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EVALUACIÓN ACADÉMICA Gestión Académica
Versión 3 / 12-2-2016
Nombre estudiante:
Fecha: D / M / A
Asignatura:
MATEMÁT
Grado:
5°
Periodo:
2P
DBA: Utiliza las propiedades de los números enteros y racionales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.
Educador: Luz Dari Lindarte Clavijo Socialización con estudiante y padre familia, firma: __________________________
Valor del
Logro
Calificación:
Metodología: taller
30% Secuencia:
4
□Quíz □Plan de refuerzo □Prueba de periodo □ Recuperación □ Diagnóstico □Taller
INTRODUCCIÓN
Propiedades De Números Enteros
Aquí vamos a discutir las propiedades de números enteros. Los números enteros (Z), además de ser una
extensión de los números naturales, también pueden ser considerados como un subconjunto de los
números racionales, ya que cada uno de los números enteros puede ser considerado como una fracción
en donde el denominador es el número uno. Sin embargo, las fracciones no enteras quedan excluidas de
la recta numérica que contiene a los números enteros porque simplemente no forman unidades, sino
porciones de la misma.
En esto se basa la estructura de los números enteros, que además es un conjunto que no tiene ni principio
ni fin, porque se pueden acumular tanto hacia el lado de los números positivos al añadir una unidad de
forma progresiva e infinita; y también se puede realizar lo mismo al sustraer una unidad hacia el lado de
los números negativos. Aun así, el origen de la recta numérica es el cero y se encuentra en el centro del
conjunto. Siga leyendo para saber todo sobre las propiedades de números enteros.
Las propiedades de números enteros
Entonces, algunas de las propiedades de números enteros:
Es que es una extensión de los números naturales.
Es un subconjunto de los números racionales.
Es un conjunto ordenado porque su progresión se da añadiendo o sustrayendo unidades.
Es un conjunto infinito cuyo origen es el cero en el centro pero no tiene ni principio ni fin, es decir que
no tiene un número mayor o un número menor en los extremos de la recta numérica.
Los números primos.
Propiedades de números enteros
El valor de los números enteros está relacionado a las unidades, por lo tanto, si el conjunto es un conjunto
ordenado, significa que el valor de un número entero se identifica con su posición en la recta numérica.
Es decir que, si un número se encuentra más hacia la derecha de la recta, cualquier número que se
encuentre a la izquierda se tratará de un número menor y viceversa. Por ello se dice que, por ejemplo:
5>35>3 o si se desea usar números negativos, entonces -8 < 5. En estos dos ejemplos se está diciendo
que cinco es mayor que tres, pero que menos ocho es menor que cinco.
1. Interna:
a + b Pertenece enteros
3 + (−5) Pertenece enteros
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5
Resta de números enteros
La diferencia de los números enteros se obtiene
sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (-b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
a − b Pertenece enteros
10 − (−5) Pertenece enteros
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es
otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos y,
como signo, el que se obtiene de la aplicación de
la regla de los signos.
Regla de los signos
signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números
enteros
1. Interna:
a · b Pertenece enteros
2 · (−5) Pertenece enteros
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros
La división de dos números enteros es igual al
valor absoluto del cociente de los valores
absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene
de signo, el que se obtiene de la aplicación de la
regla de los signos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2) : 6 No pertenece enteros
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Números racionales Q
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero. Se representa por racionales. Q
Representación de números racionales
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros. Recta Para representar
con precisión los números racionales:
1Tomamos un segmento de longitud la unidad, por
ejemplo.
2Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo
dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo,
lo dividimos en 4 partes.
3Unimos el último punto del segmento auxiliar con el
extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos
en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del
segmento auxiliar.
representación
En la práctica se utilizan número racional y fracción como
sinónimos.
Operaciones con números racionales
Suma y resta de números racionales
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se
mantiene el denominador.
Con distinto denominador
Proceso 1:
En primer lugar se reducen los denominadores a
común denominador, y se suman o se restan los
numeradores de las fracciones equivalentes
obtenidas.
Proceso 2:
Se multiplican los denominadores y se escribe el
nuevo denominador, luego se multiplican en
cruz, escribiendo primero el producto del primer
numerador, signo y se escribe el producto del
segundo denominador.
Este proceso es igual para la resta
Multiplicación de números racionales
Se multiplica de frente numerador con
numerador y denominador con denominador.
División de números racionales
Propiedades de los números racionales
Expresiones algebraicas
¿Qué es una expresión algebraica?
Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre si por los signos de las operaciones
aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se
llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el
signo + o -.
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico nos permite representar una información dada mediante operaciones con números
y letras. Las letras que se utilizan en el lenguaje algebraico pueden cumplir 2 funciones
- Ir tomando valores que varían, por lo que también se les llama variables.
- Utilizarlas en el lugar de una cantidad desconocida, en ese caso se les llama incógnitas.
Así, se puede representar la suma de dos números como x+y y el triple de la suma de dos números como
3 (x+y). De esta forma se realiza una traducción de enunciados a lenguaje algebraico.
Así mismo mediante la traducción de enunciados se pueden expresar números desconocidos en términos
de otros.
Por ejemplo, si la edad de Juan es x y Lola tiene el triple de la edad de Juan más cuatro años, se puede
expresar la edad de Lola como 3x+4 y si Pedro tiene el doble de la edad de Lola, se puede expresar la
edad de Pedro como 2 (3x+4).
Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:
Un numero cualquiera: X
La suma de M y N ⇒ M + N
La diferencia entre A y B ⇒ A – B (recordemos que el término diferencia es lo mismo que resta).
El producto de M y N ⇒ M • N o MN (recordemos que el término producto es lo mismo que
multiplicación).
- El cociente entre P y Q ⇒ P / Q (recordemos que el término cociente es lo mismo que división).
-Un número aumentado en 8 ⇒ X + 8 . En este caso llamamos X al número que no conocemos. La
palabra aumentado también puede ser incrementado y eso es sinónimo de suma.
-Un número disminuido en 6: Y – 6 . En este caso llamamos Y al número que no conocemos. La
palabra disminuido es sinónimo de resta.
El doble de H⇒ 2 • H
El triple de N ⇒3 • N
La mitad de X ⇒ X / 2
La tercera parte de Y⇒ Y / 3
La cuarta parte de L ⇒ L / 4
El doble de la suma de dos números⇒ 2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números⇒ 3( x – y )
Tres números enteros consecutivos: x, x+1, x+2
El doble de un número incrementado en 6 equivale a la quinta parte del número disminuida en 7:
2x+6 = x/5-7
El cuádruplo de la suma de M y P ⇒ 4 • (M+P)
- La mitad de la diferencia de dos números⇒ ( x -Y ) /2 (mitad equivale a decir la resta dividida
por 2)
El cuadrado de X ⇒ X²
El cubo de Y⇒ Y³
La suma de los cuadrados de dos números: x² + y²
La quinta parte del cubo de un número: x³/5
El cubo de la quinta parte de un número: (x/5)³
Las dos terceras partes de la suma de dos números: 2/3 (x+y)
La potencia, expresión algebraica
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una
suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe
en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí
misma.
Propiedades de la potencia
TAREA
Recordar. Consulta:
Cómo se obtiene la forma racional de un número decimal (Cómo pasar de número decimal a
número fraccionario). Escriba tres ejemplos.
Cómo se obtiene la forma decimal de un número racional (Cómo pasar de número fraccionario
a número decimal).
Cuándo un decimal es finito y cuando infinito. Escriba tres ejemplos para cada uno.
Resuelve:
Completa la tabla
Frase Expresión algebraica
La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)
3 más que un número
La diferencia entre un número y 5
4 menos que n
Un número aumentado en 1
Un número disminuido en 10
El producto de dos números
Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b)
Dos veces un número sumado a otro
Cinco veces un número
Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido
El cociente de dos números
La suma de dos números
10 más que n
Un número aumentado en 3
Un número disminuido en 2
El producto de p y q
Uno restado a un número
El antecesor de un número cualquiera
El sucesor de un número cualquiera
3 veces la diferencia de dos números
10 más que 3 veces un número 10 + 3b
La diferencia de dos números
La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43
19 más que 33
Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 16
3 veces la diferencia de 27 y 21
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado
El cociente de 3 al cubo y 9
12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 12 2 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5 Dado un número
El duplo , el doble de un número
La mitad de un número
Un número disminuido en ...
El antecesor , o el anterior de un número
El sucesor , el consecuente , o el siguiente de un número
El opuesto de un número
Números consecutivos
Un número par
Números pares consecutivos
Un número impar
Números impares consecutivos
El triple de un número
El cuádruplo de un número
La tercera parte, o el tercio de un número
La cuarta parte de un número
La quinta parte de un número
El cuadrado de un número
El cubo de un número
El cuadrado del siguiente de un número
El cubo del siguiente de un número
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la potenciación expresando el
resultado en una sola potencia.
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la potenciación expresando el
resultado en una sola potencia.
Resuelve los siguientes problemas
16. Manuel tiene cierta edad. Cecilia tiene 2 años más que Manuel. Si suman ambas edades el resultado
es 18.
17. Andrés tiene cierta cantidad de estampillas. Marcelo tiene 8 estampillas menos que Andrés. Si se
suman las estampillas ambos jóvenes juntan 24 estampillas.
18. Un número aumentado en su sucesor disminuido en 5 es igual al doble del número disminuido en 4.
19. Guillermo tiene gran cantidad de láminas de jugadores de fútbol. Carla tiene el doble de la cantidad
que tiene Guillermo y ambas cantidades suman 21láminas.
PROCESO
1. La guía es el tema del periodo.
2. Leer y sacar un resumen de la introducción.
3. Las propiedades de: Z, Q y potenciación son para aprender de memoria.
4. Resolver la tarea cuando el profesor indique y la numeración que indique.
5. Recuerde que cada semana el día viernes se realiza un quiz del tema de la semana.
RECURSOS
Taller, cuaderno, colores, regla.
Angelitoons. (2017). Las aventuras de troncho y poncho: fracciones. Disponible
en:https://www.youtube.com/watch?v=anfrZhAd3JU