estudio de los crashes bursátiles bajo el análisis de la
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Universidad de La Salle Universidad de La Salle
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Finanzas y Comercio Internacional Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
1-1-2018
Estudio de los crashes bursátiles bajo el análisis de la geometría Estudio de los crashes bursátiles bajo el análisis de la geometría
fractal fractal
Laura Milena Soto Castillo Universidad de La Salle, Bogotá
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Citación recomendada Citación recomendada Soto Castillo, L. M. (2018). Estudio de los crashes bursátiles bajo el análisis de la geometría fractal. Retrieved from https://ciencia.lasalle.edu.co/finanzas_comercio/279
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ESTUDIO DE LOS CRASHES BURSÁTILES BAJO EL ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA
FRACTAL
Presentado por:
LAURA MILENA SOTO CASTILLO
Tutora:
Dra. DIANA MILENA CARMONA MUÑOZ
Trabajo de grado presentado para obtener el título de
Profesional en Finanzas y Comercio Internacional
Universidad de La Salle, Bogotá D.C
Junio, 2018
1
AGRADECIMIENTOS
En primer, quiero agradecer a la directora de esta investigación Diana Carmona por la oportunidad y la
confianza que me ha brindado para realizar este trabajo de grado, además me abrió las puertas al mundo
apasionado y tedioso de la investigación. En segundo lugar, quiero agradecer al profesor Leopoldo
Sánchez Cantú de la Universidad Nacional Autónoma de México, quién nos ha apoyado y orientado en el
camino de esta investigación; gracias por dedicarnos su tiempo y por compartir su sabiduría con nosotras;
gracias por el interés mostrado, atender siempre las inquietudes y ayudarnos a resolver las dificultades de
la metodología.
2
RESUMEN
El presente trabajo de investigación es una evaluación de los crashes bursátiles bajo el análisis de
la geometría fractal en las series financieras, este análisis se reconoce como otro punto de vista
desde herramientas y teorías transdisciplinarias que conllevan a proponer y aplicar un método
innovador para calcular la dimensión fractal de 15 índices bursátiles a nivel global, el trabajo
caracteriza los crashes bursátiles, se concluye que las crisis financieras están alimentadas por
distintos crashes y éstos a su vez están compuestos por las expectativas y distintos
comportamientos de los agentes del mercado.
Palabras clave: crash bursátil; sistemas complejos adaptativos; exponente de escalamiento; ley
de potencia; geometría fractal; dimensión fractal; caos; exponente de Hurst; bifurcación;
sensibilidad.
ABSTRACT
The present work of investigation is an evaluation of the crashes stock market under the analysis
of the fractal geometry in the financial series, this analysis is recognized like another point of
view from tools and trans disciplinary theories that entail to propose and to apply an innovative
method to calculate the fractal dimension of 15 stock indices globally, the work characterizes the
crashes stock market, it is concluded that financial crises are fueled by different crashes and these
in turn are composed of the expectations and different behaviors of market agents.
Keywords: stock market crash; adaptive complex systems; exponent of scaling; power law;
fractal geometry; fractal dimension; chaos; exponent of Hurst; fork; sensitivity.
3
Contenido
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES ................................................................................................................... 5
ÍNDICE DE ECUACIONES ......................................................................................................................... 5
ÍNDICE DE TABLAS................................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................ 6
CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 11
1. Teoría General de Sistemas ............................................................................................................. 11
1.1 Teoría de sistemas simples y complicados .................................................................................... 11
1.2 Teoría de sistemas complejos ........................................................................................................ 11
2. Teoría del Caos ................................................................................................................................ 12
3. Teoría de las Bifurcaciones ............................................................................................................. 13
4. Teoría de las Catástrofes ................................................................................................................. 14
5. Geometría Fractal ............................................................................................................................ 14
Características de los fractales............................................................................................................. 15
6. Ley de potencia ............................................................................................................................... 16
7. Exponente de Hurst ......................................................................................................................... 17
8. Box Counting Dimension ................................................................................................................ 19
9. Zigzag .............................................................................................................................................. 20
CAPÍTULO 2: METODOLOGÍA ............................................................................................................... 22
1. Describir los fundamentos teóricos y empíricos con los que históricamente se han abordado las
crisis financieras ...................................................................................................................................... 22
2. Determinación de Fractalidad en las Series Financieras ................................................................. 23
3. Conceptualizar los crashes bursátiles a partir de la geometría fractal............................................. 30
CAPÍTULO 3: RESULTADOS .................................................................................................................. 31
1. Descripción de los Fundamentos teóricos y empíricos con los que históricamente se han abordado
las crisis financieras................................................................................................................................. 31
1.1. Teoría convencional de las crisis financieras .......................................................................... 31
1.2. Crisis Históricas: Perspectivas Desde 1929 Hasta La Gran Crisis del 2007-2010 .................. 34
4
1.3. De Los Modelos Ortodoxos A La Complejidad. ..................................................................... 39
2. Resultados de la presencia de Fractalidad en las Series Financieras .............................................. 41
3. Conceptualización de los crashes bursátiles a partir de la geometría fractal. .................................. 48
CONCLUSIONES ...................................................................................................................................... 50
Bibliografía .................................................................................................................................................. 52
5
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Curva de Koch. .................................................................................................................... 19
Ilustración 2: Curva de Koch. .................................................................................................................... 19
Ilustración 3: Ejemplo de zig-zag. ............................................................................................................. 21
Ilustración 4: All World countries index vs. zig-zag 30% ......................................................................... 27
Ilustración 5: Gráfica del número de puntos de inflexión contra la sensibilidad porcentual del zig-zag. . 29
Ilustración 6: Resultados de las gráficas. Zig-zag ..................................................................................... 45
ÍNDICE DE ECUACIONES
Ecuación 1:Rango escalado. Tomado de Peters (1994) ............................................................................. 18
Ecuación 2: Exponente de Hurst. Tomada de Peters (1994) ...................................................................... 18
Ecuación 3: Dimensión de semejanza. Tomado de Mandelbrot (2006) ..................................................... 19
Ecuación 4: Dimensión de recubrimiento. Tomado de Mandelbrot (2006) ............................................... 20
Ecuación 5: Retorno de los Precios ............................................................................................................ 24
Ecuación 6: Media Aritmética. ................................................................................................................... 24
Ecuación 7: Desviación Estándar ............................................................................................................... 25
Ecuación 8: Curtosis. .................................................................................................................................. 25
Ecuación 9: Dimensión Fractal .................................................................................................................. 30
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Índices bursátiles de muestra. ...................................................................................................... 24
Tabla 2: Cuadro comparativo de las metodologías para hallar la dimensión fractal. ................................. 26
Tabla 3: Número de cambios del zig-zag. .................................................................................................. 28
Tabla 4: Resumen de los Resultados de los Retornos. ............................................................................... 41
Tabla 5: Resultados de los puntos de inflexión Zig-zag ............................................................................. 43
Tabla 6: Resumen de los Resultados Finales ............................................................................................. 47
6
INTRODUCCIÓN
El ser humano se encuentra ante un mundo natural que no es ordenado, y pretende hallarle
sentido a todo lo que lo rodea. Para Nietzsche “el universo ya no es un todo ordenado y estable,
sino un caos dinámico” (Toni Llácer, 2015, p.21). Este <<caos>> que denomina Nietzsche,
genera la necesidad instintiva de quererlo comprender, y es en la búsqueda de sentido que el
conocimiento juega un papel fundamental. Para Morin (1990) los procesos cognitivos de la mente
humana perciben y seleccionan, para ulteriormente separar y unir; jerarquizar y centralizar la
información de acuerdo con la significancia brindada. En este orden de ideas, las acciones
inconscientes que realiza el cerebro, son comandadas por lo que él denomina <<principios supra
lógicos>> del pensamiento o paradigmas, los cuales lideran la visión de las cosas y del mundo.
El conocimiento se ha desarrollado a lo largo de la historia en múltiples disciplinas, cada una de
ellas con un enfoque y epistemología específica, Según Llácer (2015) “para Nietzsche el
marxismo, el darwinismo o el cientificismo no son más que tres maneras de ordenar el gigantesco
caos de la historia de nuestro planeta” (p.81). Ahora bien, todos los campos de conocimiento e
investigación pretenden continuar con una mayor comprensión del mundo y su dinámica. La
teoría del caos y los sistemas complejos adaptativos surgen como alternativas que pretenden un
acercamiento explicativo a los fenómenos reales, dando cuenta de las propiedades emergentes y
dinámicas del comportamiento y la naturaleza humana entorno a la organización del mundo. En
palabras de Mitchell (2009) intentan dar razón de “Cómo un gran número de entidades
relativamente simples se organizan, sin el beneficio de ningún controlador central, en un todo
colectivo que crea patrones, usa información y, en algunos casos, evoluciona y aprende.” (p.4).
Por ende un sistema complejo es una relación de muchas partes simples, dinámicas e
irreductibles. La complejidad hace parte del manifiesto natural que se evidencia –por enunciar
algunos ejemplos- en las colonias de insectos, los cerebros, los sistemas inmunes y cualquier
organización dinámica como la economía y los mercados financieros.
Las disciplinas económicas son creadas por el ser humano para acercarse a la comprensión del
comportamiento y los medios de la sociedad para autosatisfacer las necesidades humanas.
Tradicionalmente, el método de los estudios económicos, hace ver el escenario de los mercados,
los bienes y servicios como una realidad estática y fragmentada, sin embargo, se entiende –como
cualquier sistema natural- como dinámico y complejo.
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Ante la necesidad de entender la complejidad del movimiento económico, la ciencia económica
transciende a un estudio multidisciplinar y holístico, donde áreas como la matemática, la física, la
psicología, la biología, la teoría general de sistemas, la cibernética, las ciencias computacionales,
la geometría fractal -entre otros- han aportado nuevas herramientas de análisis.
En consecuencia, se ha visto la economía y los mercados bursátiles como sistemas complejos
dinámicos. Un mercado bursátil se compone de varios elementos y agentes que se relacionan
intrínsecamente y de forma dinámica. Sin embargo a través de la historia los mercados bursátiles
se han enfrentado ante dos escenarios: tiempos de prosperidad y tiempos de crisis. En un día
bursátil cotidiano los actores del mercado operan bajo un perfil de poca interacción entre ellos y
buscan amortiguar la posibilidad de pérdidas mediante el análisis de riesgo y la construcción de
posiciones de cobertura (Bookstaber, 2017).
Por otro lado, una crisis es un evento realmente complejo y caótico, pero a su vez profundamente
humano. Bookstaber (2017) sugiere que durante las crisis las interacciones entre los individuos
aumentan en intensidad y están llenas de incertidumbre, mientras son golpeados por experiencias
desconocidas y entran en contextos inquietantes. En cambio los crashes bursátiles se manifiestan
como un quiebre de la bolsa con una dinámica en efecto cascada a través del sistema, cambian los
precios y se altera la percepción que los agentes tienen del riesgo, afectando así incluso a aquellos
que no están directamente expuestos a los efectos del mercado. En otras palabras un crash
bursátil es un quiebre en el mercado que a su vez alimenta la explosión de una crisis financiera.
Luego de la crisis mundial del 2008, la Reina Isabel II visitó London School of Economics y
preguntó, “¿por qué nadie advirtió que la crisis de crédito estaba en camino?” (Hennessy, 2009,
p.247), se reunieron varios expertos para debatir el tema y lograron importantes conclusiones. En
primer lugar, el FMI y otros expertos realizaron algunas advertencias sobre la burbuja, sin
embargo actores del mercado, creyeron ciegamente en que, era más fácil esperar que la burbuja
explote y luego salvar la economía por medio de instrumentos macroeconómicos, en vez de evitar
una crisis mundial; también confiaron en las herramientas y modelos reduccionistas para
predicciones económicas que tenían; finalmente, “todo fue una falla de imaginación colectiva de
muchas personas inteligentes… para entender los riesgos del sistema en su conjunto” (Hennessy,
2009, p.250)
8
De acuerdo a lo anterior, Bookstaber (2017) sugiere que, la economía clásica y ortodoxa no
puede ayudar durante las crisis financieras, porque la teoría económica tradicional se rige bajo
modelos reduccionistas y fijos, los cuales no logran abarcar la economía en conjunto como un
sistema. Gonzáles (2011), reconoce el reduccionismo como, las propiedades del sistema, las
cuales “pueden reducirse a la de los elementos componentes tomados por separado” (p.28), sin
embargo, el no observarse estas propiedades del sistema en los elementos aislados, no quiere
decir que éstas no las posean, sino que, simplemente se ignoran métodos para observar su
existencia.
Como refiere Peters (1991), que para entender los mercados financieros algunas de las grandes
mentes han estructurado modelos reduccionistas que no han funcionado bien porque dejan mucho
sin responder y a menudo dejan más preguntas de las que responden. Con el pasar de los años las
finanzas se han convertido en objeto de estudio y grandes autores como Bachelier, Markowiz,
Sharpe y Fama han llegado a establecer teorías y modelos reduccionistas y abstractos que
intentan explicar el comportamiento de los mercados. En sus investigaciones Bachelier (1900)
concibe la idea de que los precios obedecen a una caminata aleatoria, seguidores de Bachelier
como Samuelson (1983), Markowitz (1952), Sharpe (1964) y Fama (1970) intentan explicar el
riesgo/beneficio de las inversiones, la eficiencia de los mercados financieros y el comportamiento
de los inversionistas racionales. Mandelbrot (2006) ha identificado 5 supuestos base de los
modelos ortodoxos:
1. Los inversionistas individualmente toman decisiones racionales con su objetivo de
maximizar su beneficio.
2. Todos los agentes tienen acceso a la información de forma simétrica y sincronizada.
3. Los inversionistas tienen los mismos objetivos y expectativas individuales.
4. Las cotizaciones de las acciones no saltan ni caen de un momento a otro, sino que,
cambian de forma pausada.
5. Los precios tienen implícitamente un comportamiento que se rige por un movimiento
browniano.
Ahora bien, se ha demostrado en investigaciones que los individuos tienen ideas heterogéneas y
no toman decisiones de acuerdo con la eficiencia (Hyme, 2003); hay asimetría en la información
(Grossman y Stiglitz, 1980); las expectativas y objetivos de los inversionistas están dados por la
forma en que lo analizan y perciben. Healy y Palepu (2001) concluyen que, el valor y la
divulgación de la información están asociados con el rendimiento del precio de las acciones; los
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precios no siguen una distribución estadísticamente normal como la campana de Gauss y
finalmente se ignoran las discontinuidades de los precios que han conllevado a crisis y
desequilibrios de los mercados (Mandelbrot 2006).
Como se ha visto hasta ahora, la mayoría de los actores del mercado han ignorado las
inconsistencias que tienen los modelos ortodoxos que utilizan para analizar y predecir el
comportamiento del mercado, aun así, la mayoría de ellos los siguen implementando porque no
existe hasta ahora un modelo que explique plenamente el comportamiento real que tienen los
precios antes, durante y después de las crisis financieras. En efecto, los agentes del mercado están
interpretando la información de forma incompleta y sin saber si están a punto de caer a un abismo
financiero o en un escenario positivo para pocos, ganar una gran suma de dinero.
Cuando el ser humano se encuentra ante un escenario complejo o caótico intenta ordenar la
información como un mapa en su mente (Woodcock, 2012). En el mundo económico y financiero
la persona crea gráficas como mapas que le ayudan a comprender el comportamiento del
mercado. Lo importante es saber utilizar una teoría que le aproxime convenientemente a la
comprensión de los cambios de las series financieras.
En la actualidad, los profesionales en finanzas utilizan como herramienta financiera el análisis
técnico de los precios para entender y predecir los cambios de una variable. Sin embargo,
Mandelbrot (2006) ofrece un modelo alternativo de fractalidad, se dio cuenta que los patrones
que arrojan los precios de las variables se pueden analizar desde la geometría fractal, la cual, se
ocupa de aquellas asperezas que se encuentran en la vida cotidiana.
El gran hallazgo de Mandelbrot ha sido tomado en serio desde el principio por los científicos, por
lo cual, lo han asociado a la teoría del caos porque es un estudio de la naturaleza de la vida, no es
cien por ciento ordenada, ni cien por ciento desordenada. “La esencia creativa de la geometría
fractal consiste en combinar lo formal y lo visual” (Mandelbrot, 2006, p.21). Mandelbrot utiliza
su geometría fractal en las finanzas para determinar aquellos pequeños cambios que presentan las
series financieras, esa teoría contrasta con que los cambios de los precios obedecen a un
comportamiento de la ley de potencia, son continuos, tienen memoria, tienen auto similitud, y
dimensión fractal.
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De acuerdo a las crisis financieras que se han presentado a lo largo de la historia y a la
investigación que hace Mandelbrot sobre la geometría fractal aplicada a las finanzas se ha
querido plantear la siguiente pregunta de investigación: ¿responden los crashes bursátiles a las
características de la geometría fractal?
Para responder la anterior pregunta de investigación se propone como objetivo general evaluar los
crashes bursátiles bajo el análisis de la geometría fractal en las series financieras. Para cumplir este
objetivo se plantean tres específicos: el primero, describir los fundamentos teóricos y empíricos con
los que históricamente se han abordado las crisis financieras; el segundo, evaluar si la dimensión
fractal de las series bursátiles presentan cambios antes, durante y después de un crash bursátil; y
por último, conceptualizar los crashes bursátiles a partir de la geometría fractal.
Finalmente, se desarrollan tres capítulos, en primer lugar, se propone un marco teórico el cual
pretende explicar la geometría fractal; segundo, se hará una breve descripción de fundamentos
históricos de las principales crisis financieras del siglo XX Y XXI; tercero, se desarrolla una
metodología para hallar la dimensión fractal en 15 índices bursátiles; y finalmente se
conceptualiza los crashes bursátiles a partir de la dimensión fractal y los hallazgos de los crashes
bursátiles descritos en el primer objetivo.
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CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO
1. Teoría General de Sistemas
La teoría general de sistemas nace en 1929 por Bertalanffy y en 1945 toma fuerza por otros
científicos que se enfocan en la ampliación de este campo de investigación. La teoría general de
sistemas se considera el “esqueleto de la ciencia” (Johansen, 1982, p.28); ya que, sostiene la
estructura de estudio de múltiples disciplinas que intentan explicar la interacción y
funcionamiento de los elementos reales individuales y globales. Los sistemas se dividen en dos
grupos según su comportamiento e interacción: sistemas simples y complicados; y sistemas
complejos.
1.1 Teoría de sistemas simples y complicados
Los sistemas complicados y simples son sistemas cerrados modelados a través de métodos
reduccionistas. Filosóficamente, se entiende como el todo es la suma de sus partes. Es decir,
la persona observa el universo empíricamente y selecciona fenómenos de ocurrencia general
en las distintas disciplinas para tratar de construir un modelo teórico, el cual, lo reduce para
entender de una forma simple y razonable. También, cuando reduce el estudio, se enfoca en la
comprensión de las partes por separado y las sobrepone al sistema conjunto (Johansen, 1982).
Un sistema simple es totalmente predecible, y se compone de pocos elementos; por
ejemplo, una rueda, la cual se compone de un aro, radios y un eje, para, girar y cumplir con su
respectiva función. Por otro lado, una característica fundamental de los sistemas complicados
según Sargut y Gunter (2011) es la interacción fija entre los elementos. Es decir, que el
sistema tiene partes móviles, pero a su vez se relacionan estructuradamente; por ejemplo, una
red eléctrica, la cual, tiene muchas interacciones posibles y generalmente sigue un patrón,
permite controlar directamente y hacer predicciones precisas sobre su comportamiento.
1.2 Teoría de sistemas complejos
Más allá de los modelos reduccionistas existen los modelos holísticos e interdisciplinarios
para estudiar los sistemas complejos, los cuales, se basan en que el todo es más que la suma de
sus partes, es decir, que se debe estudiar todas las partes en conjunto, además de conocer las
cualidades o propiedades de las partes que están inhibidas o invisibles aparentemente ante la
organización del todo o del sistema (Morin, 1986). Un sistema complejo es un sistema abierto
no lineal, compuesto por partes que se interrelacionan de forma dinámica y de estas
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interacciones surgen propiedades emergentes. Además, el sistema tiene la capacidad de
aprender, adaptarse y auto-organizarse ante el surgimiento de nueva información y/o nuevos
ambientes.
Para Mitchell (2009) la palabra complejo proviene de la palabra en latín plectere, que
significa tejer o enlazar; un sistema complejo está compuesto de muchas partes simples que
están entrelazadas e interrelacionadas de forma dinámica y auto organizada, a su vez, las
partes son irreductibles. Por ejemplo, una hormiga es una “parte” simple de la colonia que se
interrelaciona con las demás hormigas, entre todas logran auto-organizarse para sobrevivir,
construir túneles bajo tierra y estructuras de nidos que protegen la colonia; las hormigas actúan
de forma dinámica y aprenden constantemente a adaptarse ante nuevas adversidades. En este
orden de ideas, la colonia de hormigas funciona como un sistema complejo de la naturaleza.
Cuando un sistema complejo entra en la etapa de caos surge la propiedad de <<adaptarse>>
para evolucionar y sobrevivir ante las propiedades emergentes que surgen a través del tiempo. Es
decir, si una especie se encuentra en peligro de extinción buscará la forma de adaptarse y
evolucionar para sobrevivir. Adicionalmente, todas las especies se encuentran
interrelacionadas entre sí porque se necesitan mutuamente –como es el caso del depredador y
la presa- para vivir, el depredador y la presa intentan constantemente estar uno delante del otro
(evolutivamente) para permanecer aparentemente en un mismo punto (Lewin, 2002).
Los sistemas complejos requieren ser estudiados por múltiples disciplinas, García (2006)
sugiere que los estudios multidisciplinares son una alternativa de complemento para llevar a
cabo una investigación más acertada e incluso desde otros ángulos de vista. En efecto, se han
encontrado sistemas complejos en campos de la biología, la química, la física, la economía,
entre otros. Johansen (1982) concuerda que a medida que los sistemas se van haciendo más
complejos aparentemente se vuelven impredecibles, por ende, requieren ser estudiados en su
totalidad, desde varios puntos de vista, y así mismo desarrollar una investigación
multidisciplinar.
2. Teoría del Caos
El periodo entre 1950 y 1960 se caracterizó por la predicción atmosférica del tiempo. Von
Neumann construyó el primer ordenador de predicción del tiempo y entre sus investigaciones
descubrió que no podía dar una predicción exacta del clima, a su vez reconoció que el clima es un
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sistema dinámico complejo que puede albergar puntos de inestabilidad y puntos críticos, los
cuales, bajo una pequeña perturbación puede terminar en un gran caos, e inestabilidad en todos
los puntos (Gleick, 1987).
Para Edward Lorenz (1972) las perturbaciones en el cambio climático eran más que eventos
del azar y descubrió el efecto mariposa, el cual, es una estructura geométrica ordenada que está
disfrazada de azar. Así pues, se dedicó a estudiar los sistemas con eventos que aparentemente son
iguales, pero no lo son. Lo que explica Lorenz es que en un sistema caótico ante la mínima
variación en la situación inicial mediante un proceso de ampliación tiene un efecto que se puede
considerar grande a corto o largo plazo.
Lorenz quiso profundizar matemáticamente el caos, y descubrió en los sistemas complejos tres
ecuaciones no lineales, que son insolubles e indesmontables, es decir, no se pueden estudiar por
partes y tampoco se puede cambiar el orden de las ecuaciones (Gleick, 1987). LeBaron (1994)
interesado por la dinámica de la economía, explica el mercado desde la no linealidad. Las
posibilidades del caos en los sistemas económicos trajeron consigo una enorme cantidad de
interés inicial. Los conceptos de previsibilidad limitada y propiedades dinámicas complejas
tienen un atractivo intuitivo muy fuerte para la economía.
A partir de la acogida que ha tenido la teoría del caos, ha dado lugar a nuevos
descubrimientos, entre ellos, la teoría de las bifurcaciones, la teoría de las catástrofes y la
geometría fractal, que se profundizarán y se explicarán a continuación.
3. Teoría de las Bifurcaciones
Después de descubrir la teoría del caos, May y Oster (1976) realizó un estudio sobre el
crecimiento poblacional, y se preguntó ¿qué pasa si el crecimiento de la población pasa su punto
crítico? pues bien, graficó las ecuaciones no lineales que utilizó para calcular el crecimiento de la
población y descubrió las bifurcaciones. La gráfica mostró tres regímenes de comportamiento
dinámico: punto estable; ciclos estables para el segundo periodo; y el régimen caótico más allá
del punto estable. Adicionalmente en la práctica, May encuentra un cuarto régimen de extinción,
es decir, cuando el crecimiento poblacional es menor a la unidad.
En otras palabras, cuando se grafican los datos y se encuentran al menos tres de los regímenes
quiere decir que existen periodos con datos que se comportan de forma lineal creciente (Punto
14
estable); sin embargo, cuando los datos llegan a un periodo posterior se encuentra una curva o
punto de inflexión en su auge, los datos se dividen -bifurcaciones- en dos líneas y deja de ser
lineal; a continuación, las divisiones o bifurcaciones se van formando de manera más rápida, de
modo que los datos aparentemente son provocados al azar, no tienen orden y no son lineales
(estado de caos).
4. Teoría de las Catástrofes
Como resultado de la dificultad de comprensión de un sistema complejo que se vuelve caótico,
René Thom encuentra la teoría de las catástrofes, en la cual, intenta explicar una situación caótica
de una forma comprensible ante la mente humana por medio de mapas geométricos. Thom
estudia la teoría de las catástrofes desde un análisis cualitativo, en su teoría supone una nueva
forma de observar los cambios de los objetos, cambios del comportamiento de los sistemas y
hasta cambios de las ideas mismas. Investiga desde las variaciones más bruscas hasta las
variaciones más suaves en cualquier lugar donde se presenten, es decir, en la naturaleza, en la
sociedad, e incluso hasta en la mente humana - entre otros- (Woodcock y Davis, 2012).
Para ilustrar los sistemas complejos Thom utiliza herramientas topológicas, es decir, dibuja
mapas en más de una dimensión, luego estudia las superficies y dimensiones. Las catástrofes se
identifican como una rama de la teoría de las bifurcaciones, ya que una catástrofe es un punto
crítico, en otras palabras, donde la gráfica de los datos de un sistema se vuelve discontinua y
emerge el caos como consecuencia de un evento extremo o una catástrofe. Thom identifica en su
ilustración puntos de referencia que son las condiciones iniciales y las posibilidades de los
resultados, concuerda que un breve cambio en las condiciones iniciales conlleva a un cambio en
los resultados (efecto mariposa); además, explica la dinámica de relaciones que tienen las partes
de los sistemas (Khlebopros et al., 2007).
5. Geometría Fractal
El interés de continuar el desarrollo de investigaciones sobre la teoría del caos y los sistemas
complejos llegó hasta Mandelbrot, quien no ignoró ciertas irregularidades que se encuentran en el
ambiente real y se interesó por el elemento incontrolado de la vida que él llama asperezas, al
estudiar estas asperezas halló la geometría fractal de la naturaleza en 1977. Mandelbrot fue
pionero en el uso de ordenadores para expresar predicciones de sus modelos en forma gráfica y
de allí nace el modelo denominado el movimiento browniano fraccional en tiempo multifractal.
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“Un fractal (término derivado de latín fractum, fracturado) es una forma geométrica que puede
fraccionarse en partes menores, cada una de las cuales evoca la totalidad a menor escala”
(Mandelbrot, 2006, p.17).
Características de los fractales
Para Mandelbrot (2006) la geometría fractal consiste en identificar patrones repetitivos,
analizarlos, cuantificarlos y manipularlos; es una herramienta a la vez analítica y sintética. El
patrón puede tomar muchas formas. Puede ser una forma concreta que se repite a escalas
sucesivamente menores, como una coliflor, un helecho, los pulmones, entre otros. Los fractales
constan de las siguientes características:
Auto-similitud: existen dos tipos de geometrías, la geometría euclidiana consiste en crear
figuras perfectas, es decir figuras sintéticas y simétricas (cuadrado, triángulo, círculo, entre
otras); por otro lado, la geometría del Demiurgo es aquella que concibe la idea de que las figuras
del mundo real son asimétricas y ásperas. La geometría fractal se alberga en la geometría del
Demiurgo, entiende que los objetos no varían de una forma perfecta ni simétrica y al examinarse
a fondo se vuelven más complejos (Peters, 1994).
Mandelbrot (1982) define la auto-similitud de un objeto fractal como las partes que tienen la
misma forma o estructura que el todo (panteísmo) y estas partes se presentan en escala.
Euclidianamente estas partes son geométricamente iguales y en escalas matemáticamente
idénticas. Desde la perspectiva del demiurgo estas partes son similares geométricamente y se
pueden presentar a escalas diferentes. Por ejemplo, un árbol de navidad -pino- es una forma
fractal, por lo general los niños dibujan las ramas como triángulos, el tronco como rectángulos y
así le dan simetría al árbol; sin embargo, los pinos no son triángulos ni rectángulos, son una red
de ramas cualitativamente similar a la forma del árbol general, pero cada rama es diferente, las
ramas en las ramas -sucesivas generaciones de las ramas- se vuelven progresivamente más
pequeñas y dentro de cada generación hay una variación de tamaño.
En el demiurgo la auto-similitud es “cualitativa” es decir, el objeto o proceso es similar a
diferentes escalas espaciales o temporales –estadísticamente- y cada escala se parece a las otras
escalas; esta propiedad hace invariante la escala fractal, en otras palabras, carece de una escala
característica que derivan de las otras (Peters 1994).
16
Dimensión Fractal: Mandelbrot (2006) dice que la dimensión fractal más que una propiedad
inherente es una herramienta de medición de la aspereza de un objeto. La geometría euclidiana
tiene dimensiones de números enteros, es decir las formas euclidianas son lisas, continuas,
homogéneas y simétricas. Por otro lado, la dimensión del demiurgo tiene una dimensión de
números fraccionados, quiere decir que es una dimensión no integrada y son formas con
discontinuidades espaciales. La dimensión fractal se caracteriza por cómo llena el objeto su
espacio y describe la estructura del objeto a medida que se modifica el factor de ampliación -la
escala del objeto- también, esta ley de escalamiento tiene lugar en el espacio.
Una serie temporal fractal escala estadísticamente en el tiempo y la dimensión fractal mide
cuán irregular o áspera es la serie. Una línea tiene una dimensión de 1 en el espacio euclidiano,
sin embargo, Peters (1994) estudia las series temporales que tienen una dimensión entre 1 y 2,
encuentra que una serie de tiempo aleatoria tiene una dimensión fractal de 1.5, porque esta serie
tiene un 50/50 de probabilidad de subir o bajar. Por otro lado, si la dimensión está entre 1 y 1.5
quiere decir que la serie de tiempo es más que una línea y menos que una caminata aleatoria, en
otras palabras, es más suave que un azar, pero más irregular que una línea; Finalmente, si una
serie temporal se encuentra entre 1.5 y 2, quiere decir que la serie es más irregular que una serie
aleatoria o tiene más reversiones. En este orden de ideas, las series temporales con dimensiones
fractales distintas de 1.5 son bastantes diferentes de las estadísticas Gaussianas, y no están
necesariamente contenidas dentro de la distribución normal.
A través del tiempo se han desarrollado diferentes metodologías y leyes teóricas para hallar la
escala y dimensión fractal de las formas, a continuación, se presentarán algunos hallazgos y
metodologías.
6. Ley de potencia
Anteriormente se describió la propiedad de los fractales sobre auto-similitud, se ha dicho que
los fractales pertenecen a los sistemas complejos, es decir, el estudio del demiurgo consiste en
analizar sistemas complejos. Ahora bien, el término de invarianza de escala o multi-escala se usa
cuando es posible determinar la existencia de relación entre la variabilidad espaciotemporal de un
fenómeno (Pulgarín, 2009) y no tiene una escala específica.
La ley de potencia ha sido descubierta en modelos aplicados a múltiples disciplinas, le han
dado diferentes nombres ya que cuentan con metodologías distintas -ley de Pareto, ley de Zipf,
17
entre otras- para hallarla. Cuando un sistema complejo tiene una tendencia característica de la ley
de potencia, ésta permite encontrar grandes eventos que ocurren de forma atípica y con poca
frecuencia, mientras que hay eventos de magnitudes más pequeñas que ocurren con más
frecuencia, así mismo la longitud entre el uno y el otro están relacionados por la ley de potencia.
En otras palabras, la ley de potencia permite encontrar sistemas que son auto organizados,
también es posible encontrar en una serie de tiempo el valor mínimo para determinar el punto de
cambio del azar a la auto organización (Ramírez et al., 1999).
Sánchez (2017) desarrolló una metodología para evaluar los puntos máximos y los puntos
mínimos de las series financieras. Encontró un nivel crítico, donde las caídas mayores a ese nivel
crítico obedecen a la ley de potencia, identificó que este nivel crítico se considera un punto de
transición de fase hacia un sistema auto-organizado. También descubrió que al aplicar la
siguiente ley de potencia: 𝑝(𝑥) = 𝐶𝑥−∝ (Para cualquier valor positivo en el exponente α) Ésta
diverge cuando x → 0. Donde p(x) es la probabilidad de presentarse un evento de tamaño x o
mayor; C es una constante que representa la condición de normalización; α es el exponente por el
que se conoce como ley de potencia o exponente de escalamiento. En otras palabras, si los
valores son muy pequeños desisten de la ley de potencia (Newman, 2006). Entre sus hallazgos
Sánchez (2017) considera que la propuesta de auto-organización y los procesos sujetos a la ley de
potencia pueden explicar parcialmente la característica de la estructura fractal con auto-afinidad e
independencia de escala en las series bursátiles.
7. Exponente de Hurst
El hidrólogo Edwin Hurst (1951) desarrolló un modelo para determinar la capacidad de
almacenamiento de agua en las represas del río Nilo, para ello debía realizar un registro histórico
de la cantidad de agua que fluía en el río Nilo. Accidentalmente encontró que ciclos con
abundante fluido eran seguidos por periodos con fluidos mayores y cambia cuando es de manera
inversa, es decir, bajos flujos de agua eran seguidos por flujos menores. En conclusión, el río
Nilo presentaba una tendencia de comportamientos cíclicos. De ahí nace el exponente de Hurst
(H) que oscila entre 0 y 1; si H=0.5 quiere decir que la serie sigue una caminata aleatoria; si
H<0.5 indica que la serie es anti persistente, es decir que los datos no tienen memoria y tienden a
una media aritmética; Si 0.5<H<1 indica que la serie es persistente, quiere decir que los datos
tienen memoria y no tienden a una media aritmética.
18
Tiempo después, Mandelbrot retoma los estudios de Hurst para aplicarlo a las series de tiempo
financieras y relacionarlo con la geometría fractal. Si una serie de tiempo sigue una caminata
aleatoria significa que el precio de hoy es independiente del precio de ayer; si la serie de tiempo
es anti persistente quiere decir que ésta tiende a una media y se asemeja a una línea recta;
Finalmente, Mandelbrot encontró que las series financieras seguían un parámetro estadístico
persistente, lo que significa que el precio de hoy está relacionado o probablemente sea el mismo
de ayer y gráficamente presentará -no linealidad- más aspereza, la fuerza de esta tendencia
aumenta cuando H se acerca a 1 (Mandelbrot, 2006).
Para calcular el exponente de Hurst Mandelbrot desarrolla el rango escalado (R/S), Divide la
serie de datos (n) en particiones -conjuntos- más pequeñas; luego calcula la media de cada
partición, la desviación media, la suma acumulada de las desviaciones y finalmente la desviación
estándar (S) (Plazas et al., 2014). Peters (1994) presenta el exponente de Hurst H como:
Ecuación 1:Rango escalado. Tomado de Peters (1994)
Donde R/S es el rango escalado que depende del tamaño n de la serie; c es la constante; n es el
número de observaciones; H es el exponente de Hurst.
El valor R/S de la ecuación se reconoce como rango escalado porque tiene una media cero y se
expresa en términos de desviación estándar local. En general el valor R/S aumenta a medida que
incrementa el tiempo (n) mediante el valor de la ley de potencia que equivale a H –el rango
aumenta según la potencia- quiere decir que en relación con la geometría fractal los fractales
escalan mediante una ley de potencia.
La partición del rango escalado permite comparar periodos de tiempo que pueden estar
separados por muchos años. El R/S también puede describir series temporales que no tienen una
escala característica como los fractales. El exponente de Hurst se puede aproximar trazando el
log (𝑅
𝑆)𝑛 contra el log (n) y resolviendo la regresión a través de una regresión de mínimos
cuadrados ordinarios, por último se obtiene la siguiente ecuación:
Ecuación 2: Exponente de Hurst. Tomada de Peters (1994)
(𝑅
𝑆)𝑛 = 𝑐 × 𝑛𝐻
log (𝑅
𝑆)𝑛= log (c) + H × log (n)
19
Finalmente, para calcular la dimensión fractal por medio del exponente de Hurst, Mandelbrot
(1982) plantea la siguiente ecuación: 𝐷𝐹 = 2 − 𝐻 Donde (𝐷𝐹) es la dimensión fractal, (2) es la
dimensión euclidiana y (H) es el exponente de Hurst.
8. Box Counting Dimension
Otra metodología para calcular la dimensión fractal es la Box counting dimension, la cual
consta en cubrir toda la figura fractal con cajas de escalamiento uniforme, cuya fórmula más
simple es la “dimensión de semejanza”
𝑑𝑠 =log(𝑁)
log(1𝑟)
Ecuación 3: Dimensión de semejanza. Tomado de Mandelbrot (2006)
Donde (r) es la razón de cambio de escala y N el número de unidades de medida requeridos
para cubrir todo el objeto. Se calcula contando cuántas cajas o cuadros, de distintos tamaños se
requieren para cubrir un objeto fractal. Un ejemplo es la curva de Koch:
Ilustración 1: Curva de Koch.
Tomado de Mandelbrot (2006)
Ilustración 2: Curva de Koch.
Tomado de Mandelbrot (2006).
20
Al analizar la curva de Koch, se puede ver que si se intenta cubrir la curva con más cuadros de
un tercio de la amplitud del objeto se necesitan 3 -N (𝑟1) es el número de cuadros de lado 𝑟1
requeridos- Si luego, se contrae los cuadros un tercio de su tamaño anterior, a un noveno de su
tamaño original, se necesitan 12. Finalmente, si se vuelve a contraer a razón de un tercio, se
necesitan 48. Los científicos han encontrado en la dimensión fractal una herramienta útil para
medir toda clase de fenómenos, desde la rugosidad o aspereza de la fractura de un metal hasta la
variabilidad de un gráfico financiero.
Luego surge una pauta que obedece a la siguiente función de dimensión de recubrimiento:
𝑑𝑏 = lim𝑟𝑛→0
log𝑁(𝑟𝑛)
log(1𝑟𝑛)
Ecuación 4: Dimensión de recubrimiento. Tomado de Mandelbrot (2006)
Donde el lim denota el límite matemático aproximado por la razón de logaritmos a medida que
la razón de reducción r se acerca a 0. Esta dimensión de recubrimiento es aplicable a una
variedad más amplia de objetos fractales.
9. Zigzag
El zigzag es una metodología desarrollada por Merrill (1977) a partir de la teoría de las ondas
de Elliott la cual calcula las olas y evalúa los puntos de inflexión expresado en números. El
dispositivo de medición desarrollado es un filtro de amplitud el cual mide las ondas por el filtro
requerido para eliminarlas; en otras palabras, si se dice que usa un filtro de 6%, está ignorando
todas las oscilaciones menores a 6%.
El uso de un filtro permite la simplificación del análisis de una serie de tiempo, quiere decir
que los precios del mercado se mueven en ondas dentro de las olas, en otras palabras, si se usa un
filtro las olas importantes se hacen más evidentes. La característica más importante es que las
oscilaciones y los puntos de inflexión se pueden clasificar, contar, examinar y expresar en
números (Merrill, 1977). El indicador del zig- zag se ha convertido en una herramienta útil para
el análisis de las series de precios del mercado de valores y que toma en cuenta los puntos de
precios máximos y mínimos.
21
Ilustración 3: Ejemplo de zig-zag.
Gráfica elaborada en Meta Stock.
La anterior gráfica es un ejemplo de zig-zag donde la línea roja es el índice zig-zag creado bajo
un porcentaje de sensibilidad del 30%; la línea negra es el histórico de precios y los puntos azules
referencian el punto de inflexión que hay en la serie zig-zag.
22
CAPÍTULO 2: METODOLOGÍA
Para desarrollar esta investigación se propone una metodología de enfoque mixto, ya que para
cumplir los objetivos planteados se utilizan métodos cualitativos y cuantitativos. En la parte
cualitativa se hace un marco de referencia donde se describe teórica e históricamente cómo se han
abordado los crashes bursátiles; por otro lado, se toman 15 índices bursátiles a nivel mundial para
calcular la dimensión fractal de las series financieras y posteriormente caracterizar un crash
bursátil a partir de la dimensión fractal.
1. Describir los fundamentos teóricos y empíricos con los que históricamente se han
abordado las crisis financieras
Para cumplir el primer objetivo propuesto se utiliza un método de investigación cualitativo en el que se
pretende revisar y describir teóricamente cómo se ha abordado el análisis de las crisis financieras y su
conceptualización a través de la historia por algunos autores. También se pretende revisar históricamente
los crashes bursátiles más relevantes que han ocurrido en el mundo desde 1929 hasta 2010. Por último se
considera conveniente mirar la trascendencia que tiene la economía ortodoxa hacia la complejidad.
Para describir y revisar teóricamente cómo se han definido las crisis financieras se tomaron en cuenta
las teorías de autores clásicos como Marx (1976), Keynes (1936), Schumpeter (1996), Fisher
(1932), Minsky (1992). Por último se toma en cuenta la teoría de Sornette (2003), se considera que es un
autor relevante debido a que experimenta y demuestra en su escrito el cambio de pensamiento económico
clásico al pensamiento complejo aplicado a las crisis financieras.
Luego, se pretende revisar y describir los crashes bursátiles más relevantes a través de la historia desde
el año 1929 hasta 2010. Los crashes que se tomaron en cuenta son: La gran depresión de 1929; el lunes
negó de 1987; la crisis asiática de 1997; la crisis de las punto com de 2001; y la crisis de Estados Unidos y
Europa entre 2008 y 2010.
Por último se hace una descripción de la trascendencia del pensamiento económico clásico al
pensamiento complejo; en primer lugar se describen los antecedentes que ponen a prueba los cinco
supuestos de los modelos ortodoxos financieros ( racionalidad en la toma de decisiones, simetría de
información, individuos homogéneos, precios lineales y el movimiento Browniano de los precios), para
ello se toma en cuenta la teoría de los autores Rothschild y Stiglitz (1976), Fama (1970), Healy y Palepu
(2001), Hyme (2003), Uribe y Ulloa (2010); en segundo lugar, se muestra algunas razones por las cuales
el pensamiento económico ha cambiado a un pensamiento complejo, para esto se revisan autores como
Sornette (2003) y Bookstaber (2017) quienes toman en consideración las crisis como un evento
complejo.
23
2. Determinación de Fractalidad en las Series Financieras
Para cumplir con el segundo objetivo planteado en este trabajo se aplicó una metodología
cuantitativa a partir de la comparación y posterior relación encontrada entre la teoría de sistemas
complejos y teoría de caos siguiendo cuantitativamente la teoría de ley de potencia, exponente de
Hurst, Box counting dimension, el zig-zag y así encontrar la dimensión fractal en las series
financieras.
Filtro de los índices bursátiles:
Para escoger los índices bursátiles a trabajar, se utilizó el software de Meta Stock, el historial
de precios fueron tomados de la plataforma virtual de Bloomberg.
1. Largo historial de precios: la intención de este trabajo es llegar a una conceptualización
general del comportamiento de la dimensión fractal en las series antes, durante y después
de un crash bursátil, para ello se considera importante tener mayor cobertura de datos
históricos y crashes bursátiles en distintos mercados. Se estableció un segmento de inicio
desde el año 1950 hasta 1997. Como se puede evidenciar en la tabla 1, se encontró que el
índice con más largo historial es el Down Jones desde 1900 y el historial más corto es el
índice Nasdaq desde 2007.
2. Por país/región: en primer lugar, para desarrollar los objetivos de este trabajo se considera
conveniente revisar los índices bursátiles más relevantes de todos los países y continentes
del mundo. Se tiene en cuenta este filtro, porque todas las crisis a través de la historia han
sido de alguna forma diferente, en efecto, sería insuficiente la información de un solo país
o región, para llegar a una conceptualización general de los crashes bursátiles desde el
cálculo de la dimensión fractal de las series. Como se puede ver en la tabla 1 resultaron 15
indicadores, de los cuales los primeros cinco se consideran importantes porque son los
índices a nivel global, incluye los países emergentes y desarrollados; también se tuvo en
cuenta que por lo menos hubiese un índice por cada continente que cumpliera con el largo
historial de precios.
24
Tabla 1: Índices bursátiles de muestra.
Fuente: Bloomberg.
A continuación, se tomaron todos los históricos de los 15 índices bursátiles para trabajar en
Excel, con cada una de las series se realizó el siguiente proceso:
1. Se calculó el retorno logarítmico de los precios de la siguiente forma:
Retorno de los precios = LN (Pt+1Pt
)
Ecuación 5: Retorno de los Precios
2. A partir de los retornos de los precios se calculó el número de datos, la media aritmética
(�̅�), la desviación estándar (𝑆𝑛−1) y la curtosis. Donde n es el número de datos y 𝑥𝑖
representa los datos sobre los que se calcula la media aritmética.
Ecuación 6: Media Aritmética.
Número País Ticker Symbol Inicio Final
1 All Countries MXWD:IND 03/01/1988 02/05/2018
2 All Developed Count. MXWO:IND 10/06/1985 02/05/2018
3 Emerging Emerg MXLA:IND 01/01/1988 02/05/2018
4 Emerging Global MXEF:IND 30/11/2005 02/05/2018
5 Europa (Paneuropeo) SXXP:IND 31/12/1986 07/05/2018
6 EEUU INDU 01/01/1900 07/05/2018
7 EEUU SPX 08/05/1950 07/05/2018
8 EEUU NASDAQ_COMP 07/05/2007 07/05/2018
9 Canadá (Toronto SE) TORONTO 01/09/1976 07/05/2018
10 Brasil BOVESPA 14/04/1993 07/05/2018
11 Sudáfrica JALSH:IND 02/07/1995 02/05/2018
12 Hong Kong HSI 01/12/1969 07/05/2018
13 Colombia IGBC: IND 03/07/2001 07/05/2018
14 México IPC 30/01/1975 07/05/2018
15 Chile IPSA: IND 02/01/1990 07/05/2018
STANDARD & POOR'S 500
índice de Precios y Cotizaciones
Santiago IPSA Index
Nombre del índice
MSCI ALL COUNTRIES WORLD INDEX
MSCI WORLD INDEX
MSCI LATAM EMERG MKTS
MSCI EMERGING MARKETS INDEX
STOXX EUROPE 600
DJIA 1897-20
NYSE COMPOSITE
TORONTO
ÍNDICE IBOVESPA
FTSE/JSE All Africa Index Series
HONG KONG
índice General de la BV de Colombia
�̅� =1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
25
Ecuación 7: Desviación Estándar
Curtosis =
Ecuación 8: Curtosis.
La desviación estándar indica que tan dispersos están los datos con respecto de la media. La
curtosis mide la planitud o apuntamiento de la distribución de la serie, es decir que permite medir
en dónde están distribuidos los datos en la campana de Gauss, también se puede clasificar la
curtosis como: una distribución mesocúrtica cuando la curtosis es igual a 3 quiere decir que los
datos presentan una distribución normal y simétrica; si la curtosis es menor a 3 significa que la
distribución es plana con relación a una distribución lo normal y se llama platicúrtica; si es mayor
a 3 quiere decir que la distribución es leptocúrtica porque alcanzó su máximo con relación a
distribución normal (Damodar y Gujarati, 2010).
Para revisar la fractalidad en las series se tomó en cuenta la teoría y hallazgos sobre sistemas
complejos y caos; se realizó un cuadro de comparación de los métodos box counting dimension y
exponente de Hurst, a partir de las metodologías anteriormente identificadas se plantea una
metodología innovadora para calcular la dimensión fractal por medio del método zig-zag (ver
tabla 2).
Cuando una serie de tiempo sigue una tendencia de ley de potencia quiere decir que tiene la
propiedad de escalamiento y auto-similitud en cada nivel de escala, en otras palabras, el
exponente de escalamiento equivale a la ley de potencia. El exponente de escalamiento permite
medir la magnitud y fuerza de un choque o crash sobre un mercado (Sornette, 2003).
𝑛(𝑛+1)
(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)
𝑥𝑖−𝑥
𝑆𝑛−1
4𝑛𝑖=1 −
3 (𝑛−1)2
(𝑛−2)(𝑛−3)
𝑆𝑛−1 = 1
𝑛 − 1 (𝑥𝑖 − 𝑥 )2
𝑛
𝑖=1
26
Tabla 2: Cuadro comparativo de las metodologías para hallar la dimensión fractal.
Elaboración propia.
Para comprobar si la serie cumple con la propiedad de auto-similitud se utiliza la ley de
potencia y el exponte de Hurst como punto de referencia. La ley de potencia permite encontrar el
límite (Xmin) entre la auto-organización y la aleatoriedad, los valores menores a ese Xmin siguen
una tendencia aleatoria y los valores mayores a Xmin obedecen a una auto-organización
(Sánchez, 2017); la ley de potencia quiere decir también que los valores existentes entre el Xmin
y el Xmáx cumplen con la invarianza de escala o multiescala, es decir que hay relación entre la
variabilidad espacio-temporal de los datos.
El exponente de Hurst permite saber si hay una auto-correlación entre los datos es decir, si la
serie presenta memoria de los datos a largo plazo, para calcular el exponente de Hurst
Mandelbrot desarrolla el rango escalado (R/S) y divide la serie en conjuntos de particiones más
pequeñas –semejante al Box Counting Dimension- para calcular la desviación media de cada una
de las particiones y la suma acumulada de las desviaciones. El R/S aumenta a medida que
incrementa el tiempo mediante el valor de potencia –la escala- y sirve para describir series
temporales que no tienen una escala característica como los fractales (Peters, 1994).
Método / CualidadPartición de las
series
Conteo de los
conjuntos
Exponente de
Escalamiento o
Ley de potencia
Dimensión fractal
Box Counting Dimension
Gráficamente se
cubre la serie con
cajas de tamaño r.
Se cuenta cada una
de las cajas de
tamaño r necesarias
para recubrir la serie
(N).
Se calcula
mediante el factor
de escalamiento o
ley de potencia.
Método propuesto
por Mandelbrot
(1982).
d=log(N) /log(1/r).
Exponente de Hurst
Divide la serie en
conjuntos más
pequeños.
Se calcula mediante
el método de rango
escalado R/S
Se calcula
mediante la ley de
potencia
propuesta por
Newman (2006) y
el exponente de
Hurst (H).
Método propuesto
por Peters (1992)
d=2-H
Zig-Zag
Sobre la gráfica se
dibuja y calcula el
zig-zag de acuerdo
a las caídas de
porcentaje de
sensibilidad.
Se cuenta el número
de puntos de
inflexión.
Se calcula el
exponente de
escalamiento (a).
Mediante la
pendiente de la
gráfica Y=mx+b.
donde m=a.
Método propuesto
por Johnson (2009)
d=1/a
27
La metodología Box Counting Dimension se basa en cubrir la serie completa en cajas de
tamaños escalados, luego cuenta el número de cajas necesarias para cubrir la serie y aplica la
ecuación (3) 𝑑𝑠= log (N) / log (1/r). Donde r es el tamaño de las cajas y N es el número de cajas
necesarias para cubrir la serie.
Por otro lado, para hallar la dimensión fractal en las series financieras se propone utilizar la
metodología del Zig-zag con una escala de sensibilidad porcentual la cual permite revisar las
caídas o alzas de precios que los índices han tenido a través de la historia, en otras palabras se
comparó la metodología del zig-zag con el box counting dimension; donde (r) equivale al
porcentaje de sensibilidad del zig-zag y (N) equivale al número de cambios o puntos de inflexión
encontrados en el porcentaje de sensibilidad del zig-zag (r).
3. Se ingresaron las series de los índices al software Meta Stock, se graficaron los precios
diarios; luego se calculó el índice zig-zag para cada una de las series; los parámetros que
se usaron fueron los siguientes: precio de cierre (close); se asignó una sensibilidad -
porcentaje- con escala gradual y descendente de 35% a 1% (ver tabla 2); para el eje Y de
los precios se utilizó una escala semi-log. La línea roja indica el índice zigzag y la línea
negra es la gráfica de los precios (Ver Ilustración 4).
Ilustración 4: All World countries index vs. zig-zag 30%
Elaborada a partir de Meta Stock.
28
4. Luego se contó el número de puntos de inflexión (N) de acuerdo con cada escala de
sensibilidad (r) zig-zag, es decir que en la imagen anterior (Ilustración 4) tiene una
sensibilidad del 30% y obtuvo cinco puntos de inflexión.
Para contar el número de puntos de inflexión se copió la serie del zig-zag (línea roja de la
ilustración 4) en Excel y allí se utilizó la función condicional (SI) para realizar la
comparación lógica de cambios –puntos de inflexión- en encontrados en la serie que arroja
el zig-zag.
Para comparar el porcentaje de sensibilidad con el número de puntos de inflexión
encontrados se tabuló una tabla de la siguiente forma:
Tabla 3: Número de cambios del zig-zag.
Elaboración Propia a Partir de los datos de Bloomberg.
5. Para calcular el exponente de escalamiento y el coeficiente de determinación (𝑅2) se
graficó el número de cambios contra el porcentaje de sensibilidad que se obtuvieron en el
índice zig-zag, se utiliza una escala logarítmica y una línea de tendencia potencial. Se
obtuvo la siguiente gráfica:
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
5 30 1,6094 3,4012
7 25 1,9459 3,2189
19 20 2,9444 2,9957
23 15 3,1355 2,7081
49 10 3,8918 2,3026
56 9 4,0254 2,1972
74 8 4,3041 2,0794
94 7 4,5433 1,9459
132 6 4,8828 1,7918
178 5 5,1818 1,6094
204 4,5 5,3181 1,5041
247 4 5,5094 1,3863
297 3,5 5,6937 1,2528
353 3 5,8665 1,0986
421 2,5 6,0426 0,9163
567 2 6,3404 0,6931
631 1,8 6,4473 0,5878
697 1,6 6,5468 0,4700
811 1,4 6,6983 0,3365
915 1,2 6,8189 0,1823
1061 1 6,9670 0,0000
MSCI ACWI
29
Ilustración 5: Gráfica del número de puntos de inflexión contra la sensibilidad porcentual del
zig-zag.
Elaboración Propia a Partir de los datos de Bloomberg.
El 𝑅2 se ajustó hasta un parámetro del 0,99, esto se hizo retirando las colas de
escalamiento. El criterio que se tomó en cuenta fue lo siguiente, Caídas mayores al 20%
significa que hay momentos de cambios -crisis- que se clasifican como dragon Kings, es
decir que son grandes crisis financieras que alberga más de un crash bursátil (Sornette,
2003); por otro lado, Sánchez (2017) encontró que las series financieras en pequeña escala
–sensibilidad menor a 2,5%- pierden la propiedad de ley de potencia y tienden a seguir un
movimiento browniano. En este de orden de ideas, se quiso evaluar la escala completa
como se planteó y se ajustó el 𝑅2 porque entre el 2,5% y 20% de sensibilidad se encuentra
que la serie sigue una ley de potencia que se ajusta a los crashes bursátiles que se están
buscando en el objetivo principal de este trabajo.
6. El exponente de escala se encuentra mediante la ecuación lineal de la gráfica (ver
ilustración 5) la cual está expresada en términos de: Y= mx+b, donde el exponente de
escalamiento se encuentra en la pendiente (m) m=a.
7. Para hallar la dimensión fractal se tomó en cuenta la dimensión fractal planteada en el
texto de Johnson (2009). La dimensión fractal de una serie es el cálculo de la relación que
existe entre la distancia aproximada que ha recorrido la serie y el número de pasos de
tiempo usados en (𝑡𝑎), este procedimiento da un valor particular de (a) y el exponente de
escalamiento está referido por (|a|).
y = -0,6109x + 4,7121 R² = 0,9909
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
2 4 6 8
MSCI ACWI
Número de cambios Escala log
Esc
ala
de
sen
sib
ilid
ad (
log
)
30
𝑑 =1
𝑎
Ecuación 9: Dimensión Fractal
Donde el Exponente de escalamiento es |a|. Si, |a| = 0.5 entonces, d = 2 y se asemeja a un
plano; por otro lado, si |a| = 1, entonces d = 1 y la dimensión se asemeja a una recta donde
existe el orden. Cuando el exponente de escalamiento tiende a 0,75 quiere decir que la
serie es más dentada o fraccionada.
Todos los pasos descritos anteriormente se repitieron para los 15 índices seleccionados.
3. Conceptualizar los crashes bursátiles a partir de la geometría fractal
En esta fase de la metodología se pretende relacionar la dimensión fractal de las series con los crashes
bursátiles y las crisis financieras. A partir de los resultados obtenidos de la dimensión fractal calculada y
planteada en el segundo objetivo, los crashes bursátiles descritos históricamente y la revisión conceptual
del concepto de crisis financieras se quiere caracterizar los crashes bursátiles desde la geometría fractal.
31
CAPÍTULO 3: RESULTADOS
1. Descripción de los Fundamentos teóricos y empíricos con los que históricamente se
han abordado las crisis financieras
Las crisis financieras han sido objeto de estudio por los economistas e investigadores debido a
los grandes efectos que han llegado a tener en la economía con el objetivo de entenderlas y tal
vez aprender a amortiguar este tipo de efectos colaterales. Ahora bien, con el ánimo de discernir
la importancia del estudio de las crisis financieras, este capítulo pretende definir y diferenciar las
crisis financieras teórica e históricamente desde el punto de vista de los pensamientos ortodoxos
y desde la complejidad; adicionalmente, llegar a entender y diferenciar un crash bursátil de
acuerdo con la complejidad.
A través de la historia se ha definido la crisis financiera como un fenómeno de perturbación
financiera instantánea que genera pérdidas considerables en la economía, estas perturbaciones y
consecuencias están relacionadas directamente con el sistema monetario y bancario de una
economía (Girón y Correa, 1997). Adicionalmente, Guillén (2013) considera que la crisis es un
punto de inflexión del ciclo económico que marca el paso de la prosperidad a la depresión. Por
otro lado, los investigadores económicos han estudiado las crisis financieras y los crashes
bursátiles desde la teoría del caos y la complejidad, Sornette (2003) define los crashes bursátiles
como eventos trascendentales que chocan el mercado bursátil; adicionalmente, destaca que un
crash bursátil no es necesariamente aquel punto que genera la crisis financiera, sino que, una
crisis financiera es una fase vulnerable del mercado y cualquier pequeña perturbación (crash
bursátil) puede desencadenar un colapso de la economía (crisis financiera).
1.1. Teoría convencional de las crisis financieras
Con el fin de revisar el manejo que se le ha dado al concepto de crisis financieras desde el
punto de vista teórico a través de la historia se revisan las siguientes teorías:
El gran representante del capitalismo Karl Marx (1976) determina que las crisis financieras
son inevitables, afectan socialmente y permiten una reestructuración de la economía y la
sociedad. Son inevitables porque la plusvalía se ve reflejada en el capitalismo y las crisis son el
resultado de una contradicción entre la extracción de la plusvalía y su realización. Las crisis
permiten la reestructuración porque en el momento crítico se rompen tejidos de relaciones de
producción, es aquel instante en que las pequeñas y medianas empresas se ven obligadas a cerrar
32
o tienen que renovarse. Sin embargo, termina siendo un punto positivo para el desarrollo de la
economía debido a la modernización, surgimiento de nuevas técnicas y tecnologías de
producción. Lo anterior no quiere decir que sea del todo positivo, ya que, es una oportunidad para
el capitalismo de acentuar las diferencias de clases sociales.
La teoría general de Keynes en 1936 analiza a fondo los movimientos de la demanda
agregada, la inversión, el desempleo, el ahorro y la tasa de interés. Keynes (considera que la
bolsa está compuesta por inversionistas que actúan de diferentes formas, las cuales provocan las
fluctuaciones (2014) de los precios. Una crisis bursátil se da cuando el mercado está en un punto
de sobre evaluación y hay demasiado optimismo, en efecto, este mercado es golpeado por
información que lo perturba negativamente. También, caracteriza las crisis como una caída de la
eficacia marginal del capital en una economía frágil y con problemas de desempleo que conlleva
a una caída de la inversión (Keynes, 2014).
Otra forma de ver las crisis la cuenta Schumpeter en 1996, quien habla de los ciclos
económicos, los cuales, están conformados por la prosperidad como un momento de innovación,
aumento de la demanda de insumos y los precios, alimentado por la expansión del crédito; la
depresión, la explica como un momento donde el sistema productivo se aleja del equilibrio, los
precios bajan; finalmente para volver a la prosperidad el sistema económico y empresarial debe
evolucionar y adaptarse a las nuevas condiciones. Las crisis no son naturales ni pertenecen al
sistema, pero, si son perturbaciones que pertenecen a la esfera económica. El pánico es un
resultado de la crisis, también se conoce como “fiebre especulativa” o “sobreproducción”, entre
otras. Finalmente, destaca que las perturbaciones que provocan las crisis son siempre distintas,
pueden ser cambios en el mercado, en la demanda y oferta, o en el sistema crediticio (Hagedoorn,
1996).
Un seguidor de Schumpeter es Fisher (1932), quien sigue la idea de los ciclos propuestos por
Schumpeter, sin embargo, Fisher habla de auges y recesiones, los cuales están dados todos de
diferentes formas y lapsos distintos. Una depresión es una condición en la cual una economía
tiene sobre endeudamiento o no es rentable, sus peores consecuencias el cierre de las empresas
forzado por la no rentabilidad, la sobre producción, la baja de precios, entre otras perturbaciones.
La depresión afecta a todos los agentes de la economía, lo que Fisher llama empobrecimiento
individual.
33
Minsky (1992) retoma algunas de las teorías de los autores nombrados anteriormente,
concluye que, la inestabilidad financiera es un modelo de economía capitalista que no se basa en
choques exógenos para generar ciclos económicos de diversa gravedad, sino que también
proceden del interior de la economía. Su hipótesis plantea que los ciclos económicos de la
historia se componen de la dinámica interna de las economías capitalistas, y el sistema de
intervenciones y regulaciones que están diseñadas para mantener la economía operando dentro de
límites razonables. También plantea dos teoremas de fragilidad financiera, primero, la economía
tiene regímenes de financiación en los cuales es estable, y regímenes donde es inestable;
segundo, en periodos de prosperidad prolongada la economía tiene relaciones financieras
confiadas, por lo tanto, conforman un sistema estable, sin embargo, ese tiempo de largo plazo
convierte el sistema inestable.
Por otro lado, la teoría de Dragon King es desarrollada por Sornette (2003) quien explica las
crisis financieras como eventos extremadamente grandes tanto en tamaño como en impacto, el
cual está dado por pequeños choques o crashes que se presentan de forma natural –eventos
cibernéticos, epidemias, terremotos, guerras, entre otros- y en cierta medida las crisis financieras
pueden ser predecibles, es decir que el sistema económico es complejo y por lo tanto está
relacionado con otras variables diferentes a los precios del mercado, en efecto los eventos
extremos deben ser considerados importantes porque estos obedecen a una ley de potencia y sus
efectos son exponenciales; adicionalmente la incertidumbre de los agentes del mercado siempre
estará inmersa en los análisis de gestión y diseño de riesgos.
En este sentido, se destaca que las teorías ortodoxas económicas reconocen que las crisis
financieras son eventos en los que el mercado bursátil es golpeado por información externa e
interna y en efecto se alteran las variables macroeconómicas y microeconómicas. También, son
conscientes de que las crisis son de orígenes naturales y son necesarias para el desarrollo del auto
aprendizaje y evolución de la vida económica, es decir, el mercado bursátil está compuesto por
inversionistas con comportamientos plenamente humanos, en consecuencia, estos reaccionan ante
nueva información y toman decisiones de acuerdo con su estado emocional -la especulación
provoca pánico- provocando el colapso del sistema económico.
34
1.2. Crisis Históricas: Perspectivas Desde 1929 Hasta La Gran Crisis del 2007-2010
Luego de ver el punto de vista de los teóricos clásicos, se considera importante describir
históricamente los crashes bursátiles que se van a analizar matemáticamente en la dimensión
fractal de las series de tiempo escogidas en la segunda etapa de la metodología.
1.2.1. La gran depresión de 1929.
Tras finalizar la primera guerra mundial, Estados Unidos se encontraba en el periodo de los
“felices años 20” ya que su comercio y desarrollo industrial basado en la producción y difusión
social de automóviles y electrodomésticos se hallaban en crecimiento (López, 1990). Mientras
tanto, en Europa se vivían tensiones políticas y monetarias (Herrera, 2005). Luego, en 1924 la
compra de acciones ordinarias en la bolsa de Wall Street empezó a incrementar, Estados Unidos
estaba en un momento de prosperidad, tanto así que el presidente Coolidge en 1928 afirmó que el
país estaba pasando por su mejor momento, su nivel de vida nunca se había enfrentado a mejores
condiciones, además, la producción aumentaba sin cesar y es respectivamente demandada por
consumidores internos y externos (López, 1990).
Debido al gran éxito que estaban teniendo los inversionistas en la Bolsa de New York, a partir
de 1926 un gran porcentaje de personas empezaron a adquirir préstamos a los bancos y firmas
estadounidenses por lo menos 2/3 partes del precio de la inversión. Al mismo tiempo, el
incremento de la producción y la reconstrucción de los países en Europa les obligaron a pedir
préstamos a USA. Como era de esperarse para 1929 la deuda de Europa especialmente Alemania,
Gran Bretaña, Italia, Holanda, Inglaterra, Austria y Hungría incrementó hasta frenar la economía,
y llegar a una sobreproducción, afectando así a toda Europa. Infortunadamente las empresas
estadounidenses y europeas empezaron a verse afectadas, causando alta presión sobre el sistema
financiero (Kindleberger, 1985).
Para marzo de 1929 la industria del automóvil y la construcción empezaron a caer
desmesuradamente. Luego en septiembre de 1929 la bolsa alcanzaba sus máximos valores, sin
embargo, el 24 de octubre se conoció como el jueves negro, ya que, las cotizaciones cayeron
estrepitosamente. Tres semanas después “Wall Street había perdido 40%, lo que representaba 30
mil millones de dólares” (Guillén, 2013, p.133). Algunas compañías empezaron a preocuparse
porque “la caída de los precios produciría el cierre de la bolsa y congelaría sus activos que
35
parecían tan líquidos” (Kindleberger, 1985, p.137), y pidieron los préstamos a los corredores de
bolsa.
Finalmente, el pánico del crash de 1929 se extendió con gran velocidad a nivel internacional.
Afectó a los países en vía de desarrollo principalmente en el “valor de los intercambios
comerciales de materias primas y al inversor” (López, 1990, p.997) debido a que, se redujeron los
créditos que otorgaba Estados Unidos (López, 1990).
1.2.2. Lunes negro 1987: 19 de octubre.
El desconcertante crash de Wall Street se dio el 19 de octubre de 1987, cuando “el mercado
bursátil, junto con los mercados asociados de futuros y opciones, colapsó, y el índice S&P500
bajó aproximadamente un 20 por ciento” (Carlson, 2006, p.2). A pesar de la magnitud del evento,
las consecuencias principalmente se limitaron al mercado financiero. El cual, les permitió a los
analistas económicos encontrar falencias de liquidez y un sistema computarizado.
Sobre la teoría de la falta de liquidez en los mercados de capitales, se puede identificar una
relación entre liquidez y precio de las acciones. De acuerdo con lo anterior, la bolsa de New York
en 1987 sufrió una sobrevaloración de los activos, en consecuencia, el precio se posiciona en un
punto máximo donde se les dificulta a los inversionistas comercializar las acciones para obtener
liquidez (Amihud et al, 1990).
Wall Street estableció manejar las transacciones por medio sistema computarizado, el cual
suponía que tenía la capacidad de manejar grandes volúmenes, sin embargo, se demuestra que el
programa informático falla al manejar grandes cantidades de transacciones, en efecto, se
convierte en una relevante causa del crash bursátil de 1987 (Antila, 2011).
De acuerdo, a las dos falencias más importantes que causaron el crash, es evidente que luego
del alza máximo del precio de las acciones, alertó a los inversionistas, causando una repentina ola
de oferta y escaza demanda en el Wall Street. Sin embargo, Guillén (2013) sugiere que “el déficit
presupuestal del gobierno federal” (p.133) es quien toma la responsabilidad de restablecer y
estabilizar el mercado financiero, así mismo, no permite que se convierta en una depresión
profunda y resistente, sino que, logra rescatar la bolsa de New York en corto tiempo.
36
1.2.3. Crisis Asiática 1997
La crisis financiera de los países asiáticos estalló en 1997, la cual, involucra principalmente a
Tailandia, Corea del Sur, Indonesia, Malasia y Filipinas. La apertura del mercado de estos países
dio lugar para manejar el dólar como medio de pago. Luego, se produjo un serio contagio de
disturbios financieros entre aquellos países, entonces, el detonante de la crisis se debe a un
contagio de especulación debido a la sobrevaluación de las monedas (Arestis y Glickman, 2002).
El Fondo Monetario Internacional (FMI, 2000) identifica una serie de ataques especulativos
contra el baht, luego se extiende hacia Malasia, Indonesia, Filipinas y Corea del Sur; para
mediados de diciembre varias empresas importantes en Corea del Sur se declararon insolventes.
Prontamente, el FMI tuvo que ser llamado para ayudar a financiar las deudas a corto plazo.
Sin embargo, hay que reconocer que la crisis asiática ya tenía otros problemas económicos de
fondo, “Las causas se pueden dividir en macroeconómicas y microeconómicas” (Del Villar et al.,
1998, P.7); Las principales causas son: el efecto contagio, el endeudamiento externo de corto
plazo, creación de burbujas de precios de los activos, entre otras (Del Villar et al., 1998). Sin
embargo, no en todos los países ocurrió de la misma forma, luego, de identificar el desequilibrio
en algunas variables macroeconómicas, La fragilidad financiera se explica cómo fallas
preexistentes en las carteras de las entidades financieras, endeudamiento de divisas, las cuales,
incrementó el riesgo de pérdidas en la depreciación de la moneda, entre otros (FMI, 2000).
La apertura de mercado de los países asiáticos con el resto del mundo dio lugar para el
incremento del dólar en los países asiáticos, “una fuerte entrada de capital extranjero, en forma
principalmente de préstamos bancarios a corto plazo” (Bustelo, 2004, p. 63). Por consiguiente, se
provocó una apreciación de la moneda en términos reales y una desregulación financiera por
parte de los gobiernos, en consecuencia, se crea un boom de crédito y sobre inversión en el sector
manufacturero. Además, debido a la crisis, los países asiáticos se vieron obligados a tener una
alta tasa de interés (Bustelo, 2004).
De acuerdo con la hipótesis de inestabilidad financiera de Minsky, Arestis y Glickman (2002)
realizan un análisis de las amenazas cuando un mercado pasa de ser cerrado a ser abierto, cuando
una economía se expande los principales problemas se amplifican, tales son como el crecimiento
y el empleo, los cuales, provienen del sector financiero. “Minsky argumentó que las altas tasas de
crecimiento y el bajo desempleo estaban amenazados por la inestabilidad del sistema financiero”
37
(p.31) en conclusión, la liberalización del mercado y las finanzas en una economía amplifica las
amenazas y el riesgo en la misma.
1.2.4. Crisis de las punto com. 2001
El crash de las puntocom se da a principio del sigo XXI, se clasifica como una burbuja
especulativa, la cual, está relacionada con el uso de la información en la informática y el internet
en la bolsa de Wall Street. “las punto com’s es la forma adecuada de referirse a las empresas que
desarrollan su actividad principal en internet” (BBVA, 2018). Entre el año 1999 y principios del
2000, los inversionistas estaban apostados a invertir en las empresas puntocom, con el fin de
aumentar su participación en el mercado bursátil, sin darle mayor importancia a la rentabilidad de
las puntocom (New York Times, 2000).
Debido a la sobrevaloración y pronósticos del potencial de la “World Wide Web” que les
dieron a las acciones de las puntocom la confianza de los inversionistas se vio reflejada en el
incremento de las inversiones a principios del año 2000 (Caffrey, 2013). De acuerdo con Michael
McAleerl et al (2013) en el año 1998 y 1999 el rendimiento diario promedio del NASDAQ fue
aproximadamente de 0,11%, pero en marzo del 2000 el rendimiento diario promedio aumentó
cinco veces hasta 0,63%, mientras, el rendimiento anualizado aumentó del 44%
aproximadamente al 221% para los periodos correspondientes.
De acuerdo con el incremento del valor de las acciones puntocom los especuladores
sobrevaloraron el precio de estas, debido a que las empresas con dominios puntocom no dieron
los retornos de ganancias esperados, “el índice Nasdaq alcanzó un máximo de 5048 en marzo del
2000” (Linyu, 2014, p.1), luego, la burbuja estalló. Para el 20 de marzo el Nasdaq perdió más del
10% desde su punto máximo. En efecto, varias empresas se declararon en quiebra y otras
perdieron gran participación en el mercado (Linyu, 2014).
Cuando se calló la burbuja, los precios de las acciones empezaron a caer y a declararse en
bancarrota, los favoritos como los pets.com, Toys, y Porceline vieron bajar el precio de las
acciones hasta un 99%. En consecuencia, así como estas empresas se vieron afectadas, otras
compañías alcanzaron a vender en el punto máximo y se beneficiaron antes de la caída de la bolsa
(Wray, 2014).
38
1.2.5. Crisis de Estados Unidos y Europa 2008 - 2010
Luego de la crisis de las puntocom, el presidente de Estados Unidos George W. Bush decidió
bajar los impuestos a las personas más adineradas, ya que el presidente afirmaba que era la
solución para salvar la economía, sin embargo, esta medida no estaba diseñada para estimular la
economía, sino que, es una medida limitada. Mientras la economía se encontraba en un exceso de
capacidad, la Reserva Federal bajó las tasas de interés. En efecto, el consumo y el sector
inmobiliario aumentaron, y provocaron la burbuja inmobiliaria en Estados Unidos (Stiglitz,
2012).
Para facilitar la adquisición de vivienda, se utilizaron herramientas financieras de hipotecas,
un instrumento popular son los MBS, los cuales consisten en grupos de hipotecas de viviendas,
las cuales crean una serie de pagos a través del tiempo, y este fondo de pagos se utiliza para
prestar a nuevas personas. Los MBS se empezaron a implementar a partir de 2002 en USA y en
Europa. La bolsa de Wall Street empezó a comprar dichos paquetes de MBS, con el fin de
obtener mejores ganancias con títulos de renta fija, ya que la tasa de interés se encontraba baja. El
problema de conceder estos préstamos hipotecarios fue la falta de respaldo por parte de los
prestatarios, los cuales no tenían las suficientes garantías de pago y los bancos no evaluaron
correctamente a sus prestatarios (Sornette y Cauwels, 2014).
Así como Wall Street intervino en la compra de dichos paquetes hipotecarios, también,
incursionaron intermediarios de Europa y Asia. Por ende, la burbuja de las hipotecas continuaba
creciendo y expandiéndose a otros países y continentes. Sin embargo, cuando los prestatarios que
no tenían el suficiente respaldo para pagar las hipotecas dejaron de pagar; en efecto, la burbuja
inmobiliaria explotó, afectando todo el sistema financiero. Así mismo para que los intermediarios
financieros tuvieron que apalancarse para intentar salvar su capital, por lo cual, ingresan más
intermediarios en el mercado financiero (Zurita et al., 2009)
Sin embargo, aquí no termina el gran crash de 2008; al mismo tiempo que se conocieron
informes por las pérdidas en las empresas y bancos europeos debido a la caída de las hipotecas
subprime del 2007, los mercados interbancarios se congelaron. La crisis involucró una serie de
eventos importantes de inestabilidad financiera, que incluyeron pérdida de confianza en la solidez
de los bancos europeos, la posibilidad de quiebra de las instituciones financieras nacionales y
extranjeras que requerían medidas de recapitalización; e incluso las finanzas de Islandia. Seguido
39
de la crisis de deuda soberana en Grecia. Finalmente, la Unión Europea tuvo que tomar medidas
y límites a la integración financiera para recuperar la confianza en las instituciones financieras
(Posta y Talani, 2011).
1.3. De Los Modelos Ortodoxos A La Complejidad.
La teoría ortodoxa se ha construido bajo cinco supuestos nombrados en la introducción de este
trabajo: Racionalidad en la toma de decisiones, simetría de información, individuos homogéneos,
precios lineales, precios que siguen movimientos brownianos. Los modelos ortodoxos han sido
una herramienta para analizar los mercados, sin embargo, hay momentos en los que los modelos
no aplican al mercado real y tampoco se comportan de acuerdo con los supuestos. Para
corroborar la anterior afirmación, es conveniente revisar algunos antecedentes que contrastan la
teoría ortodoxa con los datos reales.
1.3.1. Antecedentes de modelos ortodoxos.
Rothschild y Stiglitz (1976) revisan la teoría del equilibrio Walrasiano el cual, propone que la
oferta crea su propia demanda, posteriormente Grossman y Stiglitz (1980) cuestionan el
equilibrio de las economías competitivas, para ello evalúan el modelo de Fama (1970) sobre
mercados eficientes, y encuentran fallas en la simetría de la información. En contraste, Healy y
Palepu (2001) concluyen que tanto los analistas financieros como los auditores son
intermediarios imperfectos por lo tanto no hay acceso a la libre información, adicionalmente, el
valor y la divulgación de la información está asociada con el rendimiento del precio de las
acciones, los diferenciales de oferta y demanda, los seguidores de los analistas y la propiedad
institucional
La racionalidad como resultado de la eficiencia también entra en juicio, Hyme (2003)
establece el momento de cambio de ideas entre los clásicos y los nuevos clásicos, él encuentra
que, la idea de los nuevos clásicos sobre la racionalidad pasa de ser individual a ser colectiva,
este cambio se debe a las ideas homogéneas y modelos reduccionistas que plantean los
inversores. Sin embargo, es muy directo al decir que el nombre de hipótesis de mercados
eficientes no tiene que ver con la definición de eficiencia que le dan los economistas, por tanto,
plantea que se debe revisar el concepto de eficiencia y racionalidad.
La eficiencia es una propiedad deseable, más no concluyente, de acuerdo con Uribe y Ulloa
(2010) quienes encuentran que no existen propuestas estándar para medir la eficiencia, sin
40
embargo, alcanzan a identificar indicios de ineficiencia en los mercados, los cuales reaccionan
ante buenas y malas noticias. También proponen construir medidas dinámicas que no se dediquen
a inflar las burbujas de los precios de los activos financieros, sino que eviten las crisis
financieras.
1.3.2. Una visión compleja de los mercados y crisis financieras.
En el transcurso de este capítulo se realizó una perspectiva teórica e histórica sobre las crisis
financieras, ahora bien, es importante destacar que cada crisis ha ocurrido de una forma diferente;
en lapsos de tiempo distintos; por causas diferentes; afectan diversos agentes del mercado, es
decir el alcance que tiene cada crisis es a distintos niveles y profundidades de la economía
mundial. Por eso no se puede caracterizar las crisis como “iguales”, sino que cada una es un
evento similar pero no igual, en otras palabras, un sistema complejo caótico.
Por otro lado, para estudiar y analizar las crisis económicas, se han utilizado modelos
reduccionistas, sin embargo, estos modelos han sido cuestionados por no acertar en las
predicciones y tampoco ajustarse a la realidad. Sornette (2003) concluye que los modelos
ortodoxos no son suficientes para explicar los crashes bursátiles y las crisis financieras, ya que, al
analizar los precios de las acciones bajo un movimiento browniano y lineal, se está sesgando la
profundidad y el tiempo de las caídas o alzas de los precios, que son causados por el
comportamiento de los inversionistas. En otras palabras, se está dejando de estudiar por completo
las series financieras, y se está olvidando esos movimientos que de un modo u otro afectan al
mercado y contribuyen a la toma de decisiones futuras por parte de los inversionistas.
Ahora bien, Bookstaber (2017) plantea una pregunta ¿se puede predecir algo? Para responder
esta pregunta, es importante destacar que las cosas suceden por algo y aun así no es posible
establecer una explicación para ello. El comportamiento y las relaciones humanas son tan
complejas y profundas que no existe un atajo matemático para determinar cómo evolucionarán,
es decir, es casi imposible reducir en una sola fórmula matemática las predicciones y futuros
resultados. En el caso de la economía, se compone de inversionistas con comportamientos
naturalmente humanos y precios que resultan como manifiesto de patrones equivalentes a su
comportamiento, es imposible evitar y predecir una crisis financiera por medio de modelos
reduccionistas, ya que las interacciones en una crisis financiera aumentan de forma compleja y
caótica.
41
A lo largo de los planteamientos de Bookstaber (2017) los procesos reduccionistas deductivos
para comprender o describir fenómenos humanos e incluso naturales tienen límites. Por eso, con
el fin de seguir un camino más complejo, pero al mismo tiempo más cerca de lo real, es
conveniente empezar por plantear modelos holísticos, los cuales se adapten a las partes
dinámicas, heterogéneas e individuales de los sistemas complejos, también que logren modelar
fenómenos emergentes como las crisis financieras. Como resultado se plantea el siguiente marco
teórico, el cual, puede sintetizar de forma teórica y consistente el camino de investigación que
Bookstaber plantea.
2. Resultados de la presencia de Fractalidad en las Series Financieras
Luego evaluar los rendimientos y los precios de las series de tiempo de los índices
seleccionados se obtuvieron los resultados que se muestran en la tabla 4 y 5. En la primera
columna se encuentran los nombres de los índices seleccionados; en la segunda columna están las
fechas de inicio de las series de tiempo con las que se realizó el análisis; seguido del número de
datos N o precios de los índices; después está la media, la desviación estándar y la curtosis
obtenida de los retornos de las series; finalmente está el exponente de escala, el coeficiente de
determinación 𝑅2 y la dimensión fractal obtenidos del suavizamiento de las series mediante el
método zig-zag (ver tabla 6).
Tabla 4: Resumen de los Resultados de los Retornos.
Elaboración Propia a Partir de los datos de Bloomberg.
ÍNDICE Fecha inicio N° Datos Media Desv. Estándar Curtosis Exp. De Escal. R2
Dim. Fractal
MSCI ACWI 1/3/1988 7889 0,021% 0,890% 8,4594 -0,611 0,991 1,637
MSCI WI 6/10/1985 8571 0,027% 0,905% 11,3556 -0,589 0,991 1,699
MSCI LATAM 1/1/1988 7853 0,041% 1,693% 9,0175 -0,715 0,997 1,398
MSCI EM. MKT INDEX 11/30/2005 3255 0,016% 1,270% 8,6306 -0,768 0,995 1,302
STOXXEUROPE 600 12/31/1986 8096 0,019% 1,107% 7,0291 -0,587 0,996 1,703
DJIA 02/01/1897 8470 0,036% 1,101% 42,2877 -0,530 0,994 1,887
S&P500 1/2/1985 8426 0,033% 1,129% 28,3021 -0,516 0,993 1,938
NASDAQ COMP. 1/2/1985 8427 0,041% 1,371% 8,2926 -0,657 0,990 1,522
TORONTO SE 1/2/1985 8417 0,023% 0,963% 14,6348 -0,610 0,991 1,639
IBOVESPA (BRASIL) 6/6/1994 5937 0,055% 2,140% 13,1826 -0,664 0,995 1,507
I. SUDÁFRICA 7/2/1995 5724 0,043% 1,203% 6,1211 -0,570 0,994 1,755
HONG KONG 1/2/1985 8304 0,039% 1,642% 58,4927 -0,661 0,993 1,513
I.G.B. de COLOMBIA 7/3/2001 4128 0,061% 1,260% 12,8305 -0,874 0,999 1,145
IPC (MÉXICO) 1/2/1985 8379 0,111% 1,695% 19,2161 -0,656 0,992 1,523
IGPA (CHILE) 1/2/1990 7099 0,051% 0,806% 7,4759 -0,775 0,991 1,290
42
En la tabla 3 se puede observar que el índice con mayor número de datos fue el índice MSCI World
Index (MSCI WI) con una muestra de 8.571 precios y el índice con menor número de datos el MSCI
Emerging Markets Index con 3.255 precios. A partir de los retornos de las serie el índice con mayor media
aritmética es el IPC de México con 0,111% con una desviación estándar de los datos de 1,695% y una
curtosis de 19,2161 es decir que la serie es leptocúrtica; mientras que el índice con menor media (0,016%)
es el MSCI Emerging Markets Index donde están todos los países emergentes con una desviación de los
datos de 1,270% y una leptocurtosis de 8,6306.
El índice que presenta mayor desviación estándar es el índice de Brasil IBOVESPA con 2,140%, tiene
una media de 0,055% y presenta leptocurtosis de 13,1826; el índice que presenta menor desviación
estándar es el IGPA de Chile con 0,806%, una media de 0,051% y una leptocurtosis de 7,4759. Por
último, el índice con mayor curtosis es el Índice de Hong Kong con 58,4927, una media de 0,039% y una
desviación estándar de 1,642%. Mientras que el índice que mostró la menor curtosis fue el índice de
Sudáfrica con 6,1211, con una media de 0,043% y una desviación estándar de los retornos de 1,203
En general se observó que los índices son una muestra de los indicadores a nivel mundial, se filtraron y
se tuvo en cuenta la representación de mercados emergentes y desarrollados al igual que hubiese mínimo
un índice por continente, a pesar de esto se demuestra que ninguna de las series presenta signos de
ajustarse a una tendencia normal porque todas presentan leptocurtosis ya que son mayor a una curtosis
Gaussiana de 3 y presentan colas pesadas en la campana de Gauss.
43
Cálculo del Zig-zag Tabla 5: Resultados de los puntos de inflexión Zig-zag
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
5 30 1,6094 3,4012
7 25 1,9459 3,2189
19 20 2,9444 2,9957
23 15 3,1355 2,7081
49 10 3,8918 2,3026
56 9 4,0254 2,1972
74 8 4,3041 2,0794
94 7 4,5433 1,9459
132 6 4,8828 1,7918
178 5 5,1818 1,6094
204 4,5 5,3181 1,5041
247 4 5,5094 1,3863
297 3,5 5,6937 1,2528
353 3 5,8665 1,0986
421 2,5 6,0426 0,9163
567 2 6,3404 0,6931
631 1,8 6,4473 0,5878
697 1,6 6,5468 0,4700
811 1,4 6,6983 0,3365
915 1,2 6,8189 0,1823
1061 1 6,9670 0,0000
MSCI ACWI
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
5 30 1,6094 3,4012
7 25 1,9459 3,2189
17 20 2,8332 2,9957
27 15 3,2958 2,7081
49 10 3,8918 2,3026
58 9 4,0604 2,1972
70 8 4,2485 2,0794
102 7 4,6250 1,9459
146 6 4,9836 1,7918
194 5 5,2679 1,6094
229 4,5 5,4337 1,5041
269 4 5,5947 1,3863
325 3,5 5,7838 1,2528
387 3 5,9584 1,0986
463 2,5 6,1377 0,9163
615 2 6,4216 0,6931
683 1,8 6,5265 0,5878
755 1,6 6,6267 0,4700
861 1,4 6,7581 0,3365
984 1,2 6,8916 0,1823
1164 1 7,0596 0,0000
MSCI WI
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
7 30 1,9459 3,4012
13 25 2,5649 3,2189
19 20 2,9444 2,9957
31 15 3,4340 2,7081
61 10 4,1109 2,3026
73 9 4,2905 2,1972
99 8 4,5951 2,0794
127 7 4,8442 1,9459
161 6 5,0814 1,7918
221 5 5,3982 1,6094
267 4,5 5,5872 1,5041
317 4 5,7589 1,3863
385 3,5 5,9532 1,2528
464 3 6,1399 1,0986
562 2,5 6,3315 0,9163
702 2 6,5539 0,6931
788 1,8 6,6695 0,5878
910 1,6 6,8134 0,4700
1018 1,4 6,9256 0,3365
1172 1,2 7,0665 0,1823
1366 1 7,2196 0,0000
STOXXEUROPE 600
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
6 35 1,7918 3,5553
8 30 2,0794 3,4012
8 25 2,0794 3,2189
12 20 2,4849 2,9957
26 15 3,2581 2,7081
51 10 3,9318 2,3026
63 9 4,1431 2,1972
83 8 4,4188 2,0794
123 7 4,8122 1,9459
151 6 5,0173 1,7918
215 5 5,3706 1,6094
265 4,5 5,5797 1,5041
331 4 5,8021 1,3863
393 3,5 5,9738 1,2528
471 3 6,1549 1,0986
583 2,5 6,3682 0,9163
767 2 6,6425 0,6931
837 1,8 6,7298 0,5878
957 1,6 6,8638 0,4700
1105 1,4 7,0076 0,3365
1271 1,2 7,1476 0,1823
1472 1 7,2944 0,0000
S&P500
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
13 35 2,5649 3,5553
15 30 2,7081 3,4012
17 25 2,8332 3,2189
21 20 3,0445 2,9957
47 15 3,8501 2,7081
97 10 4,5747 2,3026
119 9 4,7791 2,1972
155 8 5,0434 2,0794
195 7 5,2730 1,9459
233 6 5,4510 1,7918
297 5 5,6937 1,6094
349 4,5 5,8551 1,5041
413 4 6,0234 1,3863
475 3,5 6,1633 1,2528
579 3 6,3613 1,0986
747 2,5 6,6161 0,9163
933 2 6,8384 0,6931
1037 1,8 6,9441 0,5878
1137 1,6 7,0361 0,4700
1277 1,4 7,1523 0,3365
1435 1,2 7,2689 0,1823
1607 1 7,3821 0,0000
NASDAQ COMP.
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
9 30 2,1972 3,4012
11 25 2,3979 3,2189
19 20 2,9444 2,9957
25 15 3,2189 2,7081
51 10 3,9318 2,3026
65 9 4,1744 2,1972
90 8 4,4998 2,0794
106 7 4,6634 1,9459
136 6 4,9127 1,7918
198 5 5,2883 1,6094
230 4,5 5,4381 1,5041
262 4 5,5683 1,3863
296 3,5 5,6904 1,2528
368 3 5,9081 1,0986
472 2,5 6,1570 0,9163
592 2 6,3835 0,6931
665 1,8 6,4998 0,5878
765 1,6 6,6399 0,4700
879 1,4 6,7788 0,3365
1037 1,2 6,9441 0,1823
1215 1 7,1025 0,0000
TORONTO SE
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
17 35 2,8332 3,5553
19 30 2,9444 3,4012
27 25 3,2958 3,2189
37 20 3,6109 2,9957
63 15 4,1431 2,7081
132 10 4,8828 2,3026
154 9 5,0370 2,1972
176 8 5,1705 2,0794
213 7 5,3613 1,9459
269 6 5,5947 1,7918
351 5 5,8608 1,6094
423 4,5 6,0474 1,5041
479 4 6,1717 1,3863
533 3,5 6,2785 1,2528
663 3 6,4968 1,0986
829 2,5 6,7202 0,9163
1035 2 6,9422 0,6931
1129 1,8 7,0291 0,5878
1235 1,6 7,1188 0,4700
1389 1,4 7,2363 0,3365
1547 1,2 7,3441 0,1823
1767 1 7,4770 0,0000
HONG KONG
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
7 30 1,9459 3,4012
7 25 1,9459 3,2189
15 20 2,7081 2,9957
25 15 3,2189 2,7081
44 10 3,7842 2,3026
48 9 3,8712 2,1972
54 8 3,9890 2,0794
62 7 4,1271 1,9459
84 6 4,4308 1,7918
110 5 4,7005 1,6094
122 4,5 4,8040 1,5041
148 4 4,9972 1,3863
172 3,5 5,1475 1,2528
210 3 5,3471 1,0986
258 2,5 5,5530 0,9163
324 2 5,7807 0,6931
358 1,8 5,8805 0,5878
400 1,6 5,9915 0,4700
450 1,4 6,1092 0,3365
492 1,2 6,1985 0,1823
560 1 6,3279 0,0000
MSCI EM. MKT INDEX
44
Elaboración propia.
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
15 35 2,7081 3,5553
26 30 3,2581 3,4012
38 25 3,6376 3,2189
57 20 4,0431 2,9957
79 15 4,3694 2,7081
143 10 4,9628 2,3026
153 9 5,0304 2,1972
175 8 5,1648 2,0794
215 7 5,3706 1,9459
281 6 5,6384 1,7918
351 5 5,8608 1,6094
433 4,5 6,0707 1,5041
523 4 6,2596 1,3863
609 3,5 6,4118 1,2528
695 3 6,5439 1,0986
861 2,5 6,7581 0,9163
1031 2 6,9383 0,6931
1113 1,8 7,0148 0,5878
1205 1,6 7,0942 0,4700
1359 1,4 7,2145 0,3365
1525 1,2 7,3297 0,1823
1719 1 7,4495 0,0000
MSCI LATAM
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
13 35 2,5649 3,5553
21 30 3,0445 3,4012
27 25 3,2958 3,2189
39 20 3,6636 2,9957
61 15 4,1109 2,7081
125 10 4,8283 2,3026
153 9 5,0304 2,1972
193 8 5,2627 2,0794
241 7 5,4848 1,9459
281 6 5,6384 1,7918
363 5 5,8944 1,6094
421 4,5 6,0426 1,5041
479 4 6,1717 1,3863
545 3,5 6,3008 1,2528
659 3 6,4907 1,0986
781 2,5 6,6606 0,9163
977 2 6,8845 0,6931
1099 1,8 7,0022 0,5878
1219 1,6 7,1058 0,4700
1341 1,4 7,2012 0,3365
1495 1,2 7,3099 0,1823
1689 1 7,4319 0,0000
IPC (MÉXICO)
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
7 35 1,9459 3,5553
7 30 1,9459 3,4012
9 25 2,1972 3,2189
16 20 2,7726 2,9957
24 15 3,1781 2,7081
44 10 3,7842 2,3026
66 9 4,1897 2,1972
74 8 4,3041 2,0794
88 7 4,4773 1,9459
102 6 4,6250 1,7918
130 5 4,8675 1,6094
139 4,5 4,9345 1,5041
165 4 5,1059 1,3863
187 3,5 5,2311 1,2528
231 3 5,4424 1,0986
289 2,5 5,6664 0,9163
376 2 5,9296 0,6931
408 1,8 6,0113 0,5878
458 1,6 6,1269 0,4700
530 1,4 6,2729 0,3365
600 1,2 6,3969 0,1823
708 1 6,5624 0,0000
I.G. de COLOMBIA
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
19 35 2,9444 3,5553
21 30 3,0445 3,4012
31 25 3,4340 3,2189
47 20 3,8501 2,9957
71 15 4,2627 2,7081
136 10 4,9127 2,3026
160 9 5,0752 2,1972
192 8 5,2575 2,0794
228 7 5,4293 1,9459
296 6 5,6904 1,7918
390 5 5,9661 1,6094
446 4,5 6,1003 1,5041
519 4 6,2519 1,3863
605 3,5 6,4052 1,2528
707 3 6,5610 1,0986
866 2,5 6,7639 0,9163
1038 2 6,9451 0,6931
1128 1,8 7,0282 0,5878
1240 1,6 7,1229 0,4700
1378 1,4 7,2284 0,3365
1524 1,2 7,3291 0,1823
1680 1 7,4265 0,0000
IBOVESPA (BRASIL)
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
3 35 1,0986 3,5553
5 30 1,6094 3,4012
9 25 2,1972 3,2189
17 20 2,8332 2,9957
27 15 3,2958 2,7081
55 10 4,0073 2,3026
65 9 4,1744 2,1972
73 8 4,2905 2,0794
92 7 4,5218 1,9459
102 6 4,6250 1,7918
135 5 4,9053 1,6094
144 4,5 4,9698 1,5041
182 4 5,2040 1,3863
206 3,5 5,3279 1,2528
258 3 5,5530 1,0986
310 2,5 5,7366 0,9163
386 2 5,9558 0,6931
440 1,8 6,0868 0,5878
493 1,6 6,2005 0,4700
555 1,4 6,3190 0,3365
657 1,2 6,4877 0,1823
801 1 6,6859 0,0000
IGPA (CHILE)
Número de
cambios
% de
sensibilidad
LN Número
de cambios
LN % de
sensibilidad
5 35 1,6094 3,5553
7 30 1,9459 3,4012
11 25 2,3979 3,2189
17 20 2,8332 2,9957
23 15 3,1355 2,7081
54 10 3,9890 2,3026
66 9 4,1897 2,1972
82 8 4,4067 2,0794
113 7 4,7274 1,9459
151 6 5,0173 1,7918
190 5 5,2470 1,6094
222 4,5 5,4027 1,5041
262 4 5,5683 1,3863
310 3,5 5,7366 1,2528
360 3 5,8861 1,0986
444 2,5 6,0958 0,9163
586 2 6,3733 0,6931
652 1,8 6,4800 0,5878
710 1,6 6,5653 0,4700
820 1,4 6,7093 0,3365
934 1,2 6,8395 0,1823
1061 1 6,9670 0,0000
I. SUDÁFRICA
45
En la tabla 5 se puede observar los datos encontrados por la realización del método zig-zag para los 15
índices seleccionados. La escala que se utilizó (% de sensibilidad) de 35% a 1%, los cuadros que están
sombreados en la escala es el rango donde se encuentran los crashes bursátiles (20% y 2,5%); el recuadro
que está encerrado señala el rango que se tomó para hallar el exponente de escalamiento el cual se halló
mediante la ecuación de la pendiente.
Ilustración 6: Resultados de las gráficas. Zig-zag
46
Elaboración propia. En el eje X está el número de cambios en escala log; en el eje Y está la escala de sensibilidad porcentual
del Zig-Zag en escala log.
La ilustración 6 son los resultados de graficar el porcentaje de sensibilidad contra los puntos
de inflexiones contados en el zig-zag. También se observa que la pendiente es negativa porque el
exponente de escalamiento es negativo. Los datos importantes para la dimensión fractal es el
exponente de escalamiento, el cual es la pendiente de la recta y el coeficiente de determinación
para revisar la bondad de ajuste del modelo. Para analizar de una forma más fácil se realizó una
tabla de resumen y posteriormente se analizan los resultados (ver tabla 6).
Luego de calcular el zig-zag de los precios de cierre de los índices se calculó el Exponente de
escalamiento, el 𝑅2 y la dimensión fractal que se pueden observar en el cuadro de resumen (tabla
5). El primer indicador para percibir si la serie obedece a una dimensión fraccionada es el
exponente de escalamiento, para el análisis de la dimensión fractal se utiliza la metodología
planteada por Johnson (2009) en la que expone que la dimensión fractal es: d=1/a donde a es el
exponente de escalamiento; cuando el exponente de escalamiento es igual a 0,5 quiere decir que
la dimensión fractal de la serie tiende a 2; cuando el exponente de escalamiento es igual a 1, la
dimensión fractal de la serie es igual a 1; pero, si el exponente de escalamiento tiende a 0.75,
47
quiere decir que la dimensión de la serie está más fraccionada y presenta mayor aspereza (más
dentada).
Tabla 6: Resumen de los Resultados Finales
Elaboración Propia a Partir de los datos de Bloomberg.
De acuerdo a los resultados obtenidos en la tabla 6 se puede observar que el índice que
presenta un exponente de escalamiento mayor es el índice IGB de Colombia con un exponente de
0,874, tiene un total de datos de 4.128 y tiene el 𝑅2 más alto 0,999, por ende su dimensión fractal
es la más cercana a 1 (1,145), quiere decir que es el índice menos dentado de todos. El índice con
el menor exponente de escalamiento es el S&P 500 con un 0,516, con un 𝑅2 de 0,993, este es el
índice con la dimensión fractal más cerca de 2 (1,938). Finalmente el índice con un exponente de
escalamiento más fraccionado o cercano a 0,75 es el MSCI Emerging Markets Index, es el índice
con menor número de datos (3255) y tiene la menor media de retornos (0,016%), también
presenta leptocurtosis de 8,6306 y sus retornos presentan una desviación estándar de 1,270%.
También se comprobó que ninguno de los índices bursátiles escogidos presentan una
dimensión fractal de 1, es decir que las series no son lineales, presentan asperezas y
discontinuidades que probablemente sean producto de eventos como crisis financieras y crashes
bursátiles.
ÍNDICE Fecha inicio N° Datos Media Desv. Estándar Curtosis Exp. De Escal. R2
Dim. Fractal
MSCI ACWI 1/3/1988 7889 0,021% 0,890% 8,4594 -0,611 0,991 1,637
MSCI WI 6/10/1985 8571 0,027% 0,905% 11,3556 -0,589 0,991 1,699
MSCI LATAM 1/1/1988 7853 0,041% 1,693% 9,0175 -0,715 0,997 1,398
MSCI EM. MKT INDEX 11/30/2005 3255 0,016% 1,270% 8,6306 -0,768 0,995 1,302
STOXXEUROPE 600 12/31/1986 8096 0,019% 1,107% 7,0291 -0,587 0,996 1,703
DJIA 02/01/1897 8470 0,036% 1,101% 42,2877 -0,530 0,994 1,887
S&P500 1/2/1985 8426 0,033% 1,129% 28,3021 -0,516 0,993 1,938
NASDAQ COMP. 1/2/1985 8427 0,041% 1,371% 8,2926 -0,657 0,990 1,522
TORONTO SE 1/2/1985 8417 0,023% 0,963% 14,6348 -0,610 0,991 1,639
IBOVESPA (BRASIL) 6/6/1994 5937 0,055% 2,140% 13,1826 -0,664 0,995 1,507
I. SUDÁFRICA 7/2/1995 5724 0,043% 1,203% 6,1211 -0,570 0,994 1,755
HONG KONG 1/2/1985 8304 0,039% 1,642% 58,4927 -0,661 0,993 1,513
I.G.B. de COLOMBIA 7/3/2001 4128 0,061% 1,260% 12,8305 -0,874 0,999 1,145
IPC (MÉXICO) 1/2/1985 8379 0,111% 1,695% 19,2161 -0,656 0,992 1,523
IGPA (CHILE) 1/2/1990 7099 0,051% 0,806% 7,4759 -0,775 0,991 1,290
48
3. Conceptualización de los crashes bursátiles a partir de la geometría fractal.
A partir de la revisión histórica/conceptual sobre los crashes bursátiles en el marco de referencia
y la demostración de la geometría fractal en 15 índices bursátiles se quiere conceptualizar los
crashes bursátiles para intentar entender la fragilidad que tiene un mercado ante crashes
bursátiles.
Mediante la metodología zig-zag se comprobó que una serie financiera puede tener caídas
continuas del 20%, las caídas mayores al 20% se cree que son los famosos Dragon Kings
definidos por Sornette (2003) es decir, son grandes crisis financieras creadas como avalanchas
que están alimentadas por pequeñas perturbaciones en el mercado, éstos pequeños choques están
representados -según la escala de zig-zag propuesta- entre el 20% y el 3%; anteriormente se
calculó la dimensión fractal mediante el método de zig-zag propuesto en este trabajo para ello fue
necesario hallar un exponente de escalamiento o ley de potencia, cuando un serie de tiempo
tiende a seguir una ley de potencia quiere decir que el mercado se auto organiza durante eventos
de caídas o alzas continuas de precios –se puede ver en los puntos de inflexión del zig-zag- y a su
vez confirma la memoria de correlación entre los datos, en otras palabras se propuso utilizar un
método compuesto de sensibilidad al cambio de tendencia por medio del zig-zag y se
complementó con la teoría de sistemas complejos y caos para intentar entender la reacción del
mercado ante crashes bursátiles.
En este orden de ideas, la propiedad de auto-similitud fractal en las series financieras
evidencia que los movimientos del precio del mercado están interrelacionados entre sí en otras
palabras, los agentes del mercado toman decisiones de acuerdo a la información que reciben. Del
mismo modo los precios –indicadores bursátiles- son un reflejo del comportamiento y las
relaciones que tiene el mercado, entonces, al analizar estos índices inherentemente se está
caracterizando en una parte el mercado; en contraste con la metodología planteada en el segundo
objetivo de este trabajo se puede medir la sensibilidad que tiene un mercado ante un crash
bursátil.
La geometría fractal es una herramienta para medir la información de los precios bursátiles la
cual toma en cuenta la no linealidad de los movimientos de los precios, la auto-organización del
sistema financiero y la auto-correlación de los precios. Una característica importante del
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mercado es que éste tiene momentos de crashes bursátiles donde el caos y el orden coexisten para
formar la dinámica del mercado.
En los resultados del primer objetivo se logró hacer una compilación y resumen histórico de
los crashes bursátiles más relevantes desde 1929 hasta 2010; al analizar con detenimiento cada
una de las crisis se puede observar que el riesgo por naturaleza es ubicuo y por más que los
inversionistas intenten minimizarlo no podrán erradicarlo ni pasar desapercibido por las
expectativas de los agentes del mercado. Aparentemente los agentes están preparados para asumir
cierta medida de riesgo, sin embargo en momentos de un crash bursátil los corredores de bolsa
tienden a “perder la cabeza” y se dejan llevar por sus emociones provocando –el mercado se auto
organiza- la dilatación de las crisis financieras.
Mandelbrot (2006) expone que los mercados tienen rachas, es decir que los traders en su
experiencia saben inconscientemente que, si el mercado está picado por la mañana,
probablemente seguirá así, y cuando se presenta un movimiento de máximo descontrol -las raras
pero recurrentes crisis financieras en el mundo- es cuando más se gana o se pierde. Lo anterior se
puede evidenciar en los crashes bursátiles anteriormente expuestos, porque la mayoría de eventos
surgen de un momento a otro, sin embargo hay algunos traders que ya saben el comportamiento
futuro que puede tener el mercado y se preparan para una crisis financiera; hay otros traders que
tienen expectativas positivas y deciden esperar que el mercado presente movimientos positivos.
Los diferentes tipos de expectativas y comportamiento de los agentes económicos son los que
permiten la dinámica de ganancias y pérdidas que tienen los inversionistas del mercado.
Por otro lado, Marx (1976) expone que las crisis financieras son inevitables, afectan
socialmente y permiten una reestructuración de la economía y la sociedad. En contraste con Marx
este trabajo permite ver que las crisis financieras están alimentadas por crashes bursátiles, y al
mismo tiempo estas crisis financieras son el resultado de una bifurcación en el sistema
económico.
Debido a que el sistema económico está compuesto por relaciones netamente humanas éste se
comporta como un sistema complejo y los crashes bursátiles pueden ser provocados por efectos
tanto exógenos (como las noticias, la influencia de personas cercanas entre otros) como efectos
endógenos (como los inversores, especuladores, industriales y banqueros, entre otros); las
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bifurcaciones que presenta el mercado provocan inestabilidad financiera, es decir
discontinuidades lineales y altas volatilidades que se pueden medir mediante la geometría fractal.
CONCLUSIONES
Luego de estudiar el mercado financiero y los principales crashes bursátiles por medio de
herramientas multidisciplinares –física, biología, filosofía, economía- empleadas en esta
alternativa de investigación se concluye que es un método innovador ya que toma en cuenta y es
consciente de que el mercado se organiza de una forma compleja, dinámica y caótica.
De acuerdo a la teoría de sistemas complejos, la teoría de caos, teoría de bifurcaciones y la
teoría sobre crisis financieras de Marx (1976) los choques –crashes- que golpean al mercado son
inevitables, impredecibles y necesarios para la continuación de la existencia de los mercados
bursátiles. En otras palabras las crisis financieras no son predecibles en un 100% debido a la
múltiple dinámica que tiene el mercado; son inevitables ya que la información diaria percibida
por inversionistas causa efectos especulativos que provocan la precipitación y dilatación de las
crisis financieras; finalmente son necesarias para la evolución y aprendizaje del mercado, es decir
que el sistema económico es cambiante por lo tanto su conocimiento y sus métodos deben estar
evolucionando para adaptarse a las emergencias que éste presente.
Este trabajo se considera que es un gran aporte a la ciencia económica ya que propone un
método innovador porque relaciona dos métodos ya existentes pero no relacionados
anteriormente para medir la sensibilidad de un mercado, relaciona el método zig-zag con la
geometría fractal, es decir se propone y se aplica un nuevo método de cálculo de la dimensión
fractal. Es importante resaltar que el método del zig-zag no hubiese sido posible desarrollarlo
partir de los métodos propuestos por Mandelbrot (2006), las ondas de Elliott, el exponente de
Hurst y la ley de potencia, ya que cada una de estas teorías es la base cuantitativa y cualitativa
para el análisis de los sistemas complejos como lo es el sistema financiero.
De acuerdo a la pregunta de investigación se puede decir que los crashes bursátiles se
relacionan y responden ante las propiedades de la geometría fractal, esto se puede evidenciar
mediante modelos holísticos que sirven para para intentar entender el mercado. Se concluye que
los crashes bursátiles se dan por múltiples elementos que emergen desde la aleatoriedad y por
51
otro lado el mercado reacciona ante las emergencias como un sistema complejo que a su vez se
comporta de una forma organizada formando un patrón de orden reflejado en los precios. El
orden que se da en las series financieras es posible identificarlo desde la ley de potencia y la
vulnerabilidad del mercado es posible medirla a través de la geometría fractal.
52
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