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Virgilio Acosta Clyde L. CowanJS.J_ Grah11......

curso de

FISleA M00ERNAVIRGILIO ACOSTAACADEMIA NAVAL DE LOS ESTADOS UNIDOS

CLYDE L. COWANUNIVERSIDAD CATOllCA DE AMERICA

B.].GRAHAMACADEMIA NAVAL DE LOS ESTADOS UNIDOS

Traductor y adaptador: I /.-\.QUN SADA ANAYA Departamento de Fsica #aa Mecnica y Elctrica . ~acional, Mxico, D.E

OXFORDUNIVBRSITY PRBSS

ContenidoPrefacioX111

Prlogo a la edicin en espaol Primera parte Espacio y Tiempo

xv 1

1 Espacio y tiempo 3 1-1 El vaco fsico 4 1-2 El espejo del espacio-tiempo 6 7 1-3 La medida del espacio-tiempo 1-4 Materia y espacio-tiempo 8 1-5 Resumen 9 2 Leyes de conservacin 11 2-1 Conservacin del momento lineal 12 14 2-2 Conservacin del momento angular 2-3 Conservacin de la energa 16 2-4 Campos 18 Relatividad clsica 22 3-1 Lmites del "sentido comn" 23 24 3-2 Principio clsico de la relatividad 3-3 Invariancia de la conservacin del momento lineal 3-4 Invariancia de las leyes de Newton 28

3

4 El experimento de Michelson-Morley 32 4-1 El conflicto se desarrolla 33 4-2 Las transformaciones de Lorentz 36 4-3 Composicin de velocidades de Lorentz

39 43

5 Consecuencias de las transformaciones de Lorentz 5-1 Contraccin de la longitud 44 5-2 Dilatacin de los intervalos temporales 46

lJii'

CONTENIDO

5~3

5~4

Interpretacin del experimento de Micc.elson~Morley Solucin de Einstein al conflicto 51

49

6 Mecnica relativista

55 6~1 Masa y momento 56 6~2 Definicin de fuerza 58 6~3 Energa cintica relativista 6-4 Energa total 61 6-5 Revisin esquemtica 64

59

Segunda parte

Partculas y Ondas

69

7 El efecto fotoelctrico 71 7-1 Cuantos de electricidad 72 7-2 Emisin electrnica 72 7-3 Efecto fotoelctrico 73 8 Rayos X 77 8-1 Roentgen 78 8-2 Rayos X 78 8-3 Difraccin de Rayos X 83 8-4 Difraccin de Rayos X por l\na red de difraccin 8-5 Efecto Compton 86

85

9 Produccin de pares 92 9-1 Interaccin de la radiacin con la materia 9-2 Produccin de pares 93 9-3 Aniquilacin de pares 96 9-4 Absorcin de fotones 96

93

10 Naturaleza ondulatoria de las partculas 100 10-1 El dilema onda-corpsculo 101 10-2 OndasdedeBroglie 101 10-3 Confirmacin experimental de las partculas ondulatorias 104 10-4 Paquetes de ondas 10-5 El principio de incertidumbre 107 10-6 Otra forma del principio de incertidumbre 10911 El experimento de Rutherford 113 11-1 El modelo nuclear del tomo 114 11-2 Montaje experimental 115 1 1-3 Parmetro de impacto y ngulo de dispersin 11-4 Frmula de dispersin de Rutherford 119

102

116

12 El modelo de Bohr I 12-1 Modelo Planetario

124 125

-

~~=---~-

----=

--

r=-=--=--=......~-=

CONTENIDO

.

ix

12-2 12-3 12-4 12-5 12-6

Espectros atmicos 128 El modelo de Bohr-Postulados 129 El modelo de Bohr-Estados de la energa 129 La constante de Rydberg y las series espectrales 133 El modelo de Bohr y el principio de correspondencia 133

13 El modelo de Bohr 11 137 13-1 Atamos hidrogenideos 138 13-2 Correccin para el movimiento nuclear 140 13-3 El experimento de Franck-Hertz 142 13-4 El experimento de Franck-Hertz - Interpretacin Tercera parte: El tomo 149

144

14 La ecuacin de Schriidinger I 151 14-1 La radiacin del cuerpo negro 152 155 14-2 Funciones de onda 14-3 La ecuacin de Schrodinger 156 14-3 (a) Corriente de probabilidad 157 14-4 La ecuacin de Schrodinger independiente del tiempo 15 La ecuacin de Schriidinger 11 162 15-1 El Hamiltoniano 163 15-2 Operadores 164 15-3 (a) Valores promedio o esperados 165 15-3 El pozo de potencial 167 15-4 Solucin de las ecuaciones diferenciales 171 15-5 La partcula en una caja tridimensional 173 16 Algunas aplicaciones de la ecuacin de Schriidinger 179 180 16-1 El oscilador armnico clsico 16-2 El oscilador armnico mecano-cuntico 181 188 16-3 El efecto tunel 16-4 Potenciales peridicos y el modelo de Kronig-Penney 199 17 Diferentes modelos de la mecnica 17-1 Modelos de la mecnica 200 17-2 Mecnica clsica 200 17-3 Mecnica relativista 204 17-4 Mecnica cuntica 206 17-5 Dualidad ondulatorio-corpuscular 207 17-6 Principio de incertidumbre 208 18 La teora de Schriidinger del tomo de hidrgeno 18-1 La ecuacin de onda: Separacin de variables 18-2 La ecuacin azimutal 213 210 211

160

190

x

=I -~ I -4

TENIDO

La ecuacin polar 214 La ecuacin radial 214 18-5 La funcin de onda completa

,

215

19 Nmeros cunticos 1: Momentos magnticos 218 19-1 El nmero cuntico orbital I 219 19-2 El nmero cuntico magntico mI 221 19-2 (a) El operador del momento angular 222 19-3 El momento magntico del tomo de hidrgeno 20 Nmeros cunticos 11 : El efecto Zeeman 229 20-1 Un tomo en un campo magntico externo 20-2 Ei efecto Zeeman normal 232 20-3 El nmero total de estados 234

225

230

21

Las funciones de onda del tomo de hidrgeno 238 21-1 Las funciones de onda del tomo de hidrgeno 239 21-2 La distribucin de la probabilidad radial 240 21-3 Dependencia de la probabilidad angular 241

22 El spin del electrn 245 22-1 Spn intrnseco 246 22-2 El momento angular de spn 248 22-3 El experimento de Stern-Gerlach 248 22-4 Energa de la interaccin spn- yT

x

Ibl

Figura 2-2 (a)1

1

3)

Una partcula de masa m con momento lineal p dirigido en el sentido negativo del eje Y tendr un momento angular L = r x p. (b) Una partcula de masa m sobre la cual acta una fuerza F (en el plano yz) tiene un momento de torsin con respecto al origen igual a T = r x F.

En el movirrento planetario, la atraccin gravi tacional acta continuamente sobre un cuerpo. Esta siempre es una fuerza dirigida a lo largo del radio de la trayectoria del cuerpo, dado que el centro del cuerpo es el origen de referencia. "Ya que el vector de posicin r y la fuerza F estn siempre en la misma direccin, T = r X F = O, Yde la ecuacin (2-10) concluimos que el momento angular L de tal sistema debe ser constante. Para un sistema de muchos cuerpos y fuerzas, el momento de torsin resultante es

TRlf

=

L

N

Ti

i=l

~

d-

,1 aele

vectores unitarios y de las componentes del momento lineal como

dt

(N L) , Li=l

(2-11 )

L

ar)ir

i x Px

jy Py

kzp:!.

i(YPT - zp y)

+ +

Consideremos un sistema libre de fuerzas externas. Nuestro anlisis previo ha mostrado que los momentos de torsin debidos a las fuerzas internas entre cualquier par de partcUlas se cancelan, de acuerdo con la tercera ley de Newton,

j(zpx - xp") k(xp, - YPx)(2-8,)

os

16

PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

y por lo tamo

ya que dr/dl = v. Si integramos se obtiene

IL:2-3

L =

constant~

(2-12)

WAS =

Esta es una exposicin de la conservacin del momento angular.

f'.'

mv dv(2-15)

CONSERVACION OE LA ENERGIA

En la figura 2-3(a), sobre una partcula que se mueve a lo largo de la trayectoria curvilnea AB acta una fuerza F a medida que recorre el despla zamiento dr. El trabajo diferencial de la fuerza se define pordW = F' dr(2-13)

La cantidad K= ~mv2 se define como la energa cintica. Esta es una exposicin del principio de trabajo-energia: El trabajo resultante efectuado por todas las fuerzas que actan sobre la part(eula es igual al cambio correspondiente de la energa cintica. La fuerza Fe en la figura 2-3(b) se llama fUerza conservativa siWAB =

f

Fe' dr =

S la fuerza F es aplicada a lo largo de la trayectora AB, entonces el trabajo total hecho es

ACB

f

Fe' dr = constante

ADB

W.48 =

f:z

F . dI =

f:

F cos rx dr

(2-14)

Supongamos que F es la resultante de todas las fuerzas que actan sobre la partcula. EntoncesW AB

=

f BF . drA

=

fB In -dv drA

=

dt

f'CA

InV

dvz

Podemos exponer esto diciendo: Si el trabajo hecho por Fe al mover la partcula desde el punto A hasta el punto B es independiente de la trayectoria tomada, entonces Fe es una fuerza conservativa. Como un ejemplo, revisemos el trabajo hecho por la fuerza gravitacional. La figura 2-4 muestra una partcula de masa m a medida que se mueve desde el punto A hasta el punto B bajo la influencia de la fuerza gravitacional F,.

VA

Fe F

o,ilE:------------> yx

v,O

B

y

x(bl

D

la)

Figura (2-3)(a) El trabajo hecho por la fuerza F al mover la partcula una distancia dr es dW~F' dr. (b) Para una fuerza conservativa F" el trabajo WAB = I~ F,. dr es independiente de la trayectoria que conecta los puntos A y B

CAPITULO 2:

LEYES DE CONSEAVACION

17

Ya que F, ~ - jmg, el trabajo hecho por la fuerza es

WA =

--iy

Jh'

r

h '

B puede ser elegida arbitrariamente. Usualmente,B se escoge en el infinito, de manera que UB = O. Por lo tanto,

(-jmg)' (1 dxh'

+j

dy)(2-17)

mg dy = mg(h, - h 2 ) W=mghLa energla potencial en cualquier punto es entonces definida como el trabajo hecho por una fuerza igual pero opuesta en direccin, usada para mover la partl'cula desde el punto de referencia B hasta la posicin dada A. Recordemos el principio del trabajo-energa dado por la ecuacin (2-15):

h,

, I

Este puede ser reescrito para incluir tanto fuerzas conservativas como no conservativas:x

1 .O --:ro ,

WAB (conservativas)

+

WAB (no conservativas)= K. -

KA

(2-18)

Figuro 2-4 El trabajo hecho por la fuerza gravitacional conservativa es independiente de la trayectoria entre los puntosA y B.

De nuestra discusin anterior sabemos queW (conservativas) = UA ...-

U.

Rearreglando los trminos de la ecuacin (2-18) Ya que el trabajo hecho por la fuerza gravitacional es independiente de cualquier trayectoria que se tome entre M:JS puntosA y B, es una fuerza canser'i'aliva.

WA.(no conservativas} o

~

(K. - KA)- (UA-

U.)

La energ{a [XJtencial se define en trminos del trabajo hecho por una fuerza conservativa:

WA (no conservativas) - (K.

+

U.)

U...

~

f:

- (KAF dr

+

(2-19)

UA)

~

U. - U.

f2-1 e)Si toda:!! las fuerzas implicadas son conservativas, de forma que W.. . .8 (no conservativas) = 0, obte~ nernos

(independiente de la trayectoria)

La funcin eocalar de posicin U(x, y, z) es la funcin de la energa potencial asociada con la fuerza ronservativa Fe_ Las cantidades UA y Un son simplemente los valores de la funcin U(x, y, z) evaluada en los puntos extremos de la trayectoria. La energa potencial en cualquier punto dado e!lt de"'ni x ,Figura 35 Figura 3-6

~O,~

~lOm/Segx,

CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLASICA

31

muestre que (a) el tiempo del viaje redondo SRSes

LECTURA RECOMENDADA

(b) el tiempo para el viaje redondo STS e,

ALONSO, M., Y FINN, E. 1., Fica, AddisonWesley, Reading. Mass., 1968, Vol. 1. Incluye una buena seccin sobre la relatividad yproblemas relacionados.

BONDl, H., Relatividad y sentido comn Doubleday, Nueva York.Una introduccin comprensible a la tearia especial

3-10 Dos nios estn jugando con pelotas idnticas, cada una de 0.080 kg. de masa, en elpasillo de un aeroplano que viaja a la veloci-

de la relatividad. BUCHDAHL, G., "Ciencia y lgica: Algunos pensamientos sobre la segunda ley del movimiento de Newton", Brit. J. Phil.Sci. 2,217 (1951).

dad de 150 mjseg. Cada nio tira una pelota al otro a velocidades de 20 m/seg con respecto al aeroplano. Determine el momento total y la energa cintica, cuando las pelotas es-

tn en vuelo, segn las mide (a) un pasajero en el aeroplano, y (b) un observador en latierra. Explique si son invariantes el momen to y la energa cintica. 3-11 Un tomo radiactivo emite una partcula Ct: a

DRAKE, S., "Galileo y la lye de inercia", Am 1. Phys. 32, 60 1 (1964). DURELL, Clement V., Relatividad comprensible, Harper & Row, Nueva York, 1960. EINSTEIN, Albert, e INFELD, Leopold, La evolucin de lJl [isica, Simon and Schuster, Nueva York 1938.Lectura de preparacin para una introduccin a la

la velocidad de 5.0 X 106 rn/seg con respecto al tomo. Si el tomo se mueve en la direccin opuesta a la velocidad de 3.0 x lO' m/seg con respecto al laboratorio, determine la energa cintica y el momento de la partcula Q como ,e observan (a) desde el tomo en movinento, y (b) por un observador estacionario en el laboratorio. }.12 Un sistema S2 (X2, Y2) se desplaza con movimiento traslacianal uniforme con respecto al sistema S, (x 1, Y 1) a la velocidad constante de 30 mjseg paralelamente al eje x. Los ejescorrespondientes en ambos sistemas son paralelos entre s. Dos pelotas de masas mI = 2.0 kg. Y m = 3.0 kg. se mueven con res: pecto_ al marco SI con velocidades VI = 3 i l

relatividad.GALlLEI, Galileo, Dilogos sobre dos nuevas cien-

cias, traduccin de H. Crewe, MacMillan, Nueva York,1939. LANDAU, L. D., Y RUMER, G. B., Qu es la relatividad: ,Oliver and Boyd, Edimburgo y Londres, 1960. Libro pequeo y accesible, introductorio al tema. SEARS, Francis W., y BREHME, RobertW., Introduccin a la teon" de la relatividad, AddisonWesley, Reading, Mass, 1968.Texto escrito con claridad, ofrece ejemplos y muchos problemas. Teor(a especial de la relatividad, textos selectos. Instituto Americano de Fsica, Nueva York, 1963. Contiene muchas referencias y algunos excelentes artculos sobre la tora especial de la relatividad.

+

4j, (rn/seg) y v,' ~ Si, + l2j rn/seg. Calcular (a) las velocidades de las dos pelotas con respecto a S2 ; (b) el momento total lineal con respecto a SI Y a 8 2 , respectivamente; y Ce) la energa cintica total con res-

pecto a los sistemas S, YS2 .

4

El experimento de Michelson-Morley

Albert Abraham Michelson

(1852-1931)Oriundo de Strelno, Alemania, Michelson

emigr a los Estados Unidos. En1869 fue enviado a la Academia Naval

de los E. U. Siendo instructor all/(1875-7879), efectu sus primeros

experimentos sobre la velocidad de la luz. En la Escuela Case de Ciencia Aplicada (7883-7889) determinla velocidad de la luz con gran

exactitud. En 1920 Michelson midi por primera vez el dimetro de una estrella. Por sus instrumentos pticos de precisin y por las investigaciones queefectu con ellos, recibi en 1907 el Premio Nobel de f/sica.

4-1 4-2 4-332

EL CONFLICTO SE DESARROLLA LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ COMPOSICION DE VELOCIDADES DE LORENTZ

4-1

EL CONFLICTO SE DESARROLLA

En la ltima parte del siglo X1X, Ma,,-well y Hertz propusieron la concepcin de la luz como radiacin electromagntica. Desde entonces, los fsicos han investigado las muchas propiedades de la luz. Una vez se supo que la luz tena propiedades ondulatorias, los fsicos juzgaron natural proponer un

medio que propagara este movimiento ondulatorio, o sea, algo en lo que viajaran las ondas de luz. Este medio se conoci generalmente como ter timimfero. Para calificarlo como portador de las ondas de luz, era necesario que dicho ter poseyera algunas propiedades muy extraas. Se postul que el ter era lUla sustancia ms ligera que cualquier ...as o vapor, y al mismo tiempo tena una rigidez comparable a la del acero. En 1887 ALBERT A. MICHELSON y E. W. ~ORLEY idearon y ejecutaron un experimento para probar la naturaleza del ter luminfero y pa ra intentar determinar la velocidad de la luz con respecto al ter. Los fsicos se dieron cuenta de que si este ter exista, deba llenar todo el espacio y deba ser el sistema de referencia primario y absoluto para la luz. Concluyeron que la tierra deba o estar en reposo o movindose con respecto al ter 1 y que consecuentemente el marco de referencia inercial para la luz estaba o en reposo o movindose con respecto a la tierra.

Para efectuar tal experimento, se necesitaba un instrumento ptico preciso. El interfermetro* es un instrumento que haba sido desarrollado para medir la fase, o las posiciones, de los picos de onda a lo largo de un haz de luz, deducindose de estas mediciones la distancia de un pico al siguiente. Con este instrumento tambin se pueden realizar otras muchas e interesantes mediciones. La figura 4~1 muestra un esquema del interfermetro. Ntese que un espejo sernlplateado M divide el haz incidente de luz en dos haces componentes que viajan despus formando un ngulo de 90 entre s. Se dice que estos dos haces son coherentes porque se originan del mismo haz original, y cada porcin de las ondas de luz de un haz tiene una diferencia constante de fase con respecto a las ondas de luz que forman el otro haz. Estos dos haces son a continuacin reflejados por los espejos totalmente plateados MI y lvf2 Y luego regresan al observador va el espejo M. Si los dos haces recorren trayecturias pticas iguales, llegarn en fase y producirn un campo brillante por interferencia constructiva. Si la trayectoria ptica de un haz es incrementada corriendo el espejo MI el M 2 ligeramente, los haces empiezan a llegar al observador cada vez ms fuera de la fase, con una disminucin de la intensidad debida a la interferencia destructiva. Si unVer A. A. Michelson, Estudios en ptica, University of Chicago Press (Phoenix Books), Chicago, 1962.

33

34

.

PRIMERA PARlE: ESPACIO '( TIEMPO

z,

Superficie semi-plateada

.-

~ y,

Superficie totalmente plateada

Placa compensadora Superficie totalmente plateadaMARCO S2 UNIDO AL INTERFEROMETRO EN REPOSO CON RESPECTO A LA TIERRA

x,MARCO SIEN REPOSO CON ReSPECTO AL ETER O A LAS ESTRELLAS FIJAS LA TIERRA SE MUEVE CON RESPECTO AL ETER

x,

Figura 4-1 Esquema del interferrnetro de Michelson, usado para determinar la velocidad oe la luz con respecto a la tierra. espejo se mueve a una distancia de 1../4 de su posicin original, los dos haces quedan completamente fuera de fase y se interfieren destructivamente hasta producir un campo obscuro. Note que una pieza de vidrio, llamada placa compensadora, se ha introducido en la trayectoria l. Ambos haces de luz viajarn tres veces a travs del mismo espesor de crista! antes de llegar al observador. Cuando Michelson y Morley decidieron efectuar un experimento para probar las propiedades del ter, pensaron que un interfermetro servira sus propsitos. Querian disear un experimento que determinara de hecho si exista el ter y si se mova con respecto a la tierra. Como las ondas en la superficie de un ro, las ondas de luz deban aparecer movindose a diferentes velocidades con respecto a un observador, dependiendo de si las ondas se movan o no a favor de la corriente del ter, en contra o perpendicularmente. Si la tierra se mueve a travs del ter (o, lo que es lo mismo, si el ter fluye a travs de la tierra) un observador debera poder detectar una diferencia en la velocidad de laluz en distintas direcciones. Para lograrlo, Michel son y Morley construyeron un gran interferme tra, que hicieron flotar sobre una piscina de mero curio. Entonces trataron de observar cambios en la velocidad de la luz a lo largo de la trayectoria 1 con respecto a la 2, a medida que cambiaban la direccin del interfermetro hacindolo girar en su piscina de mercurio. Una diferencia relativa en la velocidad de la luz sera indicada por cambios en la brillantez de las franjas al fina! del haz. Repitamos el experimento en nuestra imaginacin. pero eliminando las muchas dificultades que tuvieron que vencer Michelson y Morley. Construyamos un gran interfermetro con las trayectorias M M (no. 1) = M M 2 (no. 2) = L y hagamos flotar el aparato en mercurio, orientando el eje SM en la direccin en que la tierra viaja con respecto a las estrellas fijas distantes. Elegimos esta orientacin como un supuesto razonable de la di reccin en que viajamos a travs del ter (si es que ella existe). La velocidad de la luz con respecto a! ter es e,

CAPITULO 4; EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

35

y gracias a las transformaciones Galileanas deducimos que la velocidad de la luz con respecto a la tierra~ a lo largo del brazo del interfermetro paralelo a la velocidad v de la tierra, es

e-v e+v

(deMaM) (deM aM)

mos analizado el experimento usando las transfor maciones Galileanas clsicas, estos tiempos deben ser independientes de nuestro movimiento (del movimiento del observador). Partiendo de las ecuaciones (4-3) Y(4-4),

(4-' )

El tiempo implicado para cada viaje de tma onda de luz ser L

~ _ (2L/e)/..j 1 - (v/e)2 IJ. (2L/c)/[1 - (v/e)2]

l

..JI -

(v/e)2(4-5)

e- v(4-2)

De modo que el tiempo para el viaje redondo, MM 1 M. en direccin paralela al movimiento de la tierra, es111 = e -

L

v c + v 1 - (V/C)2 tiempo para tiempo paraMM 1 M 1M

+

L

2L/e - ---;'--:--",

(4-3)

El tiempo para que la luz haga el viaje redondo. M M 2 M. en direccin perpendicular al movimiento

As, 111>11, y las dos porciones del haz coherente deberan producir un patrn de interferencia al juntarse. Cuando Michelson y Morley efectuaron muy cuidadosamente este experimento en lSS7, espera ban observar un corrimiento de al menos 0.40 de banda. Sin embargo, sus esfuerzos mostraron que, a lo ms, el corrimiento era de 0.005 de banda. Por ende. se preguntaron si haba, de hecho. un efecto que pudiera ser observado. Desde entonces se han realizado muchos otros experimentos cuidadosos para medir la velocidad relativa de la luz, pero nin guno ha servido para demostrar la existencia del ter luminfero. El resultado experimental siempre dio(4-6)

de la tierra, es

+ L v2 ..je 2 _ v2 tiempo para tiempo paraL

..je 2

_

MM2

M2M

(4--4)

-..je""'2~""'v2 - '..j""1~('C'v/'C'e )""2 IEstas ecuaciones resultan de la composicin clsica de velocidades como se muestra en la figura 4-2. Si e es la velocidad de la luz con respecto al ter en el marco de referencia SI, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra (marco de referencia S2) en ambos viajes MM2 y M,M es siempre

2L

2L/e

En otras palabras, la ecuacin (4-6) es la respuesta experimental de la naturaleza a la pregunta de si existe o no el ter, pregunta que Michelson y Morley intentaron responder con su experimento. Un conflicto surge, sin embargo, puesto que -de acuerdo con el anlisis Galileano- un observa dor que efecta este experimento debera observar que tll > 11, y esto no se observ. Por otro lado, si se rechaza la composicin Galileana de velocicla des, y aceptamos que la velocidad de la luz es la misma para ambos sistemas inercifiles SI Y S2, ten dremos111 = e

2L

..je' - v2.Las ecuaciones (4-3) Y (4-4) dan los tiempos de viaje MMM y MM,M medidos por nosotros, los observadores terrestres. Notemos que ya que he-

2L t1. = ey por consiguiente

36

PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO.- -----..,'-

------'

e (velocidad de con 'e'peeto a /

lac'~Z /

vc

(Velocidad de la luz con respecto a S2)\

2

~ v2

(Velocidad de la luz con respecto a S2)

vc

e Velocidad de la luz "\on respecto a SI)

2

v2

IM

M"viaje de M a M 2

/,>~,;L-/- ,'pviaje de M2 a M

Figura 4-2 Movimiento relativo de la luz de acuerdo con la composicin clsica de velocidades, a medida que se refleja entre los espejosM y M 2 "

t" ~ t~ Este resultado concuerda con los resultados de muchos experimentos. Por lo tanto, los resultado~ del experimento de Michelson-Morley forzaron a los fsicos a aceptar la invariancia de la velocidad de la luz. De lo cual concluimos que la velocidad de la luz es la misma, sin importar que esta velocidad sea medida por un observador en un sistema estacionario o por un obsenJador en un sistema que se mueve a una velocidad constante con respecto a la fuente de luz. El experimento de Michelson-Morley fue crucial, porque los resultados "negativos" que produjo originaron una revolucin en el pensamiento conceptual de la fsica. Se cre la exigencia por illla visin ms profunda de la naturaleza del espacio y del tiempo. El espacio y el tiempo son, despus de todo, la estructura dentro de la cual se encuentra "la naturaleza. Tal vez muchos o aun la mayor parte de los eventos observados a nuestro alrededor y que llamamos "naturales" son nicamente manifestaciones de diferentes propiedades del espacio y del tiempo. Como fsicos, juntaremos estas propiedades y las estudiaremos bajo el ttulo de "transformaciones". Una pregunta que usualmente formula un fsico es: "Cmo aparecer este evento particular si lo veo ocurrir desde algn otro marco de referencia-en alguna situacin en que yo pueda estar viajando, acelerando o girando con respecto al laboratorio en que al presente estoy en reposo?" Es difcil, y aun imposible, responder esta pregunta. Buscando respuestas a estos

problemas de transformaciones, los fsicos han logrado grandes progresos en las dcadas recientes, en su esfuerzo por comprender y definir la fsica. Las conclusiones, particularmente la invariancia de la velocidad velocidad de la luz, resultantes del experimento de Michelson-Morley, constituyeron la base experimental para la teora de la relatividad de Einstein*. Los resultados de este experimento y el trabajo de Einstein originaron una tendencia orientada hacia la investigacin de las propiedades de transformacin de toda la naturaleza. El esfuerzo de los cientficos por comprender mejor la naturaleza del espacio y del tiempo todava se encuentra a la vanguardia de la fsica. Esta empresa fue firmemente establecida con las ecuaciones de movimiento de Galileo y Newton y empez a expanderse an ms con las de Lorentz.

4-2 LAS TRANSfORMACIONES OE LORENTZEn este punto nos vemos forzados, en relacin con los experimentos que tratan con la luz, a rechazar el uso de las transformaciones Galileanas, excepto como una aproximacin a la verdad, y a buscar otras ecuaciones ms generales y compatibles. Recordemos que si v/c ~ O (o sea, si v es pequea), la ecuacin*Para una discusin absorbente sobre el eslabn gentico entre los experimentos de Michelson y la teora de Einstein, ver Gerald Holton, "Einstein y el experimento crucial", Am. J. Phys 37, 968 (1969).

CAPITULO 4: EL EXPERIMENTO DE MICHELSONMRLEY

37

(4-5) se vuelve t 11 = tl' Por otro lado, para grandes velocidades (si v le -+ 1), nos vemos forzados a rechazar las transformaciones Galileanas. Sin embargo, an pueden considerarse como una buena aproximacin en el mundo de movimientos ms lentos. Considrese la figura 4-3, donde un sistema inercial S 1 est en reposo y un sistema inercial S2 se desplaza con movimiento traslacional uniforme (v = constante). En el tiempo t, = t, = O ambos marcos coinciden, los relojes son perfectos y estn sincronizados. En el instante tI = t 2 = Ose emite un pulso de luz desde el origen comn de S, Y S2' Sea M un punto hasta el que ha avanzado el haz de luz con coordenadas espacio-temporales (x 1, Y 1, Z 1, tI) Y (X2 ,Y2, Z2, t 2 ) en los sistemasSl y S2' respectivamente. De acuerdo con los resultados del experimento de Michelson-Morley, la velocidad de la luz e debe ser la misma para ambos sistemas inerciales SI y S2' Las distancias'l Y'2 desde sus orgenes respectivos hasta el punto M (el punto alcanzado por el pulso) estn dadas por

1

Is' !

M

z,Figura 4-3

El sistema S 2 se mueve a velocidad constante con respecto al sistema estacionario SI. posible pensar en muchos ejemplos en que puede aplicarse tal sistema de ecuaciones. Este mtodo debe funcionar si es que todos los observadores han de ver la misma naturaleza en el mismo universo. El sistema de ecuaciones usado para tal interpretacin es llamado una transformacin. Podemos pensar de este mtodo simplemente como de una nueva forma de relacionar las coordenadas de un evento, vistas desde un marco, con otro .o:::istema de coordenadas vistas desde otro marco. Esto equivale a decir que no creemos que nuestra eleccin de coordenadas deba tener efecto sobre lo que observamos est acaeciendo en la naturaleza. Recordemos que en esta discusin estamos slo considerando marcos de refereIlcia que se mueven a velocidad constante entre s. El tratamiento de transformaciones entre marcos acelerados los unos con respecto a los otros constituye todo un campo de investigacin, que est ms all del alcance de este texto. Este tema constituye el estudio de la llamada relatividad general. Hagamos nfasis en que aqu nos interesan solamente aquellos marcos que se mueven a velocidad constante. Se les conoce como marcos inerciales porque hay una relacin especialmente simple entre ciertos vectores (tales como los de momento) vistos desde diferentes marcos. Suponemos que las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un marco inercial con las de otro son ecuaciones lineales de la siguiente forma

(4-7)

Por lo tanto, nos vemos forzados a aceptar el hecho de que los dos tiempos de viaje tI Y t 2 (medidos por los observadores 0 1 y O2 ) son diferentes, aunque esto sea contrario a lo que podamos experimentar "de ordinario". De la ecuacin (4-7)

x,z + y,z + z ,'x/ + y/ + z/ -

(4-8)

y de las condiciones de simetraYl = Y2 Y Zl -

=2 , la ecuacin (4-8) se combina ahora para darX2' -

e2 t 2 2

-

X 2 _ 1

e2t 2 1

(4-9)

En este punto, nos desviaremos de nuestra ex posicin para hacer notar que estamos partiendo de un supuesto: Existe un sistema de ecuaciones que interpreta la descripcin de una serie de eventoS, vistos desde un marco, en la descripcin de la misma serie de eventos vistos desde otro marco. Es

38

PAlMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

x, = y(x, - vI,)Y2 = y,Z2

Tambin la expresin v/c se denota usualmentepor~.

=

(4-10)

La ecuacin de transformacin (4-10) toma

Zl

ahora la forma

1, =

a(t, - bx,)

en las que "'(,a y b son constantes, que evaluaremos en los prximos prrafos. Varios requisitos debe cumplir el formato de transformaciones' dado por la ecuacin (4-10). Deseamos enfatizar que las ecuaciones deben ser lineales en forma, ya que un evento descrito en un sistema slo debe transfor marse en un evento en un segundo sistema. (Una transformacin de forma cuadrtica podra conce biblemente producir dos solucienes, lo que implicara que un evento efl un sistema podra interpretarse como dos eventos en un segundo sistema, situacin que es imposible). Tambin, para veloci-

I x, _ x 1 y, = y,

vI

.JI _ P'

,

= y(x, -

VI,)

(4-15)

l, -

1, -

(v/c')x,

.JI _ P'

Las transformaciones inversas de la ecuacin

(4-15) son

dades pequeas comparadas con e(v/e .... O), lasnuevas transformaciones deben reducirse a la forma de las transformaciones Galileanas. La ecua-

x, - X2 + VI, .j 1 _ P'y, = y,

=

y

(

X2

+

Vl2

)

cin (4-10) se mantiene igualmente para sistemas coincidentes, o sea,cuando!1 =OYXI = 0, luegox2=Oyl,=O

(4-16)

Ahora sustituyamos la ecuacin (4-10) en la ecuacin (4-9) para obtener

ti -

_1, + (v/c )x, _ y (12

.JI - P'

-

2

+ P x,) e

x,'(y'- a2b'c' -1) + x,I,(-2y'v + 2a'be') + I,'(y'v' - a'e' + e') = O (4-11)Ya que esta expresin es idntica a cero,

Estas ecuaciones se pueden obtener ya sea por manipulaciones algebraicas o, practicamente, inter-

cambiando los subndices en la ecuacin (4-15) yreemplazando v por - "l). Estas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz en ho(4-12)

r' ../ v2

a'b'e' - 1 = O - 2y'v + 2a'be' = O_

a e

2 2

+

e = O

2

Resolviendo estas ecuaciones para las constantes 'Y, a, y b obtenemos

nor de H. A_ LORENTZ (I853-I92S), el fsico holands que las enunci en 1890. En 1923 Niels Bohr propuso un principio decorrespondencia. Este establece que cualquier teoria nueva en la [sica debe reducirse a la bien establecida teoria clsica correspondiente, cuando la nueva teona se aplica a la situacin especial en que la tearza menos general se acepta como vlida. Es-

Y= a -

---;===7=0=

1

-h -

(4-13)

(v'/e')

tudiemos la ecuacin (4-15) para ver si el principiey

~~

(4-14)

de correspondencia se mantiene. Cuando (3 = vIc -+O, vemos que la ecuacin (4-15) se reduce a:

x,Z,

= Xt - vI,

la expresin l/VI - p2/el , se conoce como factor de Lorentz y usualmente se representa por 'Y.

Yo = Yl

1,

-

z,1,

CAPITULO 4; EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

39

que son las transformaciones Galileanas [ ecuacin (3-7) 1- AS, resumimos: Las transformaciones de Lorentz -+ Las transformaciones Galileanas

Intercambiando los subndices 1 y 2 Y reemplazando v por - v obtenemos la transformacin inversa de velocidadesV2x

v cuando (J = e

-->

O

V lx

=

I

+

v 2)v (v/e 2(4-19)

+

4-3

CDMPDSICIDN DE VELDCIOADES DE LDRENTZ

v"

-

v2,.JI - {J2 I + (vle 2)v 2 v".J - {J2 I + (V/C 2)V2'

Diferenciamos la ecuacin (4-15) para obtener

v" -

dX 2

- .JI -

_ dx, - vdl _ (v,. - v) dI, {J2 {J2

- .JI -

dy, - dy,(4-17)

dZ 2 = dz 2 dl = dI, - (v/e ) dx, _ "'(l=------i=vv"',~,J~e~2)~d:::I", 2 {J2 {J2

.JI -

.JI -

Consideremos una partcula M que se mueve paralela al eje x con una velocidad V2 = v'2 x en el sistema S'2' el cual a su vez se mueve con velocidad v con respecto al sistema inercial SI' De acuerdo con la transformacin Galileana, las componentes de velocidad de M medidas en el sistema inercial SI sonV1%VI)'

donde VIX = dxJ.!dt l, As las ecuaciones de transformacin de Larentz para la velocidad son=-

Vlz

= V2x + v = = v 2 }' = O = V2z = O

V2

+

v

(4-20)

V2%

dX 2 dl 2

-

vI V 2 - (v/e )v"% -

Segn las transfonnaciones de Lorentz, las componentes de velocidad son(4-18)

dy, v".J 1 - {J2 V2, = - = dl 2 - (v/e 2)v. dZ 2 v".J - {J2 v2, = - dl 2 - (vle 2)v"

v 2%

+

2 (vle )v2'

+

v

v2

+

v

+

2 (vle )v2'(4-21 )

_ v2,.JI - {J2 = O . + (vle 2)v 2 v2,.J1 - {J2 = O + (v/e 2)v2>En particular, si dejamos que macin Galileana daV1JI: =VI}'

tese que ahora, con las transfonnaciones de Lorentz, aun cuando la velocidad v se produce a lo largo del eje x, las componentes y y z de V2 tambin dependen de VI x. Cuando ~ = vle -+ O, estas ecuaciones toman la formaV2xV2:r

V-z

= e, la transfor~

e

+

v

V2z

= v lx = vI:r = vh

-

V

=O=

v"

O

Pero stas son la composicin Galileana de velocidades. De suerte que el principio de correspondencia s se aplica.

Este resultado es incompatible con los datos observados en el experimento de Michelson-Morley. Sin embargo! las transformaciones de Lorentz indican que

40 .

PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

V lx

-

e

+

I

+

v = e (v/e')e

rentes A(x lA, Y A) Y B(x I B, Y lB) no son simultneos en el sistema S2. SOLUCION: La ecuaClOn (4-15) muestra que la transformacin de Lorentz para el tiempo es

VI,

- O - O

VI.

lo cual s est de acuerdo con los resultados del experimento de Michelson~Morley.

EJEMPLO 4-1:Muestre que si (XI, YI, ZI, Id y (x" y" z" 1,) son las coordenadas de en evento en SI Y del evento correspondiente en S2, respectivamente, entonces la expresin

Usando esta ecuacin en el caso que nos ocupa, obtenemosI'A =

y

(ti - ~

X IA )

y

I'B

Y

(ti - ~ Xl.)13 (XI.e- Xl.)

Por lo tanto, es variante bajo una transformacin de coordenadas de Lorentz (o sea dS I ' = ds,')SOLUCION: Diferenciando las expresiones de la ecuacin (4-16) dX 1-

= y-

As, los dos eventos no pueden ser simultneos en el sistema SI, a menos que Xl..4. = X 1s 'PROBLEMAS

dX 2

+ v dt 2 -JI _ 13'4-1

dYI

dy,-

dZ I dt l

dz, dt,

=

+ (j3/e) dx, -JI _ 13'evi~

donde hemos supuesto que v = constante. Es dente que

Empiece con la transformacin de Lorentz, de la ecuacin (4-15) Y resulvala algebraicamente para Xl, Yl, Zl, Y tI mostrando que la transformacin inversa de Lorentz, ecuacin (4-16), se puede obtener intercambiando los subndices 1 y 2 de las coordenadas y reemplazando v por -v Repita el problema 4-1 para la transformacin de velocidades de Lorentz en la ecuacin (4-18) Y muestre que las ecuaciones inversas se pueden obtener como en el problema 4-1, Use la transformacin de velocidades de Lo" rentz para mostrar que SI VI x '+ VI y '+ 2 V1 z 2 = e en el sistema inercial SI, entonces , en e1" Vlx '+ v 2 y '+ Vlz , - e SIstema inercial 5," (Esto muestra de nuevo que la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas inerciales, de acuerdo con las' transformaciones de Lorentz).

4-2

ds/

=

dt,), y, z, (dX, I +_ v13' + d' + d' -J e' (dt, + (j3/e) dX,),-JI _ 13'4-3

lo que se 'implica a

dS 1 2 = dx/

+

dy/

+

dz/ - e2 dt/

ds/

EJEMPLO 4-2Muestre que dos eventos que ocurren al mismo tiempo tI (simultneamente) en dos puntos dife-

CAPITULO 4:

EL EXPERIMENTO DE MICHELSONMORLEY

41

4-4

Considere un sistema inercial Sz que se mueve a la velocidad v e con respecto al sistema SI' Un observador en el sistema S2 rastrea una partcula que se mueve con una veloci dad de componentes rectangulares VZ x =c y v" =e(2. Calcule la magnitud y direccin de la velocidad de la partcula medida (a) por las transformaciones de velocidad de Lorentz, y (b) por una composicin Galileana de velocidades. Compare sus resultados. Dos vehculos de propulsin fnica se aproximan uno al otro en direcciones paralelas y opuestas con velocidades de 0.8Oe y 0.7Oe con respecto a un observador en re:eoso a lo largo de la lnea de accin. Calcule la velocidad relativa de los dos vehculos (a) medida segn la mecnica clsica, y (b) medida segn la mecnica relativista. Compare resultados. Cuando un reloj pasa por nuestro costado a la velocidad de v = e(2, marca 12 = Ojustamente cuando nuestro reloj marca tI = O. Use la transformacin de Lorentz para determinar la lectura de nuestro reloj cuando el reloj en movimiento marca t2 = 10 seg.

4-9

Muestre que la frmula relativista VI x = (V2x + v)/[l +(v(e 2 )v2x] da (a) v'x < e cuando v < c y v? x < c y (b) v 1 x = e cuandov2x V=C.

4-10 Un evento C\.ue ocurre en el sistema S\ tienecoordenadas Xl = 1.0 x lOS ffi,Yl = O,ZI = 1.0 X lO' m, 1, = 1.0 X lO' seg. Cules seran las coordenadas de este evento medidas por un observador inercial unido a S2 y movindose a la velocidad relativa de c/2 en la direccin XI?4-11 Un electrn es proyectado a un ngulo de 37 con respecto al eje x 1 a la velocidad de e/2. Determine la magnitud y direccin de la velocidad de este electrn medida desde un sistema inercial que se mueve a la velocidad de c/2 como se ve en la figura 44.

4-5

4-6

Figura 44 4-7 Un hombre en un carro que se mueve a la velocidad de 60 km/hr. lanza una pelota en la misma direccin en que se mueve el carro. Si la velocidad de la pelota con respecto al carro es de W km/hr. calcule la velocidad de la pelota con respecto al piso usando (a) cuaciones relativistas y (b) Galieanas. Compare resultados. El capitn de un vehculo espacial que viaja a la velocidad de 0.8Oc con respecto a una estacin de radar estacionaria, usa un can electrnico para disparar electrones en la misma direccin de viaje a la velocidad de 0.9Oe con respecto al vehculo. Calcule la velocidad de los electrones con respecto a la estacin de radar (a) segn la mecnica relativista, y (b) segn la mecnica clsica. 4-12 Un experimento es iniciado en la tierra (su~ puesta en reposo) en el cual cuando tI = 1.000 seg., se dispara un pulso laser hacia la luna y cuando tl = 2.210 seg., un detector sobre la superficie de la luna marca la llegada del pulso. Cul ser el tiempo de viaje de este pulso medido por un observador que viaja en la misma direccin del pulso a la velocidad de O.soOe?

4-8

LECTURA RECOMENDADA

BREHME, Robert W., "Una interpretacin geomtrica de las Transformaciones de Galileo y Lorentz ", Se bosquej a un mtodo claro y prctico para manipular transformaciones.

42

.

PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

FEYNMAN, R. P. LEIGHTON, R. B., Y SANDS, 1.. M. Conferencias Feynman sobre fsica, AddisonWesley, Reading, Mass., 1964, Vol. 1, Captulos 15,18 Y20. FRENCH, A. P., Relatividad especial, Nortnn, Nueva Ynrk, 1968. Libro muy interesante con muchos problemas sobre relatividad. La relacin del experimento de Michelson-Morley es muy buena. JAFFE, Bernard, Michelson y la velocidad de la luz, Doubleday (Anchor Books), Nueva York, 1960. Descripcin elemental del interfermetro de Michelson, as como una excelente biografa de este famoso cientfico. MJCHELSON, A. A., "Sobre un mtodo para medir la velocidad de la Luz", Am. J. Sei. 15, 394395 (1878). MJCHELSON, A. A., Las ondas de luz y sus usos, University of Chicago Press. Chicago, 1903. MJCHELSON, A. A., Estudios sobre ptica, University o Chicago Press (Phoenix Books) Chicago,

1962.Un libr pequeno y conciso, con una buena descripcin del interfermetro de Michelson.

MlLLER. D. C. "Experimentos sobre el movimiento del ter y la determinacin del movimiento absoluto de la tierra", Rev. Mod. Phys. S, 203-242 (1933).RUSH. J. H. "La velocidad de la luz", Sci.Am., agosto tic 1965.

SHANKLAND, R. S., "El experimento de Michelson-Morley". S. Am., noviembre de 1964. SHANKLAND, R. S., et al., "Nuevo anlisis de la observacin interforomtrica de Dayton C. Miller", Rev. modo Phys. 27, 167 (1955). Un resumen de muchos esfuerzos experimentales efectuados para apoyar (o rechazar) existencia del ter liminfero.

Teona de la relatividad

especia~

textos selectos,

Instituto Americano de Fsica, Nueva York, 1963. Contiene muchas buenas referencias y artculos excelentes sobre la teora especial de la relatividad. (Ver tambin las referencias incluidas al final del Captulo 3).

5na

v-ito 42

Consecuencias de las transformaciones de Lorentz

,. ,elHendrik Antooo Lorentz (1853-1928)Nativo de Arnheim. Holanda, Lorentz

la C.les 1e1

recibi su doctorado en fsica de la Universidad de Leyden en 1875. Fue director de investigaciones del Laboratorio Tey/er en Haarlemy profesor honorario en Leyden. En

1903 desarroll las famosastransformaciones de Lorentz, que ayudaron a Einstein en su formulacin

,s,,3.~x-

lel

de la teora de la relatividad. Tambin estudi Lorentz activamente el electromagnetismo, la gravitacin, la termodinmica, la radiacin y la teoda cintica. Por su explicacin terica del efecto Zeeman, comparti el Premio Nobel con Pieter

aeroan en 1902.

5-1 5-2 5-3 5-4

CONTRACCION DE LA LONGITUD DILATACION DE LOS INTERVALOS TEMPORALES INTERPRETACION DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY SOLUCION DE EINSTEIN AL CONFLICTO43

La dena ner ce

difermaci

ecuacros ea

ondl (4-H la Ion coord sustra

5-1

CONTRACCION OE LA LONGITUO

longitud como la diferencia entre los dos nmeros que marcan sus extremos:( &--2)

expre

nes p' Exam

Consideremos por un momento la longitud de una barra de un metro. Este parecer a primera vista un

ejercicio muy tonto ya que la longitud de una barra de un metro es esa precisamente. Pero aclaremos esta declaracin aadiendo que 1 ffi. es la IonA

8

gitud de la barra vista desde el marco de reposo de la barra, y llamemos al marco 8 2 (ver figura 5-1).Si la barra yace paralela al eje x en este marco, la distancia desde el extremo A, en XA2. al extremo

B en

XB2

es 1 m. La longitud de la barra en 8 2 se

Ya q siemr la sor do depeero

define entonces como la diferencia entre estos dos nmeros sobre el eje x:(&--1 )

corta. jeto, 1Figura 5-1 Parece razonable requerir que el valor de L 1 seaconstante en el tiempo. Sin embargo, debemos investigar para ver si esto es posible, ya que los dos "I\~\\\e\ll~ ,,"\l.e 11Th '\l. ~ ..\()\ .. \\.. , -e '\l. -uete"-c\. ~

Adems, estos dos nmeros permanecern iguales

con el paso del tiempo, ya que 8 2 es el marco de reposo de la barra. Su diferencia L 2 tambin permanecer constante en el tiempo.

Anara mi.leJ'l\()~ e~\a J'l\i\\roa1:>aU'd CIlJ'l\1l ()'I>~el~adores situados en el marco S t. Dejemos que el marco 8 2 se mueva con velocidad v en una direc-

estn cambiando. Si la longitud de un objeto esconstante en un marco (yen este caso lo es enS2,).

cin paralela al eje x de 8 l , El extremo A yace enXAl

pensamos que la longitud tambin debe ser constante observada desde cualquier otro marco. Si esto no fuera verdad, el mismo objeto podra enton-

en SI, Y el nmeroxAl est cambiando constantemente a medida que se mueve 8 2 . El nmero XB l' que marca el otro extremo de la barra, tambin cambiar con el tiempo. Mirando a la barra como observadores en S1 ~ de nuevo defInimos la

=.stcou

ces parecer rgido a un observador y no rgido (elstic~)

a otre observador que se mueva con res-

pecto

~

prUnero..:ado

r1

44

CAPITULO 5: CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

45

La transformacin de Lorentz de valores coordenados provee la solucin al problema de mante-

ner constante la longitud de un objeto, visto desdeiferentes marcos. Apliquemos esta transfor-

Albert Einstein propuso q'Je la transformacin de Lorentz se considerara una ley fundamental de la naturaleza, que remplazara al grupo Galileano de transformacin) cuano la velocidad se vuelve 10 suficientemente grande para ser medida en trminos

acin a los dos nmeros en el lado derecho de la ecuacin (5-2). Obtendremos los siguientes nme:os equivalentes en el marco 8 2 :X,tI

de e. La declaracin de que la longi tud de un objeto depende del estado de movimiento del observador sorprendi tanto a los fsicos durante 10s primeros aos de este siglo, que muchos de ellos pusieron en duda la validez de los resultados emp-

= y(x1 Y(x B

(5-3) (5-4)

XB2 =

zonde 'Y es el factor de Lorentz [ver ecuacin 4-13)], y t, es el instante en que medimos en S, _ longitud de la barra anotando los valores de las .:nordenadas deA y B. Tendremos una sorpresa al ;straer la ecuacin (5-3) de la ecuacin (54)! La ~presin para el tiempo se cancela de las expresio=es para la longitud (como dijimos que deba ser).::'xaminemos lo que nos queda:(5-5)

ricos del experimento de Michelson-Morley. Empero, estos resultados han soportado la prueba deltiempo siendo conflImados por muchos otros experimentos. Con esta nueva percepcin resulta interesante para nosotros descubir que Lorentz y un fsico

irlands, G. F. FITZGERALD (1851-1901), pensaron que el acortamiento de un objeto en movi-

miento se deba a alguna especie de fuerza aplicada al objeto por su paso a travs de un ter estacionario. Muchos esfuerzos se dedicaron por ese entonces a descubrir la naturaleza de tal fuerza. Einstein adopt el punto de vista, totalmente opuesto, de que esta contraccin es una propiedad del espacio misnw. y de que no existe un marco de referencia absoluto, o preferible a todos los otros. Einstein rechaz la idea de que el movimiento absoluto en la naturaleza, excepcin hecha de la luz, tuviese significado. A su juicio, el movimiento de la luz en el vaco es absoluto. Tambin crea que la velocidad tena el mismo valor, llamado e (para la luz), visto desde cualquier marco (sin im-

IL z =

yL

I

Ya que v debe siempre ser menor que e) 'Y debe

100 THEN 190 ' A MEANS OF SKIPPING A SPACE BETWEEN DATA GO TO 40 DATA .95.2.. 95.5..95.10..95.20..95.100..95.1000 PRINT PRINT GO TO 40 OATA .999.100..95.100..80.100.. 50.100..10.100..01.1 00 DATA .001.100.1E-6.100 END

(a) Para ver el efecto de la expansin, deje que F(= V/Cl= 0.95 y enalo para R = 2,5,10,20,100, 1000 trminos (ver enunciado de datos 160).V/C 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95 REL KE-JOULES 6.19493 E-14 1.0767 E-13 1.44292 E-13 1.7'0079 E-13 1.8032 E-13 1.80321 E-13 CL KE-JOULES 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14

% DIFF 67.6875 191.447 290.576 360.379 388.098 388.102

NO. TERMS 2 5 10 20 lOO 1000=

(b) A continuacin compare las energas cinticas en funcin de la velocidad. Deje que R lo para F = 0.999,0.95, 0.80, 0.50, 0.10,0.01,0.0001.0.999 7.87098 E-13 0.95 1.8032 E-13 0.8 5.45792 E-14 0.5 1.26651 E-14 0.1 4.1244 E-16 0.01 4.09375 E-18 0.001 4.09344 E-20 0.000001 4.09344 E-26 OUT CF DATA IN 40 4.08526 E-14 3.69433 E-14 2.6198 E-14 1.02336 E-14 4.09344 E-16 4.09344 E-18 4.09344 E-20 4.09344 E-26 1826.68 388.098 108.333 23.7604 0.756303 7.50202 E-3 7.4002 E-5 9.40984 E-7 100 100 100 100 100 100 100 100

100 Ycrra

6-4

~NERGIA TOTAL

(vlida tanto en la mecaruca clsica como en la relativista) muestra que

Conforme a la ecuacin (617), si un cuerpo que se mueve a la velocidad VI aumenta su velocidad a V2' el trabajo neto requerido, o el cambio en la energa :mtica, ser

IK , + V,

=

K2

+

V2

~constante I

(6-'9)

donde K es la energa cintica en un punto dado y Ves la energa potencial en el mismo punto. De las ecuaciones (6-18) Y(6-19), concluimos que

K2 - K ,

=

V, - V2

=V,

(m)e 2

I KE

= (m2 -

2 m , )c = (m) e2

1

(6-18)

As,.--'',' b',10

V2

e

2

(6-20)

.-\s, un cambio en la velocidad (o en la energa cintica) producir un cambio en la masa ()Jn =m'2 mi'

Para W1 cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas conservativas, la conservacin de la energa

L

caro

en a masa = cambio en la KE _ cambio en la PE2 2 C C

62

PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

Ya que la energa de reposo se define como F o = moc'2, la energa total se defmir como(6-21)

o, de la ecuacin (6-26)K- pe(6-27)

y ya que E = moe'

+

(m - mo)e',(6-22)

Las partculas de altas velocidades para las cuales son tiles las ecuaciones (6-27) Y(6-26) se encuentran en la regin relativista extrema.Otta telacin intetesante que implica la enetgl'E.

Advierta que esta defmicin de la energa total en relatividad no incluye la energa potencial. La equivalencia entre la masa y la energ{a [ex-

total se obtiene diferenciando la ecuacin (6-2-lEsta es pe' dE E dp

presada por la ecuacin (6-22)) es una de las eansecuencli2s nuis importantes de Id teorla especial de la relatividad. Ahora se transfonna en el principio de conservacin de la masa~nerga, que para un sistema aislado se puede exponer en la forma

I~~

pe' -= me'

~

v

(6-28)

L: (energa de reposo + energa cintica+ energa potencial) = constante

Ahora l si el cuerpo se est moviendo a la velocidad de la luz l o sea, si v = c, entonces dE =c dp,

(6-23)

E = pe

+ constante(6-291

Para p = O, E = E o , Ypor lo tantoEsta fue una consecuencia del principio de conservacin del momento lineal dado por la ecuacin

E-Eo=pePero la ecuacin (6.25) muestra que

(6-2) Y de la definicin de fuerza encontrada en la ecuacin (6-14). Otra relacin til que incluye la energ{a total Epuede obtenerse directamente de la frmula de la masa mo = m"J I - (02/C2). Multiplicando ambos lados de esta ecuacin por c'2 elevando al cuadrado y simplificando l obtenemos(6-24)

E' - Eo' = p'e'y estas dos ecuaciones dan

E+Eo=pe

(6-30)

Ya que p = m"v tambin puede escribirse comol

I

E

2

=

Eo + p

2

2 2 C

Comparando las ecuaciones (6-29) y (6-30) vemos que E o = O mo = O. En otras palabras, si un cuerpo se est moviendo a la velocidad de la luz, su masa de reposo y su energa de reposo deben ser cero. La conclusin recproca tambin debe serverdad: Si una entidad no tiene masa de reposo ni energa de reposo, debe viajar a la velocidad de la

1

(6-25)

Si el cuerpo est movindose a muy alta velocidad, entonces E o' es despreciable comparado con p' c 2

luz. Aunque no tiene sentido desde el punto devista clsico que un cuerpo tenga una masa igual a cero, es la descripcin relativista correcta de un

yE~

pe

(6-26)

fotn y de un neutrino. R. Y_ Pound y G. A_ Rebka, Jr., efectuaron en 1960 un experimento valindose del efectoMossbauer y encontraron que la masa de un fotn

A altas velocidades, E o tambin es pequea comparada con K y la ecuacin (621) muestra que

E""K

movindose a la velocidad de la luz (la nica a que

CAPITULO 6: MECANICA RELATIVISTA

63

>uede viajar) est dada por m = hv/e', de acuerdomn la ecuacin terica E = hv = mc2 .

E ~

lII,e

2

~

(9.11 x 10- 31 )(3.00 x 108 )2 x

EJEMPLO 6-3: Calcule la masa de un protr:, un ceutrn, y un electrn en unidades atI1l1ca.i ~e masa, y calcule la energa equivalente de la rn'''' en reposo de estas partculas_SOLUCION: El Electrn volt (eV) es una unidad..:onveniente de energa definida como la energa cintica ganada por un cuerpo que contiene una carga electrnica a medida que es acelerado a tra"';s de una diferencia de potencial de 1 V. Ya que carga absoluta del electrn es q = 1.60 Xl OJ 9

x ( 1.6 x 10=

I

MeV)13

J

0.511 MeV

Ya que hay una equivalencia entre la masa y laenerga, a menudo resulta conveniente expresar la unidad atmica de masa y su energa equivalente a Mev, en forma intercambiable. As, aunque difiensiona1mente es inconsistente, escribimos

11

uam = 1.66 x 10-'7 kg (= 931 MeV)

I

roulombs(C), tenemosqV = (1.60=~ondeX

Entonces, para el electrn

1.60

X

10- 19 C)(l V) 10- 19 J = 1 eV

111,

=

0.511 MeV ~ 0.00055 uam 931 MeV/uam

el potencial acelerador es 1 V. Algunos mljplos convenientes del electrn-volt son 1 MeV = 10 eV 1 BeV = 10 9 eV6

y las masas de reposo del neutrn y del protn sonmil =I11 p

1.675 x 10- 27 kg

=

1.672

X

10-

27

kg

(neutrn) (protn)

el uso moderno, el trmino Bev est dando ;>aso al trmino europeo "GeV". Las magnitudes ;5z ambas son las mismas. A menos que se especifi~que de otro modo, la energa de una partcula est

::n

Por un procedimiento similar obtenemos

dada como energa cintica. As, un electrn de 1.0 MeV tiene una energa cintica de 1.0 mev, y :lO una energa total de 1.0 MeV. La unidad atmica de masa (uam) se defme co:no un doceavo de la masa del tomo de carbono ""utro C-12 (el istopo ms comn del carbono),~'

energa de reposo del neutrn = 939.6 MeV = 1.00867 uam energa de reposo del protn = 938.3 MeV = 1.00783 uamUn resumen de estos resultados es el siguiente*:

MASA DE REPOSO (uam). Unidadatmica

ENERGIADE REPOSO

(MeV).

es

1 uarn = 1.660 X 10-' 7 kg.

de masa electrn neutrn protn

1

1.660

X

lO-27

931 0.511 939.6 938.3

la energa de reposo, correspondiente a 1 uam. esEo=

0.00055 1.00867

m oc 2

9.109 x lO-31 1.675 x 10- 27 1.673 x

~~

(1.66 x 10- 27 )(3.00 x 108 )2 14.9X

1.00729

10- 27

10 11 J

IEa -

14.9 x 10-1 1 J = 931 MeV

I9.11 X

EJEMPLO 6-4: La velocidad de un electrn en un campo elctrico uniforme cambia de VI = 0.98c a v2 = 0.99c.Para valores recientes, ver B. N. Taylor, D. N. Langen~ berg, y W. H. Parker, "Las constantes fundamentales," Sci. A m., octubre de 1970, pgs. 6273.

La masa de reposo de electrn es me 10- 31 kg, Y su energa de reposo es

=

64

PRIMERA PARTE:

ESPACIO Y

TI EMPO

(a) Calcule el cambio en la masa.(b)Cakule el trabajo hecho sobre el electrn para cambiar su velocidad.

(c)Calcule el potencial acelerador en voUs.SOLUCION

(a) Evidentemente, las dos masas sern111 1 =

1110

-J 1 -J

=

0.98 2

5.0m o

y1112

=

1110

1 - 0.99 2

= 7.1m o

La tabla 61 sumariza esquemticamente las ractersticas de la teora de la relatividad espec Representa un esquema lgico, pero no est ne sariamente en orden cronolgico de desarrollo rt siquiera en el nico orden lgico. Por ejemplo, le. ley de conservacin del momento lineal es la ley ms general en la fsica, pero las leyes de Newton que desarrollan las ideas de fuerza, fueron las pri meras en ser formuladas. Tambin, los fsicos te ricos pueden arguir que el experimento de Michel son-Morley debera seguir los principios de la rela tividad especial porque fundamenta las ideas presentadas en la relatividad especiaL

donde mo = 9 JI X 10-31 kg. es la masa de reposo del electrn. El cambio de masa ser11m ~ m 2-

PROBLEMAS6-1 Determine la energa total de un protn que viaja a 0.80Oc A qu velocidad deber viajar un electrn para tener una masa igual al doble de su masa de reposo? Cul es la energa total de} electrn a esta velocidad? Cul es el momento de un electrn que lle va una velocidad de 0.98Oc? Muestre que la energa total y la energa de la masa de reposo se pueden relacionar por

mi

(7.1 - 5.0)m o _ 19.1 x 10- 31 kg

(b)Puesto que el trabajo hecho ser el cambio de energa cintica,I1K = K 2= L.1-

6-2

KI

(tim)c 2 ~ 2.1m oc 2~

x 0.511

1.07MeV 6-3

(c)K=qVy

v=

K_ q

L07 x 1.6 x 10- 13 1.5 x 10 19 6.4X

_ 1.07

lO' V

6-5 REVISION ESQUEMATlCACuando los fsicos comprendieron las implicaciones de los dos postulados de la teora de la relatividad de Einstein,L

6-5

Con referencia al problema 6-4, encuentre r en trminos de E o y de E. Encuentre la masa y momento de un protn de LOO Bev. (a) El acelerador lineal del Centro Stanford produce electrones altamente. relativistas de 20.0 GeV. Determine la velocidad, el momento, y la longitud de onda de estos electrones. (Sugeren cia: vea el problema 6-4 y resuelva pa ra v usando la expansin binomial).

6-6 Las leyes fsicas de la naturaleza son las mismas en todos los marcos inerciales de referencia, y La velocidad de la luz es la misma en todos los marcos inerciales de referencia,

6-7

2.

los conceptos de la mecnica Newtoniana, aunque haban sido ampliamente tiles, tuvieron que ceder el paso a la mecnica relativista.

Tabla 6.1

Resumen esquemtico de la teora especial de la relatividadEXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY (base experimental fundamental)

tTRANSFORMACIONES DE LORENTZ (compatibles con el experimento M-M)(a)

CONTRACCION DELA LONGITUD

L~Lo.Jl-fJ2PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL (invarianza de las leyes fsicas para observadores inerciales)(b)

DlLATACION DEL TIEMPO

CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL (la ley ms general de la fsica) mv constante

FORMULA DE LA MASA

FUERZAo

m = ~"m,-",o=

..Ji _ fJ2

F

~

d - (mo) dI

ENERGIA CINETfCA K ~ j F' dr = (m - mole 2

ENERGIA DE LA MASA DE REPOSO

Eo

=

m oc 2

tENERGIA TOTAL

E=Eo +K=mc 2

+

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA MASA-ENERGIA L(energa de reposo energa cintica energa potencial) ;:;: constante

+

(IEsI la superposicin de muchas ondas diferentes.

CAPITULO 10: NATURALEZA ONDULATORiA DE LAS PARTICULAS

107

:onde se ha relacionado la velocidad de grupo a la ~locidad de fase. Note que si las ondas no se en.:uentran en un medio dispersivo, o sea, si v ph = ::onstante, entonces Vg = v ph . Qu decir sobre la velocidad de grupo de los - tones? Para un fotn, E = pe, y la ecuacin 10-14) torna la formav~--=--

mueve con la velocidad vg = v. De las ecuaciones (lO-lO) y (10-11), todava es posible escribir la velocidad de grupo en otra forma diferenteVg = .1 - I

dv dp

(10-1B)

De la figura 10-4 Yde la ecuacin (10-16) In M v = - - h9

peZE

EeE

9

~t

~p

~p ~x =

h Av M

(10-17)

:::Sre es, ahora, un resultado esperado: la velocidad 2 grupo para los fotones es igual a la velocidad del

2nn.La figura I 0-3(b) muestra un caso ms ideal, en .=1 cual un gran nmero de ondas J; 1,1/12, .. lj; n se '""' aadido. El paquete de ondas est defmido ~n agudeza, y su tamao ..x se ha reducido consi.:erablemente.

Si va a medirse la frecuencia de la onda, el menor tiempo de medicin ser el tiempo requerido para que una longitud de onda completa pase un punto de referencia. Este tiempo, relacionado a la frecuencia, es..t;; 6.6 x lO-J'x =

10

= 6.6 X lO-JI kg-m/seg

3

,

Inde p ~ hit.. es el momento del fotn incidente. - f acuerdo con la conservacin del momento ti:E2.l, la ecuacin (10-22) tambin debe dar la mini__ incertidumbre en el momento del electrn en ~ oceso. Por lo tanto, para el electrn en retroce. las ecuaciones (10-21) y (10-22) muestran quet'.px t'.x > (p sen e) (

Con un momento dePx~

0.050 x 1000 = 50 kg-m/seg

La incertidumbre fraccional es

6.6

X

i. ) 2 sen O

hJ.J_ 2

J

10 50

31

~ 1.3

X

10- 32

2

>~=

2

El nmero es tan pequeo que ningn aparato real de laboratorio se ver afectado por L

es el principio de incertidumbre. Un desarrollo ,.-is sofisticado mostrar queI

10-6

OTRA FORMA DEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

t'.Px t'.x '" J

1

(10-23)

.:ende =~ ~MPLO

h/2" es llamada "h barra".

Otra relacin de incertidumbre entre la energa y el tiempo se deriva tambin de la ecuacin (10-18),

10-1: Suponga que la incertidumbre en _ posicin de una molcula de hidrgeno, cuya );.~ es cerca de 2 X 10-27 kg, es del orden de su -="::metro, alrededor de lO-10 m. La incertidumbre ~ el momento es

.111 /1t >

110

SEGUNDA PARTE: PART1CULA$ y ONDAS

que toma la forma

10-2 Qu velocidad tendr un electrn con

Un2

-"'-E-"'-{-;;-/]

longitud de onda asociada de 2.00 A?110-24)

As como el momento y el desplazamiento no pueden ser determinados simultneamente con precisin infinita, as tampoco la energa E y el tiempo t (que son otro par de variables conjugadas) se pueden determinar simultneamente con precisin infinita. Mientras ms precisos seamos en nuestra medicin del tiempo (o sea, a menor .6.t), menos precisos seremos en la determinacin de)a energa. De nuevo, una derivacin ms sofisticada de la ecuacin (J 0-24) dar

10-3 Determine el momento y la energa para (al un fotn de rayos X, Y (b) un electrn, cad, uno con longitud de onda de 1.00 A.IDA Un acelerador Van de Graaff acelera los ncleos desnudos de los tomos de litio a travs de una diferencia de potencial de S.OOOA X 106 V. iCuJes son la velocidad y la longitud de on da de estos ncleos?

10-5 (a)

Cul es la masa relativista de un electrn con una longitud de onda dE

I "'E !1t > _Ii L

110-25)

(b)

EJEMPLO 10-2: El tiempo de vida de tm estadoexcitado de un tomo es alrededor de 10-8 seg. (Un estado excitado de un tomo es aquel en que la energa es mayor que la del estado usual de nu'nima energa estado base). La mnima incertidumbre en la determinacin de la energa del esta-

0.0420 A? De E = /tc' = /11C 2 , se puede calcular una masa efectiva para un fotn m* : : : "1M:. Cul es la masa efectiva de u:: fotn con longitud de onda de 0.042C A?

10-6 Si un acelerador le da a un electrn una enero ga cintica de 0.511 Mev, cul es su longi-

-

tud de onda de de Broglie? 10-7 En la figura JO-l, si el potencial ,celerador es de IDOV, a qu ngulo ocurrir el pice para los electrones dispersados?

do excitado es, de la ecuacin (10-25),

"'E ;:, ~ = 6.6 x 10- 3."'1X

2rr x 10- 8

;:, 1.0

10- 2 J = 6.5

X

10-' eV10-8 Un haz de neutrones producidos por UIl! reaccin nuclear incide sobre un cristal cor.

Esta se conoce como anchura de La ellergio del estado excitado. Desde luego, muchas propiedades de los sistemas microscpicos pueden ser conocidos con certi-

dumbre absoluta. Una de ellas, el signo de la carga elctrica del electrn. Podemos estar absolutamente ciertos, con mediciones, de que una partcula tiene una carga positiva negativa.

un espaciamiento de 1.50 A entre plano,Determine la velocidad de estos neutrones s:: una reflexin de Bragg de primer orden tien:lugar a un ngulo de 30. 10-9 (a) Una red de difraccin ptica (figur;; 10-6) fue usada por Rupp para mostra: la difraccin de los electrones. Para' gulas de incidencia rasantes, o sea, pera () muy pequeno, muestre que

PROBLEMAS/1/. -

d(~22 + 7.0)

/1

=

l. 2. 3..

10-1 Cul es la longitud de onda asociada con (a) un electTn de 100..,V? (b) una pelota de golf (1.65 02) con una velocidad de 60

donde d es el espaciamiento de la red ~

m/seg?

'" es el ngulo de difraccin (ve: seccin 10-4).

CAPITULO 10: NATURALEZA ONDULATORIA DE LAS PARTICULAS

111

(b)

A qu ngulo a electrones de 100-eV incidentes a un ngulo 8 = 10-3 rad sobre una red con un espaciamiento de 5.00 X 10-'; m, producirn un mximo de difraccin?

(b)

Calcule el porcentaje de incertidumbre en el momento para el mismo caso.

~ r- ---1\ J i 'd

01

10-15 La velocidad de una partcula nuclear (protn o neutrn) que marcha en la direccin x se mide con una exactitud de 10--6 m/seg. Determine el lmite de exactitud con que puede localizarse su posicin: (a) a lo largo del eje x, y (b) a lo largo del eje y. Resuelva el mismo problema siendo la partcula un positrn. 10-16 Una partcula que se mueve a lo largo del eje x tiene una incertidumbre en su posicin igual a su longitud de onda de de Broglie. Encuentre el porcentaje de incertidumbre en su velocidad. 10-17 La incertidumbre en la posicin de un elec trn que se mueve en lnea recta es de 10 A. Calcule la incertidumbre en (a) su momento (b) su velocidad, y (c) su energa cintica. 10-18 (a) El tiempo de vida de un estado excitado en un tomo es alrededor de 10" seg. Calcule la dispersin de la energa de los fotones emitidos (an chura de la energa). Si los fotones emitidos pertenecen al espectro visible (A - 4000A), calcule la anchura de la energa en angstroms.

Figura 10-6 -10 (a) Para una partcula que se desplaza a una velocidad v relativista, muestre que v ph = c 2 jv. Para una partcula que se mueve a una velocidad v' no relativista, muestre que v. = v' /2_

(b)

- 1 Muestre que la velocidad de grupo de una

partcula se puede expresar en la forma

1 dE v =-g fl dkdonde E es la energa total y k es la constante de propagacin. Empiece con la definicin de velocidad de grupo, v. = dEjdp Y muestre queVg =

(b)

v

+ k-

dv dk

donde k = 21f/A es la constante de propagacin y ves la velocidad de fase. -: 3 De la ecuacin (10-10), pruebe que

LECTURA RECOMENDADA

v. ~ (a)

=

g

-v

ph

d(ln J_) d(ln p)

Calcule la mnima incertidumbre en la determinacin de la velocidad de un camin cuya masa es de 2000 kg si se requiere determinar la posicin de su centro de masa dentro de un intervalo de 2.00 A.

BOHM, D., QlUsalidad y azar en la fsica moderna, Harper, Torchbooks, Harper & Row, Nueva York, 1961. Un penetrante estudio fJ.!osfico de los principios bsicos de la mecnica cuntica.CHR1STY, R. W., y PYTTE, A., La estructura de la mateTia, W. A. Benjamn, Menlo Park, Calif., 1965, pgs. 314-320.

112

.

SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS

Contiene una explicacin muy clara del principio de incertidumbre, a un nivel elemental.

DARROW, K. K., "La teora marzo de 1952.

cu~ntica", Sci.

Am.

HEISENBERG, W., Fsica y filosofa, Harper & Row, Nueva York, 1961. Un libro excelente, debe ser ledo por quien est. interesado en la filosofa de la fsica. PLANK MAX. La filosofa de la fsica, Norton. Nueva York, 1963. El captulo 2 es particulannente interesante parz aquellos que desean conocer la relacin entre el principio de incertidumbre y la ley de causalidad.

GAMOW, G., El seor Tompkins en la tierra de las maravillas. Carndridge University Press, Londres, 1965. Un libro fascinante para cualquier interesado en la ciencia.

11&ti

El experimento de Rutherford

n.

"l ed.

Sir Ernest Rutherford

(18711937)

Nativo de Nueva Zelandia Rutherfordl

trabaj bajo la direccin de J. J.

Thomson en el Colegio Trinidad. Fueprofesor investigador en la

Universidad de McGill (1898-1907),

director del laboratorio de fisiea en la Universidad de Victoria(1907-1919), y director del Laboratorio Cavendish (1919-1937).

Arguyendo que el tomo consistede un pequeo ncleo central

cargado positivamente, balanceado por una nube de electrones negativosque gira alrededor del ncleo,

estableci el modelo nuclear deltomo. Por su trabajo, Rutherford

recibi el Premio Nobel de qu(mica en 1908.

11-1 11-2 11-3 11-4

ELMODELO NUCLEAR DELATOMO EL MONTAJE EXPERIMENTAL PARAMETRO DE IMPACTO Y ANGULO DE DISPERSION FORMULA DE DISPERSION DE RUTHERFORD

Repasemos el experimento de Rutherford, pare.

11-1 EL MODELO NUCLEAR DEL ATDMDPara 1898 Sir J. J. Thomson haba descubierto el electrn y entonces propuso un modelo fsico deltomo conocido como "pudn de ciruela~'. El tomo, como l lo describa, era un pudio de ciruela positivo en el cual estaban incrustadas pasas de electrones negativos, distribuidos de tal fanna que hicieran neutral el conjunto.

efectuar un estudio detallado del tomo. Rutherford propuso que una delgada boja de oro (2 = 79) fuese bombardeada con partculas" de al!> velocidad procedentes de una fuente de Po-214 Un estudio de los ngulos de dispersin o defl,_xin de las partculas a qUe pasaran a travs de la hoja, debera dar detalles de los tomos blancos que actuaban como dispersores. Una partcu.l.! a es simplemente un ncleo de helio y consiste d!dos protones y dos neutrones. En aquel tiempo n~ se conoca la existencia del neutrn, pero Ruthe;

En 1911 el profesor Emest Rutherford (1871-1937), quien haba sido discpulo de Thomson, y dos de sus estudiantes, Hans Geiger y Emes!Marsden, efectuaron cierto nmero de experimen-

tos sobre la dispersin de partculas" por una delgada hoja de oro. Como resultado de estos famosos experimentos, se descart la idea del modelo "pudn de ciruela" a favor del modelo aceptado ahorageneralmente. En este modelo, se dice que el tomo consiste de un ncleo muy pequeo (dimensiones del orden de 10-14 m), en el cual se concentran

ford y Thomas Royds haban determinado previo mente (en 1909) que la carga de la partcula" e. de 2e. Rutherford efectu un estudio terico del ngt: lo e de dispersin de los modelos propuestos por < :el y por Thomson, y luego se llev a cabo una ce paracin con los resultados experirnentales_ 1. _ figura 11-1 compara los modelos de Rutherford p Thomson y muestra el campo elctrico esperad ~ 1asociado con cada uno de ellos. Una partcula que penetre W1 tomo como el del modelo

"

toda la carga positiva y la mayor parte de la masa,y de una nube de electrones cargados negativa-

Thomson [figuras lI-l(a) y lI-l(c)] slo exmentar pequefias dcOt:xiones, ya que el cam

mente que rodea al ncleo. Ya que las dimensiones del tomo son del orden de JO- 10 m, la mayorparte del espacio dentro del tomo est vaco; y para tomos neutrales, la carga de los electrones

elctrico dentro de tal tomo sera dbil, espe .

-2

alrededor del ncleo es igual a la carga positiva delncleo.114

mente cuando se compara con el del modelo Rutherford. En el modelo de Rutherford, el ca; :;'ig. po elctrico para la misma distancia al ncleo nt mucho ms fuerte, porque toda la carga positi ~a:1 1:::

a

CAPITULO 11: EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORO

115

(a)

Modelo de Thomson (bl Modelo de Rutherford

E

EModelo de ThomsonA

tr=

t

\ Modelo de Rutherford

II

\A

R

== radio del tomo

,

.eler-

o~-----------"

o~-------

~ ',,---

i-R-j(e)

I-R--j(d)

-

,.1, le

art

Figura 11-1 Ca) la deflexin esperada de la partcula a es pequea porque el campo elctrico dentro del tomo es pequeo. (b) La carga positiva est concentrada en un pequeo volumen del ncleo, y la deflexin de la partcula a es mayor. Ce) El campo elctrico aumenta linealmente hasta una superficie donde es un mximo. Para r > R, disminuye de acuerdo con E = k(Ze/r 2 ). (d) El campo elctrico disminuye con la distancia al ncleo de acuerdo con .E = k (Ze/r 2 ). En r = R, es el mismo que para el modelo de Thomson, pero para r < R, se vuelve mayor. .:el tomo, + Ze, est concentrada en el pequeo ""Iumen del ncleo, y por lo tanto el ngulo e de ::5spersin ser mucho mayor que para el modelo '" Thornson [figuras ll-l(b) y 11-1 (d)]. Marsden que estudiara las dispersiones para ngulos mayores, aun hasta 90. Cuando se encontr que las partculas a eran dispersadas hacia atrs, Rutherford exclam: Es tan sorprendente como si un artillero disparara a un hoja de papel y por una u otra razn el proyectil regresara". La figura 112 muestra el experimento de dis persin de partculas" de Rutherford. El polonia 214 es una fuente monoenergtica de partculas a de 7.68 Mev. La delgada hoja de oro (1 = 6 X 104 m) permite que la mayor parte de las partculas pasen a travs de ella sin experimentar ninguna desviacin. Sin embargo, algunas son dispersadas a travs de varios ngulos f:) para producir centelleos que pueden ser observados y contados

,olt ri-

12 MONTAJE EXPERIMENTAL.::-.eiger haba efectuado muchas veces el experidento de enviar un haz de partculas a a travs de a delgada hoja de metal anotando la dispersin .:e las partculas. Sin embargo, fue casi corno una ':ea tarda que Rutherford y Geiger sugirieron a

x:lllo11-

"

116

SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS

Microscopio amplificador para observar los centelleos sobre la pantalla de Zns Colimadores de plomo Part.culas o: de 7.68 Mev

\

Fuente blindadade Po-208 4 Hojadeoro.t=6X10 m

/

Pantalla de ZnS

Partculas

a: dispersadas

Figura 11-2Diagnma esquemtico de partculas a: dispersadas por los tomos dentro de una delgada hoja de oro. por medio de un microscopio amplificador. El experimento consiste en contar el nmero de partculas por unidad de tiempo que son desviadas cOn

F = _1_ 22e' 47[6 0 ,.2

(11-1

ngulos de dispersin entre r/J y r/J

+ I!.r/J y comparar

estos resultados con los valores esperados de los

modelos de Rutherford y Thomson. El J>gulo promedio de deflexin predicho por ambos modelos era alrededor de 10. pero la gran diferencia entre

Coulomb, sigue una ley de cuadrado inverso, y la trayectoria debe ser la hiprbola ACB con el n cleo N en el foco de la hiprbola. Para una colisinde frente. es evidente que el parmetro de impacto b = O. El eje de la hiprbola ser Nz, y Nx y Ny son direcciones asimptticas. que pasan a travs de N paralelamente a la direccin de viaje cuando la partcula a se encuentra muy lejos del ncleo ant~ y despus de la interaccin. El parmetro de impacto b no debe confundirse con la distancia D de mximo acercamiento. Para determinar la distancia de maximo acercamiento. considere una partcula a:: a una gran distancia de ncleo pero aproximndose a una colicin de frente con una energa cintica Ka:- En el punto P de la

los dos modelos radicaba en la dellexin predichapara ngulos de dispersin muy grandes. Por ejem-

plo, de acuerdo con el modelo de Thomson slo\IDa de cada 10 3500 partculas a experimentar Ulla de flexin de 4> ~ 900 pero los resultados experimentales mostraron que una de cada 8000 partculas fue desviada a travs de 4> ~ 900. Esta cifra concordaba estrechamente con el modelo de

Rutherford, y atrajo la aceptacin del modelo nuclear del tomo propuesto por Rutherford.

figura 1I-3(a), la fuerza repulsiva del ncleo detie 11-3 PARAMETRO OE IMPACTO Y ANGULO OE DISPERSION Las figuras 11-3(a) y 11-3(b) muestran una partcula '" dispersada por un ncleo. E7 parmetro deimpacto b en cada figura es la distancia mnima

ne momentneamente a la partcula o: que se aproo xima, y toda su energa cintica se transforma en energa potencial. As que podemos escribir=----

I

2Ze 2D

41teo

que la partcula (X se aproximara al ncleo si no existieran fuerzas entre ellos. La repulsin electros-

y la distancia de mximo acercamiento es

ttica de Coulomb entre la partcula", y el ncleo de oro localizado en N harn que la partcula Cl 'iga la trayectoria A CB. La fuerza repulsiva de

~D _

I----Ze 2

'

- 41teo K.

I

(11-2)

CAPITULO 11: EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD

117

---{ob

.... .--'/y

b

l

Colisin de

frente

pO

- --------V~-,

-

(--()--,--,

- --c,L/_'~

F

(,)1)

I

/

,

z

a

,v e a

" o

F

'

lb)

Figura 11-3 (a) El parmetro de impacto b es la distancia por la cual la partcula Q' errara el ncleo si no hubiera fuerzas implicadas. El nculo ep de dispersin depende del parmetro de impacto. (b) Dispersin de partculas Q' por un ncleo de carga +Ze. Las coordenadas polares que localizan a la partcula

aenMsonry8

Si la colisin no es "de frente", la distancia de =riximo acercamiento ser NC como se ve en la :!gura 11-3(b), Ntese tambin de la figura 11-3(b)~e,

Al derivar la relacin entre b y lo siguiente:

ep, supondremos

aproximadamente,

l. La partcula o: y el ncleo son cargas puntu;iles.

b - NC sen(1f

~

1

= NC

cos

~

(11-3)

2, La dispersin es debida a las fuerzas electrostticas repulsivas de Coulomb entre la partcula o: y la carga positiva (Ze) del ncleo, 3, El ncleo de oro (masa 197 u a m) es losuficientemente masivo comparado con la part-

?ara una colisin de frente, b = Ol Y de la ecuacin

11-3), rp = 180 , que es un resultado esperado,0

118

SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS

cula a (masa - 4 u a m) como para que puedaignorarse su retroceso.

2p sen '" 2

~ f'~oo Feos (1T - '" t=O

2

o)

dt

(11-7)

4. Las partculas a no penetran la regin nuclear y las irltensas fuerzas nucleares de interaccin no estn implicadas.

, cambiando variables,2p sen - = 2~

Si p y P2 en la figura 11-3(b) son los momentos lineales de la partcula a cuando est lejos del ncleo antes y despus de la interaccin, respectivamente, podemos escribir(11-4)

'"

f'~oo,~o

F sen O +

(

- -dt "')2

2 dO

dO(11- la distancia de la partcula a que se acerca al ncleo de oro, desde la superficie del ncleo hasta el infInito (a) cuando se aproxima una partcula Cl, y (b) cuando se trata de un protn. (d) .112 La anchura de la barrera de energa potencial de un ncleo para una partcula cargada que se le aproxima est dada por D - R > donde D es la distancia de mximo acercamiento y R = (1.3 X 1O-15 m) A U3. (a) En el caso del ncleo de oro, calcule la anchu ra de la barrera de poteocial para una par tcula a que se acerca con una energa de 7.68 MeV cuando an est lejos del ncleo. (b) Cul ser la energa cintica en MeV de la partcula c< cuando su distancia al ceno tro del ncleo es 3.20 X 10'14 m? (Supon ga una colisin de frente).113 Una partcula Cl de 8.00 MeVes dispersada a un ngulo de 45 por un ncleo de oro_ (a) Calcule el parmetro de impacto b. (b) Si la hoja de oro tiene un espesor de 0.40011, qu fraccin de partculas Cl es dispersada a un ngulo mayor de 45? (e) Qu fraccin es dispersada a un ngulo menor de 45?

Cul ser la fraccin correspondiente a un ngulo slido de drl = 47f X 10"""'2 esteradiones si O, Y el espectro de los estados es conliouo. El sistema es entonces abierto, lo que significa que el electrn es libre.

BE = E, = 13.6 eV Este resultado (confirmado experimentalmente) fue usado en la ecuacin (12-5) del modelo planeo tario del tomo para obtener el radio de Bohr" ~ 0.53 .

Oid,

. t

De la ecuacin (12.14), se puede ver fcilmente que si el tomo est en su estado base. se necesitan 13.6 eV para liberar al electrn del tomo. Por lo tanto, la energa de enlace (BE) o energa de ioni!.acin para el tomo de hidrgeno en su estado Jase es

, fir En relacin con el diagrama de niveles de enero iD e: ga (figura 12-6), son importantes algunas defmiciones.

La energa de excitacin E e es la energa que

debe ser surrnistrada al tomo para elevar al elec Irn desde el estado base hasta un estado excitado.

~ote~spec

CAPITULO 12: EL MODELO DE BOHR I

133

Por ejemplo, E e = -3.40 -(-13.6) = 10.2 eVes la ~erga de excitacin para el estado n = 2 (primer "'tado excitado). La energia de ionizacin Ejes la energa que :ebemos suministrar para liberar al electrn del llomo cuando el electrn est en el estado base. ::"identemente, en la figura 12-6,Ei = 13.6 eVo la energa de enlace (BE), tambin llamada de marre, para un estado dado, es la energa que :Che ser suministrada al tomo para desalojar un~ctrn

por n y n f por 1, esta ecuacin toma la misma forma que la ecuacin emprica para la serie de Lyrnan; o si n f = 2, toma la forma de la serie de Balmer, y as sucesivamente. Por lo tanto, de esta comparacin encontramos que

(12-18)

cuando el electrn se encuentra en un es-

es el valor terico de la constante de Rydberg. la ecuacin (12-17) se puede escribir ahora como(12-19)

_do excitado cualquiera. Por ejemplo, la BE para , estado n = 2 es de 3.40 eVo Si el tomo est en ~ estado base, la BE para ese estado es igual a la ",erga de ionizacin (13.6 eV)o Cuando hablamos :e la BE sin mencionar el estado, se entiende que _ BE Y la energa de ionizacin tienen el mismo 12.lor nmerico con resoecto a esto hemos dicho :.ue la BE para el tomo de hidrgeno es de 13.6 ,V.

5 LA CONSTANTE OE RYOBERG y LAS SERIES ESPECTRALES..:!J:lora bien, de acuerdo con el cuarto postulado de ;,Qhr, si un electrn salta de un estado inicial energa E) a otro estado de menor energa n f ~erga E ), la frecuencia del fotn emitido es, a r ::mr de la frmula de Bohr (ecuacin 12-10),

Si remplazamos los valores numricos correctos en la ecuacin (12-18), el clculo de la constante de Rydberg R = 1.0974 X lO' m- 1 est de acuerdo con el valor experimental dado en ~a seccin 12-2. Una ecuacin sumamente prctica para la energa de los fotones liberada en una transicin entre los estados estacionarios ni y n f se puede obtener de las ecuaciones (12-10) y (12-15), cuando se remplazan los valores numricos de las constantes implicadas: E - E f

~

13.6

(_1_ - J..) eV n/ n/

(12-20)

v = E

-

E

=

E

-

Er

h

2nn

e)

::!.aIldo introducimos las expresiones de la energa .::!das por la ecuacin (12-14), la frecuencia del Dn errtido toma la formav

e=

~ 1= 641f~::eo2 (n>

- n~2)

(12-16)

El diagrama de niveles de energa de la figura 12-6 representa las transiciones posibles de los estados n = 2,3,4,... al estado base n = I(serie de Lyrnan), la serie de Balmer para transiciones a n = 2 desde n = 3,4,5,... la serie de Paschen para transiciones a n = 3 desde n = 4,5,6,... Y as sucesivamente. las transiciones entre estados con energa negativa dan lugar a los espectros lineales, mientras que las transiciones entre estados con energa positiva E > O y estados con E < O dan por resultado un espectro continuo.

- fmalmente, la longitud de onda del fotn emili:r-

es12-6 EL MODELO OE BOHR y EL PRINCIPIO OE CORRESPONOENCIA_- te que esta ecuacin es similar a las de las series ",?,ctrales dadas en la tabla 12-1. Si ni se remplaza Una hermosa aplicacin del principio de correspondencia (recurdese la seccin 4-2) se puede ha

ti

le

c).

134

SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS

cer comparando la frecuencia de los fotones emiti

ecuacin (12-21). Para tln = 2,3,4,... obtenemosarmnicos de la frecuencia fundamentaL La conclusin es que cuando aplicamos elm~

dos cuando aplicamos el modelo de Bohr al mundomacroscpico (grandes nmeros cunticos) con la frecuencia de revolucin del modelo clsico planetario. De acuerdo con la teora electromagntica

delo de Bohr (diseado especialmente para el mundo microscpico) encontramos resultados idnt~ ces a los obtenidos con los mtodos clsicos. Est1 es la filosofa bsica del principio de correspondencia.

clsica, la ltima debe ser igual a la frecuencia delas ondas electromagnticas radiadas. Segn la teora clsica. la frecuencia orbital

[ecuacin (12-7) l es

f=

2n

~

J

e'

PROBLEMASl2-l Suponga que el modelo planetario describ< el movimiento del electrn en el tomo d: hidrgeno. Si el radio de la rbita del electrn es de 0.53 A, calcule (a) la frecllencil: angular del electrn, (b) su velocidad lineal(e) su energa cintica en electrn volts, (a la energa potencial del tomo en electrr

4neomr3

pero los radis de las rbitas estacionarias, de acuerdo con el modelo de Bohr [ecuacin

(12-11)], estn dados por2 2 r = 4ne n =,-"o-,=,-,n

me 2

Remplazando sta en la expresin para la frecuen cia obtenemos

J=

me 64n3eo 2 3 n3

4

2

volts, y (e) su energa total en electrn volt~ Cul es la energa nnima en electrn volnecesaria para ionizar el tomo (energa~

(12-21 )

enlace)? 12-2 Encontrando la razn de la fuerza de atraccin gravitacional entre un electrn y ur.

Ahora, segn el modelo de Bohr, la frecuencia delfotn emitido en una transicin de ni a nf es

v = 64::;':c/n 2 )R. donde R es la constante de Rydberg.

127 La luz de un tubo de descarga de hidrgeno usada por un espectroscopio incide normal-

para la serie de Paschen del hidrgeno. En que regin del espectro yacen las Lneas de la serie de Paschen.

mente sobre una red de difraccin de 15.000 lneas/plg. Si el espectro de primer orden de la serie de Balmer muestra la lnea Ha: difractada a un ngulo 8 = 23, calcule (a) la longitud de onda de la lnea Ha (lnea roja en la serie de Balmer) , y (b) la constante de Rydberg en metros recprocos (m-l ).128 En el modelo de Bohr del tomo de hidrgeno, las rbitas n = 1,2,3,... Son representadas simblicamente por las letras K, L. M... etc. Para los electrones en cada una de las rbitas

~a)(b)(e)

Para un electron que gira en la primera rbita (n = 1) alrededor de un protn, determine la frecuencia de revolucin. Cul es el valor en amperes de la corriente equivalente? Calcule la densidad de flujo magntico B (en teslas = Wb/m 2 ) en el centro de esta trayectoria circular. Cmo est alineada la densidad de flujo con respecto al momento angular orbital?

e

,.'.

~

K, L, Y M, calcule (a) los radios, (b) las frecuencias de revolucin, (e) las velocidades lineales, (d) los momentos angulares, y (e) la energa total del sistema. (1) Para cada rbita, calcule la razn v/c y decida si el tratamiento clsico est justificado.129 La razn

12-14 (a)

n

,.

es la velocidad lineal del electrn en la rbita K(n = 1) del tomo de hidrgeno de Rohr, es llamada la constante de la estructura fIna. (a) Muestre que a = e 2 / 41Tohc. (b) Sustituyendo los valores numricos, muestre que o: = 1/137. (c) Muestre que los niveles de energa se pueden escribir como En = -a 2 mc2 /2n 2 .VI

a = v,/c, donde

(b)(e)

(d)

Indique grfIcamente, por medio de un diagrama de niveles de energa, la energa de excitacin Ee , la energa de enlace BE, y la energa de ionizacin E i para un estado cualquiera. Para cualquier n dada, muestre que Ei=E. +BE. Encuentre la energa de excitacin para n = 4 en el tomo de hidrgeno. Encuentre la BE para el electrn en el mismo estado n = 4, y verifique la parte (b) numricamen te.

136

SEGUNO APARTE: PAATICULAS y ONDAS

12-15 En el tomo de hidrgeno, un electrn experimenta una transicin de un estado cuya energa de enlace es 0.54 eV a otro estado, cuya energa de excitacin es 10.2 eVo (a) Cules son los nmeros cunticos de estos estados? (b) Calcule la longitud de onda del fotn emitido. (e) A qu serie pertenece esta lnea?

excitado. Cul es el nmero cuntico d-e este estado?

LECTVRA RECOMENDADA

12-16 Calcule la energa mnima que debe suministrarse a un tomo de hidrgeno para que pueda emitir la lnea H"( de la serie de Balmer. Cuntas lneas espectrales posibles puden esperarse si el electrn cae finalmente al estado base? 12-17 Encuentre la longitud de onda de de Broglie de un electrn en la rbita n = 3 del tomo de hidrgeno. En que regin del espectro quedara clasificado un fotn de la misma longitud de onda. 12-18 En la colisin inelstica de un electrn de masa m con un tomo estacionario de hidrgeno de masa M, el tomo es excitado a un nivel cuya energa es E sobre el estado base. (a) Pruebe que la energa cintica mnima del electrn debe ser K = [(m + M) jM)E. (b) Encuentre la energa cintica mnima de un electrn que efecta una colisin in