5-1 CONTRACCIN DE LA LONGITUD

CAPITULO 5

CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

5-1 CONTRACCIN DE LA LONGITUD

Consideremos por un momento la longitud de una barra de un metro. Este parecer a primera vista un ejercicio muy tonto ya que a longitud de una barra de un metro es esa precisamente. Pero aclaremos esta declaracin aadiendo que 1 m. es la longitud de la barra vista desde el marco de reposo de la barra, y llamemos al marco S2 (ver figura 5.1). Si la barra yace paralela al eje x en este marco, la distancia desde el extremo A, en x A2, al extremo B en x B2 es 1 m. La longitud de la barra en S 2 se define entonces como la diferencia entre estos dos nmeros sobre el eje x:

L 2 = x B2 x B1

(5-1)

Adems, estos dos nmeros permanecern iguales con el paso del tiempo, ya que S 2 es el marco de reposo de la barra. Su diferencia L 2 tambin permanecer constante en el tiempo.Ahora miremos esta misma barra como observadores situados en el marco S 1. Dejemos que el marco S 2 se mueva con velocidad v en una direccin paralela al eje x de S 1. El extremo A yace en x A1 en S 1, y el nmero X A 1 est cambiando constantemente a medida que se mueve S 1. El nmero x B 1, que marca el otro extremo de la barra, tambin cambiar con el tiempo. Mirando a la barra corno Observadores en S 1, de nuevo definimos la longitud como la diferencia entre 2 nmeros que cambian sus extremos.L 1 = x B 1 x A 1

Parece razonable requerir que el valor de L 1 sea constante en el tiempo. Sin embargo, debemos investigar para ver si esto es posible, ya que los dos nmeros que dan su valor a travs de su diferencia estn cambiando. Si la longitud de un objeto es constante en un marco (y en este caso lo es en S 2), pensamos que la longitud tambin debe ser constante observada desde cualquier otro marco. Si esto no fuera verdad, el mismo objeto podra entonces parecer rgido a un observador y no rgido (o elstico) a otro observador que se mueva con respecto al primero.

la transformacin de Lorentz de valores coordinados provee la solucin al problema de mantener constante la longitud de un objeto, visto desde diferentes marcos. Apliquemos esta transformacin a los dos nmeros en el lado derecho de la caucin (5-3). Obtendremos los siguientes nmeros equivalentes en el marco S 1:x A2 = ( x A1 - v t1 )

(5-3)x B2 = ( x B1 - v t1 )

(5-4)donde es el factor de Lorentz [ver ecuacin (4-13)], y t 1 es el instante en que medimos en S 1 la longitud de la barra anotando los valores de las coordenadas de A y B. Tendremos una sorpresa al sustraer la ecuacin (5-3) de la ecuacin (5-4)! La expresin para el tiempo se cancela de las expresiones para la longitud (como dijimos que deba ser). Examinemos lo que nos queda:x B-21 - x A2 = ( x B1 - x A1 )

(5-5)

L 2 = ( L 1 )

(5-6)Ya que v debe siempre ser menor que c, y debe siempre ser mayor de 1. Llegamos de este modo a la sorprendente conclusin de que la barra observada desde cualquier marco en movimiento con respecto al marco inercial (de la barra) parece ser ms corta. As, para cualquier longitud de cualquier objeto, tenemos la relacin

L 1 < L 2

Esta ley tiene aplicaciones an ms generales, ya que puede aplicarse a cualquier objeto. La ley es as independiente de la naturaleza del objeto, y debe aplicarse por lo tanto al espacio mismo, sin importar que un objeto est o no, de hecho, localizado en el intervalo medido por las coordenadas.Albert Einstein propuso que la transformacin de Lorentz se considerara una ley fundamental de la naturaleza, que reemplazar al grupo Galileano de transformacin, cuando la velocidad se vuelve lo suficientemente grande para ser medida en trminos de c. La declaracin de que la longitud de un objeto depende del estado de movimiento del observador sorprendi tanto a los fsicos durante los primeros aos de este siglo, que muchos de ellos pusieron en duda la validez de los resultados empricos del experimento de Michelson - Morley. Empero, estos resultados han soportado la prueba del tiempo siendo confirmados por muchos otros experimentos.Con esta nueva percepcin resulta interesante para nosotros descubrir que Lorentz y un fsico irlands, G. F. FITZGERALD (185 1-1901), pensaron que el acortamiento de un objeto en movimiento se deba a alguna especie de fuerza aplicada al objeto por su paso a travs de un ter estacionario. Muchos esfuerzos se dedicaron por ese entonces a descubrir la naturaleza de tal fuerza.Einstein adopt el punto de vista, totalmente opuesto, de que esta contraccin es una propiedad del espacio mismo, y de que no existe un marco de referencia absoluto, o preferible a todos los otros. Einstein rechaz la idea de que el movimiento absoluto en la naturaleza, excepcin hecha de la luz, tuviese significado. A su juicio, el movimiento de la luz en el vaco es absoluto. Tambin crea que la velocidad tena el mismo valor, llamado c (pasa la luz), visto desde cualquier marco (sin importar la velocidad del marco). Es importante insistir en este punto: La velocidad de la luz en un vaco es la misma para cualquier observador. Esta declaracin incluye tanto al observador que sostiene la fuente de luz como al que viaje a gran velocidad con respecto a la fuente.El tema central del cual debemos percatamos aqu es que no podemos usar la velocidad de un haz de luz para especificar un marco de referencia preferible. Cuando entendemos este punto y nos damos cuenta de que cada observador considera el universo desde su propio y nico marco inercial de referencia (que se mueve con respecto al marco inercial de alguien ms), nos damos cuenta de que tenemos un sistema que hace comprensible el universo a cada observador en los mismos trminos. Aqu se pueden exponer varias conclusiones corolarias:

1. Para una velocidad relativa pequea especialmente si v0, L 1 se vuelve esencialmente igual a L 2 como en la mecnica clsica. (Este es un ejemplo del principio de correspondencia de Bohr).

2. La contraccin de longitud ocurre slo para medidas paralelas a la direccin de movimiento relativo.

3. Si el factor de Lorentz ha de tener un valor real y no imaginario, y debe ser siempre menor que c.

EJEMPLO 5-1: Una barra rgida de longitud L2 = 1.5m est en reposo con respecto al sistema S 2 (figura 5-2). Si la barra ofrece un ngulo de 2 = 45 con respecto al eje x 2, cul es la longitud L 1 y la orientacin 1 de la barra con respecto a S 1 cuando v = 0.98c

SOLUCIN: Cuando la longitud de la barra se resuelve en componentes paralelos a los ejes x 2 y 2, respectivamente las longitudes correspondientes medidas por S2 sern

La componente vertical es perpendicular a y v y no experimentar ninguna contraccin cuando se ve desde S 1, Por lo tanto,

La componente horizontal es paralela a v y segn la ecuacin (5-5) aparecer contrada siendo

La longitud de la barra medida por O 1 ser

La orientacin con respecto a S 1 est dada por:

Reemplazando valores numricos, obtenemos

L 1 = 1.08m

1= 78.7

5-2 DILATACION DE LOS INTERVALOS TEMPORALESImaginemos la clase ms simple de evento en la naturaleza como una clase de suceso que ocurre en el punto A en el espacio y en el instante t A. Las coordenadas espaciales de este punto, vistas desde un marco de referencia dado, pueden ser designadas por x A, y A y z A. Consideremos tambin Otro evento que tenga lugar en el mismo punto A, pero en un tiempo diferente t B. Ambos eventos son registrados en el marco S 2, en el cual A est en reposo. Llamando al marco en reposo S 2 como antes, el intervalo de tiempo entre los eventos es simplemente

(5-8)donde tenemos usado el subndice 2 en los tiempos t A y t B del reloj para recordamos que estos tiempos fueron ledos en un reloj en reposo en S 2. Consideremos ahora el mismo par de eventos en el mismo punto, pero vistos desde un mareo S 1.

El punto A est en reposo con respecto al sistema S 1. Dos eventos ocurren en el punto A en los tiempos t 2 y t 1 de acuerdo con O 2.

que se mueve paralelamente al eje x de S 2 con una velocidad relativa v (ver figura 5-3). Notamos que desde el punto de vista relativista, estas dos situaciones son equivalentes: S 2 se mueve con respecto a S 1 a la velocidad v, o S 1 se mueve con respecto a S 2 con velocidad v. Obviamente, el intervalo de tiempo observado desde S 1 est dado por

(5-9)

pero los valores coordenados del punto para el primer evento ya no sern para el segundo evento idnticos a lo que fueron en el marco de reposo S 2.

El valor de un intervalo temporal en estos marcos no debe depender de los valores coordenados espaciales de x, y, z en ninguno de estos marcos. De otra forma, podramos cambiar la marcha de un reloj simplemente observndolo desde diferentes lugares en el mismo marco. As que las coordenadas espaciales que aparecen en la ecuacin de transformacin de Lorentz (4-15) deben cancelarse, a fin de que esta ecuacin pueda usarse para considerar intervalos de tiempo. Recordemos que la transformacin para los tiempos es

(5-10)

Para el evento A, y

(5-11)

para el evento B, y de nuevo y es el factor de Lorentz dado por la ecuacin (4-13). El papel x A se esclarece cuando se examinan estas ecuaciones sirve simplemente para fijar los relojes en S 1 con respecto al reloj en el punto estacionario en S 2. o afecta las marchas en absoluto.

Restando la ecuacin (5-10) de la ecuacin (5-11) obtenemos

(5-12)Usando las ecuaciones (5-8) y (5-9), se reduce a

(5-13)Ya que llegamos a otra sorprendente conclusin, a saber que

(5-14)

As, La dilatacin relativista del tiempo es

intervalo de tiempo medido entre dos eventos que tienen lugar en un punto en reposo con respecto al observador

Segn lo cual, un intervalo de tiempo que separa dos eventos sucesivos es mayor en cualquier marco que se mueve con respecto al marco de reposo que en dicho marco de reposo! Como la nica forma de que un intervalo de tiempo medido pueda hacerse mayor consiste en frenar el reloj usado para medir el intervalo, esta declaracin significa que los relojes en movimiento marchan ms despacio que los estacionarios.

Nos encontramos diciendo que, para cada observador, su propio reloj en su propio laboratorio camina ms rpido que otros relojes que estn en movimiento con respecto a l. Notamos que cada observador puede considerarse a s mismo en reposo y a todo lo que se mueve en movimiento con respecto a l. Este privilegio es establecido para cada observador por el principio de la relatividad especial: cada observador es equivalente a cualquier otro observador. O sea cada observador tiene derecho a proclamar que el se encuentra en el centro del universo, y que su marco de reposo es el estacionario en toda la eleccin! Puede declararlo, pero al mismo tiempo debe reconocer y respetar el derecho de todo otro observador a hacer lo mismo. Solo de esta manera pueden las personas entenderse entre s cuando describen lo que ven en la naturaleza. Hacen esto por medio de las ecuaciones de transformacin de Lorentz.Resulta interesante entre nosotros especular ahora sobre qu pensamientos podra haber tenido Galileo si hubiera conocido estas ecuaciones cuando insista que la tierra se mova alrededor del sol y no lo inverso. Pareca que el estudio de la naturaleza nos ensea hoy el camino hacia lo ms nica y significativa individualidad consiste en reconocer constantemente la completa equivalencia de cualquier otro observador con nosotros mismos aqu equivalencia significa igualdad en un sentido ms profundo que el usual.

No expondremos aquellas ecuaciones de transformacin inversas de las dadas, pero sugerimos que el lector lo haga y as pruebe lo que acaba de decirse. Un ejercido adicional es muy instructivo: usar las inversas de las ecuaciones (5 - 10) y (5 - 11) para mostrar como se asegura uno de que los relojes en diferentes marcos son realmente relojes equivalentes rigurosamente construidos.

EJEMPLO 5-2: Una situacin tpica en que los intervalos de longitud parecen contrados y los relojes parecen marchar ms rpido puede encontrarse en el haz de mesones p muy rpidos. Estas son las partculas que producen las fuerzas nucleares que mantienen unidos los ncleos atmicos.

En algunos casos estos mesones p (o piones) son frenados envindoles a travs de una gruesa pared de concreto o hierro y entonces son detenidos en el otro blanco. Aqu los piones positivos decaern en otras partculas ya que son radiactivos. Las partculas hijas son muones y neutrones. En casos como ste, el tiempo en el que el pion se detuvo puede controlarse por medio de un contador colocado justamente antes del ltimo blanco. Otro contador puede registrar la aparicin del muon de decaimiento. Y as se mide el tiempo de vida del pin en reposo. Cuando se registran muchos de estos casos, se encuentra que el tiempo de vida medio es 2.60*10-8 seg.

En otros casos, los piones rpidos se envan por un largo corredor lleno de aire o dentro de un tubo al vaco. Muchos de ellos decaen ahora en vuelo. Uno puede medir el nmero de piones que empiezan la jornada por el corredor y el nmero que llega al otro extremo. La diferencia es justamente el nmero que decay en la ruta mientras se movan rpidamente.

No es raro que tales piones tengan una energa total de 20 veces su masa en reposo, sea un factor de Lorentz = 20. La velocidad del pin puede calcularse partiendo de la definicin del factor de Lorentz. Esta velocidad se aproxima bastante a la de la luz, c. Si N0 de tales piones empiezan por un corredor de 100m con esta velocidad, harn el viaje en 100 m/3.00*108 m/seg.= 3.33*10-7 seg. si no decaen en el camino.

La ecuacin de decaimiento para N, el nmero de piones que sobreviven el viaje, es

EMBED Equation.3 Donde es la constante de decaimiento y T es la vida promedio. As, cuando N se calcula a partir de la razn de decaimiento,

parecera que menos del 0.00028% de los piones alcanzan el extremo del corredor.Sin embargo, esto es incorrecto. El factor de Lorentz = 20 debe ser usado para frenar el reloj de los piones, y su vida media en vuelo es entonces 20*2.60*10-8 o sea 5.20*10-7 seg.

o sea, que sobrevive S.A. 52%. El mecanismo de tiempo interno de los piones parece marchar mucho ms despacio visto desde el laboratorio al extremo del corredor.Cmo aparece el laboratorio visto desde el pin? Ciertamente, un observador viajando con el pin dira que el reloj del pin marcha normalmente y que su tiempo de vida medio es de 2.6*10-8 seg. Sin embargo, el corredor aparecera contrado por el factor de Lorentz a un veinteavo de su longitud o a slo 5.00 m. de largo. El viaje, de acuerdo con el pin, tomara slo 5 m/3*108 m/seg.= 1.66*10-8 seg. El nmero que alcanza el extremo es entonces

De modo que el observador en el laboratorio cuenta el mismo nmero al extremo del corredor que un observador viajando con el haz de piones. El mismo factor de Lorentz los afecta a ambos, pero en formas complementarias.5-3 1NTERPRETACION DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON--MOR LEYLas transformaciones de Lorentz pueden usarse para mostrar que la dilatacin del tiempo y la contraccin de la longitud son consecuencias directas de la invariancia de la velocidad de la luz para todos los marcos inerciales que se mueven entre s con movimiento traslacional uniforme. Esta declaracin, que es el resultado del experimento de Michelson - Morley , se conoce como principio de la relatividad especial.Examinemos la nocin de dilatacin del tiempo mediante un ejemplo. Consideremos de nuevo el interfermetro de Michelson (figura 4 - 1) localiza do como antes en un marco de referencia S2 unido al interfermetro y por lo tanto a la tierra. En las figuras (5-4(a) y 5-4(b)), el espejo M2 est en reposo con respecto a S2, que se mueve a la velocidad y a velocidad traslacional de la tierra) con respecto a S1. El marco de referencia S1 est a la vez unido a las estrellas fijas o al ter. En el tiempo t1 =

= 0 [figura 5-4(a), S2 coinciden con S1 y un pulso de luz se enva desde O1 hacia el espejo M2, donde ser reflejado para llegar, despus de un intervalo, a O2. Llamemos T1 y T2 a los tiempos de viaje medidos por los observadores O1 y O2 , respectivamente.

Figura 5-4

Evidentemente (ya que c, la velocidad de la luz, es invariante), la figura 5-4(a) muestra que los tiempos de viaje son

(5-15)

y

(5-16)De la ecuacin (5-16)

Que se simplifica a

(5-18)

el mismo resultado, obtenido por aplicacin directa de las transformaciones de Lorentz.Consideremos ahora la nocin gemela de la con- traccin de la longitud. Cuando S2 coincide con S1, se enva un pulso de luz desde el origen comn hacia M1, que esta a la distancia L1 segn la mide el observador O2 - La luz es reflejada por el espejo M1 y regresa a O2 - Como antes, T1 y T2 son los tiempos respectivos medidos para el viaje redondo de la luz por los observadores O1 y O2, respectivamente. Ahora bien, para el viaje redondo O2 M1 O2.

(5-19)

Ahora, si t1 es el tiempo de viaje de O2 a M1 medido por el observador O1, la figura 5-5(b) muestra que

(5-20)

donde L1 es la distancia de A1 a O2, medida desde S1. Si el tiempo de viaje de M1 a O2 medido por O1 es t2, entonces

(5-21)

Por lo tanto, en base a las ecuaciones (5-20) y (5-21)

(5-22)

y las ecuaciones (5-1 9) y (5-22) dan entonces

(5-23)

De acuerdo con la dilatacin del tiempo

con lo cual la ecuacin (5-23) toma la forma

y finalmente tenemos

que es la frmula para la contraccin de la longitud.5-4 SOLUCIN DE EINSTEIN AL CONFLICTO

Para un montaje experimental como el de Michelson-Morley (figura 4-1) se encontr que los tiempos de viaje redondo para la luz eran, para el viaje MM1M.

(5-25)y para el viaje MM2M

(5-26)

donde L = MM1 = MM2 , la distancia de M a los espejos es M1 y M2 medida por un observador terrestre. Evidentemente, entonces,

Por lo tanto, de acuerdo con el enfoque Galileano,

Por otro lado, los resultados experimentales dieron la relacin

Se sugiri como explicacin posible para este resultado experimental que la invariancia de la velocidad de la luz con respecto al movimiento del observador. Como ya hemos visto, esta necesidad de rechazar la composicin Galileana o clsica de las velocidades, fue difcil de aceptar para muchos fsicos, ya que era un principio considerado en ese tiempo como un dogma en la fsica.De los varios intentos realizados para no violarlas ideas de la fsica clsica, G. F. Fitzgerald propuso una ingeniosa solucin. Sugiri que todos los objetos que se mueven a travs del ter experimentan una contraccin real a lo largo de la direccin

de movimiento y que la longitud contrada, L movimiento est dada por

donde L = L reposo es la longitud del mismo objeto cuando est en reposo con respecto al ter (el sistema de referencia S1 en el experimento de Michelson-Morley). Por lo tanto, si L se remplaza por L movimiento en la ecuacin (5-25),

y por lo tanto t ll t , lo que concuerda con el experimento.

La contraccin no puede ser detectada por el observador O2 (el observador terrestre), quien viaja con el objeto, porque su barra de medir tambin se contrae en la misma razn.La solucin de Einstein al problema fue rechazar el principio clsico de composicin de velocidades y suponer como resultado valido que la velocidad de la luz es invariante con respecto al movimiento del observador. Esta conclusin condujo, como ya hemos mostrado antes, a las transformaciones de Lorentz y a la conclusin inmediata de la contraccin de longitud y de la dilatacin del tiempo.Es importante destacar que la contraccin de la longitud no es real sino una contraccin en la Longitud medida, la nica longitud que puede ser discutida. No debemos usar las palabras observar y ver descuidadamente. El acto de ver un objeto implica la cantidad finita de tiempo requerida para el transito de la luz. Vctor Weisskopf* muestra que un objeto muy distante movindose s velocidades relativistas no aparecer distorsionado en su forma, pero parecer haber rotado un poco fuera de la posicin que ocupaba cuando estaba en reposo.La solucin dada por Einstein ha probado ser vlida, y mucha evidencia experimental apoya su teora. Por lo tanto, de acuerdo con su interpretacin:1. Las transformaciones Galileanas deben rechazarse y considerarse como una aproximacin invlida cuando v/c 12. Deben considerarse vlidas las transformaciones de Lorentz (de acuerdo con los resultados del experimento de Michelson-Morley).

3. El postulado de la existencia del ter se rechaza como innecesario.

4. Se rechazan los conceptos de un espacio y un tiempo absolutos. El espacio y el tiempo se consideran dependientes del marco de referencia o, en otras palabras, son relativos.En 1905 Einstein dio un paso ms adelante y estableci el principio especial de la relatividad en la siguiente forma: Todas las leyes de la fsica deben ser iguales para todos los marcos inerciales que se mueven entre s con movimiento (traslacional uniforme (velocidad constante).

Nos damos cuenta de que esto implica que las leyes de la dinmica permanecern invariantes o tendrn la misma forma cuando son referidas a diferentes marcos inerciales de referencia. Este principio puede considerarse como el punto de partida de la teora especial de la relatividad.Hemos visto que los metros son ms largos y los relojes andan ms rpido cuando son vistos desde sus propios marcos de reposo. Estas declaraciones deben ser rectificadas de dos formas. En una, sern ampliamente generalizadas y en la otra restringidas severamente.Primero generalizamos estableciendo que los observadores usados en los varios marcos de referencia no necesitan ser personas, ni animales u otros seres vivientes. Los efectos que se han encontrado aqu afectan a cualquier objeto en la naturaleza, desde los ms grandes hasta los ms pequeos. De alguna forma, toda partcula tiene dentro de s la barra para medir y el reloj de los que hemos estado hablando. Tal vez la propiedad llamada longitud y la llamada tiempo propiedades que decrecen o se dilatan a medida que experimentamos el movimiento son realmente una propiedad del espacio (o espacio tiempo) mismo, en el cual se encuentra toda la naturaleza observable.Ahora restrinjamos esta declaracin muy severamente. Se ha escogido a S2 para representar en general cualquier marco que se mueve con respecto a S1 . Siempre se ha supuesto que el vector de velocidad relativa v es constante en la direccin y en el tiempo. Los resultados no se mantienen necesariamente cuando la velocidad est cambiando; en tal caso, no debe haber aceleracin. El movimiento debe ser constante y lineal! Esta condicin raramente se encuentra, si alguna vez, en el mundo real. Puede ser casi encontrada en pequeas regiones del espacio por cortos intervalos de tiempo, as que la teora solamente constituye una aproximacin. Toma el ttulo de teora restringida o especial de la relatividad. El mundo real contiene desde luego. aceleraciones y trayectorias curvas, y casi en cualquier parte se encuentran fuerzas cambiantes.

El problema de obtener una sola descripcin unificada del mundo real, con sus muchas clases de fuerzas, sus aceleraciones, y su variedad de partculas, sigue siendo un problema insoluto an hoy. Es el problema que estudia la relatividad general.PROBLEMAS

5-1 Una barra rgida, de 1 m de largo, es medida por dos observadores, uno en reposo con respecto a la barra y el segundo movindose con respecto al primero a lo largo de la longitud de la barra. A qu velocidad debe moverse el observador para observar la barra contrada a 0.999 m y 0.500 m?5-2 Determine las dimensiones y forma de una placa de 1m cuadrado que se mueve alejndose de un observador en lnea recta a lo largo de su base, a la velocidad relativa de 0.80 c. Compare el rea de la placa cuando est en reposo con el rea medida cuando est en movimiento.5-3 Una barra de 1 m que se mueve paralelamente a su longitud es medida cuando su velocidad es 0.98 c. Cul es la longitud de esta barra comparada con su longitud de reposo?

5-4 Una estacin de radar situada en la tierra observa una nave espacial A , que viaja a la velocidad de 0.8 c, perseguida por una segunda nave B, situada a 10.000 m de la primera. y que se desplaza a la velocidad de 0.9 c Cunto tiempo le lleva a la nave B alcanzar a la nave A segn el reloj de B? Segn la estacin de radar?5-5 Un pndulo segundero necesita dos segundos para completar un ciclo (1 seg. para oscilar en cada direccin). Cul ser el perodo de este pndulo medido por un observador que viaja a la velocidad de 0.8 c?5-6 Qu tan rpido tendra que viajar una nave para que un intervalo de 1 ao medido por un observador en la nave sea de 2 aos medido por un observador terrestre estacionario?5-7 Un pasajero viaja en un tren que se mueve a la velocidad de 0.75 c. Cuando el tren pasa frente a la plataforma de una estacin, un dependiente levanta un reloj y despus lo deja. Si el pasajero observa que el dependiente sostuvo el reloj durante 8.0 seg. qu tanto tiempo piensa el dependiente haberlo sostenido?5-8 La vida media de un mesn p cargado, medida en reposo es de 2.6*10-8 seg. Si la partcula viaja a la velocidad de 0.98 c con respecto a la tierra, cul ser su vida media medida por un observador terrestre?5-9 La distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de 10 aos luz. Suponiendo que el tiempo de vida de una persona es de 70 aos, a qu velocidad debe viajar para llegar a la estrella en su tiempo de vida?5-10 Un astrnomo confinado a la tierra observa un objeto brillante en el hemisferio septentrional, a 20 aos luz de distancia y aproximndose a la tierra a la velocidad de 0.8 c. Suponga que la tierra es un sistema inercial estacionario y calcule (a) el tiempo requerido para que el objeto alcance la tierra segn el astrnomo; (b) el tiempo segn un astrnomo que viaja con el objeto; y (c) la distancia a la tierra segn el astrnomo que viaja con el objeto.5-11 Una barra rgida hace un ngulo = 37 con respecto al eje x2 . A qu velocidad debe moverse la barra paralelamente al eje x1 para que parezcan formar un ngulo 1=45?5-12 Muestre que el volumen de un cubo que se mueve a la velocidad y en la direccin paralela a uno de los bordes es

donde V0 es el volumen en reposo.5-13 Un astrnomo dispara un lser pulsante, y 1.3 seg. despus el pulso llega a la luna situada a una distancia de 39*108 m. Un observador que viaja en la misma direccin del pulso ve los dos eventos (o sea, el disparo y la llegada a la luna) como un solo evento. Cul es la velocidad de este observador?CAPITULO 6MECNICA RELATIVISTA

6-1 MASA Y MOMENTO

Los postulados de Einstein sobre la relatividad forzaron a los fsicos a revaluar sus conceptos de la mecnica. Las expresiones clsicas para el momento y la energa deben ahora ser remplazadas con expresiones relativistas antes de ser convertidas en leyes de conservacin del momento y de conservacin de la energa. En cierto sentido, la facilidad con que las expresiones relativistas encajan en las leyes de conservacin es un tributo a la gran generalidad de estas leyes de la fsica. De acuerdo con la mecnica clsica, el momento lineal de un cuerpo con masa inercial m y velocidad v se define por la ecuacin

(6-1)

En el Captulo 2 aprendimos que la ley de conservacin del momento lineal para un sistema aislado de partculas se present como la ley ms fundamental de la fsica. Para un sistema aislado de partculas m1, m2,. . . mn sobre el cual no actan fuerzas, el sistema evolucionar en el espacio y en el tiempo de tal forma que

(6-2)Esta ley de conservacin expresada por la ecuacin (6-2) es una consecuencia de la homogeneidad del espacio en el cual parece estar ubicada toda la naturaleza. Cuando se observa una colisin desde diferentes marcos de referencia en movimiento, no hay razn para esperar que el espacio se vuelva sbitamente no homogneo. Ahora debemos averiguar cmo se mantiene la ecuacin (6-2) bajo tal transformaciones de Lorentz, para sistemas coordenados en movimiento. Anticipando las complicaciones que pueden aparecer con respecto a la masa cuando se efectan las transformaciones del Lorentz, asignaremos el smbolo m0 a la masa. La masa m0 es la masa medida para un cuerpo en reposo en nuestro marco de referencia y se conoce] como masa de reposo del cuerpo.Considere dos esferas idnticas y perfectamente j elsticas cada una, con masa de reposo m0 en un j sistema en movimiento S2 (figura 6-1). En este sistema en movimiento S2, las esferas A y B mueven a las velocidades respectivas

(6-3)

Tales que las esferas tendrn una colisin de frente. Recordando la ecuacin para la transformacin de velocidades, la transformacin de Lorentz se usa para relacionar estas dos formas de ver el mismo evento. La transformacin de velocidades de Lorentz muestra que las velocidades de estas dos esferas, vistas por el observador O1, son

(a)

(b)

(c)

Figura 6-1(a) El observador O2 ve dos esferas aproximarse entre s a velocidades iguales, (b) Aqu el observador O2 ve dos esferas justamente en e! momento del impacto, en que . Las esferas estn momentneamente en reposo, por lo que respecta al observador O2. (c) El observador O2 ver las esferas rebotar con velocidades iguales pero opuestas.

(6-4)

(6-5)

Donde = v/c.Si la suma de las masas vista desde S1 es M, esta masa total permanecer constante a travs de toda la colisin y cuando chocan

(6-6)

(6-7)

As, mientras que el observador O2 ve las dos masas instantneamente en reposo, el observador O1

Las ve movindose juntas a la velocidad v. Se desprende de las ecuaciones (6-6) y (6-7) que

(6-8)

Usando las ecuaciones de transformacin (6-4) y (6-5) y simplificando, la razn de la ecuacin (6-8) da

(6-9)

Ahora, de la ecuacin (6-4)

lo cual puede rearreglarse algebraicamente para dar

Los factores y pueden hora extraerse de estas expresiones y sustituirse i la ecuacin (6-9). Esto nos dar la razn de las 35 masas vistas desde S1 en la forma

(6-10)

As, la masa vista desde un marco de referencia en movimiento no es m0 sino que es inversamente proporcional al factor de Lorentz. Note que y es siempre mayor que 1 pero aproxima a la unidad a medida que la velocidad vuelve muy pequea comparada con la velocidad de la luz c. Esto nos permite escribir la expresin general

O simplemente

(6-11)

La masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que

1) Depende del marco de referencia desde el cual es observado el cuerpo, y2) Es menor que o igual a m0 cuando el cuerpo est en reposo en el marco de referencia desde el cual el cuerpo es observado.

Las propiedades del factor de Lorentz y hacen que la masa se vuelva muy grande y tienda finalmente a infinito, a medida que la velocidad relativa se aproxima a c.

De acuerdo con la frmula de la masa, la expresin relativista para el momento lineal es

y la conservacin del momento lineal para un sistema aislado es:

(6-13)

DEFINICIN DE FUERZA

Aunque las leyes de la mecnica clsica no son lo suficientemente universales para incluir efectos relativistas, la forma de la segunda ley de Newton,

(6-14)

es generalmente aplicable, incluso a la mecnica relativista. Despus de diferenciar la ecuacin (6-14) toma la forma

(6-15)

donde m es ahora igual.Para una fuerza que acta en la direccin x positiva, podemos escribir

Diferenciando obtenemos

Que se simplifica a

(6-15a)

(6-15b)

donde ax es la aceleracin observada en el laboratorio.EJEMPLO 6-1: Determine la fuerza relativista que acta sobre un cuerpo que se mueve con movimiento circular uniforme.SOLUCIN: En este caso, la magnitud de la velocidad permanece constante y

Ntese que y dv/dt = aR que es la aceleracin centrpeta. Por lo tanto, podemos escribir en magnitud

donde R es el radio del crculo. As, la segunda ley de Newton cubre el caso del movimiento circular relativista.

6-3 ENERG1A CINET1CA RELATIVISTACuando la velocidad de una partcula se aproxima a valores relativistas, la expresin para la energa cintica clsica debe ser cambiada a una forma relativista. A fin de encontrar una expresin para la energa cintica relativista, calcularemos el trabajo hecho para aumentar la velocidad de una partcula desde 0 hasta un valor final v. Para simplificar el problema, supongamos que la fuerza y el desplazamiento estn en la misma direccin.La energa cintica, o sea el trabajo neto hecho sobre la partcula, es

(6-16)

Con la ecuacin (6-15a) toma la forma

Ya que dr = v dt, , y

que integrado da

o finalmente

(6-17)

Aunque trazada para el caso especial en que la fuerza tenga la misma dileccin del desplazamiento, esta expresin general es aplicable a cualquier caso.

Fcilmente podemos reducir esta expresin de la energa cintica relativista a la forma clsica, , cuando v < c. Para mostrar esto, expandemos la ecuacin (6-17) por medio de la expansin binomial

Entonces la energa cintica toma la forma

A medida que (v/c) 0, las potencias mayores de v/c pueden despreciarse, y entonces

Lo cual viene a comprobar el principio de correspondencia

EJEMPLO 6-2:

Aunque el programa siguiente de computador esta hecho para estudiantes con algunos antecedentes en programacin, el lenguaje BASIC en que est escrito es suficientemente matemtico en la forma para no resultar demasiado difcil de seguir a un estudiante de fsica. Los comentarios que siguen a la comilla nica en algunos trminos, son para la descripcin y no desempean parte en la computacin.

En la expresin anterior expandida para la energa cintica, note que n-simo trmino Tn comparado con el (n-1) esimo trmino Tn-1 es

Esta relacin se usa en el siguiente programa BASIC para evaluar y comparar la expansin de energa cintica relativista con la energa cintica clsica.

En el programa, F=V/C es la razn de una velocidad cualquiera a la velocidad de la luz, el N es el nmero de trminos a ser usados en la expansin. Cuando se calcula un gran nmero de trminos en la expansin, un trmino individual puede llegar a ser tan pequeo que sume una cantidad insignificante a los clculos. La proposicin nmero 100 es una orden que despreciar los trminos demasiado pequeos. El programa determinan la energa cintica para un electrn, pero la proposicin 100 es una orden que despreciar los trmino demasiado pequeos. El programa determina la energa cintica pera un electrn, pero la proposicin nmero 10 puede ser cambiada para introducir cualquier masa que se desee.

6-4 ENERGIA TOTAL

Conforme a la ecuacin (6-17), si un cuerpo que se mueve a la velocidad v1aumenta su velocidad a v2, el trabajo neto requerido, o el cambio en la energa cintica, ser

(6-18)

As, un cambio en la velocidad (o en la energa cintica) producir un cambio en la masa Para un cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas conservativas, la conservacin de la energa (vlida tanto en la mecnica clsica, como en la relativa) muestra que

donde A es la energa cintica en un punto dado y Ves la energa potencial tael mismo punto. De la! ecuaciones (6-IB) y(6-l9), concluimos que

(6-20)

As,

Ya que la energa de reposo se define como E = m0c2, la energa total se definir como

(6-21)

Y ya que E = m0c2+(m-m0)c2,

(6-22)

Advierta que esta definicin de la energa total en relatividad no incluye la energa potencial.La equivalencia entre la masa y la energa [expresada por la ecuacin (6-22)] es una de las consecuencias ms importantes de la teora especial de la relatividad. Ahora se transforma en el principio de conservacin de la masa-energa, que para un sistema aislado se puede exponer en la forma energa de reposo + energa cintica + energa potencial= constante

(6-23)

Esta fue una consecuencia del principio de conservacin del momento lineal dado por la ecuacin (6-2) y de la definicin de fuerza encontrada en la ecuacin (6-14).

Otra relacin til que incluye la energa total E puede obtenerse directamente de la frmula de la .Multiplicando ambos lados de esta ecuacin por c2 elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos

(6-24)

Ya que p = mv, tambin puede escribirse como

(6-25)

Si el cuerpo est movindose a muy alta velocidad, entonces E02 es despreciable comparado con p2 c2 y

E=pc

A altas velocidades, E0 tambin es pequea comparada con K y la ecuacin (6-21) muestra que o, de la ecuacin (6-26)

Las partculas de altas velocidades para las cuales son tiles las ecuaciones (6-27) y (6-26) se encuentran en la regin relativista ex trenas.Otra relacin interesante que implica la energa total se obtiene diferenciando la ecuacin (6-25)Esta es

(6-28)

Ahora, si el cuerpo se est moviendo a la velocidad de la luz, o sea, s v=c, entonces

Para , por lo tanto

(6-29)

Pero la ecuacin (6-25) muestra que

y estas dos ecuaciones dan

(6-30)

Comparando las ecuaciones (6-29) y (6-30) vemos que E0 = 0 m0 = 0. En otras palabras, si un cuerpo se est moviendo a la velocidad de la luz, su masa de reposo y su energa de reposo deben ser cero. La conclusin recproca tambin debe ser verdad: Si una entidad no tiene nasa de reposo ni energa de reposo, debe viajar a la velocidad de la luz. Aunque no tiene sentido desde el punto de vista clsico que un cuerpo tenga una masa igual a cero, es la descripcin relativista correcta de un fotn y de un neutrino.

R. V. Pound y G. A. Rebka, Jr., efectuaron en 1960 un experimento valindose del efecto Mossbauer y encontraron que la masa de un fotn movindose a la velocidad de la luz (la nica a que puede viajar est dada por m = hv/c2, de acuerdo con la ecuacin terica E = hv=mc2.

EJEMPLO 6-3: Calcule la masa de un protn, un neutrn, y un electrn en unidades atmicas de masa, y calcule la energa equivalente de la masa en reposo de estas partculas.

SOLUCION: El Electrn volt (eV) es una unidad conveniente de energa definida como la energa cintica ganada por un cuerpo que contiene una carga electrnica a medida que es acelerado a tras de una diferencia de potncia1 de 1 V. Ya que la carga absoluta del electrn es q = 1.60*10-6 coulombs (C), tenemos

donde el potencial acelerador es 1 V. Algunos mltiplos convenientes del electrn-volt son

En el uso moderno, el trmino Bev est dando paso al trmino europeo GeV. Las magnitudes de ambas son las mismas. A menos que se especifique de otro modo, la energa de una partcula est dada como energa cintica. As, un electrn de 1.0 MeV tiene una energa cintica de 1.0 mev, y no una energa total de 1.0 MeV.

La unidad atmica de masa (uam) se define como un doceavo de la masa del tomo de carbono neutro C-12 (el istopo ms comn del carbono), y es

La energa de reposo, correspondiente a 1 uam, es

La masa de reposo de electrn es me= 9.11*10-31 kg, y su energa de reposo es

Ya que hay una equivalencia entre la masa y la energa, a menudo resulta conveniente expresar la unidad atmica de masa y su energa equivalente a McV, en forma intercambiable. As, aunque dimensionalmente es inconsistente, escribimos

Entonces, para el electrn

y las masas de reposo del neutrn y del protn son

Por un procedimiento similar obtenemos

energa de reposo del neutrn = 939.6 MeV

= 1.00867 uam

energa de reposo del protn = 938.3 MeV

= l.00783uam

Un resumen de estos resultados es el siguiente*:

EJEMPLO 6-4: La velocidad de un electrn en un campo elctrico uniforme cambia de v1 = 0.9c a v2 = 0.99c.

(a) Calcule el cambio en la masa.

(b) Calcule el trabajo hecho sobre el electrn para cambiar su velocidad.

(c) Calcule el potencial acelerador en volts.

SOLUCION

(a) Evidentemente, las dos masas sern

Y

donde rn0= 9.11*10-31kg. es la masa de reposo del electrn. El cambio de masa ser

(b) Puesto que el trabajo hecho ser el cambio de energa cintica,

(c) K=qV y

6-5 REVISION ESQUEMTICA

Cuando los fsicos comprendieron las implicaciones de los dos postulados de la teora de la relatividad de Einstein,

1) Las leyes fsicas de la naturaleza son las mismas en todos los marcos inerciales de referencia, y2) La velocidad de la luz es la misma en todos los marcos inerciales de referencia, los conceptos de la mecnica Newtoniana, aunque haban sido ampliamente tiles, tuvieron que ceder el paso a la mecnica relativista.

La tabla 6-1 sumariza esquemticamente las caractersticas de la teora de la relatividad especial. Representa un esquema lgico, pero no est necesariamente en orden cronolgico de desarrollo ni siquiera en el nico orden lgico. Por ejemplo, la ley de conservacin del momento lineal es la ley ms general en la fsica, pero las leyes de Newton que desarrollan las ideas de fuerza, fueron las primeras en ser formuladas. Tambin, los fsicos tericos pueden arguir que el experimento de Michelson-Morley debera seguir los principios de la relatividad especial porque fundamenta las ideas presentadas en la relatividad especial.

PROBLEMAS

6-1 Determine la energa total de un protn que viaja a0.800 c.

6-2 A qu velocidad deber viajar un electrn para tener una masa igual al doble de su masa de reposo? Cul es la energa total del electrn a esta velocidad?

6-3 Cul es el momento de un electrn que lleva una velocidad de 0.98c?

6-4 Muestre que la energa total y la energa de la masa de reposo se pueden relacionar por

6-5 Con referencia al problema 6-4, encuentre y en trminos de E0 y de E.

6-6 Encuentre la masa y momento de un protn de 1.00 Bev.

(a) El acelerador lineal del Centro Stanford produce electrones altamente relativistas de 20.0 GeV. Determine la velocidad, el momento, y la longitud de onda de estos electrones. (Sugerencia: vea el problema 6-4 y resuelva para v usando la expansin binomial).

(b) Los electrones son acelerados a travs de una distancia de 3.200 m (cerca de 3 kilmetro. CuAl ser la longitud de la trayectoria de los electrones medida por un observador que se mueve junto con los electrones:

6-7 Determine la velocidad y el momento de una partcula de masa de reposo m0 cuando su energa cintica es igual a do, veces su energa de reposo.

6-8 Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrn (a) desde el reposo hasta 4.000 m/seg: (b) desde el reposo hasta 0.800c; y (c) desde O.980c hasta 0.999c.

6-9 El observador de un laboratorio ve cmo un protn que se mueve a 0.500c hace una colisin de frente con un segundo protn, que viaja en direccin opuesta a 0.600c. (a) Determine la energa cintica y el momento del sistema medidos por el observador del laboratorio. (b) Determine la energa cintica y el momento del sistema medidos por un observador que se mueve con el primer protn.

6-10 Una unidad para medir el momento, usada a menudo es 1.00 mev/c. Encuentre su valor numrico en unidades KMS (kilogramos por metro sobre segundo).

6-11 Para un protn, determine la energa total cuando tiene un momento de (a) 2.00 BeV/c y (b) 1.00 MeV/c.

6-12 Muestre que la razn de la energa cintica relativista FC = (m m0/c2) a la expresin aproximada K = 1/2m0v2 est dada por K/K = 1 + 3/42.

6-13 Un protn A deja un acelerador lineal con una velocidad de 0.80 con respecto al marco del laboratorio y choca con un protn B en reposo en el mismo marco. (a) calcule el momento y la energa cintica de los protones en el mismo laboratorio. (b) Calcule la velocidad del centro de masa (cm) de este sistema en el laboratorio. (c) Haga lo, mismo, clculos que en (a) para el marco cm.

6-14 Un protn y un electrn tienen cada uno una energa cintica de 10.0 meV. (a) Calcule sus momentos y velocidades siguiendo un enfoque clsico. (b) Haga lo mismo con un enfoque relativista. (c) Qu conclusiones obtiene de la comparacin de los resultados de ambos clculos?

(a) Cul es la velocidad mnima que debe tener una partcula para que su energa total pueda escribir como E = pc con un error en su energa cintica no mayor del 1%.

(b) Cules son los valores del momento y de la energa cintica de un protn que se mueve a esta velocidad?

(a) Calcule la mxima velocidad que deba tener una partcula para que su energa cintica se puede escribir como K =1/2m0v2 con un error no mayor del 1%.

(b) Bajo estas circunstancias, calcule el momento y la energa cintica de un electrn.

6-15 En un proceso de decaimiento , tiene lugar la reaccin

donde n es un neutrn en reposo, p es un protn y es un antineutrn cuya masa de reposo es cero. Calcule la energa cintica total de los productos del decaimiento (protn + electrn + antineutrino). (Sugerencia: use el principio de conservacin de la masa-energa).

(a) empezando con la ecuacin muestre que el movimiento lineal de una particula se puede escribir como

(b) Pruebe que esta expresin se reduce a p = m0v cuando 0

(c) Pruebe que la expresin se reduce a p= E/c = K/c cuando 0

6-16 Pruebe que cuando una partcula se mueve perpendicularmente a un campo magntico B, describir un crculo cuyo radio est dado por donde q es la carga elctrica de la partcula.

6-17 El momento de un protn que se mueve en una trayectoria circular y perpendicular a un campo magntico de 1.00 T tiene una magnitud constante de 2.40*10-22 Kg-m/seg. Calcule (a) el radio del crculo, y (b) la energa cintica del protn.

6-18 Un electrn se mueve en una trayectoria circular cuyo radio es 0.600m. con velocidad constante y perpendicular a un campo magntico de 0.0300T (Wb/m2). En trminos de su masa de reposo, encontrar (a) su masa relativista, (b) su energa cintica, (c) su energa total, (d) su momento lineal, y (e) su momento angular.

6-19 Muestre que la densidad de un cubo que se mueve a la velocidad o en una direccin paralela a uno de los bordes es

donde V0 es el volumen de reposo y m0 es la masa de reposo.

Tabla 6.1 Resumen esquemtico de la teora especial de la relatividad

L 1 (Longitud observada cuando la barra est en movimiento con respecto al observador.)

L 2 (Longitud observada cuando la barra est en reposo con respecto al observador.)* EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

E= mc2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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