Factorizacin de Expresiones de Cuadrticas

Factorizacin de Expresiones de Cuadrticas.

Objetivos

Esta leccin presenta los conceptos y destrezas bsicas que te permitirn:

Factorizar expresiones cuadrticas de la formax2+ bx+ c.

Factorizar expresiones cuadrticas de la forma ax2+ bx+ c.

Reconocer casos especiales que se pueden factorizar a simple vista en este tipo de factores:

(ax+ b)(ax- b)

(ax+ b)2 (ax- b)2Introduccin.

Si observamos la expresin cuadrticax2+5x+6se puede ver fcilmente que no hay un factor comn a los tres trminos. Sin embargo, en la leccin sobreMultiplicacin de Expresiones Binomialesusamos la geometra del producto de los lados de un rectngulo para mostrar quex+2x+3=x2+5x+6

Por lo tanto (x+ 2)(x+ 3) es la factorizacin dex2+5x+6pero las tcnicas de factorizacin son diferentes a las presentadas en la leccin sobreFactorizacin de Expresiones Simples.

Esta leccin se centra en los mtodos de factorizacin de expresiones cuadrticas de la forma:ax2+bx+c

Coeficiente dex2igual a 1.

En la leccin de Multiplicacin de Expresiones Binomiales comenzamos conx+ax+by usamos la geometra del producto de un rectngulo como el que se muestra en la imagen de arriba para convertirlo enx2+a+bx+ab.

Ahora queremos comenzar conx2+cx+dy convertirlo en una expresin con dos factores de la formax+ax+b. No siempre existen nmeros realesaybpara hacerlo pero si existieran sabemos que:

x2+cx+d=x+ax+by

x+ax+b=x2+a+bx+ab.As, si encontramosaybtales quea+b=cyab=dentonces, la factorizacin dex2+cx+des (x+ a)(x+ b).

De aqu podemos obtener el siguiente conjunto de pasos para factorizar expresiones de segundo grado con coeficiente dex2igual a 1.Ejemplo 1:

Factorizarx2+7x+12Solucin:

Buscamos a y b que satisfagan:

x2+7x+12=x+ax+by

x+ax+b=x2+a+bx+ab.As, a y b deben satisfacer a + b = 7 y ab = 12:

Paso 1:Buscar todos los pares (a, b) tal que ab = 12:(12,1), (6,2), (4,3), (-12,-1), (-6,-2), (-4,-3)

Puesto que:x+ax+b=x+bx+a,aybson intercambiables y no necesitamos ambos (12,1) y (1,12). Uno de ellos es suficiente.

Paso 2:Determinar si uno de estos pares cumple a + b = 7:12+17;6+27;4+3=7 As que a= 4, b= 3 cumple a + b = 7 y ab = 12. Por lo tanto:

x2+7x+12=x+4x+3

Paso 3:Verificarx+4x+3=x2+3x+4x+12x+4x+3=x2+7x+12

Ejemplo 2:

Factorizarx2-4x-21Solucin:

Nota:Para mayor comodidad de nuestro mtodo vamos a reescribir las diferencias como sumas de factores negativos, por lo que el problema se convierte en

x2+-4x+-21Buscamos a y b que satisfagan:

x2+(-4)x+(-21)=x+ax+by

x+ax+b=x2+a+bx+ab.As, a y b deben satisfacer a + b = -4 y ab = -21.

Paso 1:Buscar todos los pares (a, b) tal que ab = -21:(21,-1), (-21,1), (7,-3), (-7,3)

Paso 2:Determinar si uno de estos pares cumple que a + b = -4:

21+(1)4;21+14;7+(3)4;7+3=4. As que a= -7, b= 3 cumple a + b = -4 y ab = -21.

Por lo tanto:

x2-4x-21=x+-7x+3

Paso 3:Verificarx+-7x+3=x2+4x+-7x+-21x+-7x+3=x2+-4x+-21

Prctica 1.

Oprime el enlace a continuacin para practicar la factorizacin de expresiones cuadrticas con coeficientes principales igual a 1.

Coeficiente dex2diferente de 1.

En la leccin de Multiplicacin de Expresiones Binomiales comenzamos conax+bcx+dy usamos la geometra del producto de un rectngulo como el que se muestra en la imagen de arriba para convertirlo enacx2+ad+cbx+bd.

Ahora queremos comenzar conex2+fx+gy convertirlo en una expresin con dos factores de la formaax+bcx+dNo siempre existen numeros realesa, b, cydpara hacerlo pero si existieran sabemos que:

ex2+fx+g=ax+bcx+d ax+bcx+d=acx2+ad+cbx+bd.As, si encontramosa, b, cydque satisfacenac = e, ad + cb = fybd = gentonces, la factorizacin deex2+fx+ges (ax+ b)(cx+ d).

De aqu podemos obtener el siguiente conjunto de pasos para factorizar expresiones de segundo grado con coeficiente dex2no igual a 1.Ejemplo 1:

Factorizar:2x2+11x+5Solucin:

Buscamosa, b, cydasi que:

2x2+11x+5=ax+bcx+d ax+bcx+d=acx2+ad+cbx+bd.Asi, necesitamosa, b, cydque satisfaganac = 2, ad + cb = 11ybd = 5Paso 1:Buscar todos los pares (a, c) tal que ac = 2:(2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2)

Como:(ax+b)(cx+d)(cx+b)(ax+d)aycno son intercambiables y podemos repetir pares, tales como (2,1) y (1,2).

Paso 2:Buscar todos los pares de (b, d) de tal manera que bd = 5:51Como:(ax+b)(cx+d)=(cx+b)(ax+d)si intercambiamosayc, no es necesario el intercambiobydpara crear una expresin equivalente.

Como:ax+bcx+d=-ax+-b-cx+-dno es necesario incluir los dos (x, y) y (-x,-y). Uno de ellos es suficiente.

Paso 3:Sustituye todas las combinaciones de (a, c) y (b, d) para ver si uno satisfacead + cb = 11.No es necesario pero tambin sustituimos en ax+bcx+dy multiplacomos para verificar que solamente siad + cb = 11, vamos a tener una expresin igual a2x2+11x+5.

(a,c)(b,d)ad+cb(ax+b)(cx+d)Producto

(2,1)(5,1)7(2x+5)(1x+1)2x2+7x+5(1,2)(5,1)11(x+5)(2x+1)2x2+11x+5(-2,-1)(5,1)-7(-2x+5)(-1x+1)2x2+-7x+5(-1,-2)(5,1)-11(-x+5)(-2x+1)2x2+-11x+5 Solucin:2x2+11x+5=2x+1x+5

Ejemplo 2:

Factorizar:3x2-5x-12Solucin:

Buscamosa, b, cydasi que:

3x2-5x-12=ax+bcx+d ax+bcx+d=acx2+ad+cbx+bd.As, necesitamosa, b, cydque satisfaganac = 3, ad + cb = -5ybd = -12Paso 1:Buscar todos los pares (a, c) tal que ac = 3:(3,1), (1,3), (-3,-1), (-1,-3)

Paso 2:Buscar todos los pares de (b, d) de tal manera que bd = -12: (12,-1), (6,-2), (4,-3)

Paso 3:Sustituye todas las combinaciones de (a, c) y (b, d) para ver si uno satisfacead + cb = -5.:No es necesario pero tambin sustituimos en ax+bcx+dy multiplicamos para verificar que solamente siad + cb = -5, vamos a tener una expresin igual a 3x2-5x-12(a,c)(b,d)(ad + cb)(ax+b)(cx+d)Producto

(3,1)(12,-1)9(3x+12)(x-1)3x2+9x -12(3,1)(6,-2)0(3x+6)(x-2)3x2+0x-12(3,1)(4,-3)-5(3x+4)(1x-3)3x2-5x -12(1,3)(12,-1)35(x+12)(3x-1)3x2+35x -12(1,3)(6,-2)16(x+6)(3x-2)3x2+16x-12(1,3)(4,-3)9(x+4)(3x-3)3x2+9x-12(-3,-1)(12,-1)-9(-3x+12)(-1x-1)3x2-9x-12(-3,-1)(6,-2)0(-3x+6)(-x-2)3x2+0x-12(-3,-1)(4,-3)5(-3x+4)(-1x-3)3x2+5x-12(-1,-3)(12,-1)-35(-x+12)(-3x-1)3x2-23x-12(-1,-3)(6,-2)-16(-x+6)(-3x-2)3x2-16x-12(-1,-3)(4,-3)-9(-x+4)(-3x-3)3x2-9x-12 Solucin:3x2-5x-12=3x+4x-3

Prctica 2.

Oprime el enlace a continuacin para practicar la factorizacin de expresiones cuadrticas con coeficientes principales diferentes a 1.

Casos Especiales

Algunos casos particulares ocurren frecuentemente en las matemticas y al reconocer estos casos, se pueden factorizar imediatamente sin necesitar las tcnicas anteriores.

Caso # 1: Diferencia de CuadradosEl producto2x+32x-3se puede visualizar con el imagen siguiente para encontrar que2x+32x-3=4x2-9.:

En general,ax+bax-b=(ax)2-b2.As, si tenemos expresiones de la forma(ax)2-b2, su factorizacin siempre va a ser (ax + b)(ax - b).

Ejemplo 1: Para conseguir la factorizacin de4x2-16, organizamos los trminos para poder reconcerayb:(2x)2-42(ax)2-b2asia = 2,b = 4y su factorizacin es(2x + 4)(2x - 4).

Ejemplo 2: Para conseguir la factorizacin de9x2-49, organizamos los trminos para poder reconcerayb:(3x)2-72(ax)2-b2asia = 3,b = 7y su factorizacin es(3x + 7)(3x - 7).

Caso # 2:ax+bax+b=ax+b2: el cuadrado de una sumaEn el diagrama siguiente, podemos ver que el producto3x+43x+4es igual a9x2+ 24x + 16

En general,ax+b2=(ax)2+2abx+b2as, si tenemos una expresin de la forma(ax)2+2abx+b2, su factorizacin siempre va a ser(ax + b)2

Ejemplo 1: Para conseguir la factorizacin dex2+8x+16, organizamos los trminos para poder reconcerayb:(1x)2+(2)(1)(4)(x)+42(ax)2+(2)(a)(b)(x)+b2asia = 1,b = 4y su factorizacin es(x + 4)2.

Caso # 3:ax-bax-b=ax-b2: el cuadrado de una diferenciaEn el diagrama siguiente, podemos ver que el producto4x-34x-3es igual a16x2- 24x + 9

En general,ax-b2=(ax)2-2abx+b2as, si tenemos una expresin de la forma(ax)2-2abx+b2, su factorizacin siempre va a ser(ax - b)2Ejemplo 1: Para conseguir la factorizacin dex2-6x+9, organizamos los trminos para poder reconcerayb:(1x)2-(2)(1)(3)(x)+32(ax)2-(2)(a)(b)(x)+b2asia = 1,b = 3y su factorizacin es(x - 3)2.

Ejemplo 2: Para conseguir la factorizacin de4x2-4x+1, organizamos los trminos para poder reconcerayb:(2x)2-(2)(2)(1)(x)+12(ax)2-(2)(a)(b)(x)+b2asia = 2,b = 1y su factorizacin es(2x - 1)2.

Prctica 3.

Oprime el enlace a continuacin para prcticar la factorizacin de casos especiales de expresiones cuadrticas

Resumen

Ya que has terminado esta leccin, debes tener los conceptos y destrezas bsicas que te permitirn:

Factorizar expresiones cuadrticas de la formax2+ bx+ c.

Factorizar expresiones cuadrticas de la forma ax2+ bx+ c.

Reconocer casos especiales que se pueden factorizar a simple vista en este tipo de factores:

(ax+ b)(ax- b)

(ax+ b)2 (ax- b)2

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