1

B

0

Ce

e

er

EXAMEN PARCIAL DEL CURSO DE DINMICA

Fecha: 11 de Marzo del 2008

1.- En un instante dado, una gra se mueve a lo largo de una va a velocidad y aceleracin que se muestra en la figura, mientras pivotea simultneamente alrededor de su eje vertical con velocidad y aceleracin angular, como se ilustra. Una pluma OC, sujeta mediante un pivote horizontal al poste vertical de la gra, soporta un carro C que se mueve hacia fuera a lo largo de la pluma con velocidad y aceleracin que se muestra. En el instante dado, la pluma se eleva alrededor del pivote O, como se ilustra, con velocidad angular y aceleracin angular. Usando coordenadas esfricas en el eje vertical OB de la gra, encuentre la velocidad y aceleracin del carro C.

Solucin

1).- Orientacin de los vectores unitarios que definen las coordenadas esfricas en OB.

2).- Calculo del movimiento de C respecto a OB

a) Identificacin de los parmetros que definen el movimiento.

5m r = 90= srad /1=

smr /1=

srad /5.0=

2

2/2 smr =

srad /1=

2/2 srad=

b) Clculo del movimiento. ____

5OC rr e=

5*0.5 5*( 1) 90C r rOB

V r e r e r sen e e e sen e = + + = + +

2.5 5 ( / )C rOB

V e e e m s= +

2 2

2 2C rOB

a r r r Sen e r r e r Sen r Sen e

= + + + +

( ) ( ) ( )22 5*0.5 5*1*1 2*1*0.5 5*1 2*1*( 1)*1 5*( 2)*1C rOB

a e e e = + + + +

24.25 6 12 ( / )C rOB

a e e e m s = +

3).- Calculo del movimiento del marco mvil OB y del punto base O.

( )___ 10O mV e s= ( )___ 24O ma e s=

4).- Calculo de la velocidad y aceleracin de C respecto al marco inercial tierra.

( )___ ___ ____ ___ 2.5 5 10C O C OB OC rOB

V V V r e e e = + + = + +

__

2.5 15 ( / )C rV e e e m s = +

__

15.24 /CV m s=

( )__ __ 4.25 6 12 4C o C rOB

a a a e e e = + = + +

__

24.25 6 16 ( / )C ra e e e m s = +

OO OBOB ==__________

3

r

A

__

217.609 /Ca m s=

2.- En el instante que se muestra, la barra OB gira en el sentido de la manecillas del reloj con una velocidad angular OB = 2 rad/s y aceleracin angular OB = 8 rad/s2. El collarn C est unido por un perno a una barra AC y se desliza sobre OB. Usando coordenadas Polares, determine la velocidad angular y aceleracin angular de la barra AC en el instante dado.

Solucin

1).- Orientacin de los vectores unitarios e identificacin de los parmetros que definen el movimiento en coordenadas polares, para los dos puntos de referencia O y A.

cosr

e sen e e =

cose e sen e = +

10 pies = 2 /rad s =

? =

28 /rad s =

? =

36 64 10r pies= + =

0=

r AC =

0=

r AC =

2) Clculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto de referencia a O. ___

10*2 20 (pies/s)CV e e e e e e = + = + = +

.(1)

4

2__

2 10*4 2 *2 10*8Ca e e e e

= + + = + +

( )__ 240 4 80 /Ca e e pies s = + +

(2)

3) Calculo de la velocidad y aceleracin de C, tomando como punto de referencia a A. ___ 4 310* 10

5 5C rV r e r e e e e = + = = +

.(3)

(1) = (3) e igualando componentes.

208 20 6 3.33 / 8* 26.66676

piey rad ss

= = = = =

Luego: 3.33AC = = rad/s

__

2 2 10*3.33 10C r ra r r e r r e e e = + + = +

__ 3 4 4 3111.11 105 5 5 5C

a e e e e = + +

8 66.667 6 88.887e e = +

.(4)

(2) = (4) e igualando la componente en e (transversal)

24*26.667 80 6 88.887 16.297 /rad s + = + =

Luego: 297.16=AC (rad/s2)

3.- La figura representa un dispositivo para prensar. En el instante considerado en la figura, la manivela OA de longitud es horizontal y son conocidas su velocidad y aceleracin angulares. El ngulo en B es recto. Usando el mtodo de los centros instantneos de velocidad nula, determinar las velocidades angulares de las barras.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad de las barras:

a).- Determinacin de los centros instantneos de velocidad nula y clculos elementales.

5

11

sen C AC A sen

= =

11

cottg C BC B

= =

b).- Clculo de las velocidades

1

AAB

Vsen

C Asen

= = =

(Unidades de velocidad angular)

1cos

cosB ABV C B sen lsen

= = = (Unidades de velocidad)

cos cos

2 2B

CBVCB

= = =

(Unidades de velocidad angular)

cos

2DB CB

= = (Unidades de velocidad angular)

4.- En el sistema de engranajes de la figura, OB gira con B y B conocidas en torno del punto O fijo. El pin 1, de centro O, tiene 1 y 1 tambin conocidas. Se pide los Valores de 2 y 2. Si OC = r y BC = 2r.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular del engranaje :

a).- Clculo de la velocidad de B, como parte de la barra OB

2 3B B BV k x r j r i = = (1)

b).- Clculo de la velocidad de B, como parte del disco 2 1 2 2 15 ( 2 ) (2 5 )B A ABV V k x r k x r j k x r j r r i = + = + = ..(2)

6

(1) = (2)

12 1 2

3 53 2 52

BBr r r

+= = (Unidades de velocidad angular)

2).- Clculo de la aceleracin angular del engranaje :

a).- Clculo de la aceleracin de B, como parte de la barra OB

2 23 (3 ) 3 3B B B B Ba k x r j r j r i r j = =

b).- Clculo de la aceleracin de A2 (punto perteneciente al engranaje coincidente con el punto A1 del engranaje , ambos en A)

2 22 2 2 2 2 2 2(2 ) (2 )A B BA BA Ba a k x r r a k x r j r j = + = +

2 22 2 2(3 2 ) (3 2 )A B Ba r r i r r j = + (3)

c).- Clculo de la aceleracin de A1

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1(5 ) (5 ) 5 5A OA OAa k x r r k x r j r j r i r j = = = (4)

Como las aceleraciones tangenciales son iguales (en la direccin horizontal), en (3) y (4):

12 1 2

3 53 2 52

BB

rr r r

+ = = (Unidades de aceleracin angular)

5.- Los tres slidos de la figura son engranajes cuyo dentado no se muestra. El pin cnico gira con constante conocida, y el pin tiene constante tambin conocida. Determinar la velocidad y aceleracin angulares del pin cnico .

7

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular del pin :

a).- Clculo de la velocidad de A, como parte de en movimiento alrededor del punto fijo D)

1 ( ) ( cot 30 )A DA X Y ZV x r i j k x Ri R j = = + + +

3 ( 3 )A Z Z X YV R i R j R R k = + + .(1)

b).- Clculo de la velocidad de A como parte de en movimiento alrededor de un eje fijo

AV j x R i R k = = (2)

(1) = (2):

0Z =

3X YR R R = (3)

c).- Clculo de la velocidad de B, como parte de

1 ( ) (2 ) 2B DB X Y YV x r i j x R i R j = = + = .(4)

d).- Clculo de la velocidad de B, como parte de

(2 ) 2B DBV k x r k x R i R j= = = ..(5)

(4) = (5):

8

( )2 23Y Y X

R R y + = = =

Luego:

1( )

3i j +=

(Unidades de velocidad angular)

2).- Clculo de la aceleracin angular:

a).- Por el teorema de adicin

1 1 DCDC

= + ..(I)

Si:

1C DC C DC OCV x r y V x r = =

( ) ( ) ( )2 2 cos 30 2 cos30 30 2 23CRV i j x R i R sen j k + = + =

..(6)

Tambin:

2 32 cos 302C DC DC

V j x R i R j

= = (7)

(7) = (6):

3 ( 2 )(2 )2 2 3DC DC

R RR j

= =

Luego en (I):

1( ) ( 2 )

33 DCi j j + = +

1( ) ( )

33DCi j + +=

b).- Derivando (I) respecto al tiempo:

9

0 0

1 1 1( 2 ) ( ) ( )

3 33DC DCDC DCx j x i j

+ + = + + =

1( 2 )( )

3 3k +=

(Unidades de aceleracin angular)