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7/25/2019 eyeyeyeyye

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UniversidadTecnicaFedericoSantaMara

Departamento deMatematica

CasaCentral

Prof. FelipeRuz

Ay. IgnacioVasquez

AngeloGarate

MAT 041 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Gua Intervalos de Confianza

1. En una encuesta que se hizo a 1168 estudiantes mujeres de cuarto medio se determino que 747 de ellas

siempre usan cinturon de seguridad cuando conducen. Construya un intervalo de confianza del 95 %

para la proporcion de estudiantes (mujeres de cuarto medio) que siempre usan cinturon de seguridad.R: [0.612, 0.668]

2. Se ha realizado una encuesta donde se pregunto a 22 estudiantes de ingeniera por el numero de horas

que dedican a dormir por la noche. En la muestra de 22 estudiantes, la media fue 5.77 horas, con

desviacion estandar (muestral) igual a 1.572. Construya un intervalo de confianza del 95 % y tambien

uno del 99 % para la media del numero de horas que duermen los estudiantes en la poblacion desde la

cual se tomo la muestra.

R:IC(95 %)= [5.073, 6.467], IC(99 %)= [4.822, 6.718]

3. Un estudio que se realizo a 66831 vacas lecheras determino que se obtiene una media de 12.5kg

de leche por ordena, con una desviacion estandar (muestral) de 4.3kg. Construya un intervalo de

confianza del 95 % para la cantidad media de leche que se obtiene por ordena, en la poblacion.

R: [12.467, 12.533]

4. Supongamos que estamos estudiando la estatura media en un grupo de 209 estudiantes, donde la

desviacion estandarpoblacionales conocida: = 9.48[cm]. Ademas, se sabe que la media muestral

de la estatura es 172.38[cm]. Determine el intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional

de la estatura. R: [171.10, 173.67]

5. Un estudiante universitario esta considerando si invertir o no en acciones de la compa na Apple, para

lo cual debe tomar en consideracion el riesgo que esto implica. El estudiante analiza las ganancias

porcentuales diarias en un perodo de 22 das habiles: desde el 28 de marzo de 2013 hasta el 30 de

abril, y determina que la ganancia diaria media durante estos das es de 0.023 %, con una desviacionestandar muestral de 2.12 %. El estudiante comprara acciones solo si tiene un 95 % de certeza de

que su ganancia diaria porcentual no caera por debajo de 1 % (su perdida diaria no sera mayor a

1 %); de lo contrario no comprara acciones de esta compana. Que decision aconsejara usted a este

estudiante?

R:IC(95 %)= [0.917%, 0.963 %] Se aconseja comprar.

6. Un investigador selecciona 27 fechas al azar para estudiar la ocupacion en un motel (el numero de ha-

bitaciones ocupadas), para cada una de esas 27 fechas. Encuentra que la desviacion estandar muestral

de la ocupacion es de 5.86 habitaciones. Si se sabe que la ocupacion es una variable aleatoria normal,

encuentre el intervalo de confianza de 95 % para la desviacion estandarpoblacionalde la ocupacion.

R: [4.615, 8.031]

7. Una embotelladora de licores esta teniendo problemas con la maquina que llena las botellas de 16

onzas lquidas (16[fl.oz]), ya que se sospecha que la desviacion estandar del lquido que dispensa esta

maquina es mayor que la especificada por el fabricante. Segun las especificaciones tecnicas del fabri-

cante de la maquina llenadora, la cantidad de lquido queesta dispensa en cada botella se distribuye

normalmente. Con el objetivo de estimar el verdadero valor de la desviacion estandar, se diseno un

experimento que consistio en llenar 20 botellas de 16[fl.oz], donde la desviacion estandar muestral

fue de S = 0.1[fl.oz]. Calcular el intervalo de confianza de 95 % para la desviacion estandar de la

maquina. R: [0.076[fl.oz], 0.146[fl.oz]]

LATEX 2 \ AGB-IVQ 20 de junio de 2016 1


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8. Un ingeniero civil esta estudiando los tiempos que los conductores tienen que esperar en el sem aforo

de cierta interseccion. Para simplificar el problema, en un principio el ingeniero solo se interesa en

estudiar si el semaforo esta o no en rojo cuando un auto llega. En concreto, se interesa en estimar la

proporcion de luces rojas que un conductor cualquiera encontrara en esa interseccion, con un 95 %

de confianza. Con este objetivo, toma una muestra aleatoria de 100 conductores, donde 53 de ellos

informaron que se encontraron con luz roja en ese semaforo. Calcule el intervalo de confianza de

interes para el ingeniero. R: [0.43, 0.63]

9. Considere los datos de pesos en gramos del contenido de 16 cajas de cereal que se seleccionaron de

un proceso de llenado con proposito de verificar el peso promedio

506 508 499 503 504 510 497 512

514 505 493 496 506 502 509 496

Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal.

a. Considere una desviacion estandar = 5g, obtener intervalos de confianza del 90,95 y 99 % para

la media de llenado de este proceso. R: [501,69 ; 505,81] , [501,30 ; 506,20] y [500,53 ; 506,97]

b. Considere que se desconoce la varianza, obtener intervalos de confianza del 90,95 y 99 % para la

media de llenado de este proceso. R: [501,03 ; 506,47] , [500,45 ; 507,05] y [499,18 ; 508,32]

10. En el artculo Estructura comunitaria de los macroinvertebrados como un indicador de la conta-

minacion de minas acidas, publicado en el Journal of Environmental Pollution, se informa sobre

una investigacion realizada en Cane Creek, Alabama, para determinar la relacion entre parametros

fisioqumicos seleccionados y diversas mediciones de la estructura de la comunidad de macroinver-

tebrados. Una faceta de la investigacion consistio en evaluar la efectividad de unndice numerico de

la diversidad de especies para indicar la degradacion del agua debida al desague acido de una mina.

Conceptualmente, un ndice elevado de la diversidad de especies macroinvertebradas debera indicar

un sistema acuatico no contaminado; mientras que un ndice bajo de esta diversidad indicara un sis-

tema acuatico contaminado. Se eligieron 2 estaciones de muestreo independientes para este estudio:

una que se localiza corriente abajo del punto de descarga acida de la mina y la otra ubicada corrientearriba. Para 12 muestras mensuales reunidas en la estacion corriente abajo elndice de diversidad de

especies tuvo un valor medio de x1 = 3.11 y una desviacion estandar de s1 = 0.771; mientras que

10 muestras reunidas mensualmente en la estacion corriente arriba tuvieron un valor medio delndice

x2 = 2.04 y una desviacion estandar de s2 = 0.448. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para

la diferencia entre las medias de la poblacion de los dos sitios, suponiendo que las poblaciones se

distribuyen de forma aproximadamente normal y que tienen varianzas iguales. R: [0,593 ; 1,547]

11. Un proceso produce cierta clase de cojinetes de bola cuyo diametro interior es de 3 cm. Se seleccionan,

en forma aleatoria, 12 de esos cojinetes y se miden sus diametros internos, los cuales son mostrado en

la siguiente tabla

3,01 3,05 2,99 2,99 3,00 3,02

2,98 2,99 2,97 2,97 3,02 3,01

Suponiendo que el diametro es una variable aleatoria normal, determinar un intervalo de confianza del

99 % para la varianza de2. R:[0,0002246 ; 0,0023079]

12. Un fabricante asegura, a una compana que le compra un producto en forma regular, que el porcen-

taje de productos defectuosos no es mayor del 5 %. La compana decide comprobar la afirmacion del

fabricante seleccionando, de su inventario, 200 unidades de este producto y probandolas. Debera sos-

pechar la compana de la afirmacion del fabricante si se descubren un total de 19 unidades defectuosas

en la muestra? R: [0,05436 ; 0,1356] , por lo que se puede sospechar de la afirmacion del fabricante.



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13. El Departamento de zoologa de Virginia Tech llevo a cabo un estudio para estimar la diferencia en la

cantidad de ortofosforo qumico medido en dos estaciones diferentes del ro James. El ortofosforo se

mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estacion 1 y 12 muestras de la estacion 2.

Las 15 muestras de la estacion 1 tuvieron un contenido promedio de ortofosforo de 3.84 miligramos

por litro y una desviacion estandar de 3.07 miligramos por litro; en tanto que las 12 muestras de la

estacion 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 miligramos por litro y una desviacion estandar de

0.80 miligramos por litro.a. Calcule un intervalo de confianza de 95 % R:[0,6 ; 4,1] para la diferencia en el contenido pro-

medio verdadero de ortofosforo en estas dos estaciones. Suponga que las observaciones provienen

de poblaciones normales con varianzas diferentes.

b. suponiendo que las varianzas normales de la poblacion son diferentes. Justifique esta suposicion

construyendo intervalos de confianza del 98 % para21/2

2 y para 1/2, donde

21

y 22

son

las varianzas de la poblacion del contenido de ortofosforo en la estacion 1 y en la estacion 2,

respectivamente. R: [1,851 ; 7,549], por lo que no se permite que la posibilidad de que1/2 =

1.

14. Un ingeniero civil analiza la resistencia a la compresion del concreto. La resistencia esta distribui-

da aproximadamente normal, con una varianza a 1000 [psi2]. Al tomar una muestra aleatoria de 12probetas, se ha encontrado el siguiente intervalo de confianza para la verdadera media a la compresi on:

[3232, 11; 3267, 99]

a. Cual es el nivel de confianza del intervalo?. R: 95 %

b. Con que nivel de confianza se puede afirmar que la verdadera resistencia media sea superior a

3232, 84 [psi]? R: 97 %

c. Supongase que se desea estimar la resistencia media a la compresion con un error de estimacion

menor que 15 [psi] para un nivel de confianza de 99 % Que tamano de muestra debera emplearse

para este fin? R:n 30.

15. De experiencias pasadas se sabe que la desviacion estandar de las estaturas de ninos de 5to basico es

de 5[cm].

a. Se seleccionan 36 ninos, observandose una media de 130[cm], construya un intervalo de confianza

del 95 % para la estatura media de la poblacion. R: [128,36 ; 131,63]

b. Cual es el tamano de la muestra para que el intervalo de confianza

[130 0, 95; 130 + 0, 95]

tenga un 95 % de confianza? R:n = 107.

16. El consumo de gasolina de cierto tipo de vehculos se distribuye aproximadamente normal. Si una

muestra aleatoria de 64 vehculos tiene un consumo promedio de 16 [millas/galon] con una desviacionestandar de 6 [millas/galon].

a. Encuentre un intervalo de confianza del 92 % para el consumo medio de gasolina de todos los

vehculos de este tipo.

b. Con un 95 % de confianza. Cual es el error si el consumo medio es tomado en 16 [millas/galon]?

R: [14,66 ; 17,33]

c. Determine un intervalo de confianza del 94 % para la varianza. R: [26,87 ; 52,79]

d. De que tamano debe ser la muestra si queremos tener un 95 % de seguridad que la media no

difiera en mas de 0,5 [millas/galon] de la media verdadera? R:n 575



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17. Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una Editorial para estimar el valor medio de las

ventas por trabajador en la Empresa. La media y varianza de la muestra (en miles de euros) son 5 y 2,

respectivamente.

a. Intervalo de confianza para la venta media por trabajador en la Editorial al 90 %.

b. Intervalo de confianza para la varianza de las ventas por trabajador en la Editorial al 90 %.

18. Un estudio sobre la proporcion de fumadores establecio que entre el personal de un Hospital solofumaban entre el 20 % y el 35 %.

a. Cual fue el porcentaje muestral observado ?.

b. Si se realizo el estudio partiendo de una muestra de 40 individuos, con que margen de error se

trabajo ?.

c. Si el analisis se efectuo con un nivel de confianza del 95 %, cuantos individuos integraron la

muestra seleccionada ?.

19. Un investigador medico sospecha que fumar puede causar que la piel se arrugue significativamente

alrededor de los ojos. Con el fin de probar si su conjetura es verdadera o no, el investigador re une

a 150 personas fumadoras y 250 no-fumadoras para que participen de un experimento. Se observa

que, entre las personas fumadoras, 95 de ellas presentan arrugas prominentes, mientras que entre lasno-fumadoras se observa a 105 con esta caracterstica. El investigador esta interesado en la diferencia

entre las proporciones p1y p2de individuos que presentan arrugas, para el grupo de fumadores y no-

fumadores respectivamente. Construya un intervalo de confianza del 95 % para p1 p2. Es correcto

concluir que el hecho de fumar incide en la prominencia de arrugas alrededor de los ojos?

R: [0.11, 0.31]. El intervalo no contiene a cero, por tanto se concluye que p1 y p2 son diferentes con

un 95 % de confianza, y por tanto el hecho de fumar s incide.

20. Un criterio general usado clnicamente para evaluar niveles normales de fuerza dice que la mano

dominante de una persona debera tener alrededor de un 10 % mas de fuerza de agarre que su mano no-

dominante. La idea se basa en que el uso preferencial de la mano dominante en actividades cotidianas

actua como una forma de entrenamiento de fuerza de los musculos de la mano, resultando en unadiferencia significativa de fuerza. Si esta teora es cierta, entonces la ninos de corta edad deberan

tener una fuerza de agarre similar en ambas manos, mientras que en los adultos la diferencia sera mas

significativa, ya que producto de los anos llevan mas tiempo entrenando la mano dominante.

Se realiza un estudio que consiste en medir la fuerza (medida en kg) en cada una de las manos, para

un conjunto de 60 ninos diestros menores de 10 anos, y lo mismo para un conjunto de 60 hombres

diestros entre 30 y 39 anos. Para ambos grupos, se mide la diferencia entre estas dos fuerzas y luego

se promedia, resultando en x = 0.3kg para los ninos, ey = 4.7kg para los hombres. Las desviaciones

estandar muestrales son sx = 0.8kg y sy = 3.6kg. Construya un intervalo de confianza al 95 % de la

diferencia entre las medias poblacionalesy x.

R: [3.45; 5.35]

21. Se realiza un estudio sobre la presencia de anemia en 2100 mujeres del continente africano y en 1900

mujeres de EEUU. En el grupo de mujeres africanas se encontro a 840 que padecan de anemia, mien-

tras que en el grupo de EEUU se encontro la enfermedad en 340 mujeres. Encuentre un intervalo de

confianza al 95 % para la diferencia, en proporciones, entre todas las mujeres africanas y norteameri-

canas que padecen de anemia.

R: [20.3%; 25.7 %]

22. Un experimento social llevado a cabo en 1962 involucro a 123 ninos de entre 3 y 4 anos de edad,

escogidos desde familias en riesgo social. Los 123 ninos fueron divididos de forma aleatoria en dos

grupos. El grupo 1, conformado por 61 ninos, reciba dos anos de educacion pre-escolar, mientras



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que los ninos del grupo 2 (62 ninos) no reciban ningun tipo de instruccion pre-escolar. Se realizo un

seguimiento a todos los participantes cuando ya haban entrado a edad adulta y se encontro que, del

grupo 1, 19 individuos haban sido arrestados por algun crimen. Por otro lado, desde el grupo dos, 32

haban sido arrestados. Encuentre un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia p1 p2 entre

las proporciones de individuos arrestados.

R. [3.5%; 37.5 %]

23. Se estudian dos especies de aranas que coexisten en el este de Australia. En el contexto morfol ogico,

interesa comparar el largo de las patas de las aranas, y su variabilidad. Se estudian 10 aranas del tipo A

y 10 del tipo B. Para cada una de las 20 aranas se mide el largo de la pata mas larga, obteniendose una

media de xA = 10.26[mm] para las aranas del tipo A, y xB = 9.02[mm] para el tipo B, con varianzas

muestrales respectivas de S2A = 2.512 yS2B = 1.9

2. Estime un intervalo de confianza del 95 % para la

razon2A/2Bde las varianzas poblaciones.

R: [0.433; 7.033]

24. Con el fin de comparar el promedio de faltas de ortografa cometidas en una composicion por dos cla-

ses similares de alumnos, se tomaron dos muestras de 7 y 8 alumnos, respectivamente y se observaron

los siguientes errores:

Clase 1:10, 10, 12, 12, 13, 13, 14

Clase 2:8, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 12

Suponiendo que el numero de errores en ambas clases son normales, calcular es intervalo de confianza

del 95 % para la diferencia de medias:

a. suponiendo que las varianzas poblacionales son iguales y valen 2 =1.44. R:[0,658 ; 3,092]

b. suponiendo que las varianzas son desconocidas pero iguales. R: [0,215 ; 3,535]

25. Cierto metal se produce, por lo comun, mediante un proceso estandar. Se desarrolla un nuevo proceso

en el que se anade una aleacion a la produccion del metal. Los fabricantes se encuentran interesados

en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los

dos procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de estos se somete a una

tension hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los ejemplares, en

kilogramos por centmetro cuadrado:

Proceso estandar 446 401 476 421 459 438 481 411 456 427 459 445

Proceso nuevo 462 448 435 465 429 472 453 459 427 468 452 447

Si se supone que el muestreo se llevo a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes,

obtener los intervalos de confianza estimados del 95 % y 99 % para la diferencia entre los dos procesos.

R: [-25,65 ; 9,49] y [-32,16 ; 15,99]


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