f moderna acosta cap 7-10

7/29/2019 f Moderna Acosta Cap 7-10

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CAPITULO 7

EL EFECTO FOTOELCTRICO

7.1 CUANTOS DE ELECTRICIDAD

La ciencia avanza sobre dos pies, a saber, la teora y el experimento. El trabajo deR.A. Millikan sobre la unidad elctrica fundamental y el efecto fotoelctrico ilustra esteavance en una direccin experimental. Weber, en 1871, y Stoney, en 1881,respectivamente, haban desarrollado tericamente el concepto y el valor numricopara la carga elctrica fundamental, la carga del electrn. En 1897 Thomson yZeeman pudieron determinar la razn de la carga a la masa del electrn, pero elexperimento de la gota de aceite de Millikan constituy la primera medicin directa deuna carga aislada.

Introduciendo una gota de aceite cargada en el campo elctrico existente entre dos

placas, Millikan pudo observar los efectos conjuntos de las fuerzas elctricas ygravitacionales sobre las gotas. Despus de muchas y esmeradas observaciones fuecapaz de mostrar cmo aunque las velocidades para distintas gotas en el campoelctrico no siempre eran las mismas, siempre eran mltiplos enteros del mismo valor.Este hecho experimental fue atribuido a la cuantizacin de la carga recogida por lasgotas individuales de aceite. El valor de la carga en el electrn, e = 1.602 c 10 -19 C.,puede deducirse de las constante fsicas y de las ecuaciones de movimientoimplicadas. El descubrimiento del electrn de Anderson (ver referencias bibliogrficasal final del captulo) ofrece una buena presentacin del experimento de la gota deaceite y de las cantidades fsicas usadas, as como un anlisis de datos tpicos.

7.2 EMISION ELECTRONICA

Se ha encontrado que los electrones pueden ser extrados de los metales por lossiguientes mecanismos:

1. Emisin termoinica (el efecto Edison): los electrones son emitidos por la superficiecalentada de un mental.

2. Emisin secundaria: partculas energticas, incidentes sobre algunos materiales,liberan an otros electrones de la superficie.

3. Emisin de campo: un campo elctrico intenso extrae electrones de la superficiede un metal.

4. Efecto fotoelctrico: luz incidente sobre un metal expulsa electrones de lasuperficie.

El efecto fotoelctrico fue accidentalmente descubierto por Hertz en 1887 cuando seencontraba investigando las ondas electromagnticas predichas por la teora deMaxwell del campo electromagntico. Despus de la publicacin de estedescubrimiento, numerosas investigaciones empezaron a estudiar dicho efecto. LaFigura 7-1(a) es un esquema de un efecto fotoelctrico experimental tpico. Elprincipal entre los primeros experimentadores fue Philipp Lenard, cuyos trabajosmostraron lo siguiente:

1. Cuando luz de frecuencia v > 1015 Hz incide sobre una placa K metlica limpia deun metal, como el tungsteno o el zinc, partculas cargadas negativamente sonemitidas por el metal y viajan hacia el electrodo positivo P.

2. Esta emisin ocurre cuando el tubo es altamente evacuado, de manera que losportadores de la carga no son iones gaseosos.


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3. Un campo magntico aplicado en la regin entre K y P desva los portadorescargados como si fueran negativos.

4. La razn medida de la carga a la masa efm para los portadores cargados fue:

kgCx

kgx

x.1076.1

1010.9

1060.1 1131

19

=

que coincide con el valor encontrado por Millikan y Thomson para el electrn.

La anterior evidencia experimental identific a los portadores como tofoelectrones.

Lenard, usando radiacin monocromtica de intensidad constante, grafic el nmerode electrones emitidos por el metal (la corriente fotoelctrica i p) que llegaban a Pcontra el potencial acelerador entre K y P para obtener una serie de curvas como lasde la figura 7-1(b). la corriente de saturacin ip(max) para una intensidad I dada esalcanzada cuando todos los electrones emitidos por la superficie del metal llegan a P.note que cuando V = 0 hay todava una corriente fotoelctrica i po, lo que significa que

algunos de los electrones deben haber sido emitidos con una velocidad finita. Elpotencial de frenado suministra una indicacin de la energa cintica de los electronesemitidos. El potencial entre K y P puede hacerse negativo (V = -V0) hasta que slo loselectrones ms energticos puedan llegar a P. En este punto

(7-1)

Con V0 definido como el potencial de frenado (o de corte) y K (max) es la energa cinticamxima de los electrones emitidos.

Cuando la intensidad de la radiacin incidente es aumentada, la corriente desaturacin ip(max) aumenta (se emiten ms electrones) pero ninguno de los electroneses ms energtico ya que el potencial de frenado permanece igual. El potencial defrenado es independiente de la intensidad de la luz incidente.

Cuando se usa luz incidente de diferente frecuencia pero de la misma intensidad, elnmero de electrones emitidos en cada caso es el mismo, pero los electrones msenergticos son los emitidos por la luz de mayor frecuencia. Esto se ilustra en la figura7-1(c), en que la corriente de saturacin depende de la intensidad y no de lafrecuencia, pero el potencial de frenado se hace mayor (ms negativo) a medida queaumenta la frecuencia incidente.

7.3 EFECTO FOTOELECTRICO

Se espera que a mayor intensidad de la luz incidente, sea mayor el nmero deelectrones emitidos por la superficie de un metal. Sin embargo, la teora clsica esinadecuada para la explicacin de otros aspectos del fenmeno fotoelctrico.

La teora clsica predice que a mayor intensidad de la radiacin incidente, msenergticos sern los electrones emitidos por el metal. Tambin, si la intensidad de laradiacin incidente es muy dbil, se espera clsicamente que pase cierto tiempo hastaque el metal almacene suficiente energa para expulsar electrones. Sin embargo, losexperimentos han mostrado que la energa cintica de los fotoelectrones no dependede la intensidad sino que aumenta al aumentar la frecuencia incidente, y que no hay

demora apreciable para que los electrones sean expulsados an para luz deintensidad muy dbil.

0maxeVK =


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Figura 7-1

(a) Esquema del experimento fotoelctrico. (b) Corriente fotoelctrica contra elpotencial acelerador V para luz monocromtica incidente de longitud deonda . (c) Corriente fotoelctrica contra potencial acelerador para mostrar

la dependencia de la frecuencia.

En 1905, usando los nuevos conceptos de la mecnica cuntica, Einstein supuso quela radiacin incidente consista de paquetes de energa localizada E = hv que viajancon la velocidad de la luz. Desarroll correctamente la teora del efecto fotoelctrico.Cuando los fotones caen sobre una superficie metlica, puede pasar lo siguiente:

1. Los fotones pueden ser reflejados de acuerdo con las leyes de la ptica.2. Los fotones pueden desaparecer, cediendo toda su energa para expulsar los

electrones.

En la figura 7-1(c), la corriente fotoelctrica se grafica de nuevo contra el potencial,pero esto se hace para diferentes fuentes de frecuencia creciente. Note que con lafrecuencia creciente se requiere un potencial de frenado an mayor para reducir lacorriente fotoelctrica a cero. De una grfica como la de la figura 7-1(c) se puedenobtener datos para graficar Kmax(=eV0) contra la frecuencia incidente V como se ve enla figura 7-2 para tres diferentes metales. Dos caractersticas interesantes se puedenobservar en la grfica de la figura 7-2. Primero, la relacin entre Kmax y V es lineal, ysegundo, para distintos metales las rectas no son las mismas aunque son paralelas.


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La ecuacin lineal de las recetas graficadas en la figura 7-2 se conoce como laecuacin fotoelctrica de Einstein:

(7-2)

La pendiente h de la lnea en la constante de Planck, y la interseccin es llamadafuncin de trabajo. La funcin de trabajo es la cantidad mnima de energa requeridapara extraer un electrn de la superficie del metal y depende del metal usado, laecuacin 7-2 aclara por qu estn separadas (cada una tiene su propia funcin detrabajo caracterstica). Cuando Kmax = 0, = 0, es la frecuencia umbral. Estaes la frecuencia mnima de la luz incidente que empezar a extraer a los electrones dela superficie del metal. Esto da ahora a partir de la ecuacin 7-2

h 0 =(7-3)

lo que resulta conveniente para determinar la funcin de trabajo. La ecuacin (7-2) sepuede escribir ahora en la forma

Kmax = hv h 0(7-4)

Para una frecuencia < 0 o una longitud de onda 0 > c/ 0 (longitud de ondaumbral), no hay suficiente energa incidente para remover electrones de la superficie

del metal y no se puede observar ningn efecto fotoelctrico. Una extrapolacin de las

== hveVK0max


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rectas hasta intersectar el eje de la energa dar la funcin de trabajo directamentede la grfica.

En 1914 Millikan produjo la primera prueba experimental directa de la ecuacindesarrollada por Einstein, la ecuacin (7-2), y al mismo tiempo efectu la primeradeterminacin fotoelctrica directa de la constante h de Planck. El valor aceptado dela constante de Planck es:

h = 6.625 x 10-34 J-seg

El siguiente es un breve resumen del efecto fotoelctrico:

1. El nmero de electrones liberados es proporcional a la intensidad de lasradiaciones incidentes.

2. La energa cintica mxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia, no dela intensidad de la luz incidente.

3. Kmax est relacionada linealmente con a travs de la ecuacin (7-2).

4. El potencial de frenado V0 depende de la funcin de trabajo .5. Existe una frecuencia umbral 0 por debajo de la cual no ocurre el efectofotoelctrico.

6. La emisin empieza, sin demora observable de tiempo, en > 0 an para luzincidente de intensidad muy baja.

PROBLEMAS

7.1 Si la funcin de trabajo para el zinc es 4.3 eV, cul es la energa cinticamxima de los electrones expulsados de una superficie pulida de zinc por lalnea ultravioleta de 2537- del mercurio?

7.2 El nquel tiene una funcin de trabajo de 5.0 eV. (a) cul es la energa cintica

mxima de los fotoelectrones expulsados de una superficie de nquel por unafuente de luz ultravioleta de 1.0mW a 2000 A? (b) cul es la energa cinticamxima de los fotoelectrones expulsados por una fuente lser de argn de15W a una longitud de onda de 4658 ?

7.3 Se requiere una longitud de onda mxima de 5450 para expulsarfotoelectrones de un metal de sodio. (a) determine la mxima velocidad de loselectrones expulsados por una luz de longitud de onda igual a 2000 ? (b)cul es la potencial de frenado para los fotoelectrones expulsados del sodiopor luz de longitud de onda de 2000 ?

7.4 El potencial de frenado para los electrones expulsados de una superficie dezinc es de 2.42 V para la lnea ultravioleta del mercurio de 1849 . cul es lapotencial de frenado para la lnea de 2537 del mercurio?

7.5 La radiacin de un lser de helio-cadmio de 5.0mW( = 3250 expulsaelectrones de una superficie de cesio que tiene un potencial de frenado de 1.91V. (a) cul es la funcin de trabajo en electrn-volts para el cesio? (b) culser el potencial de frenado cuando la radiacin incidente sea de 10.0mW?

7.6 En un experimento se recolectaron los siguientes datos sobre potenciales defrenado de los fotoelectrones producidos por prominentes longitudes de ondadel espectro de mercurio:


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LONGITUD DE ONDA () POTENCIAL DE FRENADO (V)5460 0.404920 0.604360 0.904050 1.203690 1.503130 2.10

Use estos datos para hacer una grfica, y en base a ella determine los valores para laconstante de Planck y la funcin de trabajo del metal usado en este experimento.


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CAPITULO 8

RAYOS X

8.1 ROENTGEN

En un experimento diseado para estudiar los rayos catdicos, el profesor WilhelmRoentgen cubri cuidadosamente un tubo de descarga con cartulina negra. Cuandooscureci el cuarto e hizo pasar una descarga a travs del tubo, Roentgen sesorprendi al ver un dbil resplandor a travs del cuarto en la velocidad de una mesade trabajo. Como saba que los rayos catdicos slo pueden viajar unos cuantoscentmetros en el aire, repiti el procedimiento encontrado de nuevo el mismoresplandor. Encendi un cerillo y descubri que la fuente de la misteriosa luz era lafluorescencia de una pequea pantalla de platinocianuro de bario sobre la mesa.

Se dio cuenta de que estaba presenciando un nuevo fenmeno de radiacin. Despus

de ulteriores observaciones, denomin rayos x a esta nueva radiacin y resumi suspropiedades:

1. Hay muchas substancias bastante transparentes a los rayos x.2. Los rayos x no pueden ser reflejados ni refractados y no muestran efectos de

interferencia. Estos fenmenos estaban presentes pero eran demasiados sutilespara que Roentgen los observara en aquel tiempo)

3. Las placas fotogrficas pueden ser reveladas por los rayos x.4. Los rayos x no pueden ser desviados ni por campos elctricos ni por campos

magnticos.5. Los cuerpos electrificados, positiva o negativamente, son descargados por los

rayos x.

6. Los rayos x provocan fluorescencia en muchas substancias.

Los descubrimientos de los rayos x en noviembre de 1865 y de la radiactividad naturalpoco despus radiaciones que penetraban fcilmente la materia abrieron una nuevaera en la fsica, un perodo poco usual de crecimiento y actividad. El tiempo para losrayos x estaba maduro: los fsicos no habran estado preparados para estedescubrimiento algunos antes, y sin embargo, parece poco probable que en esteperodo de gran actividad cientfica hubiera pasado mucho tiempo antes de quealguien ms hubiera dado con el mismo evento.

8.2 RAYOS X

Los rayos x de Roentgen era radiaciones electromagnticas de muy corta longitud deonda producidas por la colisin de electrones de alta velocidad sobre las paredes devidrio del tubo de cristal. Ver la tabla 8-1 para comparar la longitud de onda de losrayos x con el resto del espectro electromagntico. La figura 8-1(a) muestra unmoderno y tpico tubo de rayos x, en el cual


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Tabla 8-1 Espectro electromagntico


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Figura 8-1(a) esquema del espectrmetro de cristal de Braga para la investigacin del

espectro de los rayos x.(b) Bremastrahlung producida por la aceleracin de un electrn en un campo

coulombiano.

Los electrones termoinicos producidos en el ctodo son acelerados a altasvelocidades a travs de una diferencia de potencial y despus detenidos al chocarcontra un blanco de metal. Cuando estos electrones interaccionan con el campocoulombiano, como se ve en la figura 8-1(b), son desacelerados y la radiacinproducida es la predicha por la teora electromagntica clsica para una carga

acelerada. A medida que el electrn incidente frena y pierda energa cintica, laenerga perdida es usada para crear un fotn con una energa dada por:

h = K1 K2(8-1)

en donde se ha despreciado la energa cintica del pesado electrn en retroceso. Laradiacin producida por la aceleracin de una partcula cargada es llamadaBremsstrahlung (palabra alemana que significa radiacin por frenamiento). LaBremsstrahlung tambin es producida en los grandes acelerados, en donde laspartculas cargadas son aceleradas a altas velocidades. Hay diferencia en la formacomo abordan el problema de la Bremsstrahlung la teora electromagntica y la

mecnica cuntica: la teora electromagntica predice una radiacin continua de cadacolisin, mientras que el electrn es desacelerado, pero la mecnica cuntica predice


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la creacin de un solo fotn de energa h que es, en general, diferente para cadacolisin. El espectro continuo de rayos x de la figura 8-28(a) es producido por laBremsstrahlung. Adems de este espectro continuo, esta figura muestra un espectrocaracterizado por lneas agudas, supuesto sobre el espectro continuo, y que dependedel material que acta como blanco. Aunque la intensidad del espectroBremsstrahlung continuo para un potencial dado depende de las caractersticas fsicasdel blanco, los agudos saltos de longitud de onda en los puntos a, b, c y d de la figurason independientes del material del blanco.La figura 8-2(b) muestra que cuando la frecuencia de corte mxima max se graficacontra el potencial acelerador V, existe una simple relacin lineal entre estos:

(8-2)

La teora clsica no previ este corte bien definido, que la evidencia experimentalmuestra tan claramente. La trayectoria del electrn incidente de alta velocidadcambia, cuando se dispersa por el campo coulombiano de los tomos del material quehace las veces de blanco. De acuerdo con la hiptesis cuntica de Planck, laradiacin de los electrones acelerados debe desprenderse en cuantos de valor h .Sin embargo, la energa mxima de cualquiera de los cuantos no puede ser mayor quela energa del electrn incidente ms energtico,

teconsV

c

Vtan

1

min

max =

=


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hmax = Kmax = eV(8-3)

donde Kmax es la mxima energa cintica que un electrn puede alcanzar, o

(8-4)

donde V es el potencial acelerador a travs del tubo de rayos x. El potencialacelerador es del orden de varios miles de volts, pero cerca del 98% de la energacedida por los electrones cuando chocan con el blanco se transforma en energacalorfica, y la temperatura del blanco se eleva. Debido a que las frecuencias de corteson bien definidas, y a que las longitudes de onda pueden determinarse con exactitud,los espectros de rayos x constituyen un buen mtodo experimental para determinar elvalor de la constante h de Planck.

El espectro caracterstico de lneas agudas es una funcin del material del blanco,aunque su intensidad para un blanco dado depende del potencial acelerador. Loselectrones en un tomo estn ordenados en capas alrededor del ncleo. Loselectrones ms cercanos al ncleo, los ms fuertemente ligados, estn en la capa K.aquellos en la siguiente posicin de mayor enlace estn en la capa L, y despus en lacapa M, luego en la N, y as sucesivamente. Cuando electrones incidentes altamenteenergticos botan un electrn de la capa K, un electrn en la capa L cede energa enla forma de un rayo x cuando pasa a llenar la vacante dejada en la capa K. Estaradiacin, caracterstica del material del blanco, se denomina lnea K . El electrn dela capa M que llena la vacante en la capa K cede energa en la forma de otro rayo xllamado lnea K. Estas transiciones de las capas L, M, N, etc. a la capa K dan lugar a

la serie de lneas K, K, K, etc. llamadas la serie K.

Figura 8-3Transiciones electrnicas para las capas cercanas al ncleo, que dan lugar a los

espectros caractersticos de los rayos x.

eVhc

=min


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Cuando los electrones incidentes desalojan electrones de la capa L y los huecos sonllenados por electrones de las restantes capas M, N, O, estas transiciones dan lugar ala serie L, la primera lnea de la cual es L. La nomenclatura para estas transicionesse ilustra en la figura 8-3.

A medida que aumenta el voltaje acelerador en el tubo de rayos x, los electronesincidentes producen un espectro continuo de Bremsstrahulung hasta que, a ciertovoltaje crtico, los electrones adquieren suficiente energa para desalojar electronesde las capas interiores, o sea, de las capas K, L, o M. Slo cuando sea alcanzado elpotencial crtico Vc sern suficientemente energticos los electrones incidentes paraque ocurran las transiciones K. As

(8-5)

donde Ek es la energa necesaria para liberar del tomo un electrn K. Los rayos x

asociados con la serie K ms energticos son llamados rayos x duros y losasociados con las series menos energticas L, M, N, son llamados rayos x suaves.Los rayos x duros son ms penetrantes.

8-3 DIFRACCIONES DE RAYOS X

Los primeros intentos de Roentgen para verificar experimentalmente la naturalezaondulatoria de los rayos x fueron infructuosos. La longitud de onda desusualmentecorta de los rayos x haca que los efectos de interferencia y difraccin fueran muydifciles de observar. Los primeros experimentos indicaron que la longitud de onda delos rayos x era del orden de 10 -8 cm. Calculando para un cristal el nmero demolculas por unidad de volumen, Von Laue encontr que la distancia media entre los

tomos de un slido estaba entre 10-7

y 10-8

cm. Von Laue sugiri que el arregloregular de los tomos en los cristales poda usarse como una especie de red dedifraccin para los rayos x, y en 1914 recibi el premio Nobel por establecer el carcterondulatorio de los rayos x al difractarlos por medio de cristales. W.H. Braga y su hijoLawrence Braga, recibieron el premio Nobel al siguiente ao por perfeccionar losconceptos de Von Laue sobre la difraccin de rayos x por cristales.

Como un ejemplo, consideremos una simple cristal cbico tal como un grano de sal(NaCl), con un peso molecular de 58,46 y una densidad de 2.165 gm/cm3. Estosignifica que una de las molculas del grano de sal tendr una masa de

molculagx

molgmolculasx

molgg

N

M

m A

/10705.9

/10023.6

/45.58

23

23

=

=

=

(8-6)

donde NA es el nmero de Avogadro. El nmero de molculas por unidad de volumen

toma la forma

322

23

3

/1024.2

/10705.9

/165.2

cmmolculasx

molculagx

cmg

mN

=

=

==

kEeVc


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(8-7)

En realidad, si cada molcula de sal contiene dos tomos (uno de Na y uno de Cl), elnmero de tomos por centmetro cbico es:

2N = 4.48 x 1022 tomo/cm3

Si hay n tomos a lo largo de uno de los bordes de un cubo de sal de 1 cm. De lado,entonces

n3 = 4.48 x 1022 tomos/cm3

Y

n = 3.55 x 107 tomos/cm

As, la distancia entre los tomos es

=== 82.21082.2 8 cmxnld

Este clculo para la distancia media entre los tomos de una simple estructura cbicade sal se resume por medio de la frmula

(8-8)

Von Laue reconoci que la simetra de un cristal se debe a una unidad de tamao

molecular o atmico que est arreglada en un orden regular repetitivo. Las capas deunidades estn separadas por distancias uniformes sucesivas, que son del orden de lalongitud de onda de los rayos x. Estas discontinuidades espaciadas regularmenteforman la base de una red de difraccin, similar a la usada para la luz visible, con ladiferencia de que el cristal forma una red tridimensional. Tambin, a diferencia de lared bidimensional, la tridimensional no difractar a la luz monocromtica que incidasobre ella, a cualquier ngulo arbitrario. El haz difractado de rayos x se ver reforzadoconstructivamente slo cuando una longitud de onda encuentre planos de tomosseparados una distancia d y los encuentre a un cierto ngulo .

Brang us esta idea para analizar los patrones de difraccin de los rayos x reflejadospor los planos del cristal. La figura 8-4 muestra un haz incidente a un ngulo conrespecto a un plano rico en tomos, de un cristal. Cuando los rayos 1 y 2 sonreflejados por los puntos P y q, respectivamente, la diferencia de trayectoria entre losrayos es

= RQ + Qs = 2RQ

Ya que

RQ = PQ sen = d sen

Esto da

3

2 AN

Md

=


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Figura 8-4Vista exagerada de las reflexiones de Braga por varios planos en un cristal.

Ntese que en la reflexin de Braga, los ngulos de incidencia y reflexin son losngulos que los rayos incidente y reflejado hacen con los planos de cristal y no con lanormal como se acostumbre en ptica. As, las condiciones para refuerzo, conocidascomo leyes de reflexin de Braga, son

La figura 8-4 muestra que hay muchos planos dentro del cristal, por los cuales los

rayos procedentes de varios ngulos de incidencia podran ser reflejados para interferirconstructivamente. Dependiendo del plano escogido, algunos planos contendrn mstomos que acten como agentes reflectores que otros. En general, los rayosreflejados por estos planos sern los de mayor intensidad.

Un patrn de difraccin puede asimismo, obtenerse con rayos x incidentes sobre unamuestra granulada de cristal. Cada fragmento de cristal dentro de los grnuloscontiene planos atmicos, que reflejarn los rayos x incidentes sobre ellos a un ngulodado. Ya que los fragmentos pueden estar orientados a cualquier ngulo azimutalalrededor de los rayos x incidentes, habr algunos que reflejarn luz de una longitudde onda dada a un ngulo particular, para formar un patrn circular alrededor de hazincidente. Aquellos orientados apropiadamente a otros ngulos diferentes formarn

otros crculos concntricos. Los patrones de difraccin resultantes son llamadospatrones de Laue. De la figura 8-5, la condicin para que ocurra un mximo es

= 2d sen

1. El ngulo de incidencia debe ser igual al ngulo de reflexin.

2. = 2d sen = n para n = 1, 2, 3, donde n es el orden de reflexin


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n = 2d sen

donde es el ngulo identificado en la figura y es de hecho el ngulo de incidenciapara algunos de los fragmentos granulados. Muchas de las propiedades fsicas de loscristales pueden ahora ser investigadas con gran exactitud, con tcnicas de rayos x.

Figura 8-5Patrn de rayos x de Laue, a partir de fragmentos de cristal granulado

8.4 DIFRACCION DE RAYOS X POR UNA RED DE DIFRACCION

Debido a que la longitud de onda de los rayos x es tan corta y a que estos son tanpenetrantes, los esfuerzos iniciales para difractar los rayos x con una red de difraccinranurada no tuvieron mucho xito. No era posible mecnicamente construir redesranuradas con un esparcimiento entre ranuras del orden de 1 , longitud de ondatpica de los rayos x. Tambin la mayor parte de los espejos no reflejan bien los rayosx ya que estos son tan penetrantes. Sin embargo, en 1925 Compton y Doan lograronmedir la longitud de onda de los rayos x usando una red de difraccin ranuradaordinaria, a ngulos rasantes muy pequeos (del orden de 0.001 rad).

Cuando los rayos 1 y 2 en la figura 8-6 son difractados por la superficie de la redranurada, la diferencia de trayectoria entre los rayos es

= CB AD= d cos - d cos(+)

(8-10)

Entonces, para que estos rayos interfieren constructivamente,

d cos d cos (+) = n(8-11)


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donde n es el orden de la difraccin. Escrita en trminos de una aproximacin parapequeos ngulos, cos x = 1 x2/2 + .

Figura 8-6Difraccin de rayos x incidentes a ngulos rasantes sobre una red de difraccin

ranurada

La ecuacin (8-11) toma la forma

(8-12)

Resulta interesante saber que, cuando las longitudes de onda de los rayos x fueronmedidas por primera vez por medio de la red ranurada, se encontraron valoresmayores que los que daba la difraccin a partir de cristales. Despus de examinar lasecuaciones se encontr que el nmero de Avogadro en la ecuacin (8-8) no erapreciso, debido a un error en el valor aceptado de la carga electrnica que se usabaen la determinacin de NA.

8-5 EFECTO COMPTON

los primeros experimentos mostraron que cuando los rayos x eran dispersados, losrayos x secundarios implicados eran menos penetrantes que los rayos x primarios. Alprincipio se pens que estos rayos x secundarios consistan de la radiacinfluorescente caracterstica del elemento radiante. Aunque la fluorescencia escaracterstica de los elementos ms pesados, experimentos ulteriores mostraron unadiferencia en la penetracin de los rayos x secundarios de los elementos ms ligeros,

+=2

dn


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tales como el carbn, de los cuales no puede aparecer ninguna radiacinfluorescentes del tipo observado. Esto condujo a la especulacin, por parte dealgunos fsicos, de que se haba encontrado una nueva radiacin, a la que denominradiacin J. Sin embargo, despus de un cuidadoso anlisis espectroscpico, estaidea de la radiacin J no pudo sostenerse.

Una cuidadosa evidencia experimental determin las siguientes propiedades de losrayos x secundarios del proceso dispersor:

1. La radiacin dispersada consiste de dos longitudes de onda, la original o y unalongitud de onda adicional B que tiene casi el mismo valor que o.

2. B es siempre mayor que o3. B depende de el ngulo de dispersin y no del medio dispersor.

Siguiendo un anlisis matemtico de esta situacin hecho por g.E.M. Jauncey, en1923 A.H. Compton propuso audazmente que los fotones de rayos x tienen momento,en la misma forma en que lo tiene una partcula, y que el proceso dispersor es una

colisin elstica entre un fotn y un electrn. El cambio en la longitud de onda de losfotones de rayos x, debido a la dispersin elstica con los electrones, se conoce comoefecto Compton.

Segn la ecuacin (6-34), la energa de un fotn, partcula de masa cero, es E = pc,pero la energa de un fotn es tambin E = hv, donde v es la frecuencia. As, elmomento del fotn es

(8-13)

h

c

hvp ==


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Figura 8-7Dispersin Compton de un fotn por un electrn en reposo. Las grficas de la derechamuestran el corrimiento en la radiacin K proveniente del molibdeno, dispersada por

el carbn.

El fotn de rayos x de la figura 8-7 es dispersado elsticamente por un electrn libreestacionario. La conservacin del momento para este evento se puede escribir como

p0 = pS cos + pe cos (eje horizontal)(8-14)

y ps sen = pe sen (eje vertical)(8-15)

donde ps es el momento del fotn dispersado y pe el momento del electrn dispersado.De la conservacin de la energa

(8-16)

Ep + moc3 = Es + moc

2 + KEnerga del fotn masa de reposo energa del fotn energa total delIncidente, hv0 del electrn dispersado, hvs electrn dispersado


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K = E0 Es = h(v0 vs)(8-17)

Luego ponemos la ecuacin (8-14) en la forma p0 pS cos = pe cos elevando el cuadro y sumando esta ecuacin a la ecuacin (8-15), obtenemos

p02 2p0pS cos + pS2 = pe2(8-18)

Ya que E0 = h 0 = p0c y ES = h S = pSc, la ecuacin (8-17) toma la forma

K = (p0 ps)c(8-19)

Para un electrn

E2 = (m0c2)2 + pe2c2

= K + m0c2

(8-20)Eliminando E de las ecuaciones (8-20) se obtiene

2

02

2

2 epKmc

K=+

(8-21)

Usando K de la ecuacin (8-19) y pe de la ecuacin de la ecuacin (8-18) ymultiplicando todo por h, la ecuacin (8-21) toma la forma

)cos1(00

= cmh

p

h

p

h

S

(8-22)

Cuando h/p se reemplaza por la longitud de onda dispersa S y h/p0 por 0, estaecuacin toma una forma ms til:

(8-23)

donde C = h/moc = 0.024 se define como la longitud de onda Compton (para elelectrn).

Los resultados experimentales que fundamentan la ecuacin (8-23) como explicacindel corrimiento en los rayos x dispersados, pueden researse brevemente:

)cos1(

)cos1(0

0

=

=

C

Scm

h


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1. En 1923 Compton confirm los resultados de la ecuacin (8-23)experimentalmente.

2. A Finales de 1923 Bothel y Wilson observaron los electrones en retroceso.3. En 1925 Bothel y Geiger mostraron que el fotn dispersado ES = h S y el electrn

en retroceso aparecen simultneamente.4. En 1927 Bless comprob experimentalmente la energa del electrn en retroceso.

La figura 8-7 muestra que la longitud de onda dispersada as como la incidencia sedetectan al ngulo . Algunos fotones son dispersados por electrones que son libressino que estn ligados al tomo. As, la masa m0 en la ecuacin (8-23) debe serreemplazada por la masa de todo el tomo que retrocede. El gran valor de esta masa,comparada con la del electrn, har muy pequea a , y las longitudes de onda delos fotones dispersados sern casi las mismas de los fotones incidentes. Un clculopara dispersin por un protn mostrar que ste es el caso.

PROBLEMAS

8.1 Para comprender la dificultad de Roentgen para observar efectos deinterferencia con los rayos x, disee un arreglo de doble rendija de Young que

produzca bandas separas 1

0

sobre una pantalla distante. Suponga que losrayos x incidentes tienen una longitud de onda = 5.0. Discuta algunas delas dificultades que se podran encontrar al tratar de construir al dispositivo.

8.2 Compare la energa de la lnea K del tungsteno (W-74) a 0.0210 con la lneapulsante de un lser infrarrojo de CO2 a 10.6.

8.3 La lnea K del tulio (Tm-269) tiene una longitud de onda de 0.246. Comparela energa de este fotn K con la energa de la masa de reposo de un electrn.

8.4 De la figura 8-2(a), determine el potencial acelerador para la curva que terminaen el punto c.

8.5 Determine el voltaje aplicado a un tubo de rayos x que dar un lmite de 1.0 alas longitudes de onda corta.

8.6 (a) Cul es el rayo x ms energtico emitido cuando un blanco de metal es

bombardeado por electrones de 40 KeV? (b) Cul es la mxima frecuencia de


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los rayos x producidos por electrones acelerados a travs de una diferencia depotencial de 20.000V?

8.7 De la figura 8-2(a), determine la mxima energa cintica de los electrones queproducen espectros de rayos x que terminen en los puntos a, b, c y d.

8.8 La grfica de la figura 8-8 representa un espectro de rayos x de un metalhipottico. Si la energa requerida para desalojar un electrn de la capa K es20.0 KeV, determine de esta grfica 8(a) la energa requerida para desalojar unelectrn de la capa L, y (b) la mxima energa cintica de los electronesincidentes sobre este blanco.

8.9 Una reflexin de Braga de primer orden ocurre cuando un rayo xmonocromtico incidente, a un ngulo de 30, es reflejado por un terrn de sal(NaCl). Determine la longitud de onda del rayo x incidente.

8.10 Encuentre los ngulos rasantes sobre la cara de un cristal de cloruro de potasio(KCl), d = 2.82, que corresponden a los mximos de primero y segundo ordende la reflexin de Braga, para rayos x de longitud de onda = 0.58.

8.11 Los cristales de NiO con un peso molecular M = 74.69 y una densidad = 7.45gm/cm3 tienen una estructura cbica simple como lo del NaCl. Determine el

ngulo a que debe estar orientado un cristal de NiO con respecto a un rayo xincidente cuya longitud de onda es = 2.00 para producir una reflexin deBraga de primer orden.

8.12 Los electrones acelerados a travs de una diferencia de potencial de 35.0 kVproducen rayos x que son analizados por un espectrmetro de cristal de Bragausando un cristal de calcita (CaCO3). Si el espacimiento es de 3.03 entre losplanos de la calcita, cul es el ngulo ms pequeo entre el haz incidente y elplano de cristal para el cual se encontrar un intenso haz reflejado.

8.13 Rayos x de longitud de onda 1.0 inciden sobre una red de difraccin ranuradaa un ngulo de = 0.0010 rad como se muestra en la figura 8-7, y se observaun mximo a un ngulo de = 0.0020 rad. Cuntas lneas por milmetro debetener la red de difraccin? Por qu deben ser muy pequeos los ngulos

rasantes de incidencia a que se usan las redes de difraccin?8.14 Un haz de radiacn K del potasio de = 3.44 incide sobre una red dedifraccin con 200 lneas/mm a un ngulo de 20`con respecto a su superficie.Cul es el ngulo entre los haces de primer y segundo orden?

8.15 Complete las manipulaciones algebricas necesarias para llegar a la ecuacin(8-22).

8.16 Rayos x de longitud de onda 0.040 son dispersados por un bloque de carbn.Determine (a) el momento de un fotn dispersado a un ngulo de 30 y (b) laenerga cintica del electrn en retroceso.

8.17 Cuando fotones de longitud de onda 0.024 inciden sobre un blanco, losfotones dispersados son detectados a un ngulo de 60. Calcular (a) lalongitud de onda de los fotones dispersados, y (b) el ngulo a que es

dispersado el electrn.8.18 En un experimento de dispersin, fotones incidentes de 0.200 Mev producen

fotones dispersados a un ngulo de 60 con respecto al luz incidente. Cul esla energa con MeV de los fotones dispersados y de los electrones enretroceso? Muestre si la energa se ha conservado.

8.19 Cul es la diferencia entre los fotones dispersados por electrones y losdispersados por protones? Cul sera el corrimiento en longitud de onda de unrayo de 0.00200 dispersado por un protn a un ngulo de 90248? Qudificultades experimentales implicara la medicin de la longitud de onda delfotn dispersado?

8.20 Use el programa BASIC (o el suyo propio) para mostrar la diferencia enlongitud de onda (D) entre el fotn incidente y el que resulta de una dispersinCompton. En el programa, MO es el agente dispersor, L en la longitud de ondaincidente en agnstroms, y A es el ngulo de dispersin en grados.


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(a) Para un rayo x incidente de longitud de onda L = 1.0 dispersado por unelectrn MO = 9.1091E-31 (kg), determine el corrimiento en longitud deonda para los siguientes ngulos de dispersin A = 0, 45, 90, 135,180.

(b) Para un ngulo de dispersin a = 90248, y una longitud de ondaincidente de L = 1.0 determine el corrimiento en longitud de onda paraprotones dispersados por un electrn [MO = 9.1091 E 31(kg)], y por untomo de carbn [MO = 19.9OE 27 (Kg)].

(c) Para dispersin por un electrn libre MO = 9.1091 E-31(kg) a un ngulode 90, determine el corrimiento en longitud de onda cuando la radiacinincidente consiste de rayos x duros (L = 0.01), rayos ultravioleta (L =1.800), luz visible (L = 6000 ), y radiacin infrarroja (L = 100.000).


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CAPITULO 9

PRODUCCIN DE PARES

9.1 INTERACCION DE LA RADIACIN CON LA MATERIA

En los captulos anteriores, la interaccin de la radiacin con la materia se estudi pormedio de la bremsstrahlung, el efecto Compton, y el efecto fotoelctrico. Recurdeseque la bremsstrahlung es la radiacin producida cuando un electrn energtico esdesacelerado a medida que interacciona con la materia para crear fotones, cuyasenergas estn dadas por

h = K1 K2(9-1)

donde K1 K2 representa la prdida de energa cintica del electrn en cada una demuchas colisiones. Otro ejemplo de la interaccin de la radiacin con la materia es el

efecto Compton, en el cual un fotn de energa h 0 interacciona con un electrn libre.El fotn incidente desaparece, y se crea un segundo fotn de energa h S < h 0. Laenerga del electrn en retroceso es:

K = h 0 - h S(9-2)

En el efecto fotoelctrico, un fotn de energa h interacciona con un electrn ligado.El fotn desaparece y el electrn es expulsado del tomo. La energa cintica mximade los electrones liberados K = h - (9-3)

Donde es la energa que ata el electrn al tomo. Estos efectos sugieren la

interesante pregunta de si la energa total de los fotones se puede convertir en masade reposo.

9.2 PRODUCCIN DE PARES

En un artculo publicado en 1929, P.A.M Dirac not que haba dos veces mssoluciones para la ecuacin relativista del electrn que las esperadas. Declar que lamitad de stas deberan referirse a estados electrnicos con valores negativos de laenerga. Debido a que la teora cuntica permite que tengan lugar transicionesdiscontinuas, los estados negativos de la energa no pueden ser ignorados como sifueran soluciones sin sentido. Dirac asoci la solucin no deseada con un electrnde carga +e y lo denomin positrn. El enigmtico positrn permaneci como unahiptesis terica hasta 1932, ao en que Carl David Anderson encontr trazas departculas similares a la mostrada en la figura 9-1. Anderson no se haba propuestoencontrar el positrn de Dirac. El y Millikan haban construido una cmara de nubesdentro de un intenso campo magntico para estudiar los rayos csmicos, y las huellasde los positrones aparecieron en la cmara. En realidad los positrones ya haban sidovistos por otros, pero fue Andreson quien los identific correctamente por primeravez.

En muchas fotografas de la cmara de nubes, Anderson observ rastros tpicos departculas cargadas tales como los electrones, slo que la trayectoria se curvaba en ladireccin equivocada en la presencia de un campo magntico. Podan identificarse

como partculas semejantes a los electrones por el tipo de rastro de condensacinque dejaban en la cmara. Las partculas alfa tienen dos cargas y son sumamentemasivas comparadas con los electrones, y por estas razones dejan un rastro corto y


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grueso, comparado con el largo y delgado que producen los electrones. Paradeterminar la direccin de viaje de las partculas, se coloc una placa de plomo en lacmara. La figura 9-1 muestra el rastro de una partcula en una cmara de nubessituada en un campo magntico. Note que el radio de curvatura de la trayectoria esmenor en la porcin superior de la cmara de nubes. A medida que la partcula pasa atravs de la placa de plomo pierde algo de momento y as se reduce su radio decurvatura en el campo magntico. Esto da la direccin en que viaja la partcula yconociendo la direccin del campo magntico podemos saber el signo de la carga dela partcula. El electrn y positrn tienen cargas de igual magnitud, pero la carga delpositrn es positiva mientras que la del electrn es negativa. El positrn es laantipartcula del electrn, es un antielectrn.

Los positrones son formados en la produccin de pares de electrones por rayos .En este caso, la energa de un fotn se transforma en energa de reposo y cintica. Laproduccin de pares no ocurre en el vaco, porque la energa y el momento de un solofotn no pueden conservarse simultneamente produciendo dos electrones, a menosque el fotn pase cerca de un ncleo pesado. El ncleo toma algo del momento y de

la energa en la interaccin. Para que ocurra esta interaccin mostrada en la figura 9-2 (a), la energa, el momento, y la carga elctrica deben conservarse. A medida queun fotn de energa E = h interacciona con un ncleo, se forma un par electrn-positrn. Por la conservacin de la energa, la energa mnima del fotn incidente es

(9-4)

Figura 9-1Esquema de la trayectoria del positrn en una cmara de nubes situada en un campo

magntico de intensidad b. En base a la direccin del campo magntico, el tipo derastros dejados, y la disminucin en el radio de curvatura, Anderson pudo identificar al

positrn.

h min = m0-c2 + m0c2 = 2m0c2


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Figura 9-2(a) la produccin de pares ocurre en la vecindad de un ncleo pesado, el momento

y la energa se conservan. (b) En un campo magntico, el electrn y el positrntienen trayectorias de curvatura opuesta.

o

h min = 1.02 MeV

la longitud de onda de este fotn es

MeVhc

h 02.1max

min ==

max = 0.0122

Este es un fotn de rayos altamente energticos. La figura 9-2(b) muestra un parelectrn-positrn formado en la presencia de un campo magntico uniforme. En estecaso, las partculas se mueven en trayectorias circulares opuestas de acuerdo al signode su carga. En general, para fotones incidentes de energa mayor que 1.02 Mev.

con la energa en exceso apareciendo ahora como las energas cinticas K- y K+ delelectrn y del positrn, respectivamente y con Kn, como la energa cintica del ncleo.

h M0c2 = (m0- c2+K-) + (m0+ c2+K-)Energa del fotn energa de energa total energa total delIncidente, reposo del ncleo del electrn positrn


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Ya que el ncleo es sumamente masivo y tiene una velocidad mucho menor que la delos ligeros electrn y positrn Kn 0.

La ecuacin (9-5) se escribe entonces como:

h = (m0-c2 + K-) + (m0+c2 + K+)(9-6)

De la figura 9-2(b), la intensidad B del campo magntico es conocida y el radio r de lastrayectorias circulares se puede medir. El momento de una de las partculas del parelectrn positrn se determina entonces de:

P = m = eBr(9-7)

donde e es la carga del electrn o del positrn. Por lo tanto, la energa total de unapartcula, de la ecuacin (6-25), es

222

0cpEE +=

(9-8)

La energa de una de las partculas, ya sea el electrn o el positrn, est dada por

(9-9)

El positrn es una antipartcula del electrn. En 1955 Chamberlain, Segr e Ypsilantisobservaron la produccin de pares para la combinacin protn antiprotn en laUniversidad de California, en el mismo ao tambin fueron verificadosexperimentalmente pares de neutrn antineutrn. Las antipartculas sern discutidasen detalle en los captulos 37, 38 y 39.

9-3 ANIQUILACION DE PARES

Tambin ocurre el efecto inverso de la produccin de pares, se conoce comoaniquilacin de pares. En la aniquilacin de pares, al juntarse una partcula y suantipartcula se convierten completamente en energa radiante. Cuando se forma un

positrn, tiene una vida muy corta. Despus de perder la mayor parte de su energacintica en colisiones, forma una especie de tomo con un electrn. A este tomo sele llama positronio (figura 9-3(a), y existe hasta que el electrn y el positrn seaniquilan mutuamente.

La energa total, incluyendo la masa de reposo del par electrn positrn, es cambiadaen energa de fotones. De nuevo, igual que en la produccin de pares, el momentodebe conservarse. Sucede algunas veces que las dos partculas estn esencialmenteen reposo y por lo tanto tienen un momento igual a cero, antes de la aniquilacin. Elmomento se conserva cuando se crean dos fotones de momento igual en magnitud yopuesto en direccin (figura 9-3(b)) en la aniquilacin de las dos partculas. Para unelectrn y un positrn esencialmente en reposo antes de la interaccin,

m0-c2 + m0+c2 = 2 hmin

2222

0 )()( ceBrcmE =


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o

max

min

2

0

2h22

hccm ==

(9-10)

de la cual max = 0.0244, es la mxima longitud de onda del fotn creado. Parapartculas que tienen una energa cintica inicial antes de la colisin, la ecuacin (9-10) toma la forma

(9-11)

Figura 9-3Los fotones son creados por la aniquilacin de un par electrn positrn en colisin

9.4 ABSORCIN DE FOTONES

En trminos de los fotones, la intensidad de la radiacin electromagntica se definecomo

(m0-c2 + K-) + (m0

+c2+K+) = 2 h


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fotn

energax

tiempoxproyecci nlaarea

fotonesdenmeroensidad

=int

donde el flujo de fotones es

tiempoxproyeccinlaarea

fotonesdenmeroN

=

(9-12)

La intensidad de la radiacin en un haz se reduce tanto por dispersin del haz como

por absorcin. Un coeficiente de absorcin se usa como medida de capacidad delmedio para atenuar el haz de radiacin.

La figura 9-4(a) muestra un flujo incidente de fotones sobre un material absorbente deespesor dx y coeficiente de absorcin . El cambio de flujo de un haz, al pasar atravs de un material de espesor dx es negativo y proporcional al espesor delabsorbente y al flujo original. El cambio en el flujo es entonces

dN = -N dx

donde acta como constante de proporcionalidad. Esta se integra para dar

N = N0e-x

(9-13)

Donde N0 es el flujo incidente y aparece como el coeficiente de absorcin. Ya quepara una frecuencia da de la radiacin, el flujo es directamente proporcional a laintensidad, la intensidad de la radiacin transmitida toma la forma

(9-14)

donde I0 = N0h

El coeficiente de absorcin depende tanto del material absorbente como de lafrecuencia de la radiacin incidente. Los procesos ya mencionados el efectofotoelctrico, el efecto Compton, y la produccin de pares, son los principales por suefectividad para absorber la radiacin. El coeficiente de absorcin efectivo total es unresultado de estos tres efectos:

(9-15)

NhI =

I = I0e-x

total = Compton + fotoelctrico+ produccin de pares


29/45

Figura 9-4(a) flujo de fotones absorbidos al pasar a travs de un material cuyo coeficiente de

absorcin es . (b) coeficientes de absorcin para fotones en el plomo

La grfica de la figura 9-4(b) muestra el efecto de cada proceso individual como unafuncin de la energa incidente. Para fotones de energa menor que 1.0 MeV, elproceso de absorcin se debe principalmente al efecto fotoelctrico, aunque el efectoCompton contribuye un poco. La produccin de pares, de acuerdo con la ecuacin (9-4), empieza a 1.02 MeV, y predomina cada vez ms a altas energas.

PROBLEMAS

9.1 Muestre que el radio de curvatura de un positrn, que se mueveperpendicularmente a un campo magntico uniforme, se reduce cuando elpositrn pasa a travs de una placa de plomo.

9.2 Cul es la energa y la longitud de onda de un fotn qu escasamente alcanzaa crear un par protn antiprotn?

9.3 Determine la energa cintica total del electrn y del positrn formados porproduccin de pares por un rayo de longitud de onda 0.00247.

9.4 Cul es el momento de los fotones creados en la aniquilacin de un protn yde un antiprotn, cada uno con energa cintica original de 1.00 Mev?

9.5 Un fotn crea un par electrn-positrn, cada uno con energa cintica de 0.500

Mev. Compare la longitud de onda del fotn incidente con la longitud de ondade Broglie de una de las partculas producidas.

9.6 Un fotn entra a una cmara de nubes localizada en un campo magntico de0.0300 teslas para producir un par electrn-positrn. Los radios de lastrayectorias curvas perpendiculares al campo magntico del electrn el positrnson de 2.00 cm. Y 1.50 cm. Respectivamente, cul es la energa en MeVfotn incidente?

9.7 Un electrn y un positrn, cada uno viajando a 0.40c. en direccionesopuestas, chocan y se aniquilan en forma de radiacin. Calcule (a) la longitudde onda de Broglie electrn, (b) la longitud de onda de los fotones formados y(c) el momento de cada uno de los fotones.

9.8 La radiacin de los lsers de CO2 (10.6) alcanza valores tpicos de 1000/cm2

normalmente a una superficie, cul es el flujo de fotones, o sea, el nmero defotones incidentes sobre un rea unitaria en la unidad de tiempo? (b) cul


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sera el flujo de fotones de rayos de longitudes de onda igual a 5.00 x 10-3 que producira la misma intensidad?

9.9 El coeficiente de absorcin de rayos de baja energa en el plomo es 1.50cm -1,qu espesor de plomo se requiere para reducir la intensidad de los rayos (a)a la mitad de la intensidad original y (b) a 0.0100 de su intensidad original?

9.10 Para rayos de una longitud de onda dado el coeficiente de absorcin para elplomo 0.900 cm-1 y para el aluminio 0.280 cm-1. Para la absorcin de estosrayos , qu espesor de aluminio tendr la misma absorcin que 1.00 cm deplomo.

9.11 Por qu mecanismo ser absorbido un fotn de 12 Mev en una pieza demetal)? Explique

9.12 Se registran datos para la intensidad de los rayos x duros a medida quepenetran varios espesores de cobre. De los datos dados haga una grfica ydetermine (a) el coeficiente de absorcin para el cobre y (b) el espesor decobre que transmitir el 37% de los rayos incidentes.

Espesor (cm) Relativa I/I00.10 0.900.20 0.800.30 0.740.35 0.700.38 0.680.40 0.670.45 0.640.50 0.570.62 0.50

9.13 Un lser de rub ( = 6983 ) produce un pulso de 50.0 J a la razn de 96

pulsos/min. cuntos fotones hay en un solo pulso?9.14 Suponga que la produccin de pares puede ocurrir sin la presencia de unncleo pesado y muestre que

)cos(222

2

+++=

++ ppppc

h

(ver figura 9-5). Entonces muestre que esta ecuacin conduce a h < E+ + E -,que contradice la conservacin de la energa.

Figura 9-5

CAPITULO 10


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NATURALEZA ONDULATORIA DE LAS PARTCULAS

10-1 EL DILEMA ONDA-CORPUSCULO

Desde el tiempo de los filsofos de la antigedad hasta Isaac Newton, los cientficospensaron que consista en la de corpsculos en rpido movimiento. En 1801, cuandolos experimentos sobre interferencia de Thomas Young establecieron la teoraondulatoria de la luz sobre una firme base experimental, pareci que los fsicospodran rechazar la idea de una estructura atmica de la luz, sin embargo, las teorasatmicas empezaron a responder cada vez ms los interrogantes sobre laspropiedades fsicas de los slidos, lquidos y gases. A finaes del siglo XIX, losexperimentados de J.J. Thomson y H.A. Lorente sentaron el concepto del corpsculode electricidad, el electrn. Finalmente, en 1900 se complet el ciclo cuando una leysobre la radiacin del cuerpo negro fue establecida despus de que Max Planckpostul que una fuente de luz no emite radiacin continuamente, sino en cantidadesiguales y finitas llamadas cuantos. En 1923 el dilema corpuscular ondulatorio se

perfil de nuevo cuando Arthur Compton descubri que los cuantos de rayos x tienenmomento as como energa. Por ende, la luz pareca tener dos series distintas depropiedades, que estaban en conflicto entre s.

Finalmente, en 1924 Louis de Broglie entreg su tesis para obtener su grado dedoctor, Recherches sur la Thorie des Quanta, en la cual sugera, ya que luz tenamucho de corpuscular, se poda esperar que las partculas, en particular loselectrones, por la simetra de la naturaleza mostraran propiedades ondulatorias. En1927 sus ideas fueron verificadas independientemente por G.P. Thomson y por C.J.Davisson y L.G. Germen, quienes mostraron que los electrones, a semejanza de laluz, podan ser difractados.

10-2 ONDAS DE DE BROGLIE

Planck haba relacionado la energa de los corpsculos de luz (fotones) y la frecuenciade la luz por

E = h(10-1)

donde es la frecuencia del fotn y la energa E es la misma expresin encontrada enla teora especial de la relatividad, sea E = E 0 + K donde, para el caso del fotn, E 0 =m0c2 = 0 y la energa total E = K es enteramente cintica. Sin embargo, la frecuenciano tena lugar real en una teora puramente corpuscular. De Broglie razon quedeban existir ondas de alguna clase asociadas con estos fotones, para explicarfenmenos tan puramente ondulatorios como la interferencia. Compton habamostrado que las ondas de luz tienen un momento, que usualmente slo se asociabaa las partculas. La expresin de la energa de un fotn tambin puede tomar la forma

E = mc2 = pc(10-2)

donde p es el momento asociado con el fotn. Combinando las ecuaciones (10-1) y(10-2), obtenemos

(10-3)

h

c

hp ==


32/45

que relaciona el carcter ondulatorio de los fotones, la longitud de onda y lafrecuencia , con el carcter corpuscular, el momento p.

Entonces De Broglie propuso una idea sorprende: si las ondas de luz pueden teneruna naturaleza corpuscular, las partculas, tales como los electrones, pueden poseer

caractersticas ondulatorias. As, un electrn puede tener un momento

(10-4)

donde m es la masa relativista. Esta expresin adjudica al electrn el carcterondulatorio de la frecuencia . Aplicando la ecuacin fotnica (19-3) a la ecuacincorpuscular (10-4), la longitud de onda del electrn toma la forma

(10-5)

La longitud de onda puede escribirse en trminos del momento como

p

h=

donde 202)/1( EEcp = de la ecuacin (6-25). Ahora

22

0

22

2

0

)()()/1(

2)/1(

cmmcc

h

EEc

h

=

=

que toma la forma

[ ] 1)/(1/1 220 =

ccm

h

y se simplifica a

m

h

m

ch=

=

0

22)/(1

Aunque el trabajo original de De Broglie trat solamente el problema del electrn, lasecuaciones vlidas para todas las partculas materiales. Una pelota oficial de bisbolde la Liga Americana, tiene una masa 0.14 kg (5 oz), al ser lanzada adquiere unavelocidad de cerca de 40 m/seg. La longitud onda de De Broglie asociada con estapelota es

hmp ==

m

h

=


33/45

Ax

m

Ax

x

x

m

h

24

1034

0

102.1

104014.0

1063.6

=

==

longitud de onda tan pequea que no podra ser detectada. Un electrn que viaje con

la misma velocidad tendr una longitud de onda

Ax

m

Ax

xx

x

m

h

5

10

31

34

0

108.1

1040101.9

1063.6

=

==

que puede medirse fcilmente en el laboratorio.

10.3 CONFIRMACION EXPERIMENTAL DE LAS PARTICULAS ONDULATORIAS

La idea de Louis de Broglie de darles caractersticas ondulatorias a las partculas diouna ingeniosa y original solucin al problema. Esta idea era tan novedosa que, de noser por la rpida confirmacin experimental que tuvo, hubiera pasado mucho tiempoantes de que fuera aceptada por los fsicos. En 1925 se inici en los Laboratorios BellTelephone de los Estados Unidos una serie de experimentos sobre la emisinsecundaria de electrones, dirigidos por C.J. Davisson y C.H. Hunsman y despus porDavisson y L.H. Germen. En estos experimentos, un haz de electrones incidentesobre un cristal de nquel haca que otros electrones (secundarios) fueran reemitidospor el cristal. Cuando uno de los blancos de nquel se cubri accidentalmente con unacapa de xido, se le calent con el propsito de remover este xido.

Los experimentos efectuados con este cristal dieron despus resultadosexperimentales muy diferentes. El calentamiento prolongado haba cambiado elblanco policristalino en un solo gran monocristal. Los electrones an eran emitidos atodos los ngulos, pero en ciertos ngulos se detectaban ms electrones que antes.


34/45

Un haz de electrones de 54-eV produca un incremento en el nmero de electronesemitidos a un ngulo de = 50 (figura 10-1). Para los electrones K = 54 x 1.6 x 10-19

J, yKmp 02=

de lo cual la hiptesis de De Broglie predice para los electrones habra una longitud deonda de

A

m

Ax

xxxxx

x

p

hi

67.1

101060.1541011.92

1063.6 101931

34

=

=

=

que es la longitud de onda de De Broglie asociada. Ahora, sobre la base de ondadifractada por los planos de Braga dentro del cristal, una difraccin de primer orden(n=1) por un cristal de nquel con un espaciamiento d = 0.91 dar una longitud deonda

= 2d sen = 2 x 0.91 x sen65= 1.65

que es la longitud de onda de una onda difractada. Esta es una buena comparacin yproporciona una fuerte evidencia de que, en verdad, los electrones tienen un carcterondulatorio as como corpuscular.

Casi al mismo tiempo que se efectuaban los dos anteriores experimentos G.P.Thomson y algunos de sus estudiantes hacan un experimento diferente que losllevara a la misma conclusin. En la misma forma como se haban hecho losexperimentos de difraccin de rayos x de von Laue, Thomson dispers electrones dealta energa por medio de hojas de metal muy delgadas, de material policristalino conlos ejes de los cristales orientados al azar. El montaje experimental se muestra en lafigura 10-2. En su experimento envo un haz colimado de electrones (con una energa104 ev) a travs de una hoja de 10-5 cm de espesor. Pudo as obtener una serie deanillos de difraccin cuyos ngulos de difraccin 1, 2, 3 etc., verificaban la bienconocida ecuacin para difraccin por transmisin, n = 2d sen (n=1,2,3,..), donde

es el ngulo que el haz difractado forma con la direccin del haz incidente.

Entre otras interesantes verificaciones experimentales de la naturaleza ondulatoria delas partculas figuran las siguientes:


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Figura. 10-2Patrn de difraccin producido haciendo pasar electrones de alta velocidad a travs de

una delgada hoja de oro.

1. En Alemania, Rupp midi la longitud de onda de los electronesdirectamente por la difraccin de un haz de electrones incidente sobre unared de difraccin ptica a un ngulo de incidencia rasante.

2. En 1931, Johnson demostr los efectos de difraccin de haces dehidrgeno diractados por cristales.

3. En un impresionante experimento (1938), Eastermann, FRISCO, y Sternprodujeron efectos de difraccin con un haz de molculas de helio incidente

sobre cristales de LiF.Los experimentos anteriores presentan evidencia concluyente de la naturalezaondulatoria de las partculas, pero surgen otras cuestiones. Por ejemplo, ya que tantolos fotones como los electrones exhiben caractersticas corpusculares y ondulatorias,parecera que realmente no hay que hacer distincin alguna entre las partculas y lasondas. Sin embargo, la naturaleza ondulatoria de los fotones an no explicasatisfactoriamente experimentos como la dispersin Compton o el efecto fotoelctrico,y partculas como los electrones no pueden viajar a la velocidad de la luz.

Niels Bohr sugiri el principio de complementareidad para resolver las aparentescontradicciones ondulatorio-corpusculares. Su principio de complementareidad

establece que ni las partculas ni las ondas exhibirn simultneamente suscaractersticas ondulatorias y corpusculares en un solo experimento. Una descripcincompleta de la radiacin o de los electrones requiere en cualquier caso que se usenambos caracteres ondulatorio y corpuscular- pero cada uno en su propia esfera deaplicacin.

10-4 PAQUETES DE ONDAS

El campo elctrico asociado con una bolita de mdula de saco cargada, no estlocalizado solamente en la bolita, sino que se extiende a travs del espacio. Estecampo elctrico y la partcula cargada no pueden ser separados como entidadesdiferentes, son dos aspectos de la misma cantidad. En la misma forma, una entidad

de materia una partcula ser representada por ondas-. Por el mismo hecho de serrepresentada por una onda, la partcula ha perdido algunos aspectos de ser localizada.


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Tal sistema de ondas formar una evolvente que se propaga con una velocidaddiferente de la velocidad de cualquiera de las ondas componente. Esta envolvente deondas que representa un punto material, es llamada paquete de ondas (o grupo deondas).

Para representar un punto material (una partcula) se requiere una combinacin demuchas ondas individuales. Como una forma de abordar los paquetes de ondas,consideremos un paquete compuesto por dos ondas.

1 = A cos(1t k1x)2 = A cos(2t K2x)

donde 1 2 = y k1 k2 = k. Por el principio de superposicin, estas dos ondasse pueden aadir para dar una onda resultante,

+

+=

+=

xkktAR22

cos 2121

21

con una amplitud resultante

= x

kktAA

R22

cos22121

La figura 10-3(a) muestra dos ondas que se han sumado para producir una ondaresultante. Note que la adicin de estas dos ondas ha producido pulsos o grupos de

ondas. Cada onda se propagar con su propia velocidad (su velocidad de fase), perolos grupos de ondas formados se movern con una velocidad diferente (la velocidadde grupo). Ya que las R y las ks son aproximadamente iguales. Las velocidades defase de 1 y 2 son aproximadamente iguales. De las ecuaciones (10-1) y (10-3), lavelocidad de fase toma la forma

22c

m

mc

hp

Ehph ====

(10-6)

o

(10-7)

donde = 2 es la frecuencia angular y k = 2/ la constante de propagacin. En laecuacin (10-6), y son, respectivamente, la frecuencia y longitud de ondaasociadas de De Broglie.

A continuacin, el significado de las ondas de De Broglie se aclara an ms cuando semuestra que la velocidad de una partcula es igual a la velocidad de grupo de lasondas de De Broglie. La velocidad de la partcula se puede determinar a partir de

kxk

x

ph

=== 2

2


37/45

dp

dE=

(10-8)

y la velocidad de grupo se define a partir de la teora ondulatoria como

dk

dg

=

(10-9)que tambin se puede escribir en la forma

d

d

d

dg

2

)/1(==

(10-10)

de = h/p,

2p

dphd

=

(10-11)

de E2 = E02 + p2c2

dpE

pcdE

2

=

(10-12)y de = E/h

dpEh

pc

h

dEd

2

==

(10-13)

Sustituyendo las ecuaciones (10-11) y (19-13) para d y d en la ecuacin (19-19)obtenemos

Epc

ddg

2

2 ==

(10-14)o

2

2

mc

cmg

=

y

g =


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Vemos que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de la partcula, o sea que lasondas de De Broglie se mueven junto con la partcula. Cuando se reescribe laecuacin (10-10), reemplazando por ph/, la velocidad de grupo se vuelve

)/1(

)/(

d

d phg =

que puede tomar la forma

(10-15)

Figura 10-3(a) la suma de dos ondas de frecuencia casi iguales produce grupos de ondas (o

pulsos). (b) un grupo de ondas agudamente definido resultante de la superposicin demuchas ondas diferentes

d

d phphg =


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donde se ha relacionado la velocidad de grupo a la velocidad de fase. Note que si lasondas no se encuentran en un medio dispersivo, o sea si ph = constante, entonces g =ph

Qu decir sobre la velocidad de grupo de los fotones? Para un fotn, E = pc y laecuacin (10-14) toma la forma

E

Ec

E

pcg ==

2

Este es, ahora un resultado esperado: la velocidad de grupo para los fotones es iguala la velocidad el fotn.

La figura 10-3(b) muestra un caso ms ideal, en el cual un gran nmero de ondas 1,2,..,n se han aadido. El paquete de ondas est definido con agudeza, y sutamao x se ha reducido considerablemente.

10-5 EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

en 1927 el fsico alemn Werner Heisenberg propuso una interesante adicin alsignificado de los conceptos ondulatorio-corpusculares. Este es el principio deincertidumbre o de indeterminacin y expresa un lmite fundamental a la determinacin

simultnea de ciertos pares de variables, tales como la posicin y el momento. Lafigura 10-4 representa una partcula que se mueve con una velocidad , localizadadentro de un paquete de ondas que se mueve con la velocidad g = . De lasecuaciones (10-10) y (10-11), todava es posible escribir la velocidad de grupo en otraforma diferente

dp

dhg

=

(10-16)

De la figura 10-4 y de la ecuacin (10-16)

ph

t

xg

=

=

px = h t(10-17)

Si va a medirse la frecuencia de la onda, el menor tiempo de medicin ser el tiemporequerido para que una longitud de onda completa pase un punto de referencia. Estetiempo, relacionado a la frecuencia, es t 1/, el tiempo de paso para un ciclocompleto.

= c


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Ahora, de

t 1(10-18)

La ecuacin (10-18) toma la forma

(10-19)

que es una de las expresiones del principio de incertidumbre de Heisenberg. Estoocasiona un impacto considerable sobre nuestras ideas acerca de las mediciones.Este lmite fundamental (>h) implica no slo que hay un lmite a la precisin de unamedicin, sino que mientras ms exactamente se localiza una partcula en su posicin,mayor ser la incertidumbre en la medicin de su momento y viceversa.

Figura 10-4Una partcula en movimiento es representada por un paquete de ondas que se mueve

con la velocidad g

El momento en la ecuacin (10-19= debe ser en realidad la componente del momentoen la direccin x, y ms apropiadamente se escribe

(10-20)

Pares de variables tales como px y x, en las cuales la incertidumbre en una de ellas fijaun lmite a la exactitud de la medicin de la otra, son llamadas variables conjugadas.No hay lmite en la precisin de la medicin de las componentes del momento a lolargo de los ejes y y z (py y pz) y de la posicin a lo largo de la direccin x.

Debido al pequeo valor de h, esta incertidumbre no es relevante en el mundomicroscpico, a saber, con la interaccin que aparece entre el instrumento demedicin y la magnitud que estamos tratando de medir. Por ejemplo, si tratamos demedir la temperatura de un cuerpo, necesitamos un termmetro, pero cuando ste secoloca en contacto con el objeto, modificamos la temperatura que deseamos medir, y

as sucesivamente.

p x h

pxx h


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El principio de incertidumbre, que es una natural, no destruye la ley de causalidad quedada por sentada en el mundo macroscpico, relatividad especial, que ya discutimos,est basado slidamente sobre la distincin absoluta entre causa y efecto. Un mejornombre para el principio es el de principio de indeterminacin. En este respecto, lamecnica clsica de Newton y Galileo es determinstica. (si conocemos la fuerza queacta solo en una partcula y las condiciones iniciales posicin y momento- podemospredecir el movimiento subsiguiente de la partcula con precisin absoluta). El mundomicroscpico es esencialmente determinstico.

El problema de la incertidumbre es una consecuencia lgica del comportamiento dualde la materia. Se puede lograr una intuicin ms profunda de la naturaleza delprincipio de incertidumbre por medio de un experimento idealizado, el llamadomicroscopio de Heisenberg que se muestra en la figura 10-5.

En la figura 10-5, un microscopio imaginario de gran poder resolutivo se usa paratratar de medir simultneamente la posicin y el momento lineal de un electrn. Laptica geomtrica muestra que le poder resolutivo de un microscopio permite una

incertidumbre en la medicin de la posicin de

senx

2

(10-21)

Figura 10-5Microscopio de Heisenberg. Se efecta un intento para medir simultneamente la

posicin y el momento lineal en la direccin x.

donde es el ngulo indicado en la figura 10-5. Cuando la distancia es menor que x,

los dos puntos se vern como uno solo, y por lo tanto x representa la menorincertidumbre en la posicin del electrn que estamos tratando de medir con el


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microscopio. De la ecuacin (10-21), mientras ms pequea es la longitud de onda de la luz incidente con el que el objeto se ilumina, menor ser x y consecuentementese podr fijar con ms precisin la posicin del electrn.

Sin embargo, el fotn incidente interaccionar con el electrn a travs del efecto

Compton. Para poder ver al electrn, el fotn dispersado debe entrar al microscopiodentro del ngulo 2. Entonces, el momento (figura 10-5) del fotn tiene unaincertidumbre en la direccin x de

px p sen(10-22)

donde p = h/ es el momento del fotn incidente. De acuerdo con la conservacin delmomento lineal, la ecuacin (10-22) tambin debe dar la mnima incertidumbre en elmomento del electrn en retroceso. Por lo tanto, para el electrn en retroceso. Por lotanto, para el electrn en retroceso, las ecuaciones (10-21) y (10-22) muestran que

222)(

hh

sensenpxpx ==

2

h

que es el principio de incertidumbre. Un desarrollo ms sofisticado mostrar que

(10-23)

donde h = h/2 es llamada h barra.

EJEMPLO 10-1

Suponga que la incertidumbre en la posicin de una molcula de hidrgeno, cuyamasa es cerca de 2 x 10-27 kg, es del orden de su dimetro, alrededor de 10-10. laincertidumbre en el momento es

px10

34

10

106.6

=

x

x

h

6.6 x 10-24 kg-m/seg

El momento de esta molcula movindose a 2000 m/seg (velocidad termal a latemperatura ambiente), es

px = m= 2 x 10-27 x 2 x 103

= 4 x 10-24 kg-m/seg

dar una incertidumbre fraccional

pxx h


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7.1104

106.624

24

==

x

x

p

p

x

x

As, el momento de esta molcula no puede ser especificado con una precisin mayorque el 170% de su valor original. Sin embargo, una bala de 50 gm disparada con una

velocidad de 1000 m/seg, cuya posicin se conoce dentro de 1.0 mm, tiene unaincertidumbre en el momento de

px segmkgxx

/106.610

106.6 313

34

=

con un momento de

px = 0.050 x 1000 = 50 kg-m/seg

La incertidumbre fraccional es

3231

103.150

106.6

=

xx

p

p

x

x

El nmero es tan pequeo que ningn aparato real de laboratorio se ver afectado porl.

10-6 OTRA FORMA DEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Otra relacin de incertidumbre entre la energa y el tiempo se deriva tambin de laecuacin (10-18),

t 1

o

h

Et 1

que toma la forma

(10-24)

As como el momento y el desplazamiento no pueden ser determinadossimultneamente con precisin infinita, as tampoco la energa E y el tiempo t (que sonotro par de variables conjugadas) se pueden determinar simultneamente conprecisin infinita. Mientras ms precisos seamos en nuestra medicin del tiempo (osea, a menor t), menos precisos seremos en la determinacin de la energa. Denuevo, una derivacin ms sofisticada de la ecuacin (10-24) dar

(10.25)

E t h

E t h


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EJEMPLO 10-2

El tiempo de vida de un estado excitado de un tomo es alrededor de 10 -8 seg. (unestado excitado de un tomo es aquel en que la energa es mayor que la del estadousual de mnima energa o estado base). La mnima incertidumbre en ladeterminacin de la energa del estado excitado es, de la ecuacin (10-25).,

E 8

34

102

106.6

= x

x

t

h

1.0 x 10-26 J = 6.5 x 10-8 eV

Esta se conoce como anchura de la energa del estado excitado.

Desde luego, muchas propiedades de los sistemas microscpicos pueden serconocidos con certidumbre absoluta. Una de ellas, el signo de la carga elctrica delelectrn. Podemos estar absolutamente ciertos, con mediciones, de que una partculatiene una carga positiva o negativa.

PROBLEMAS

10.1 cul es la longitud de onda asociada con (a) un electrn de 100 eV? (b) unapelota de golf (1.65 oz) con una velocidad de 60 m/seg?

10.2 qu velocidad tendr un electrn con longitud de onda asociada de 2.00 ?10.3 Determine el momento y la energa para un fotn de rayos X, y (b) un electrn,

uno con longitud de onda de 1.00 .10.4 Un acelerador Van de Graaff acelera los ncleos desnudos de los tomos de

litio a travs de una diferencia de potencial de 5.000 10 6V. cules son la

velocidad y la longitud de onda de estos ncleos?10.5 (a) cul es la masa relativista de un electrn con una longitud de onda 0.0420? (b) de E = hc/ = mc2, se puede calcular una masa efectiva para un fotn m= h/c. cul es la masa efectiva de un fotn con longitud de onda de 0.0420?

10.6 Si un acelerador le da a un electrn una energa cintica de 0.511 Mev, cules su longitud de onda de De Broglie?

10.7 En la figura 10-1, si el potencial acelerador es de 100V, a qu ngulo ocurrirel pico para los electrones dispersados?

10.8 Un haz de neutrones producidos por una reaccin nuclear incide sobre uncristal con un espaciamiento de 1.50 entre planos. Determine la velocidad deestos neutrones con una reflexin de Braga de primer orden tiene lugar a un

ngulo de 30.10.9 (a) una red de difraccin ptica (figura 10-6) fue usada por Rupp para mostrar

la difraccin de los electrones. Para ngulos de incidencia rasantes, o sea para muy pequeo, muestre que

+= 0

2

x

dn n = 1, 2, 3,

donde d es el espaciamiento de la red y es el ngulo de difraccin (verseccin 10-4).(b) a qu ngulo electrones de 100 eV incidentes a un ngulo = 10-3 radsobre una red con un espaciamiento de 5.00 x 10 -6 m, producirn un mximo dedifraccin?


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Figura 10-6

10.10 (a) para una partcula que se desplaza a una velocidad relativista, muestreque ph = c2/(b) para una partcula que se mueve a una velocidad no relativista, muestreque g = /2

10-11 Muestre que la velocidad de grupo de una partcula se puede expresar en laforma

dk

dE

hg

1=

donde E es la energa total y k es la constante de propagacin.

10.12 Empiece con la definicin de velocidad de grupo, g dE/dp y muestre que

dk

dkg

+=

donde k = 2/ es la constante de propagacin y s la velocidad de fase.

10-13 De la ecuacin (10-10) pruebe que

)(ln

)(ln

pd

dphg

=

10.14 (a) calcule la mnima incertidumbre en la determinacin de la velocidad de uncamin cuya masa es de 2000 kg si se requiere determinar la posicin de sucentro de masa dentro de un intervalo 2.00 .(b) calcule el porcentaje de incertidumbre en el momento para el mismo caso.

10-15 La velocidad de una partcula nuclear (protn o neutrn) que marcha en la

direccin x se mide con una exactitud de 10-6

m/seg. Determine el lmite deexactitud con que puede localizarse su posicin: (a) a lo largo del eje x, y (b) alo largo del eje y. resuelva el mismo problema siendo la partcula un positrn.

10-16 Una partcula que se mueve a lo largo del eje x tiene una incertidumbre en suposicin igual a su longitud de onda de De Broglie. Encuentre el porcentaje deincertidumbre en su velocidad.

10-17 La incertidumbre en la posicin de un electrn que se mueve en lnea recta esde 10 . Calcule la incertidumbre en (a) su momento (b) su velocidad y (c) suenerga cintica.

10-18 (a) el tiempo de vida de un estado excitado en un tomo es alrededor de 10 -8

seg. Calcule la dispersin de la energa de los fotones emitidos (anchura de la

f moderna acosta cap 7-10

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