examen primer grado secundaria xy
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I Concurso de Matemáticas XY – MAT 2012
PRIMER AÑO DE SECUNDARIA
1. Si se cumple que
. Calcular el valor de .
2. Dada la expresión algebraica . Encontrar el valor de
.
3. Sean los conjuntos { } y { }, donde se cumple que { }.
Calcular la suma de los valores que puede tomar , si .
4. El número ( , tiene divisores compuestos.
Encontrar el valor de .
5. En una división entera, el residuo por defecto supera al residuo por exceso en unidades,
además el dividendo está entre y , y el divisor es . Hallar la suma de las cifras del
dividendo.
6. Calcular la suma de todos los números primos que cumplen la propiedad de que es
divisible por , pero no por .
7. Se forma un conjunto con todas las letras de la palabra . ¿Cuántos subconjunto
de a lo más tres elementos se pueden formar con los elementos de ?
8. ¿Cuántos enteros positivos de tres cifras son múltiplos de , pero no de ?
9. La edad en años de una tortuga es mayor en que el cuadrado de un entero positivo y
menor en que el cuadrado del número siguiente a . ¿Cuántos años tiene la tortuga?
I Concurso de Matemáticas XY – MAT 2012
10. ¿Cuál es el entero que está comprendido entre y que leído al revés, es el doble del
número que sigue al original?
11. Sean enteros positivos primos relativos tales que:
Calcule el valor de .
12. Si los numerales , , están correctamente expresados y además
. Halle la suma de las cifras del número .
13. Sea un polinomio que satisface la siguiente condición:
, , , , …
Calcular el valor de .
14. ¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos tienen como producto de sus dígitos a un número
par?
Considere que el número cero es par.
15. En un triángulo , se sabe que las longitudes de los segmentos , y son ,
, , respectivamente, donde es un número entero. Calcular la suma de todos los
valores que puede tomar el perímetro del triángulo .
16. Se hace una lista en orden creciente de todos los números enteros positivos que en su escritura
decimal, empiezan con y terminan en :
, , , , , , , …
¿Qué lugar ocupa el número ?
17. ¿Cuántos números menores que 200 cumplen que, al suprimir su último dígito, resulta un
número , de modo que es un divisor de .
I Concurso de Matemáticas XY – MAT 2012
18. En el siguiente gráfico, calcular la medida del ángulo , si: .
A
B
F
D
EC
19. Si y son los radios. Además, la longitud de la circunferencia más grande es .
Hallar el área de la región sombreada:
O
B
A
20. ¿Cuántas parejas de enteros positivos cumplen que su mínimo común múltiplo es
?
Nota: Considere que la pareja es la misma pareja que , pues no son pares ordenados.
21. Encontrar el menor entero positivo , para el cual el número formado por
nueves, es múltiplo por y por .
22. Un número de cuatro dígitos es llamado si al sumar con el número que resulte de
invertir sus dígitos, se obtiene un número capicúa. Por ejemplo, es feliz, pues
, que es un número capicúa. ¿Cuántos números felices , cumplen que el
número también es un número feliz?
23. Un polinomio es llamado si es de grado y además todos sus coeficientes
son iguales a . ¿Cuántos polinomios bonitos tienen términos?
24. Sea un entero positivo y sea su complemento aritmético. Encontrar el menor entero
positivo , de modo que ( ) .
25. Sea un entero positivo y la suma de sus dígitos. Un entero positivo es llamado
si satisface la siguiente relación: . De todos los números
basadrinos, ¿Cuál es el menor?