EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS

Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... U En= S, donde S es el espacio muestral.

Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre que se realiza el experimento.

· Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de todos los sucesos deberá ser igual a 1.

Sacar una carta numerada, sacar una carta de letras. Son eventos

colectivamente exhaustivos, las cartas o son numeradas o son cartas con letra,

entonces estamos considerando todos los eventos o resultados posibles. Una

implicación es que al sumar la probabilidad de obtener una carta numerada y la

probabilidad de sacar una carta de letra obtendremos una probabilidad de 1,

consideremos que el “as” pertenece a las cartas literales:

P (carta numerada)+P (carta letra)= (36/52)+ (16/52)= (52/52)=1

La probabilidad de 1 se puede interpretar como una indicación de que se han

considerado todos los resultados posibles de una prueba, en este caso la prueba o

experimento consiste en sacar una carta de una baraja inglesa. La consideración

que de que el “as” pertenece a las cartas literales no afecta en nada el resultado,

pues podemos considerar que es la primera de las cartas numeradas y el cálculo

de la suma de probabilidades arroja el mismo resultado:

P (carta numerada)+P (carta letra)= (40/52)+ (12/52)= (52/52)=1

Sacar un corazón, sacar un no corazón. Se trata de eventos colectivamente

exhaustivos puesto que en la baraja encontramos 13 cartas en el palo de

corazones y hay otras 39 cartas en los otros 3 palos, entonces se han considerado

52 cartas en total, que son todas las que podemos encontrar en la baraja.

Sacar una carta roja, sacar una negra. También son eventos

colectivamente exhaustivos, en la baraja se tienen 2 palos negros de 13 cartas

cada uno, es decir 26 cartas; y dos palos rojos también de 13 cartas cada uno, es

decir otras 26 cartas; entonces se han considerado las 52 cartas que tiene la

baraja.

Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las

probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

TEOREMA DE BAYES

Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761

En 1763, dos años después de su muerte, se publica :Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, en el que trataba el problema de las causas a través de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. El trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y es la base de la técnica bayesiana.

Desarrollo del Teorema

Sea S un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An

mutuamente excluyentes, luego,

S= A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn

 

 

Luego si ocurre un evento B definido en S, observamos que;

B=SÇB=(A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB

B=(A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

P(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)

y como la

P(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai)

Es decir que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;

P(B)=P(A1)P(B½A1)+P(A2)P(B½A2)+P(A3)P(B½A3)+P(An)p(B½An)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento A i dado que B ya ocurrió, entonces;

)AB(p)An(p....)AB(p)A(p)AB(p)A(p

)AiB(p)Ai(p

)B(p

)BAi(p)B|Ai(P

n

Ç

2211

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

Even tos independientes

En los temas anteriores relativos a la probabilidad condicional, hemos visto el caso en que el resultado de un evento está condicionado a la ocurrencia de otro. Sin embargo, hay eventos que se salen de este contexto, en cuyo caso se habla de eventos independientes. Hagamos el estudio de ellos. Se dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A suceda no está influenciada porque B haya o no sucedido.

Si A y B son cualesquier eventos en el espacio muestral S, tales que P(A) > 0 y P(B) > 0, decimos que A es independiente de B si y solo si P(A | B) = P(A)    e implica que    P(B | A) = P(B).

Entonces, cuando A y B son independientes, la Regla de Multiplicación se comporta en la forma siguiente. Sabemos que P(AB) = P(A) P(B | A), pero en el caso de que haya independencia se cumple que P(B | A) = P (A). Sustituyendo en la ecuación de la Regla de Multiplicación obtenemos:

Que es la ecuación que se usa como definición formal de independencia.

 

 En cualquier caso que no se cumpla la igualdad anterior, concluiremos que los eventos son dependientes.

  La Regla de la Multiplicación para eventos independientes se puede generalizar. En el caso de n  eventos independientes se tiene que: