1. Sea el campo de velocidades:

�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =𝑥

𝑡 + 1𝑖 +

𝑦

𝑡 + 1𝑗 +

5𝑥

𝑡 + 1�⃗⃗�

Se pide:

1. Obtener la trayectoria de la particular P que en t=t0 se encontraba en (x0, y0, z0).

𝑟𝑝 = 𝑥0

𝑡 + 1

𝑡0 + 1𝑖 + 𝑦0

𝑡 + 1

𝑡0 + 1𝑗 + (𝑧0 + 5𝑥0

𝑡 − 𝑡0

𝑡0 + 1) �⃗⃗�

2. Obtener el campo de aceleración.

�⃗� =𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ �⃗�∇�⃗� = 0⃗⃗

3. Se trata de un fluido incompresible en caso negativo, se expande o se contrae. Justifica

la respuesta.

∇ ∙ �⃗� =𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑧=

1

1 + 𝑡+

1

1 + 𝑡+ 0 =

2

1 + 𝑡≠ 0 ⇒ 𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

∇ ∙ �⃗� > 0 ⇒ el fluido se expande

2. Sea el campo de velocidades:

�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =𝑥

𝑡 + 1𝑖 +

𝑦

𝑡 + 1𝑗 +

𝑧

𝑡 + 1�⃗⃗�

Se pide:

1. Obtener la posición de la particular P que en t=t1 tiene una velocidad �⃗�𝑝(𝑡1) = 2𝑖 +

2𝑗 + 10�⃗⃗� en el instante t=t0.

𝑟𝑝(𝑡0) = 2(𝑡0 + 1)𝑖 + 2(𝑡0 + 1)𝑗 + 10(𝑡0 + 1)�⃗⃗�

2. Se trata de un fluido incompresible en caso negativo, se expande o se contrae. Justifica

la respuesta.

∇ ∙ �⃗� =𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑧=

1

1 + 𝑡+

1

1 + 𝑡+

1

1 + 𝑡=

3

1 + 𝑡≠ 0 ⇒ 𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

∇ ∙ �⃗� > 0 ⇒ el fluido se expande

3. Obtener el campo de aceleración.

�⃗� =𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ �⃗�∇�⃗� = 0⃗⃗

3. En una región fluida se cumple que para toda partícula P situada en cualquier punto (x0,y0)

en el instante genérico t0 el vector posición de la partícula t es:

𝑟𝑝 = 𝑥0 · 𝑒𝑡2−𝑡0

2

2 · 𝑖 + 𝑦0 · 𝑒𝑡2−𝑡0

2

2 · 𝑗

Se pide:

1. Calcular la velocidad de la particular p y el campo de velocidad euleriano.

�⃗�𝑝(𝑡) = 𝑥0 · 𝑒𝑡2−𝑡0

2

2 · 𝑡 · 𝑖 + 𝑦0 · 𝑒𝑡2−𝑡0

2

2 · 𝑡 · 𝑗

�⃗�(𝑟, 𝑡) = 𝑥𝑡𝑖 + 𝑦𝑡𝑗

2. Obtener el campo de aceleración.

�⃗� =𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ �⃗�∇�⃗� = 𝑥(1 + 𝑡2)𝑖 + 𝑦(1 + 𝑡2)𝑗

3. Se trata de un flujo irrotacional.

∇ × �⃗� = ||

𝑖 𝑗 �⃗⃗�𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧

|| = ||

𝑖 𝑗 �⃗⃗�𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑥𝑡 𝑦𝑡 0

|| = 0⃗⃗ ⇒ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

4. Un chorro rectangular de un

fluido incompresible y no

viscoso incide sobre una placa

inclinada un ángulo θ respecto

a la dirección horizontal.

Desprecie el efecto de la

gravedad.

Se pide:

1. Si 𝑚2̇ = 𝑚1̇ · 𝛼 obtener

el caudal másico en la

sección 3.

𝑚3̇ = 𝑚1̇ (1 − 𝛼)

2. Calcular la velocidad en las secciones 2 y 3.

𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 = 𝑉

3. Calcular la fuerza que ejerce el fluido y la atmósfera sobre la placa inclinada.

𝐹𝑥 = 𝑚1̇ · 𝑉 · [1 − (2𝛼 − 1) cos 𝜃]

𝐹𝑦 = 𝑚1̇ · 𝑉 · (1 − 2𝛼) sin 𝜃

4. Calcular el valor de α si el valor de la fuerza es perpendicular a la placa.

𝛼 =1 + cos 𝜃

2

5. Calcular el valor de h en las secciones 2 y 3.

ℎ2 =1 + cos 𝜃

2ℎ; ℎ3 =

1 − cos 𝜃

2ℎ

6. Justifique la razón por la cual el valor de la componente tangencial de la fuerza

calculada es nula.

Si se trata de un fluido no viscoso, las fuerzas que se ejercen sobre la superficie plana son

debidas exclusivamente a presión. La presión genera una fuerza normal a la superficie, por

esto la resultante de la fuerza generada por el fluido es normal a la superficie.

h

h3

h2

5. Un vehículo de masa M se desplaza a una velocidad V0. Para reducir su velocidad introduce

una cuchara de ancho b sobre una balsa de líquido de densidad ρ, desplazando una lámina de

espesor e. Se pide:

1. Velocidad relativa al vehículo en la entrada y la salida de la cuchara en función de la

velocidad V(t) del vehículo.

�⃗�𝑟1(𝑡) = −𝑣(𝑡)𝑖

�⃗�𝑟2(𝑡) = 𝑣(𝑡) (cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗)

2. Fuerza que ejerce el terreno sobre las ruedas y ecuación diferencial del movimiento

del vehículo. Desprecie la resistencia del aire y la resistencia a la rodadura.

𝑁 = 𝑀𝑔 + 𝜌𝑉2𝑏𝑒 sin 𝜃

𝑀𝑑𝑉

𝑑𝑡+ 𝜌𝑉2𝑏𝑒 (1 + cos 𝜃) = 0

3. Tiempo que tarda en reducir la velocidad a V0/2.

𝑡𝑉02

=𝑀

𝑉0𝜌𝑏𝑒(1 + cos 𝜃)

6. En la tubería de sección circular de la figura, se pide:

1. Si la velocidad en la sección 2 es 𝑉(𝑟) = 𝐶2 · 𝑟2 + 𝐶0 calcular el caudal en función de:

C2, C0 y R=D/2.

𝑄 =𝜋𝐷2

4(

𝐶2𝐷2

8+ 𝐶0)

2. Calcular las constantes C2 y C0 de la función 𝑉(𝑟) = 𝐶2 · 𝑟2 + 𝐶0 que nos proporciona

el módulo de la velocidad en la sección 2.

𝐶0 = 2𝑉1; 𝐶2 = −8𝑉1

𝐷2; 𝑉(𝑟) = 2𝑉1 [1 − (

𝑟

𝑅)

2

] = 2𝑉1 [1 − (𝑑

𝐷)

2

]

3. Fuerza horizontal que ejerce la pared de la tubería sobre el fluido. Suponga los

esfuerzos viscosos despreciables en las secciones 1 y 2.

𝐹𝑥𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑→𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜=

𝜋𝐷2

4[(𝑝𝑚2 − 𝑝𝑚1) +

1

3𝜌𝑉1

2]

7. Calcular los valores de presión absoluta y velocidad en la sección 1 y la velocidad a la salida

de la tobera. Suponga el aire como fluido incompresible no viscoso de ρ=1,2kg/m3.El diámetro

de entrada en la tobera es D1=4cm y el de salida Ds=2cm. El manómetro marca una diferencia

de cotas h=2cm y el líquido manométrico es agua con ρagua=1000kg/m3.

1. Calcular la velocidad V1.

𝑉1 = √2𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ

𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒

2. Calcular la velocidad a la salida VS.

𝑉𝑠 = 𝑉2 = (𝐷1

𝐷2)

2

√2𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ

𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒

3. Calcular la presión absoluta p1.

𝑝1 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ [(𝐷1

𝐷2)

4

− 1]

8. Calcular los valores de la velocidad en la sección 1 y la velocidad en la sección 2. A través de

cono reductor circula agua de densidad ρ=1000kg/m3.El diámetro de entrada es D1=10cm y el

de salida D2=5cm. El manómetro marca una diferencia de cotas h=40cm y el líquido

manométrico es mercurio con ρHg=13600kg/m3.

1. Calcular la velocidad V1.

𝑉1 = √2𝑔ℎ(𝜌𝐻𝑔 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)

𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎

2. Calcular la velocidad V2.

𝑉2 = (𝐷1

𝐷2)

2

√2𝑔ℎ(𝜌𝐻𝑔 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)

𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎

3. Calcular la caída de presión entre los puntos 1 y 2 indicando claramente que presión es

mayor.

𝑝1 − 𝑝2 = (𝜌𝐻𝑔 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)𝑔ℎ [(𝐷1

𝐷2)

4

− 1] − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔(𝐻 + ℎ)

1

2

9. Determine la potencia que proporciona la turbina de la figura. El caudal de agua turbinado es

Q y el rendimiento de la turbina es η. La densidad del agua es ρ y la del mercurio ρHg.

1. Calcule la diferencia de presiones entre E y S.

𝑝𝑒 − 𝑝𝑠 =8𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑄2

𝜋2𝐷𝑠4 + 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔(𝑧𝑠 − 𝑧𝑒 − ℎ) + 𝜌𝐻𝑔𝑔ℎ

2. Calcule la potencia que proporciona la turbina.

�̇�𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 = 𝜂 𝑄 [8𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑄2

𝜋2𝐷𝑒4 + 𝑔ℎ(𝜌𝐻𝑔 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)]

DE

DS

h

Mercurio (Hg)

E

S