSolucin:321 321 321 32154321 54321 54321 543211ao luz = 946 080 10 8 Emm m s s 10 6 m s 1MFinalmente: d = 2 946 080 10 8 EmeMm sjd = 1 892160 10 8 Em d 19 10 3 EmExpresar en potencias de 10. Q=54321 54321 54321 4354321 21 4321 4321 4321V = 0 ,125 101ao luz = 946 080 107 10 3 10 18 Emm s131 000 m 1 Em 18 1 km 10 m0 , 000 625 3 0 , 000 064 2b0, 05g b0, 016g4Solucin: 61/ 261/ 3e625 10 j e64 10 j Q= e5 10 j e16 10 j 2 23 48.-Convertir: 30 m/s a milla/h 1 milla = 1 609, 347 m Solucin: 30m m 3 600 s 1 milla = 30 s s 1 h 1 609 , 347 m4321 4321 4321 4321321 321 321 321 3211ao luz = 946 080 107 km m 24 103 36 10 2 sV = 0 ,125 10 76.-1ao luz = 3 105 365 24 36 102 km108 10 2V = 0 ,125 10 7km 24 h 3 600 s 365 dia s 1 dia 1h1ao luz = 300 000 365 24 3 600 km1, 08 mm 1m 1h V= 24 h 1 000 mm 3 600 s V=4321 4321 4321 43211ao luz = 300 0001, 08 mm 1, 08 mm = V= 1 da 24 h4321 4321 4321 43215.- 17. Magnitudes Fsicas3019m 30 3 600 milla = s 1 609 , 347 hSolucin:9.-* 1 litro = 1dm3 1 litro 1 = dm3 1 000 1 000* 1 kg = 2, 2 lbm milla 30 = 67 ,108 s h1 000 g = 2, 2 lb 1 g = 2, 2 10 3 lb1 ml = 10 3 dm3Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowattwatt =Newton s*Solucin:1 lb 3pulg 1 lb1 kw-h = kw h 1 kw-h = kw h pulg31 000 w 3 600 s 1 kw 1h1 lb==1 lb 3pulg1g 2, 2 103= 27 738 ,11 lb pulg3e2, 2 10 jb0, 254g= 27 738 ,1pulgJoule 5 1 kw-h = 36 10 w s s 1wlb1 331 kw-h = 36 105 w s31 pulg33b0, 254 dmg gdm3g dm3 g 3dm10 3 dm3 1 ml1 kw-h = 36 105 Joule 1 lb 10.Convertir:pulg3 lb 3pulga= 27 , 738 1g mlFG IJ H Kgramo g mililitro ml1 litro = 1dm3 ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dmPROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-problemas de aplicacin Efectuar: E = 0,0022 0005.-Expresar el resultado en notacin cientfica. 3E=Rpta. E = 4 2.-Efectuar: E = 2 2500,020,000 004106Rpta. E = 1803.-Efectuar: E =Rpta. 6.-4.-Cul es el resultado de efectuar: E = Rpta. E = 26,35104E = 103E=0 , 003 49 000 0 , 9 0 , 081Rpta. 2, 635 26 , 35 ? 0 , 000 263 57.-2b g8 100 270 0 , 74Rpta. E = 30,000 030 , 008 1Dar el resultado de efectuar:4 000 004 10 4 0 , 003 0 , 000 004 1027 000 000 4E = 105Qu distancia en Mm recorri un mvil que marcha a 36 km/h en 2 Es? Rpta.13210 18. Jorge Mendoza Dueas20 8.-En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 gotas, en 6 m3 Cuntas gotas tendremos? Rpta.9.-2A cuntos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 2 2 5 Mm ? (Pa = N/m ) 5 kPaRpta. 6.-Si 1J = Nm, expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am. Rpta.Halla la expresin reducida en: M=18 106 gotasRpta. 10.-5.-31.-Efectuar: E =7.-0 , 000 020 123 25 10 5 146 2340 , 000 000 000 004 45 000 000 Efectuar: E = 0 , 000 006 30 000 Rpta.3.-Efectuar:Rpta.b0, 000 000 004 002g E=345 0009.1019 22 0 , 006Rpta.b6, 4 GNg b0, 000 32 fNg b1600 kNg b12, 8 TNg b8 Ng 32 pN64 Gbacterias7,54102 m31017 ngUna bomba atmica libera 40 GJ de energa. Cuntas bombas se destruyeron si se obtuvo 641036 J de energa? Rpta.8E = 5,223 x 10Halla la expresin reducida en (pN) E=M = 2-71011 m/s2Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6,023 1023 granos de arena. Cuntos ng habr en 18,069 1028 granos de arena? Rpta.E = 0,00110.4.-m s2Una pelota de 0,064 5 m de dimetro est sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto. A qu distancia est la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque? (Dar su respuesta en metros) Rpta.-4E = 3,44108.2.-; 1J = N72 x 10 pJproblemas complementariosRpta.43En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresin geomtrica cada hora, en razn de 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias. Cuntas habran en 3 horas? Expresar este resultados en Gbacterias? Rpta.Bb0, 000 008 Jg b128 000 Jg b0, 025 6 Jg b400 Ng161026 bombasUn cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4 500 km3. Hallar su densidad en g/m3. Rpta.g 1 103 3 3 m 19. Magnitudes Fsicas21ANLISIS DIMENSIONALEstudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad fsica, est asociada con una dimensin fsica. As, el metro es una medida de la dimensin longitud (L), el kilogramo lo es de la masa (M), el segundo pertenece a la dimensin del tiempo (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinacin de las antes mencionadas. Dimensin de longitud Dimensin de velocidad = Dimensin del tiempo As tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en trminos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El anlisis de las Dimensiones en una ecuacin, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operacin; esto es fcil de demostrar ya que el signo = de una ecuacin indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: ABC = DEF1.- El anlisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en trminos de las fundamentales. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las frmulas fsicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3.- Sirven para deducir las frmulas a partir de datos experimentales.ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemticas que colocan a las magnitudes derivadas en funcin de las fundamentales; utilizando para ello las reglas bsicas del algebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque slo operan en las magnitudes. NOTACIN A : Se lee letra A [A] : Se lee ecuacin dimensional de AEjemplos: Hallar la Ecuacin Dimensional de:Es una ecuacin que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizndolo dimensionalmente, as: 2Fines del anlisis dimensional2Velocidad (v) v=e L e v = = t t T(dimensin de longitud) = (dimensin de longitud)v = LT 1En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuacin es correcta.Aceleracin (a) a=En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea para la formulacin de una hiptesis, o en la experimentacin tambin es recomendable usar el Anlisis Dimensional.v LT 1 v a = = t t Ta = LT 2 20. Jorge Mendoza Dueas22Fuerza (F) F = m.a ; siendo a = aceleracinPresin (P) F MLT2 Fuerza P = = Area A L2F = m. aP=F = MLT2P = ML1T 2Trabajo (W)Densidad (D)W = F. dW = F. d W = F d = MLT2L W = ML2T 2Potencia (P) P=W ML2T 2 W P = = t t TD=M M Masa D = = Volumen V L3D = ML3PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresin es correcta en una frmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogneos. As:P = ML2T3 E A + B + C = DV = L3V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)V =V =V =V =V Por lo tanto se tendr: E = A = B = C = DA = L2Volumen (V)A = (Longitud)(Longitud) A = L LArea (A)OBSERVACIN Los nmeros, los ngulos, los logaritmos y las funciones trigonomtricas, no tienen dimensiones, pero para los efectos del clculo se asume que es la unidad. 21. Magnitudes Fsicas23TEST 1.-I. [a] + [a] + [a] = [a] II. [a] - [a] = [a] III. [a] - [a] = 0 a) b) c) 2.-I II I y IId) e)1 1ML T 1 2 ML T 2 MLTd) e)2 2L+L+ LL=L8.-a) b) c)VVF FFF VVVm kg( )x = ML1 ( ) d) e)9.-FVV FFV10.I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.- Se emplea para verificar frmulas propuestas. III.- Se usa para deducir frmulas.6.-I II IIId) e)I y II III y IITres magnitudes dos auxiliares Siete magnitudes dos auxiliares Seis magnitudes una auxiliar Tres magnitudes una auxiliar N.A.Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleracinb)kg s m m kg 2 s m A sRespecto al anlisis dimensional sealar verdadero o falso:c)I.-d)kg m2e)kg Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentes con igual frmula dimensional. II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales. III.- Dimensionalmente todos los ngulos y funciones trigonomtricas representan lo mismo.VFV FVF-1LT 2 ML T 3 L 3 ML 2 LTQu unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas?a) a) b) c)d) e)Qu magnitud no est asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e)Qu proposicin o proposiciones son falsas respecto al Anlisis Dimensional?VVF VVV FVVEl S.I. considera ................ fundamentales y ........................ con carcter geomtrico. a) b) c) d) e)En sec (P + 12) P = 1 ( ) xFFV VFVRespecto a una frmula o ecuacin dimensional, sealar verdadero o falso:a) b) c)Precisar verdadero o falso dimensionalmente:III) En a5.-1M LT M LT2II)d) e)Todos los trminos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. II.- Todos los nmeros y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones, e igual a 1. III.- La ecuacin dimensional de los trminos del primer miembro, difieren de las dimensiones del segundo miembro.[fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T 1 [frecuencia] = T e) [carga elctrica] = I .T 1 [velocidad angular] = TI)VVV VVF FFFI.-III N.A.Qu relacin no es correcta dimensionalmente? a) b) c)4.-7.-Cul ser las dimensiones de Q = 3 kg / m. s2 ? a) b) c)3.-a) b) c)Siendo a una magnitud fsica, que proposicin o que proposiciones siempre se cumplen:A s2m3 s4 MTL1 MLT 2 ILT ML2A 1T 2 ML3T 4 22. Jorge Mendoza Dueas24RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A 1.-problemas de aplicacin Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica: m v 2 K= F3.-Hallar la dimensin de y en la siguiente frmula: V = .A + .DDonde; m : masa F : fuerza v : velocidadDonde; V : volumen A : rea D : densidadSolucin:Solucin:t Analizando cada elemento:t Aplicando el principio de homogeneidad.m =MV = A = Dv = LT 1t Determinando: F = MLT 2V = At Luego tendremos: m vK =12=FbMgeLT j MLT22=ML2T 2 MLTL3 = L2 2t Determinando: K =L 2.- =LV = D L3 = ML3 Halle la dimensin de S en la siguiente frmula fsica: S=F d m c24.-Donde; F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidadSi la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determinar la ecuacin dimensional de x e y . Siendo; A : fuerza B : trabajo C : densidadSolucin:Ax + By = Ct Analizando cada elemento: F = MLT 2Solucin: t Si la expresin es dimensionalmente homognea, entonces:d =L m =M c = LT = M1L+6r1Ax + By = CrA x = B y = Ct Luego tendremos: 2F dS =m c S =12=B = ML2T 2 C = ML3eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T 2 1A = MLT 22 2 2 2t Con lo cual se tiene: A x = C MLT 2 x = ML3 x =ML3 MLT 2x = L4 T 2 23. Magnitudes Fsicas t25 BB y = Cproblemas complementariosML2T 2 y = ML3y =5.-1.-ML3 ML2T 2y = L5T 2Si la siguiente expresin es dimensionalmente homoz y x gnea: P = q R s Donde;Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula fsica. W v = +F A B Donde; W : trabajo v : volumen F : fuerzaP : presin q : fuerza R : volumen s : longitudSolucin:Hallar: x 3yt Aplicando el principio de homogeneidad:Solucin:LM W OP = LM v OP N A Q NBQ1/ 2tP = ML1T 2q = MLT 2R = L3ts =Lt Determinando A WP = qzR y s x zP = q R 1 2ML TA ys= MLTex 2zyj eL j bLg 3xv B z =11/ 2 1/ 2B =v 2=B1/ 2=v1/ 2FL3 22eMLT jB = M2LT 4x 3y x 3y = 2= FF 1 = z 3y + x 1 = 1 3y + xt Nos piden:A =Lt Determinando BML1T 2 = MzLz 3 y + x T 2zL1 = Lz 3 y + x= FML2T 2 = MLT 2 AML1T 2 = MzLz T 2zL3 yLxM1 = Mz= F2.-Halle la dimensin de A B y C en la siguiente fr, mula fsica. 2 E = A.F + B. v + CaNOTA Las ecuaciones dimensionales slo afectan a las bases, ms no a los exponentes, pues estos siempre son nmeros y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (nmeros). De lo expuesto, queda claro que la ecuacin dimensional de todo exponente es la unidad.Donde; E : trabajo F : fuerza v : velocidad a : aceleracin Solucin: t Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv 2 = C a t Determinando A : E = A F ML2T 2 = A MLT 2A =L 24. Jorge Mendoza Dueas26 t Determinando B :5.-2E = B vML2T 2 = B LT 12e jW = 0,5 mcx + Agh + BPB =MxSiendo: Q = A x B ;t Determinando C :Adems; W : trabajo h : altura m : masa P : potencia c : velocidad A,B : constantes dimensionales g : aceleracinE = C a ML2T 2 = C LT 2 3.-Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresin W sea dimensionalmente homognea.C = MLHalle la dimensin de R en la siguiente frmula fsica: Solucin: 22R = (x + t)(x y)(y + z)t Aplicando el principio de homogeneidad:Donde ; t: tiempoxW = m c = A g h = B PSolucin: tt Observamos por el principio de homogeneidad:ML2T 2 = A = LT 2Lx =TA =M2y = x = T2 2z = y = T2W = A g he j2t= T4t Luego tendremos:B P = W BR = x y z R = T T2 T 4 4.-tLa potencia que requiere la hlice de un helicptero viene dada por la siguiente frmula: y= W B = txW = m cML2T 2 = M LT 1e jzxML2 T 2 = MLx T xP = K. R . W . D Donde; W : R : D : K :tB =TR = T7xWvelocidad angular (en rad/s) radio de la hlice (en m) densidad del aire (en kg/m3) nmerox=2t Finalmente: Q = ACalcular x,y,z.xB1/ 2Q = M2T1/ 2Solucin: P = K RxWML2T 3 = 1 Ly xD6.-z1y3zb gb g eT j eML jSuponga que la velocidad de cierto mvil, que se desplaza con movimiento bidimensional, puede determinarse con la frmula emprica: V = aT 3 +ML2T 3 = Lx T yMzL3zML2T 3 = MzLx 3z T y M1 = Mz z = 1bgx3 1L2 = LT 3 = T y x 3= 2 x = 5 y=3b T2 cDonde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c, para que la frmula sea homognea dimensionalmente. Solucin: Por el principio de homogeneidad: 25. Magnitudes Fsicas T2 c t de: t27V = a Ta = LT 4Dimensionalmente; para que (n + tan ) sea homognea: [n] = [tan ] = 1bV =TLT 1 = 7.-tan = nmerot3LT 1 = a T 3 tSolucin:c = T22Con lo cual: n + tan = nmerobT2b = LT[n + tan ] = 1Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea.t Con todo el sistema: FHallar: x 2y a = vt x 1 + k y xeSiendo;xD2Mx + y = M3rx 3y + zLr ryx yx=0 y=x9.yyxe j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g2 x z x+y=3=L0=T0 x 3y + z = 0 2x z = 0Solucin:t Dimensionalmente: a = 2 v txLT 2 = 1 LT 1 Tb ge jb gLT2x= LT 1T xLT 2 = LT x 1 T 2 = T x 1 x 1 = 2 x = 1Nos piden: x 2y y = 1x 2y = 1 2(1) x 2y = 1En la expresin mostrada. Hallar z y zF D v = (n + tan ) m1 m2 m3 F : fuerza D : densidad v : velocidad m1, m2,m3 : masasEn la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta. Determinar la ecuacin dimensional de x .Donde; M : masa ; v : velocidada = 2vt xDonde;zE = Mvx + Mvx + Mvx + ........ xxT0t Luego tendremos: a = vt 1 + k8.-1Resolviendo: z = -9xCon lo cual:y3Mx + yLx 3y + z T 2 x z = M3L0 T0Dimensionalmente se tiene:yxxMxLx T 2 xMyL3 yLz T z = M3Solucin:1 = kzv = n + tan m1 m2 m3eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMgja : aceleracin v : velocidad t : tiempo1= kyE = Mvx + Mvx + Mvx + ........ 1444 24444 4 3 EE = Mvx + E E = Mvx + E 2t Dimensionalmente: 2E = M v x = E 2E = E E =1Adems: M v x = E M v x =1 1bMgeLT j x = 1 x =1 MLT 1x = M1L1T 26. Jorge Mendoza Dueas28 10.-Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea. Determinar la ecuacin dimensional de KResolviendo: x = y = z =K = GMb3 2t Luego:x+ygLbz + x gTb y + zg +2Mb6 2xgLb6 2ygTb6 2zgK =Solucin: t Dimensionalmente:b x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 2z g T G M2 M2 MbgK = 1 Mb6 2x g L b6 2ygb 6 2 x g L b 6 2 y g T b 6 2z gFG 6 2F 3 I IJ FG 6 2F 3 I IJ FG 6 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K LTK = M3L3 T3De donde: G =2b x + y g = M b6 2x g bz + x g = L b6 2yg L b y + x g = T b 6 2z g T x + y = 6 2xM z + x = 6 2y y + x = 6 2zPROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-problemas de aplicacinH=DA V FDonde; D : densidad A : aceleracin V : volumen F : fuerza Rpta. 2.-Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.Halle la dimensin de H en la siguiente frmula fsica.Rpta. = L1 4.-Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula: v = At + B x[H] = 1Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distanciaLa medida de cierta propiedad (t) en un lquido se determina por la expresin: h=Rpta.5.-3.-t = MT 2Halle la dimensin de y en la siguiente frmula fsica. v2 F + E= A = LT 2 B = T 12t rdHalle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:Siendo: h medida en m; d, peso especfico. Cul ser la ecuacin dimensional de t para que r se mida en m? Rpta. = M1V=x2 g + A BDonde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleracin Rpta.A = LT B = T 1 27. Magnitudes Fsicas 6.-29Halle la dimensin de A B y C en la siguiente fr, mula fsica: e = A + Bt 2 + Ct 3B 1.-problemas complementarios Determinar la dimensin de x si la ecuacin es , dimensionalmente correcta.Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s) Rpta.xv 2 =A =Lv : velocidad a : aceleracin M : masa W : trabajoB = LT 2 C = LT 3Rpta. 7.-Halle la dimensin de G H e I en la siguiente fr, mula fsica: F = Ga + Hv + I2.- tan =G =M I = MLT 2Rpta. 3.-En la siguiente expresin, calcular x + y S = Ka x t y K: constante numrica S : espacio a : aceleracin t : tiempoRpta.T2 a34.-L2La fraccin mostrada es dimensionalmente correcta y homognea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B 6 + C 4 + Da+p bq20 + t + k =y A = L6 T 4 , determinar las dimensiones de x .a : aceleracin t : tiempoRpta. 5.-2TL-14T28/3Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, hallar las dimensiones de b .Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea; determinar la ecuacin dimensional de C . C=W=3Ry 2NxR : longitud y : aceleracin 3 -4L T5F log a 8F2C 2 x b +vW : trabajo v : velocidad F : fuerza2eN 2j xRpta.b g4 2L2 L b cos donde; G : aceleracin de la gravedad T : tiempo b y L : longitudLM a OP = ? Nb Q10.-MLT-2G=Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea. Determinar:Rpta.3Determinar las dimensiones de a sabiendo que la si, guiente ecuacin es dimensionalmente correcta:Rpta. 9.-bw + wlog 2g + z bg + gsen gxw : peso ; g : aceleracinH = MT 18.-M2LT-2Hallar la ecuacin dimensional de z, si la ecuacin mostrada, es dimensionalmente correcta:Donde; F : fuerza ; a : aceleracin ; v : velocidad Rpta.WMa + bt2 ; donde: sen 30Rpta. 6.-L1/2T-1/2En la ecuacin: P = Kgy dxhzHallar: (x.y.z) 28. Jorge Mendoza Dueas30 donde; P: presin g: aceleracin de la gravedad h: altura K: constante numrica d: densidad Rpta. 7.-h : altura m: masa A , A : areas 1Rpta.9.-F IJ = e tan G A + H 2KmBLsen 3010W = ba + b2c e)n1 : ngulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : nmeros A = adimensional -1/2 B=L -3/2 -3/2 3 C=M L THallar las dimensiones de x e y sabiendo que la , igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.FG 2 x IJ H hKDonde; W : trabajo e : espacio a : aceleracin Rpta. 10.-=xy A1 A2MHallar [x][y]:d bx = sen + Donde; v : velocidad e : espacio m : masa t : tiempo B : nmero real Rpta.20 , 85 mDeterminar la dimensin de b para que la ecuacin sea homognea.2 60 cos 60 C(FtanHallar las dimensiones de A, B y C para que sea dimensionalmente homognea, donde:8.-x=L y = M11En la expresin:Rpta.2M2LT 22givy + emB t 29. Magnitudes Fsicas31MEDICIN - TEORA DE ERRORES CLASES DE MEDICINMEDICIN Medicin, es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad patrn correspondiente.A)Medicin directa Es aquella en la cual se obtiene la medida exacta mediante un proceso visual, a partir de una simple comparacin con la unidad patrn.Todos los das una persona utiliza la actividad medicin; ya sea en nuestras actividades personales, como estudiante o como trabajador. Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al tomar la asistencia, estamos midiendo la cantidad de alumnos que llegaron a clase; en este caso la unidad patrn ser un alumno .Ejemplo Ilustrativo: Magnitud: Longitud 1 metro Unidad patrn: 1 metroCuando jugamos ftbol, el resultado final lo define la diferencia de goles a favor; la unidad patrn ser un gol En ocasiones cuando nos tomamos la tem. peratura, nos referimos siempre respecto a una unidad patrn 1C . Esto significa que toda medicin quedar perfectamente definida cuando la magnitud al que nos referimos termine por ser cuantificada respecto a la unidad patrn correspondiente. Ahora para realizar la medicin, generalmente se hace uso de herramientas y/o equipos especiales as como tambin en algunos casos de los clculos matemticos. El resultado de la medicin nos mostrar cuantitativamente el valor de la magnitud; y con ello podemos saber o predecir las consecuencias que conllevan dicho resultado. As; si medimos la velocidad de unatleta y obtenemos como resultado 1 m/s; sabremos entonces que ste nunca ser campen en una competencia de 100 metros planos; esto significa que gracias a la medicin (actividad cuantitativa) podremos saber o predecir los resultados cualitativos.En la figura, es fcil entender que la longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros (medicin directa).B)Medicin Indirecta Es aquella medida que se obtiene mediante ciertos aparatos o clculos matemticos, ya que se hace imposible medirla mediante un proceso visual simple. IlustracinSe quiere medir el rea del rectnguloEjemplo ilustrativo Unidad Patrn (un cuadrito)9 veces un cuadrito, dicho de otra forma: 9 cuadritosFrmula: Area = largo ancho A = (3 m)(2 m) A = 6 m2Se recurri al uso de una frmula matemtica 30. Jorge Mendoza Dueas32ERRORES EN LA MEDICIN La medicin es una actividad que lo ejecuta el hombre provisto o no de un instrumento especializado para dicho efecto. En toda medicin hay que admitir, que por ms calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estar afectado de cierto error; ahora, en el supuesto de que existiendo un aparato perfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemticamente con la realidad fsica, nunca llegaramos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o de leer exactamente una escala.Al medir la longitud entre dos puntos, en das calurosos, la cinta mtrica se dilata debido a la fuerte temperatura, luego se cometer un error de medicin.B)Instrumentales Son aquellos que se presentan debido a la imperfeccin de los instrumentos de medicin.Las agujas de un cronmetros son susceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo del mismo instrumento, luego se cometer un error de medicin.C)Personales Son aquellos, ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones (vista, tacto, etc.)A)Exactitud Es el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procurar llegar.B)Precisin Es el grado de perfeccin de los instrumentos y/o procedimientos aplicados.C)Error Podra afirmarse que es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal.CAUSAS DE ERRORES A)La vista de una persona puede no permitir observar correctamente las agujas de un reloj, se cometer entonces un error personal en la medida del tiempo.Naturales Son aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorolgicas (lluvia, viento, temperatura, humedad, etc).CLASES DE ERRORES A)Propios Son aquellos que provienen del descuido, torpeza o distraccin del observador, estas no entran en el anlisis de la teora de errores.Es posible que el operador lea en la cinta mtrica 15,40 m y al anotar, escriba por descuido L = 154 m; ste es un error propio, tan grave que no se debe considerar en los clculos de Teora de Errores.1516L=4 15 31. Magnitudes FsicasB)33SistemticosL = 0,305 mSon aquellos que aparecen debido a una imperfeccin de los aparatos utilizados, as como tambin a la influencia de agentes externos como: viento, calor, humedad, etc. Estos errores obedecen siempre a una Ley Matemtica o Fsica, por lo cual es posible su correccin.L = 0,306 mCuando medimos el largo de un libro, cada vez que se mida, la lectura ser diferente.L= 0,304 mTEORA DE ERRORES LABLSupongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la cinta mtrica, sta se pandea como muestra la figura, la lectura que se toma en estas condiciones no ser la verdadera, habr que corregir. L = L correccin La correccin se determina mediante la siguiente frmula: correccin =W2L 24FDonde: W, L y F son parmetros conocidos.NOTA Esta clase de error no se tomar en cuenta en este libro.Es imposible encontrar el verdadero valor del error accidental; si as fuese, podramos entonces calcular el valor exacto de la magnitud en medicin sumando algebraicamente el valor observado. No obstante es posible definir ciertos lmites de error, impuestos por la finalidad u objetivo de la medicin. As pues, queda claro que los errores accidentales tienen un rango establecido, cuyo clculo irn de acuerdo con los principios y mtodos de la teora matemtica de errores con aplicacin del clculo de probabilidades. Estableceremos convencionalmente dos casos:I.-CUANDO SE REALIZA UNA SOLA MEDICINHay casos en las que se toma una sola medicin u observacin respecto a un patrn establecido, as por ejemplo: PATRONC)Accidentales o Fortuitos Son aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarse correccin alguna, sin embargo estos errores suelen obedecer a las Leyes de las Probabilidades. Por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medicin, pues generalmente estas suelen ser diferentes. = 3,141 592 654 g = 9,8 m/s2 tan 37 = 0,753 554 05VALOR APROXIMADO 3,141 6 10 m/s2 0,75Es importante establecer entonces bajo que error se est trabajando.A)Valor verdadero (A) Es el valor exacto o patrn que se establece en una medicin, en realidad, tal valor exacto 32. Jorge Mendoza Dueas34 no existe, pero se suele establecer de acuerdo al tipo de trabajo a realizar; as por ejemplo, el valor verdadero de la constante () se puede considerar como 3,141 6.B)B)Se le llama tambin error aparente de una medicin. Es la diferencia entre la media y el valor correspondiente a una medicin.Error Absoluto(EA)Ejemplo:Es la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado.10,20 V = 10,20 10,20 = 0 10,22 V = 10,20 10,22 = -0,02 10,18 V = 10,20 10,18 = +0,02EA = A ADonde;C)EA : error absoluto A : valor verdadero A : valor aproximadoC)Desviacin tpica stndar () Viene a ser el promedio de todas las desviaciones de las mediciones realizadas.Error Relativo (ER) = Llamado tambin error porcentual y nos determina segn parmetros establecidos si la equivocacin puede ser aceptable o no.ER = Donde;ER : error relativo E : error absoluto A A : valor verdaderoGeneralmente cuando se lleva a cabo una medicin, no se conoce el valor verdadero; es por esto que se recomienda tomar varias mediciones, no obstante, jams se podr conocer el valor exacto.Media ( X ) Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segn su magnitud. Es la media aritmtica de un conjunto de datos.X =x1 + x2 + x3 + ... + xn n10, 20 + 10, 22 + 10,18 3X = 10 , 202 n 30 : desviacin tpica o stndar V : desviacin de cada medicin n : nmero de mediciones Para la explicacin de la presente expresin, partiremos diciendo que el nmero mnimo de mediciones tendr que ser dos, de lo contrario no tendra sentido hablar de promedio y por ende de desviacin. Por otro lado no es difcil deducir que el promedio de todas las desviaciones sera: V nSin embargo, en la prctica, el resultado de dicha expresin siempre ser cero; es por ello que se utiliza la suma de los cuadrados, la cual nunca se anular.D)Error probable de una observacin (E0 ) Es aquel intervalo [-E0 , + E0], dentro de cuyos lmites puede caer o no el verdadero error accidental con una probabilidad del 50%. E0 = 0, 674 5 Ejemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18 X =V2 n1Donde;EA 100% A2.- CUANDO SE REALIZA DOS O MS MEDICIONESA)Desviacin (V)Donde; E0 : error probable de una observacin : desviacin tpica o stndar. 33. Magnitudes FsicasE)35Error relativo (ER)F)Es la relacin entre E0 y la media X ; y viene a ser el parmetro que califica la calidad del trabajo.ER = ER = Error probable de la media (E) Est visto que la media, tambin est sujeto a error. El error probable de la media al 50% de probabilidad se puede determinar as:E0 XE = 0, 674 51E : error probable de la media V : desviacin de cada medicin n : nmero de mediciones0Donde;X : media E0 : error probable de una observacinEjemplo: Supongamos que se desea realizar un trabajo de laboratorio, donde es requisito para obtener las metas deseadas un error relativo 1 menor que ; si el trabajo de laborato3 000rio arroj un ER = 1 4 000Tendremos: 1 14 000 3 000De donde se deduce que el trabajo realizado es aceptable; de lo contrario habr que volver a empezar.b gDonde;F XI GH E JKER : error relativoV2 n n1G)Valor ms probable (V.M.P.) Es aquel que se acerca ms al verdadero valor pero que no lo es. Comnmente se considera a la media como el valor ms probable de varias mediciones. V. M.P. = XDonde; V.M.P. : valor ms probable X : mediaComo quiera que el V.M.P. nunca ser el valor verdadero, se deduce que existir un error y que dicho valor exacto estar ubicado dentro del rango de ciertos lmites; este ser: V.M.P. E , V.M.P. + EDonde; E : error probable de la media 34. Jorge Mendoza Dueas36TEST1.-............., es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad ............ previamente establecida. a) b) c) d) e)2.-6.-Estimacin base Medicin patrn Estimacin de comparacin Medicin base Marcacin estelara) b) c) d) e)Sealar verdadero o falso en las siguientes proposiciones:7.-I.- Exactitud, es el grado de aproximacin a la verdad o perfeccin a la que se procura llegar. II.- Precisin instrumental o procedimental, es el grado de perfeccin alcanzado. III.- Error, es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal. a) b) c) 3.-VVV FVFb) c) d) e) 8.-Naturales. Instrumentales. Personales. Temperamentales. N.A.9.-Sistemticos teora de errores. Propios la teora de errores. Accidentales mtodos cientficos. Fortuitos mtodos cientficos. N.A.Cul es la media o promedio ponderado de las mediciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas fueron: 12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm a) b) c)12 cm 12,2 cm 12,4 cmd) e)11,8 cm 12,8 cm0,1 0,1 25,3 25,3 N.A.Cunto pague por 0,5 Mg, 300 kg, 50 Hg de arroz a S/. 2,00 el kilo? a) b) c) d) e)10.-El valor real est comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8. El valor que ms se acerca es 100,22 El valor ms probable es 100,212 8 El valor menos probable es 100,212 6 N.A.La media de 5 mediciones a sido 12,6, si una de estas mediciones fue 12,7, hallar la desviacin aparente obtenida. a) b) c) d) e)Errores................... provienen del descuido, torpeza o distraccin del observador, estas no entran en el anlisis de................ a) b) c) d) e)5.-d) e)+1,3 g 1,3 g 0,7 g +0,7 g +0,9 gEn la medicin de la longitud de un terreno, el valor ms probable obtenido: 100,212 0,000 8; esto significa que: a)Cul de las alternativas no puede ser una causa de error en las mediciones? a) b) c) d) e)4.-VFF VFV FFVLa media de un grupo de medidas de cierto peso es 28,5 g, siendo una de las medidas obtenidas 27,8 g; la desviacin sera:S/. 10 000 S/. 5 000 S/. 1 610 S/. 9 050 N.A.La suma de los cuadrados desviaciones de cierto grupo de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su desviacin tpica o stndar. a) b) c) d) e)6,5 5,5 3,5 8,5 4,5 35. Magnitudes Fsicas37RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A 1.-problemas de aplicacin t Calculado el error relativoSe ha obtenido los siguientes valores al determinar la masa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g y 2,350 g. Cul es el valor ms probable?EA 100% A 0 , 001 6 100% ER = 3,141 6ER =Solucin: V.M.P. = XER = 0 , 051%Calculando la media: X X=2, 350 + 2, 352 + 2, 348 + 2, 350 44.-X = 2, 350 Luego: V . M. P. = 2, 350 2.-Solucin:Consideremos la longitud de una mesa 112,8 cm; al medirla hemos obtenido 113,4 cm; hallar el error absoluto y el error relativo.En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por exceso, y la medida ms precisa fue la del alumno B, ya que cometi un error relativo menor.Solucin:ALUMNOEA = + 0 , 6 cm (por exceso)EA 100% A 0, 6 100% ER = 112, 8 ER =ER = 0 , 53% 3.-Qu error relativo, se comete al dar a = 3,141 6 el valor 3,14? Solucin: t Calculando el error absoluto5.-ERROR RELATIVO1 m (exceso)1 100 = 20% 5BEA = A' A EA = 113, 4 112, 8ERROR ABSOLUTOAt Calculando el error absolutot Calculado el error relativoUn alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m, otro alumno B mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m. Qu error absoluto se cometi en cada caso?, qu medida fu ms precisa?1 m (exceso)1 100 = 0 , 2% 500Con cuntas cifras decimales debemos tomar el nmero = 3,141 59 para que su error relativo sea menor del 0,1%? Solucin: ER0 ,1% EA 100%0 ,1% A EA 100%0 ,1% 3,141 59 EA0 , 00314 Rpta.Dos cifras decimalesEA = A' AVerificando:EA = 3,14 3,141 6ER =EA = 0 , 001 6 (por defecto)Tomando valor absoluto:3,14 3, 141 59 100% 3,141 59ER = + 0 , 05%0 , 1% 36. Jorge Mendoza Dueas38 B 1.-problemas complementarios En la medida de 1 metro, se ha cometido un error de 1 mm y en 300 km un error de 300 m. Qu error relativo es mayor? Solucin: t Cuando L = 1 m A = 1 000 mm EA 100% A 1 100% ER = 1 000 ER =ER = 0 ,1%MEDICIONESERRORES (V)4,556 mm 4,559 mm 4,553 mm 4,561 mm 4,562 mm 4,555 mm 4,557 mm 4,553 mm 4,556 mm 4,558 mm X = 4,557 mmt Cuando L = 300 km A = 300 000 m+0,001 -0,002 +0,004 -0,004 -0,005 +0,002 0,000 +0,004 +0,001 -0,001 V = 0,000V2 0,000 001 0,000 004 0,000 016 0,000 016 0,000 025 0,000 004 0,000 000 0,000 016 0,000 001 0,000 001 V2 = 0,000 084Cmo se debe expresar el resultado final de las mediciones?EA 100% A 300 100% ER = 300 000 ER =Solucin: t Calculando el error probable de la media (E)ER = 0 ,1%E = 0 , 674 5V2 n n1Qu medida es ms precisa: La de un qumico que pesa 200 mg con una balanza que aprecia el miligramo o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza que aprecia el gramo?E = 0 , 674 50 , 000 084 10 9Solucin:t El valor ms probable: V.M.P. = X = 4,557Ser ms precisa aquella pesada cuyo error relativo sea menor.Luego el resultado final podr ser expresado.Rpta. Los dos tienen igual error relativo 2.-4,557 0,000 7 Del concepto de teora de errores, se deduce que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final est comprendido entre 4,556 3 m y 4,557 7 m.EA 100% A 1 mg 100% ER = 200 mgER =4.-Se ha medido la longitud de un terreno, los datos obtenidos en metros son:t Con el tendero1 Medicin : 100,212 2 Medicin : 100,210 3 Medicin : 100,2141g 100% ER = 2 000 g ER = 0 , 05%bgE = 0 , 000 7t Con el qumico:ER = 0 , 5%b gSe pide: A) Calcular la media. B) Calcular la desviacin tpica o stndar ().Rpta. Es ms precisa la medida del tendero Solucin: 3.-Consideremos la siguiente serie de mediciones realizadas con un esfermetro:A)Son tres mediciones n = 3 37. Magnitudes FsicasX=39100 , 212 + 100 , 210 + 100 , 214 300 , 636 = 3 36.-X = 100 , 212 B)Los datos de campo son:Tabulando V = X - XiMEDIDAV2100,2120100,210+0,002410-6100,214-0,002410Sumatoria0810-6 = 40 20 10 1 = 40 20 30 2 = 40 20 50-63V2 8 10 6 = = 31 n1Solucin: n = 1 + 4 + 3 = 8 observacionesEn el problema anterior calcular: A) El error relativo B) El resultado final=Solucin: A) ER = E0 X=1238 = 40 20 10 + 4(40 20 30) + 3(40 20 50) 8X E0 = 322 44 40 = 40 24 35 8bgE0 = 0 , 001 349ER =b1g + b4g + b3g1E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 0 , 002ER = 1 medida 4 medidas 3 medidasCalcular la media. = 0 , 0025.-Con ayuda de un teodolito se midi un ngulo, realizando una observacin angular en ocasiones diferentes y por diferentes observadores. Calcular la media.7.-Se ha efectuado la medicin de una distancia y los resultados obtenidos son: 1 Medicin : 2 Medicin : 3 Medicin : 4 Medicin :1 1 = 100 , 212 74 286 0 , 001 3491 74 286B) E = 0 , 674 5E = 0 , 674 5800,213 m 800,220 m 800,603 m 800,218 mSe pide: Calcular el error relativo V2 n n1b g8 10 6 32bgE = 0 , 000 8Solucin: En primer lugar, si analizamos el valor de cada medicin, respecto a los dems, ser fcil detectar que la tercera medicin tiene un valor muy lejano a las otras mediciones, lo cual hace deducir que en el proceso de medicin se debi cometer un error propio (en la 3 medicin), por tal motivo no se tomar en cuenta en los clculos. Luego;El V.M.P. = X = 100,212 Luego el resultado final podr ser expresado: 100,212 0,000 8 Esto significa que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final est comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8.1 Medicin : 2 Medicin : 3 Medicin :800,213 m 800,220 m 800,218 mn=3 X=800 , 213 + 800 , 220 + 800 , 218 2 400 , 651 = 3 3X = 800 , 217 m 38. Jorge Mendoza Dueas40 t Tabulandot Tabulando: V2MEDIDAV= X -X800,213+0,0041610-6100,44-0,065800,220-0,003910-6100,46-0,085-0,001110-6100,50-0,125Sumatoria2610-6100,10+0,275i800,218V = X - XiMEDIDA valor mayorque 0,20 (tolerancia)t =V 2 26 10 6 = 31 n1Observamos que la desviacin V correspondiente a 100,10 es mayor que el permitido; si analizamos inicialmente el problema, es fcil darse cuenta que 100,10 esta muy lejos a los dems datos, seguramente se cometi algn error propio. Por lo tanto no se tomar en cuenta en los clculos. = 0 , 003 6bt E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 0 , 003 6gt Ahora tendremos: n = 3E0 = 0 , 002 428 2t ER = ER = E0 X=1X=X E0100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 X = 100 , 467 N 3t Tabulando:1 1 ER = 800 , 217 329 552 0 , 002 428 2100,44+0,02772,910+0,0074,9010100,50-0,033108,90105SumatoriaEn el problema anterior, determinar el resultado final.V = X Xi100,46 8.-MEDIDA186,7105Solucin: E = 0 , 674 5V 2 26 10 6 = 0 , 674 5 23 n n1b gt E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5bgt ER = V.M.P. = X = 800,217ER = 800,217 0,001 4 10.-100,44 N ; 100,46 N ;100,50 N ; 100,10 N5V2 n111F X I = 100, 467 GH E JK 0, 020 608 0Luego el resultado final podr ser expresado:Se ha pesado varias veces un saco de papas y los datos obtenidos son:5E0 = 0 , 020 608E = 0 , 001 49.-V21 4 875En el problema anterior, expresar el resultado final. Solucin: t Calculando el error probable de la media. V2 186 , 7 10 5 = 0 , 674 5 n n1 32Calcular el error relativo, si la tolerancia mxima permitida es 0,20 N.E = 0 , 674 5Solucin:E = 0 , 012t n=4t El valor ms probable: V.M.P. = X = 100,467 N100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 + 100 ,10 4 X = 100 , 375 NLuego el resultado final podr ser expresado.X=b g100,467 N 0,012 Nbg 39. Captulo3VECTORES MAGNITUD VECTORIAL Es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numrico y su unidad respectiva, es necesario conocer tambin la direccin y sentido para que as dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Veamos un ejemplo sencillo:Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza (mdulo) mnima que debe aplicar a la flecha para que sta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona despus de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. Sabr a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocer cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabr hacia donde. Qu falta? le falta la ubicacin del blanco (direccin y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues a parte del valor y unidad respectiva, se necesita la direccin y sentido.VECTOR Es un segmento de lnea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales. r A = A ; se lee vector Ar A = A = A ; se lee: Mdulo del vector A 40. Jorge Mendoza Dueas42ELEMENTOS DE UN VECTOR: A)D)Vectores iguales Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, direccin y sentido.Punto de aplicacin.- Est dado por el origen del vector.B)Intensidad, mdulo o magnitud.- Es el valor del vector, y generalmente, est dado en escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratse de fuerza). A y B sonigualesC)Sentido.- Es la orientacin del vector.D)Direccin.- Est dada por la lnea de accinE) del vector o por todas las lneas rectas paralelas a l.Vector opuesto ( A ) Se llama vector opuesto ( A ) de un vector A cuando tienen el mismo mdulo, la misma direccin, pero sentido contrario.ALGUNOS TIPOS DE VECTORES: A)Vectores colineales Son aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin.A, B y C son colinealesB)Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuyas lneas de accin, se cortan en un solo punto.A y A son vectores opuestos entre sPRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma direccin y de mdulo igual a tantas veces el escalar por el mdulo del vector dado. Ejemplos.A, B y C son concurrentesC)Vectores coplanares Son aquellos vectores que estn contenidos en un mismo plano.4 unidades 2 unidades 8 unidades A, B y C son coplanares 41. Vectores43OPERACIONES VECTORIALES ADICIN DE VECTORESB)Mtodo del Tringulo Vlido slo para dos vectores concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un tringulo, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el tringulo y su punto de aplicacin concidir con el origen del primer vector.Sumar dos o ms vectores, es representarlos por uno slo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmticaR = A+B+C+DR = A+BC)ADICIN DE VECTORES - MTODO GRFICO A)Mtodo del Paralelogramo Este mtodo es vlido slo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizndolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrar en una de las diagonales, y su punto de aplicacin coincidir con el origen comn de los dos vectores.Mtodo del Polgono Vlido slo para dos o ms vectores concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un polgono, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el polgono y su punto de aplicacin coincidir con el origen del primer vector.R = A+B+CEn el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del ltimo, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama polgono cerrado .R = A+BR = A+B+C+D+E=0 42. Jorge Mendoza Dueas44B)OBSERVACIONES En la adicin de vectores se cumplen varias propiedades, stas son:Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares En este caso el mdulo de la resultante se halla mediante la siguiente frmula.Propiedad ConmutativaR =A+B=B+AA2 + B2 + 2AB cos Propiedad Asociativa A+B+C= A+B +C=A+ B+CdidiADICION DE VECTORES - MTODO ANALTICO A)Suma de Vectores Colineales En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los mdulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos.La direccin del vector resultante se halla mediante la ley de senos. R A B = = sen sen sen CASO PARTICULAREjemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:Si: = 90 R =Sabiendo: A = 4 ; B = 3 ; C = 3 ; D = 1A2 + B 2RESULTANTE MXIMA Y MNIMA DE DOS VECTORESSolucin: R=A+B+C+DTeniendo en cuenta la regla de signos:Resultante Mxima Dos vectores tendrn una resultante mxima cuando stos se encuentren en la misma direccin y sentido ( = 0).R = 4 3 3 + 1 R = 1El signo negativo indica que el vector est dirigido hacia la izquierda.Rmax = A + B 43. Vectores45Resultante MnimaD=ABDos vectores tendrn una resultante mnima cuando stos se encuentren en la misma direccin; pero en sentidos contrarios ( = 180).D = A2 + B2 + 2AB cos 180 bD =gA2 + B2 2AB cos Rmn = A BSUSTRACCIN DE VECTORES A)Mtodo del Tringulo En este caso se unen los dos vectores por sus orgenes y luego se unen sus extremos, el vector D ser el vector diferencia.COMPONENTES DE UN VECTOR Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el mtodo del polgono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.A+B+C+D=R A ,B ,C yD son componentes del vector RCOMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre s un ngulo de 90.D=ABB)D=BAMtodo del Paralelogramo En este caso se invierte el sentido del vector que est acompaado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adicin de vectores por el mtodo del paralelogramo.A = Ax + Ay Ax = A cos Ay = Asen UNITARIO VECTOR UNITARIO Es un vector cuyo mdulo es la unidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama tambin versor.u=A Au = vector unitario de A 44. Jorge Mendoza Dueas46VERSORES RECTANGULARES Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares. i -i j -j: : : :Vector unitario en el eje x (positivo). Vector unitario en el eje x (negativo). Vector unitario en el eje y (positivo). Vector unitario en el eje y (negativo).SUMA DE VECTORES POR EL MTODO RECTANGULARES DE COMPONENTES RECTANGULARES Para hallar la resultante por este mtodo, se sigue los siguientes pasos: 1.2.3.-Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ), por el mtodo de vectores colineales. El mdulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitgoras. R = R2 + R 2 x yEjemplo: En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su mdulo. A = 30Ahora tendremos:B = 15 A = Ax + AyC = 10A = Ax i + Ay j Ejemplo de aplicacin: En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector A en trminos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su mdulo es de 30 unidades.Solucin: Por motivos didcticos, trabajaremos con nmeros.FG 4 IJ 30FG 3IJ H 5 K H 5KRx = 15cos 37 30 cos 53 = 15 A = Ax + Ay A = Ax i + Ay j t tFG 3IJ H 5K F 4I A = Asen 53 = 30G J H 5K Ax = A cos 53 = 30yA = 18 i + 24 j Ax = 18Rx = 6 (hacia la izquierda)FG 4 IJ + 15FG 3IJ 10 H 5 K H 5KRy = 30sen 53 + 15sen 37 10 = 30 Ry = 23 (hacia arriba) Ay = 24R = 6 i + 23 j ; Ahora: R = 62 + 232 R = 23,77 45. Ciencia Vectoresy Tecnologa47La fuerza: un vector La fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector. Ahora; sumar dos o ms vectores no implica necesariamente sumar sus mdulos, ello depender de la posicin en que se encuentren. En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razn habr que aplicar el mtodo de vectores colineales para la determinacin del vector resultante.El vector desplazamiento El desplazamiento es un vector: Si el objetivo fuese darle a la bola amarilla con la roja, esta ltima tendra que recorrer la distancia d; sin embargo podra elegirse tambin otros caminos convenientes en cuyos casos los vectores formados seran componentes del vector d ( d1 y d2 son componentes del vector d ).El tiempo - escalar El tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues slo necesitamos el valor y la unidad respectiva para tener la informacin completa. En realidad la investigacin sobre el tiempo es muy compleja y falta mucho por estudiarlo. Entonces: Tendr direccin y sentido el tiempo? 46. Jorge Mendoza Dueas Ciencia y Tecnologa48La velocidad - un vector Para que el avin pueda desplazarse desde el punto A hasta el B, el piloto deber conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea va radio o va satlite, lo cierto es que la obtencin de dichos datos no es problema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fcil determinar el vector desplazamiento por donde deber recorrer el avin ( d ).dSi el piloto dirige la velocidad del avin en la direccin del desplazamiento calculado, el viento se encargar de desviarlo.Para evitar que el avin se desve, ser necesario conocer la direccin del viento y mediante el mtodo del paralelogramo determinar la direccin que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la direccin del desplazamiento deseado.En realidad la direccin del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deber estar alerta a ello y cambiar tambin la direccin de la velocidad del avin para as conservar la direccin de la velocidad resultante en la lnea del desplazamiento d . Este mismo principio se utiliza tambin en los barcos para la navegacin martima. 47. Vectores49TEST 1.-Dados los vectores mostrados:6.a =8I.-Al multiplicar un escalar positivo por un vector, se obtiene otro vector en el mismo sentido que el primero. II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se obtiene otro vector en sentido contrario al primero. III.- Un vector slo puede ser descompuesto en dos vectores.b =3 a) b) c) 2.-d) e)ba =5 a + 4b = 20Dos vectores tienen de mdulos 4 y 8, cul de los valores enteros puede ser resultante de ellos? a) b) c)3.-a + b = 11 a b = 11 a 2b = 23 13 10d) e)Respecto a los vectores, sealar verdadero o falso:2 14a) b) c) 7.-a) b)I.-c) d)a) b) c) 4.-VFF VVV VFVd) e)a) b) c)VVV VFV VFFd) e)e)9.-FFV FVFa)R = 2Cd)R = 3C 10.-b)R = 10 Nc)R = 2Ce)| R | = 20La resultante mxima es la suma de sus mdulos. La resultante mnima es la diferencia de sus mdulos. La resultante sigue la direccin del mayor. La mayor resultante se da cuando estn en el mismo sentido. La menor resultante se da cuando tienen sentidos contrarios.Su resultante es la suma de sus mdulos. Su resultante es la diferencia de sus mdulos. Su resultante es mayor que su diferencia. El mdulo de su resultante se obtiene por el teorema de Pitgoras. El mdulo de su resultante puede ser la suma de sus mdulos.Respecto a los vectores mostrados, sealar lo correcto respecto a su resultante. a) b) c) d) e)Dadas las relaciones, cul no corresponde?FFF FVVPara dos vectores ortogonales: a) b) c) d)Para dos vectores de igual mdulo que forman un ngulo de 120, marcar verdadero o falso: I.- Mdulo de su resultante es igual al de uno de ellos. III.- Mdulo de su resultante es el doble de uno de ellos. III.- El mdulo de su resultante es cero.5.-e)8.-FFV FVVd) e)Respecto a dos vectores sealar la alternativa incorrecta:Para dos vectores perpendiculares, sealar verdadero o falso. Mdulo de su resultante es igual al mdulo de su diferencia. II.- El mdulo de la resultante es mayor que el mdulo de la diferencia. III.- El mdulo de uno de los vectores es mayor que el de su diferencia.VFF VVF VVV10 N 20 N 30 N 0 N.A.Qu podrs decir de la resultante de los vectores mostrados? a) b) c) d) e)40 N 120 N 80 N 40 3 N 80 3 N 48. Jorge Mendoza Dueas50RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A 1.-problemas de aplicacin Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Solucin:b gb g F 1I 100 + 100 + 2b100gG J H 2KR = 102 + 102 + 2 10 10 cos 60 R=Solucin: Nos piden:Cul es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N de mdulo cada una, si forman entre s un ngulo de 90?5.-A=B+C......... (2)(2) en (1) 2.-......... (1)De la figura:R = 10 3 NR=A+B+CR = A + A R = 2AEn la figura, M es punto medio del vector A obte, ner el vector D en funcin de los vectores B y C .Solucin: R = 102 + 102 R = 10 2 N3.-Encontrar la magnir r tud del vector A + B sabiendo que A = 5 unidades, B = 8 unidades. Solucin:r r Observamos que los vectores A y B son perpendiculares entre si: R=A+B R = A2 + B2 R = 52 + 82 R = 89Solucin: t En el tringulo PQR: C=A+B A = C B ........ (1) t En el tringulo MPQ: A + B = D ........ (2) 2 t (1) en (2): CB +B=D 2R 9 , 4 unidades D= 4.-En el sistema mostrado, determinar el vector resultante en trminos del vector A .1 B+C 2ej 49. Vectores B51 3.-problemas complementariosHallar el mdulo del vector resultante, si: a =6 , b =81.-El mdulo de la resultante de dos vectores perpendiculares es 10 y cuando forman 120 es 2 13 . Hallar el mdulo del mayor de ellos. Solucin: t Primer caso: cuando son perpendiculares 22Solucin:22Podemos observar que:A + B = 102 A + B = 100 ........ (1)b = d+ e + f a+ c b + a = d + e + f + c ........ (1) Pero piden:t Segundo caso: cuando forman 120 22R = a + b + c + d + e + f ........ (2)213R = A + B + 2 A B cos 120Reemplazando (1) en (2):FG 1IJ H 2K= 100 + 2 A B R=2e2 13 j2R= a+b+ b+a =2 a+be j e jA B = 48 ........ (2)Ntese que a y b forman 90F GHR = 2a+ b = 2t Finalmente: de (1) y (2) A =8 2.-2a +b2I JK R = 2 62 + 10 2R = 20B =6Dos vectores tienen sus mdulos en la relacin de 5 a 6. La resultante de las dos forma 37 con el menor mdulo. Qu ngulo forman los vectores concurrentes?4.-En el paralelogramo, determinar la resultante del sistema, en trminos de los vectores A y B , (m y n son puntos medios).Solucin: En el tringulo ABC tan 37 =6 sen 5 + 6 cos 3 6 sen = 4 5 + 6 cos bSolucin:g b3 5 + 6 cos = 4 6 sen g15 + 18 cos = 24 sen 8sen 6 cos = 5Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A/2 y B /2.8 6 5 sen cos = 10 10 10 cos 37 sen sen 37 cos =bgsen 37 = Luego:1 21 2 37 = 30 = 67R = A + B + C + D ........ (1) 50. Jorge Mendoza Dueas52 Del tringulo (II):Del tringulo (I): C=A+B ........ (2) 2D=B+A ........ (3) 2(2) y (3)en (1):F GH 5 R = e A + Bj 2R=A+B+ A+5.-I F JK GHB A + B+ 2 2I JKSolucin:La figura muestra un trapecio, de vrtices A, B, C, D, sabiendo que M es punto medio del segmento AB, determinar el mdulo de la resultante de los vectores a y b . BC = 7 ; AD = 13 Solucin: Descomponiendo el vector a :Nos piden: a + b = ?a = p + q ........ (1) Descomponiendo el vector b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a + b = p + q + n + m 0 (de la figura)a+b=p+mDescomponiendo a : a = p + q ........ (1)Entonces: a + b = p + mDescomponiendo b :Segn los datos y la figura:b = m + n ........ (2)p = 10 ; m = 24 ; a + b = 26(1) + (2):Luego:a + b = p + m+ q+ n 222a + b = p + m + 2 p m cos 0 (de la figura)a+b = q+nb gb g262 = 102 + 24 2 + 2 10 24 cos Como q y n son paralelos:cos = 0 = 90a + b = q + n = 7 + 13Finalmente: 64 + + = 180a + b = 2064 + 90 + = 180 = 266.-Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ngulo para que la resultante de a y b sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ (MQ = 10 u; NP = 24 u).7.-En el siguiente grfico se muestra un tringulo con dos vectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determinar el mdulo del vector resultante. Adems: AM = MN = NC 51. Vectores53 Solucin: Creamos vectores q y p aprovechando los puntos medios; y le damos nombre a los vectores mostrados ( A y B)Solucin: Nos piden:Descomponemos los vectores y observamos que el vector MA y NC se anulan.R R=A+BDe la figura: A + q = 2p A = 2p q B + p = 2q B = 2q p A+B=q+p Con lo cual: Pero:R=p+qR =L ; p =L ; q =LLo cual se reduce a : Luego: R2 = p2 + q2 + 2pq cos b gb gL2 = L2 + L2 + 2 L L cos L2 = 2L2 + 2L2 cos cos = Equivalente a:1 = 120 2Con ello la figura correcta es:b gb gR = 4 2 + 22 + 2 4 2 cos 60 R = 4 + 16 + 8 R=2 78.-Hallar la medida del ngulo para que la resultante de los vectores mostrados tenga mdulo L .9.-En la figura se muestra un hexgono regular, determinar el vector resultante en trminos del vector C . 52. Jorge Mendoza Dueas54 Solucin:10.-Expresar el vectorx en funcin de los vectores r1 y r2 . G: baricentro M: punto medioAprovechando que el hexgono es regular, trasladaremos los vectores A y E a la parte inferior.Solucin: Ilustrando R=A+B+C+D+E En el tringulo (I):En el tringulo (II):C=B+EC=D+AOrdenando R:Analizando el tringulo CMAC= A+D + B+E +C 123 1231 r1 + r2 r +r + 3x = r2 x = r2 1 2 2 3 2eF GHj e jCCx=R = 3CI JK1 r2 r1 6ejPROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-problemas de aplicacin Es posible aplicar a un cuerpo simultneamente una fuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcan el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnitud de dicha fuerza (kN).4.-En la figura mostrada determinar las compor nentes del vector F (en r r r mdulo), F = d + eRpta. 10 Rpta. 2.-Dos fuerzas de mdulo F forman un ngulo de 120, determinar su resultante. Rpta. F3.-Si el vector C posee un mdulo de 5 unidades. Hallar el mdulo de la resultante del sistema mostrado.Rpta. 10 uFx = 9 Fy = 65.-r r r La figura muestra tres vectores A , B y C . El vector rer r r sultante de: B + C A , es el indicado en la figura por: 53. Vectores55 B 1.-(A)(B)(C)problemas complementariosr Hallar el mdulo de P para que la resultante del sistema sea una fuerza horizontal de 280 N. Rpta.2.(D) 6.-(E)3.-k 3Un jugador de ftbol est corriendo a una velocidad de 3 m/s, hacia el norte. Despus de una violenta colisin con otro futbolista, tiene una velocidad de 4 m/s, hacia el este. Cul de los vectores representa el cambio de su velocidad? porqu?Sea el vector A = (4 ; -3). Determinar un vector unitario en la direccin de A . Rpta.8.-Determinar en la figura que se muestra, el ngulo para que la resultante quede en el eje x . Rpta. = 30Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m.Rpta. 10 2 m7.-P = 56 10 N4$ 3$ i j 5 5Rpta.e AjSi: A = 2 $ ; B = 4 $ 3 $ ; C = 2 $ j j i i Calcular: A + B + C Rpta.9.-37La magnitud de la resultante de dos fuerzas vara desde un valor mnimo de 3 hasta un mximo de 12, a medida que vara el ngulo comprendido entre las fuerzas. Determinar el valor de la mayor de las fuerzas.4.-Rpta. 7,5 10.-Hallar la resultante del sistema vectorial (mdulo). Rpta.R =0En el siguiente conjunto de vectores. Cmo deben ser las componentes del vector D, si la resultante del sistema de vectores es cero? adems: A = 25; C = 30 y = 217. Rpta. (5; -4)5.-Los vectores A y B forman un ngulo Hallar el n. gulo entre A y B si: A = 3 $ + 4 $ ; B = $ + $ i j i j Rpta. 8 54. Jorge Mendoza Dueas56 6.-Hallar el mdulo de la resultante del sistema mostrado.8.-Sea un vector A = (6 ; 8) en las coordenadas xy, determine las nuevas coordenadas del vector A en un sistema de coordenadas xy, que resulta de girar el sistema xy anterior un ngulo = 16 en sentido antihorario. Qu ocurre con el mdulo? Rpta.9.-b gA = 8 ; 6 ; A = 10Hallar: q p; sabiendo que en el paralelogramo ABCD mostrado se cumple: AC = 5AE ; BC = 3BF y adems: EF = pAD + qAB .Rpta. 10 u 7.-Calcular la expresin vectorial del vector DE para que la resultante de DB , FG y DE (suma) sea nulo.Rpta. 2/310.-Hallar el mdulo de la resultante del sistema.Rpta: 45,5 uRpta. 2b $ i 55. Captulo4ESTTICA Concepto La esttica es una rama de la mecnica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actan sobre un cuerpo, para que ste se encuentre en equilibrio.EQUILIBRIO Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleracin ( a = 0 ). IlustracinPorqu est en equilibrio el cuerpo?. Est en equilibrio por que las tres fuerzas concurrentes y coplanares se anulan.FUERZA Es una magnitud que mide la interaccin que existe entre dos o ms cuerpos. Toda fuerza modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, adems de generar deformaciones (por mnima que sea) en dicho cuerpo. 56. Jorge Mendoza Dueas58B)IlustracinFuerzas de Campo Es aquella fuerza donde no interviene el contacto fsico entre los cuerpos, pero que actan a travs del espacio, a dicho espacio se le denomina campo.IlustracinToda fuerza modifica el estado de reposo de un cuerpoToda fuerza modifica el estado de movimiento de un cuerpo, adems de deformarlo.Unidades de Fuerza en el S.I. Newton (N)Otras Unidades kilogramo fuerza (kg-f = kg) gramo fuerza (g-f = g) libra fuerza ( lb-f = lb )CLASIFICACIN DE LAS FUERZAS RESPECTO A SU POSICIN 1.-FUERZAS EXTERNAS Son aquellas fuerzas que se presentan en la superficie de los cuerpos que interactan.IlustracinTIPOS DE FUERZAS A)Fuerzas de Contacto Se produce cuando resulta del contacto fsico entre dos o ms cuerpos.IlustracinRealmente hay muchas fuerzas externas que nos son familiares: El peso, la reaccin, la fuerza de rozamiento, etc.2.- FUERZAS INTERNAS Son las que mantienen juntas a las partculas que forman un slido rgido. Si el slido rgido est compuesto estructuralmente de varias partes, las fuerzas que mantienen juntas a las partes componentes se definen tambin como fuerzas internas; entre las fuerzas internas ms conocidas tenemos: La tensin y la compresin. 57. EstticaA)59Tensin (T)B)Es aquella fuerza que aparece en el interior de un cuerpo flexible (cuerda, cable) debido a fuerzas externas que tratan de alargarlo. Cabe mencionar que a nivel de Ingeniera la tensin o traccin como tambin se le llama, aparece tambin en cuerpos rgidos como en algunas columnas de una estructura.Compresin ( C) Es aquella fuerza que aparece en el interior de un slido rgido cuando fuerzas externas tratan de comprimirlo.IlustracinIlustracinROZAMIENTOCuando dos superficies estn en contacto y se intenta mover una de ellas respecto a la otra, siempre aparecen fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento que impiden el movimiento, por otra parte, estas fuerzas de rozamiento son limitadas y no evitarn el movimiento si se aplican fuerzas suficientemente grandes.CLASES DE ROZAMIENTO A)Por Deslizamiento Cuando un slido se desliza o trata de deslizar sobre otro.B)Por Rodadura Si un slido rueda sobre otro slido.IlustracinC)Por Viscosidad En los lquidos o gases.CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO A)Rozamiento Esttico Es la que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo.FUERZA DE ROZAMIENTO Es aquella fuerza que surge entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro, esta fuerza siempre es contraria al movimiento o posible movimiento.El valor de la fuerza de rozamiento esttico vara desde cero hasta un valor mximo, el cual lo adquiere cuando el cuerpo en contacto est a punto de moverse, pero sin conseguirlo (movimiento inminente). 58. Jorge Mendoza Dueas60 Este valor mximo de la fuerza de rozamiento esttico equivale a la fuerza mnima para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente frmula.LEYES DEL ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO 1La fuerza de rozamiento es independiente del rea de las superficies en contacto.2La fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad del cuerpo en movimiento, si su velocidad no es muy grande (entre 0,01 m/s y 20 m/s).3El valor del coeficiente de rozamiento depende del tipo de materiales de las superficies en contacto.4El coeficiente de rozamiento cintico (k) siempre es menor que el esttico (s).fs = s NSiendo: fs = fuerza de rozamiento esttico mximo s = coeficiente de rozamiento esttico N = reaccin normalB)Rozamiento Cintico Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece casi constante, si es que la velocidad no es muy grande. (Entre 0,01 m/s y 20 m/s).0 k s 1 skAcero sobre acero0,740,57Cobre sobre cobre0,530,36Vidrio sobre vidrio0,940,40Tefln sobre acero0,040,04Madera sobre madera0,500,25Piedra sobre piedra0,700,40SUPERFICIES EN CONTACTO fk = k NSiendo: fk = fuerza de rozamiento cintico k = coeficiente de rozamiento cintico N = reaccin normal 59. Esttica61LEYES DE NEWTON - 1ERA CONDICIN DE EQUILIBRIOLas leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la mecnica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton Principios Matemticos de la Filosofa Natural publicada en 1 686. , Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y 3ra Ley de Newton, de acuerdo con el orden que aparecen en esta obra citada. En este captulo, estudiamos la 1ra y 3ra ley, que nos permitirn analizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio de la esttica; la 2da ley ser estudiada en el captulo: Dinmica .era (Ley 1 era LEY DE NEWTON ( Ley de la cia) Inercia Inercia )Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento con una velocidad constante en lnea recta, a menos que sobre ella acte una fuerza .En este caso supondremos que los cubiertos y el mantel son completamente lisos, esto para evitar el rozamiento. La explicacin es la misma que el ejemplo anterior.Consideremos que un mvil cuya base inferior sea lisa, as como la suela de los zapatos de una persona. Inicialmente el microbs se mueve con velocidad v; como la persona se encuentra dentro del mvil, tambin estar movindose con la velocidad v. De pronto el mvil se detiene; pero la persona sigue movindose en lnea recta y con velocidad v, hasta que algo lo detenga. Por qu? porque el microbs se detuvo por accin de los frenos; pero quin o qu detuvo a la persona?. Nadie o nada, motivo por el cual la persona seguir movindose. v=0v vvIlustraciones: Para los ejemplos, idealizaremos varios casos: Supondremos que un caballo no tenga porosidades en su cuerpo, esto para evitar el rozamiento de los cuerpos. En la figura (izquierda) se observa una persona y un caballo en reposo. En la figura (derecha) se observa que el caballo se mueve bruscamente hacia la izquierda y la persona aparentemente se mueve hacia atrs. En realidad la persona no se va hacia atrs, sino ms bien queda atrs. Por qu? inicialmente la persona y el caballo estaban en reposo, luego el caballo se movi (por efectos que no estudiaremos todava): pero quin movi a la persona? Nadie o nada, motivo por el cual; se queda en su lugar o en el punto inicial.(Ley 3era LEY DE NEWTON (Ley de la AcReaccin) cin y la Reaccin) Si un cuerpo le aplica una fuerza a