TRABAJO COLABORATIVO FASE 2PROBABILIDAD

Diana Carolina Leal Gmez Cdigo: 63.398.200Adriana Maria Bolivar GarzonCodigo: 63.447.424Yamid CaballeroCodigo:Sneidi MosqueraCodigo:

TUTORA: AZUCENA GIL.

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNADBUCARAMANGAMAYO-2015

INTRODUCCIN

La probabilidad es una disciplina terico practica que ha estado presente durante muchos aos, esto no es ajeno a toda las actividades que se realizan en el diario vivir pues en muchos casos se ha hecho uso de la probabilidad para predecir ciertos acontecimientos, de ah la importancia del estudio de este curso que nos lleva a conocer sin nmero de situaciones y a realizar ejercicios prcticos relacionados con la probabilidad. En el desarrollo de esta unidad estudiaremos variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.

UNIDAD 2: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.VARIABLE ALEATORIASE DENOTA

Una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorioUna letra mayscula, tal comoX.

SE DEFINE COMO

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Una variable aleatoriaXesdiscretasi el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).

PARAMETROS DE UNA V.A

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADVALOR ESPERADOVARIANZA

La varianza de una variable aleatoria discretaXcon mediaX y funcin de probabilidad f(x), es:2 V(X ) E(X )2 [(x )2 f (x)]

Llamadomediaoesperanza matemtica de una variable aleatoria discretaXes una medida de posicin para la distribucin deX.

BINOMIAL: El experimento consiste en n intentos repetidos

HIPERGEOMETRICA: Una muestra aleatoria de tamao n se selecciona sin reemplazo de un total de N resultados o artculos totales

POISSON: Ocurren en un intervalo de tiempo dado o regin especfica indicado por t.

GEOMETRICA: Si repetidos intentos independientes pueden resultar en un xito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad de q = 1-p

VARIABLE ALEATORIA.

Unavariable aleatoria una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Ellas se denotan con una letra mayscula, tal comoX. Se dice queXes aleatoria. Involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral. Se defineXcomo una funcin porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numricas reales. Se define como variable aleatoriaXla suma de los valores de las dos caras de los dados.

El beneficio en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular.Se requiere primero definir claramente la variable aleatoria.La siguiente simbologa: {X=x} denotar el evento formado por todos los resultados para los que;X=xyP(X=x) ser la probabilidad de dicho evento.

VARIABLE DISCRETA.

Una variable aleatoriaXesdiscretasi el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).Ladistribucin de probabilidadde una variable aleatoriaXes una descripcin del conjunto de posibles valores deX, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribucin bien puede ser una grfica, una tabla o una ecuacin que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen ms til de un experimento aleatorio.Toda distribucin de probabilidad debe satisfacer uno de los dos requisitos siguientes:

ELVALOR ESPERADO

Llamadomediaoesperanza matemtica de una variable aleatoria discretaXes una medida de posicin para la distribucin deX. Se simboliza con.Se calcula al sumar el producto de cada valor deX con su probabilidad correspondiente. La media o valor esperado de una variable aleatoria discretaX es:

La siguiente distribucin de una variable aleatoria X.

X 0 1 2 f(x) 0,04 0,32 0,64

La media est dada por: XE(X ) (00,04) (10,32) (20,64) 1,6 LAVARIANZA.De una variable aleatoria es una medida de la dispersin de la distribucin de probabilidad de sta. Se calcula ponderando el cuadrado de cada desviacin con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviacin. La varianza de una variable aleatoria discretaXcon mediaX y funcin de probabilidad f(x), es:2 V(X ) E(X )2 [(x )2 f (x)]

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Debemos partir de la definicin de variable aleatoria. Los valores de esta variable estn determinados por las oportunidades de los resultados de un experimento. En otras palabras, cada miembro del espacio muestral asigna un valor numrico a la variable. Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus nmeros discretos con cierta probabilidad. Un ejemplo de una variable continua discreta podra ser la estatura de una persona, la presin arterial, tiempo de vida de una clula, volumen de lluvia que cae en un da en una selva, la resistencia a la tensin, en kilos por centmetro cuadrado, de un cable de acero de 1 cm de dimetro.Las siguientes son las clases de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas que existen y que sern explicadas seguidamente: binomial, hipergeomtrica, geomtrica, poisson.DISTRIBUCION BINOMIAL Las ms utilizadas dentro de las probabilidades discretas. Su aplicacin se da en reas como Inspeccin de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigacin de opiniones entre otras. Estas distribuciones enfrentan circunstancias cuando los resultados pertenecen a dos categoras importantes: en que ocurra un evento determinado o que no lo haga, este experimento aleatorio es llamado Ensayo de Bernoulli. Los dos resultados posibles son denotados por xito y fracaso y se define por p la probabilidad de un xito y por 1-p la probabilidad de un fracaso. Experimento Binomial se da cuando un experimento aleatorio que consiste en n ensayos repetidos tales que los ensayos son independientes, cada ensayo es de tipo Bernoulli, la probabilidad de xito de cada ensayo denotado por p permanece constante. La variable X de un experimento Bonomial que corresponde al nmero de ensayos donde el resultado es xito tiene una distribucin Binomial con parmetros p y n= 1,2..y su funcin de probabilidad es: La denotacin de probabilidad del fracaso q=1-p la funcin se propiedad Binomial se simplifica La funcin de la distribucin Binomial acumulada es La media y la varianza de una variable aleatoria Binomial depende solo de los parmetros p y n y DISTRIBUCION HIPERGEOMTRICA El muestreo es sin reemplazo, caso en el cual los ensayos no son independientes.Sea N el nmero de elementos de un conjunto de los cuales K son determinados como xito y N-K como fallas, de termina la probabilidad de x xitos en n ensayos de los N elementos del conjunto donde Distribucin Hipergeomtrica cuando la variable X es el nmero de xitos en la muestra y la funcin de probabilidad estad dad por La distribucin Hipergeomtrica acumulada es La media y la varianza de una variable aleatoria Hipergeomtrica X con parmetros N, k y n son: DISTRIBUCION GEOMTRICA Se realizan ensayos Bernoulli con una probabilidad constante de xitos p en la el nmero de ensayos no es fijo, se realizan constantemente hasta obtener el primer xito. Sea la variable X el nmero de de ensayos realizados hasta hallar el xito, se maneja por una distribucin geomtrica con parmetros p y se expresa *p XX=1,2, y simplificada queda gLa distribucin geomtrica acumulada es :La varianza y la media de una variable aleatoria geomtrica son DISTRIBUCION DE POISSON La distribucin de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el nmero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o regin especfica indicado por t, es: p(x, ) = p(x, t) = e-t (t) x / x! x: 0, 1, 2, . Donde t es la tasa promedio de resultados por unidad de tiempo o regin y e = 2.71828 = 2 = t Cuando n tiende a y p tiende a 0 y = np permanece constante: se aproxima binomial a la poisson, esto es b(x, n, p) p(x, )DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA O DISTRIBUCIN PASCALGeneralizacin de la distribucin geomtrica donde le valor aleatorio X es el nmero de ensayos Bernoulli efectuadas hasta que se obtiene r xitos con una probabilidad constante de xitos p.X tiene una distribucin Binomial negativa on parmetros p y r=1,2, 3 x=r, r+1, r+r+2+La media y la varianza de una variable aleatoria Binomial negativa X con parmetros p y r son La funcin de la distribucin Binomial negativa acumulada es

ESTUDIO DE CASO - MISCELANEA DE EJERCICIOS UNIDAD 2ESTUDIO DE CASOSi usted fuera el jefe, habra considerado la estatura como criterio en su seleccin del sucesor para su trabajo? Daniel Slegiman analiz en su columna de la revista Fortuned sus ideas acerca de la estatura como un factor en la decisin de Deng Xiaoping para elegir a Hu Yaobang como su sucesor en la presidencia del Partido Comunista Chino. Como afirma Slegiman, los hechos que rodean el caso despiertan sospechas al examinarlo a la luz de la estadstica. Deng, segn parece solo media 154 cm de alto, una estatura baja incluso en China. Por consiguiente al escoger a Hy Yaobang, que tambin tena 154 cm de estatura, motivo algunos gestos de desaprobacin porque como afirma Sleigman las probabilidades en contra de una decisin ajena a la estatura que dan lugar a un presidente tan bajo como Deng son aproximadamente de 40 a 1. En otras palabras, si tuviramos la distribucin de frecuencias relativas de las estaturas de todos los varones chinos, solo 1 en 40 es decir 2,5% tendran menos 154 cm de estatura o menos.

Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de pases como Estados Unidos y por tanto, es difcil obtener las estadsticas de salud de la poblacin actual china. Sin embargo, afirma que en general se sostiene que la longitud de un nio al nacer representa el 28,6% de su estatura final y que en la China la longitud media de un nio al nacer era de 48 cm.

De esto Seligman deduce que la estatura promedio de los varones adultos chinos es: 48 * 100 / 28.6 = 167,8 cm.

El periodista asume entonces que la distribucin de las estaturas en China sigue una distribucin normal al igual que en pases como estados Unidos con una media de 167,8 cm y una desviacin estndar de 6,8 cm

INFORME A PRESENTAR: Prepare un informe en el que como mnimo, incluya: 1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varn adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm SOLUCION Media = 167,8 Desviacin = 6,8

154 167,8 2,12%

2. Los resultados de la pregunta 1, concuerdan con las probabilidades de Seligman? SOLUCION:La probabilidad dadA por Seligman es de 1/40 es decir de 0,025 y la probabilidad terica segn la distribucin normal es de 0,0212. Un valor muy cercano que concuerda con la premisa de Seligman. 3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman Hay algn error bsico en su razonamiento? SOLUCION:Existe un error en el razonamiento de Seligman. Relacionar las probabilidades de una decisin (a favor o contra) con las probabilidades de ser ms alto o ms bajo de un umbral de estatura. 4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su suceso SOLUCION:Se considera en base a los resultados anteriores que Deng Xiaping si tomo en cuenta la estatura para la eleccin de su sucesor, debido a que la probabilidad de que la estatura de un varn chino adulto sea menor de 154 cm es de 2,12% y esto implica que la mayora de las personas son de una altura superior porque le se deduce que Deng si tom en cuenta la estatura para su decisin.

EJERCICIOS CAPITULO 4VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD1.- Un embarque de 8 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es una variable aleatoria discreta que representa el nmero de unidades defectuosas que compra el hotel: a.- Encuentre la funcin de probabilidad f(x) b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviacin estndar S(x)SOLUCION a) N=8 televisores= Total de la problacinn.K=2=unidades defectuosas.n=3 compra tres televisores=muestra.X= variable aleatoria discreta, que puede ser 0, 1 y 2 las unidades defectuosas que le salgan en la muestra.

Usamos las siguientes formulas:

x012

F(x)=P(X=x)10/2815/283/28

b) Valor esperado E(x)

La Varianza:

Desxviacin estndar:

3.- Una empresa ha medido el nmero de errores que cometen las secretarias recin contratadas a lo largo de los ltimos tres aos (X), encontrando que stas cometen hasta cinco errores en una pgina de 20 lneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente funcin de probabilidad. Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa mximo 2 errores? Cul es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores?

Solucin: La probabilidad de que cometa mximo 2 errores es:f(0) + f(1) + f(2) = 0,50 + 0,28 + 0,07 = 0,85

La probabilidad de que cometa exactamente 2 es:f(2)=0,07

6.- Suponga que un comerciante de joyera antigua est interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una prdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cul es la ganancia esperada del comerciante.

La ganancia esperada del comerciante es de 70.

EJERCICIOS CAPITULO 5

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD1.- Se sabe que el 75% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 6 ratones, encuentre la probabilidad de que: a.- ninguno contraiga la enfermedad b.- menos de 2 contraigan la enfermedad c.- ms de 3 contraigan la enfermedadSolucin:Nmero de pruebas= 6Probabilidad de xito= 0,75Probabilidad de fracaso= 0,25 Ninguno contraiga la enfermedad:

Menos de 2 contraigan la enfermedad

Ms de 3 contraigan la enfermedad

2. Un estudio examin las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio revel que 70% cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, slo disfrazan el problema real. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:

a.- Cul es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinin?

b.- Cul es la probabilidad de que mximo 3 tengan esta opinin?

c.- De cuantas personas se esperara que tuvieran esta opinin

5. En el metro de la ciudad de Medelln, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estacin, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estacin ms de tres minutos es de 0,20. a- Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez, en la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo? b- Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo

DESARROLLOa) Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez, en la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo.x = 4 (Estacin)p = 0,2q = 0,8 (Porcentaje de Rechazo)r = 1 (Ocurrencia)

La probabilidad de que el metro se detenga ms de tres minutos por primera vez en la cuarta estacin es de 10,24%

b)Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo.x = 1, 2, 3 (Estacin)p = 0,2q = 0,8 (Porcentaje de Rechazo)r = 1 (Ocurrencia)

La probabilidad de que el metro se detenga ms de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estacin es de 48,8%

11.- Un club de estudiantes extranjeros tiene entre sus miembros a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona al azar un comit de 4 personas, Determine la probabilidad de que todas las nacionalidades estn representadas?DatosCanadienses=2x1=1n=4Japoneses=3x2=1Italianos=5x3=1Alemanes=2x4=1

La probabilidad de que todas las nacionalidades estn representadas es de 0.1212

EJERCICIOS CAPITULO 6

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

1. Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente normal con una media de 115 y una desviacin estndar de 12. Si la universidad requiere de un coeficiente intelectual de al menos 95:

a.- Cuntos de estos estudiantes sern rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?

De los aspirantes sern rechazados 30 personas.

b.- Si se considera que un coeficiente intelectual mayor a 125 es muy superior Cuntos de estos estudiantes tendran un coeficiente intelectual muy superior al del grupo?

CI>125 Muy superior

Z= x-/ =125-115/12=0,8333 P [Z>0,8333]=1-P[Z0,8333]=20,33%600*P[Z>0,8333]=600(0,2033)=121,98122

De los aspirantes 122 tendrn coeficiente intelectual muy superior.3.- Una empresa ha encontrado que la duracin de sus llamadas telefnicas tienen una distribucin normal con media tres minutos y desviacin estndar de 1,8 minutos. a.- En qu proporcin las llamadas tendran una duracin de ms de dos minutos pero menos de tres y medio minutos. b.- Si una secretaria va a realizar una llamada cual es la probabilidad de que la llamada dure ms de cinco minutos

Solucin:

a) La proporcin es las llamadas que cumplen entre las llamadas totales, es lo mismo que la probabilidad.Sea X la variable aleatoria duracin de la llamada, en una N(3, 1.8)Para buscar probabilidades en la tabla se tipifican los valores restndoles la media y dividiendo entre la desviacin.Z=(X-3)/1.8P(2