Encuentre H(s)= V2(𝑠)

𝑉1(𝑠) y grafique la respuesta de amplitud y fase

V1(s). Muestre que la amplitud pico y la fase ocurren en W=2 [𝑟𝑎𝑑

𝑠].

Solución

LEYES DE ELEMENTOS

VR= RiR ∑ 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑣2

𝑑𝑡𝑛 = ∑ 𝑏𝑛 𝑑𝑛

𝑑𝑡𝑛𝑛𝑛=0

2𝑛=0 𝑣1

iC = 𝐶𝑑𝑉𝐶

𝑑𝑡

LEYES DE CONJUNTO

i1=i2+i3 (1)

V1=2i1 + VC1 (2)

V1

R1

2kΩ

C10.16 F

C2

0.5 F

R2

9kΩ

V2

V1

R1

2kΩ

C10.16 F

C2

0.5 F

R2

9kΩ

V2

I1

I2 I3

+ -

+ +

--

-+

VC1 = VC2 + 9i3 (3)

V = 9i3 (4)

DERIVANDO A (3)

𝑑𝑉𝐶1

𝑑𝑡 =

𝑑𝑉𝐶2

𝑑𝑡 + 9 𝑑𝑉𝑖𝑑𝑡

⇒ 6𝑖2 = 12𝑖3 + 9 𝑑𝑖3𝑑𝑡

(5)

DE 1 Y 2

i2 +i3 =𝑣1−𝑉𝐶1

2⇒ 𝑖2 = −𝑖 3 +

𝑉1

2−

𝑉𝑐1

2 (6)

DERIVANDO A (5)

6𝑑𝑖2

𝑑𝑡= 12

𝑑𝑖3

𝑑𝑡+ 9

𝑑𝑖23

𝑑𝑡2 (7)

DERIVANDO A (6)

𝑑𝑖2

𝑑𝑡= −

𝑑𝑖3

𝑑𝑡+

1

2

𝑑𝑣1

𝑑𝑡−

1

2

𝑑𝑣𝐶1

𝑑𝑡 ⇒

𝑑𝑖2

𝑑𝑡= −

𝑑𝑖3

𝑑𝑡+

1

2

𝑑𝑣1

𝑑𝑡−

1

2(6𝑖2)

⇒

𝑑𝑖2

𝑑𝑡= −

𝑑𝑖3

𝑑𝑡+

1

2

𝑑𝑣1

𝑑𝑡− 3𝑖2 (8)

(5) Y (7) EN (8)

12

6

𝑑𝑖3

𝑑𝑡+

9

6

𝑑2𝑖3

𝑑𝑡2 = −𝑑𝑖3

𝑑𝑡+

1

2

𝑑𝑣1

𝑑𝑡− 3 [

12

6𝑖3 +

9

6

𝑑𝑖3

𝑑𝑡]

9

6

𝑑2𝑖3

𝑑𝑡2 + [12

6+ 1 +

3𝑥9

6]

𝑑𝑖3

𝑑𝑡+

3𝑥12

6𝑖3 =

1

2

𝑑𝑣1

𝑑𝑡𝑖3 =

𝑉2

9

9

9𝑥6

𝑑2𝑉2

𝑑𝑡2 +12+6+27

6𝑥

1

9

𝑑𝑉2

𝑑𝑡 +

3𝑥12 𝑉2

6𝑥9=

1

2

𝑑𝑣𝑐

𝑑𝑡

1

6

𝑑2𝑉2

𝑑𝑡2 + 5𝑑𝑉2

𝑑𝑡+

4

6𝑉2 =

1

2

𝑑𝑣1

𝑑𝑡

R= 𝑑2𝑉2

𝑑𝑡2 + 5𝑑𝑉2

𝑑𝑡+ 4𝑉2 = 3

𝑑𝑣1

𝑑𝑡

Obteniendo 𝐻(𝑗𝑤)

𝐻(𝑗𝑤) =3𝑗𝑤

−𝑤2+5𝑗𝑤+4 =

3𝑗𝑤 [90.

√(4−𝑤2)2+(5𝑤)2[tan−1 5𝑤

4−𝑤2

Derivando e igualando a cero para encontrar el máximo

𝑑

𝑑𝑤

3𝑗𝑤

[(4−𝑤2)2+(5𝑤)2]12

= 0

−𝑤4 + 16 = 0 Así 𝑤2 = 𝑍 ⇒ 𝑍2 = 16

𝑍 = ±4 ∴ 𝑤 = ±2 𝑤 = ±𝑗2

𝐻(𝑗𝑤) =6

√0 + 25(4) = 0.6

𝐻(𝑗𝑤) = [90.-tan−1 10

0 = 0

W=2

90.

-90.

FASE

0.6

2

MAGNITU

D

Encuentre la respuesta en frecuencia del siguiente circuito a si como su W. Empleando fasores

Si R=1Ω , L=1

√2 y C = √2𝐹

Solución

V3(s)= 1

𝑆𝐶 𝐼(𝑠) =

1

𝑆𝐶 𝑉1(𝑠)

𝑍(𝑠)

𝑉3(𝑠)

𝑉1(𝑠)=

1

𝑠𝑐

1

𝐿𝑠 +1𝑠𝑐

+ 𝑅

𝑉3(𝑠)

𝑉1(𝑠)=

1

𝑠2𝐶𝐿 + 1 + 𝑠𝑐𝑅 = 𝐻(𝑠)

𝐻(𝑠) =1

𝑠2 + √2𝑆 + 1

𝐻(𝑗𝑤) =1

1 + (𝑗𝑤)2 + √2𝑗𝑤=

1

1 − 𝑤2 + 𝑗√2𝑤

𝐻(𝑗𝑤) =1

√(1−𝑤2)2+2𝑤2 =

1

√2 ∴ (1 − 𝑤2)2 + 2𝑤2 = 2

𝑤4 = 1 si Z=𝑤2 𝑍2 = 1 ∴ Z=±1

𝑤 = ±1 𝑤 = ±𝑗

Vi

V4

0.7H

V3

1.4F

V2

1Ω

i(S)

+ - +

+

-

-

Encuentre en estado senosoidal permanente V

Resolviendo

Circuito equivalente

Resolviendo por impedancias

II1 =𝑉𝑠

𝑗𝑤+1

𝑗𝑤

= 𝑗𝑤

1−𝑤2 𝑉𝑠

𝐼𝐼2 =𝑉𝑠

1𝑗𝑤 + 𝑗𝑤

= 1

1 + (𝑗𝑤)2

𝑗𝑤

𝑉𝑠 = 𝑗𝑤

1 − 𝑤2𝑉𝑠

𝑉𝑜𝑐 = 𝑗𝑤𝐼𝐼2 −1

𝑗𝑤𝐼𝐼1 = 𝑗𝑤

𝑗𝑤

1 − 𝑤2𝑉𝑠 −

1

𝑗𝑤𝑥

𝑗𝑤

1 − 𝑤2𝑉𝑠

2cos2tL1

1H

L2

1H

C1

1F

C2

1F

V

1Ω

V1

L1

1H

C1

1F

V

1Ω

C2

1F

L2

1H

V1

+ -

+

+

+

+

-

-

-

-

(a)

(b)

(c) (d)

+

+

+

+

- -

-

- + . . Voc

-

𝑉𝑜𝑐

𝑉𝑠=

𝑤2

1 − 𝑤2−

1

1 − 𝑤2=

𝑤2 − 1

1 − 𝑤2=

−(1 − 𝑤2)

1 − 𝑤2= −1

Circuito equivalente

Resolviendo

Z(jw)=𝑗𝑤+

1

𝑗𝑤

𝑗𝑤+1

𝑗𝑤

𝑥2 = 2

(𝑗𝑤)2+1

𝑗𝑤

=2𝑗𝑤

1−𝑤2

V = II = 𝑉𝑜𝑐

1+2𝑗𝑤

1−𝑤2

=1−𝑤2

1−𝑤2+2𝑗𝑤𝑉𝑜𝑐

V = 1−4

1−4+𝑗4 𝑥

5

3𝑉𝑠 =

−3

−3+4𝑗𝑥

5

3𝑉𝑠 =

−5

−3+𝑗4𝑉𝑠 =

−5(−3−𝑗4)

(−3+𝑗4)(−3−𝑗4)𝑉𝑠

= −5(3 + 𝑗4)

9 + 16𝑉𝑠 =

1

5𝑥5[53. 1. 𝑥

2

√2

𝑉𝑠 =2

√2[53. 1.

𝑉(𝑡) = 2 cos(2𝑡 + 53. 1.)[𝑉]

L1

1mH

C1

1µF

C2

1µF

L2

1mH(a) (b) (c) (d)

Encuentre C, tal que la impedancia vista por la fuente sea real. Encuentre la potencia que

absorbe el resistor de 6Ω en este caso.

Solución

Reduciendo el circuito

Z1 = 6 + jwL = 6 + j8(1

4)

Z1 = 6 + j2 Z2 = 4(

1

𝑗8𝐶)

4+1

𝑗8𝐶

= 4

1+𝑗32𝐶

Encontrando C

𝑍(𝑗8) = 6 + 𝑗2 +4

1 + 𝑗32𝐶𝑥

1 − 32𝑗𝐶

1 − 32𝑗𝐶 ⇒ 6 + 𝑗2 +

4 − 𝑗4𝐶32

1 + (32𝐶)2

∴ 2 −4𝐶32

1+(32𝐶)2= 0 ⇒ 2 + 2(32𝐶)2 − 4𝐶 𝑋 32 = 0

(32𝐶)2 − 2(32𝐶) + 1 = 0 ⇒ 32𝐶 =2 ± √4 − 4

2 ∴

𝐶 =1

32𝐹

16cos3t

L1

.25H

R1

6Ω

R2

4Ω C

Z1

Z2 [V]

[V]

+ - +

+ +

- -

I1

I2 I3

𝑍(𝑗8) = 6 + 𝑗2 +4

1 + 𝑗321

32

⇒ 6 + 𝑗2 +4

1 + 1 𝑋

1 − 𝑗

1 − 𝑗

6 + 𝑗2 +4(1 − 𝑗)

1 + 1 ⇒ 6 + 𝑗2 + 2 − 𝑗2

𝑍(𝑗8) = 8[Ω] ∠ ∴ 𝐼 =𝑉𝑠

8=

16

√2∠0.

8 =

2

√2∠0.

⇒ 𝑖(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠8𝑡 [𝐴]

P (t) = R i 2 (t)

= 6 [ 2 cos 8 t ]2

= 24 ( 𝑐𝑜𝑠 8 𝑡 )2[𝑤]