GOTTLOB FREGE

ESTUDIOS SOBRE SEMANTICA

Introducción de

JESUS MOSTERIN

EDICIONES ARIEL Esplugues de Llobregat

BARCELONA

INTRODUCCION

Gottlob Frege (1848-1925) es el fundador de la 1ó- gica moderna y uno de los pensadores que mas ban contribuido a conformar la fllosofia de nuestro siglo, so-bre todo a través de su influencia decisiva en Russell, Catnap, Wittgenstein y Husserl. Pero en su tiempo no sólo paso desapercibida Ia importancia de su obra y quedaron sin eco sus ideas, sino que ni siquiera en-contraba editor para sus libros, teniendo que pagar de su propio bolsillo la edición de su obra fundamental, Grundgesetze der Arithmetik.

Frege pasó la mayor parte de su vida como profesor de matemática en la Universidad de Jena, Pero nunca llegó a ser nombrado catedrático. Ni siquiera se le con-cedió una distinción rutinaria que solía otorgarse a to-dos los profesores al cumplir los 60 años, pues "su ac-tividad académica carecía de interés para la Universi-dad", según palabras del secretario de Ia misma. Frege tenía pocos alumnos. Uno de ellos, Carnap, nos cuenta que en 1913 solo otras dos personas (una de ellas un comandante retirado, que estudiaba las nuevas ideas matemáticas

como hobby) asistían con él a las claws de Frege.

.

Durante toda su vida, Frege estuvo preocupado por el problema de la naturaleza de los números naturales y la fundamentación de la aritmética . Su objetivo final (conocido como "programa logicista") consistía en redu-cir la aritmetica (y el análisis) a la lógica, definiendo las nociones aritmeticas a partir de nociones puramente 1ógicas y deduciendo los axiomas aritmeticos a partir de principios lógicos. Como la logica traditional no bastaba para llevar a cabo esta tarea, se vio impulsado a crear una nueva lógica, suficientemente precisa y po-tente como para poder desarrollar la matemática a par-tir de ella. "Frege — contaba Wittgenstein, que le ha-

visitado varias veces — no hablaba nunca más que de lógica y matemática; si yo empezaba a hablar de otro tema, me cortaba con una frase cartés y en seguida volvía a Ilevar la conversation a la logica y la mate-mática." 3

Evolucion del pensamiento de Frege En el desarrollo de la obra de Frege se pueden dis-

tinguir cuatro etapas: la primera Ilega hasta 1883; la segunda va de 1884 a 1890; la tercera abarca desde 1891 hasta 1905, y la cuarta so extiende desde 1906 hasta la muerte de Frege, en 1925.

En la primera etapa, Frege se dedica fundamental-mente a desarrollar su lógica sobre la base de un forma-lismo o ideografía — Begriffsschrift cuyas ventajas alaba y explica en diversos artículos.

Lo que boy entendemos por lógica se inicia en 1879, con la publicatión de la obra de Frege titulada preci-samente Begriffsschrift. En esta obra aparecen por pri-

mera vez los cuantificadores y las variables ligadas, que permiten a Frege desarrollar la primera teoría coherente

de la cuantificación ; por primcra vez se distinguen claramente los predicados de los nombres, y los predi-cados de primer orden de los de segundo orden; por primera vez se formaliza la lógíca sentential, la de pri-mer orden y la de segundo orden, se ofrece una descrip-ción adecuada de su naturaleza y se presenta un cálcu-lo deductivo correcto (aunque no completo) para las dos primeras. En resumen, por primera vez, y de golpe, aparecen los análisis, conceptos y metodos caracterIsti-cos de la lógica actual.

La segunda etapa gira en tomb a Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmetica), publicada en 1884. Por un lado, Frege somete las con-cepciones empiristas, psicologistas y "formalistas" de los números

a una crítíca implacable. Por otro lado, desa-rrolla y expone su propia conceptíon. Empieza por analizar los enunciados numéricos. Los números no se dicen de las cosas, sino de los conceptos. Si decimos que la Tíerra tiene un satélite , o que nuestro sistema solar tiene nueve planetas, o que no hay habitantes en Mar-to, estamos diciendo algo de conceptos: que bajo el concepto "satelite de la Tierra" cae un individuo, bajo el concepto "planeta de nuestro sistema planetario" caen nueve individuos y bajo el concepto "habitants de Marte" no cae ningún individuo. Luego, para cual-quier concepto P, Frege define el concepto de segun-do orden "equivalente a P", bajo el que caen los con-ceptos bajo los que caen los mismos individuos que bajo P. A continuation, define "el número de P" como la extension del concepto "equivalente a P". Y, final-mente, en general, x es un número natural si y solo si

hay algún concepto P tal que x es el númer() de F.4 En la tercera etapa, por un lado Frege desarrolla y

precisa sus ideas sobre semántica en una serie de artículos recogidos en este volumen y, por otro lado, in-

tonta llevar a cabo la realización del programa logicista, deduciendo en su ideografía las leyes fundamentales de

la aritmética a partir de los principios lógicos. Die Grundgesetze der Arithmetik (publicada en dos voila-mopes, en 1893 y 1903, respectivamente) debía haber re-presentado la culminación de la obra de Frege y el éxito definitivo del programa logicista. Pero resulta que uno de los pocos y primeros lectores de la obra, Bertrand Russell, descubrió en ella una contradíction, que co-municó a Frege por carta, cuando el segundo tomo se estaba acabando de imprimir. Frege añadió rápidamente un epílogo, dando cuenta de la contradicción descu-bierta por Russell y buscando modus de solucionarla. El epílogo está impregnado de tristeza y melancolía. "Nada más triste puede suceder a un escritor cientí-fico — escribe Frege — que ver com°, después de ter-minado su trabajo, una de las bases de su construction se tambalea."

Frege no trató en modo alguno de defender su sis-tema, sino que reconoció con gran naturalidad el error descubierto por Russell e inmediatamente se puso a buscar vías de solution al nuevo problema. Casi al final de su larga y fecunda vida, Bertrand Russell escribió: "Cuando pienso en actos de gracia e integridad, me cloy cuenta de quo no conozco ninguno comparable con la dedicación de Frege a la verdad. Estaba Frege dando

cima a la obra de toda su vida, la mayor parte de su tra-bajo había lido ignorado en beneficio de hombres infi-nitamente menos competentes que él, su segundo volu-men estaba a punto de ser publicado y, al darse cuenta de que su supuesto fundamental era erróneo, reaccio-no con placer intelectual, reprimiendo todo sentimiento de deceptión personal. Era algo casi sobrehumano y un índite de aquello de lo que los hombres son capaces cuando están dedicados al trabajo creador y al cono-cimiento, y no al crudo afán por dominar y hacerse famosos".

La cuarta y última etapa del desarrollo intelectual

de Frege es la menos fecunda y creadora. Frege pole-miza con Hilbert sobre la fundamentación de la geome-tría, repite sus posiciones anteriores y desarrolla en Lo-gische Untersuchungen (una serie de tres artículos escri-tos poco antes de su muerte) los componentes ontológicos de su teoría semántica. Fracasado su intento de

constructión logicista y privado del reconocimiento blico que la importancia de su obra merecía, los Ultimos años de su vida fueron amargos para Frege.

En el presente volumen se recogen los artículos más relevantes para la semántica de entre los publicados por Frege durante la tercera etapa de su desarrollo inte-lectual. Excepto el Ultimo ¿Qué es una función?" —que data de 1904, todos los demás fueron escritos en 1891, 1892 o 1893. También se recogen aquí el prolog° y la introduction al primer volumen de Grundgesetze der Arithmetik, publicado en 1893, y en los quo Frege trata de los mismos problemas.

El principal interés de estos artículos estriba en que

en ellos aparecen por primera vez las nociones y dis-tinciones que habrian de dominar gran parte del de-sarrollo posterior de la semantica.

Objeto y funcion Objeto y funcion son las dos categorias fundamen-

tales de la ontología de Frege. Las categorias, como nociones últimas que son, no pueden ser definidas. Fre-ge ha de contentarse con apuntar, sugerir, poner ejem-plos y esperar que el lector capte la diferencia.

Según Frege, todo lo que hay, todo acerca de lo que hablamos, es objeto o es función. Hay objetos y hay funciones. No hay nada más . Función es todo lo que no es objeto; objeto es todo lo que no es función.

Las personas, los vegetates, los planetas son objetos. También lo son los puntos espaciotemporales, los números

naturales e incluso los valores veritativos (la verdad y la falsedad, o, como Frege dice, lo verdadero y lo falso).

La adición, la multiplicación, etc. de números na-turales son funciones, funciones cuyos argumentos son números

naturales y cuyos valores son tambien números naturales. Igualmente son funciones los conceptos

—Begriffe— y las relaciones — Beziehungen —. Los conceptos son funciones de un argumento cuyos valores son siempre valores veritativos. Las relaciones (diádi-cas) son funciones de dos argumentos cuyos valores son siempre valores veritativos. Así como la adición asigna a cada dos números naturales otro número natural (su suma), así también Ia relación "... gira en torno a..." asigna a cada dos objetos un valor veritativo, que, por ejemplo, será lo verdadero en el caso de que los argu-mentos sean la Luna y la Tierra, y lo falso, si se trata de la Tierra y Marte.

Un nombre — Name — o expresión nominal es una expresion lingiiística quo designa algún objeto deter-minado. Un mismo objeto puede ser designado por di-versos nombres.

Una expresión functorial es una expresión lingiiísti-ca que designa alguna función determinada.

Todas las expresiones lingiiística son nombres o ex-presiones functoriales. Los nombres son completos o sa-turados y designan un objeto. Las expresiones functo-riales son incompletas o no-saturadas y designan una función.

Sentido y referencia c 4 ,^4A-

Hasta 1890, Frege se había contentado con distin-guir entre el signo — Zeichen — o expresión lingüística, por un lado, y el contenido srgnrficatrvo beurteil- barer Inhalt — del signo o expresión, por otro. A partir de 1891, Frege introduce una estructura en el conte-nido_significativo, distinguiendo entre la referencia — Bedeutung)--y el sentido Sinn - del signo o ex-presión.

El objeto al que una expresión se refiere (o designa) es su referencia; la peculiar manera de referirse a él es su sentido. Así, las expresiones "la capital de Ia Rep

ú

blica Federal de Alemania" y "la villa natal de Beetho-ven" tienen la misma referencia — Bonn —, pero dis-tinto sentido. Así, también, las cxpresiones

tienen la misma referencia — el número real e pero distinto sentido.

Frege no se conforma con distinguir el sentido y la referencia de las expresiones nominales, sino que tra-ta de extender esta distinción a todo tipo de expresio-nes linguísticas.

Segun Frege, un enunciado (o sentencia) tiene como referencia su valora veritativo como sentido el pensa-

miento objetivo — Gedanke — por 61 expresado, que no hay que confundir con la representación subjetiva — Vorstellung — quo se puede formar en la mente de quien use el enunciado. Y como habíamos visto que los valores veritativos son objetos resulta que los enun-ciados son nombres de los objetos (lo verdadero o lo falso) a los que se refieren. Todos los enunciados ver-daderos son nombres de lo verdadero y todos los enun-ciados falsos son nombres de lo falso.

La mayor parte del artículo "Sobre sentido y refe-rencia" está dedicada a analizar las dificultades que esta teoría del sentido y la referencia de los enunciados presenta en el caso de las citas, el estilo indirecto y las

oraciones subordinadas. En este contexto aparece también la primera teoría de las descripciones.

En el artículo "Consideraciones sobre sentido y re-ferencia" — inédito hasta la reciente publicación de sus escritos póstumos -,7 Frege extiende la distinción en-tre sentido y referencia a las expresiones functoriales y, en especial, a las expresiones de conceptos . referencia de una expresión conceptual no es la extension

del concepto — como en Carnap sino el concepto mismo. Y su sentido es algo distinto, aunque no queda

claro lo que.

Concepto, propiedad, caracteristica

Frege ha acabado con muchas confusiones tradi-cionales relativas a los conceptos mediante una serie de sutiles distinciones. A continuación mencionaremos algunas de ellas, a las que se alude en los artículos recogidos, aun cuando fueron introducidas por Frege en etapas anteriores.

Como vimos, segun Frege un concepto es una fun-ción cuyos valores son valores veritativos. Decimos

que un objeto cae o no cae bajo un concepto según que ese concepto le asigne como valor lo verdadero o lo falso. Decimos que un concepto está sub ordinado a otro concepto si todos los objetos que caen bajo el pri-mer concepto caen también bajo el segundo. Esta dis-tinción fregeana entre caer bajo un concepto — unter einens Begriff fallen —y estar subordinado a otro con-cepto — einem anderen Begriff umtergeordnet sein — corresponde, en lenguaje extensional, a la de ser ele-mento de una clase y estar incluido en otra clase.

Otra famosa distinción de Frege es la estableci-da entre propiedad —Eigenschaft— y característica — Merkmal Un objeto tiene una propiedad si cae bajo el correspondiente concepto. Pero un concepto es una característica de otro concepto si entra en su de-finición y, por tanto, el primer concepto es una propie-dad de todos los objetos que caen bajo el segundo. Así, pues, el ser animal no es una propiedad del ser hom-bre, sino una característica suya. El ser animal es una propiedad de Socrates o Pompidou, pero no de ser hombre.

Especialmente importante es la distinción de órde-nes o niveles — Stufen — de conceptos. Bajo un concep-to normal (o de primer orden) caen o no caen objetos.

Pero, a su vez, un concept° normal puede no sólo estar subordinado a otro concepto de primer orden, sino tam-bién caer bajo otro concepto, que, esta vez, será un concepto de segundo orden. Así, el ser médico o el ser abogado son conceptos de primer orden, Pero el ser una categoría profesional es un concepto de segundo orden. Y, por ejemplo, el tener cuatro individuos también es, según Frege, un concepto de segundo orden.

En los artículos aquí reproducidos aparece de vez en cuando la notion de eco Wertverlauf — de una función. Es la noci in menos precisa de todas las introducidas por Frege. A veces parece indicar la extensión de un concepto

y, por tanto una parte de su dominio. Otras veces, parece más bien referirse a su

contradominio (o recorrido, en el sentido actual de la palabra). En otros casos, por frn, más bien parece indi-car la función entera, extensionalmente concebida, co-mo clase de díadas. Esta noción confusa de recorrido fue la escotilla por la que la contradiction descubierta por Russell se cold en el sistema de Frege.

En resumen, en los artículos aquí recogidos Frege introduce una serie de distinciones y nociones que han sido determinantes para el desarrollo posterior de la logica y la semántica. Yo me siento inclinado a pensar que incluso han sido demasiado determinantes, pues la insistencia de Frege en buscar para cada expresión lingüística

una referencia en un mundo objetivo y extralingüístico, pero curiosamente isomorfo al lenguaje en

que de Cl se habla, ha serialado a la posterior investi-gacion semántica un camino que quizá resulte ser un callejón sin salida.

JESUS MOSTERIN

PROLOGO A «FUNCION Y CONCEPT>>.

Publico aqui esta conferencia separada, con la es-peranza de que encontrará asi algunos lectores, para los cuales permaneceria ignorada si se quedase entre las disertaciones de la Sociedad de Medicina y Cien-cias Naturales de Jena. Como ya he indicado ante-riormente, mi proposito es exponer, en un futuro pro-ximo, el modo como expreso las definitions funda-mentales de la aritmética en mi ideografía, y el modo como, a partir de ellas, puedo llevar a cabo demos-traciones con mis signos tan solo. Con este fin, me interesa poderme referir a esta conferencia, para no verme precisado a entrar alli en discusiones, que qui-

disgustarian a algunos por no ser directamente per-tinentes al tema, mientras que podrian ser echadas de menos por otros. Mi conferencia, como lo requeria el lugar en que fue dada, no va dirigida únicamente a matemdticos; y he tratado de usar un modo de expre-skin comprensible para todos, tanto como lo permi-tian el tiempo disponible y el tema tratado. Acaso por este medio se despertard un inter& por la cuestion en circulos mks amplios de estudiosos, especialmente tam-bién de 16gicos.

FUN CION Y CONCEPTO

(Conferencia dada en la sesión del 9-1-1891 de la Sociedad de Medicina y Ciencias Naturales de Jena.)

Hace ya bastante tiempo tuve el honor de dar una conferencia en esta Sociedad sobre el modo de simbo-lización que he denominado ideografía. Hoy quisiera iluminar esta cuestión desde otro ángulo y comunicar algunos complementos y concepciones nuevas, cuya necesidad se me ha hecho evidente desde entonces. Con ello no pretendo dar una exposición completa de mi ideografía, sino sólo hacer públicas algunas ideas bá-sicas.

Parto de lo que en matemáticas se llama función. Esta palabra no tuvo al principio un significado tan amplio como el que ha obtenido más tarde. Será bueno empezar por dirigir nuestra atención hacia los modos de uso originarios y sólo luego considerar sus exten-siones posteriores. De momento voy a hablar única-mente de funciones de un solo argumento. Una expre-sión científica aparece en su significado más caracte-rístico allí donde se precisa de este significado suyo para expresar una ley general. En el caso de la fun-ción, esto ocurrió con el descubrimiento del análisis

superior. En éste se trató ante todo de establecer leyes que valiesen para las funciones en general. Hay que retroceder, pues, a la época del descubrimiento del aná-lisis superior, si se quiere saber qué fue lo primero que se entendió en matemáticas por la palabra "función". A esta pregunta se recibe ciertamente la respuesta: "por función de x se entendió una expresión de cálcu-lo que contenga x, una fórmula que incluya la letra x". Según esto, por ejemplo, la expresión

2 • x3 + X sería una función de x, y

2.23 +2

sería una función de 2. Esta respuesta no puede satisfa-cernos, puesto que en ella no se distinguen forma y contenido, signo y designado, un error con el que, na-turalmente, se encuentra uno ahora muy frecuentemen-te en escritos matemáticos, incluso de autores de renom-bre. En otros lugares 2 he señalado ya los fallos de las teorías formalistas corrientes de la aritmética. En ellas se habla de signos que no tienen ningún contenido, ni lo deben tener, pero luego se les atribuye, no obstante, propiedades que sólo pueden corresponder razonable-mente a un contenido del signo. Lo mismo ocurre tam-bién aquí: una mera expresión, la forma de un conte-nido, no puede ser lo esencial de la cosa, sino que sólo lo puede ser el contenido mismo. Ahora bien,

¿cuál es el contenido, la referencia de "2 23 + 2"? El mismo que el de "18" o de "3. 6". En la igualdad 2 * 23 + 2 = 18 se expresa que la referencia de la ca-dena de signos que está a la derecha es la misma que la de la izquierda. Debo salir aquí al paso de la opinión según la cual 2 + 5 y 3 + 4, por ejemplo, son ciertamente iguales, pero no lo mismo. La raíz de esta opinión es nuevamente la confusión entre forma y con-tenido, entre signo y designado. Es lo mismo que si se quisiera considerar la violeta olorosa como dife-rente de la Viola odorata, porque sus nombres suenan distintos. La diferencia de designación por sí sola no basta para fundamentar una diferencia de designados. En nuestro caso, la cuestión es menos transparente tan sólo por el hecho de que la referencia del signo nu-mérico 7 no es sensiblemente perceptible. La tenden-cia actualmente muy difundida a no considerar como objeto más que lo que puede ser percibido con los sen-tidos induce erróneamente a tomar por números los signos numéricos mismos, a considerarlos los verdaderos objetos de estudio;

3 y entonces, naturalmente, 7 y

2 -I- 5 serían distintos. Pero tal concepción no puede mantenerse, porque no podemos hablar en absoluto de cualesquiera propiedades aritméticas de los números, sin remitirnos a la referencia de los signos numéricos. La propiedad del 1, por ejemplo, de que, al multipli-carse por sí mismo, se da otra vez a sí mismo, sería una

pura fantasía; ninguna investigación microscópica o química, por exhaustiva que fuese, podría descubrir nunca esta propiedad en la inocente figura que llama-mos el signo numérico uno. Quizá se habla de una de-finición; pero ninguna definición es creadora, en el sentido de que pueda conferir a una cosa propiedades que no tenga ya, fuera de la propiedad de expresar y designar aquello para lo que la definición la introduce como signo. Por el contrario, las figuras que llamamos signos numéricos tienen propiedades físicas y quími-cas que dependen del medio de escritura. Puede imagi-narse que alguna vez se introduzcan signos totalmente nuevos, lo mismo que los signos árabes desplazaron a los romanos, por ejemplo. Nadie considerará en serio que así se obtendrían números totalmente nuevos, ob-jetos de la aritmética totalmente nuevos, con propie-dades hasta entonces inexploradas. Así, pues, si hay que distinguir los signos numéricos de aquello a lo que se refieren, también habrá que reconocer la mis-ma referencia a las expresiones "2", "1 + 1", "3 — 1", "6 : 3"; pues no podemos alcanzar a comprender en qué radicaría la diferencia. Quizá se diga: 1-{-1 es una suma, pero 6 : 3 es un cociente. ¿Pero qué es 6 : 3? El número que multiplicado por 3 da 6. Se dice "el número", no "un número"; con el artículo deter-minado se señala que sólo hay un único número. Aho-ra bien, resulta que

y por lo tanto (1 + 1) es precisamente el número que se designó por (6 : 3). Las diferentes expresiones corres-ponden a diversas consideraciones y aspectos, pero, no obstante, siempre a la misma cosa. En caso contrario, la ecuación x2

= 4, no sólo tendría las dos raíces 2 y 2, sino también (1 -I- 1) y muchas otras, que serían

distintas unas de otras, aunque en cierto aspecto se-rían análogas. Al admitirse solamente dos raíces rea-les se desecha la idea de que el signo de igualdad no significa una coincidencia completa, sino únicamente una concordancia parcial. Esto asentado, vemos enton-ces que las expresiones

se refieren a números, a saber, 3, 18 y 132. Si la fun-ción sólo fuera realmente la referencia de una expre-sión de cálculo, entonces sería justamente un número; y con ello no habríamos ganado nada nuevo para la aritmética. Ahora bien, ante la palabra "función", uno suele pensar, naturalmente, en expresiones en las cua-les se alude a un número sólo indeterminadamente por medio de la letra x, como por ejemplo,

pero con ello no cambia nada; pues esta expresión, en-tonces, alude también sólo indeterminadamente a un número; y que lo escribamos a él o sólo "x" no entraña ninguna diferencia esencial. No obstante, precisamente gracias a la utilización en la escritura de la "x", que alude indeterminadamente, podemos ser conducidos a

la concepción correcta. Se llama a x el argumento de la función y en

"2 . 1 + 1", "2 43+ 4» y "2.53 + 5"

se reconoce una y otra vez la misma función, sólo que con distintos argumentos, a saber, 1, 4

y 5. De aquí puede inferirse que lo realmente esencial de la fun-ción radica en lo que tienen de común estas expresio-nes; es decir, pues, en lo que se halla en

"2 x3 + x„

además de la "x"; lo cual podríamos escribir quizás

así "2*( )3+ ( )".

Me interesa señalar que el argumento no forma o con la p ar - te de la función, sino que constituye, la función, por sí sola, ción, un todo completo; puede

denominarse incompleta, necesitada de comple-mento o no-saturada. Y ésta es la diferencia de prin-

cipio que hay entre las funciones y los números. Y por

esta naturaleza de la función se explica que, por parte, reconozcamos la misma función en "2.1

3 + 1" y

"2 .23 + 2", a pesar de que estas expresiones se re-fieran a números distintos, mientras que, por otra par- te, en "2 . 13 + 1"

y "4 —1", a pesar de su mismo va-lor numérico, no encontremos la misma función. Tam-bién vemos ahora cuán fácilmente puede uno ser lle

vado erróneamente en esencial a ver lo esencial de la expresión. En la expresión

reconocemos la función al imaginarla descompuesta; y una tal descomposición posible es sugerida por su forma.

Las dos partes en que se descompone la expresión de cálculo, el signo del argumento y la expresión de la función, son heterogéneas, dado que el argumento es un número, un todo completo en sí mismo, cosa que no es la función. Puede compararse esto a la división de una línea por un punto. Nos inclinamos entonces a atribuir el punto de división a ambos segmentos de la línea. Pero si quiere efectuarse la división de manera pura, o sea, de modo que no se cuente nada dos veces, ni quede nada fuera, entonces habrá que atribuir el punto de división únicamente a uno de los segmentos. Este último quedará completamente ce-rrado en sí mismo, y puede compararse al argumento, mientras que al otro le falta algo. Pues el punto de división, al que podría llamarse su punto terminal, no le pertenece. Solamente al completarlo por medio de este punto terminal o de una línea con dos puntos terminales se obtiene un todo completo. En nuestro caso, cuando hablamos, por ejemplo, de "la función 2 • x3 + x", no hay que considerar que x pertenece a la función, sino que esta letra sólo sirve para indicar el tipo de complementación que le falta, al hacer paten-tes los lugares en los que tiene que entrar el signo del argumento.

Ahora bien, llamamos a aquello, en lo que se con-vierte la función al ser completada por su argumento, el valor de la función para este argumento. Así, por ejemplo, 3 es el valor de la función 2 x2 -f- x para el argumento 1, puesto que tenemos 2 *12 + 1 = 3.

Existen funciones, como, por ejemplo, 2 + x — x o 2 + 0 • x, cuyo valor es siempre el mismo sea cual sea

su argumento; tenemos 2= 2 + x - x y 2=2+0 X.

Si se considerase el argumento incluido en la función, debería tomarse el numero 2 como esta función. Pero esto es incorrecto. Aunque el valor de la función aquí siempre es 2, con todo, hay que distinguir 2 de la fun-ción en sí misma; pues la expresión de una función tiene que mostrar siempre uno o más lugares que están destinados a ser llenados por el signo del argumento.

El método de la geometría analítica nos ofrece un medio de hacernos intuitivos los valores de una

fu n-

ción para diversos argumentos. Pues, considerar argumento como valor numérico de una abscisa y el valor correspondiente de la función como valor numé-rico de la ordenada de un punto, obtenemos un con-junto de puntos que, en los casos usuales, se nos pre-sentan intuitivamente como una curva. A cada punto de la curva le corresponde un argumento con el corres- pondiente valor de la función.

Así, por ejemplo,

da lugar a una parábola, aludiendo "y" al valor de la función y al valor numérico de la ordenada, al igual que "x" alude al argumento y al valor numérico de la abscisa. Si la comparamos ahora con la función

hallamos que en todos los casos tiene el mismo valor para el mismo argumento que la anterior. Tenemos en general:

sea cuál sea el número por el que se sustituya x. De ahí que la curva que obtenemos de

sea la misma que la que resulta de

Esto lo expreso así: la función x(x - 4) tiene el mis-mo recorrido que la función x 2 — 4x.

Cuando escribimos

no igualarnos una función a la otra, sino solamente los valores de las funciones entre sí. Y si admitimos que esta ecuación debe ser válida, cualquiera que sea el argumento que sustituya x, habremos expresado de este modo la generalización de una ecuación. Pero en vez de ello también podemos decir "el recorrido de la función x(x - 4) es igual al de la función x 2 — 4x" y tendremos así una igualdad entre recorridos. Que es posible concebir la generalización de una igualdad entre valores de función como una igualdad, a saber, como una igualdad entre recorridos, me parece que no hay que demostrarlo, sino que tiene que ser considerado como un principio lógico.

Podemos introducir también una notación abre-

viada para el recorrido de una función. A este fin sustituyo el signo del argumento en la expresión de la función

por una letra vocal griega, lo en

tre paréntesis y antepongo Según esto la misma letra griega

con un espíritu suave. Según esto: (E2-4 E)

por ejemplo será el recorrido de la función x2 — 4x y

a

. [a.-4])

el recorrido de la función x(x - 4), de modo que en

" (E2_4 E) = a (a . [a-4])"

tenemos la expresión de que el primer recorrido es el

mismo que el segundo. Se han escogido letras griegas diferentes a propósito, para indicar que nada nos fuerza a tomar las mismas.

"x2- 4x=x(x - 4)"

expresa ciertamente el mismo sentido . Si lo entendemos

como antes, Representa este setido en forma de ge neralización de una ecuación

, mientras que la expresión que acabamos de

introducir es sencillamente una ecuación del sistema cuyo miembro de la derecha tiene, lo mi mo que el de la izquiierda una referencia completa en sí misma. En

"

x2-4x =x(x-4)„

el miembro de la izquierda, tomado aislado, alude sólo

indeterminadamente a un número, y lo mismo ocurre

con cl miembro de la derecha. Si tuviéramos mera-mente "x2 — 4x", podríamos escribir en vez de ello también "y2 — 4y", sin que cambiara el sentido; pues "y", lo mismo que "x", alude sólo indeterminadamente a un número. Pero si unimos ambos miembros en una ecuación, tenemos que escoger la misma letra para am-bos lados y con ello expresamos algo que no contiene ni el miembro de la izquierda por sí solo, ni el de la derecha, ni el signo de igualdad, a saber, la generaliza-ción justamente; naturalmente, se trata de la generali-zación de una ecuación, pero, no obstante, es, ante todo, una generalización.

Así como se alude indeterminadamente a un número por medio de una letra, para expresar generalización, asimismo se siente la necesidad de aludir indeterminada-mente a una función por medio de letras. Para ello, se suele hacer uso generalmente de las letras f y F, de tal manera que, en " f (x)" y "F(x)", x representa el argu-mento. En este caso, se pone de manifiesto la necesidad de complementación de la función por el hecho de que la letra f o F lleve consigo un paréntesis, cuyo espacio interior está destinado a recibir el signo del argumento.

Según esto,

alude al recorrido de una función, que se deja indeter-minada. Ahora bien, ¿cómo fue ampliada la referencia de la palabra función con el progreso de la ciencia? Aquí pueden distinguirse dos direcciones. En primer lugar, se amplió el círculo de las operaciones de cálcu-lo que contribuyen a la creación de una función. A la

adición, multiplicación, potenciación y sus inversas se añadieron los diversos tipos de paso al límite, aun-

al igual que "22 ", por ejemplo, se refiere a 4. Y "22 = 1" se refiere a lo falso. Según esto,

se refieren a lo mismo, a saber, lo verdadero, de manera que

es una ecuación correcta. Es natural aquí la objeción de que, no obstante,

"22 = 4" y "2 > 1" afirman algo completamente dis-tinto, expresan pensamientos completamente distintos; pero también "24 = 42 " y "4 * 4 = 4 2" expresan pensa-mientos distintos; y, a pesar de ello, se puede sustituir "24" por "4 4", porque ambos signos tienen la misma referencia. En consecuencia, también "2 4 = 42" y "4 .4 =42 " se refieren a lo mismo. A partir de esto se com-prende que la igualdad de referencia no tiene como consecuencia la igualdad de pensamiento. Cuando deci-mos "el lucero vespertino es un planeta cuya revolu-ción es menor que la de la Tierra", hemos expresado un pensamiento distinto al del enunciado "el astro matutino

es un planeta cuya revolución es menor que la de la Tierra"; pues quien no sepa que el lucero matu-tino es el lucero vespertino, podría suponer que uno es verdadero y el otro falso; y, con todo, la referencia de ambos enunciados debe ser la misma, puesto que sólo se han intercambiado las palabras "lucero vespertino" y "lucero matutino", que tienen ambas la misma referen-cia, es decir, son nombres propios del mismo cuerpo celeste. Hay que distinguir sentido y referencia. "2 4" y "4 4" tienen ciertamente la misma referencia; es de-

que no siempre se tuviera una conciencia

clara de loque había esencialmente nuevo en lo que así se

introducía. Se siguió avanzando y se hizo preciso incluso

buscar refugio en el lenguaje hablado, dado que

el lenguaje simbólico del análisis dejaba de funcionar cuando se hablaba por ejemplo p ara una función cuyo valor para argumento racional es 1, y para argumento irracional

es O. En segundo lugar se amplió el círculo de lo que v

puede aparecer como argumento y valor de la función al ser admitidos los número complejos. Con ello hubo al mismo tiempo que determinar con más precisión el

sentido de las expresiones "suma", "producto", etc. Ahora proseguiré yo ambas direcciones. Ante

todo los signos +, -, etc., que sirven para la for-

mación de una expresión funcional, añado signos co-

mo =, , de modo que po como antes, x re- plo, de la función x

2 = 1, en la que como antes x representa el argumento. La primera conclusión que surge aquí es la de cuáles son los valores de la función para

distintos argumentos. Si ordenadamente sustituimos x

por —1, 0, 1, 2, obtenemos

(.-1)2 = 1, 02 = 1, 12 =1, 22 =1.

De estas ecuaciones, sólo la primera son verdaderas. Así, pues, digo "el

valor de nuestra fun- ción es un valor veritativo" y distingo el valor

verita-

tivo de lo verdadero y el de lo falso. Para abreviar,

a uno lo llamo lo verdadero, y al otro lo falso. Según

= ejemplo, se refiere a lo verdadero,

esto, "22 4", por e j

podemos también escribir

Y

cir, son nombres propios del mismo número; pero no

tienen el mismo sentido; y de ahí que tengan "2

4 =

42" y "4.4 = 42" ciertamente la misma referencia,

pero no el mismo sentido; es decir, en este caso no con-

tienen el mismo pensamiento!' Así,

pues, con el mismo derecho con que escribimos "24 _ 4.4"

Siguiendo por este camino, podría preguntarse con qué fin se admitieron los signos =, >, < en el círculo

deci las que contribuyenuen deactualidadcontribuyen funcional. Parece que en la actualidad gana la opinión de que las leyes aritmétricas

nos retrotrae a leyes puramente lógicas y sólo a tales. También yo soy de la o

pinión y en esto b aso la exigencia de que el lenguaje simbólico aritmétrico debe amplia a uno lógico. Cómo ocurre esto en nuestro caso, lo indicaremos

a continuación. Vimos que el valor de nuestra función x2 =

1 es

siempre uno de los dos valores veritativos. Ahora bien,

6. No ignoro que este uso lingüístico puede parecer de

momento arbitrario y artificial, y que se podría exigir una justi-

ficación mas detenida. Consúltese mi artículo "Sobre sentido y

referencia", infra, pp. 4

si para un determinado argumento, por ejemplo —1, el valor de la función es Io verdadero, podemos expresar esto así: "el número — 1 tiene la propiedad de que su cuadrado es 1", o más brevemente: "-1 es una raíz cua-drada de 1", o "— 1 cae bajo el concepto de la raíz cuadrada de 1". Si el valor de la función x2 = 1 es lo falso para un argumento, por ejemplo, 2, podremos en-tonces expresar esto así: "2 no es raíz cuadrada de 1" o bien "2 no cae bajo el concepto de raíz cuadrada de 1". Con esto vemos cuán estrechamente relacionado está lo que en lógica se llama concepto con lo que noso-tros llamamos función. Incluso podrá decirse verdade-ramente: un concepto es una función cuyo valor es siempre un valor veritativo. También el valor de la función

es siempre un valor veritativo. Obtenemos lo verdadero, por ejemplo, para el argumento —1 y podremos expre-sar esto también así: — 1 es un número que es menor en 1 que un número cuyo cuadrado es igual a su duplo. Con esto, se ha expresado la ocurrencia del número —1 bajo un concepto. Las funciones

tienen para el mismo argumento siempre el mismo va-lor, a saber, lo verdadero, para —1 y + 1; lo falso, para todos los demás argumentos. Según lo establecido ante-riormente, diremos, por tanto, que estas funciones tie-nen el mismo recorrido y lo expresaremos así en signos:

31 30

En Lógica se denomina a esta ecuación la extensión de los conceptos. Según esto, podemos designar como extensión del concepto el recorrido de una función, cuyo valor para cada argumento es un valor veritativo. No nos quedaremos en las ecuaciones e inecuaciones. La forma lingüística de las ecuaciones es un enunciado afirmativo. Un tal enunciado contiene como sentido un pensamiento — o, por lo menos, pretende contener alguno —; y este pensamiento es, en general, verda-dero o falso; esto es, tiene, en general, un valor veri-tativo que puede concebirse asimismo como referencia del enunciado, así como el número 4 es la referencia de la expresión "2 + 2", o como Londres es la referen-cia de la expresión "la capital de Inglaterra".

Los enunciados afirmativos en general pueden con-cebirse, lo mismo que las ecuaciones .o las expresiones analíticas, descompuestas en dos partes, una de las cua-les está completa en sí misma, mientras que la otra precisa de complemento, es no-saturada. Así, por ejem- plo, el enunciado

"César conquistó las Galias"

puede ser descompuesto en "César y "conquistó las Galias". La segunda parte es no-saturada, lleva consigo un lugar vacío, y únicamente cuando se llena este lu-gar por medio de un nombre propio o de una expre-sión que represente un nombre propio, aparecerá un sentido completo. También ahora llamo función al sig-nificado de esta parte no-saturada. En este caso, el ar- gumento es César.

Corno vemos, aquí se ha emprendido al mismo tiem-po una extensión en la otra dirección, o sea, con respec-to a lo que puede aparecer como argumento. Ya no hay

que admitir tan sólo números, sino objetos en general, teniendo que contar también a las personas entre los objetos. Como valores de función posibles están los dos valores veritativos que acabamos de introducir. He-mos de seguir adelante y admitir objetos sin limitación como valores de función. Para tener un ejemplo de esto, consideremos, por ejemplo, la expresión

"la capital del Imperio alemán".

Esta expresión representa evidentemente un nombre propio y se refiere a un objeto. Si la descomponemos en las partes.

"Ia capital del"

e "Imperio alemán", con lo cual considero dentro de la primera parte la forma del genitivo, resulta que esta primera parte es no-saturada, mientras que la otra es completa en sí misma. Según lo antes dicho, llamo pues a

"la capital de x"

la expresión de una función. Si tomamos como argu-mento suyo el Imperio alemán, obtendremos, como va-lor de la función, Berlín.

Al haber admitido así objetos sin limitación como argumentos y como valores de función, lo que se pre-gunta entonces es a qué llamamos aquí objeto. Consi-dero que es imposible una definición académica, puesto que en este caso tenemos algo que, por su simplicidad, no permite una descomposición lógica. Tan sólo es po-sible aludir a lo que se quiere decir. Brevemente, aquí

sólo so puede decir: objeto es todo lo que no es fun- ción, la expresión de lo cual, por tanto, no lleva consigo un lugar vacío.

Un enunciado afirmativo no contiene ningún lugar vacío, y por eso hay que considerar que su referencia

tatvno objeto. l Esta nto, ambosavalores veritativos son ob- ta jetos. Más arriba hemos presentado ecuaciones entre reco- rridos, por ejemplo

Podemos descomponer esto en r &(a2-4 e)" y "( )_d

(a N-4] )". Esta última parte es incompleta, al llevar consigo un lugar vacío a la izquierda del signo de igualdad. La primera parte, "E(s2 — 4e)", está totalmente completa en sí misma, o sea, que se refiere a un objeto. Los re-corridos de las funciones son objetos, mientras que las funciones mismas no lo son. También habíamos deno-minado recorridos a i (E2 = 1), pero también lo podría-mos designar como extensión del concepto raíz cua-drada de 1. También las extensiones de conceptos son, pues, objetos, aunque los conceptos mismos no lo son.

Después de haber ampliado el círculo de lo que puede ser tomado como argumento, habrá que hacer estipulaciones más precisas sobre las referencias de los signos ya usuales. Hasta tanto se consideran como ob-jetos únicamente los números enteros de la aritmética, las letras a y b de a + b sólo aluden a números enteros, y sólo hay que explicar el signo "más" entre los nú- meros enteros. Cada ampliación del círculo de los ob- j etos, a los que se alude con "a" y

una nueva explicación del signo "más". Mandamiento del rigor científico es tomar precauciones para que una expresión no sea nunca carente de referencia, para que nunca se calcule, sin notarlo, con signos vacíos, en la opinión de que se trata de objetos. En época ante-rior se tuvieron experiencias desagradables con series infinitas divergentes. Es necesario, pues, hacer estipula-ciones, de las cuales se desprenda, por ejemplo, a qué se refiere

si "O" tiene que referirse al sol. El modo como se den estas estipulaciones es relativamente indiferente; le esencial, empero, es que se hagan, que "a + b" tenga una referencia, sean cuáles sean los signos de objetos determinados que reemplacen a "a" y "b". Para los conceptos hacemos la exigencia de que, para cada ar-gumento, tengan por valor un valor veritativo, de que, para cada objeto, quede determinado si cae bajo el con-cepto o no; con otras palabras: para los conceptos, ha-cemos la exigencia de que estén claramente delimitados; sin el cumplimiento de esta exigencia, sería imposible establecer leyes lógicas con ellos. Para cada argumen-to x, para el que "x + 1" no tuviera referencia, tam-poco la función x + 1 = 10 tendría ningún valor, por lo tanto, tampoco ningún valor veritativo, de modo que el concepto

no tendría ningún límite claro. La exigencia de delimi-tación clara de los conceptos trae, pues, consigo la exigencia, válida para las funciones en general, de que deben tener un valor para cada argumento.

Hasta ahora hemos considerado los valores veritati-vos solamente como valores de función, no corno argu-mentos. Según lo que acabamos de decir, una función debe tener también un valor para cada uno de los valo-res veritativos tomado como argumento; pero en la mayoría de los casos, si determinamos este valor será por ganas de determinarlo, sin que importe mucho cuál sea el valor determinado. Sin embargo, vamos a considerar algunas funciones, que nos interesa preci-samente examinar en el caso en que su argumento es un valor veritativo. Como función semejante, introduzco

estipulando que el valor de esta función debe ser lo verdadero cuando se tome como argumento lo verdade-ro, mientras que en todos los demás casos el valor de esta función será lo falso; o sea, pues, lo mismo cuando el argumento es lo falso, como cuando no es ningún valor veritativo. Según esto, es, por ejemplo,

1 +3=4

lo verdadero, mientras que tanto

como 4

son lo falso. El valor de esta función es, pues, el mismo argumento, cuando éste es un valor veritativo. En otra ocasión, había llamado a esta raya horizontal "raya de contenido", nombre que ahora ya no me parece adecuado. La llamaré ahora simplemente "la hori- zontal".

Cuando se escribe una ecuación o una inecuación, por ejemplo > 4, habitualmente con ello se quiere al mismo tiempo expresar un juicio; en este caso, se quie-re afirmar que 5 es mayor que 4. Según la concepción que he expuesto aquí, con "5 > 4" o "1 + 3 = 5" se tienen solamente expresiones de valores veritativos, sin que con ellos quiera afirmarse nada. Esta separación entre el juzgar y aquello sobre lo cual se juzga parece ineludible, porque en caso contrario no sería expresable la mera suposición de un caso, el postular eI mismo, sin hacer simultáneamente un juicio sobre su aparición. Precisamos, pues, de un signo particular para poder afirmar algo. Para ello, utilizo una raya vertical al extremo izquierdo de la horizontal, de modo que, por ejemplo, con

afirmamos: 2 + 3 es igual a 5. 0 sea, que no sólo se le atribuirá un valor veritativo, como en eI caso de

sino que al mismo tiempo se dice también que este valor veritativo es lo verdadero.?

La siguiente función sencilla puede ser aquella cuyo valor es lo falso justamente para los argumentos, para los cuales el valor de x es lo verdadero, y, recí-procamente, cuyo valor es lo verdadero para los argu-mentos, para los cuales el valor de x es lo falso.

El modo como represento la generalización se verá mejor con un ejemplo. Supongamos que hay que expre-sar que cada objeto es igual a sí mismo. En

La designo así

T x ,

y llamo a la pequeña raya vertical, raya de negación. Considero esta función como una función con el argu- mento —x:

imaginando que las dos rayas horizontales se han fu-sionado. Pero también tenemos.

porque el valor de y x es siempre un valor verita-

tivo. Considero, pues, que en "¡x" , las dos partes de la raya a la derecha y a la izquierda de la raya de negación son horizontales en el sentido de esta palabra que acabamos de explicar. A partir de todo esto,

por ejemplo, se referirá a lo verdadero, y podemos añadir la raya de iuicio:

tenemos una función, a cuyo argumento se alude por medio de "x". Hay que decir ahora que el valor de esta función es siempre lo verdadero, sea cual sea el argumento que se tome. Ahora bien, con

me referiré a lo verdadero cuando la función f(x) tenga como valor siempre lo verdadero, sea cual sea su argu-mento; en todos los demás casos,

deberá referirse a lo falso. Para nuestra función x = x se cumple el primer caso. Por Io tanto,

es lo verdadero; y esto lo escribimos así:

con lo cual afirmamos que 2 2 = 5 no es lo verdadero, que 92 n P 5_ Pero también

es lo verdadero, porque 2 es lo falso:

es decir, 2 no es lo verdadero.

Las rayas horizontales a derecha e izquierda de la cavidad deben ser tomadas como horizontales en nues-tro sentido. En vez de "a ", podría escogerse cual-quier otra letra alemana, a excepción de aquellas que, como f y (S7 , han de servir de letras de funciones.

Esta notación ofrece la posibilidad de negar la gene-ralización, como en

lo verdadero. Por ejemplo, hay por lo menos una raíz de la ecuación

Pues _ a — a2 = 1 es lo falso, ya que no para cada argumento, es el valor de la función x2 =1 lo verdadero. Pues, por ejemplo, para el argumento 2 obtenemos 22 = 1; esto es lo falso. Ahora bien, si --a— a2 = 1 es lo falso, entonces es Q2 = 1 lo verdadero, según lo que se ha estipulado antes sobre la raya de negación. Tenemos pues

es decir, "no todo objeto es raíz cuadrada de 1", o bien "hay objetos que no son raíz cuadrada de 1". ¿Puede expresarse también que hay raíces cuadradas de 1? ¡Sin duda! Basta con tomar, en vez de la función x2 = 1, la función

2 =1

resulta, por fusión de las horizontales,

Esto significa lo falso, porque no para cada argu-mento es el valor de la función

es lo falso, puesto que 1 2 = 1 es lo verdadero. Así pues, dado que

es lo falso, será por tanto

lo verdadero:

es decir, "no para cada argumento es el valor de la función

x2 _1

lo verdadero", o bien "no para cada argumento es e] valor de la función x2 = 1 lo falso", o bien "hay por lo menos una raíz cuadrada de 1".

A continuación daremos todavía algunos ejemplos en signos y palabras:

hay por Io menos un número positivo;

hay por lo menos un número negativo;

A partir de aquí puede comprenderse cómo pueden expresarse las proposiciones existenciales más importan- tes. Si aludirnos indeterminadamente a un concepto por medio de la letra de funciones f, tendremos en

la forma en la que están contenidos los últimos ejem-plos, prescindiendo de la raya de juicio. Las expre-siones

surgen de esta forma de manera parecida a corno, por ejemplo, de x2 surgen " 12" , "22" , "33" . Así como con r2 tenemos una función, a cuyo argumento se alude por medio de "x", así también considero que

orden. De hecho, hace ya tiempo que en el análisis se tenían funciones de segundo grado, por ejemplo, con las integrales definidas, en la medida en que se con-sidere la función a ser integrada como argumento.

Puede añadirse todavía algo sobre funciones con dos argumentos. Obtuvimos la expresión de una fun-ción al desmembrar el signo compuesto de un objeto en una parte saturada y otra no-saturada. Así descom-pusimos, por ejemplo, el signo

de lo verdadero en "3" y "x > 2". Podernos seguir des-componiendo la parte no-saturada "x > 2" del mismo modo en "2" v

donde ahora "y" indica el lugar vacío, que antes había sido llenado por "2". Con

es expresión de una función, a cuyo argumento se alude por medio de "f". Una tal función es, evidentemente, fundamentalmente distinta de las hasta ahora conside-radas, pues, como argumento suyo sólo puede entrar una función. Así como las funciones son fundamen-talmente distintas de los objetos, así también aquellas funciones cuyos argumentos son y deben ser funcio-nes son fundamentalmente distintas de las funciones cuyos argumentos son objetos y no pueden ser otra cosa. A estas últimas las llamo funciones de primer orden; a las otras las llamo funciones de segundo orden. Igualmente distingo conceptos de primero y segundo

tenemos una función con dos argumentos, a uno de los cuales se alude por medio de "x", al otro por medio de "y", y con

tenemos el valor de esa función para los argumentos 3 y 2. Tenemos aquí una función cuyo valor es siempre

8. V. mis Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884, al final del § 53. La prueba ontológica de la existencia de Dios adolece del error de que trata la existencia como un concepto de primer grado.

un valor veritativo. A las funciones de este tipo con un argumento las liemos llamado conceptos; a las que tie-nen dos argumentos las llamamos relaciones. También tenemos relaciones en el caso de

x2 + y2 tiene números por valores. Por lo tanto, no la llama- remos relación.

Vamos a considerar ahora una función que no es peculiar de la aritmética. Sea la función

cuyo valor es lo falso, cuando se toma lo verdadero como argumento-y y al mismo tiempo un objeto como argumento-x, objeto que no sea lo verdadero; en todos los demás casos, el valor de esta función será lo verda-dero. La raya horizontal inferior y las dos partes en que queda dividida la superior por la raya vertical deben considerarse horizontales. En consecuencia, siem-pre pueden tomarse como argumentos de nuestra fun-ción x y —y, es decir, valores veritativos.

Entre las funciones de un argumento, distinguimos las de primero y segundo grado. En este caso es posible una mayor variedad. Una función con dos argumentos

puede ser, con relación a éstos, del mismo o de distinto grado: funciones de grado igual o de grado desigual. Las que hemos considerado hasta aquí eran de grado igual. Una función de grado desigual es, por ejemplo, el cociente diferencial, cuando se toman como argumen-tos la función que hay que diferenciar y el argumento para el cual aquélla es diferenciada, o bien la integral definida, siempre que se tomen corno argumentos la fun-ción que hay que integrar y el límite superior. Las fun-ciones de grado igual pueden dividirse, a su vez, en fun-ciones de primero y segundo grado. Una tal función de segundo grado es, por ejemplo,

en que f y g indican los argumentos. En las funciones de segundo grado con un argu-

mento hay que distinguir según que en este argumento aparezca una función con uno o con dos argumentos, pues una función con un argumento es tan radicalmen-te distinta de una función con dos argumentos, que la una no puede aparecer precisamente en el mismo lugar en que puede aparecer la otra. Algunas funciones de segundo grado con un argumento piden, como tal argu-mento, una función con un argumento, mientras que otras piden una función con dos argumentos, y estas dos clases están tajantemente diferenciadas.

es un ejemplo de una función de segundo grado con un argumento, el cual pide como tal una función con

dos argumentos. La letra f alude aquí al argumento, y los dos lugares separados por la coma, en los paréntesis que siguen a "f", ponen de manifiesto que f representa una función con dos argumentos.

En el caso de las funciones con dos argumentos, la variedad es aún mayor.

Si, a partir de todo esto, echamos un vistazo retros-pectivo al desarrollo de la aritmética, nos damos cuenta de su progreso gradual. Primero se calculaba con núme-ros singulares, con el 1, el 3, etc.

2r3=5, 2.3=6

son teoremas de esta clase. Se pasó luego a leyes más generales, que valen para todos los números. En la no-tación, esto corresponde al paso al álgebra. En

tenemos un teorema de este tipo. Con ello se había llegado ya a la consideración de funciones singulares, sin utilizar todavía la palabra en el sentido matemático, ni haber comprendido su signifrcado. El peldaño in-mediatamente superior fue el conocimiento de leyes generales para las funciones y, con esto, el acuñamiento de la expresión artificial "función". En la notación, a esto corresponde la introducción de letras como f y F, para aludir indeterminadamente a las funciones. En

tenemos un teorema de esta clase. De este modo se tenían también funciones singulares de segundo grado,

sin que, a pesar de ello, se concibiera lo que hemos denominado función de segundo grado. Podría pen-sarse que se proseguirá en esta dirección. Pero, proba-blemente, este último paso no tiene ya tantas conse-cuencias como los anteriores, puesto que, con el pro-greso ulterior, las funciones de segundo grado podrán ser consideradas de primer grado, como se demostrará en otro lugar.* Pero con ello no se habrá eliminado totalmente la diferencia en tre funciones de primero y segundo grado, porque esta diferencia no fue hecha arbitrariamente, sino que tiene una justificación pro-funda en la naturaleza de la cuestión.

También pueden considerarse, en vez de funciones con dos argumentos, funciones de un único argumento, aunque complejo, con lo cual, sin embargo, subsiste con toda claridad la diferencia entre funciones con uno y con dos argumentos.

SOBRE SENTIDO Y REFERENCIA

(Publicado en Zeitschrif t fur Philosophie und philosophische Kritik, Nueva Serie, n.° 100, 1892, p. 25-50.)

La igualdad 1 induce a la reflexión a través de pre-guntas relacionadas con ella y que no son fáciles de contestar. ¿Es la igualdad una relación?, ¿es una re-lación entre objetos?, ¿o bien entre nombres o signos de objetos? Esto último es lo que supuse en mi ideo-grafía. Las razones que parecen hablar en favor de ello son las siguientes: a = a y a=b son evidentemente enunciados de diferente valor cognoscitivo) a = a vale a priori y, siguiendo a Kant, puede denominarse ana-lítico, mientras que enunciados de la forma a = b con-tienen frecuentemente ampliaciones muy valiosas de nuestro conocimiento y (no siempre pueden justificarse a priori) El descubrimiento de que cada mañana no se levanta un nuevo sol, sino que siempre es el mismo, fue ciertamente uno de los descubrimientos más tras-cendentales de la astronomía. Aún ahora, el reconoci-miento de un pequeño planeta o de un corneta no es siempre algo evidente. Ahora bien, si en la igualdad

quisiéramos ver una relación cutre aquello a lo que los nombres "a" y "b" se refieren, no parecería que a =b pudiera ser distinto de a= a, siempre que a= b fuera cierto. (Se habría expresad, en tal caso, una relación de una cosa consigo misma y además una relación tal, que se

da en cada cosa respecto de sí misma, ero que ninguna cosa tiene respecto de cualquier otra) Parece que lo que se quiere decir con a= b es que los signos o nombres "a" y "b" (se refieren a lo mismo) y por lo tanto en la igualdad se trataría precisamente de estos signos; se afirmaría una relación entre ellos. Pero esta relación existiría entre los nombres o signos únicamen-te en la medida en que éstos denominan o designan alga. Sería una relación inducida por la conexión de cada uno de los dos signos con la misma cosa designada. Esta conexión es arbitraria. No se le puede prohibir a nadie tomar cualquier suceso u objeto producido ar-bitrariamente, como signo para algo. Con ello, el enun-ciado a= b no se referiría entonces ya a la cosa mis- ma, sino tan sólo a nuestro (modo de designación) con ella no

expresaríamos ningún verdadero conocimiento) Pero esto es justamente lo que queremos en muchos casos. Si el signo "a" sólo se diferencia del signo "b" como objeto (en este caso por su forma), y no como signo (es decir, no por el modo como designa algo), entonces el valor cognoscitivo de a= a sería esencial-mente el mismo que el de a= b, caso de que a= b fuera verdadero. Una distinción puede darse únicamen-te en el caso de que la diferencia de signos corresponda a una diferencia en el modo de darse lo designado. Sean a, b, c las rectas que unen los ángulos de un triángulo con el punto medio de los lados opuestos. El punto de intersección de ay b es entonces el mismo que el punto de intersección de b y c. Tenemos, pues, designaciones

distintas para el misma punto, y estos nombres ("inter-sección de a y b", "intersección de b y c") indican al

mismo tiempo (l modo de darse el punto) y de ahí que en (él enunciado esté contenido auténtico conocimiento.)

Es natural considerar entonces que a un signo (nom-bre, unión de palabras, signo escrito), además de lo de-signado, que podría llamarse la referencia del signo, va unido lo que yo quisiera denominar el sentido del sig-no, en cl cual se halla contenido el modo de darse. Se-gún esto, en nuestro ejemplo, la referencia de las ex-presiones "el punto de intersección de a y b" y "el pun-to de intersección de b y e" sería ciertamente la misma, pero no sería el mismo su sentido. La referencia de "lucero vespertino" y de "lucero matutino" sería la mis-ma, pero el sentido no sería el mismo.

Del presente contexto se desprende que con "signo" y "nombre" he entendido cualquier designación que re-presente un nombre propio) cuya referencia sea, pues, un objeto determinado (tomada esta palabra en su ex-tensión más amplia), pero no un concepto ni una rela-ción, sobre los cuales se tratará con más detenimiento en otro ensayo. La designación de un único objeto puede estar compuesta de varias palabras u otro tipo de signos. Para abreviar, llamaremos nombre propio a cada una de talcs designaciones.

El sentido de un nombre propio lo comprende todo aquel que conoce el lenguaje o el conjunto de desig-naciones al que pertenece; 2 pero con ello, la referen-

cia, caso de que exista, queda sólo parcialmente ilumi-nada. Un conocimiento completo de la referencia im-plicaría que, de cada sentido dado, pudiéramos indicar inmediatamente si le pertenece o no. Esto no lo logra-mos nunca.

La conexión regular entre el signo, su sentido y su referencia es tal, que (al signo le corresponde un deter-minado sentido y a éste a su vez, una determinada referencia) mientras que( una referencia (a un objeto), no le corresponde solamente un signo. El mismo sentido puede expresarse en diferentes lenguas, e incluso en la misma, de diversas maneras. Naturalmente, hay excep-ciones a esta situación regular. Es verdad que en un conjunto perfecto de signos, (a cada exresión debería corresponderle un sentido determinado pero las len-guas naturales a menudo no cumplen este requisito, y hay que darse por satisfecho si, sólo en un mismo con-texto, tiene la misma palabra siempre eI mismo sen-tido. Quizá puede admitirse que una expresión gra-maticalmente correcta que sustituye un nombre propio tiene siempre sentido. Pero con ello no se ha dicho que al sentido le corresponda también una referencia. Las palabras "el cuerpo celeste más alejado de la Tierra" tienen un sentido; pero que tengan también una refe-rencia, es muy dudoso. La expresión "la serie menos convergente" tiene un sentido; pero se demuestra que

De la referencia y del sentido de un signo hay que distinguir la representación a él asociada. Si la ref eren-cia de un signo es un objeto sensiblemente perceptible, la representación que yo tengo de él es entonces una imagen interna formada a partir de recuerdos de impre-siónes sensibles que he tenido, y de actividades que he practicado, tanto internas corno externas . 3 Esa imagen está frecuentemente impregnada de sentimientos; la cla-ridad de cada una de sus partes es diversa y vacilante. No siempre, ni siquiera en la misma persona, está uni-da la misma representación al mismo sentido. La repre-sentación es subjetiva: la representación de uno no es la del otro. Por ello se dan múltiples diferencias en las representaciones asociadas al mismo sentido. Un pin-tor, un jinete y un zoólogo asociarán probablemente re-presentaciones muy distintas al nombre "Bucéfalo". Por eso se diferencia la representación esencialmente del sentido

de un signo, el cual puede ser propiedad común de muchos y que, por tanto, no es parte o modo de la mente individual; pues ciertamente no se podrá negar que la Humanidad tiene un tesoro común de pensa-mientos, que transmite de una generación a otra.

Mientras que, según lo dicho, no existe ninguna objeción para hablar del sentido sin más, en el caso de

no tiene referencia, puesto que para cada serie con-vergente puede encontrarse otra menos convergente, pero que, no obstante, es convergente. Así pues, por el hecho de que se conciba un sentido, no se tiene con seguridad una referencia.

Cuando se usan palabras de la manera habitual, aquello de lo que se quiere hablar es su referencia. Pero puede ocurrir también que se quiera hablar de las palabras mismas o de su sentido.) Lo primero sucede, por ejemplo, cuando se citan las palabras de otro en estilo directo. Las palabras propias se refieren entonces en primer lugar a las palabras del otro, y tan sólo estas últimas tienen la referencia corriente. Tenemos enton-ces signos de signos. En el lenguaje escrito se encie-rran los caracteres, en este caso, entre comillas. Por lo tanto, un carácter que se halla entre comillas no debe ser tomado en su referencia usual.

Si se quiere hablar del sentido de la expresión "A", basta con usar sencillamente la locución "el sentido de la expresión «A»". En el estilo indirecto se habla del sentido, por ejemplo, del discurso de otro. Se ve clara-mente que, incluso en este modo de hablar, las pa-labras no tienen su referencia usual, sino que se re-fieren a lo que habitualmente es su sentido. Para utili-zar una expresión breve, vamos a decir: las palabras se usan indirectamente, o tienen su referencia indirecta en el estilo indirecto. Según esto, distinguimos la refe-rencia habitual de una palabra de su referencia indi-recta, y su sentido habitual de su sentido indirecto. La referencia indirecta de una palabra es, pues, su sentido usual. Hay que tener siempre presentes tales excepcio-nes si se quiere concebir correctamente, en cada caso particular, el modo de conexión de signo, sentido y re-ferencia,

una referencia, y no sólo un sentido; pues es justa-mente de la referencia de este nombre de lo que se afirma o se niega el predicado. Quien no admita una referencia no podrá afirmar ni negar de ella un predi-cado. Pero entonces sería innecesario el llegar hasta la referencia del nombre; uno podría contentarse con el sentido, en el caso de querer quedarse con el pensa-miento. Si sólo nos interesásemos por el sentido del enunciado, por el pensamiento, sería innecesario preo-cuparse de la referencia de una parte del enunciado; pues con respecto al sentido del enunciado, únicamente es relevante el sentido, no la referencia, de esta parte. El pensamiento sigue siendo el mismo, tanto si el nombre "Ulises" tiene una referencia como si no. Que nos es-forcemos por hallar la referencia de una parte del enun-ciado es señal de que también admitimos y exigimos, en general, Tiña referencia _para el enunci ado mismo. El pensamiento pierde valor para nosotros tan pronto como vemos que a una de sus partes le falta la referen-cia. Estamos, pues, bien justificados al no contentar-nos con el sentido de un enunciado, y al preguntarnos también por su referencia. ¿Pero por qué queremos que cada nombre propio no tenga únicamente un sen-tido, sino también una referencia? ¿Por qué no nos basta el pensamiento? Porque, y en la medida en que, nos interesa su valor veritativo. No siempre es éste el caso. Al escuchar un poema épico, por ejemplo, nos cautivan, además de la eufonía del lenguaje, el senti-do de los enunciados y las representaciones y senti-mientos despertados por ellos. Si nos preguntásemos por su verdad, abandonaríamos el goce estético y nos dedicaríamos a un examen científico. De ahí que nos sea indiferente el que el nombre "Ulises", por ejemplo, se refiera a algo o no, mientras consideremos el poema

corno obra de arte . 6 Es la búsqueda de la verdad lo que nos incita a avanzar del sentido a la referencia. hemos visto que a un enunciado hay que buscarle una referencia siempre que interesa la referencia de las partes componentes; y esto es siempre el caso, y sólo entonces, cuando nos preguntamos por los valores veri-tativos. Fr

Por: esto nos vernos impulsados a admitir el valor veritativo de un enunciado corno su referencia. Por valor veritativo de un enunciado entiendo la circuns-tancia de que sea verdadero o de que sea falso. No hay más valores veritativos. En aras de la brevedad, al uno lo llamo lo verdadero, al otro lo falso. Cada enunciado asertivo, en el que tenga importancia la re-ferencia de las palabras, debe ser considerado, pues, como un nombre propio, y su referencia, caso de que exista, es o bien lo verdadero o bien lo falso. Estos dos objetos son admitidos, aunque sólo sea tácitamente, por todo aquel que emita juicios, que tenga algo por verdadero, o sea, también por el escéptico. El designar los valores veritativos como objetos puede parecer aquí todavía una ocurrencia arbitraria y quizás un mero juego de palabras, del que no deberían sacarse con-secuencias fundamentales. Lo que yo llamo objeto, sólo podrá ser discutido con más precisión teniendo en cuenta el concepto y la relación. Esto quiero reser-varlo para otro ensayo.* Pero, con todo, aquí podría

ya quedar claro que en todo juicio 7 — y por muy evi-dente que éste sea — se ha dado ya el paso del nivel de los pensamientos al nivel de las referencias (de lo objetivo).

Alguno podría verse tentado a considerar la rela-ción del pensamiento con lo verdadero no como la que hay entre el sentido y la referencia, sino como relación del sujeto con el predicado. Verdaderamente puede decirse: "El pensamiento de que 5 es un nú-mero primo es verdadero". Pero si se examina esto más atentamente, se observa que con ello no se dice realmente nada más de lo que se dice en el simple enunciado "5 es un número primo". La afirmación de la verdad radica, en ambos casos, en la forma del enun-ciado asertivo, y cuando éste no tiene su fuerza ha-bitual, por ejemplo en boca de un actor en escena, el enunciado "el pensamiento de que 5 es un número primo es verdadero" contiene también únicamente un pensamiento, a saber, el mismo pensamiento que el sim-ple "5 es un número primo". De aquí puede despren-derse que la relación del pensamiento con lo ver-dadero no debe compararse a la del sujeto con el predicado. Efectivamente, sujeto y predicado (enten-didos en sentido lógico) son partes del pensamiento; para el conocimiento, se hallan al mismo nivel. Ensam-blando sujeto y predicado siempre se consigue única-mente un pensamiento, pero no se pasa nunca de un sentido a su referencia, de un pensamiento a su valor veritativo. Nos movemos en el mismo nivel, no se pasa de un nivel al siguiente. Un valor veritativo no puede

ser parte de un pensamiento, como no puede serlo el sol, porque no es un sentido, sino un objeto.

Si es correcta nuestra suposición de que la referen-cia de un enunciado es su valor veritativo, entonces éste debe permanecer inmodificado cuando una parte del enunciado se sustituye por una expresión de la misma referencia, pero de distinto sentido. Y, de he-cho, éste es el caso. Leibniz explica correctamente: "Eadem sunt, quae sibi mutuo substitui possunt, sal-va veritate". Realmente, ¿qué otra cosa, sino el valor veritativo, podría encontrarse que pertenezca con toda generalidad a cada enunciado en el que interese la referencia de las partes componentes, y que perma-nezca inmodificado en una sustitución del tipo men-cionado?

Ahora bien, si el valor veritativo de un enunciado es su referencia, resulta que, por una parte, todos los enunciados verdaderos tienen la misma referencia, y que, por otra, también todos los enunciados falsos tie-nen la misma referencia. De ahí que, en la referencia del enunciado, todo lo singular desaparezca. Nunca po-demos quedarnos tan sólo con la referencia de un enun-ciado; pero tampoco el mero pensamiento proporciona ningún conocimiento, sino únicamente el pensamiento junto con su referencia, es decir, su valor veritativo. El juzgar puede ser considerado como el paso de un pen-samiento a su valor veritativo. Naturalmente, esto no debe ser tomado como una definición. El juzgar es pre-cisamente algo muy singular e incomparable. También podría decirse que juzgar es distinguir partes dentro de un valor veritativo. Esta distinción ocurre retroce-diendo al pensamiento. Cada sentido que pertenezca a un valor veritativo correspondería a su modo propio de descomposición. La palabra "parte" la he utilizado

aquí de una manera peculiar. En efecto, la relación del todo a la parte en el enunciado la he transferido a su referencia, al denominar a la referencia de una palabra, parte de la referencia del enunciado cuando esa misma palabra es parte de este enunciado, modo de hablar que naturalmente es impugnable, porque, en cl caso de la referencia, la otra parte no queda deter-minada por el todo y la parte escogida, y porque la palabra parte se emplea para los cuerpos en un sen-tido distinto. En su lugar, debería crearse una expresión apropiada.

Vamos ahora a seguir comprobando la suposición de que el valor veritativo de un enunciado es su re-ferencia. Hemos hallado que el valor veritativo de un enunciado permanece inmodificado cuando en éste sus-tituimos una expresión por otra de igual referencia:

pero todavía no hemos considerado el caso en que la expresión a ser- es ella misma un enunciado

. Si nuestro punto de vista es correcto, el valor veritativo de un enunciado, que contiene a otro como

parte, debe permanecer inmodificado si sustituimos el enunciado componente por otro cuyo valor veritativo es el mismo. Hay que esperar excepciones, cuando cl todo o el enunciado componente están en estilo di-recto o indirecto; pues, como hemos visto, la referen-cia de las palabras no es entonces la usual. Un enun-ciado se refiere en el estilo directo a otro enunciado, y en el indirecto, a un pensamiento.

Nos vemos, pues, llevados al estudio de los enun-ciados subordinados. Estos aparecen como partes de una estructura enunciativa que, desde el punto de vis-ta lógico, es asimismo un enunciado, a saber, el enun-ciado principal. Pero en este punto nos enfrentamos a la pregunta de si también vale para los enunciados

subordinados el que su referencia sea un valor ve-ritativo. Del estilo indirecto sabemos ya que ocurre lo contrario. Los gramáticos consideran los enuncia-dos subordinados como representantes de partes del enunciado general, y, según eso, las denominan enun-ciados nominales, calificativos, adverbiales.* De aquí podría surgir la suposición de que la referencia de un enunciado subordinado no es un valor veritativo, sino que es análoga a la de un nombre, un calificativo o un adverbio, en resumen, al de una parte del enun-ciado, cuyo sentido no es un pensamiento, sino sólo una parte del mismo. Únicamente una investigación más detenida puede proporcionar claridad sobre este punto. En ella, no nos atendremos estrictamente al hilo conductor gramatical, sino que reuniremos lo que es lógicamente

similar. Busquemos primero aquellos casos en los que el sentido del enunciado subordinado, como acabamos de suponer, no es un pensamiento autó-nomo.

A los enunciados nominales abstractos introducidos por "que", pertenece también el estilo indirecto, del cual hemos visto que, en él, las palabras tienen una referencia indirecta, que coincide con lo que habitual-mente es su sentido. En este caso, pues, el enunciado subordinado tiene por referencia un pensamiento, no un valor veritativo; por sentido, no un pensamiento, sino el sentido de las palabras "el pensamiento de que ...", el cual es sólo parte del pensamiento de toda la estructura

enunciativa. Esto sucede después de "decir", "oír", "opinar", "estar convencido", "concluir", y palabras pa-recidas. , La cuestión aparece distinta, y ciertamente bastante complicada, después de palabras como "cono-cer", "saber", "imaginarse", lo cual será estudiado más adelante.

Que en nuestros casos la referencia del enunciado subordinano es, en realidad, el pensamiento, se ve tam-

bién por el hecho de que, para la verdad del todo, es indiferente que aquel pensamiento sea verdadero o fal-so. Compárense, por ejemplo, los dos enunciados: "Co-pérnico creía que las órbitas de los planetas eran círcu-los" y "Copérnico creía que la apariencia del movi-miento del sol es producida por el movimiento real de la Tierra". Sin perjuicio de la verdad, puede susti-tuirse aquí un enunciado subordinado por el otro. El enunciado principal, junto con el subordinado, tiene por sentido únicamente un solo pensamiento, y la ver-dad del todo no implica ni la verdad ni la falsedad del subordinado. En tales casos no está permitido sus-tituir, en el enunciado subordinado, una expresión por otra que tenga la misma referencia usual, sino sola-mente por una que tenga la misma referencia indirecta, es decir, el mismo sentido usual. Si alguien quisiera sa-car la conclusión: la referencia de un enunciado no es su valor veritativo, "pues entonces podría sustituirse en todas partes por otro enunciado con el mismo valor veritativo", habría demostrado demasiado; con la mis-ma razón podría afirmarse que la referencia de la pa-labra "lucero matutino" no es Venus; pues no en todas

¡mites podría decirse "Venus eh vez de "lucero Ma-tutino". Correctamente sólo puede deducirse que la referencia de un enunciado no siempre es su valor veritativo, y que "lucero matutino" no siempre se refie-re al planeta Venus, a saber, en el caso en que esa pa-labra tenga su referencia indirecta. Semejante caso de excepción se presenta en los enunciados subordinados que acabamos de examinar, cuya referencia es un pen-samiento.

Cuando se dice "parece que ... ", lo que se quiere decir es "me parece que..." o `opino que...". Tenemos, pues, el mismo caso. Igualmente ocurre con expresiones como "alegrarse", "lamentar", "aprobar", "censurar", "esperar", "temer". Cuando, hacia el fin de la batalla de Belle-Alliance, Wellington se alegró de que los pru-sianos vinieran, la razón de su alegría era un conven-cimiento. Si hubiera estado equivocado, no se habría alegrado menos hasta tanto hubiese durado su ilusión, y antes de adquirir el convencimiento de que venían los prusianos no podía alegrarse de ello, si bien, en realidad, ya se acercaban.

Así como un convencimiento o una creencia es ra-zón de un sentimiento, también puede ser razón de otro convencimiento, como ocurre en la inferencia. En el enunciado: "De la redondez de la Tierra, Colón in-firió que, viajando hacia el oeste, podría alcanzar la India", tenemos, como referencia de las partes, dos pensamientos: que la Tierra es redonda, y que Colón puede alcanzar la India viajando hacia el oeste. Nue-vamente, aquí importa tan sólo que Colón estaba con-vencido de lo uno y de lo otro, y que un convenci-miento era la razón del otro. Que la Tierra sea real-mente redonda y que Colón, viajando hacia el oeste, pudiese realmente alcanzar la India, tal como él pen-

saba, es indiferente para la verdad de nuestro enun-ciado; pero no es indiferente que pongamos, en vez de "la Tierra", "el planeta, que está acompañado de una luna cuyo diámetro es mayor que la cuarta parte de su propio diámetro". También aquí tenemos la ref eren-cia indirecta de las palabras.

Éste es el caso también de los enunciados adverbia-les de finalidad con "para qué"; pues evidentemente la frnalidad es un pensamiento; por eso: referencia indi-recta de las palabras, subjuntivo.

El enunciado subordinado con "que" después de "mandar", "pedir", "prohibir" aparecería, en estilo directo, en forma de imperativo. Tal enunciado no tie-ne referencia, sino sólo un sentido. Una orden, un ruego, no son ciertamente pensamientos, pero, con todo, están al mismo nivel que el pensamiento. De ahí que, en las subordinadas que dependen de "mandar", "pe-dir", etc., las palabras tienen su referencia indirecta. La referencia de uno de estos enunciados no es, pues, un valor veritativo, sino una orden, un ruego, u otros si-milares.

Análogamente ocurre, en el caso de la pregunta in-directa, en giros tales como "dudar de que", "no saber que". Es fácil ver que también aquí hay que tornar las palabras en su referencia indirecta. Las interrogativas indirectas con "quién", "qué", "dónde", "cuándo", "có-mo", "por medio de qué", etc., a veces se asemejan apa-rentemente mucho a enunciados adverbiales en los que las palabras tienen su referencia usual. Lingüística-mente, estos casos se diferencian por el modo del ver-bo. En el caso del subjuntivo tenemos preguntas indi-rectas y referencia indirecta de las palabras, de modo que un nombre propio no puede ser sustituido en ge-neral por otro del mismo objeto.

En los casos considerados hasta aquí, las palabras do los enunciados subordinados tenían su referencia indirecta, y por esto es explicable que también la re-ferencia del enunciado subordinado mismo fuera indi-recta; es decir, no un valor veritativo, sino un pensa-miento, una orden, un ruego, una pregunta. El enun-ciado subordinado podría ser concebido como nombre; se podría incluso decir: como nombre propio del pensa-miento, la orden, etc., puesto que como tal aparecía en el contexto de la estructura enunciativa.

Llegamos ahora a otros enunciados subordinados, en los que las palabras tienen ciertamente su referen-cia usual, pero sin que aparezca un pensamiento como sentido, ni un valor veritativo como referencia. Cómo es esto posible, se verá claramente con ejemplos.

"El que descubrió la forma elíptica de las órbitas planetarias murió en la miseria."

Si en este caso el enunciado subordinado tuviera por sentido un pensamiento, tendría que ser posible expresarlo también en un enunciado principal. Pero esto no puede ser, porque el sujeto gramatical "el que" no tiene ningún sentido independiente, sino que pro-porciona las relaciones con el segundo miembro del enunciado, "murió en la miseria". De ahí también que el sentido del enunciado subordinado no sea un pensa-miento completo y que su referencia no sea un valor veritativo, sino Kepler. Podría objetarse que el sentido del todo contiene, no obstante, un pensamiento como parte, a saber, el de que existió uno que descubrió por primera vez la forma elíptica de las órbitas planetarias; pues quien tuviera por verdadero el todo no podría negar esta parte. Lo último es indiscutible; pero única-mente debido a que, en caso contrario, la subordinada "el que descubrió la forma elíptica de las órbitas pla-

netarias" no tendría ninguna referencia. Cuando se afir-ma algo, siempre es evidente la suposición previa de que los nombres propios utilizados, ya sean simples o compuestos, tienen una referencia. Así pues, si se afir-ma "Kepler murió en la miseria", se presupone con ello que el nombre "Kepler" designa algo; pero por esto, sin embargo, en el sentido del enunciado `Kepler murió en la miseria" no está contenido el pensamiento de que el nombre "Kepler" designa algo. Si éste fuera el caso, la negación no podría ser

"Kepler no murió en la miseria",

ino "Kepler no murió en la miseria, o bien el nom-bre «Kepler» carece de referencia."

Que el nombre "Kepler" designa algo es, por el contrario, presuposición tanto de la afirmación

"Kepler murió en la miseria",

como de la opuesta. Ahora bien, resulta que las len-guas tienen el defecto de que en ellas son posibles ex-presiones que, por su forma gramatical, están desti-nadas a designar un objeto, pero que, en casos espe-ciales, no consiguen este objetivo suyo, porque esto depende de la verdad de un enunciado. Por eso de-pende de la verdad del enunciado

"existió uno que descubrió la forma elíptica de las órbitas planetarias",

el que la subordinada

"el que descubrió la forma elíptica de las órbi-tas planetarias"

designo realmente un objeto, o bien que sólo produz-ca la apariencia de ello, careciendo de hecho de refe-rencia. Y así es cómo llega a parecer como si nuestra subordinada contuviera, como parte de su sentido, el pensamiento de que existió uno que descubrió la for-ma elíptica de las órbitas planetarias. Si esto fuera co-rrecto, la negación debería ser:

"el que descubrió por primera vez la forma elíp-tica de las órbitas planetarias, no murió en la miseria, o bien no hubo nadie que descubriese la forma elíptica de las órbitas planetarias".

Esto radica, pues, en una imperfección del len-guaje, dela que por lo demás, tampoco está com- pletamente libre el lenguaje si mbólico del análisis ; tam-

-bién en este último caso pueden aparecer filas de sig-nos que producen la ilusión de que se refieren a algo, pero que, por lo menos hasta este momento, toda-vía carecen de referencia, como por ejemplo, series infinitas divergentes. Esto _puede remediarse, por ejem-plo, mediante la estipulación especial de que las series infinitas divergentes tienen ,que referirse ál número O. De un lenguaje lógicamente perfecto (ideografía) hay que exigir que cada expresión, que se haya formado como nombre propio a partir de signos ya introducidos de manera gramaticalmente correcta, designe realmente también un objeto, y que no se introduzca ningún sino como nombre al principop sin que antes no se le haya

asegurado una referencia. En los tratados de Ló-gica se previene en contra de la multivocidad de las expresiones como fuente de errores lógicos. Creo que es por lo menos igualmente oportuna la prevención frente a Ios nombres propios aparentes que no tienen

ninguna referencia. La historia de las matemáticas po-dría narrar todos los errores que han surgido de ahí. estos son frecuentes igualmente en el mal uso de-magógico, quizá más todavía que las palabras multí-vocas. Puede servir de ejemplo "la voluntad del pue-blo", pues es fácil establecer que, por lo menos, no hay una referencia universalmente aceptada de esta expresión. Por esto no es un absoluto irrelevante ta-ponar de una vez por todas la fuente de esos errores, por lo menos para la ciencia. Objeciones como la an-tes discutida serán entonces imposibles, porque nunca podrá depender de la verdad de un pensamiento el que un nombre propio tenga una referencia.

Podemos someter a estudio estos enunciados nomi-nales juntamente con una clase de enunciados califi-cativos* y adverbiales que están lógicamente emparen-tados con los primeros.

También algunos enunciados calificativos pueden servir para formar nombres propios compuestos, si bien esto no lo consiguen por sí solos, como en el caso de los nominales. Estos enunciados calificativos deben ser tomados igual que términos calificativos. En vez de "la raíz cuadrada de 4 que es menor que 0", puede de-cirse también "la raíz cuadrada negativa de 4". Nos hallamos aquí ante el caso en que, a partir de una expresión conceptual, se forma un nombre propio com-puesto con la ayuda del artículo determinado en sin-gular; lo cual, de todos modos, sólo está permitido cuando cae bajo el concepto un objeto y sólo unos Las

expresiones conceptuales pueden formarse de tal ma-nera quo se indiquen sus características por medio de

enunciados calificativos, como en nuestro ejemplo por

medio del enunciado "que es menor que 0". Es evi-dente que semejante enunciado calificativo no puede

tener, lo mismo que antes el enunciado nominal, un

pensamiento por sentido, ni un valor veritativo por re-ferencia, sino que por sentido tiene solamente una par-te de un pensamiento que, en algunos casos, puede

expresarse también con un único calificativo. También

en este caso, lo mismo que en el de los enunciados

nominales, falta eI sujeto independiente y con él tam-bién la posibilidad de volver a dar el sentido de la

subordinada en una independiente. Desde un punto de vista lógico, los lugares, ins-

tantes e intervalos son objetos; por lo tanto, la deno-minación lingüística de un determinado lugar, de un

determinado momento o intervalo temporal debe ser

considerada como un nombre propio. Enunciados ad-verbiales de lugar y de tiempo pueden entonces ser

utilizados para la formación de un nombre propio se-mejante, de manera análoga a como lo acabamos de

ver para los enunciados nominales y calificativos. Asi-mismo pueden formarse expresiones de conceptos que se refieren a lugares, etc. También aquí que hacer notar que no puede volverse a dar el sentido de_ estas subordinadas en una principal, porque falta un componente esecial

, a saber, la determinación_espacial

o temporal, a la que sólo se alude por medio de un pronombre relatvo o una conjunció