expanciones con angulos multiples
DESCRIPTION
desarrolo de exanciones con angulos multiplesarticulo cientifico realizado en el programa LyXTRANSCRIPT
Desarrollo de expansiones de angulos multiples
Nombre: Christian [email protected]
January 7, 2013
Abstract
En el presente trabajo voy a explicar y resolver las exansiones de losalgulos multiples, para lo cual voi a utilizar las funciones trigonometricas,especificamente el seno y el coseno que son las usadas. Para esta resolucionvamos a empear un rango de sen2A hasta sen6A y cos2A hasta cos6A
Objetivos: saber como se resuleve y funcionas las expansiones delos angulos multiples y como es que se descomponen y comofncionan a partir de un mismo angulo expresado a la potencia 1representar el mismo angulos en diferentes y muy altas potenciascomo son la 6 .
Part 1ejercico 1
cos2A (1)
cos2A = cos(A+A) (2)
cos2A = cosA ∗ cosA− senA ∗ senA (3)
cos2A = cos2A− sen2A (4)
cos2A = cos2A− 1 + cos2A (5)
cos2A = 2cos2A− 1 (6)
2cos2A = 1 + cos2A (7)
1
cos2A =1 + cos2A
2(8)
cos2A =1
2+
cos2A
2(9)
compobacion numerica
cos230 =1 + cos(2 ∗ 30)
2(10)
0.75 =1
2+
0.5
2(11)
0.75 = 0.5 + 0.25 (12)
0.75 = 0.75 (13)
comprobacion grafica
ejercicio 2
cos3A (14)
cos3A = cos(2A+A) (15)
cos3A = cos2A ∗ cosA− sen2A ∗ senA (16)
cos3A = cos3A ∗ sen2A ∗ cosA− 2sen2A ∗ cosA (17)
cos3A = cos2A− (1− cos2A) ∗ cosA− 2(1− cos2A) ∗ cosA (18)
cos3A = cos3A+ cos3A− 2cosA+ 2cos3A (19)
2
cos3A = 4cos3A− 3cosA (20)
4cos3A = 3cosA+ cos3A (21)
cos3A =3cosA+ cos3A
4(22)
cos3A =3cosA
4+
cos3A
4(23)
comprobacion numerica
cos330 =3cos(30)
4+
cos(3 ∗ 30)4
(24)
0.64 = 0.75 ∗ 0.86 + 0.25 ∗ 0 (25)
0.64 = 0.75 ∗ 0.86 + 0 (26)
0.64 = 0.64 (27)
comprobacion grafica
ejercicio 3
cos4A (28)
cos4A = cos(2A+ 2A) (29)
cos4A = cos2Acos2A− sen2Asen2A (30)
cos4A = (cos22A− sen22A) (31)
cos4A = (cos2A− sen2A)2 − (2senAcosA)2 (32)
cos4A = cos4A− 2sen2Acos2A+ sen4A− 4sen2Acos2A (33)
3
cos4A = cos4A+ sen4A− 6sen2Acos2A (34)
cos4A = cos4A+ (1− cos2A)(1− cos2A)− 6sen2A(1− cos2A) (35)
cos4A = cos4A+ 1− 2cosA+ cos4A− 6sen2A+ 6sen4A (36)
cos4A = 2cos4A+ 1− 2cos2A− 6(1− cos2A) + 6(1− cos2A)(1− cos2A) (37)
cos4A = 2cos4A+ 1− 2cos2A− 6 + 6cos2A− 12cos2A+ 6cos4A (38)
cos4A = 8cos4A− 8cos2A+ 1 (39)
cos4A = 8cos4A− 4cos2A+−3 (40)
cos4A = (41)
cos4A =3 + 4cos2A+ cos4A
8(42)
comprobacion numerica
cos4A =3 + 4cos2A+ cos4A
8(43)
cos4(30) =3 + 4cos(2 ∗ 30) + cos(4 ∗ 30)
8(44)
0.56 =4.5
8(45)
0.56 = 0.56 (46)
comprobacion grafica
ejercicio 4
cos5A = cos(3A+ cos2A) (47)
cos5A = cos3Acos2A (48)
cos5A =(4cos3A− 3cosA
) (1− 2sen2A
)−
(3senA− 4sen3A
)(2senAcosA)
(49)
4
cos5A = 4cos3A−8sen2Acos3A−3cosA+6sen2AcosA−(6sen2AcosA−8sen4AcosA)(50)
cos5A = 4cos3A−8(1−cos2A)cos3A−3cosA+6(1−cos2A)cosA−(6(1−cos2A)cosA−8(1−2cos2A+cos4A)(51)
cos5A = 4cos3A−8+8cos2A+8cos5A−3cosA−(6−6cos2A−8+16cos2A−8cos4A−8cos5A)(52)
cos5A = 4cos3A−8+8cos2A+8cos5A−3cosA−6+6cos2A+8−16cos2A+8cos4A+8cos5A(53)
cos5A = 16cos5A+ 10cos3A+ 5cos3A (54)
cos5A = 16cos5A+ 10cos3A+ 5cos3A (55)
16cos5A = 10cosA+ 5cos3A+ cos5A (56)
cos5A =10cosA+ 5cos3A+ cos5A
16(57)
cos5A =5
8cosA+
5
16cos3A+
1
16cos5A (58)
comprobacion numerica
cos5A =5
8cosA+
5
16cos3A+
1
16cos5A (59)
cos5(30) =5
8cos(30) +
5
16cos3(30) +
1
16cos5(30) (60)
0.48 = 0.87− 0.39 (61)
0.48 = 0.48 (62)
comprobacion grafica
ejercicio 5
cos6A = cos(3A+ 3A) (63)
cos6A = cos3Acos3A− sen3Asen3A (64)
cos6A = (4cos3A−3cosA)(4cos3A−3cosA)−(3senA−4sen3A)(3senA−4sen3A)(65)
5
cos6A = 16cos6A−24cos4A+9cos2A−9(1−cos2A)+24(1−cos2A)(1−cos2A)−16(1−cos2A)(1−cos2A)(1−cos2A)(66)
cos6A = 32cos6A− 48cos4A+ 18cos2A− 1 (67)
cos6A = 32cos6A− 48
(3
8+
1
2cos2A+
1
8cos4A
)− 1 (68)
cos6A = 32cos6A− 10− 24cos2A− 6cos4A+ 9cos2A (69)
32cos6A = 10 + 15cos2A+ 6cos4A+ cos6A (70)
cos6A =10 + 15cos2A+ 6cos4A+ cos6A
32(71)
cos6A =5
16+
15
32cos2A+
3
16cos4A+
1
32cos6A (72)
demostracion numerica
cos6A =cos6A+ 24cos4A− 30cos2A+ 19
32(73)
cos6(30) =cos6(30) + 24cos4(30)− 30cos2(30) + 19
32(74)
0.42 = 0.42 (75)
comprobacion grafica
Part 2ejercicio 6
sen2A (76)
cos2A = cos(A+A) (77)
6
cos2A = cosA ∗ cosA− senA ∗ senA (78)
cos2A = cos2A− sen2A (79)
cos2A = 1− sen2A− sen2A (80)
cos2A = 1− 2sen2A (81)
2sen2A = 1− cos2A (82)
sen2A =1− cos2A
2(83)
sen2A =1
2− cos2A
2(84)
comprobacion numerica
sen2 (30) =1
2− cos2 (30)
2(85)
0.25 =1
2− 0.5
2(86)
0.25 = 0.5− 0.25 (87)
0.25 = 0.25 (88)
comprobacion grafica
ejercicio 7
sen3A (89)
sen3A = sen(2A+A) (90)
7
sen3A = sen2A ∗ cosA+ senA ∗ cos2A (91)
sen3A = 2senA ∗ cosA+ senA(cos2A− sen2A) (92)
sen3A = 2senA ∗ cosA+ senA ∗ cos2A− sen3A (93)
sen3A = 2sen(1sen2A) + senA(1sen3A)− sen3A (94)
sen3A = 2sen− 2sen3A+ senA− sen3A− sen2A (95)
sen3A = 3senA− 4sen3A (96)
4sen3A = 3senA− sen3A (97)
cos4A = (1− sen2A)(1− sen2A) + sen4A− 6sen2A(1− sen2A) (98)
sen3A =3senA− sen3A
4(99)
sen3A =3senA
4− sen3A
4(100)
comprobacion numerica
sen330 =3sen(30)
4− sen(3 ∗ 30)
4(101)
0.125 = 0.375− 0.25 (102)
0.125 = 0.125 (103)
comprobacion grafica
ejercicio 8
cos4A (104)
cos4A = cos(2A+ 2A) (105)
cos4A = cos2A ∗ cos2A− sen2A ∗ sen2A (106)
8
cos4A = cos22A− sen22A (107)
cos4A = (cos2A− sen2A)2 − (2senA ∗ cosA)2 (108)
cos4A = cos4A− 2sen2A ∗ cos2A+ sen4A− 4sen4A (109)
cos4A = cos4A+ sen4A− 6sen2A ∗ cos2A (110)
cos4A = (1− sen2A)(1− sen2A) + sen4A− 6sen2A(1− sen2A) (111)
cos4A = 1− 2sen2A+ sem4A+ sen4A− 6sen2A+ 6sen4A (112)
cos4A = 1 + 8sen4A− 8sen2A (113)
cos4A = 1 + 8sen4A− 8
(1− cos2A
2
)(114)
cos4A = 1 + 8sen4A− 4 + 4cos2A (115)
sen4A =cos4A− 4cos2A+ 3
8(116)
sen4A =3
8− 1
2cos2A+
1
8cos4A (117)
comprobacion numerica
sen430 =cos(4 ∗ 30)− 4cos(2 ∗ 30) + 3
8(118)
0.0625 =0.5
8(119)
0.0625 = 0.0625 (120)
comprobacion grafica
9
ejercicio 9
sen5A = sen(2A+ 3A) (121)
sen5A = sen3Acos2A+ sen3Acos2A (122)
sen5A =(3senA− 4sen3A
) (1− 2sen2A
)+(4cos3A− 3cosA
)(2senAcosA)
(123)sen5A =
(3senA− 6sen3A− 4sen3A+ 8sen5A
)+(8senAcos4A− 6senAcos2A
)(124)
sen5A = 3senA−6sen3A−4sen3A+8sen5A+8senA−16sen3A+8sen5A−6senA−6sen3A(125)
sen5A = 16sen5A− 20sen3A+ 5senA (126)
sen5A = 16sen5A− 20
(3
4senA− 1
4sen3A
)+ 5senA (127)
sen5A = 16sen5A− 10senA+ 5sen3A (128)
16sen5A = 10senA− 5sen3A+ sen5A (129)
sen5A =10senA− 5sen3A+ sen5A
16(130)
sen5A =5
8senA− 5
16sen3A+
1
16sen5A (131)
comprobacion numerica
sen5(30) =5
8sen(30)− 5
16sen3(30) +
1
16sen5(30) (132)
0.031 = 0.031 (133)
comprobacion grafica
10
ejercicio 10
cos6A = cos(3A+ 3A) (134)
cos6A = cos3Acos3A− sen3Asen3A (135)
cos6A = (4cos3A− 3cosA)(4cos3A− 3cosA)− (3senA4sen3A)(3senA4sen3A)(136)
cos6A = 16cos6A− 24cos2A+ 9cos2A− 9sen2A+ 24sen4A− 16sen6A (137)
cos6A = 16(1−sen2A)(1−sen2A)(1−sen2A)−24(1−sen2A)(1−sen2A)+9(1−sen2A)−9sen2A+24sen4−16sen6A(138)
cos6A = 16−48sen2A+48sen4A−16sen6A−24+48sen2A−24sen4A+9−9sen2A−9sen2A+24sen4A−16sen6A(139)
cos6A = −32sen6A+ 48sen4A− 18sen2A+ 1 (140)
cos6A = −32sen6A+48
((3
8− 1
2cos2A+
1
8cos4A
)− 9 + 9cos2A
)+1 (141)
cos6A = −32sen6A+ 10− 24cos2A+ 6cos4A+ 9cos2A (142)
−32sen6A = −10 + 15cos2A− 6cos4A+ cos6A (143)
sen6A =−10 + 15cos2A− 6cos4A+ cos6A
−32(144)
sen6A =5
16− 15
32cos2A+
3
16cos4A− 1
32cos6A (145)
comprobacion numerica
sen6(30) =5
16− 15
32cos2(30) +
3
16cos4(30)− 1
32cos6A(30) (146)
0.0156 = 0.0156 (147)
comprobacion grafica
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conclusiones1. he comprobado que entre las graficas de seno y coseno se invierten.
2. se ha demostrado que para ir relviendo todas en orden asendente se va us-ando la mas nuevfa ose como ejemplo tenemos cos5A=cos(3A+cos2A) , us-amos la que recien sacamso oseea no se usa asi cos5A=(cosA+cosA+cosA+cosA+cosA)
3. entre seno y coseno ahy muhca relacion en la comprobacion analitica astaun sierto punto son iguales pero desde ahy cambian
4. este trabajo o deber no sirvio que para darnos cuenta q para todo ahy unmetodo el cual nos ayuda un poco en trabjos largos como este
5. yo entendi que en la trigonometria se debe saber cual es el momento exactode aplicar cada ecuacion par lograr el resultado esperado
6. I understand that to achieve trigonometry should know what is the righttime to apply each equation pair achieve the expected result
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