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Física II: Termodinámica, ondas y fluidos

Índice

3 – LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ....................................................................................2

3.2 S ISTEMAS Y PROCESOS TERMODINÁMICOS..................................................................................................2 3.3 TRABAJO REALIZADO A CAMBIAR EL VOLUMEN.........................................................................................3

Ejemplo 3.1 Expansión isotérmica de un gas ideal.........................................................................................4 3.4 CAMINOS ENTRE ESTADOS TERMODINÁMICOS...........................................................................................5 3.5 ENERGÍA INTERNA Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ..............................................................6

Ejemplo 3.2 – Quemar el postre.......................................................................................................................8 Ejemplo 3.3 – Diagrama pV .............................................................................................................................9 Ejemplo 3.4 Trabajo en diagrama pV..............................................................................................................9 Ejemplo 3.5 Termodinámica del agua hirviendo.......................................................................................... 10

5.6 CLASES DE PROCESOS TERMODINÁMICOS.................................................................................................11 5.7 ENERGÍA INTERNA DE GAS IDEAL................................................................................................................ 13 5.8 CAPACIDAD CALORÍFICA DE UN GAS IDEAL............................................................................................... 14

Ejemplo 3.6 Enfriamiento de una habitación................................................................................................ 17 3.9 PROCESOS ADIABÁTICOS PARA UN GAS IDEAL........................................................................................... 18

Ejemplo 3.7 Compresión adiabática en un motor diesel .............................................................................. 21 Ejemplo 3.8 Trabajo efectuado en motor diesel............................................................................................ 22

PROBLEMAS ......................................................................................................................................................... 23

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3 – La primera ley de la termodinámica

3.2 Sistemas y procesos termodinámicos

Sistemas termodinámicos – sistema que puede interactuar (o intercambiar energía) con su entorno – 2 formas = trabajo W + calor Q

Procesos termodinámicos – cambios de estado del sistema

Tanto W que Q puede ser positivo o negativo

• 0Q > flujo de calor hacia el sistema - energía entra en el sistema

• 0W > el sistema hace un trabajo sobre su ambiente – energía sale del sistema

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3.3 Trabajo realizado a cambiar el volumen

Consideramos un gas en un cilindro con un pistón móvil ⇒ ejemplo censillo de un sistema termodinámico

Al expandir se en el cilindro el gas empuja la superficie de sus fronteras que se mueven hacia afuera 0W⇒ > el gas hace un trabajo sobre su ambiente – el principio también se aplica a sólido o líquido

• Suponga un área transversal del cilindro A y una presión p , la fuerza del gas sobre el pistón será F pA=

• El pistón se mueve de una distancia dx y el gas hace un trabajo W Fdx pAdx= =

• De otro lado el incremento de volumen será dV Adx=

(3.1) dW pdV=

Para un cambio finito de volumen:

(3.2) 2

1

V

V

W pdV= ∫

A presión constante: (3.3) ( )2 1W p V V= −

Y a volumen constante 0W =

También 0W > el gas se expande y 0W < el gas se contracta Si la presión es variable, se usara un grafico pV - la ecuación 3.2 corresponde al área debajo de la curva de variación de p en función de V

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Ejemplo 3.1 Expansión isotérmica de un gas ideal

El gas cambia de volumen de 1V a 2V a temperatura constante T Usando la ecuación 3.2

2

1

V

VW pdV= ∫

Usando la expresión nRTp

V= tenemos que

2

1

2

1

lnV

V

VdVW nRT nRT

V V= =∫

Como el gas se expande 2 1V V> y 0W > el sistema hace un trabajo sobre su entorno Como T es constante también tenemos la relación siguiente:

1 1 2 2p V p V= o bien 2 1

1 2

V pV p

=

Por lo tanto:

1

2

lnp

W nRTp

=

Como el gas se expande 2 1p p< y por lo tanto 0W >

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3.4 Caminos entre estados termodinámicos

Camino – cambio de un estado inicial a estado final – puede haber multitud de manera (estados intermediarios continuos) de llegar al mismo estado

El trabajo realizado por el sistema depende del camino – no solamente del estado inicial y final

Vimos también que Qel cambio de calor es equivalente a un trabajo mecánico – por lo tanto también Q depende del camino

Ej. Un gas en expansión libre (b) no hace trabajo – a la diferencia de un gas en expansión a temperatura constante en un cilindro con un pistón (a) – los dos estados final tie ne mismo volumen y temperatura – los dos estado finales son similares – pero llegamos a este con caminos diferentes

⇒ Un Ciclo – estado inicial = estado final, pero esto no quiere decir que W o Q son ceros durante el ciclo

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3.5 Energía interna y la primera ley de la termodinámica

La energía interna (U ) de un sistema es la suma de las energías cinéticas de todas sus partículas constituyentes, más la suma de todas las energía potenciales de interacciones entre ellas

IMPORTANTE – no incluye interacción con entorno

Durante un cambió de estado del sistema la energía interna puede cambiar de valor inicial

1U a un valor final 2U y se denota el cambio como: 2 1U U U∆ = −

Si agregamos calor a un sistema, sin realizar trabajo, la energía interna aumenta de U Q∆ =

Si el sistema efectúa un trabajo W (expansión sobre entorno) sin agregar calor, sale energía del sistema y el cambio de energía interna es U W∆ = −

En general: primera ley de la termodinámica

(3.4) U Q W∆ = −

(3.5) Q U W= ∆ +

A agregar calor, parte de la energía permanece en el sistema y otra parte puede efectuar un trabajo

La primera ley de la termodinámica = generalización del principio de la conservación de energía ⇒ incluye la transferencia de energía como calor equivalente al trabajo mecánico

• En todas las situaciones en que se parecía que la energía total no se conservara ha sido posible identificar nuevas formas de energía tal que la energía total esta conservada (Ej. eléctrica 2E∝ , magnética 2B∝ , relativista (fusión) 2E mc=

Aunque U K P= +∑ ∑ microscópica, no se puede calcular la energía de este modo ⇒ la descripción no es operativa = no se describe como determinar la energía a partir de cantidades físicas que no podamos medir directamente

Pero la definición termodinámica U Q W∆ = − es operativa porque podemos medir Q yW , pero solamente define U∆ no U

• No hay problema (similar a potencial) – definimos que la energía interna de un sistema tiene un cierto valor en alguien estado de referencia y luego usamos

U∆ para definir la energía interna en cualquier otro estado

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Si bien QyW dependen del camino U∆ no depende del camino ⇒el cambio de energía interna de un sistema durante un proceso termodinámico solamente depende del estado inicial y final

Como ( ), ,U U p V T→ el cambio de energía depende solamente de estado del sistema

Dos procesos importantes:

1. Cíclico – el estado inicial es igual al estado final 2 1U U⇒ = y Q W=

2. Sistema aislado – no realiza trabajo ni cambia calor con su entrono 0Q W= = y 0U∆ =

El ejemplo arriba del cuerpo humano no es realista ⇒ no es proceso cíclico – durante l a vida crecen órganos y músculos (aumenta masa) – también los múltiples procesos físicos-químicos son irreversibles ⇒ el sistema aumenta en entropía = el cuerpo envejece y muera

Cambios infinitesimales:

(3.6) dU dQ dW= −

(3.7) dU dQ pdV= −

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Ejemplo 3.2 – Quemar el postre

¿Cuantos tramos de escalera debe subir para quemar las 900 calorías que gano comiendo un postre si su masa es de 60 kg?

Sistema = Usted + Tierra

1 caloría = 4190 J

Asumimos eficiencia de conversión de energía alimentaría de 100%

La energía ingerida:

6J900 kcal 4190 3.77 10 J

kcalQ = ⋅ = ×

Para subir a una altura h se necesita hacer un trabajo contra la gravedad de la Tierra:

2

m60 kg 9.8 588 N

sW mgh h h= = ⋅ ⋅ = ⋅

Para que el estado final sea igual al estado inicial se necesita que W Q=

63.77 10 J 6410 m588 N

Qhmg

×= = = o 6.4 km

No es tan fácil quemar esta energía

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Ejemplo 3.3 – Diagrama pV

La figura muestra un proceso cíclico – el trabajo total es 500 JW = −

El trabajo es igual a la superficie debajo del camino – el trabajo en el tramo ab (expansión) es más chico que en el camino ba (compresión) por lo tanto 0W < - el entorno hace un trabajo sobre el sistema

Como el proceso es cíclico 0 500 JU Q W∆ = ⇒ = = − debe salir esta cantidad de calor del sistema

Ejemplo 3.4 Trabajo en diagrama pV

En el proceso ab se agrega 150 J de calor al sistema – en el proceso bd 600 J

Como no hay cambio de volumen en el proceso ab 0 150JW U Q= ⇒ ∆ = =

El proceso bd se efectúa a presión constante así que ( ) ( )( )4 3 3 3 3

2 1 8.0 10 Pa 5.0 10 m 2.0 10 m 240JW p V V − −= − = × × − × =

Por lo tanto 600J 240J 360JU Q W∆ = − = − =

El cambio total de energía durante el proceso abd es: 150J 360J 510JU∆ = + =

Como U∆ es independiente del camino durante el proceso acd 510JU∆ =

Pero ahora el trabajo debe ser diferente, sobre el tramo ac: ( ) ( ) ( )4 3 3 3 3

2 1 3.0 10 Pa 5.0 10 m 2.0 10 m 90JW p V V − −= − = × × − × =

Por lo tanto el cambio de calor debe ser 510J 90J 600JQ U W= ∆ + = + =

Siguiendo este camino el trabajo es menor y la cantidad de calor más baja que siguiendo el otro camino

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Ejemplo 3.5 Termodinámica del agua hirviendo

Necesitamos calcular el trabajo efectuado y el aumento de energía interna cuando 1 g de agua (1 cm3) se convierte en 1671 cm3 de vapor a presión constante de 1 atm ( 51.013 10× Pa).

El calor de vaporización es 6 J2.256 10

kgvL = ×

El trabajo es ( ) ( )( )5 6 3 6 32 1 1.013 10 Pa 1671 10 m 1 10 m 169JW p V V − −= − = × × − × =

El calor agregado al agua es el de vaporización:

3 6 J10 kg 2.256 10 2256JkgvQ mL −= = ⋅ × =

El cambio de energía interna esta igual por lo tanto a:

2256J 169J 2087JU Q W∆ = − = − =

El aumento de energía interna se asocia por mayor parte a las fuerzas moleculares que mantienen junta a las moléculas en el estado líquido

Estas fuerzas son atractivas así que las energías potenciales correspondientes son mayores después de que se hay realizado trabajo para separar las moléculas y formar vapor

Es como aumentar la energía potencial gravitatoria de un elevador alejándolo de l centro de la Tierra

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5.6 Clases de procesos termodinámicos

Tiene 4 clases específicos de procesos termodinámicos

1. Adiabáticos – sin transferencia de calor

2. Isobáricos – sin cambio de presión

3. Isotérmicos – sin cambio de temperatura

4. Isocóricos – sin cambio de volumen

Proceso adiabático – sistema aislado o donde el cambio es demasiado rápido para permitir cambio de calor

(3.8) 2 1U U U W∆ = − = −

Expansión 0W > la energía interna del sistema diminuye – el sistema hace trabajo sobre su entorno

Compresión 0W < la energía interna del sistema aumenta – el entor no hace un trabajo sobre el sistema

En general, 0U∆ > implica que T aumenta – el calor especifico es positivo

Ej. motor a explosión – la compresión es casi adiabática - T aumenta a comprimir mezcla aire + combustible – la expansión es también adiabática con descenso de T

Proceso isocórico – el trabajo 0W pdV= =

(3.9) 2 1U U U Q∆ = − =

Toda la energía agregada en forma de calor se queda dentro del sistema

Ej. calentar un volumen cerrado constante de sustancia

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Proceso isobárico – 0W ≠

(3.10) ( )2 1W p V V= −

Ej. Hervir agua a presión constante Proceso isotérmico – todo cambio de calor con el entorno debe se producir con lentitud tal que se mantenga el equilibrio térmico Como para un gas ideal ( )U U T→ entonces tenemos que 0U∆ = o sea Q W= toda la energía que entre en el sistema debe salir con trabajo Para sustancia no ideal ( ), 0U U p T U→ ⇒ ∆ ≠

La figura muestra un diagrama pV para cada uno de los 4 procesos para una cantidad constante de gas ideal

Para el proceso adiabático 0Q = , por lo tanto una aumentación de volumen baja la temperatura

Para el isocórico 0W = y una baja de presión produce una baja de temperatura

Para el proceso isotérmico 0U∆ = y la presión disminuye a medida que se expande el gas

Solamente aumenta la temperatura durante la expansión isobárica

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5.7 Energía interna de gas ideal

Par un gas ideal vamos a mostrar que ( )U U T→

Consideramos un gas en expans ión libre (ver figura) – no hay agregación de calor y este gas no hace un trabajo por lo tanto 0Q = , 0W = y 0U∆ =

Esto también esta correcto para cualquier sustancia – no solamente gas ideal

Si durante esta experiencia T cambia, pero no U entonces tenemos que ( ),U T V o

( ),U T p , pero si T no cambia, entonces ( )U U T→

La experiencia muestra exactamente esto: un gas ideal (gas con baja densidad) en expansión libre no produce cambio de temperatura ( )U U T⇒ →

La energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura

Un gas no ideal (o alta presión y baja temperatura), del otro lado, tiene 0T∆ ≠ durante su expansión por lo tanto ( ),U T p : las fuerzas intermoleculares cuando se expande el gas aumenta la energía potencial y la energía cinética disminuye 0T∆ < el gas se resfría

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5.8 Capacidad calorífica de un gas ideal

Ya conocemos dos variantes de la capacidad calorífica molar – a volumen constante VC y

a presión constante pC

Pero si ni p o V son constante tiene una infinidad de capacidades caloríficas

¿Del otro lado, porque VC es diferente de pC ?

La respuesta la da la primera ley de la termodinámica:

• En un aumento de temperatura con V constante, el sistema no efectúa trabajo y el cambio de energía interna U∆ es igual al calor agregado Q

• En un aumento de temperatura con p constante, V debe aumentar si no T

p nRV

= no podría ser constante

⇒ A expandir se, la sustancia hace un trabajo

(3.11) Q U W= ∆ +

Para un aumento de temperatura dado el cambio de energía interna de un gas ideal tiene el mismo valor sin importar el camino – por lo tanto esta ecuación indica que el aporte de calor a presión constante debe ser mayor que para un volumen constante porque se requiere energía adicional para el trabajo

Por lo tanto p VC C> del orden de 40%

En el caso del agua, el volumen disminuye durante el calentamiento entre 0 Co y 4 Co 0W⇒ < el aporte de calor es menor que en el caso de volumen constante y p VC C<

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Relación entre pC y VC para los gases ideales

Consideramos un proceso a volumen constante:

• colocamos n moles a temperatura T en un recipiente de volumen V y pongamos el recipiente en contacto térmico con un cuerpo más caliente

• Una cantidad de calor dQ fluye hacia el gas y su temperatura aumenta dT

(3.12) VdQ nC dT=

• La presión aumenta, pero el gas no hace trabajo 0dW =

(3.13) VdU Q nC dT= =

Consideramos ahora un proceso a presión constante:

• Cilindro con pistón movible – el pistón se mueve apenas lo suficiente para guardar la presión constante

• Pongamos el sistema en contacto con un cuerpo caliente

• A fluir el calor hacia el gas, ele se expande y efectúa un trabajo dW pdV=

(3.14) pdQ nC dT=

• En términos de temperatura

(3.15) dW pdV nRdT= =

Substituimos 3.14 y 3.15 en la expresión para la primera ley:dQ dU dW= +

(3.16) pnC dT dU nRdT= +

Donde el cambio de energía interna es igual al dado por la ecuación 3.13 (porque ( )U T ):

p VnC dT nC dT nRdT= +

(3.17) p VC C R= +

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Resulta que muchos gases reales a presión moderada se ajustan a la relación por gases ideales

Vemos en la tabla que las diferencias son muy cerca de J8.315

mol KR =

⋅

La capacidad calorífica molar de un gas esta relacionada con su estructura molecular – la última columna de la tabla da la relación entre calores específicos

(3.18) p

V

C

Cγ =

Como 1p VC C γ> ⇒ > Esta cantidad desempeña un papel importante en los procesos adiabáticos

Segundo la teoría cinética 32VC R= por lo tanto 3 5

2 2p V pC C R C R R R= + ⇒ = + =

Así 5 2 1.673 2

p

V

C RC R

γ = = = muy cerca de las valores medidas para gases monoatómicos

Para mayor parte de los gases biatómicos a temperatura constante 5 72 2V pC R C R= ⇒ =

y 7 21.40

5 2RR

γ = =

Recuerda que VU nC T∆ = ∆ que V sea constante o non

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Ejemplo 3.6 Enfriamiento de una habitación

Tiene 2500 moles de aire en una habitación típica Consideramos el aire con un gas ideal ( )1.40γ = y calculamos el cambio de energía a

presión constante cuando la temperatura baja de 23.9 Co a 11.6 Co (usando un aire acondicionado)

Forma más fácil de llegar a la respuesta

Para cualquier gas VU nC T∆ = ∆

Implica que solo necesitamos obtener VC

De la ecuación 3.17 y 3.18 tenemos que 1p V

V V V

C C R RC C C

γ += = = +

8.315 J J20.79

1 1.400 1mol K mol KVR

Cγ

⇒ = = =− − ⋅ ⋅

Entonces ( ) ( ) 5J2500 mol 20.79 11.6K 23.9K 6.39 10 J

mol KVU nC T ∆ = ∆ = − = − × ⋅

Otro método más complejo:

Determinar el cambio de volumen y determinar el trabajo W p V= ∆

Determinar el cambio de calor a partir de pQ nC T= ∆

Usar la primera ley U Q W∆ = −

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3.9 Procesos adiabáticos para un gas ideal

Un proceso es aproximadamente adiabático si el sistema es bien aislado u ocurre con tal rapidez que no hay tiempo para que ocurra un flujo de calor apreciable Durante un proceso adiabático 0Q = y U W∆ = −

En la figura consideramos una expansión de aV a bV 0W⇒ > por lo tanto la energía interna diminuye y la temperatura baja Si el punto (a) esta en un isoterma T dT+ el punto (b) será en un isoterma con T Por un gas ideal la curva adiabática siempre es más espinada que la isoterma Durante la compresión adiabática la situación invierte y la temperatura aumenta

• El aire de tubos de salida de los compresores de aire usados en gasolineras o los equipos para pintar con pistola o para llenar los tanques de buceo siempre es más caliente que el aire que entra el compresor ⇒compresión rápida casi adiabática

• Al inversa – enfriamiento adiabático – a abrir una botella gaseosa, el gas que se encuentra justo por encima de la superficie del líquido se expande rápidamente ⇒expansión rápida casi adiabática – la temperatura baja tanto que el vapor de agua se condensa formando nube

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IMPORTANTE en todos estos procesos calentar y enfriar implica suba o baja de temperatura ⇒ esto se debe al trabajo no al flujo de calor

• Para cualquier proceso adiabático o non tenemos VdU nC dT=

• El trabajo dW pdV= (3.19) VnC dT pdV= −

Si eliminamos p usando la ley de los gases ideales

V

nRTnC dT dV

V⇒ = −

0V

dT R dVT C V

⇒ + =

Pero como 1 1p V p

V V V

C C CRC C C

γ−

= = − = −

(3.20) ( )1 0dT dVT V

γ+ − =

Como 1 1 0γ γ> ⇒ − > ⇒ dV y dT siempre tienen signos diferentes

• Expansión adiabática 0dV > produce baja de temperatura 0dT <

• Compresión adiabática 0dV < produce una aumentación de la temperatura 0dT >

Para cambios finitos de temperatura podemos integrar 3.20 ( )ln 1 ln constanteT Vγ+ − =

1ln constanteTV γ −⇒ =

(3.21) 1 constanteTV γ − =

Entonces para dos estados inicial 1 1TV y final 2 2T V

(3.22) 1 11 1 2 2T V T Vγ γ− −=

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También podemos convertir 3.21 en una relación entre p y V

1 constantepV

VnR

γ − =

(3.23) constantepV γ =

Entonces para dos estados inicial 1 1p V y final 2 2p V

(3.24) 1 1 2 2p V p Vγ γ=

También podemos calcular el trabajo efectuado por un gas ideal durante un proceso adiabático 0Q = y W U=−∆ usando ( )2 1VU nC T T∆ = − (3.25) ( )1 2VW nC T T= −

Usando pV nRT=

(3.26) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21

1VC

W pV p V pV p VR γ

= − = −−

Si el proceso es una expansión la temperatura baja 1 2 1 1 2 2T T pV p V> ⇒ > el trabajo es positivo Una compresión produce el inversa 0W < Las condiciones de validad de las ecuaciones 3.22, 3.24 y 3.26 son

1. que los procesos son bastante rápido como para evitar intercambio de calor apreciable con el entorno 0Q =

2. pero bastante lento como para que el sistema no se aleja mucho del equilibrio térmico y mecánico

También ecuaciones son validas de manera aproximativa fuera de estas condiciones

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Ejemplo 3.7 Compresión adiabática en un motor diesel

La relación de compresión de un motor diesel es de 15 – el aire de los cilindros se comprime a 115 de su volumen inicial ( )1 2 15V V =

Vamos a calcular la presión y temperatura del aire comprimida cuando la presión inicial es 51.01 10 Pa× y 300T K=

En su mayor parte el aire es una mezcla de oxígeno y nitrógeno biatómicos (asumimos un gas idea con 1.40γ = )

Usando la ecuación 3.22:

( ) ( )1

0.412 1

2

300K 15 886KVT TV

γ −

= = =

Usando la ecuación 3.24

( )( )1.405 512 1

2

1.01 10 Pa 15 44.8 10 Pa 44atmVp pV

γ

= = × = × =

Si la compresión hubiera sido isotérmica la presión final habría sido mucho menor 15atm

Pero con la temperatura aumenta durante una compresión adiabática la presión aumenta mucho – esta alta temperatura permite al gas encender se espontáneamente

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Ejemplo 3.8 Trabajo efectuado en motor diesel

Si el volumen del cilindro es inicialmente 3 31 1.00L 1.00 10 mV −= = × cual es el trabajo

efectuado durante la compresión

Usando pV nRT= determinamos primero la cantidad de moles

( )( )( )( )

5 3 3

1 1

1

1.01 10 Pa 1.00 10 m0.0405mol

8.315J mol K 300Kp V

nRT

−× ×= = =

⋅

NOTA 2

NPa

m= y J N m= ⋅ por lo tanto

3

Pa 1J m

=

Usando la ecuación 3.25:

( ) ( ) ( )1 2

J0.0405mol 20.8 300K 886K 494J

mol KVW nC T T = − = − = − ⋅

El trabajo es negativo porque el gas se comprima – el entorno hace un trabajo sobre el gas Otra manera de determinar el trabajo es de usar directamente la formula

( )1 1 2 21

1W pV p V

γ= −

−

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Problemas

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