colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 1 matemticas 4 ESO exponenciales y logaritmos exponenciales una exponencial es cualquier expresin de la forma: ax

donde a (que se denomina base) es un nmero distinto de cero y x (exponente) un nmero cualquiera; este curso slo trabajaremos con exponenciales en las cuales la base sea positiva y diferente de uno; -ejemplos: 5x, 3x, 7-x, 83x, etc. [nota: el exponente puede ser un polinomio en x o una fraccin algebraica] propiedades son las correspondientes a la potencias que ya vimos en un tema anterior; recordemos las ms importantes: aman= am+na1=a am:an= am-n a0=1 (am)n= amn a-n= 1/an Ejercicio Calcula el valor de estas exponenciales para los valores de x que se indican: 1) 5x para x=2, x=5, x=0 2) 3x para x=1, x=-2, x=4 3) 9x para x=5, x=3, x=2 4) 2-x para x=4, x=3, x=1 5) 102x para x=05, x=3/2, x=0 6) 63x para x=-1, x=3, x=4 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 2 ecuaciones exponenciales son aquellas que verifican que la incgnita o incgnitas aparecen formando parte de un exponente; resolveremos dos tipos: a) ecuaciones exponenciales monmicas son aquellas que se pueden expresar como una igualdad entre dos expresiones monmicas; - ejemplos: 52x+1=25 63x-1=216 - resolucin: se trata de expresar los dos miembros de la igualdad como potencias de la misma base; si sto no fuera posible hay dos posibilidades: o la ecuacin no tiene solucin o debe resolverse mediante el uso de logaritmos; veamos algunos ejemplos: 1) 52x+1=25 ponemos 25 como potencia de 5, con lo cual: 52x+1=52 de la igualdad anterior se deduce que los exponentes son iguales; esta operacin es equivalente a tachar las bases: 2 1 x 25 5 / = /+ por ello: 2x+1=2; obtenemos una ecuacin de 1 grado cuya resolucin es inmediata: 2x=2-12x=1x=1/2 2) 63x-1=216 ponemos 216 como potencia de 6, con lo cual: 63x-1=63 tal y como hicimos antes, tachamos las bases: 3 1 x 36 6 / = / y as nos queda la ecuacin: 3x-1=3 cuya resolucin es sencilla: 3x=3+13x=4x=4/3 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 3 3)1 56 x 5 x2=+ aqu el problema parece ms complicado: cmo expresamos 1 como potencia de base 5? si recordamos las propiedades de las potencias: a0=1, con lo cual, es cierto que 50=1; sto nos conduce a lo siguiente: 0 6 x 5 x5 52=+ gracias a lo cual ya podemos resolver la ecuacin: tachamos las bases:0 6 x 5 x5 52/ = /+ , y obtenemos:0 6 x 5 x2= + , ecuacin de 2 grado que se resuelve utilizando la frmula que aprendimos en 3 de ESO y cuyo resultado es: x1=2, x2=3 b) ecuaciones exponenciales trinmicas son aquellas que, mediante una operacin que denominamos cambio de variable, se pueden convertir en una ecuacin de 2 grado (que s sabemos resolver) - ejemplos 22x+1 - 32x + 1 = 0 32x-1 - 83x-1 - 3 = 0 [observemos que se denominan trinmicas porque aparecen 3 trminos sumndose o restndose] - resolucin: 1) 22x+1 - 32x + 1 = 0 lo primero que debemos hacer es aislar los trminos que llevan x utilizando las propiedades de las potencias: 0 1 2 3 2 2x21 x 21 x 2= + +48 47 6 a continuacin hacemos lo que se denomina un cambio de variable: ( )= =22x x 2 2 x 2xy 2 2 : que ya , y llamamos le 2 ay llamamos le 2 a con lo cual la ecuacin anterior queda de la siguiente manera: 0 1 y 3 2 y2= + , que es una ecuacin de 2 grado de resolucin inmediata: colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 4 ==== = =1 y2 y21 321 328 9 31 21 2 4 ) 3 ( ) 3 (y212 calculada y debemos deshacer el cambio de variable para hallar x: 2x=y 2x=y2x=2x=1 2x=12x=20x=0 2) 32x-1 - 83x-1 - 3 = 0 primer paso: aislar las incgnitas aplicando las propiedades de las potencias: 0 3 3 3 8 3 31 x 1 x 23 81 x31 x 2= 4 48 4 47 6 48 47 6 en este caso, al haber exponentes negativos, por las propiedades de las potencias, podemos escribir as la ecuacin: 0 333 833x x 2= sacando el mcm, sta queda:0 9 3 8 3x x 2= ahora hacemos el cambio de variable: ( )= =22x x 2 2 x 2xy 3 3 : que ya , y llamamos le 3 ay llamamos le 3 a con lo cual la ecuacin anterior queda de la siguiente manera: 0 9 y 8 y2= resolvemos: ====+ = =1 y9 y210 82100 8236 64 81 2) 9 ( 1 4 ) 8 ( ) 8 (y212 calculada y debemos deshacer el cambio de variable para hallar x: 3x=y3x=y3x=-1imposible 3x=93x=32x=2 [las soluciones negativas no valen, ya que es imposible que al elevar un nmero positivo a otro obtengamos un resultado negativo] colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 5 Ejercicios: 1) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales monmicas: 64 4 ) d27 3 ) c25 5 ) b81 3 ) a53 x 231 x 243 x2 x 3====+ 100 10 ) i1296 6 ) h2401 7 ) g1 7 ) f16 4 ) e1 x 21 x 34x 3 12 x 32 x 3 x30 x 11 x22=====++ + 2) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales trinmicas: 0 2 2 5 2 ) d0 9 3 18 3 ) c0 7 7 2 7 ) b0 4 2 6 2 ) a1 x 1 x 2x ) 1 x ( 21 x 1 x 21 x 1 x 2= + = + = + = + ++ + 3) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales: = = = = += === + ++ ++ 1829 6 5245 6 5) d7 3 2245 3 2) c49 7 781 3) b62555512 2 2) a2 y 1 x1 y 2 x1 y 2 x2 y 1 xy 2 x 6y 4 xyx 2y 5 x 3 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 6 logaritmos - Introduccin supongamos que tenemos un nmero cualquiera, por ejemplo, el 2, y que queremos averiguar a cuanto debemos elevarlo para conseguir otro, por ejemplo el 16; sto lo escribiramos as: 16 2x=ese nmero desconocido, x, se denomina logaritmo en base 2 del nmero 16, y la manera de escribirlo es la siguiente: 16 log x2= - Definicin se denomina logaritmo en base a de un nmero b a otro nmero x al que hay que elevar a para obtener b; sto se puede escribir de la siguiente manera: b a x b logxa= =a se denomina base del logaritmo; debe ser un nmero distinto de cero,y, en este curso, positivo; - Ejemplos 1) Hallar el logaritmo en base 3 de 27. Este problema consiste en calcular el nmero al que hay que elevar 3 para obtener 27; sto lo podemos escribir as: 3 x 27 3 x 27 logx3= = = , ya que 33=27 2) Hallar el logaritmo en base 2 de 64. Aqu se trata de calcular a qu nmero hay que elevar 2 para que nos de 64; lo escribimos de la siguiente manera: 6 x 64 2 x 64 logx2= = = , ya que 26=64 3) Hallar el logaritmo en base 10 de 1000. A qu nmero hay que elevar 10 para obtener 1000? 3 x 1000 10 x 1000 logx10= = = , ya que 103=1000 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 7 Ejercicio: Calcula los siguientes logaritmos: = 2 log2= 9 log3= 125 log5= 64 log4 = 25 log5= 81 log3= 16 log2= 49 log7 = 10000 log10= 225 log15= 216 log6= 32 log2 propiedades de los logaritmos 1) No se pueden calcular los logaritmos de nmeros negativos (ya que antes dijimos que este curso slo estudiaramos logaritmos de base positiva); Imaginemos que queremos hallar) 16 ( log2 ; sto supone buscar un nmero que cumpla que 2 elevado a l de -16; sin pensar mucho podramos decir: el -4; pero es sto correcto? comprobmoslo: 16 2 4 ) 16 ( log42 = = , pero por las propiedades de las potencias sabemos que0625 , 016121244= = =, que, claramente, no es -16; en general, es imposible conseguir un nmero negativo a partir de uno positivo elevndolo a otro, por ello no se pueden calcular los logaritmos de los nmeros negativos; 2) El logaritmo de 1 en cualquier base vale 0:0 1 loga=ya que, en las condiciones que establecimos al principio, se cumple a0=1; 1 a 0 1 log0a= =- Ejemplos: 0 1 log2=ya que 20=1 0 1 log10=ya que 100=1 3)b a logba=esta propiedad es muy simple: a qu nmero debemos elevar a para obtener ab? a b - Ejemplos: 5 2 log52= ; a qu nmero debemos elevar 2 para obtener 25? a 5 7 3 log73=; a qu nmero debemos elevar 3 para obtener 37? a 7 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 8 observemos que esta propiedad nos permite tambin convertir un nmero cualquiera en un logaritmo: ejemplos: convierte 3 en un logaritmo de base 5:355 log 3=convierte 7 en un logaritmo de base 10:71010 log 7=convierte -4 en un logaritmo de base 2:422 log 4= 4) El logaritmo de cero es: si a es mayor que 1 + si a es un nmero comprendido entre cero y uno -Ejemplos: = = =0 log0 log0 log4125 en cualquier caso, como infinito no es un nmero real, tambin podemos decir que el logaritmo de cero no tiene solucin real, lo que, para nosotros, equivale a que no se puede calcular; Ejercicios 1) Calcula el valor de los siguientes logaritmos: = 1 log2= ) 1 ( log4= 1 log5= ) 2 ( log3 =533 log =277 log =344 log =41010 log= 1 log10= ) 5 ( log6=1066 log = 1 log8 2) Convierte los siguientes nmeros en logaritmos: 4 en logaritmo de base 3 7 en logaritmo de base 5 6 en logaritmo de base 10 -9 en logaritmo de base 2 -6 en logaritmo de base 7 21 en logaritmo de base 4 52 en logaritmo de base 6 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 9 operaciones con logaritmos1)y log x log ) y x ( loga a a+ = 2)y log x logyxloga a a =|||

\| 3)x log y x logaya =3.1.x log x logx1loga1a a = = ||

\| 3.2.x logzyx logaz ya =(las propiedades 3.1 y 3.2 se deducen de la propiedad 3) - Ejemplos: ( )2 log452 log . 2 . 35 log log . 1 . 37 log 3 7 log ) 34 log 17 log ) 4 : 17 ( log ) 210 log 5 log ) 10 5 ( log ) 174 5745145353 3 32 2 2 = = = =+ = El uso de estas operaciones es necesario para la resolucin de ecuaciones logartmicas y de los problemas relacionados con ellas; junto con las propiedades anteriores podemos hacer una tabla resumen con las caractersticas fundamentales de los logaritmos. tabla resumen de propiedades y operaciones no existen logaritmos de nmeros negativos 0 1 loga=b a logba=y log x log ) y x ( loga a a+ = y log x log ) y : x ( loga a a = x log y x logaya =x log x logx1loga1a a = = ||

\| x logzyx logaz ya = colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 10 Veamos un ejemplo de aplicacin simultnea de varias propiedades: - Desarrollar al mximo la siguiente expresin: 42) z y x ( log en primer lugar, la potencia del logaritmo (el nmero 4) puede bajarse de manera que multiplique al logaritmo:) z y x ( log 42 ; a continuacin, como tenemos el logaritmo de un producto, podemos convertirlo en suma de varios logaritmos: ) z log y log x (log 4 ) z y x ( log 42 2 2 2+ + = ; con lo cual hemos desarrollado al mximo la expresin inicial -Ejercicio: empleando las propiedades y operaciones de los logaritmos, desarrolla al mximo las siguientes expresiones: [ ]|||

\| +23 2 42 2577253y xc b alog ) 5) y x ( ) y x ( log ) 4) z : y x ( log ) 3) b : a ( log ) 2) z : y x ( log ) 1 -Ejercicio: empleando las propiedades y operaciones de los logaritmos, comprime al mximo las siguientes expresiones: ) y log x (log 2 ) y log x (log 4 ) 5) y log x log 3 ( ) y log 4 x log 5 ( ) 4z log 4 y log 3 x log 2 ) 3) c log b (log ) b log a (log ) 2z log y log x log ) 1 + + + + + + + colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 11 Logaritmos decimales. Logaritmos neperianos. Antiguamente se utilizaban las llamadas tablas de logaritmos para hallar el logaritmo de un nmero cualquiera. Hoy da las calculadoras reducen significativamente el tiempo que debemos emplear para hacer tal clculo. Sin embargo, con ellas slo podemos hallar dos tipos de logaritmos: los decimales (los que tienen por base el nmero 10) y los neperianos (los que tienen por base el nmero e), llamados as en honor del matemtico escocs John Napier (apellido latinizado como Neper o Neperius). Logaritmos decimales Como ya hemos dicho, son aquellos que tienen por base el nmero diez. Notacin:b log b log10= . Observemos que la base desaparece. sto ya lo hemos visto con otras operaciones: 12a aa a Por lo tanto, cuando nos encontremos con un logaritmo en el que no est indicada la base, automticamente debemos pensar logaritmo en base diez. - ejemplos: log 100=2 ya que 102=100 log 10.000=4 ya que 104=10.000 log 0,001=-3 ya que 10-3=0,001 La calculadora permite hallar estos valores utilizando simplemente la teclalog Como ya sabemos hay dos tipos de calculadoras: en unas se pone primero el nmero y despus la funcin con la que queremos trabajar, y en otras se escribe en primer lugar la funcin y luego el nmero (las que conocemos de este estilo son las Casio SVPAM). -ejemplos: log 50=1,69897004 log325=2,511883361 log(1/3)=-0,477121254 (para las operaciones que haremos nos bastar con tomar los dos decimales habituales) colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 12 Logaritmos neperianos (tambin llamados naturales) Son aquellos que tienen por base el nmero e. Es ste un nmero semejante a : irracional, con infinitos decimales no peridicos y con una extraa capacidad para aparecer asociado a multitud de fenmenos naturales. Se puede hallar de varias maneras, una de ellas es la siguiente: Otra, que puede probarse de manera sencilla empleando la calculadora, es darle valores a la sucesin nn11 ||

\|+ : 37037037 , 2 ) 3 , 0 1 (311 3 n25 , 2 5 , 1 ) 5 , 0 1 (211 2 n2 2 ) 1 1 (111 1 n232 221 11= + = ||

\|+ == = + = ||

\|+ == = + = ||

\|+ =) A medida que n va aumentando nos vamos aproximando al valor real de e: 718280469 , 2 ) 000001 , 0 1 (000 . 000 . 111 000 . 000 . 1 n716923932 , 2 ) 001 , 0 1 (100011 1000 n704813829 , 2 ) 01 , 0 1 (10011 100 n59374246 , 2 ) 1 , 0 1 (1011 10 n000 . 000 . 1000 . 000 . 1100010001001001010= + = ||

\|+ == + = ||

\|+ == + = ||

\|+ == + = ||

\|+ = de manera que cuando n tiende a infinito obtenemos el valor real de e; con la ayuda de un ordenador uno puede obtener de forma simple sus 65 primeros decimales:e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 6277 Notacin:b ln b loge= . colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 13 - ejemplos: ln 5=1,609437912 ln 100=4,605170186 ln 750=6,620073207 Estos resultados se han hallado con la calculadora utilizando la teclaln - ms ejemplos: ln 1=0 ln (0,65)=-0,4307892916 ln 3571=8,180600948 Cambio de base Como ya hemos dicho, la calculadora permite hallar logaritmos decimales y logaritmos neperianos. Cmo hacemos para calcular todos los dems? Empleando lo que se conoce como frmula del cambio de base: b lna lna logb logb loga= = El logaritmo de un nmero b en base a se puede calcular: - como el cociente del logaritmo decimal de b entre el logaritmo decimal de a; - como el cociente del logaritmo neperiano de b entre el logaritmo neperiano de a Comprobemos que ambos mtodos son equivalentes: cunto vale20 log2? (es decir: a qu nmero debemos elevar 2 para que nos de 20?): = == ==321928095 , 469314718 , 0995732274 , 22 ln20 ln321928095 , 4301029995 , 0301029996 , 12 log20 log20 log2 (sto quiere decir que) 20 2321928095 , 4= (para las operaciones que haremos nos bastar con tomar los dos decimales habituales) colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 14 - Ejercicios 1) Utilizando la calculadora determina el valor de los siguientes logaritmos: a) log 200 b) log 40.000 c) log 100.000 d) log 0,5 e) log 0,075 f) log (5/6) g) log 1 h) log 0 i) log 10 j) log 10-5 k) ln 200 l) ln 40.000 m) ln 100.000 n) ln 0,5 ) ln 0,075 o) ln (5/6) p) ln 1 q) ln 0 r) ln 10 s) ln 10-5 2) Utilizando la calculadora determina el valor de los siguientes logaritmos: a) log2 200 b) log3 40.000 c) log4 100.000 d) log5 0,5 e) log2 0,075 f) log3 (5/6) g) log4 1 h) log5 0 i) log6 10 j) log2 10-5 colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 15 ecuaciones logartmicas Son aquellas que verifican que la incgnita o incgnitas aparecen en el interior de un logaritmo. Su resolucin es sencilla: aplicamos las propiedades de los logaritmos (comprimiendo las expresiones que aparezcan) hasta lograr una igualdad de logaritmos de este tipo: log (expresin algebraica 1)=log (expresin algebraica 2) lo cual conduce a: expresin algebraica 1= expresin algebraica 2 En este curso esta igualdad dar como resultado una ecuacin de primer o segundo grado. Puede darse el caso de que tengamos un sistema de ecuaciones logartmicas. Si ocurre sto, al resolverlo de la manera indicada antes, obtendremos un sistema de ecuaciones (ya vistas el curso anterior). - Ejemplos:1) log (x+1)-logx=3 primerpaso:aplicandolaspropiedadesconvertimoslarestadelogaritmosenel logaritmo de la divisin: 3x1 xlog = ||

\| + segundopaso:el3delapartederechadelaigualdaddebeaparecerdentrodeun logaritmo decimal; por las propiedades sabemos que 3=log103, con lo cual: 310 logx1 xlog = ||

\| + tercerpaso:slonosquedaigualarlaexpresinquehayenellogaritmodela izquierdaconlaexpresinquehayenellogaritmodeladerecha,yresolverla ecuacin resultante: 9991x 1 x 999 1 x 1000 x x 000 . 1 1 x 10x1 x3= = = = + =+ colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdax colexio martn cdaxdepartamento de matemticas 16 2) log (x+9)+logx=1 -primerpaso:aplicandolaspropiedadesconvertimoslasumadelogaritmosenel logaritmo del producto: [ ] 1 x ) 9 x ( log = +- segundo paso: el 1 de la parte derecha de la igualdad debe aparecer dentro de un logaritmo decimal; por las propiedades sabemos que 1=log101, con lo cual: [ ]110 log x ) 9 x ( log = +-tercerpaso:slonosquedaigualarlaexpresinquehayenellogaritmodela izquierdaconlaexpresinquehayenellogaritmodeladerecha,yresolverla ecuacin resultante: 0 10 x 9 x 10 x 9 x 10 ) 9 x ( x2 2 1= + = + = + Enestecasohemosobtenidounaecuacinde2grado(enelejemploanteriorera de 1 grado). La resolvemos empleando la frmula que ya conocemos: == == =+ = = =+ = = =10220211 9x122211 9x211 92121 9240 81 91 2) 10 ( 1 4 9 9a 2ac 4 b bx2122 La segunda solucin no es vlida, ya que, como sabemos, los logaritmos de nmeros negativos no son nmeros reales. Solucin: x=1 - Ejercicios: resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas 1) log (x2 + 1) - log x = 1 2) log2 (9x2 - 20) - log2 x - log2 6 = 2 3) log x - log (x - 1) = 1 4) log [(x + 1)/(x - 1)] = log (3/2) 5) log x = 5/2 6) log(x-2) + log x = log8 7) log(x-5) + log(x-4) = 1