DEDICATORIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERUFACULTAD DE INGENIERA CIVILINTRODUCCIONLas vibraciones u oscilaciones constituyen uno de los movimientos ms importantes de la fsica, tanto terica como prcticaCuando una partcula realiza un movimiento peridico de ida y vuelta sobre la misma trayectoria alrededor de un punto fijo (equilibrio), se dice que realiza un movimiento oscilatorio.Es un tema muy importante pues en la teora una solucin puede representar diversos casos posibles, y en la realidad sus aplicaciones son diversas. Podemos considerar que todo sistema tiene una capacidad de vibracin que se manifiestan en diversas maneras.La caracterstica principal de una oscilacin es que el movimiento se repite en intervalos de tiempo iguales. Luego se define: Periodo (T): Es el tiempo en el cual se repite el movimiento oscilatorio. Ciclo: Es el movimiento completo de ida y vuelta que se repite en un periodo. Frecuencia (f): Es el nmero de oscilaciones que se dan en un intervalo de tiempo. f= n/T para n=1 f=1/TPoco se podra saber del mundo fsico sin la comprensin de la dinmica de un sistema oscilador.Las oscilaciones estn presentes sismos, terremotos, latido del corazn, en nuestros sentidos, cuando escuchamos, hablamos y hasta en nuestros latidos, en mareas, etc.Un movimiento oscilatorio puede ser: Movimiento Armnico Simple Movimiento Oscilatorio Amortiguado Movimiento Oscilatorio ForzadoEn este experimento trataremos de calcular algunos parmetros basndonos en los conocimientos del movimiento armnico simple, haciendo uso de su forma ms simple mediante el sistema MASA-RESORTE.FUNDAMENTO TEORICOMOVIMIENTO OSCILATORIO:Tambin llamado movimiento vibratorio, es un movimiento de un lado hacia otro respecto de su posicin de equilibrio sobre la misma trayectoria. Puede ser un movimiento unidimensional o bidimensional.Empezaremos estudiando el movimiento oscilatorio unidimensional, en este movimiento una partcula de masa m se mueve en una lnea recta y para hallar su posicin respecto de su posicin de equilibrio en un determinado tiempo debemos hallar una coordenada X o Y.Segn esto indicamos: Desplazamiento: es la distancia en la que se encuentra la partcula respecto de su posicin de equilibrio. Amplitud: Es el mximo desplazamiento que experimenta la partcula.Para poder hacer experimentar a una partcula un movimiento oscilatorio, la sacamos de su posicin de equilibrio y lo soltamos, al soltarla una fuerza recuperadora intentara que el cuerpo vuelva a su posicin de equilibrio, en un movimiento unidimensional (lineal) se considera que es:FR = -KxDonde x es el desplazamiento y tiene signo negativo porque se opone al movimiento.A este caso se le llama movimiento armnico simple (MAS).Sin embargo tambin debemos considerar la presencia de fuerzas resistivas que amortiguan el movimiento oscilatorio hacindolo llegar a su fin, y se considera:FA = -bvDonde b es constante de resistividad, v es velocidad y el signo negativo indica que esta fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del sistema oscilante.A este caso se le llama movimiento oscilatorio Amortiguado.

Tambin el movimiento oscilatorio puede estar afectado por la presencia de una fuerza constate que modifica su naturaleza.A este caso se le llama movimiento oscilatorio forzado.Un tipo particular es el movimiento armnico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente sin perder energa mecnica. Es un modelo ideal del movimiento oscilatorio. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. Una partcula que se mueve a lo largo del eje X, tiene un movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x se da desde la posicin de equilibrio, y vara en el tiempo de acuerdo con la relacin: x = Acos(t +)Donde A, , y son constantes del movimiento.Esta es una ecuacin peridica y se repite cuando t se incrementa en 2 radianes. Para dar un significado fsico a estas constantes, es conveniente graficar x en funcin de t (tiempo), como se muestra en la figura 1. La constante A se llama amplitud del movimiento, es simplemente el mximo desplazamiento de la partcula, ya sea en la direccin positiva o negativa de x. La constante se llama frecuencia angular, el ngulo se llama ngulo o constante de fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el desplazamiento y velocidad inicial de la partcula. Las constantes A y se determinan por condiciones iniciales. La cantidad (t + ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la comparacin del movimiento de dos sistemas de partculas.

Figura 1

El periodo T es el tiempo que demora la partcula en completar un ciclo de su movimiento, esto es, es el valor de x en el instante t + T. Se puede demostrar que el periodo del movimiento est dado por:T = 2/, sabiendo que la fase aumenta 2 radianes en un tiempo T demostraremos que el periodo del t + + 2 =(t+T) + Comparando, se concluye que T = 2/.Y la frecuencia queda determinada por: f = /2.Teniendo como unidad el Hertz (Hz).Reacomodando la ecuacin de la frecuencia, se obtiene la frecuencia angular , que se mide en rad/s, se puede hallar mediante: = 2f=2/TLa velocidad de una partcula que tiene un movimiento armnico simple se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuacin de posicin:

La aceleracin de la partcula est dada por:

Las curvas de posicin, velocidad y aceleracin con el tiempo se muestran en la figura 2. En estas curvas se ve como la fase de la velocidad difiere en /2 rad o 90 con la fase del desplazamiento. Esto es, cuando x es un mximo o un mnimo, la velocidad es

cero. De igual forma, cuando x es cero, la rapidez es un mximo o un mnimo. Del mismo modo, como la fase de la aceleracin difiere en rad o 180 con la fase del desplazamiento, cuando x es un mximo o un mnimo, la aceleracin es un mnimo o un mximo.La parte a) grafica la posicin, la parte b) grafica la velocidad y la parte c) grafica la aceleracin.Figura 2

La ecuacin x = Acos(t +) es una solucin general de la ecuacin diferencial que describe el movimiento armnico simple, donde la constante de fase y la amplitud A se deben elegir para satisfacer las condiciones iniciales del movimiento. La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o ms partculas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posicin inicial y la velocidad inicial de un oscilador, esto es, en t = 0, x = x0 y v = v0. Con esas condiciones, las ecuaciones se reducen a: x0 = Acos() v0 =- Asen()Estableciendo relaciones obtenemos:

tan() = - v0 / x0 A2= x02+( v0/ )2El ejemplo ms comn de este tipo de movimiento es el sistema: masa- resorte.MASA SUJETA A UN RESORTE.

Una masa sujeta al extremo de un resorte, con la masa movindose libremente sobre una superficie horizontal sin friccin o verticalmente en el aire, oscilar si se la aparta de su posicin de equilibrio donde el resorte se encuentra sin deformar, con un movimiento armnico simple. En la figura, se observa para una masa que oscila sobre una superficie horizontal sin friccin. Cuando la masa se desplaza una pequea distancia x desde su posicin de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dada por la Ley de Hooke: F=-K.x. Sabemos que esta fuerza siempre es opuesta al movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton, suponiendo que esta es la nica fuerza que acta sobre la masa m, se obtiene: F = kx = ma a+k/m=0Figura 3

La solucin de su ecuacin diferencial y la que describe su movimiento es:x = Acos(t +)Su periodo y frecuencia quedan determinados por:

Donde k: cte. del resorte, m: masa del objetoENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.

De la definicin de energa cintica, reemplazando la ecuacin de la rapidez de una partcula con movimiento armnico simple, se obtiene: Ec= mv2/2= m2 A2 sen2 (t +)/2La energa potencial elstica almacenada en un resorte, para cualquier deformacin x es:Ek= kx2/2= kA2 cos2 (t +)/2La energa mecnica total en el movimiento armnico simple, considerando que 2 = k/m o bien m2 = k, se puede escribir como:E = E c+ Ek = kA2 [sen2 (t +)+ cos2 (t +)]E = kA2/2De donde se deduce que la energa mecnica total en el movimiento armnico simple es una constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la amplitud. Este valor es igual a la mxima energa potencial elstica almacenada en un resorte cuando x = A, ya que en esos puntos v = 0 y no hay energa cintica.Por otro lado, en la posicin de equilibrio, x = 0 y por lo tanto EK= 0, adems en este punto la rapidez es la mxima, de tal manera que toda la energa es energa cintica, es decir en x = 0:

Como la superficie sobre la cual oscila el resorte es sin friccin, la energa se conserva, usando la ecuacin de conservacin de la energa, se puede escribir: E = Ec + Ek = cte

FSICA IIMOVIMIENTO VIBRATORIO DE UN RESORTE EN ESPIRAL