Movimiento Armónico Simple

Concepto:

Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una

fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde

su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la

posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta

respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de

fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a

su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo

de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio.

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de

equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos

en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio

es estable, pequeños desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza

que tenderá a llevar a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal

fuerza se denomina fuerza restauradora.

Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un

resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un

instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales

como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de

corriente alterna y muchísimos otros más.

Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de

movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales

sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre se

encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía

mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se

llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera

que la pérdida de energía se equilibre con la energía de entrada, el movimiento

se llama oscilación forzada.

En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los

mínimos locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un

entorno de un mínimo local.

Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación

diferencial que describe su movimiento es de la forma:

]1[0.2

0

2

xdt

xd

Con solución dada por:

)(.)( 0 tsenAtx

o bien,

)cos(.)( 0 tAtx

Ambas soluciones son válidas por la relación:

)2

(cos

xxsen

Luego:

)'́cos(.)2

cos(.)(.)( 000

tAtAtsenAtx

Dónde:

2'

Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es

análogo. De esta manera, tenemos:

Posición:

)(.)( 0 tsenAtx

Velocidad:

22

000 )()cos(.)( txAtAtv

Aceleración:

)(.)(.)(2

00

2

0 txtsenAta

Energía

Cinética

)t(cos.A.v.mK 0

222

0

2

2

1

2

1

Potencial:

)(..2

10

222

0 tsenAU

Mecánica

:

22

0 .2

1AUKE

Definición de algunos términos básicos:

Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.

Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.

Elongación, x(t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio

(x=0). Amplitud (A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la

posición de equilibrio.

Frecuencia angular (ω):

fT

.22

Fase

( t )

Fase inicial

( )

Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido

cuando conocemos, su frecuencia o el periodo.

Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular

uniforme.

Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con

amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos

parten simultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos

tienen el mismo periodo:

Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:

)(.)( 0 tsenAtx

)tcos(.A)t(v 00

)(.)( 0

2

0 tsenAta

Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un

punto cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):

jtyitxtr ˆ)(ˆ)()(

Y obtendremos:

jtsenAitAtr ˆ)(.ˆ)cos(.)( 00

jtAitsenAtv ˆ)cos(.ˆ)(..)( 0000

jtsenAitAta ˆ)(.ˆ)cos(..)( 0

2

00

2

0

Vemos que las componentes X de estas magnitudes coinciden con las propias del

movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como

una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la

misma circunferencia.

Relación entre el movimiento armónico simple y el péndulo simple.

Supongamos que de un hilo de longitud l suspendemos una bolita de masa m, lo

colgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de

equilibrio:

La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición

de equilibrio) es la componente tangencial del peso:

mgsenF

Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño:

l

xsen

En este caso podremos escribir:

l

xmgmgsenmgma . ;

De donde:

l

gx

l

g

dt

xdx

l

ga

l

xmgma

2

02

2

0

De la ecuación [1]

Como:

g

lT

l

g

TTT

222

2

2

222

g

lT

2

Por lo que se tiene que:

g

lT 2

Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento de un

resorte.

Supongamos que a un resorte, de constante de elasticidad k, le sujetamos un

objeto de masa m, lo estiramos o comprimimos una distancia x y lo hacemos

oscilar ligeramente respecto a su posición de equilibrio:

La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja al objeto a su posición de

equilibrio):

kxF

Si sumamos las fuerzas a lo largo de la línea de movimiento del resorte sobre la

superficie, podremos escribir:

m

kx

m

k

dt

xdx

m

k

dt

xdx

m

kakxma

2

02

2

2

2

0

De la ecuación [1]

Como:

k

mT

m

k

TTT

222

2

2

222

k

mT

2

Por lo que se tiene que:

k

mT 2

El periodo (T) de un sistema vibratorio es el tiempo que requiere este para

completar un ciclo o vibración completa. En el caso de la vibración, es el tiempo

total para el movimiento combinado, hacia atrás y hacia delante, del sistema. El

periodo es el número de segundos por ciclo.

La frecuencia (f) es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de

tiempo o el número de ciclos por segundo. Como (T) es el tiempo de vibración,

f = 1 t⁄ . La unidad de frecuencia es el Hertz Hz que equivale a un ciclo s⁄ .

La grafica de un movimiento vibratorio

El movimiento que se muestra a continuación es el de ascenso y descenso de

una masa sujeta en el extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde 𝐚

hasta 𝐛, o desde 𝐜 hasta 𝐝, o desde e hasta 𝐟. El tiempo que transcurre en

un ciclo es 𝐓, o sea el periodo.

El desplazamiento (x o y ) es la distancia de la posición del objeto que vibra,

medida desde la posición de equilibrio (posición normal de reposo), es decir,

desde el centro de su trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se

llama amplitud.

Una fuerza restauradora es aquella que se opone al desplazamiento del

sistema; es necesaria para que ocurra una vibración. En otras palabras, es una

fuerza cuya dirección siempre es tal que empuja o hala el sistema a su posición

de equilibrio (reposo normal).En el caso de una masa en el extremo de un

resorte, al estirar el resorte, este tira de la masa hacia atrás hasta llevarla a

su posición de equilibrio, mientras que un resorte comprimido la empuja hacia

atrás hasta llevarla también a la posición de equilibrio.

Movimiento armónico simple (M.A.S) es el movimiento vibratorio de un sistema

que obedece la ley de Hooke. Debido a que la semejanza de su grafica con las

curvas de las funciones seno y coseno, el M.A.S se llama con frecuencia

movimiento senoidal. Una característica central del M.A.S es que el sistema

oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que hace que el movimiento

armónico sea “simple”.

Un sistema Hookeano (Un resorte, un alambre, una varilla, etc.) es aquel que

regresa a su configuración original después de haber sido deformado, y a

continuación, dejado en libertad. Es más, cuando ese sistema se estira una

distancia x (para compresión, x es negativa), la fuerza de restitución ejercida

por el resorte se expresa por la ley de Hooke

F = −kx

El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene direccion

opuesta a la deformacion. La constante del resorte k tiene unidades deN m⁄ y

es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoria de los resortes

obedecen la ley de Hooke si las deformaciones son pequeñas.

En algunas ocasiones es util expresar dicha ley en terminos de la fuerza

externa

Fext necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad x. Esta fuerza es el

negativo de la fuerza restauradora , y por lo tanto

Fext = kx

La energía potencial elástica almacenada en un resorte de Hooke (EPe) que se

deforma una distancia x es 1

2 kx2 . Si la amplitud del movimiento es x0 para una

masa sujeta en el extremo de un resorte, entonces la energía de vibración del

sistema es 1

2 kx0

2 para todo tiempo. Sin embargo, esta energía está

completamente almacenada en el resorte cuando x = ± x0 , esto es, cuando la

masa tiene su máximo desplazamiento.

El intercambio de energía entre la energía cinética y la energía potencial

ocurre constantemente en un sistema que vibra. Cuando este pasa por su

posición de equilibrio, la EC = máxima y la (EPe) = 0 . Cuando el sistema tiene su

máximo desplazamiento, entonces EC = 0 Y la EPe = máxima . De la ley de la

conservación de la energía, en un sistema en el que no hay pérdidas por fricción

EC = EPe= constante.

Para una masa m que se encuentra en el extremo de un resorte (cuya propia

masa es despreciable), esta se convierte en

1

2mv2 +

1

2kx2 =

1

2kx0

2

Donde el movimiento de x0 es la amplitud del movimiento.

La rapidez en un M.A.S. esta dada por la ecuación anterior de la energía

|v| = √(x02 − x2)

k

m

La aceleración en el M.A.S. esta dada por la ley de Hooke, F = −kx y F = ma.

Igualando estas dos ecuaciones por F nos da

a = −k

mx

El signo menos indica que la dirección de a ⃗⃗ (y F⃗ )siempre es opuesta a la

dirección del desplazamiento x ⃗⃗ . Téngase presente que ni F ⃗⃗ ni a ⃗⃗ son constantes.

Circulo de referencia

Supóngase que un punto P se mueve con rapidez constante v0 alrededor de un

círculo, como se muestra en la siguiente imagen. Este círculo se llama círculo de

referencia para el M.A.S. El punto A es la proyección del punto P sobre el eje x,

que coincide con el diámetro horizontal del círculo. El movimiento del punto A.

De un lado hacia otro del punto O como centro en el M.A.S. La amplitud del

movimiento es x0 , que es el radio del círculo. El tiempo que emplea P en dar

una vuelta alrededor del círculo es el periodo T del movimiento. La velocidad,

v⃗ 0, del punto A tiene un componente escalar en x de vx = v0 sen θ

Cuando esta cantidad es positiva, v⃗ x apunta en dirección positiva de las x;

cuando es negativa,v⃗ x, apunta en dirección negativa de las x.

Periodo en el M.A.S.: El periodo Ten un M.A.S. Es el tiempo que emplea el

tiempo P en dar una vuelta al círculo de referencia, por lo tanto,

T =2πr

v0 =

2πx0

v0

Pero v0 es la rapidez máxima del punto A, es decir, v0 es el valor de |vx| en el

M.A.S. cuando x = 0:

|vx| = √(x02 − x2)

k

m

Da

v0 = x0√k

m

De donde se puede obtener el periodo de M.A.S.

T = 2π√m

k

Para un resorte de Hooke.

Aceleracion en terminos de T: eliminando la cantidad km⁄ entre las dos

ecuaciones a = −(k m⁄ )x y T = 2π√m k⁄ , se encuentra

a = −4π2

T2x

El péndulo simple describe de manera aproximada un M.A.S. si el ángulo de

oscilación no es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud

L en un lugar donde la aceleración de la gravedad es g, esta dado por

T = 2π√L

g

El movimiento senoidal (o M.A.S) se puede expresar analíticamente; podemos

ver que el desplazamiento horizontal del punto P esta dado por x = x0 cos θ .

Como θ = ωt = 2πft , donde la frecuencia angular ω = 2πf es la velocidad

angular del punto de referencia localizado en el círculo, de donde

x = x0 cos 2πft = x0 cosωt

En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto P esta dado

por

y = x0 sen 2πft = x0 senωt

vx = v0 sen 2πft

La amplitud es el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio

Y es de 0.75 cm. El periodo es el tiempo empleado para completar un circulo ,

por ejemplo, el utilizado de A hasta B .Por esto el periodo es de 0.20 s. La

frecuencia es

f =1

T =

1

0.20s= 5.0 ciclos s⁄ = Hz

Un resorte realiza 12 oscilaciones en 40 s. Calcular el periodo y la frecuencia

de oscilación

T =intervalo de tiempo

oscilacion efectuadas=

40s

12= 3.3s

f =oscilacion efectuadas

intervalo de tiempo=

12

40s= 0.30Hz

Cuando una masa de 400g se cuelga un resorte vertical, el resorte se estira 35

cm. ¿Cuál es la constante del resorte, y cuál será el nuevo alargamiento si

agregamos una masa de 400 g a la que se colgó primero?

Utilizamos Fext = ky, donde

Fext = mg = (0.400 kg)(9.81 m s2⁄ ) = 3.92 N

Para obtener

k =F

y

(3.92N)

0.35m= 11 N m⁄

Con la carga adicional de 400 g, la fuerza total que estira el resorte es 7.84 N.

Por consiguiente

y =F

k=

3.92 N

11.2N m⁄= 0.70 m = 2 × 35 cm

Como se puede observar, cada carga extra de 400 g estira el resorte la misma

cantidad, ya sea que el resorte este o no cargado.

a) Considérese que pasa cuando a la masa se le da un desplazamiento x > 0.

Un resorte se alarga una distancia x. Cada uno de ellos ejercerá una

fuerza de magnitud (20N m⁄ )x sobre la masa en dirección contraria al

desplazamiento. Por ello la fuerza restauradora será

F = −(20 N m⁄ )x − −(20 N m⁄ )x = −(40 N m⁄ )x

Comparado con F = −kx

Se puede ver que el sistema tiene una constante de resorte de 40 N m⁄ . Por lo

mismo,

T = 2π√m

k= 2π√

0.30 kg

40 N m⁄= 0.54 s.

b) Cuando la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, cada resorte se

estira una distancia y , la fuerza neta de desplazamiento sobre la masa

es entonces

F = −(20 N m⁄ )y − (20 N m⁄ )y = (40 N m⁄ ) y

Comparando con F = −ky la constante k resulta ser 40 N m⁄ , la misma que

en a). Por consiguiente, en esta situación resulta ser también 0.54 s.

Hidrostática

La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los

fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que

alteren su movimiento o posición. Los principales teoremas y Principios

que respaldan el estudio de la hidrostática son La Ecuación Fundamental

de la Hidrostática, el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.

Un fluido es un conjunto de moléculas que están dispuestas al azar y se

mantienen juntas por medio de débiles fuerzas de cohesión, así por

fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente. Líquidos y gases son

fluidos. Para explicar efectos como el empuje hidrostático que actúa

sobre un cuerpo sumergido y la fuerza ascensional que actúa sobre el

ala de un avión primero, consideramos la mecánica de un fluido en

reposo, es decir, estática de los fluidos.

Peso especifico

El peso específico ω de una sustancia es el peso de una unidad de

volumen de dicha sustancia. En los líquidos, ω puede considerarse

constante para las variaciones ordinarias de presion. El peso especifico

del agua para las temperaturas mas comunes es de 1000 kg m3⁄

Densidad de un cuerpo ρ(ro) = masa por unidad de volumen = ω g⁄ . En el

sistema técnico de unidades, la densidad del agua es

1000 9,80665 = 101,972(≈ 102)⁄ UTM m3⁄ o kg seg2 m4⁄

Presión: Los fluidos no sostienen esfuerzos cortantes ni esfuerzos, por

lo que el único esfuerzo que puede ser ejercido sobre un cuerpo

sumergido en un fluido estático es el que tiende a comprimir el cuerpo

desde todos lados. En otras palabras, la fuerza ejercida por un fluido

estático sobre un objeto es siempre perpendicular a las superficies del

objeto.

La presión en un fluido se puede medir con el aparato que se muestra en

la siguiente figura. Este aparato consta de un cilindro al vacío que

encierra un embolo ligero conectado a un resorte. Cuando el aparato se

sumerge en un fluido, este presiona sobre la parte superior del embolo y

comprime el resorte hasta que la fuerza hacia dentro ejercida por el

fluido queda balanceada por la fuerza hacia afuera ejercida por el

resorte. La presión del fluido se puede medir directamente si el resorte

se calibra de antemano.

Si F es una magnitud de la fuerza ejercida sobre el embolo y A es el

área superficial del embolo, entonces la presión P del fluido en el nivel

al cual el aparato se haya sumergido se define cómo la razón F A⁄ .

P =F

A

La presión es una cantidad escalar porque es proporcional a la magnitud

de la fuerza sobre el embolo. Si la presión varía sobre un área, podemos

evaluar la fuerza infinitesimal

dF = PdA (i)

Donde P es la presión en la ubicación del área dA. La presión ejercida

por un fluido varía con la profundidad. Por lo tanto, para calcular la

fuerza total ejercida sobre una pared vertical plana de un recipiente,

debemos integrar la ecuación (i) sobre el área superficial de la pared.

Debido a que la presión es la fuerza por unidad de área, tiene unidades

de Newton por metro cuidado (N m2⁄ ) en el sistema SI. Otro nombre

para la unidad de presión del SI es el pascal (Pa)

𝟏 𝐏𝐚 = 𝟏 𝐍 𝐦𝟐⁄

La flotación es un fenómeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua

parece pesar menos que en el aire. Si el cuerpo es menos denso que el

fluido, entonces flota. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y

un globo lleno de helio flota en el aire.

El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo está parcial o

totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba

sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para

demostrar este principio, consideremos una porción arbitraria de fluido

en reposo. En la figura a), el contorno irregular es la superficie que

delimita esta porción de fluido. Las flechas representan las fuerzas que

el fluido circundante ejerce sobre la superficie de frontera.

Todo el fluido está en equilibrio, así que la suma de todas las

componentes y de fuerza sobre esta porción de fluido es cero. Por

tanto, la suma de todas las componentes y de las fuerzas de superficie

debe ser una fuerza hacia arriba de igual magnitud que el peso mg del

fluido dentro de la superficie. Además, la suma de los momentos de

torsión sobre la porción de fluido debe ser cero, así que la línea de

acción de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe

pasar por el centro de gravedad de esta porción de fluido.

Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo

reemplazamos por un cuerpo sólido cuya forma es idéntica (b). La presión

en cada punto es exactamente la misma que antes, de modo que la fuerza

total hacia arriba ejercida por el fluido sobre el cuerpo también es la

misma, igual en magnitud al peso mg del fluido que se desplazó para

colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arriba la fuerza de

flotación que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción de la

fuerza de flotación pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado

(que no necesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).

Principio de Arquímedes. (a) Un elemento de un fluido en equilibrio. La

fuerza de flotación del fluido circundante es igual al peso del elemento,

(b) Si el elemento de fluido se sustituye por un cuerpo de idéntica

forma, el cuerpo experimenta la misma fuerza de flotación que en (a).

Esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado.